Valgevene Vabariigi Haridusministeerium

haridusasutus

nime saanud Gomeli osariigi ülikool F. Skaryna"

matemaatikateaduskond

MPM-i osakond

Avaldiste identsed teisendused ja meetodid, kuidas õpilasi neid sooritada

Teostaja:

Üliõpilane Starodubova A.Yu.

Juhendaja:

Cand. füüsika ja matemaatika Teadused, dotsent Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Sissejuhatus

1 Peamised teisenduste liigid ja nende uurimise etapid. Teisenduste rakenduse valdamise etapid

Järeldus

Kirjandus

Sissejuhatus

Avaldiste ja valemite lihtsamaid teisendusi, mis põhinevad aritmeetiliste tehete omadustel, tehakse põhikoolis ning 5. ja 6. klassis. Teisenduste sooritamise oskuste ja vilumuste kujunemine toimub algebra käigus. See on seotud nii sooritatavate teisenduste arvu ja mitmekesisuse järsu suurenemisega kui ka nende põhjendamise ja kohaldamistingimuste selgitamise tegevuste keerukusega, identiteedi üldistatud mõistete tuvastamise ja uurimisega, identne teisendus, ekvivalentne teisendus.

1. Peamised teisenduste liigid ja nende uurimise etapid. Teisenduste rakenduse valdamise etapid

1. Algebra algus

Kasutatakse jaotamata teisenduste süsteemi, mida esindavad valemi ühes või mõlemas osas toimingute sooritamise reeglid. Eesmärk on saavutada sujuvus ülesannete täitmisel lihtsamate võrrandite lahendamiseks, funktsioone defineerivate valemite lihtsustamiseks, toimingute omadustest lähtuvate arvutuste ratsionaalsel sooritamisel.

Tüüpilised näited:

Lahenda võrrandid:

a) ; b) ; sisse) .

Identiteedi teisendus (a); samaväärne ja identne (b).

2. Oskuste kujundamine teatud tüüpi teisenduste rakendamiseks

Järeldused: lühendatud korrutusvalemid; astendamisega seotud teisendused; teisendused, mis on seotud erinevate elementaarfunktsioonide klassidega.

Tervikliku teisendussüsteemi (süntees) organiseerimine

Eesmärk on kujundada paindlik ja võimas aparaat, mis sobib kasutamiseks erinevate õppeülesannete lahendamisel.. Üleminek sellesse etappi toimub kursuse viimase kordamise käigus osade kaupa õpitud materjali mõistmise käigus, teatud tüüpi teisenduste puhul lisatakse eelnevalt uuritud tüüpidele trigonomeetriliste avaldiste teisendused. Kõiki neid teisendusi võib nimetada "algebralisteks" ja "analüütilisteks" teisendusteks on need, mis põhinevad piiriüleminekuid sisaldavate avaldiste diferentseerimise ja integreerimise ja teisendamise reeglitel. Seda tüüpi erinevus seisneb komplekti olemuses, mida muutujad identiteetides (teatud funktsioonide komplektides) läbivad.

Uuritavad identiteedid jagunevad kahte klassi:

I on lühendatud korrutusidentiteedid, mis kehtivad kommutatiivses ringis ja identiteetides

õiglane põllul.

II - aritmeetilisi tehteid ja põhilisi elementaarfunktsioone ühendavad identiteedid.

2 Ülesandesüsteemi korralduse tunnused identsete teisenduste uurimisel

Ülesannete süsteemi korraldamise põhiprintsiip on esitada need lihtsast keerukani.

Treeningu tsükkel- õppetöö mitme aspekti ja materjali paigutamise meetodite kombinatsioon harjutuste järjestuses. Ühesuguste teisenduste uurimisel on harjutuste tsükkel seotud ühe identiteedi uurimisega, mille ümber rühmitatakse teised identiteedid, mis on sellega loomulikus seoses. Tsükli koosseis sisaldab koos täidesaatvate ülesannetega ülesandeid, mis nõuavad vaadeldava identiteedi kohaldatavuse tunnustamist. Uuritavat identiteeti kasutatakse arvutuste tegemiseks mitmesugustes numbrilistes valdkondades. Iga tsükli ülesanded on jagatud kahte rühma. To esiteks sisaldab identiteediga esmasel tutvumisel tehtud ülesandeid. Need on õppematerjaliks mitmeks järjestikuseks õppetunniks, mida ühendab üks teema.

Teine rühm harjutus seob uuritava identiteedi erinevate rakendustega. See rühm ei moodusta kompositsioonilist ühtsust – siinsed harjutused on hajutatud erinevatele teemadele.

Kirjeldatud tsükli struktuurid viitavad konkreetsete teisenduste rakendamise oskuste kujunemise etapile.

Sünteesi staadiumis tsüklid muutuvad, ülesannete rühmad kombineeritakse keerukuse suunas ja erinevate identiteetidega seotud tsüklid liidetakse, mis suurendab tegevuste rolli ühe või teise identiteedi rakendatavuse äratundmisel.

Näide.

Identiteediülesannete tsükkel:

I grupp ülesandeid:

a) toote kujul:

b) Kontrolli võrdsuse õigsust:

c) Laiendage sulud avaldises:

.

d) Arvutage:

e) Tegurid:

e) lihtsustage väljendit:

.

Õpilased on just tutvunud identiteedi formuleerimise, identiteedi vormis fikseerimise ja tõestamisega.

Ülesanne a) on seotud uuritava identiteedi struktuuri fikseerimisega, seose loomisega numbrihulkadega (identiteedi ja teisendatava väljendi märgistruktuuride võrdlus; identiteedis tähe asendamine numbriga). Viimases näites tuleb see veel taandada uuritavale kujule. Järgmistes näidetes (e ja g) on ​​identiteedi rakendatud rollist ja märgistruktuuri keerukusest põhjustatud komplikatsioon.

Tüüpi b) ülesanded on suunatud asendusoskuste arendamisele kohta . Ülesande c) roll on sarnane.

Tüübi d näited, milles on vaja valida üks teisendussuundadest, lõpetavad selle idee arendamise.

I rühma ülesanded on keskendunud identiteedi struktuuri valdamisele, asendamise toimimisele kõige lihtsamatel, põhimõtteliselt olulisematel juhtudel ning identiteedi poolt läbiviidavate transformatsioonide pöörduvuse ideele. Väga oluline on ka keele rikastamine, mis tähendab identiteedi erinevate aspektide näitamist. Nendest aspektidest annavad aimu ülesannete tekstid.

II ülesannete rühm.

g) Kasutades identiteeti , faktoriseeri polünoom .

h) Likvideerida irratsionaalsus murdosa nimetajas.

i) Tõesta, et kui on paaritu arv, siis jagub see 4-ga.

j) Funktsioon antakse analüütilise avaldise abil

.

Vabanege moodulmärgist, võttes arvesse kahte juhtumit: , .

l) Lahenda võrrand .

Need ülesanded on suunatud selle konkreetse identiteedi eripärade võimalikult täielikule kasutamisele ja arvestamisele, viitavad oskuste kujundamisele uuritava identiteedi kasutamiseks ruutude erinevuse jaoks. Eesmärk on süvendada arusaamist identiteedist, mõeldes selle erinevatele rakendustele erinevates olukordades, kombineerituna matemaatikakursuse teiste teemadega seotud materjali kasutamisega.

või .

Elementaarfunktsioonide identiteetidega seotud töötsüklite omadused:

1) neid uuritakse funktsionaalse materjali alusel;

2) esimese rühma identiteedid ilmnevad hiljem ja neid uuritakse kasutades juba kujunenud oskusi identsete teisenduste läbiviimiseks.

Tsükli esimene ülesannete rühm peaks sisaldama ülesandeid, et luua seos nende uute arvuliste alade ja algse ratsionaalsete arvude ala vahel.

Näide.

Arvutama:

;

.

Selliste ülesannete eesmärk on omandada kirjete tunnused, sealhulgas uute toimingute ja funktsioonide sümbolid, ning arendada matemaatilisi kõneoskusi.

Märkimisväärne osa elementaarfunktsioonidega seotud identiteedi teisenduste kasutamisest langeb irratsionaalsete ja transtsendentaalsete võrrandite lahendamisele. Sammude jada:

a) leidke funktsioon φ, mille jaoks antud võrrandit f(x)=0 saab esitada järgmiselt:

b) tee asendus y=φ(x) ja lahenda võrrand

c) lahendage kõik võrrandid φ(x)=y k, kus y k on võrrandi F(y)=0 juurte hulk.

Kirjeldatud meetodi kasutamisel teostatakse samm b) sageli kaudselt, ilma φ(x) tähistust sisestamata. Lisaks valivad õpilased sageli erinevate vastuse leidmise teede hulgast, et valida see, mis viib kiiremini ja lihtsamini algebralise võrrandini.

Näide. Lahendage võrrand 4 x -3*2=0.

2) (2 2) x -3*2 x =0 (samm a)

(2 x) 2 -3 x 2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3 = 0. (samm b)

Näide. Lahenda võrrand:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3 * 2 x -4 = 0;

c) 2 2x -3*2 x +1 = 0.

(Soovitage ise otsustada.)

Ülesannete klassifikatsioon tsüklitena, mis on seotud transtsendentaalsete võrrandite lahendamisega, sealhulgas eksponentsiaalfunktsioon:

1) võrrandid, mis taanduvad võrranditeks kujul a x \u003d y 0 ja millel on vormis lihtne üldine vastus:

2) võrrandid, mis taanduvad võrranditeks kujul a x = a k , kus k on täisarv või a x = b, kus b≤0.

3) võrrandid, mis taanduvad võrranditeks kujul a x =y 0 ja nõuavad selgesõnalist analüüsi selle vormi kohta, milles arv y 0 on sõnaselgelt kirjutatud.

Suureks eeliseks on ülesanded, milles graafikute joonistamiseks kasutatakse identseid teisendusi, samas lihtsustades funktsioone määratlevaid valemeid.

a) Joonistage funktsioon y=;

b) Lahenda võrrand lgx+lg(x-3)=1

c) millisel hulgal on valem lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) identsus?

Identsete teisenduste kasutamine arvutustes (J. Mathematics at School, nr 4, 1983, lk 45)

Ülesanne number 1. Funktsioon on antud valemiga y=0,3x 2 +4,64x-6. Leidke funktsiooni väärtused x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Ülesanne number 2. Arvutage täisnurkse kolmnurga jala pikkus, kui selle hüpotenuusi pikkus on 3,6 cm ja teise jala pikkus on 2,16 cm.

Ülesanne number 3. Kui suur on ristkülikukujulise krundi pindala mõõtmetega a) 0,64 m ja 6,25 m; b) 99,8 m ja 2,6 m?

a) 0,64 * 6,25 \u003d 0,8 2 * 2,5 2 = (0,8 * 2,5) 2;

b) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Need näited võimaldavad paljastada identsete teisenduste praktilise rakenduse. Õpilane peaks olema kurssi viidud teisenduse teostatavuse tingimustega (vt diagramme).

-

polünoomi kujutis, kus ükskõik milline polünoom sobib ümarateks kontuurideks. (Skeem 1)

-

on antud tingimus monoomi korrutise ja avaldise teisendamise teostatavuse kohta, mis võimaldab teisendada ruutude vaheks. (skeem 2)

-

siin tähendab viirutamine võrdseid monomiide ​​ja on antud avaldis, mille saab teisendada ruutude erinevuseks. (Skeem 3)

-

väljend, mis võimaldab eemaldada ühise teguri.

Õpilaste tingimuste tuvastamise oskuste kujundamiseks võite kasutada järgmisi näiteid:

Milliseid järgmistest avaldistest saab teisendada, jättes ühisteguri sulgudest välja:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Enamik praktikas tehtavatest arvutustest ei vasta teostatavuse tingimustele, mistõttu on õpilastel vaja oskusi viia need vormile, mis võimaldab teisendusi arvutada. Sel juhul sobivad järgmised ülesanded:

kui uurite ühise teguri sulgudest eemaldamist:

see avaldis teisendage võimaluse korral avaldisteks, mida kujutab skeem 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Mõiste "identne teisendus" moodustamisel tuleb meeles pidada, et see ei tähenda mitte ainult seda, et antud ja teisenduse tulemusel saadud avaldis saavad selles sisalduvate tähtede mis tahes väärtuste jaoks võrdsed väärtused, vaid samuti, et identse teisenduse käigus läheme avaldiselt, mis määrab ühe hindamisviisi, avaldisele, mis defineerib sama väärtuse teistsuguse hindamise viisi.

Skeemi 5 (monoomi ja polünoomi korrutise teisendamise reegel) on võimalik illustreerida näidetega

0,5a (b+c) või 3,8 (0,7+).

Harjutused ühisteguri sulgudesse panemise õppimiseks:

Arvutage avaldise väärtus:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc juures a=0,96; b = 4,8; c = 9,8.

c) a(a+c)-c(a+b), mille a=1,4; b = 2,8; c = 5,2.

Illustreerigem näidetega oskuste ja vilumuste kujunemist arvutustes ja identsetes teisendustes (J. Mathematics at School, nr 5, 1984, lk 30)

1) oskused ja võimed omandatakse kiiremini ja säilivad kauem, kui nende kujunemine toimub teadlikul alusel (teadvuse didaktiline printsiip).

1) Võimalik on sõnastada samade nimetajatega murdude liitmise reegel või mõelda esmalt konkreetsete näidete abil võrdsete osade liitmise olemus.

2) Faktooringu tegemisel, võttes ühisteguri sulgudest välja, on oluline näha seda ühistegurit ja seejärel rakendada jaotusseadust. Esimeste harjutuste sooritamisel on kasulik kirjutada polünoomi iga liige korrutisena, mille üks tegur on ühine kõikidele terminitele:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Seda on eriti kasulik teha siis, kui üks polünoomi monoomidest võetakse sulgudest välja:

II. Esimene aste oskuste kujundamine - oskuse omandamine (harjutused tehakse üksikasjalike selgituste ja märkustega)

(Kõigepealt lahendatakse märgi küsimus)

Teine faas- oskuse automatiseerimise etapp, kõrvaldades mõned vahepealsed toimingud

III. Oskuste tugevus saavutatakse nii sisult kui vormilt mitmekülgsete näidete lahendamisega.

Teema: “Ühisteguri sulgudes”.

1. Kirjutage polünoomi asemel üles puuduv kordaja:

2. Faktoreerige nii, et sulgude ees on negatiivse koefitsiendiga monoom:

3. Teguriseerige nii, et sulgudes oleval polünoomil on täisarvu koefitsiendid:

4. Lahendage võrrand:

IV. Oskuste kujundamine on kõige tõhusam mõne vahearvutuse või teisenduse suulise sooritamise korral.

(suuliselt);

V. Moodustunud oskused ja vilumused tuleks lülitada eelnevalt moodustatud õpilaste teadmiste, oskuste ja võimete süsteemi.

Näiteks kui õppida polünoomide faktoriseerimist lühendatud korrutusvalemite abil, pakutakse järgmisi harjutusi:

Korruta:

VI. Vajadus arvutuste ja teisenduste ratsionaalseks sooritamiseks.

sisse) lihtsustage väljendit:

Ratsionaalsus peitub sulgude avamises, sest

VII. Kraadi sisaldavate avaldiste teisendamine.

№1011 (Alg.9) Lihtsustage väljendit:

№1012 (Alg.9) Võtke juurmärgi alt välja tegur:

№1013 (Alg.9) Sisestage juuremärgi alla tegur:

№1014 (Alg.9) Lihtsustage väljendit:

Kõigis näidetes tehke eelnevalt kas faktoriseerimine või ühisteguri väljavõtmine või "vaadake" vastavat redutseerimisvalemit.

№1015 (Alg.9) Vähendage murdosa:

Paljudel õpilastel on raskusi juuri sisaldavate avaldiste teisendamisel, eriti võrdsuse uurimisel:

Seetõttu kirjeldage üksikasjalikult vormi väljendeid või või minna kraadini ratsionaalse astendajaga.

№1018 (Alg.9) Leidke avaldise väärtus:

№1019 (Alg.9) Lihtsustage väljendit:

2.285 (Scanavi) Avaldise lihtsustamine

ja seejärel joonistage funktsiooni graafik y jaoks

Nr 2.299 (Skanavi) Kontrolli võrdsuse kehtivust:

Astet sisaldavate avaldiste teisendus on polünoomide identsete teisenduste uurimisel omandatud oskuste ja vilumuste üldistus.

Nr 2.320 (Skanavi) Lihtsusta väljendit:

Algebra 7 kursusel on antud järgmised definitsioonid.

Def. Kaks avaldist, mille vastavad väärtused on muutujate väärtuste jaoks võrdsed, on identselt võrdsed.

Def. Võrdsus, kehtib kutsutavate muutujate mis tahes väärtuste puhul. identiteet.

№94(Alg.7) Kas identiteet on võrdsus:

a)

c)

d)

Kirjelduse määratlus: ühe avaldise asendamist teisega, mis on sellega identne, nimetatakse identseks teisenduseks või lihtsalt avaldise teisendamiseks. Muutujatega avaldiste identsed teisendused tehakse arvudega tehtavate tehtete omaduste põhjal.

№ (Alg.7) Avaldiste hulgas

leida need, mis on identselt võrdsed .

Teema: "Avaldiste identsed teisendused" (küsimuse metoodika)

"Algebra-7" esimene teema - "Avaldised ja nende teisendused" aitab kinnistada 5.-6.klassis omandatud arvutusoskusi, süstematiseerida ja üldistada teavet avaldiste teisenduste ja võrrandite lahendite kohta.

Numbriliste ja tähestikuliste avaldiste väärtuste leidmine võimaldab õpilastega korrata tegevusreegleid ratsionaalsete numbritega. Ratsionaalarvudega aritmeetilisi tehteid sooritamise oskus on kogu algebra kursuse aluseks.

Väljendite teisendusi formaalselt käsitledes jäävad operatiivoskused samale tasemele, mis saavutati 5.-6.

Siin tõusevad õpilased aga teooria valdamisel uuele tasemele. Tutvustatakse mõisteid "identselt võrdsed avaldised", "identsus", "avaldiste identsed teisendused", mille sisu erinevate algebraavaldiste teisendusi uurides pidevalt avalikustatakse ja süveneb. Rõhutatakse, et identsete teisenduste aluseks on arvudele tehtavate toimingute omadused.

Teema "Polünoomid" õppimisel kujunevad algebraavaldiste identsete teisenduste formaal-operatsioonioskused. Lühendatud korrutamisvalemid aitavad kaasa täisarvuliste avaldiste identsete teisenduste tegemise oskuste edasisele protsessile, võimet rakendada valemeid nii lühendatud korrutamiseks kui ka polünoomide faktoriseerimiseks kasutatakse mitte ainult täisarvuavaldiste teisendamiseks, vaid ka operatsioonides murdude, juurtega, võimsused ratsionaalse astendajaga .

8. klassis harjutatakse identsete teisenduste omandatud oskusi algebraliste murdude, ruutjuurte ja täisarvulise astendajaga aste sisaldavate avaldistega.

Edaspidi kajastuvad identsete teisenduste meetodid avaldistes, mis sisaldavad ratsionaalse astendajaga kraadi.

Eriline rühm identseid teisendusi on trigonomeetrilised avaldised ja logaritmilised avaldised.

Algebrakursuse kohustuslikud õpiväljundid 7.–9. klassis on järgmised:

1) täisarvuliste avaldiste identsed teisendused

a) kronsteini avamine ja kinnitus;

b) samalaadsete tingimuste vähendamine;

c) polünoomide liitmine, lahutamine ja korrutamine;

d) polünoomide faktoriseerimine, võttes ühisteguri sulgudest ja lühendatud korrutusvalemitest välja;

e) ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine.

"Matemaatika koolis" (B.U.M.) lk.110

2) ratsionaalsete avaldiste identsed teisendused: murdude liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine, samuti loetletud oskuste rakendamine lihtsate kombineeritud teisenduste sooritamisel [lk. 111]

3) õpilased peaksid suutma sooritada astmeid ja juuri sisaldavate lihtsate avaldiste teisendusi. (lk 111–112)

Arvestati peamiste ülesannete tüüpidega, mille lahendamise oskus võimaldab õpilasel saada positiivse hinnangu.

Identsete teisenduste uurimise metoodika üks olulisemaid aspekte on õpilaste poolt identsete teisenduste sooritamise eesmärkide väljatöötamine.

1) - avaldise arvväärtuse lihtsustamine

2) milline teisendustest tuleks läbi viia: (1) või (2) nende valikute analüüs on ajendiks (eelistatavalt (1), kuna punktis (2) on määratlusala kitsendatud)

3) Lahendage võrrand:

Faktoriseerimine võrrandite lahendamisel.

4) Arvutage:

Kasutame lühendatud korrutamisvalemit:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Leidke avaldise väärtus:

Väärtuse leidmiseks korrutage iga murd konjugaadiga:

6) Joonistage funktsioonigraafik:

Valime terve osa: .

Vigade ärahoidmist identsete teisenduste sooritamisel saab nende täitmise näidete abil. Sel juhul töötatakse välja “väikesed” tehnikad, mis komponentidena kaasatakse mahukamasse teisendusprotsessi.

Näiteks:

Olenevalt võrrandi suundadest võib käsitleda mitmeid probleeme: polünoomide korrutamine paremalt vasakule; vasakult paremale - faktoriseerimine. Vasak pool on ühe teguri kordne paremal küljel jne.

Lisaks näidete muutmisele saate kasutada vabandus identiteetide ja arvuliste võrdsuste vahel.

Järgmine nipp on identiteetide selgitamine.

Õpilaste huvi suurendamiseks võib omistada erinevate probleemide lahendamise võimaluste otsimist.

Identsete teisenduste uurimise õppetunnid muutuvad huvitavamaks, kui neile pühenduda probleemile lahenduse leidmine .

Näiteks: 1) vähendage murdosa:

3) tõestama "keerulise radikaali" valemit

Kaaluge:

Teisendame võrdsuse paremat poolt:

-

konjugeeritud avaldiste summa. Neid saab korrutada ja jagada konjugaadiga, kuid selline tehe viib meid murdosani, mille nimetajaks on radikaalide erinevus.

Pange tähele, et identiteedi esimese osa esimene liige on teisest suurem arv, nii et saate mõlemad osad ruudustada:

Praktiline tund number 3.

Teema: Avaldiste identsed teisendused (küsimustehnika).

Kirjandus: “MPM-i töötuba”, lk 87-93.

Märk õpilaste kõrgest arvutuskultuurist ja identsetest teisendustest on kindlad teadmised täpsete ja ligikaudsete väärtustega tehtavate toimingute omaduste ja algoritmide ning nende oskusliku rakendamise kohta; ratsionaalsed arvutus- ja teisendusmeetodid ning nende kontrollimine; oskust põhjendada arvutuste ja teisenduste meetodite ja reeglite rakendamist, arvutustoimingute veavaba sooritamise oskuste automaatsust.

Millisest klassist alates peaksid õpilased nende oskuste arendamisega tegelema?

Avaldiste identsete teisenduste rida algab ratsionaalse arvutamise meetodite kasutamisega ja algab arvavaldiste väärtuste ratsionaalse arvutamise meetodite kasutamisega. (5. klass)

Selliseid teemasid koolimatemaatika kursusel õppides tuleks neile erilist tähelepanu pöörata!

Identsete teisenduste teadlikku sooritamist õpilaste poolt soodustab arusaamine sellest, et algebralised avaldised ei eksisteeri iseseisvalt, vaid on lahutamatult seotud mõne arvulise hulgaga, need on arvavaldiste üldistatud kirjed. Analoogia algebraliste ja arvavaldiste (ja nende teisenduste) vahel on loogiliselt õigustatud, nende kasutamine õppetöös aitab vältida õpilaste vigu.

Identiteedi teisendused ei ole koolimatemaatika kursuse eraldi teema, neid õpitakse kogu algebra kursuse ja matemaatilise analüüsi alguses.

1.-5. klassi matemaatikaprogramm on propedeutiline materjal muutujaga avaldiste identsete teisenduste uurimiseks.

Algebra käigus 7 rakku. tutvustatakse identiteedi ja identiteedi teisenduste määratlusi.

Def. Nimetatakse kaks avaldist, mille vastavad väärtused on muutujate mis tahes väärtuste jaoks võrdsed. identselt võrdsed.

ODA. Võrdsust, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta, nimetatakse identiteediks.

Identiteedi väärtus seisneb selles, et see võimaldab antud väljendit asendada teisega, mis on sellega identne.

Def. Nimetatakse ühe avaldise asendamist teisega, mis on sellega identne identiteedi transformatsioon või lihtsalt muutumine väljendid.

Muutujatega avaldiste identsed teisendused tehakse arvudega tehtavate tehtete omaduste põhjal.

Ekvivalentseid teisendusi võib pidada identsete teisenduste aluseks.

ODA. Kaks lauset, millest igaüks on teise loogiline tagajärg, nimetatakse. samaväärne.

ODA. Muutujatega lause A kutsus. muutujatega B lause tagajärg kui tõepiirkond B on tõepiirkonna A alamhulk.

Ekvivalentlausetele võib anda veel ühe definitsiooni: kaks muutujatega lauset on ekvivalentsed, kui nende tõepiirkonnad on samad.

a) B: x-1 = 0 üle R; A: (x-1) 2 üle R => A~B, sest tõepiirkonnad (lahendused) langevad kokku (x=1)

b) A: x = 2 üle R; B: x 2 \u003d 4 üle R => tõeala A: x \u003d 2; tõepiirkond B: x=-2, x=2; sest tõepiirkond A sisaldub B-s, siis: x 2 =4 on lause x=2 tagajärg.

Identsete teisenduste aluseks on võimalus esitada sama arvu erinevates vormides. Näiteks,

-

selline esitus aitab uurida teemat "murru põhiomadused".

Identsete teisenduste sooritamise oskused hakkavad kujunema järgmistele sarnaste näidete lahendamisel: “Leia avaldise 2a 3 + 3ab + b 2 arvväärtus a = 0,5, b = 2/3”, mida pakutakse klassi õpilastele. 5 ja võimaldavad propedeutika funktsiooni kontseptsiooni.

Lühendatud korrutamise valemite uurimisel tuleks tähelepanu pöörata nende sügavale mõistmisele ja tugevale assimilatsioonile. Selleks saate kasutada järgmist graafilist illustratsiooni:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)

Küsimus: Kuidas selgitada õpilastele ülaltoodud valemite olemust nende jooniste järgi?

Levinud viga on väljendite "ruutsumma" ja "ruutude summa" segi ajamine. Õpetaja märge, et need väljendid erinevad tegevusjärjekorras, ei tundu olevat märkimisväärne, kuna õpilased usuvad, et neid toiminguid tehakse samade numbritega ja seetõttu ei muutu tulemus tegevuste järjekorra muutmisest.

Ülesanne: Koostage suulisi harjutusi, et arendada õpilaste oskusi ülaltoodud valemeid täpselt kasutada. Kuidas selgitada, kuidas need kaks väljendit on sarnased ja kuidas need üksteisest erinevad?

Paljud identsed teisendused raskendavad õpilastel orienteerumist eesmärgile, milleks neid tehakse. Hägusad teadmised teisenduste tegemise eesmärgist (igal konkreetsel juhul) mõjutavad nende teadlikkust negatiivselt, on õpilaste tohutute vigade allikaks. See viitab sellele, et erinevate identsete teisenduste sooritamise eesmärkide selgitamine õpilastele on nende uurimise metoodika oluline osa.

Näited identsete teisenduste motivatsioonidest:

1. avaldise arvväärtuse leidmise lihtsustamine;

2. võrrandi teisenduse valimine, mis ei too kaasa juure kadumist;

3. teisenduse tegemisel saate märkida selle arvutusala;

4. teisenduste kasutamine arvutuses, näiteks 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Otsustusprotsessi juhtimiseks on oluline, et õpetaja oskaks täpselt kirjeldada õpilase tehtud vea olemust. Vea täpne iseloomustus on võti õpetaja järgnevate toimingute õigeks valikuks.

Näited õpilaste vigadest:

1. korrutamise sooritamine: õpilane sai -54abx 6 (7 lahtrit);

2. sooritades astendamise (3x 2) 3, sai õpilane 3x 6 (7 lahtrit);

3. teisendades (m + n) 2 polünoomiks, sai õpilane m 2 + n 2 (7 lahtrit);

4. õpilase saadud murdosa vähendamine (8 lahtrit);

5. lahutamise teostamine: , õpilane kirjutab üles (8 lahtrit)

6. Esitades murdosa murdudena, sai õpilane: (8 rakku);

7. aritmeetilise juure eraldamisel sai õpilane x-1 (9 lahtrit);

8. võrrandi lahendamine (9 lahtrit);

9. avaldist teisendades saab õpilane: (9 lahtrit).

Järeldus

Identsete teisenduste uurimine toimub tihedas seoses ühes või teises klassis uuritavate arvuliste hulkadega.

Algul tuleks paluda õpilasel selgitada iga transformatsiooni etappi, sõnastada kehtivad reeglid ja seadused.

Algebraavaldiste identsetes teisendustes kasutatakse kahte reeglit: asendamine ja asendamine võrdsetega. Kõige sagedamini kasutatav asendus, kuna valemloendus käib selle alusel, st. leidke avaldise a*b väärtus a=5 ja b=-3. Väga sageli jätavad õpilased korrutamise ajal tähelepanuta sulud, arvates, et korrutamismärki on vihjatud. Näiteks on võimalik selline rekord: 5*-3.

Kirjandus

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Funktsionaalsed ja graafilised meetodid eksamiülesannete lahendamiseks", Mn.. Aversev, 2004

2. O.N. Piryutko "Tüüpilised vead tsentraliseeritud testimisel", Mn.. Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Tasks-traps tsentraliseeritud testimisel", Mn.. Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Meetodid trigonomeetriliste ülesannete lahendamiseks", Mn.. Aversev, 2005

Numbrilised ja algebralised avaldised. Avaldise teisendamine.

Mis on avaldis matemaatikas? Miks on vaja avaldiste teisendusi?

Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav... Fakt on see, et need mõisted on kogu matemaatika aluseks. Kogu matemaatika koosneb avaldistest ja nende teisendustest. Pole väga selge? Las ma seletan.

Oletame, et teil on kuri näide. Väga suur ja väga keeruline. Oletame, et oled matemaatikas hea ja sa ei karda midagi! Kas saate kohe vastata?

Sa pead otsustama see näide. Järjestikku, samm-sammult, see näide lihtsustama. Teatud reeglite järgi muidugi. Need. tegema väljenduse teisendamine. Kui edukalt te neid teisendusi läbi viite, nii et olete matemaatikas tugev. Kui sa ei tea, kuidas õigeid teisendusi teha, siis matemaatikas sa ei oska mitte midagi...

Sellise ebamugava tuleviku (või oleviku ...) vältimiseks ei tee sellest teemast arugi.

Alustuseks uurime välja mis on avaldis matemaatikas. Mida numbriline avaldis ja mis on algebraline avaldis.

Mis on avaldis matemaatikas?

Väljend matemaatikas on väga lai mõiste. Peaaegu kõik, millega me matemaatikas tegeleme, on matemaatiliste avaldiste kogum. Kõik näited, valemid, murrud, võrrandid ja nii edasi – see kõik koosneb matemaatilised avaldised.

3+2 on matemaatiline avaldis. c 2 - d 2 on ka matemaatiline avaldis. Ja terve murd ja isegi üks arv - need on kõik matemaatilised avaldised. Võrrand on näiteks:

5x + 2 = 12

koosneb kahest võrdusmärgiga ühendatud matemaatilisest avaldisest. Üks väljend on vasakul, teine ​​on paremal.

Üldiselt termin matemaatiline avaldis" kasutatakse kõige sagedamini selleks, et mitte pomiseda. Nad küsivad, mis on näiteks tavaline murd? Ja kuidas vastata ?!

Vastus 1: "See on... m-m-m-m... selline asi ... milles ... kas ma saan murdosa paremini kirjutada? Kumba sa tahad?"

Teine vastusevariant: "Tavaline murd on (rõõmsalt ja rõõmsalt!) matemaatiline avaldis , mis koosneb lugejast ja nimetajast!"

Teine variant on kuidagi muljetavaldavam, eks?)

Sel eesmärgil kasutatakse fraasi " matemaatiline avaldis "väga hea. Nii korrektne kui soliidne. Kuid praktiliseks rakendamiseks peate olema hästi kursis matemaatika spetsiifilised väljenditüübid .

Konkreetne tüüp on teine ​​asi. See on hoopis teine ​​asi! Igal matemaatilise avaldise tüübil on minu oma reeglite ja võtete kogum, mida tuleb otsuse tegemisel kasutada. Murdudega töötamiseks - üks komplekt. Trigonomeetriliste avaldistega töötamiseks - teine. Logaritmidega töötamiseks - kolmas. Jne. Kusagil langevad need reeglid kokku, kuskil erinevad järsult. Kuid ärge kartke neid kohutavaid sõnu. Logaritme, trigonomeetriat ja muid salapäraseid asju õpime vastavates jaotistes.

Siin õpime (või kordame, nagu soovite ...) kahte peamist tüüpi matemaatilisi avaldisi. Arvulised avaldised ja algebraavaldised.

Numbrilised avaldised.

Mida numbriline avaldis? See on väga lihtne kontseptsioon. Nimi ise viitab sellele, et see on numbritega väljend. Nii see on. Arvudest, sulgudest ja aritmeetiliste tehtemärkidest koosnevat matemaatilist avaldist nimetatakse numbriliseks avaldiseks.

7-3 on numbriline avaldis.

(8+3,2) 5,4 on samuti arvuline avaldis.

Ja see koletis:

ka numbriline avaldis, jah...

Tavaline arv, murd, mis tahes arvutusnäide ilma x-i ja muude tähtedeta – kõik need on arvavaldised.

peamine omadus numbriline väljendeid selles kirju pole. Mitte ühtegi. Ainult numbrid ja matemaatilised ikoonid (vajadusel). See on lihtne, eks?

Ja mida saab teha numbriliste avaldistega? Arvulisi avaldisi saab tavaliselt üles lugeda. Selleks tuleb vahel avada sulgusid, märke vahetada, lühendada, termineid vahetada – st. tegema väljendite teisendused. Aga sellest lähemalt allpool.

Siin käsitleme sellist naljakat juhtumit, kui numbrilise avaldisega sa ei pea midagi tegema. No mitte midagi! See tore operatsioon mitte midagi teha)- täidetakse, kui avaldis pole mõtet.

Millal pole numbrilisel avaldisel mõtet?

Muidugi, kui näeme enda ees mingit abrakadabrat, nagu nt

siis me ei tee midagi. Kuna pole selge, mida sellega peale hakata. Mingi jama. Kui just plusside arvu kokku lugeda ...

Kuid on väliselt üsna korralikke väljendeid. Näiteks see:

(2+3): (16–2 8)

Kuid see väljend on ka pole mõtet! Sel lihtsal põhjusel, et teistes sulgudes – kui arvestada – saad nulli. Nulliga jagada ei saa! See on matemaatikas keelatud tehte. Seetõttu pole ka selle väljendiga vaja midagi peale hakata. Iga sellise väljendiga ülesande puhul on vastus alati sama: "Väljendil pole mõtet!"

Sellise vastuse andmiseks pidin loomulikult arvutama, mis sulgudes on. Ja vahel sulgudes selline väänamine... No pole midagi teha.

Matemaatikas pole nii palju keelatud tehteid. Selles lõimes on ainult üks. Nulliga jagamine. Juurtes ja logaritmis tekkivaid lisakeeldusid käsitletakse vastavates teemades.

Niisiis, ettekujutus sellest, mis on numbriline avaldis- sain. kontseptsioon numbrilisel avaldisel pole mõtet- taipas. Lähme edasi.

Algebralised avaldised.

Kui numbrilises avaldises esinevad tähed, muutub see avaldis... Avaldis muutub... Jah! See muutub algebraline avaldis. Näiteks:

5a 2; 3x-2a; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Selliseid väljendeid nimetatakse ka sõnasõnalised väljendid. Või muutujatega avaldised. See on praktiliselt sama asi. Väljendus 5a +c, näiteks - nii literaal- kui algebraline ning muutujatega avaldis.

kontseptsioon algebraline avaldis - laiem kui numbriline. See sisaldab ja kõik numbrilised avaldised. Need. numbriline avaldis on ka algebraline avaldis, ainult ilma tähtedeta. Iga heeringas on kala, aga mitte iga kala pole heeringas...)

Miks sõnasõnaline- See on selge. Noh, kuna seal on tähed ... Fraas avaldis muutujatega ka mitte väga segadust tekitav. Kui saate aru, et numbrid on tähtede all peidus. Tähtede alla saab peita igasuguseid numbreid ... Ja 5, ja -18 ja mis iganes meeldib. See tähendab, et kiri saab asendada erinevatele numbritele. Sellepärast tähti kutsutaksegi muutujad.

Väljendis y+5, Näiteks, juures- muutuv. Või lihtsalt ütle " muutuja", ilma sõna "väärtus". Erinevalt viiest, mis on püsiv väärtus. Või lihtsalt - konstantne.

Tähtaeg algebraline avaldis tähendab, et selle väljendiga töötamiseks peate kasutama seadusi ja reegleid algebra. Kui a aritmeetika töötab siis konkreetsete numbritega algebra- kõigi numbritega korraga. Lihtne näide selgituseks.

Aritmeetikas võib seda kirjutada

Aga kui kirjutame sarnase võrdsuse algebraliste avaldiste kaudu:

a + b = b + a

otsustame kohe kõik küsimused. Sest kõik numbrid insult. Lõpmatu hulga asjade jaoks. Sest kirjade all a ja b kaudne kõik numbrid. Ja mitte ainult numbreid, vaid isegi muid matemaatilisi avaldisi. Nii töötab algebra.

Millal pole algebralisel avaldisel mõtet?

Arvulise avaldise osas on kõik selge. Nulliga jagada ei saa. Ja kas tähtedega on võimalik teada saada, millega me jagame ?!

Võtame näitena järgmise muutujaavaldise:

2: (a - 5)

Kas see on arusaadav? Aga kes teda tunneb? a- suvaline number...

Ükskõik milline... Kuid sellel on üks tähendus a, mille puhul see väljend täpselt pole mõtet! Ja mis see number on? Jah! See on 5! Kui muutuja a asendage (nad ütlevad - "asenda") numbriga 5, sulgudes osutub null. mida ei saa jagada. Nii selgub, et meie väljend pole mõtet, kui a = 5. Aga muude väärtuste pärast a Kas see on arusaadav? Kas saate asendada muid numbreid?

Kindlasti. Sellistel juhtudel öeldakse lihtsalt, et väljend

2: (a - 5)

on iga väärtuse jaoks mõistlik a, välja arvatud a = 5 .

Kogu numbrite komplekt saab nimetatakse antud avaldisesse asendust kehtiv vahemik see väljend.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Vaatame muutujatega avaldist ja mõtleme: millise muutuja väärtusega saadakse keelatud tehe (nulliga jagamine)?

Ja siis vaadake kindlasti ülesande küsimust. Mida nad küsivad?

pole mõtet, on vastuseks meie keelatud väärtus.

Kui nad küsivad, millise muutuja väärtusega avaldis omab tähendust(tunda erinevust!), on vastus kõik muud numbrid välja arvatud keelatud.

Miks me vajame väljendi tähendust? Ta on seal, teda pole... Mis vahet seal on?! Fakt on see, et see kontseptsioon muutub keskkoolis väga oluliseks. Ülimalt oluline! See on selliste kindlate mõistete aluseks nagu kehtivate väärtuste vahemik või funktsiooni ulatus. Ilma selleta ei saa te üldse lahendada tõsiseid võrrandeid ega ebavõrdsust. Nagu nii.

Avaldise teisendamine. Identiteedi transformatsioonid.

Tutvusime arv- ja algebraavaldistega. Saage aru, mida tähendab väljend "väljendil pole mõtet". Nüüd peame välja mõtlema, mida väljenduse teisendamine. Vastus on lihtne, ennekuulmatu.) See on igasugune väljendiga toiming. Ja see ongi kõik. Olete neid teisendusi teinud esimesest klassist saati.

Võtke lahe numbriline avaldis 3+5. Kuidas seda teisendada? Jah, väga lihtne! Arvutama:

See arvutus on avaldise teisendus. Saate kirjutada sama avaldise erineval viisil:

Me ei lugenud siin midagi. Lihtsalt kirjutage väljend üles erineval kujul. See on ka väljendi teisendus. Selle võib kirjutada nii:

Ja seegi on väljendi teisendus. Saate teha nii palju neid teisendusi, kui soovite.

Ükskõik milline tegevus väljendile ükskõik milline selle teistsugusel kujul kirjutamist nimetatakse avaldise teisenduseks. Ja kõik asjad. Kõik on väga lihtne. Kuid siin on üks asi väga oluline reegel. Nii oluline, et seda saab julgelt nimetada peamine reegel kogu matemaatika. Selle reegli rikkumine paratamatult viib vigadeni. Kas me saame aru?)

Oletame, et muutsime oma väljendit meelevaldselt järgmiselt:

Muutumine? Kindlasti. Kirjutasime väljendi teistsugusel kujul, mis siin valesti on?

See pole nii.) Fakt on see, et teisendused "mida iganes" matemaatika ei huvita üldse.) Kogu matemaatika on üles ehitatud teisendustele, milles välimus muutub, kuid väljendi olemus ei muutu. Kolm pluss viis võib kirjutada mis tahes kujul, kuid see peab olema kaheksa.

transformatsioonid, väljendid, mis ei muuda olemust helistas identsed.

Täpselt nii identsed teisendused ja võimaldavad meil samm-sammult muuta keerulise näite lihtsaks väljendiks, hoides näite olemus. Kui teeme teisenduste ahelas vea, teeme MITTE identse teisenduse, siis otsustame teine näide. Teiste vastustega, mis pole õigete vastustega seotud.)

Siin on mis tahes ülesannete lahendamise peamine reegel: teisenduste identiteedi järgimine.

Selguse mõttes tõin näite numbrilise avaldisega 3 + 5. Algebraavaldistes on valemite ja reeglitega antud identsed teisendused. Oletame, et algebras on valem:

a(b+c) = ab + ac

Nii et igas näites saame väljendi asemel a(b+c) kirjuta julgelt väljend ab+ac. Ja vastupidi. See on identne teisendus. Matemaatika annab meile võimaluse valida nende kahe väljendi vahel. Ja kumba kirjutada, sõltub konkreetsest näitest.

Veel üks näide. Üks olulisemaid ja vajalikumaid teisendusi on murdosa põhiomadus. Täpsemalt näete lingil, kuid siin tuletan lihtsalt meelde reeglit: kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga või avaldisega, mis ei võrdu nulliga, siis murd ei muutu. Siin on näide selle atribuudi identsetest teisendustest:

Nagu arvatavasti arvasite, võib seda ahelat jätkata lõputult...) Väga oluline omadus. Just see võimaldab teil muuta kõikvõimalikud näidiskoletised valgeks ja kohevaks.)

On palju valemeid, mis defineerivad identseid teisendusi. Aga mis kõige tähtsam – üsna mõistlik summa. Üks põhilisi teisendusi on faktoriseerimine. Seda kasutatakse kogu matemaatikas – algtasemest edasijõudnuni. Alustame temast. järgmises õppetükis.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel abrakadabrat, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on siin kirjas:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake tähelepanu meie navigaatorile, et leida kõige kasulikum ressurss

Sageli kuuleme seda ebameeldivat fraasi: "lihtsustada väljendit." Tavaliselt on meil sellisel juhul selline koletis:

"Jah, palju lihtsam," ütleme me, kuid selline vastus tavaliselt ei tööta.

Nüüd ma õpetan teid mitte kartma selliseid ülesandeid.

Veelgi enam, õppetunni lõpus lihtsustate te ise selle näite (just!) tavaliseks numbriks (jah, paganama nende tähtedega).

Kuid enne selle õppetunni alustamist peate suutma seda teha tegeleda murdosadega ja polünoomide faktoriseerimine.

Seetõttu, kui te pole seda varem teinud, meisterdage kindlasti teemad "" ja "".

Kas lugeda? Kui jah, siis olete valmis.

Lähme! (Lähme!)

Põhilised avaldiste lihtsustamise operatsioonid

Nüüd analüüsime peamisi meetodeid, mida kasutatakse väljendite lihtsustamiseks.

Lihtsaim neist on

1. Sarnase toomine

Mis on sarnased? Elasite selle läbi 7. klassis, kui matemaatikas ilmusid esimest korda numbrite asemel tähed.

Sarnased on sama täheosaga terminid (monoomid).

Näiteks summas nagu terminid on ja.

Mäletasid?

Too sarnased- tähendab mitme sarnase termini liitmist ja ühe termini saamist.

Aga kuidas me saame tähti kokku panna? - te küsite.

Seda on väga lihtne mõista, kui kujutate ette, et tähed on mingid objektid.

Näiteks kiri on tool. Mis on siis väljend?

Kaks tooli pluss kolm tooli, kui palju see maksab? Täpselt nii, toolid: .

Proovi nüüd seda väljendit:

Et mitte segadusse sattuda, tähistage erinevaid objekte erinevate tähtedega.

Näiteks - see on (nagu tavaliselt) tool ja - see on laud.

toolid lauad toolid lauad toolid toolid lauad

Nimetatakse numbreid, millega sellistes terminites tähed korrutatakse koefitsiendid.

Näiteks monomialis on koefitsient võrdne. Ja ta on võrdne.

Niisiis, sarnaste toomise reegel:

Näited:

Tooge sarnane:

Vastused:

2. (ja on sarnased, kuna seetõttu on neil terminitel sama täheosa).

2. Faktoriseerimine

See on tavaliselt kõige olulisem osa väljendite lihtsustamisel.

Pärast sarnaste andmist on enamasti vaja saadud väljendit faktoriseerima, st esindama tootena.

Eriti see oluline murdosades: sest murdosa vähendamiseks lugeja ja nimetaja tuleb väljendada korrutisena.

Läbisite teemas """ üksikasjalikud faktooringuväljendite meetodid, nii et siin peate lihtsalt õpitu meeles pidama.

Selleks lahendage mõned näited (peate faktoriseerima)

Näited:

Lahendused:

3. Fraktsiooni vähendamine.

Noh, mis saaks olla toredam, kui kriipsutada maha osa lugejast ja nimetajast ning visata need oma elust välja?

See on lühendi ilu.

See on lihtne:

Kui lugeja ja nimetaja sisaldavad samu tegureid, saab neid vähendada, st eemaldada murdosast.

See reegel tuleneb murdosa põhiomadusest:

See tähendab, et redutseerimisoperatsiooni olemus seisneb selles Jagame murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga (või sama avaldisega).

Murdosa vähendamiseks vajate:

1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima

2) kui lugeja ja nimetaja sisaldavad ühised tegurid, saab need kustutada.

Näited:

Põhimõte on minu arvates selge?

Tahaksin juhtida teie tähelepanu ühele tüüpilisele veale lühendis. Kuigi see teema on lihtne, teevad paljud inimesed kõike valesti, mõistmata seda lõigatud- see tähendab jagama lugeja ja nimetaja sama numbriga.

Lühendeid ei kasutata, kui lugeja või nimetaja on summa.

Näiteks: peate lihtsustama.

Mõned teevad seda: mis on täiesti vale.

Teine näide: vähendada.

"Kõige targem" teeb seda:

Ütle mulle, mis siin valesti on? Näib: - see on kordaja, nii et saate vähendada.

Aga ei: - see on lugejas ainult ühe liikme tegur, kuid lugejat ennast tervikuna teguriteks ei lagundata.

Siin on veel üks näide: .

See avaldis on jaotatud teguriteks, mis tähendab, et saate redutseerida, st jagada lugeja ja nimetaja järgmisega ja seejärel järgmisega:

Saate kohe jagada järgmisteks osadeks:

Selliste vigade vältimiseks pidage meeles lihtsat viisi, kuidas määrata, kas avaldis on arvesse võetud:

Avaldise väärtuse arvutamisel viimasena sooritatav aritmeetiline tehe on "peamine".

See tähendab, et kui asendate tähtede asemel mõned (suvalised) numbrid ja proovite arvutada avaldise väärtust, siis kui viimane toiming on korrutamine, on meil korrutis (avaldis laguneb teguriteks).

Kui viimane toiming on liitmine või lahutamine, tähendab see, et avaldist ei arvestata (ja seetõttu ei saa seda vähendada).

Selle ise parandamiseks mõned näited:

Näited:

Lahendused:

4. Murdude liitmine ja lahutamine. Murdude viimine ühisele nimetajale.

Harilike murdude liitmine ja lahutamine on üldtuntud toiming: otsime ühisnimetajat, korrutame iga murru puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad.

Tuletame meelde:

Vastused:

1. Nimetajad ja on koprime, st neil ei ole ühiseid tegureid. Seetõttu on nende arvude LCM võrdne nende korrutisega. Sellest saab ühine nimetaja:

2. Siin on ühine nimetaja:

3. Siin muudame kõigepealt segafraktsioonid sobimatuteks ja seejärel tavalise skeemi järgi:

Hoopis teine ​​asi on see, kui murrud sisaldavad näiteks tähti:

Alustame lihtsast:

a) Nimetajad ei sisalda tähti

Siin on kõik sama, mis tavaliste numbriliste murdude puhul: leiame ühise nimetaja, korrutame iga murdosa puuduva teguriga ja liidame / lahutame lugejad:

nüüd saate lugejasse tuua sarnased, kui need on olemas, ja arvutada need:

Proovige ise:

Vastused:

b) Nimetajad sisaldavad tähti

Meenutagem põhimõtet leida tähtedeta ühisosa:

Kõigepealt määrame kindlaks ühised tegurid;

Seejärel kirjutame kõik levinud tegurid üks kord välja;

ja korrutage need kõigi muude teguritega, mitte tavalistega.

Nimetajate ühistegurite määramiseks jagame need esmalt lihtsateks teguriteks:

Rõhutame ühiseid tegureid:

Nüüd kirjutame tavalised tegurid üks kord välja ja lisame neile kõik ebatavalised (joonimata):

See on ühine nimetaja.

Tuleme tagasi kirjade juurde. Nimetajad antakse täpselt samal viisil:

Jagame nimetajad teguriteks;

määrata ühised (identsed) kordajad;

kirjuta üks kord välja kõik levinud tegurid;

Korrutame need kõigi muude teguritega, mitte tavalistega.

Niisiis, järjekorras:

1) jagage nimetajad teguriteks:

2) määrake kindlaks ühised (identsed) tegurid:

3) kirjutage üks kord välja kõik levinumad tegurid ja korrutage need kõigi teiste (alla joonimata) teguritega:

Nii et ühisosa on käes. Esimene murdosa tuleb korrutada, teine ​​- arvuga:

Muide, on üks nipp:

Näiteks: .

Nimetajates näeme samu tegureid, ainult et kõik erinevate näitajatega. Ühine nimetaja saab olema:

ulatuses

ulatuses

ulatuses

kraadis.

Teeme ülesande keerulisemaks:

Kuidas teha murdudel sama nimetaja?

Meenutagem murdosa põhiomadust:

Kusagil pole öeldud, et murdosa lugejast ja nimetajast saab sama arvu lahutada (või liita). Sest see pole tõsi!

Vaadake ise: võtke näiteks suvaline murd ja lisage lugejale ja nimetajale mõni arv, näiteks . Mida on õpitud?

Niisiis, veel üks kõigutamatu reegel:

Kui viite murrud ühise nimetajani, kasutage ainult korrutustehet!

Aga mida on vaja korrutada, et saada?

Siin edasi ja korrutage. Ja korrutage:

Avaldisi, mida ei saa faktoriseerida, nimetatakse "elementaarteguriteks".

Näiteks on elementaarne tegur. - ka. Aga - ei: see on lagundatud teguriteks.

Aga väljendus? Kas see on elementaarne?

Ei, sest seda saab faktoriseerida:

(teooriast lugesite juba teemas "").

Niisiis, elementaarsed tegurid, milleks te avaldise tähtedega jagate, on analoogid lihtsatele teguritele, milleks te numbreid jagate. Ja me teeme sama nendega.

Näeme, et mõlemal nimetajal on tegur. See läheb võimu ühisnimetajale (mäletate, miks?).

Kordaja on elementaarne ja neil pole seda ühist, mis tähendab, et esimene murdosa tuleb sellega lihtsalt korrutada:

Veel üks näide:

Otsus:

Enne nende nimetajate paaniliselt korrutamist peate mõtlema, kuidas neid arvesse võtta? Mõlemad esindavad:

Hästi! Seejärel:

Veel üks näide:

Otsus:

Nagu tavaliselt, faktoreerime nimetajad. Esimeses nimetajas paneme selle lihtsalt sulgudest välja; teises - ruutude erinevus:

Näib, et ühiseid tegureid pole. Aga kui tähelepanelikult vaadata, on nad juba nii sarnased ... Ja tõde on:

Nii et kirjutame:

See tähendab, et see kujunes nii: sulu sees vahetasime termineid ja samal ajal muutus murru ees olev märk vastupidiseks. Võtke teadmiseks, et peate seda sageli tegema.

Nüüd jõuame ühise nimetajani:

Sain aru? Nüüd kontrollime.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Vastused:

5. Murdude korrutamine ja jagamine.

Noh, kõige raskem osa on nüüd möödas. Ja meie ees on kõige lihtsam, kuid samal ajal kõige olulisem:

Menetlus

Milline on arvavaldise arvutamise protseduur? Pidage meeles, võttes arvesse sellise väljendi väärtust:

Kas sa lugesid?

See peaks toimima.

Niisiis, ma tuletan teile meelde.

Esimene samm on kraadi arvutamine.

Teine on korrutamine ja jagamine. Kui korraga on mitu korrutamist ja jagamist, saate neid teha mis tahes järjekorras.

Ja lõpuks teostame liitmise ja lahutamise. Jällegi suvalises järjekorras.

Aga: sulgudes olevat avaldist hinnatakse korrast ära!

Kui mitu sulgu korrutatakse või jagatakse üksteisega, hindame esmalt igas sulgudes olevat avaldist ja seejärel korrutame või jagame need.

Mis siis, kui sulgudes on muid sulgusid? Noh, mõelgem: sulgude sisse on kirjutatud mõni väljend. Mida tuleb esimese asjana avaldise hindamisel teha? See on õige, arvutage sulud. Noh, me mõtlesime selle välja: kõigepealt arvutame sisemised sulgud, seejärel kõik muu.

Seega on ülaltoodud avaldise toimingute järjekord järgmine (praegune toiming on punasega esile tõstetud, see tähendab toiming, mida ma praegu teen):

Olgu, kõik on lihtne.

Kuid see pole sama, mis tähtedega väljend, kas pole?

Ei, see on sama! Ainult aritmeetiliste toimingute asemel on vaja teha algebralisi, st eelmises jaotises kirjeldatud tehteid: sarnast toomine, murdude lisamine, murdude vähendamine jne. Ainus erinevus on polünoomide faktooringu toimimine (kasutame seda sageli murdarvudega töötamisel). Kõige sagedamini peate faktoriseerimiseks kasutama i-d või lihtsalt ühisteguri sulgudest välja võtma.

Tavaliselt on meie eesmärk esitada avaldist toote või jagatisena.

Näiteks:

Lihtsustame väljendit.

1) Esmalt lihtsustame sulgudes olevat avaldist. Seal on meil murdude erinevus ja meie eesmärk on esitada seda korrutise või jagatisena. Niisiis, viime murrud ühise nimetaja juurde ja lisame:

Seda väljendit on võimatu veelgi lihtsustada, kõik tegurid on siin elementaarsed (kas mäletate veel, mida see tähendab?).

2) Saame:

Murdude korrutamine: mis võiks olla lihtsam.

3) