Alustuseks analüüsime teooriat, seejärel lahendame paar näidet, et koondada materjal murdarvuliselt ratsionaalse funktsiooni laiendamise kohta lihtmurdude summaks. Vaatame lähemalt määramatute koefitsientide meetod ja osalise väärtuse meetod, aga ka nende kombinatsioonid.

Tihti nimetatakse lihtsamaid murde elementaarmurrud.

Seal on järgmised lihtmurdude tüübid:

kus A , M , N , a , p , q on arvud ja murdude 3) ja 4) nimetaja diskriminant on väiksem kui null.

Neid nimetatakse vastavalt esimese, teise, kolmanda ja neljanda tüübi murdudeks.

Miks jagada murde lihtsateks?

Toome matemaatilise analoogia. Tihti tuleb avaldise vormi lihtsustada, et sellega mingeid toiminguid teha. Seega on murdarvuliselt ratsionaalse funktsiooni esitus lihtmurdude summana ligikaudu sama. Seda kasutatakse funktsioonide laiendamiseks võimsusseeriatesse, Laurenti seeriatesse ja loomulikult integraalide leidmiseks.

Näiteks nõuab see võtmist murdosaliselt ratsionaalse funktsiooni integraal. Pärast integrandi lihtmurdudeks jagamist taandub kõik üsna lihtsateks integraalideks

Integraalidest aga teises osas.

Näide.

Jaotage murdosa kõige lihtsamaks.

Lahendus.

Üldjuhul jagatakse polünoomide suhe lihtmurdudeks, kui polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste. Vastasel juhul jagatakse lugejapolünoom kõigepealt nimetajapolünoomiga ja alles seejärel lagundatakse õige murdratsionaalne funktsioon.

Teeme jagamise veeruga (nurgaga):

Seetõttu on algne murd järgmine:

Seega laguneme lihtmurdudeks

Määramatute koefitsientide meetodi algoritm.

Esiteks, faktoristage nimetaja.

Meie näites on kõik lihtne – võtame sulgudest välja x.


Teiseks, esitatakse laiendatav murd lihtmurdude summana koos ebakindlad koefitsiendid.

Siin tasub kaaluda, mis tüüpi avaldisi nimetaja võib sisaldada.

Aitab teooriast, praktika on ikka selgem.

On aeg näite juurde tagasi pöörduda. Murd lagundatakse esimese ja kolmanda tüübi kõige lihtsamate murdude summaks määramata koefitsientidega A , B ja C .


Kolmandaks, viime saadud ebamäärase koefitsiendiga lihtmurdude summa ühisnimetajasse ja rühmitame lugejas olevad liikmed samade astmetega x.



See tähendab, et jõuame võrrandini:


Kui x nullist erinev, taandub see võrdsus kahe polünoomi võrduseks


Ja kaks polünoomi on võrdsed siis ja ainult siis, kui koefitsiendid samadel astmetel on samad.

Neljandaks, võrdsustame koefitsiendid x samadel astmetel.

Sel juhul saame lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi, mille koefitsiendid on tundmatud:


Viiendaks, lahendame saadud võrrandisüsteemi mis tahes viisil (vajadusel vaata artiklit), mis teile meeldib, leiame määramata koefitsiendid.


Kuuendal kohal, kirjutage vastus üles.

Palun ärge olge laisk, kontrollige oma vastust, taandades sellest tuleneva laienemise ühisele nimetajale.

Määratlemata koefitsientide meetod on universaalne meetod murdude jagamiseks lihtsateks.

Osalise väärtuse meetodit on väga mugav kasutada, kui nimetaja on lineaarsete tegurite korrutis, see tähendab, et see näeb välja selline

Vaatame selle meetodi eeliste näitamiseks näidet.

Näide.

Laiendage murdosa kõige lihtsamatele.

Lahendus.

Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, ei pea me jagama. Pöördume nimetaja teguriteks lagunemise juurde.

Võtame x sulgudest kõigepealt välja.

Leiame ruuttrinoomi juured (näiteks Vieta teoreemi järgi):

Seetõttu saab ruutkolminoomi kirjutada järgmiselt

See tähendab, et nimetaja võtab kuju

Antud nimetaja korral jagatakse algne murd esimese tüübi kolme määramatute koefitsientidega lihtmurru summaks:

Vähendame saadud summa ühise nimetajani, kuid lugejas ei ava me sulgusid ega anna A, B ja C jaoks sarnaseid (praegus etapis on see lihtsalt erinevus ebakindlate koefitsientide meetodist):

Nii jõudsime võrdsuseni:

Ja nüüd, määramata koefitsientide leidmiseks, hakkame saadud võrdsusse asendama “privaatsed väärtused”, mille juures nimetaja kaob, st meie näite puhul x=0, x=2 ja x=3.

Kell x=0 meil on:

Kell x=2 meil on:

Kell x=3 meil on:

Vastus:

Nagu näete, on erinevus ebakindlate koefitsientide meetodi ja osaväärtuste meetodi vahel ainult tundmatute leidmises. Neid meetodeid saab arvutuste lihtsustamiseks kombineerida.

Kaaluge näidet.

Näide.

Laiendage murdosa ratsionaalset avaldist lihtmurdudeks.

Lahendus.

Kuna lugejapolünoomi aste on väiksem kui nimetaja polünoomi aste ja nimetaja on juba faktoriseeritud, esitatakse algne avaldis järgmise kuju lihtmurdude summana:

Toome ühise nimetajani:

Võrdleme lugejaid.

Ilmselt on nimetaja nullid väärtused x=1, x=-1 ja x=3. Kasutame osaväärtuste meetodit.

Kell x=1 meil on:

Kell x=-1 meil on:

Kell x=3 meil on:

Jääb üle leida tundmatu ja

Selleks asendame leitud väärtused lugejate võrdsusega:

Pärast sulgude avamist ja sarnaste liikmete vähendamist x samade astmete jaoks jõuame kahe polünoomi võrdsuseni:

Me võrdsustame vastavad koefitsiendid samadel astmetel, koostades seeläbi võrrandisüsteemi ülejäänud tundmatute leidmiseks ja . Saame viiest võrrandist koosneva süsteemi kahe tundmatuga:

Esimesest võrrandist leiame kohe , teisest võrrandist

Selle tulemusena saame laienduse lihtsateks murdudeks:

Märge.

Kui otsustaksime kohe rakendada määramatute kordajate meetodit, siis peaksime lahendama viie tundmatuga lineaarse algebralise võrrandi süsteemi. Osaväärtuste meetodi kasutamine tegi viiest tundmatust kolme väärtuse leidmise lihtsaks, mis lihtsustas oluliselt edasist lahendust.

Tervitused kõigile, kallid sõbrad!

No palju õnne! Oleme ratsionaalsete murdude integreerimisel ohutult jõudnud põhimaterjalini - määramatute koefitsientide meetod. Suur ja võimas.) Mis on tema majesteet ja jõud? Ja see seisneb selle mitmekülgsuses. On mõistlik teada, eks? Hoiatan, et sellel teemal on mitu õppetundi. Sest teema on väga pikk ja materjal on äärmiselt oluline.)

Pean kohe ütlema, et tänases tunnis (ja ka järgmistes) ei käsitle me niivõrd integratsiooni, kuivõrd ... lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine! Jah Jah! Nii et need, kellel on probleeme süsteemidega, kordavad maatrikseid, determinante ja Crameri meetodit. Ja nendel seltsimeestel, kes on maatriksitega hädas, soovitan halvimal juhul mälu värskendada vähemalt süsteemide lahendamise “kooli” meetodil – asendusmeetodil ja termini haaval liitmise/lahutamise meetodil.

Tutvumise alustamiseks kerime filmi veidi tagasi. Tuleme põgusalt tagasi eelmiste tundide juurde ja analüüsime kõiki neid murde, mida oleme varem lõiminud. Otseselt, ilma ühegi määramatute koefitsientide meetodita! Siin nad on, need fraktsioonid. Sorteerisin nad kolme rühma.

1. rühm

Nimetajas - lineaarne funktsioon kas iseseisvalt või ulatuses. Ühesõnaga, nimetaja on toode identsed vormi sulgudes (ha).

Näiteks:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5) (2x+5) (2x+5)

Ja nii edasi. Muide, ärge laske sulgudel end petta. (4x+5) või (2x+5) 3 koefitsiendiga k sees. See on sisuliselt sama, vormi sulgudes (ha). Sest see on kõige rohkem k sellistest sulgudest saab alati välja võtta.

Nagu nii:

See on kõik.) Ja pole vahet, mis lugejas täpselt on – lihtsalt dx või mingi polünoom. Oleme alati laiendanud sulgudes olevat lugejat (x-a), muutis suure murdosa väikeste summaks, tõi (vajadusel) diferentsiaali alla kronsteini ja integreeris.

2. rühm

Mis on neil murdudel ühist?

Ja ühine on see, et kõigis nimetajates on ruudukujuline kolmikkirves 2 + bx+ c. Aga mitte ainult, nimelt ühes eksemplaris. Ja siin pole vahet, kas diskrimineerija on positiivne või negatiivne.

Selliseid murde on alati integreeritud kahel viisil – kas laiendades lugejat nimetaja astmetes või võttes nimetajasse täisruudu ja seejärel muutes muutujat. Kõik sõltub konkreetsest integrandist.

3. rühm

Need olid integreerimise jaoks halvimad fraktsioonid. Nimetajaks on lagunematu ruuttrinoom ja isegi kraadis n. Aga jällegi, ühes eksemplaris. Sest peale trinoomi pole nimetajas muid tegureid. Sellised murded integreeritakse üle . Kas otse või taandatuna sellele pärast nimetaja täisruudu valimist ja muutuja muutmist.

Kuid kahjuks ei piirdu kogu ratsionaalsete murdude rikkalik valik ainult nende kolme vaadeldava rühmaga.

Aga mis siis, kui nimetaja on mitmesugused sulgudes? Näiteks midagi sellist:

(x-1) (x+1) (x+2)

Või samal ajal sulg (ha) ja ruudukujuline kolmik, midagi taolist (x–10) (x 2–2 x + 17)? Ja muudel sarnastel juhtudel? Siin tuleb just sellistel juhtudel appi. määramatute koefitsientide meetod!

Pean kohe ütlema: esialgu teeme ainult koostööd õige fraktsioonid. Need, milles lugeja aste on nimetaja astmest rangelt väiksem. Kuidas käituda ebaõigete murdudega, on üksikasjalikult kirjeldatud murdosades. On vaja valida kogu osa (polünoom). Lugeja nurga jagades nimetajaga või laiendades lugejat - nii nagu soovite. Ja isegi näide on lahti võetud. Ja sa kuidagi integreerid polünoomi. Pole juba väike.) Aga me lahendame ka valemurrude näiteid!

Nüüd õpime üksteist tundma. Erinevalt enamikust kõrgema matemaatika õpikutest ei alusta me oma tutvust kuiva ja raske teooriaga algebra põhiteoreemi, Bezouti teoreemi kohta, mis käsitleb ratsionaalse murru laiendamist kõige lihtsamate summaks (nende murdude kohta lähemalt hiljem) ja muud tüütust, kuid alustame lihtsa näitega .

Näiteks peame leidma järgmise määramata integraali:

Kõigepealt vaadake integrandi. Nimetaja on kolme sulu korrutis:

(x-1) (x+3) (x+5)

Ja kõik sulgud mitmesugused. Seetõttu ei tööta meie vana tehnoloogia koos lugeja laiendamisega nimetaja astmetes seekord: milline sulg tuleks lugejas esile tõsta? (x-1)? (x+3)? Pole selge ... Nimetaja täisruudu valik pole ka kassaaparaadis: seal on polünoom kolmandaks aste (kui korrutate kõik sulud). Mida teha?

Meie murdosa vaadates tekib täiesti loomulik soov ... Otseselt vastupandamatu! Meie suurest fraktsioonist, mis ebamugav integreerida, kuidagi kolm väikest teha. Vähemalt nii:

Miks seda tüüpi otsida? Ja kõik sellepärast, et sellisel kujul on meie esialgne murdosa juba olemas mugav integreerida! Lisage iga väikese murdosa nimetaja ja edasi.)

Kas sellist lagunemist on üldse võimalik saada? Uudis on hea! Matemaatika vastav teoreem ütleb − jah, sa saad! Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

Kuid on üks probleem: koefitsiendid AGA, AT ja FROM meie hüvasti me ei tea. Ja nüüd on meie peamine ülesanne õiglane neid määratleda. Uurige, millega meie tähed on võrdsed AGA, AT ja FROM. Sellest ka nimi, meetod ebakindel koefitsiendid. Alustame oma vapustavat reisi!

Niisiis, meil on võrdsus, millest hakkame tantsima:

Toome kõik kolm murdu paremale ühise nimetajani ja lisame:

Nüüd võite nimetajad (kuna need on samad) ohutult kõrvale jätta ja lugejad lihtsalt võrdsustada. Kõik on nagu tavaliselt

järgmine samm avage kõik sulud(koefitsiendid AGA, AT ja FROM hüvasti parem jätta väljapoole)

Ja nüüd (tähtis!) ehitame kogu oma struktuuri paremale staaži järgi: kõigepealt kogume kõik liikmed x 2-ga hunnikusse, seejärel - lihtsalt x-ga ja lõpuks kogume vabaliikmed. Tegelikult anname lihtsalt sarnased ja rühmitame terminid x astmete järgi.

Nagu nii:

Ja nüüd saame tulemusest aru. Vasakul on meie algne polünoom. Teine aste. Meie integrandi lugeja. Õige ka mingi teise astme polünoom. Nina tundmatud koefitsiendid. See võrdsus peaks kehtima kõik kehtivad x väärtused. Murrud vasakul ja paremal olid samad (vastavalt meie seisundile)! See tähendab, et nende lugeja ja (st meie polünoomid) on samuti samad. Nii et koefitsiendid x samade astmetega need polünoomid peavad olema olge võrdsed!

Alustame kõrgeimast kraadist. Väljakult. Vaatame, millised koefitsiendid meil on X 2 vasakule ja paremale. Paremal on koefitsientide summa A+B+C, ja vasakul - kaksik. Nii et meil on esimene võrrand.

Kirjutame üles:

A+B+C = 2

Seal on. Esimene võrrand on tehtud.)

Seejärel liigume mööda kahanevat trajektoori – vaatame termineid, kus x on esimeses astmes. Paremal on meil x 8A+4B+2C. Hea. Ja mis meil on, kui vasakul on x? Hm ... Vasakul pole X-ga terminit üldse! Neid on ainult 2x 2 - 3. Kuidas olla? Väga lihtne! See tähendab, et koefitsient x vasakul on meil võrdub nulliga! Võime oma vasaku poole kirjutada järgmiselt:

Ja mida? Meil on kõik õigused.) Siit vaadates näeb teine ​​võrrand välja selline:

8 A+4 B+2 C = 0

Noh, praktiliselt see on kõik. Jääb üle võrdsustada tasuta tingimused:

15A-5B-3C = -3

Ühesõnaga, koefitsientide võrdsustamine x samadel astmetel toimub vastavalt järgmisele skeemile:

Kõik kolm meie võrdsust peavad olema täidetud samaaegselt. Seetõttu koostame oma kirjutatud võrranditest süsteemi:

Süsteem pole usinale õpilasele just kõige raskem – kolm võrrandit ja kolm tundmatut. Otsustage nagu soovite. Crameri meetodit saab kasutada determinantidega maatriksite kaudu, Gaussi meetodit, kasvõi tavalist kooliasendust.

Alustuseks lahendan selle süsteemi nii, nagu tavaliselt kultuuritudengid selliseid süsteeme lahendavad. Nimelt Crameri meetod.

Lahendust alustame süsteemimaatriksi koostamisega. Tuletan teile meelde, et see maatriks on lihtsalt tabel, millest koosneb tundmatute koefitsiendid.

Seal ta on:

Kõigepealt arvutame süsteemi maatriksi determinant. Või lühidalt süsteemi identifikaator. Tavaliselt tähistatakse seda kreeka tähega ∆ ("delta"):

Suurepärane, süsteemi determinant ei ole null (-48≠0) . Lineaarvõrrandisüsteemide teooriast tähendab see asjaolu, et meie süsteem on järjekindel ja on ainulaadne lahendus.

Järgmine samm on arvutamine tundmatute määrajad ∆A, ∆B, ∆C. Tuletan meelde, et kõik need kolm determinanti saadakse süsteemi peadeterminandist, asendades veerud vastavate tundmatute koefitsientidega vabade liikmete veeruga.

