Esimese tuletise tähendus. Funktsiooni tuletis

Siin on kokkuvõtlik tabel teema uurimise mugavuse ja selguse huvides.

Püsivy=C Võimsusfunktsioon y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponentfunktsioony = x (a x)" = a x ln a Eelkõige siis, kuia = emeil on y = e x (e x)" = e x
logaritmiline funktsioon (log a x) " = 1 x ln a Eelkõige siis, kuia = emeil on y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonomeetrilised funktsioonid (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hüperboolsed funktsioonid (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analüüsime, kuidas antud tabeli valemid saadi, ehk teisisõnu tõestame tuletisvalemite tuletamist iga funktsioonitüübi jaoks.

Konstandi tuletis

Tõestus 1

Selle valemi tuletamiseks võtame aluseks funktsiooni tuletise definitsiooni punktis. Kasutame x 0 = x, kus x omandab mis tahes reaalarvu väärtuse või teisisõnu x on suvaline arv funktsiooni f (x) = C domeenist. Kirjutame funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks ∆ x → 0:

piir ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = piir ∆ x → 0 C - C ∆ x = piir ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Pange tähele, et avaldis 0 ∆ x jääb piirmärgi alla. See ei ole "null jagatud nulliga" määramatus, kuna lugeja ei sisalda mitte lõpmata väikest väärtust, vaid nulli. Teisisõnu, konstantse funktsiooni juurdekasv on alati null.

Seega on konstantse funktsiooni f (x) = C tuletis võrdne nulliga kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

Näide 1

Arvestades püsivaid funktsioone:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22, f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Lahendus

Kirjeldame antud tingimusi. Esimeses funktsioonis näeme naturaalarvu 3 tuletist. Järgmises näites peate võtma tuletise a, kus a- mis tahes reaalarv. Kolmas näide annab meile irratsionaalarvu 4 tuletise. 13 7 22 , neljas - nulli tuletis (null on täisarv). Lõpuks, viiendal juhul on meil ratsionaalse murru tuletis - 8 7 .

Vastus: antud funktsioonide tuletised on mistahes reaalarvude korral nullid x(kogu määratlusvaldkonnas)

f 1 " (x) = (3)" = 0, f 2 " (x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 " (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5" (x) = -8 7" = 0

Võimsusfunktsiooni tuletis

Pöördume astmefunktsiooni ja selle tuletise valemi poole, mis on kujul: (x p) " = p x p - 1, kus eksponent lk on suvaline reaalarv.

Tõestus 2

Siin on valemi tõestus, kui eksponendiks on naturaalarv: p = 1 , 2 , 3 , …

Jällegi tugineme tuletise definitsioonile. Kirjutame võimsusfunktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Lugeja avaldise lihtsustamiseks kasutame Newtoni binoomvalemit:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Sellel viisil:

(x p) " = piir ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p ( ∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Niisiis tõestasime astmefunktsiooni tuletise valemit, kui eksponendiks on naturaalarv.

Tõestus 3

Et anda tõestust juhuks, kui p- mis tahes reaalarv peale nulli, kasutame logaritmilist tuletist (siin peaksime mõistma erinevust logaritmilise funktsiooni tuletisest). Täielikumaks arusaamiseks on soovitav uurida logaritmilise funktsiooni tuletist ning lisaks käsitleda kaudselt antud funktsiooni tuletist ja kompleksfunktsiooni tuletist.

Mõelge kahele juhtumile: millal x positiivne ja millal x on negatiivsed.

Seega x > 0. Siis: x p > 0 . Võtame võrdsuse y \u003d x p logaritmi alusele e ja rakendame logaritmi omadust:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Selles etapis on saadud kaudselt määratletud funktsioon. Määratleme selle tuletise:

(ln y) " = (p ln x) 1 a y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Nüüd käsitleme juhtumit, kui x- negatiivne arv.

Kui indikaator lk on paarisarv, siis on x jaoks defineeritud ka võimsusfunktsioon< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Siis xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Kui a lk on paaritu arv, siis on x jaoks defineeritud võimsusfunktsioon< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x) ) p - 1 = p x p - 1

Viimane üleminek on võimalik, sest kui lk on siis paaritu arv p - 1 kas paarisarv või null (p = 1 puhul), seega negatiivne x võrdus (- x) p - 1 = x p - 1 on tõene.

Niisiis, oleme tõestanud astmefunktsiooni tuletise valemi mis tahes reaalse p jaoks.

Näide 2

Antud funktsioonid:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Määrake nende tuletised.

Lahendus

Osa antud funktsioonidest teisendame astme omaduste põhjal tabelikujuliseks y = x p ja kasutame seejärel valemit:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Eksponentfunktsiooni tuletis

Tõestus 4

Tuletame tuletise valemi definitsiooni põhjal:

(a x) " = piir ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Meil tekkis ebakindlus. Selle laiendamiseks kirjutame uue muutuja z = a ∆ x - 1 (z → 0 kui ∆ x → 0). Sel juhul a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Viimase ülemineku jaoks kasutatakse logaritmi uuele alusele ülemineku valemit.

Tehkem asendus algses limiidis:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Tuletame meelde teist imelist piiri ja siis saame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemi:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Näide 3

Eksponentfunktsioonid on antud:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Peame leidma nende tuletised.

Lahendus

Kasutame eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmi omaduste tuletise valemit:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Tõestus 5

Esitame mis tahes logaritmilise funktsiooni tuletise valemi tõestuse x määratluspiirkonnas ja logaritmi aluse a kehtivad väärtused. Tuletise definitsiooni põhjal saame:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = piir ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x ∆ x x ∆ ∆ x → 0 1 x log a x 1 + ∆ x x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Määratletud võrduste ahelast on näha, et teisendused ehitati üles logaritmi omaduse alusel. Võrdsuslim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e on tõene vastavalt teisele tähelepanuväärsele piirile.

Näide 4

Logaritmilised funktsioonid on antud:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

On vaja arvutada nende tuletised.

Lahendus

Rakendame tuletatud valemit:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Seega jagatakse naturaallogaritmi tuletis ühega x.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Tõestus 6

Trigonomeetrilise funktsiooni tuletise valemi tuletamiseks kasutame mõningaid trigonomeetrilisi valemeid ja esimest imelist piiri.

Siinusfunktsiooni tuletise definitsiooni kohaselt saame:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Siinuste erinevuse valem võimaldab meil teha järgmisi toiminguid:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Lõpuks kasutame esimest imelist piiri:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Seega funktsiooni tuletis sin x saab cos x.

Samamoodi tõestame ka koosinustuletise valemit:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Need. funktsiooni cos x tuletis on – sin x.

Tuletame puutuja ja kotangensi tuletiste valemid lähtudes diferentseerimisreeglitest:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide tuletised

Pöördfunktsioonide tuletise osa annab põhjalikku teavet arsiini, arkosiini, arktangendi ja arkotangensi tuletiste valemite tõestamise kohta, seega me materjali siin ei dubleeri.

Hüperboolsete funktsioonide tuletised

Tõestus 7

Hüperboolse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tuletistele saame tuletada valemeid, kasutades diferentseerimisreeglit ja eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemit:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Saab sildist välja võtta tuletis:

(af(x)"=af" (x).

Näiteks:

Algebralise summa tuletis mitu funktsiooni (võetuna konstantse arvuna) võrdub nende algebralise summaga derivaadid:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Näiteks:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( tuletis viimane tähtaeg võrrand on null).

Kui a funktsiooni tuletis g on nullist erinev, siis on ka suhe f/g lõplik tuletis. Selle omaduse saab kirjutada järgmiselt:

.

Lase funktsioonid y = f(x) ja y = g(x) on lõplikud tuletised punktis x 0 . Siis funktsioonid f ± g ja f g on samuti olemas lõplikud tuletised sisse see punkt. Siis saame:

(f ± g) ′ = f ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Lase funktsiooni y = f(x) on lõplik tuletis punktis x 0, funktsioonil z = s(y) on punktis y 0 = f(x 0) lõplik tuletis.

Siis keeruline funktsioon z = s (f(x)) omab selles punktis samuti lõplikku tuletist. Selle saab kirjutada kujul:

.

Pöördfunktsiooni tuletis.

Olgu funktsioonil y = f(x) olemas pöördfunktsioon x = g(y) mõnel intervall(a, b) ja on olemas nullist erinev lõplik tuletis see funktsioon punktis x 0 , mis kuulub domeenid, st. x 0 ∈ (a, b).

Siis pöördfunktsioon Sellel on tuletis punktis y 0 = f(x 0):

.

Implitsiitse funktsiooni tuletis.

Kui a funktsiooni y = f(x) on kaudselt defineeritud võrrand F(x, y(x)) = 0, siis selle tuletis leitakse tingimusest:

.

Nad ütlevad seda funktsiooni y = f(x) vaikimisi seatud, Kui ta identselt rahuldab seost:

kus F(x, y) on mingi kahe argumendi funktsioon.

Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis.

Kui a funktsiooni y = f(x) on antud parameetriliselt, kasutades vaadeldavat

Funktsiooni tuletis on kooli õppekavas üks raskemaid teemasid. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluse matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Milline neist kasvab teie arvates kõige kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Näete graafikul kõike kohe, eks? Kostja sissetulek on kuue kuuga enam kui kahekordistunud. Ja Grisha sissetulek ka kasvas, kuid ainult natuke. Ja Matthew sissetulek vähenes nulli. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, s.o. tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulu tuletis on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt saame hõlpsasti hinnata funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

Me tegelikult vaatame seda, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub x-iga. Ilmselgelt võib sama funktsioon erinevates punktides omada erinevat tuletise väärtust – see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame, kuidas graafiku abil leida.

Joonistatakse mingi funktsiooni graafik. Võtke sellel abstsissiga punkt. Joonistage selles punktis funktsiooni graafikule puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja kalde puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalde puutujaga.

Pange tähele - puutuja kaldenurgana võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainus ühine punkt selles jaotises oleva graafikuga, nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Peame meeles, et täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on võrdne vastasjala suhtega külgnevasse. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid ülesandeid leidub matemaatika eksamil sageli numbri all.

On veel üks oluline seos. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu, tuletis on võrdne puutuja kalde puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võib erinevates punktides olla erinev tuletis. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti tõmmatud graafiku puutuja moodustab telje positiivse suunaga teravnurga. Seega on tuletis punktis positiivne.

Hetkel meie funktsioon väheneb. Selles punktis olev puutuja moodustab telje positiivse suunaga nürinurga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Ja mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et (maksimumipunktis) ja (minimaalses punktis) puutuja on horisontaalne. Seetõttu on puutuja kalde puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt on maksimumpunkt. Siinkohal asendub funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti võrdne nulliga, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saate funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon kasvab.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon on kahanev.

Maksimaalses punktis on tuletis null ja muudab märgi plussist miinusesse.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi miinusest plussiks.

Kirjutame need leiud tabeli kujul:

	suureneb	maksimaalne punkt	väheneb	miinimumpunkt	suureneb
+	0	-	0	+

Teeme kaks väikest täpsustust. Ühte neist läheb sul vaja eksamiülesannete lahendamisel. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik on juhtum, kui funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes – ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu - see on jäänud positiivseks, nagu ta oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas aga leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib see

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui pole teadmisi tuletise ja selle arvutamise meetodite kohta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid vaatleme pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vaheargument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks käsitleme esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Proovisime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui see kõlab, seega olge ettevaatlik: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.