Lihtsalt. Valemite järgi ja selge lihtsad reeglid. Esimesel etapil

vajalik antud võrrand viia standardvaade, st. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema. Kõige tähtsam on õige

määrake kõik koefitsiendid a, b ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem.

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv . Nagu näete, et leida x, me

kasutada ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid alates ruutvõrrand. Lihtsalt sisestage ettevaatlikult

väärtused a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendage nende märgid!

näiteks, võrrandis:

a =1; b = 3; c = -4.

Asendage väärtused ja kirjutage:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b ja koos. Pigem asendamisega

negatiivsed väärtused juurte arvutamise valemisse. Siin salvestab üksikasjalik valem

koos konkreetsed numbrid. Kui on probleeme arvutustega, tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Värvime kõike üksikasjalikult, hoolikalt, ilma kõigi märkide ja sulgudega midagi vahele jätmata:

Sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Võtke nüüd teadmiseks praktilisi tehnikaid mis vähendab oluliselt vigade arvu.

Esimene vastuvõtt. Ära ole enne laisk ruutvõrrandi lahendamine viige see standardvormi.

Mida see tähendab?

Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c.

Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Vabane miinusest. Kuidas? Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskrimineerija ja täiendada näidet.

Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Kõrval Vieta teoreem.

Antud ruutvõrrandite lahendamiseks, s.o. kui koefitsient

x2+bx+c=0,

siisx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Täieliku ruutvõrrandi jaoks, milles a≠1:

x 2+bx+c=0,

jagage kogu võrrand arvuga a:

→ →

kus x 1 ja x 2 - võrrandi juured.

Vastuvõtt kolmas. Kui teie võrrandis on murdosa koefitsiendid, - murdudest lahti! Korrutada

võrrand jaoks ühine nimetaja.

Järeldus. Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle õige.

2. Kui ruudus x ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle kõik korrutades

võrrandid -1 jaoks.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, elimineerime murdarvud korrutades kogu võrrandi vastavaga

faktor.

4. Kui x ruudus on puhas, siis koefitsient sellel võrdne ühega, saab lahendust hõlpsasti kontrollida

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. üks

1 Vallaeelarve haridusasutus keskmine üldhariduslik kool № 11

Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Ruutvõrrandite ajalugu

Babülon

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis iidsetel aegadel vajadus lahendada alade leidmisega seotud probleeme. maatükid, astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Ruutvõrrandid suutsid lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased. Nende võrrandite lahendamise reeglid, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langevad sisuliselt kokku tänapäevaste reeglitega, kuid neil tekstidel puudub kontseptsioon negatiivne arv ja levinud meetodid ruutvõrrandite lahendid.

Vana-Kreeka

aastal viidi läbi ka ruutvõrrandite lahendamine Vana-Kreeka teadlased nagu Diophantus, Euclid ja Heron. Diophantus Diophantus Aleksandriast oli Vana-Kreeka matemaatik, kes arvatavasti elas 3. sajandil pKr. Diophantuse peateos on "Aritmeetika" 13 raamatus. Euclid. Euclid on Vana-Kreeka matemaatik, esimese meieni jõudnud teoreetilise matemaatika traktaadi autor Heron. Heron – Kreeka matemaatik ja insener esimest korda Kreekas 1. sajandil pKr. annab ruutvõrrandi lahendamiseks puhtalt algebralise viisi

India

Ruutvõrranditega seotud probleeme leidub juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India õpetlane, Brahmagupta (7. sajand), selgitas üldreegel ruutvõrrandite lahendused, mis on taandatud ühele kanooniline vorm: ax2 + bх = с, a> 0. (1) Võrrandis (1) võivad koefitsiendid olla negatiivsed. Brahmagupta reegel langeb sisuliselt kokku meie omaga. Indias olid avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel tavalised. Ühes vanas India raamatus on selliste võistluste kohta öeldud järgmist: „Nii nagu päike särab oma säraga tähtedest, nii teadlane mees eclipse hiilgus populaarsetes kooslustes, pakkudes ja lahendades algebralisi ülesandeid. Tööülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskara.

"Lõbus ahvikari

Ja kaksteist mööda viinapuud

Nad hakkasid hüppama, rippudes

Nad tegid kaheksanda osa ruudus

Kui palju ahve oli

Heinamaal lõbutsemas

Ütle mulle, selles karjas?

Bhaskara lahendus näitab, et autor oli teadlik ruutvõrrandite juurte kaheväärtuslikkusest. Bhaskar kirjutab ülesandele vastava võrrandi kujul x2 - 64x = - 768 ja selle võrrandi vasaku poole ruuduks täitmiseks lisab ta mõlemale osale 322, saades: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 = 48.

Ruutvõrrandid sisse Euroopa XVII sajandil

Al-Khorezmi mudelil Euroopas ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus". See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami kui ka Vana-Kreeka riikides, eristub nii esitusviisi terviklikkuse kui ka selguse poolest. Autor on iseseisvalt välja töötanud mõned uued algebralised näited probleemide lahendamisel ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" ülesanded jõudsid peaaegu kõigisse 16. - 17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII. Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine aastal üldine vaade Viet on, kuid Viet tunnustas ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Arvesta lisaks positiivsele ja negatiivsed juured. Alles XVII sajandil. Tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni jt loomingule teadlaste viisil ruutvõrrandite lahendamine võtab tänapäevase vormi.

Ruutvõrrandi definitsioon

Võrrandit kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a, b, c on arvud, nimetatakse ruutvõrrandiks.

Ruutvõrrandi koefitsiendid

Arvud a, b, c on ruutvõrrandi koefitsiendid. a on esimene koefitsient (enne x²), a ≠ 0; b on teine ​​koefitsient (enne x); c on vaba liige (ilma x-ita).

Millised neist võrranditest ei ole ruutkeskmised?

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² – 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8 = 0.

Ruutvõrrandite tüübid

Nimi	Võrrandi üldvaade	Funktsioon (millised koefitsiendid)	Võrrandi näited
	ax2 + bx + c = 0	a, b, c – muud numbrid kui 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Mittetäielik
			x 2 - 1/5x = 0
Antud	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Nimetatakse redutseeritud ruutvõrrand, milles juhtiv koefitsient on võrdne ühega. Sellise võrrandi saab kogu avaldise jagamisel juhtiva koefitsiendiga a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Ruutvõrrandit peetakse täielikuks, kui kõik selle koefitsiendid on nullist erinevad.

Sellist ruutvõrrandit nimetatakse mittetäielikuks, kui vähemalt üks koefitsient, välja arvatud kõrgeim (kas teine ​​koefitsient või vaba liige), on võrdne nulliga.

Ruutvõrrandite lahendamise viisid

mina moodi. Üldvalem juurte arvutamiseks

Ruutvõrrandi juurte leidmiseks kirves 2 + b + c = 0 sisse üldine juhtum tuleks kasutada järgmist algoritmi:

Arvutage ruutvõrrandi diskriminandi väärtus: see on selle avaldis D= b 2 - 4ac

Valemi tuletamine:

Märge: on ilmne, et kordsuse 2 juure valem on üldvalemi erijuhtum, see saadakse, asendades sellesse võrrandi D=0 ja järelduse tegelike juurte puudumise kohta D0 juures ja (displaystyle ( sqrt (-1)) = i) = i.

Kirjeldatud meetod on universaalne, kuid see pole kaugeltki ainus. Ühe võrrandi lahendusele võib läheneda erinevalt, eelistused sõltuvad enamasti lahendajast endast. Lisaks osutuvad selle jaoks sageli mõned meetodid tavalisest palju elegantsemaks, lihtsamaks ja vähem aeganõudvamaks.

II viis. Paariskoefitsiendiga ruutvõrrandi juured b III viis. Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

IV viis. Koefitsientide osasuhete kasutamine

Ruutvõrrandite puhul on erijuhtumeid, kus koefitsiendid on üksteisega proportsionaalsed, mis teeb nende lahendamise palju lihtsamaks.

Ruutvõrrandi juured, milles juhtiva koefitsiendi ja vabaliikme summa on võrdne teise koefitsiendiga

Kui ruutvõrrandis kirves 2 + bx + c = 0 esimese koefitsiendi ja vaba liikme summa on võrdne teise koefitsiendiga: a+b=c, siis selle juured on -1 ja arv vastand vaba tähtaeg juhtiva koefitsiendini ( -c/a).

Seetõttu tuleks enne ruutvõrrandi lahendamist kontrollida selle teoreemi rakendamise võimalust: võrrelda juhtkoefitsiendi ja vaba liikme summat teise koefitsiendiga.

Ruutvõrrandi juured, mille kõigi koefitsientide summa on null

Kui ruutvõrrandis on kõigi selle koefitsientide summa võrdne nulliga, siis on sellise võrrandi juured 1 ja vabaliikme suhe juhtivasse koefitsiendisse ( c/a).

Seetõttu tuleks enne võrrandi lahendamist standardmeetoditega kontrollida selle teoreemi rakendatavust: liita kõik koefitsiendid antud võrrand ja vaata, kas see summa on null.

V viis. Ruuttrinoomi lagunemine lineaarseteks teguriteks

Kui vormi trinoom (kuvastiil ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) saab kuidagi kujutada lineaarsete tegurite korrutisena (kuvamisstiil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), siis leiame võrrandi juured kirves 2 + bx + c = 0- need on tõepoolest -m / k ja n / l, sest (kuvastiil (kx+m)(lx+n)=0pikk vasakparemnool kx+m=0 tassi lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n ja lahendades näidatud lineaarvõrrandid, saame ülaltoodu. Pange tähele, et ruudukujuline kolmik ei lagune alati reaalsete koefitsientidega lineaarseteks teguriteks: see on võimalik, kui sellele vastaval võrrandil on reaaljuured.

Mõelge mõnele erijuhtumile

Summa (erinevuse) ruudu valemi kasutamine

Kui ruudukujulise trinoomi kuju on (kuvastiil (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , siis rakendades sellele ülaltoodud valemit, saame selle arvutada lineaarseteks teguriteks ja seega leidke juured:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Valik täisruut summad (erinevus)

Nimetatud valemit kasutatakse ka meetodi abil, mida nimetatakse "summa (erinevuse) täisruudu valimiseks". Seoses antud ruutvõrrandiga, mille tähistus on varem kasutusele võetud, tähendab see järgmist:

Märge: kui märkad antud valem langeb kokku jaotises „Taandatud ruutvõrrandi juured” pakutuga, mille saab omakorda saada üldvalemist (1), asendades võrrandi a=1. See asjaolu ei ole lihtsalt juhus: kirjeldatud meetodi abil, olles siiski mõned täiendavad põhjendused, saame järeldada ja üldine valem, samuti diskrimineerija omaduste tõestamiseks.

VI viis. Otsese ja pöördvõrdelise Vieta teoreemi kasutamine

Vieta otseteoreem (vt allpool samanimelist osa) ja selle pöördteoreem võimaldavad meil lahendada taandatud ruutvõrrandid suuliselt, kasutamata valemit (1) kasutades üsna tülikaid arvutusi.

Vastavalt vastupidine teoreem, mis tahes arvupaar (arv) (kuvamisstiil x_(1),x_(2)) x 1 , x 2 on alloleva võrrandisüsteemi lahendus, on võrrandi juured

Üldjuhul, st taandamata ruutvõrrandi korral ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Otsene teoreem aitab teil verbaalselt valida numbreid, mis vastavad nendele võrranditele. Tema abiga saate määrata juurte tunnuseid, teadmata juuri ise. Selleks järgige reeglit:

1) kui vaba liige on negatiivne, siis juurtel on erinev märk, ja juurte suurim moodul on võrrandi teise kordaja märgile vastandmärk;

2) kui vaba liige on positiivne, siis on mõlemad juured sama märk, ja see on teise koefitsiendi vastandmärk.

7. viis. Ülekande meetod

Niinimetatud "ülekande" meetod võimaldab redutseerimata ja mitteteisendatavate võrrandite lahendi taandada täisarvu koefitsientidega taandatud võrrandite kujule, jagades need täisarvuga taandatud võrrandite lahendile juhtivate võrrandite koefitsiendiga. koefitsiendid. See on järgmine:

Järgmiseks lahendatakse võrrand ülalkirjeldatud viisil suuliselt, seejärel pöördutakse tagasi algse muutuja juurde ja leitakse võrrandite juured (kuvastiil y_(1)=ax_(1)) y 1 = kirves 1 ja y 2 = kirves 2 .(kuvastiil y_(2)=ax_(2))

geomeetriline tunne

Ruutfunktsiooni graafik on parabool. Ruutvõrrandi lahendid (juured) on parabooli ja abstsisstelje lõikepunktide abstsissid. Kui kirjeldatud parabool ruutfunktsioon, ei ristu x-teljega, võrrandil pole reaalseid juuri. Kui parabool lõikub x-teljega ühes punktis (parabooli tipus), on võrrandil üks reaaljuur (võrrandil on ka kaks kattuvat juurt). Kui parabool lõikub x-teljega kahes punktis, on võrrandil kaks reaaljuurt (vt pilti paremal.)

Kui koefitsient (kuvastiil a) a positiivne, parabooli oksad on suunatud üles ja vastupidi. Kui koefitsient (kuva stiil b) bpositiivne (kui positiivne (kuvastiil a) a, kui negatiivne, siis vastupidi), siis asub parabooli tipp vasakul pooltasandil ja vastupidi.

Ruutvõrrandite rakendamine elus

Ruutvõrrand on laialt levinud. Seda kasutatakse paljudes arvutustes, struktuurides, spordis ja ka meie ümber.

Mõelge ruutvõrrandi rakendamisele ja tooge mõned näited.

Sport. Kõrgushüpped: hüppaja ülesjooksu ajal kõige täpsema löögi tõukekangile ja kõrge lend kasutage parabooliga seotud arvutusi.

Samasuguseid arvutusi on vaja ka viskamisel. Objekti lennuulatus sõltub ruutvõrrandist.

Astronoomia. Planeetide trajektoori saab leida ruutvõrrandi abil.

Lennuki lend. Lennuki õhkutõus on lennu põhikomponent. Siin tehakse arvutus väikese takistuse ja stardikiirenduse jaoks.

Samuti kasutatakse ruutvõrrandeid erinevates majandusdistsipliinid, heli-, video-, vektor- ja rastergraafika töötlemise programmides.

Järeldus

Tehtud töö tulemusena selgus, et ruutvõrrandid tõmbasid teadlasi juba ammustel aegadel, nendega puututi kokku juba mõne ülesande lahendamisel ja prooviti neid lahendada. Arvestades erinevaid viise ruutvõrrandeid lahendades jõudsin järeldusele, et kõik need pole lihtsad. Minu arust kõige rohkem parim viis ruutvõrrandite lahendamine on lahendus valemitega. Valemeid on lihtne meeles pidada, see meetod on universaalne. Kinnitust leidis hüpotees, et võrrandeid kasutatakse elus ja matemaatikas laialdaselt. Olles teemat uurinud, õppisin palju huvitavaid fakte umbes ruutvõrrandid, nende kasutamine, rakendus, liigid, lahendused. Ja ma jätkan nende uurimist mõnuga. Loodan, et see aitab mul eksamitel hästi hakkama saada.

Kasutatud kirjanduse loetelu

Saidi materjalid:

Vikipeedia

Avatud õppetund.rf

Algmatemaatika käsiraamat Vygodsky M. Ya.

Täieliku ruutvõrrandi teisendamine mittetäielikuks näeb välja järgmine (juhul \(b=0\)):

Juhtudel, kui \(c=0\) või kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga, on kõik sarnane.

Pange tähele, et \(a\) ei ole võrdne nulliga, see ei saa olla võrdne nulliga, kuna sel juhul muutub see järgmiselt:

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendus.

Kõigepealt peate mõistma, et mittetäielik ruutvõrrand on endiselt olemas, seetõttu saab seda lahendada samamoodi nagu tavalist ruutvõrrandit (läbi). Selleks liidame lihtsalt võrrandi puuduva komponendi nullkoefitsiendiga.

Näide : leidke võrrandi \(3x^2-27=0\) juured
Otsus :

		Meil on mittetäielik ruutvõrrand koefitsiendiga \(b=0\). See tähendab, et saame võrrandi sisse kirjutada järgmine vorm:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Tegelikult on siin sama võrrand, mis alguses, kuid nüüd saab selle lahendada tavalise ruuduna. Kõigepealt kirjutame üles koefitsiendid.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Arvutage diskriminant valemiga \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Leiame valemite abil võrrandi juured \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ja \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Kirjutage vastus üles

Vastus : \(x_(1)=3\); \(x_(2) = -3\)

Näide : leidke võrrandi \(-x^2+x=0\) juured
Otsus :

		Jälle mittetäielik ruutvõrrand, kuid nüüd null on võrdne koefitsiendiga\(c\). Kirjutame võrrandi täielikuks.

Ruutvõrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjalid sisse Eriparagrahv 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Ruutvõrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Tähtajaliselt ruutvõrrand märksõna on "ruut". See tähendab, et võrrandis tingimata seal peab olema x ruut. Lisaks sellele võib võrrandis olla (või mitte olla!) Lihtsalt x (esimese astmeni) ja ainult arv (vabaliige). Ja kraadides, mis on suuremad kui kaks, ei tohiks x-e olla.

räägivad matemaatiline keel, ruutvõrrand on võrrand kujul:

Siin a, b ja c- mõned numbrid. b ja c- absoluutselt ükskõik, aga a- kõike muud kui null. Näiteks:

Siin a =1; b = 3; c = -4

Siin a =2; b = -0,5; c = 2,2

Siin a =-3; b = 6; c = -18

No saate aru...

Nendes vasakpoolsetes ruutvõrrandites on täiskomplekt liikmed. x ruudus koefitsiendiga a, x koefitsiendiga esimese astmeni b ja vaba liige

Selliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielik.

Ja kui b= 0, mida me saame? Meil on X kaob esimeses astmes. See juhtub nulliga korrutamisest.) Selgub näiteks:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

Jne. Ja kui mõlemad koefitsiendid b ja c on nulliga, siis on veelgi lihtsam:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Selliseid võrrandeid, kus midagi on puudu, nimetatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Mis on üsna loogiline.) Pange tähele, et x ruudus esineb kõigis võrrandites.

Muide, miks a null ei saa olla? Ja asendate selle asemel a null.) X ruudust kaob! Võrrand muutub lineaarne. Ja seda tehakse teisiti...

See on kõik ruutvõrrandite peamised tüübid. Täielik ja mittetäielik.

Ruutvõrrandite lahendus.

Täielike ruutvõrrandite lahendus.

Ruutvõrrandeid on lihtne lahendada. Valemite ja selgete lihtsate reeglite järgi. Esimeses etapis on vaja antud võrrand viia standardkujule, s.o. vaatele:

Kui võrrand on teile juba antud kujul antud, ei pea te esimest etappi tegema.) Peaasi on kõik koefitsiendid õigesti määrata, a, b ja c.

Ruutvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja järgmine:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Temast aga lähemalt allpool. Nagu näete, kasutame x leidmiseks ainult a, b ja c. Need. koefitsiendid ruutvõrrandist. Lihtsalt asendage väärtused ettevaatlikult a, b ja c sellesse valemisse ja loenda. Asendaja oma märkidega! Näiteks võrrandis:

a =1; b = 3; c= -4. Siin me kirjutame:

Näide on peaaegu lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mis sa arvad, sa ei saa valesti minna? No jah, kuidas...

Levinumad vead on segadus väärtuste märkidega a, b ja c. Või pigem mitte nende märkidega (kus siin segadusse ajada?), vaid negatiivsete väärtuste asendamisega juurte arvutamise valemis. Siin salvestatakse valemi üksikasjalik kirje konkreetsete numbritega. Kui arvutustega on probleeme, nii tehke seda!

Oletame, et peame lahendama järgmise näite:

Siin a = -6; b = -5; c = -1

Oletame, et teate, et saate harva vastuseid esimesel korral.

Noh, ära ole laisk. Lisarea kirjutamine võtab aega 30 sekundit ja vigade arv langeb järsult. Nii et me kirjutame üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja märkidega:

Tundub uskumatult raske nii hoolikalt maalida. Aga see ainult tundub. Proovi seda. No või vali. Kumb on parem, kiire või õige? Pealegi teen ma sind õnnelikuks. Mõne aja pärast pole enam vaja kõike nii hoolikalt värvida. See tuleb täpselt välja. Eriti kui kasutate praktilisi võtteid, mida kirjeldatakse allpool. See kuri näide hunniku miinustega lahendatakse lihtsalt ja vigadeta!

Kuid sageli näevad ruutvõrrandid veidi erinevad. Näiteks nii:

Kas teadsite?) Jah! See on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendus.

Neid saab lahendada ka üldvalemiga. Peate lihtsalt õigesti välja mõtlema, mis on siin võrdne a, b ja c.

Sai aru? Esimeses näites a = 1; b = -4; a c? Seda pole üldse olemas! No jah, see on õige. Matemaatikas tähendab see seda c = 0 ! See on kõik. Asendage valemis selle asemel null c, ja kõik saab korda. Samamoodi ka teise näitega. Ainult nulli meil siin pole koos, a b !

Kuid mittetäielikke ruutvõrrandeid saab palju lihtsamalt lahendada. Ilma ühegi valemita. Kaaluge esimest mittetäielik võrrand. Mida saab teha vasakul küljel? Võite X-i sulgudest välja võtta! Võtame selle välja.

Ja mis sellest? Ja see, et korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui mõni tegur on võrdne nulliga! Ei usu? Mõelge siis välja kaks nullist erinevat arvu, mis korrutatuna annavad nulli!
Ei tööta? Midagi...
Seetõttu võime julgelt kirjutada: x 1 = 0, x 2 = 4.

Kõik. Need on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Asendades ükskõik millise neist algsesse võrrandisse, saame õige identiteedi 0 = 0. Nagu näete, on lahendus üldvalemist palju lihtsam. Märgin muide, milline X on esimene ja milline teine ​​- see on täiesti ükskõik. Lihtne järjekorras kirjutada x 1- olenevalt sellest, kumb on väiksem x 2- see, mis on rohkem.

Ka teist võrrandit saab hõlpsasti lahendada. Ülekandmine 9 kuni parem pool. Saame:

Jääb üle juur 9-st välja tõmmata ja ongi kõik. Hankige:

ka kaks juurt . x 1 = -3, x 2 = 3.

Nii lahendatakse kõik mittetäielikud ruutvõrrandid. Kas eemaldades X sulgudest või lihtsalt kandes numbri paremale, millele järgneb juure eraldamine.
Neid meetodeid on äärmiselt raske segi ajada. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate X-st juure välja võtma, mis on kuidagi arusaamatu, ja teisel juhul pole sulgudest midagi välja võtta ...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Harv gümnaasiumiõpilane pole seda sõna kuulnud! Väljend "otsustage diskrimineerija kaudu" on rahustav ja rahustav. Sest pole vaja oodata diskrimineerija trikke! Seda on lihtne ja probleemivaba kasutada.) Tuletan meelde kõige üldisemat lahendamise valemit ükskõik milline ruutvõrrandid:

Juuremärgi all olevat väljendit nimetatakse diskriminandiks. Diskriminanti tähistatakse tavaliselt tähega D. Diskrimineeriv valem:

D = b2-4ac

Ja mis on selles väljendis nii erilist? Miks see erilist nime väärib? Mida diskrimineerija tähendus? Pealegi -b, või 2a selles valemis ei nimeta nad konkreetselt ... tähti ja tähti.

Asi on selles. Selle valemi abil ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik ainult kolm juhtumit.

1. Diskriminant on positiivne. See tähendab, et saate sellest juure eraldada. Kas juur on hästi või halvasti välja võetud, on teine ​​küsimus. Oluline on see, mida põhimõtteliselt kaevandatakse. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juurt. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskriminant on null. Siis on teil üks lahendus. Kuna lugejas nulli liitmine või lahutamine ei muuda midagi. Rangelt võttes pole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid lihtsustatud versioonis on tavaks rääkida üks lahendus.

3. Diskriminant on negatiivne. Negatiivsest arvust ruutjuurt ei võeta. No okei. See tähendab, et lahendusi pole.

Kui aus olla, siis kl lihtne lahendus ruutvõrrandid, ei ole diskriminandi mõiste eriti nõutav. Asendame valemis koefitsientide väärtused ja arvestame. Seal selgub kõik iseenesest ja kaks juurt ja üks, mitte ükski. Kui aga lahendada rohkem raskeid ülesandeid, teadmata tähendus ja diskrimineeriv valem mitte piisavalt. Eriti - parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on aerobaatika GIA ja ühtsel riigieksamil!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid läbi diskrimineerija, mis sulle meelde jäi. Või õppinud, mis pole samuti halb.) Sa tead, kuidas õigesti tuvastada a, b ja c. Kas sa tead, kuidas tähelepanelikult asendage need juurvalemis ja tähelepanelikult loe tulemust. Kas sa said sellest aru märksõna siin - tähelepanelikult?

Nüüd pange tähele praktilisi võtteid, mis vähendavad oluliselt vigade arvu. Just need, mis on tingitud tähelepanematusest ... mille pärast see on siis valus ja solvav ...

Esimene vastuvõtt . Ärge olge laisk enne ruutvõrrandi lahendamist, et viia see standardvormi. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast mis tahes teisendusi saate järgmise võrrandi:

Ärge kiirustage juurte valemit kirjutama! Peaaegu kindlasti ajate koefitsiendid segamini a, b ja c. Ehitage näide õigesti. Kõigepealt x ruudus, siis ilma ruuduta, siis vabaliige. Nagu nii:

Ja veelkord, ärge kiirustage! Miinus enne x ruutu võib teid palju häirida. Selle unustamine on lihtne... Vabane miinusest. Kuidas? Jah, nagu on õpetatud eelmine teema! Peame kogu võrrandi korrutama -1-ga. Saame:

Ja nüüd võite julgelt üles kirjutada juurte valemi, arvutada diskrimineerija ja täiendada näidet. Otsustage ise. Peaksite jõudma juurtega 2 ja -1.

Teine vastuvõtt. Kontrolli oma juuri! Vastavalt Vieta teoreemile. Ärge muretsege, ma selgitan kõike! Kontrollimine viimane asi võrrand. Need. see, mille järgi kirjutasime üles juurte valemi. Kui (nagu selles näites) koefitsient a = 1, kontrollige juuri lihtsalt. Piisab nende korrutamisest. Peaks saama vaba tähtaja, st. meie puhul -2. Pange tähele, mitte 2, vaid -2! vaba liige oma märgiga . Kui see ei õnnestunud, tähendab see, et nad on juba kuskil sassi ajanud. Otsige viga.

Kui see õnnestus, peate juured kokku voltima. Viimane ja viimane kontroll. Peaks olema suhe b koos vastupidine märk. Meie puhul -1+2 = +1. Koefitsient b, mis on enne x, on võrdne -1. Niisiis, kõik on õige!
Kahju, et see on nii lihtne ainult näidete puhul, kus x ruudus on puhas, koefitsiendiga a = 1. Kuid vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Vigu tuleb vähem.

Vastuvõtt kolmas . Kui teie võrrandil on murdosakoefitsiendid, vabanege murdudest! Korrutage võrrand ühise nimetajaga, nagu õppetunnis kirjeldatud "Kuidas lahendada võrrandeid? Identiteedi teisendused". Murdudega töötades tekivad vead mingil põhjusel ...

Muide, ma lubasin lihtsustamiseks kurja näite koos hunniku miinustega. Palun! Seal ta on.

Et mitte miinustes segadusse sattuda, korrutame võrrandi -1-ga. Saame:

See on kõik! Otsustamine on lõbus!

Nii et võtame teema uuesti kokku.

Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist viime ruutvõrrandi tüüpvormile, ehitame selle õige.

2. Kui ruudus x ees on negatiivne koefitsient, siis elimineerime selle, korrutades kogu võrrandi -1-ga.

3. Kui koefitsiendid on murdarvulised, siis elimineerime murrud, korrutades kogu võrrandi vastava teguriga.

4. Kui x ruudus on puhas, on selle koefitsient võrdne ühega, saab lahendit hõlpsasti kontrollida Vieta teoreemi abil. Tee seda!

Nüüd saate otsustada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Vastused (segaduses):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - suvaline arv

x 1 = -3
x 2 = 3

lahendusi pole

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Kas kõik sobib? Hästi! Ruutvõrrandid pole teie peavalu. Esimesed kolm osutusid, aga ülejäänud mitte? Siis pole probleem ruutvõrrandites. Probleem on sees võrrandite identsed teisendused. Vaata linki, see on abiks.

Ei tööta päris? Või ei tööta see üldse? Siis aita sind Paragrahv 555. Seal on kõik need näited kontide järgi sorteeritud. Kuvatakse peamine vead lahenduses. Muidugi räägib see ka kasutamisest identsed teisendused otsuses erinevaid võrrandeid. Aitab palju!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.