Seega moodustame määrajad ja kaalume:

Ma ei selgita siin üksikasjalikult kolmandat järku determinantide arvutamise tehnikat. Ja ära küsi. See on juba üsna suur kõrvalekalle teemast.) Kes on teemas, see saab aru, millest jutt. Ja võib-olla arvasite juba täpselt, kuidas ma need kolm determinanti arvutasin.)

See on kõik ja tehtud.)

Nii otsustavad kultuursed õpilased tavaliselt süsteeme. Aga ... Kõik õpilased ei ole determinantidega sõbrad. Kahjuks. Mõne jaoks jäävad need kõrgema matemaatika lihtsad mõisted igaveseks hiina kirjaks ja salapäraseks koletiseks udus...

Noh, eriti selliste ebakultuursete õpilaste jaoks pakun välja tuttavama lahendusviisi - Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod. Tegelikult on see arenenud "kooli" asendusmeetod. Ainult samme tuleb rohkem.) Kuid olemus on sama. Kõigepealt jätan muutuja välja FROM. Selle jaoks ma väljendan FROM esimesest võrrandist ja asendage teise ja kolmandaga:

Lihtsustame, anname sarnased ja saame uue süsteemi, juba koos kaks teadmata:

Nüüd on selles uues süsteemis võimalik ka üht muutujat väljendada teise terminites. Kuid kõige tähelepanelikumad õpilased märkavad ilmselt, et koefitsiendid muutuja ees B – vastupidine. Kaks ja miinus kaks. Seetõttu on muutuja kõrvaldamiseks väga mugav mõlemad võrrandid kokku liita AT ja jäta ainult kiri AGA.

Lisame vasaku ja parema osa, vähendame vaimselt 2B ja -2B ja lahendage võrrand ainult suhtes AGA:

Seal on. Esimene leitud koefitsient: A = -1/24.

Määrake teine ​​koefitsient AT. Näiteks ülemisest võrrandist:

Siit saame:

Suurepärane. Leitakse ka teine ​​koefitsient: B = -15/8 . Üks kiri on veel alles FROM. Selle määramiseks kasutame ülemist võrrandit, kus see on väljendatud AGA ja AT:

Niisiis:

OK, nüüd on kõik läbi. Tundmatud koefitsiendid leitud! Pole vahet, kas see toimub Crameri või asendamise kaudu. Peaasi, õige leitud.)

Niisiis, meie suure murdosa laiendamine väikeste summadeks näeb välja järgmine:

Ja ärge laske saadud murdosakoefitsientidest segadusse lasta: selles protseduuris (määramatute koefitsientide meetod) on see kõige levinum juhtum. :)

Ja nüüd on väga soovitav kontrollida, kas oleme oma koefitsiendid õigesti leidnud A, B ja FROM. Nüüd võtame mustandi ja jätame kaheksanda klassi meelde – liidame tagasi kõik kolm oma väikest murdu.

Kui saame algse suure murdosa, siis on kõik korras. Ei, see tähendab, et löö mind ja otsi viga.

Ühine nimetaja on ilmselgelt 24(x-1)(x+3)(x+5).

Mine:

Jah!!! Hankige algne murd. Mida oli vaja kontrollida. Kõik on hästi. Nii et palun ärge lööge mind.)

Ja nüüd pöördume tagasi oma algse integraali juurde. Ei ole selle ajaga lihtsamaks läinud, jah. Aga nüüd, kui meie murd on väikeste summadeks lagunenud, on selle integreerimine muutunud tõeliseks naudinguks!

Vaata ise! Sisestame oma laienduse algsesse integraali.

Saame:

Kasutame lineaarsuse omadusi ja murrame oma suure integraali väikeste summaks, võtame välja kõik konstandid väljaspool integraali märke.

Saame:

Ja saadud kolm väikest integraali on juba hõlpsasti võetud .

Jätkame integreerimist:

See on kõik.) Ja ärge minult selles õppetükis küsige, kust tulid vastuse logaritmid! Kes mäletab, see on teemas ja saab kõigest aru. Ja kes ei mäleta - me kõnnime mööda linke. Ma ei pane neid lihtsalt selga.

Lõplik vastus:

Siin on selline ilus kolmainsus: kolm logaritmi - argpüks, kogenud ja tüütu. :) Ja proovi, arva kohe nii kaval vastus ära! Ainult määramatute koefitsientide meetod aitab, jah.) Tegelikult me ​​uurimegi selleks. Mida, kuidas ja kus.

Treeningharjutusena soovitan teil seda meetodit harjutada ja integreerida järgmine murdosa:

Harjutage, leidke integraal, ärge võtke seda tööks! Peaksite saama sellise vastuse:

Määramatute koefitsientide meetod on võimas asi. See päästab ka kõige lootusetum olukorras, kui murru niikuinii teisendada jne. Ja siin võib mõnel tähelepanelikul ja huvitatud lugejal tekkida mitmeid küsimusi:

- Mis siis, kui nimetaja polünoomi ei võeta üldse arvesse?

- KUIDAS peaks otsima mis tahes suure ratsionaalse murru paisumist väikeste summaks? Mingil kujul? Miks selles ja mitte selles?

- Mis saab siis, kui nimetaja laienemisel on mitu tegurit? Või sulud astmetes nagu (x-1) 2 ? Millises vormis lagunemist otsida?

- Mis siis, kui nimetaja sisaldab lisaks vormi (x-a) lihtsulgudele samaaegselt ka lagunematut ruuttrinoomi? Oletame, et x 2 +4x+5 ? Millises vormis lagunemist otsida?

Noh, on aeg põhjalikult mõista, kust jalad kasvavad. järgmises õppetükis.)

Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine.
Määratlemata koefitsientide meetod

Jätkame tööd murdude integreerimisega. Oleme õppetunnis juba käsitlenud teatud tüüpi murdude integraale ja seda tundi võib teatud mõttes pidada jätkuks. Materjali edukaks mõistmiseks on vaja elementaarseid integreerimisoskusi, nii et kui olete just integraalide õppimist alustanud, st olete teekann, peate alustama artiklist Määramatu integraal. Lahendusnäited.

Kummalisel kombel ei tegele me nüüd mitte niivõrd integraalide leidmisega, kuivõrd ... lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisega. Selles ühenduses tugevalt Soovitan tundi külastada Nimelt tuleb hästi kursis olla asendusmeetoditega (“kooli” meetod ja süsteemivõrrandite terminipõhise liitmise (lahutamise) meetod).

Mis on murdosaline ratsionaalne funktsioon? Lihtsamalt öeldes on murdratsionaalfunktsioon murdosa, mille lugejas ja nimetajas on polünoomid või polünoomide korrutised. Samal ajal on murded keerukamad kui artiklis käsitletud. Mõnede murdude integreerimine.

Õige murdosa-ratsionaalfunktsiooni integreerimine

Kohe näide ja tüüpiline algoritm murdratsionaalfunktsiooni integraali lahendamiseks.

Näide 1

Samm 1. Esimene asi, mida me ALATI teeme ratsionaal-murdfunktsiooni integraali lahendamisel, on esitada järgmine küsimus: kas murd on õige? See samm tehakse suuliselt ja nüüd selgitan, kuidas:

Kõigepealt vaadake lugejat ja saate teada vanem kraad polünoom:

Lugeja suurim võimsus on kaks.

Vaata nüüd nimetajat ja saa teada vanem kraad nimetaja. Ilmselge viis on avada sulud ja tuua sarnased terminid, kuid saate seda teha lihtsamalt iga sulgudes leia kõrgeim aste

ja mõtteliselt korrutada: - seega on nimetaja kõrgeim aste võrdne kolmega. On üsna ilmne, et kui sulgud tõesti lahti teha, siis ei saa me kraadi võrra suuremat kui kolm.

Järeldus: Lugeja suurim võimsus RANGELT väiksem kui nimetaja suurim aste, siis on murd õige.

Kui selles näites sisaldaks lugeja polünoomi 3, 4, 5 jne. kraadi, siis oleks murdosa vale.

Nüüd käsitleme ainult õigeid murdosa-ratsionaalfunktsioone. Juhtu, kui lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, analüüsime tunni lõpus.

2. samm Faktoriseerime nimetaja. Vaatame oma nimetajat:

Üldiselt on siin juba tegu tegurite tulemus, kuid siiski küsime endalt: kas on võimalik midagi muud laiendada? Piinamise objektiks on loomulikult ruudukujuline kolmik. Lahendame ruutvõrrandi:

Diskriminant on suurem kui null, mis tähendab, et trinoom on tõepoolest faktoriseeritud:

Üldreegel: KÕIK, mida nimetajas VÕIB arvesse võtta – faktoriseerida

Alustame otsuse tegemist:

3. samm Määramatute koefitsientide meetodit kasutades laiendame integrandi liht(elementaar)murdude summaks. Nüüd saab asi selgemaks.

Vaatame meie integrandi funktsiooni:

Ja teate, kuidagi lipsab läbi intuitiivne mõte, et oleks tore meie suurest murdosast teha mitu väikest. Näiteks nii:

Tekib küsimus, kas seda on üldse võimalik teha? Hingame kergendatult, matemaatilise analüüsi vastav teoreem ütleb – ON VÕIMALIK. Selline lagunemine on olemas ja ainulaadne.

On ainult üks saak, koefitsiendid me hüvasti me ei tea, sellest ka nimi - määramatute koefitsientide meetod.

Arvasite ära, järgnevad žestid nii, ärge naerge! on suunatud lihtsalt nende ÕPPIMISELE – et teada saada, millega nad on võrdsed.

Olge ettevaatlik, ma selgitan üksikasjalikult üks kord!

Niisiis, alustame tantsimist:

Vasakul pool toome väljendi ühisele nimetajale:

Nüüd saame nimetajatest turvaliselt lahti (kuna need on samad):

Vasakul küljel avame sulud, samas kui me ei puuduta veel tundmatuid koefitsiente:

Samal ajal kordame polünoomide korrutamise koolireeglit. Õpetajaks saades õppisin seda reeglit sirge näoga ütlema: Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise polünoomi iga liikmega.

Selge selgituse seisukohalt on parem panna koefitsiendid sulgudesse (kuigi ma isiklikult ei tee seda kunagi aja säästmiseks):

Koostame lineaarvõrrandisüsteemi.
Esiteks otsime kõrgemaid kraade:

Ja me kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi esimesse võrrandisse:

Pidage meeles järgmist nüanssi. Mis juhtuks, kui õiget poolt poleks üldse olemas? Ütle, kas see näitaks lihtsalt ilma ruuduta? Sel juhul oleks süsteemi võrrandis vaja paremale panna null: . Miks null? Ja kuna paremal pool saab alati omistada just sellele ruudule nulliga: Kui paremal pool pole muutujaid või (ja) vaba liiget, siis paneme süsteemi vastavate võrrandite paremale küljele nullid.

Kirjutame vastavad koefitsiendid süsteemi teise võrrandisse:

Ja lõpuks, mineraalvesi, valime tasuta liikmed.

Ee, ma tegin nalja. Nali naljaks – matemaatika on tõsine teadus. Meie instituudirühmas ei naernud keegi, kui abiprofessor ütles, et ta ajab liikmed mööda arvurida laiali ja valib neist suurima. Olgem tõsised. Kuigi ... kes elab selle tunni lõpuni, naeratab ikka vaikselt.

Süsteem valmis:

Lahendame süsteemi:

(1) Esimesest võrrandist väljendame ja asendame selle süsteemi 2. ja 3. võrrandiga. Tegelikult oli võimalik väljendada (või mõnda muud tähte) teisest võrrandist, kuid sel juhul on kasulik seda väljendada 1. võrrandist, kuna seal väikseim koefitsient.

(2) Esitame sarnased terminid 2. ja 3. võrrandis.

(3) Liidame 2. ja 3. võrrandi liikme kaupa, saades samas võrdsuse , millest järeldub, et

(4) Asendame teise (või kolmanda) võrrandiga, millest leiame selle

(5) Asendame ja esimesse võrrandisse, saades .

Kui teil on raskusi süsteemi lahendamise meetoditega, töötage need klassis läbi. Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?

Peale süsteemi lahendamist on alati kasulik teha kontroll – asendada leitud väärtused igas süsteemi võrrand, mille tulemusena peaks kõik "koonduma".

Peaaegu saabunud. Leitakse koefitsiendid, samas kui:

Puhas töö peaks välja nägema umbes selline:

Nagu näha, oli ülesande peamiseks raskuseks lineaarvõrrandisüsteemi koostamine (õigesti!) ja (õigesti!) lahendamine. Ja viimases etapis pole kõik nii keeruline: kasutame määramatu integraali lineaarsuse omadusi ja integreerime. Juhin teie tähelepanu asjaolule, et kõigi kolme integraali all on meil "tasuta" kompleksfunktsioon, rääkisin õppetunnis selle integreerimise omadustest. Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.

Kontrollige: eristage vastust:

Saadi algne integrand, mis tähendab, et integraal leiti õigesti.
Kontrollimise käigus oli vaja avaldis ühisele nimetajale tuua ja see pole juhuslik. Määramatute koefitsientide meetod ja avaldise viimine ühisele nimetajale on vastastikku pöördtoimingud.

Näide 2

Leidke määramatu integraal.

Tuleme tagasi esimese näite murdosa juurde: . On lihtne näha, et nimetajas on kõik tegurid ERINEVAD. Tekib küsimus, mida teha, kui on antud näiteks selline murd: ? Siin on nimetajas kraadid ehk matemaatilises mõttes mitu tegurit. Lisaks on veel lagunematu ruuttrinoom (lihtne on kontrollida, et võrrandi diskriminant on negatiivne, seega ei saa trinoomi mingil viisil arvesse võtta). Mida teha? Laienemine elementaarmurdude summaks näeb välja selline tundmatute koefitsientidega üleval või muul viisil?

Näide 3

Esitage funktsioon

Samm 1. Kontrollime, kas meil on õige murd
Lugeja suurim võimsus: 2
Suurim nimetaja: 8
, seega on murd õige.

2. samm Kas nimetajas saab midagi arvesse võtta? Ilmselgelt mitte, kõik on juba paika pandud. Ruuttrinoom ei laiene ülaltoodud põhjustel tooteks. Hea. Vähem tööd.

3. samm Esitagem murdratsionaalfunktsiooni elementaarmurdude summana.
Sel juhul on lagunemisel järgmine vorm:

Vaatame oma nimetajat:
Murd-ratsionaalfunktsiooni jagamisel elementaarmurdude summaks saab eristada kolme põhipunkti:

1) Kui nimetaja sisaldab esimesel astmel "üksik" tegurit (meie puhul), siis paneme ülaossa määramatu koefitsiendi (meie puhul). Näited nr 1,2 koosnesid ainult sellistest "üksikutest" teguritest.

2) Kui nimetaja sisaldab mitmekordne kordaja, siis peate lagunema järgmiselt:
- see tähendab järjestikku kõiki "x" astmeid esimesest n-nda astmeni. Meie näites on kaks mitut tegurit: ja , vaadake uuesti minu esitatud lagunemist ja veenduge, et need lagunevad täpselt selle reegli järgi.

3) Kui nimetaja sisaldab teise astme lagunematut polünoomi (meie puhul ), siis lugejas laiendamisel tuleb kirjutada määramatute kordajatega lineaarfunktsioon (meie puhul määramata koefitsientidega ja ).

Tegelikult on ka 4. juhtum, kuid ma vaikin sellest, kuna praktikas on see äärmiselt haruldane.

Näide 4

Esitage funktsioon tundmatute koefitsientidega elementaarmurdude summana.

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.
Järgige täpselt algoritmi!

Kui olete välja mõelnud põhimõtted, mille järgi peate murdosa-ratsionaalfunktsiooni summaks lagundama, saate murda peaaegu iga vaadeldava tüübi integraali.

Näide 5

Leidke määramatu integraal.

Samm 1. Ilmselgelt on murd õige:

2. samm Kas nimetajas saab midagi arvesse võtta? Saab. Siin on kuubikute summa . Nimetaja faktoriseerimine lühendatud korrutamisvalemi abil

3. samm Määramatute koefitsientide meetodit kasutades laiendame integrandi elementaarmurdude summaks:

Pange tähele, et polünoom on lagunematu (kontrollige, et diskriminant oleks negatiivne), nii et ülaosas asetame tundmatute koefitsientidega lineaarfunktsiooni, mitte ainult ühe tähe.

Toome murdosa ühise nimetajani:

Loome ja lahendame süsteemi:

(1) Esimesest võrrandist lähtudes väljendame ja asendame süsteemi teise võrrandiga (see on kõige ratsionaalsem viis).

(2) Esitame sarnased terminid teises võrrandis.

(3) Liidame liikme kaupa süsteemi teise ja kolmanda võrrandi.

Kõik edasised arvutused on põhimõtteliselt suulised, kuna süsteem on lihtne.

(1) Murdude summa kirjutame üles vastavalt leitud koefitsientidele .

(2) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadusi. Mis juhtus teises integraalis? Selle meetodi leiate õppetunni viimasest lõigust. Mõnede murdude integreerimine.

(3) Taas kasutame lineaarsuse omadusi. Kolmandas integraalis hakkame valima täisruutu (tunni eelviimane lõik Mõnede murdude integreerimine).

(4) Võtame teise integraali, kolmandas valime täisruudu.

(5) Võtame kolmanda integraali. Valmis.

BASHKORTO STANI VABARIIGI TEADUS- JA HARIDUSMINISTEERIUM

GAOU SPO Baškiiri arhitektuuri- ja tsiviilehituskolledž

Khaliullin Askhat Adelzyanovitš,

matemaatika õpetaja baškiiri

Arhitektuuri ja tsiviilehituse kolledž

UFA

2014. aasta

Sissejuhatus _________________________________________________________3

Peatükk ma Määratlemata koefitsientide meetodi kasutamise teoreetilised aspektid ____________________________________________________4

Peatükk II. Otsige lahendusi polünoomidega seotud ülesannetele määramata kordajate meetodil ________________________________7

2.1. Polünoomi faktoriseerimine _________________________ 7

2.2. Ülesanded parameetritega___________________________________________ 10

2.3. Võrrandite lahendamine __________________________________________14

2.4. Funktsionaalvõrrandid ______________________________________19

Järeldus__________________________________________________________________23

Kasutatud kirjanduse loetelu _________________________________24

Rakendus ________________________________________________25

Sissejuhatus.

Käesolev töö on pühendatud ebamääraste koefitsientide meetodi koolimatemaatikakursusesse juurutamise teoreetilistele ja praktilistele aspektidele. Selle teema asjakohasuse määravad järgmised asjaolud.

Keegi ei vaidle vastu sellele, et matemaatika kui teadus ei seisa ühes kohas, see areneb kogu aeg, ilmuvad uued keerukamad ülesanded, mis sageli põhjustab teatud raskusi, kuna need ülesanded on tavaliselt seotud uurimistööga. Viimastel aastatel on selliseid ülesandeid välja pakutud kooli-, rajooni- ja vabariiklikel matemaatikaolümpiaadidel, need on saadaval ka USE versioonides. Seetõttu oli vaja spetsiaalset meetodit, mis võimaldaks vähemalt osa neist kõige kiiremini, tõhusamalt ja soodsamalt lahendada. Käesolevas töös on arusaadavalt esitatud määramatute koefitsientide meetodi sisu, mida kasutatakse laialdaselt väga erinevates matemaatika valdkondades, alates üldhariduskooli õppekavasse kuuluvatest küsimustest kuni selle kõige arenenumate osadeni. Eriti huvitavad ja tõhusad on määramatute koefitsientide meetodi rakendused parameetrite, murdratsionaal- ja funktsionaalvõrranditega seotud ülesannete lahendamisel; need võivad kergesti huvitada kõiki matemaatikahuvilisi. Kavandatava töö ja probleemide valiku põhieesmärk on pakkuda avaraid võimalusi lühi- ja ebastandardsete lahenduste leidmise oskuse lihvimiseks ja arendamiseks.

See töö koosneb kahest peatükist. Esimene käsitleb kasutamise teoreetilisi aspekte

ebakindlate koefitsientide meetod, teises - sellise kasutamise praktilised ja metoodilised aspektid.

Töö lisas on konkreetsete ülesannete tingimused iseseisvaks lahendamiseks.

Peatükk ma . Kasutamise teoreetilised aspektid määramatute koefitsientide meetod

"Inimene ... sündis meistriks,

peremees, looduse kuningas, kuid tarkus,

millega ta peaks valitsema, pole talle antud

sünnist saadik: see omandatakse õppimise teel"

N. I. Lobatševski

Ülesannete lahendamiseks on erinevaid viise ja meetodeid, kuid üks mugavamaid, tõhusamaid, originaalsemaid, elegantsemaid ja samas väga lihtsaid ja kõigile arusaadavaid on määramatute koefitsientide meetod. Määramatute kordajate meetod on matemaatikas kasutatav meetod avaldiste kordajate leidmiseks, mille vorm on ette teada.

Enne määramatute koefitsientide meetodi kasutamist erinevate probleemide lahendamisel esitame hulga teoreetilist teavet.

Las need antakse

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polünoomid suhtes X mis tahes suhtega.

Teoreem. Kaks polünoomi sõltuvalt ühest ja samast argumendist on identselt võrdsed siis ja ainult siisn = m ja nende vastavad koefitsiendid ona 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m ja t. d.

Ilmselgelt võetakse kõigi väärtuste jaoks võrdsed polünoomid X samad väärtused. Ja vastupidi, kui kahe polünoomi väärtused on kõigi väärtuste jaoks võrdsed X, siis polünoomid on võrdsed, st nende koefitsiendid on samadel astmetelX vaste.

Seetõttu on ülesannete lahendamisel määramatute koefitsientide meetodi rakendamise idee järgmine.

Anname teada, et mõne teisenduse tulemusena saadakse kindla kujuga avaldis ja ainult koefitsiendid selles avaldises on teadmata. Seejärel tähistatakse neid koefitsiente tähtedega ja loetakse tundmatuks. Seejärel koostatakse nende tundmatute määramiseks võrrandisüsteem.

Näiteks polünoomide puhul moodustatakse need võrrandid samade astmete koefitsientide võrdsuse tingimusest X kahe võrdse polünoomi jaoks.

Näitame ülaltoodut järgmiste konkreetsete näidetega ja alustame kõige lihtsamast.

Nii näiteks teoreetiliste kaalutluste põhjal murdosa

saab esitada summana

, kus a , b ja c - määratavad koefitsiendid. Nende leidmiseks võrdsustame teise avaldise esimesega:

=

ja nimetajast vabanemine ja vasakule samade volitustega terminite kogumine X, saame:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Kuna viimane võrdsus peab kehtima kõigi väärtuste puhul X, siis samadel astmetel olevad koefitsiendidX parem ja vasak peaksid olema samad. Seega saadakse kolme tundmatu koefitsiendi määramiseks kolm võrrandit:

a+b+c = 2

b - c = - 5

a= 1, kust a = 1 , b = - 2 , c = 3

Järelikult

=
,

selle võrdsuse kehtivust on lihtne otse kontrollida.

Kujutagem ette ka murdosa

nagu a + b
+ c
+ d
, kus a , b , c ja d- tundmatud ratsionaalsed koefitsiendid. Võrdlege teine ​​avaldis esimesega:

a + b
+ c
+ d
=
või, nimetajast lahti saades, võimalusel juurte märkide alt välja võttes ratsionaalsed tegurid ja tuues samasugused terminid vasakule poole, saame:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b-c + d )
= 1 +
-
.

Kuid selline võrdsus on võimalik ainult juhul, kui mõlema osa ratsionaalsed liikmed ja samade radikaalide koefitsiendid on võrdsed. Seega saadakse tundmatute koefitsientide leidmiseks neli võrrandit a , b , c ja d :

a- 2b + 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, kust a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , see tähendab
= -
+
.

II peatükk. Otsige lahendusi polünoomide probleemidele määramatute koefitsientide meetod.

“Subjekti assimilatsioonile ei aita kaasa miski

kuidas temaga erinevates olukordades käituda"

Akadeemik B. V. Gnedenko

2. 1. Polünoomi lagundamine teguriteks.

Polünoomide faktoringu meetodid:

1) ühisteguri väljavõtmine sulgudest 2) rühmitamise meetod; 3) põhiliste korrutusvalemite rakendamine; 4) abiterminite sissetoomine 5) antud polünoomi eelteisendus erinevate valemite abil; 6) laiendamine antud polünoomi juurte leidmise teel; 7) parameetrite sisestamise meetod; 8) määramatute koefitsientide meetod.

Ülesanne 1. Jagage polünoom reaalteguriteks X 4 + X 2 + 1 .

Lahendus. Selle polünoomi vaba liikme jagajate hulgas pole juuri. Me ei leia polünoomi juuri muude elementaarsete vahenditega. Seetõttu ei ole võimalik vajalikku laiendust sooritada, leides esmalt selle polünoomi juured. Üle jääb probleemile lahendust otsida kas abiterminite kasutuselevõtuga või määramatute koefitsientide meetodil. See on ilmne X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Saadud ruuttrinoomidel pole juuri ja seetõttu ei saa neid reaalseteks lineaarseteks teguriteks lagundada.

Kirjeldatud meetod on tehniliselt lihtne, kuid selle kunstlikkuse tõttu raske. Tõepoolest, nõutavaid abitermineid on väga raske välja mõelda. Ainult oletus aitas meil seda lagunemist leida. Aga

Selliste probleemide lahendamiseks on usaldusväärsemaid viise.

Võiks toimida järgmiselt: oletame, et antud polünoom laieneb korrutiseks

(X 2 + a X + b )(X 2 + c X + d )

kaks täisarvu koefitsientidega ruuttrinomaali.

Seega saame selle

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + a X + b )(X 2 + c X + d )

Jääb üle määrata koefitsiendida , b , c ja d .

Korrutades viimase võrrandi paremal poolel olevad polünoomid, saame:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + a c + d ) X 2 + (reklaam + eKr ) x + bd .

Kuid kuna me vajame selle võrdsuse paremat külge, et muutuda samaks polünoomiks, mis on vasakpoolsel küljel, peame järgima järgmisi tingimusi:

a + c = 0

b + a c + d = 1

reklaam + eKr = 0

bd = 1 .

Tulemuseks on neljast võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatugaa , b , c ja d . Sellest süsteemist on koefitsiente lihtne leidaa = 1 , b = 1 , c = -1 ja d = 1.

Nüüd on probleem täielikult lahendatud. Saime:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Ülesanne 2. Jagage polünoom reaalteguriteks X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Lahendus. Esitame seda polünoomi kujul

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + a )(X 2 + bx + c), kus a , b ja Koos - veel kindlaks määramata koefitsiendid. Kuna kaks polünoomi on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui koefitsiendid on samadel astmetelX on siis võrdsed, võrdsustades koefitsiendid vastavalt atX 2 , X ja vabad terminid, saame kolmest võrrandist koosneva süsteemi kolme tundmatuga:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Selle süsteemi lahendus on oluliselt lihtsustatud, kui võtta arvesse, et arv 3 (vaba liikme jagaja) on selle võrrandi juur ja seetõttua = - 3 ,

b = - 3 ja Koos = 5 .

Siis X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Kasutatud määramatute koefitsientide meetod, võrreldes ülaltoodud abiterminite sisseviimise meetodiga, ei sisalda midagi kunstlikku, kuid teisalt eeldab paljude teoreetiliste sätete rakendamist ja sellega kaasnevad küllaltki mahukad arvutused. Kõrgema astme polünoomide puhul viib see määramatute koefitsientide meetod tülikate võrrandisüsteemideni.

2.2 Ülesanded ja parameetritega.

Viimastel aastatel on USE variantides välja pakutud parameetritega ülesandeid. Nende lahendus tekitab sageli teatud raskusi. Parameetritega seotud ülesannete lahendamisel on võimalik koos teiste meetoditega efektiivselt rakendada määramatute koefitsientide meetodit. Just see meetod muudab nende lahendamise ja kiire vastuse saamise palju lihtsamaks.

Ülesanne 3. Määrake parameetri väärtuste juures a võrrand 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = 0 on täpselt kaks juurt.

Lahendus. 1 viis. Tuletise abil.

Esitame seda võrrandit kahe funktsiooni kujul

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – a .

f (x) = 2x3-3 X 2 – 36 X– 3 ja φ( X ) = – a .

Funktsiooni uuriminef (x) = 2x3-3 X 2 – 36 X - 3 tuletise abil ja koostage selle graafik skemaatiliselt (joonis 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funktsioon pole paaris ega paaritu.

3. Leia funktsiooni kriitilised punktid, selle suurenemise ja kahanemise intervallid, äärmused. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , seega leiame kõik funktsiooni kriitilised punktid võrrandi lahendamisega f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 teoreemi järgi vastupidi Vieta teoreemile.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 kõigi jaoks X< – 2 ja X > 3 ja funktsioon on punktides pidevx =– 2 ja X = 3, seega suureneb see igal intervallil (- ; - 2] ja [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 ja 2 < X< 3, seega väheneb see intervalliga [- 2; 3 ].

X = - 2 maksimumpunkti, sest siinkohal muutub tuletise märk"+" asemel "-".

f (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 on miinimumpunkt, kuna selles punktis muutub tuletise märk"-" asemel "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Funktsiooni φ( graafikX ) = – a on x-teljega paralleelne sirgjoon, mis läbib punkti koordinaatidega (0; – a ). Graafikutel on kaks ühist punkti –a= 41, s.o. a =- 41 ja - a= - 84, s.o. a = 84 .

juures

41 φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 moodi. Ebakindlate koefitsientide meetod.

Kuna ülesande tingimuse kohaselt peaks sellel võrrandil olema ainult kaks juurt, on võrdsuse täitumine ilmne:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 eKr ) x + b 2 c ,

Nüüd võrdsustades koefitsiendid samadel astmetel X, saame võrrandisüsteemi

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc=- 36

b 2 c = a – 3 .

Süsteemi kahest esimesest võrrandist leiameb 2 + b – 6 = 0, kust b 1 = - 3 või b 2 = 2. Vastavad väärtusedKoos 1 ja Koos 2 seda on lihtne leida süsteemi esimesest võrrandist:Koos 1 = 9 või Koos 2 = - 11 . Lõpuks saab parameetri soovitud väärtuse määrata süsteemi viimasest võrrandist:

a = b 2 c + 3 , a 1 = -41 või a 2 = 84.

Vastus: sellel võrrandil on täpselt kaks erinevat

juur at a= - 41 ja a= 84 .

Ülesanne 4. Leidke parameetri suurim väärtusa , mille jaoks võrrandX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

täisarvu koefitsientidega on kolm erinevat juurt, millest üks on -2 .

Lahendus. 1 viis. Asendamine X= - 2 võrrandi vasakule küljele, saame

8 + 20 – 2 a + b= 0, mis tähendab b = 2 a – 12 .

Kuna arv - 2 on juur, võite ühisteguri välja võtta X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Tingimuse järgi on võrrandil veel kaks juurt. Seega on teise teguri diskrimineerija positiivne.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, see tähendab a < 8,25 .

Näib, et vastus oleks a = kaheksa . Kuid kui asendada algses võrrandis number 8, saame:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

see tähendab, et võrrandil on ainult kaks erinevat juurt. Aga kl a = 7 saab tõesti kolm erinevat juurt.

2 moodi. Määramatute koefitsientide meetod.

Kui võrrand X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0-l on juur X = - 2, siis saate alati numbreid validac ja d nii et kõigileX võrdsus oli tõsi

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Koos x + d ).

Numbrite leidmiseksc ja d ava parempoolsed sulud, anna sarnased terminid ja saad

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Koos ) X 2 +(2 koos + d ) X + 2 d

Koefitsientide võrdsustamine vastavatel astmetel X meil on süsteem

2 + Koos = 5

2 Koos + d = a

2 d = b , kus c = 3 .

Järelikult X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 või

d < 2.25, nii d (- ; 2 ].

Probleemi tingimus on täidetud väärtusega d = üks . Parameetri soovitud lõplik väärtusa = 7.

A n e t: millal a = 7 sellel võrrandil on kolm erinevat juurt.

2.3. Võrrandite lahendus.

"Pidage meeles, et kui lahendate väikseid probleeme, siis sina

valmistuge suurte ja raskete lahendamiseks

ülesanded."

Akadeemik S.L.Sobolev

Mõne võrrandi lahendamisel on võimalik ja vajalik üles näidata leidlikkust ja vaimukust, rakendada spetsiaalseid võtteid. Matemaatikas on suure tähtsusega erinevate teisendusmeetodite omamine ja loogilise arutlemise oskus. Üks neist nippidest on mõne hästi valitud avaldise või arvu liitmine ja lahutamine. Väljatoodud tõsiasi ise on muidugi kõigile hästi teada - peamiseks raskuseks on näha konkreetses konfiguratsioonis neid võrrandite teisendusi, millele on mugav ja otstarbekas seda rakendada.

Lihtsal algebralisel võrrandil illustreerime üht mittestandardset meetodit võrrandite lahendamiseks.

Ülesanne 5. Lahenda võrrand

=
.

Lahendus. Korrutage selle võrrandi mõlemad pooled 5-ga ja kirjutage ümber järgmiselt

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 või
= 0

Lahendame saadud võrrandid määramata kordajate meetodil

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + a c + d ) X 2 + (reklaam + eKr ) x++ bd

Koefitsientide võrdsustamine juures X 3 , X 2 , X ja tasuta tingimused, saame süsteemi

a + c = -1

b + a c + d = 0

reklaam + eKr = -7

bd = -3 , kust leiame:a = -2 ; b = - 1 ;

Koos = 1 ; d = 3 .

Niisiis X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 või X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
pole juuri.

Samamoodi on meil

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

kus X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Vastus: X 1,2 =

Ülesanne 6. Lahenda võrrand

= 10.

Lahendus. Selle võrrandi lahendamiseks on vaja valida arvuda ja b nii et mõlema murru lugejad on samad. Seetõttu on meil süsteem:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Seega on ülesandeks numbrid üles korjataa ja b , mille jaoks võrdsus

(a + 6) X 2 + ah- 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Nüüd on polünoomide võrdsuse teoreemi kohaselt vajalik, et selle võrrandi parem pool muutuks samaks polünoomiks, mis on vasakul.

Teisisõnu, suhted peavad püsima

a + 6 = 1

a = 5 + 2 b

– 5 = b , millest leiame väärtuseda = - 5 ;

b = - 5 .

Nende väärtustegaa ja b võrdsus a + b = - 10 kehtib ka.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 või X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Vastus: X 1,2 =
, X 3,4 =

Ülesanne 7. Lahenda võrrand

= 4

Lahendus. See võrrand on eelnevatest keerulisem ja seetõttu rühmitame selle nii, et X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Kahe polünoomi võrdsuse tingimusest

Oh 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

saame ja lahendame tundmatute kordajate võrrandisüsteemia ja b :

a = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , kus a = 1 , b = - 4 .

Polünoomid – 3–6X + cx 2 + 8 cx ja X 2 + 21 + 12 d – dx on üksteisega identsed ainult siis, kui

Koos = 1

8 Koos - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Koos = 1 , d = - 2 .

Väärtuste pärasta = 1 , b = - 4 , Koos = 1 , d = - 2

võrdsus
= - 4 on õiglane.

Selle tulemusena on see võrrand järgmine:

= 0 või
= 0 või
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Vaadeldavatest näidetest on selge, kuidas ebakindlate koefitsientide meetodi oskuslik kasutamine,

aitab lihtsustada üsna keerulise, ebatavalise võrrandi lahendust.

2.4. Funktsionaalvõrrandid.

"Matemaatika kõrgeim eesmärk ... koosneb

peidetud järjestuse leidmiseks

kaos, mis meid ümbritseb

N. Viiner

Funktsionaalvõrrandid on väga üldine võrrandite klass, milles mõni funktsioon on soovitud. Funktsionaalvõrrandi all mõistetakse selle sõna kitsamas tähenduses võrrandeid, milles soovitud funktsioonid seostatakse ühe või mitme muutuja teadaolevate funktsioonidega, kasutades kompleksfunktsiooni moodustamise operatsiooni. Funktsionaalvõrrandit võib pidada ka teatud funktsioonide klassi iseloomustava omaduse väljenduseks

[ näiteks funktsionaalvõrrand f ( x ) = f (- x ) iseloomustab paarisfunktsioonide klassi, funktsionaalset võrranditf (x + 1) = f (x ) on funktsioonide klass perioodiga 1 jne.].

Üks lihtsamaid funktsionaalseid võrrandeid on võrrandf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Selle funktsionaalse võrrandi pidevatel lahenditel on vorm

f (x ) = Cx . Kuid katkendlike funktsioonide klassis on sellel funktsionaalsel võrrandil ka teisi lahendusi. Vaadeldav funktsionaalvõrrand on ühendatud

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

pidevad lahendused, millel on vastavalt vorm

e cx , FROMlnx , x α (x > 0).

Seega saab neid funktsionaalseid võrrandeid kasutada eksponentsiaalsete, logaritmiliste ja võimsusfunktsioonide määratlemiseks.

Enim kasutatakse võrrandeid, mille keerulistes funktsioonides on soovitud välisfunktsioonid. Teoreetilised ja praktilised rakendused

just sellised võrrandid ajendasid silmapaistvaid matemaatikuid neid uurima.

Näiteks, juures joondus

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N. I. Lobatševskikasutatakse paralleelsuse nurga määramisel tema geomeetrias.

Viimastel aastatel pakutakse matemaatikaolümpiaadidel üsna sageli funktsionaalsete võrrandite lahendamisega seotud ülesandeid. Nende lahendus ei nõua teadmisi, mis väljuvad üldhariduskoolide matemaatika õppekava raamest. Funktsionaalvõrrandite lahendamine tekitab aga sageli teatud raskusi.

Üks funktsionaalvõrrandite lahenduste leidmise viise on määramatute koefitsientide meetod. Seda saab kasutada siis, kui võrrandi välimust saab kasutada soovitud funktsiooni üldkuju määramiseks. See kehtib ennekõike nende juhtumite kohta, mil võrrandite lahendusi tuleks otsida täis- või murdratsionaalfunktsioonide hulgast.

Selgitame selle tehnika olemust, lahendades järgmised probleemid.

Ülesanne 8. Funktsioonf (x ) on defineeritud kõigi reaalsete x-ide jaoks ja rahuldab kõikiX R tingimus

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Otsif (x ).

Lahendus. Kuna selle võrrandi vasakul küljel on sõltumatu muutuja x ja funktsiooni väärtusedf sooritatakse ainult lineaartehteid ja võrrandi parem pool on ruutfunktsioon, on loomulik eeldada, et soovitud funktsioon on samuti ruutfunktsioon:

f (X) = kirves 2 + bx + c , kusa, b, c – määratavad koefitsiendid ehk määramata koefitsiendid.

Asendades funktsiooni võrrandisse, jõuame identiteedini:

3(kirves 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

kirves 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Kaks polünoomi on identselt võrdsed, kui nad on võrdsed

koefitsiendid muutuja samadel astmetel:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Sellest süsteemist leiame koefitsiendid

a = 1 , b = - , c = , samutirahuldabvõrdsus

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 kõigi reaalarvude hulgal. Samas on olemasx 0 Ülesanne 9. Funktsioony=f(x) kõigi jaoks on x defineeritud, pidev ja vastab tingimuselef (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Leidke kaks sellist funktsiooni.

Lahendus. Soovitud funktsiooniga tehakse kaks toimingut - keeruka funktsiooni koostamise toiming ja

lahutamine. Arvestades, et võrrandi parem pool on lineaarne funktsioon, on loomulik eeldada, et soovitud funktsioon on samuti lineaarne:f(x) = kirves +b , kusa jab on määratlemata koefitsiendid. Selle funktsiooni asendaminef (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , mis on funktsionaalse võrrandi lahendidf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Järeldus.

Kokkuvõtteks tuleb märkida, et see töö aitab kindlasti kaasa originaalse ja tõhusa meetodi edasisele uurimisele erinevate matemaatikaülesannete lahendamiseks, mis on kõrgendatud raskusastmega ja nõuavad kooli matemaatikakursuse sügavaid teadmisi ja kõrget loogilist kultuuri. Kõik, kes soovivad oma matemaatikaalaseid teadmisi iseseisvalt süvendada, leiavad sellest tööst ka mõtisklusmaterjali ja huvitavaid ülesandeid, mille lahendamine toob kasu ja rahulolu.

Töös on olemasoleva kooli õppekava raames ja efektiivseks tajumiseks ligipääsetaval kujul välja toodud ebamääraste koefitsientide meetod, mis aitab kaasa koolimatemaatika kursuse süvenemisele.

Loomulikult ei saa ühes töös näidata kõiki määramatute koefitsientide meetodi võimalusi. Tegelikult nõuab meetod veel täiendavat uurimist ja uurimist.

Kasutatud kirjanduse loetelu.

Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis.-M.: Haridus, 1983.

Gomonov S.A. Funktsionaalvõrrandid matemaatika koolikursuses // Matemaatika koolis. - 2000. -№10 .

Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh.. Matemaatika käsiraamat.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Suvaliste kraadide algebralised võrrandid.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Elementaarne sissejuhatus funktsionaalsetesse võrranditesse. - Peterburi. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G. Matemaatikaterminite seletav sõnastik.-M.: Valgustus, 1971

Modenov V.P. Matemaatika käsiraamat. Peatükk 1.-M.: Moskva Riiklik Ülikool, 1977.

Modenov V.P. Probleemid parameetritega.-M.: Eksam, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra ja elementaarfunktsioonide analüüs.- M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Kergemini on võimalik lahendada // Matemaatika koolis. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Laienda polünoomi 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 täisarvu koefitsientidega kordajate puhul.

5. Millise väärtusega a X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 peale X+ 4 ?

6. Millise parameetri väärtuse juuresa võrrandX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 täisarvu koefitsientidega on kaks erinevat juurt, millest üks on võrdne 1-ga ?

7. Polünoomi juurte hulgas X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b täisarvu koefitsientidega on kolm võrdset täisarvu. Leidke väärtus b .

8. Leidke parameetri suurim täisarv a, mille alusel võrrand X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 täisarvu koefitsientidega on kolm erinevat juurt, millest üks on võrdne 2-ga.

9. Millistel väärtustel a ja b jagamine ilma jäägita X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b peal X 2 – 3X + 2 ?

10. Polünoomide faktoriseerimine:

a)X 4 + 2 X 2 – X + 2 sisse)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 e)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Lahendage võrrandid:

a)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Otsi f (X) .

13. Funktsioon juures= f (X) kõigi jaoks X on määratletud, pidev ja vastab tingimusele f ( f (X)) = f (X) + X. Leidke kaks sellist funktsiooni.

Meetod on rakendatav suvalise arvu muutujate loogikaalgebra funktsioonide minimeerimiseks.

Mõelge kolme muutuja juhtumile. Boole'i ​​funktsiooni DNF-is saab esitada kõigi võimalike konjunktiiviliikmete kujul, mida saab DNF-i kaasata:

kus kн(0,1) on koefitsiendid. Meetod seisneb koefitsientide valimises nii, et tulemuseks olev DNF oleks minimaalne.

Kui nüüd seame kõikvõimalikud muutujate väärtused 000 kuni 111, siis saame koefitsientide määramiseks 2 n (2 3 =8) võrrandit k:

Arvestades hulki, millel funktsioon võtab nullväärtuse, määrake koefitsiendid, mis on võrdsed 0-ga, ja kriipsutage need välja võrranditest, mille paremal pool on 1. Ülejäänud koefitsientidest igas võrrandis võrdsustatakse üks koefitsient ühtsusele, mis määrab väikseima auastme konjunktsiooni. Ülejäänud koefitsiendid võrdsustatakse 0-ga. Niisiis, ühikkoefitsiendid k määrata vastav miinimumvorm.

Näide. Minimeerige antud funktsioon

kui väärtused on teada:
;
;
;
;
;
;
;
.

Lahendus.

Pärast nullkoefitsientide kustutamist saame:

=1;

=1;

=1;

=1.

Võrdsusta koefitsiendi ühtsusega , mis vastab väikseima astme konjunktsioonile ja teisendab neli viimast võrrandit 1-ks ning esimeses võrrandis on soovitatav võrdsustada koefitsient 1-ga . Ülejäänud koefitsiendid on seatud väärtusele 0.

Vastus: selline minimeeritud funktsioon.

Tuleb märkida, et ebakindlate koefitsientide meetod on efektiivne, kui muutujate arv on väike ja ei ületa 5-6.

Mitmemõõtmeline kuup

Vaatleme funktsiooni graafilist esitust mitmemõõtmelise kuubi kujul. Iga tipp n-mõõtmelise kuubi saab panna vastavusse ühiku koostisosaga.

Märgistatud tippude alamhulk on vastendus n-Bole'i ​​funktsiooni mõõtmeline kuup n muutujad SDNF-is.

Funktsiooni kuvamiseks alates n DNF-is esitatud muutujate puhul on vaja luua vastavus selle miniterminite ja elementide vahel n- mõõtmetega kuup.

Miniterm (n-1)-koht
võib pidada kahe minitermi liimimise tulemuseks n-th järk, s.o.

=

peal n-mõõtmeline kuup, see vastab kahe tipu asendamisele, mis erinevad ainult koordinaatide väärtuste poolest X iühendades need tipud servaga (väidetavalt katab serv sellele langevad tipud).

Seega miniterminid ( n-1)-ndas järgus vastavad n-mõõtmelise kuubi servad.

Samamoodi miniterminite vastavus ( n-2)-nda järjekorra näod n-mõõtmeline kuup, millest igaüks katab nelja tippu (ja nelja serva).

Elemendid n-mõõtmeline kuup, mida iseloomustab S mõõtmisi nimetatakse S-kuubikud.

Nii et tipud on 0-kuubikud, servad on 1-kuubikud, tahud on 2-kuubikud ja nii edasi.

Kokkuvõtteks võime öelda, et miniterm ( n-S) funktsiooni DNF-i auaste n kuvatakse muutujad S-kuubik ja igaüks S-kuubik hõlmab kõiki neid madalama mõõtmega kuupe, mis on ühendatud ainult selle tippudega.

Näide. Joonisel fig. antud kaardistus

Siin miniterminid
ja
vastavad 1-kuubikutele ( S=3-2=1) ja minitermin X 3 kaardistatud 2 kuubiks ( S=3-1=2).

Niisiis, kõik DNF kaardid n-mõõtmeline kuubiku komplekt S-kuubikud, mis katavad kõik ühikute koostisosadele vastavad tipud (0-kuubik).

Koostisosad. Muutujate jaoks X 1 ,X 2 ,…X n väljendus
nimetatakse ühiku koostisosaks ja
- nulli koostisosa ( tähendab kumbagi , või ).

See ühtsuse komponent (null) muutub ühikuks (null) ainult ühe sellele vastava muutujaväärtuste komplektiga, mis saadakse, kui kõik muutujad võetakse võrdseks ühega (null) ja nende eitused - nulliga (üks). .

Näiteks: koostisüksus
vastab hulgale (1011) ja nullkomponendile
- komplekt (1001).

Kuna SD(K)NF on ühtsuse (null) koostisosade disjunktsioon (konjunktsioon), võib väita, et see esindab Boole'i ​​funktsiooni f(x 1 , x 2 ,…, x n) muutub üheks (nulliks) ainult muutujaväärtuste komplektide puhul x 1 , x 2 ,…, x n nendele koopiatele vastavad. Teistel komplektidel muutub see funktsioon väärtuseks 0 (üks).

Tõsi on ka vastupidine väide, mille kohta viis esitada valemina mis tahes tabeliga määratletud tõeväärtusfunktsioon.

Selleks on vaja kirjutada ühe (null) koostisosade disjunktsioonid (konjunktsioonid), mis vastavad muutujate väärtuste komplektidele, mille puhul funktsioon võtab väärtuse, mis on võrdne ühega (null).

Näiteks tabeliga antud funktsioon

vastama

Saadud avaldised saab loogika algebra omaduste põhjal teisendada teisele kujule.

Tõene on ka vastupidine väide: kui mõni seab S-kuubikud katab kõigi funktsiooni ühikuväärtustele vastavate tippude hulga, siis nendele vastava disjunktsiooni S-cubes of miniterms on antud funktsiooni avaldis DNF-is.

Räägitakse, et selline komplekt S-kuubikud (või neile vastavad miniterminid) moodustavad funktsiooni katte. Minimaalse vormi iha on intuitiivselt mõistetav sellise katte, numbri otsinguna S-mille kuubikud oleksid väiksemad ja nende mõõtmed S- rohkem. Minimaalsele kujule vastavat katet nimetatakse miinimumkatteks.

Näiteks funktsiooni jaoks juures=
katvus vastab mitte-minimaalsele vormile:

riis a) juures=,

a katted joonisel b) juures=
, riis c) juures=
minimaalne.

Riis. Funktsioonide katvus juures=:

a) mitteminimaalne; b), c) miinimum.

Funktsioonide kaardistamine on sisse lülitatud n-mõõtmeline selgelt ja lihtsalt n3. Neljamõõtmelist kuupi saab kujutada nii nagu on näidatud joonisel., mis kuvab nelja muutuja funktsioone ja selle minimaalset katvust, mis vastab avaldisele. juures=

Kasutades seda meetodit n>4 nõuab nii keerulisi konstruktsioone, et kaotab kõik oma eelised.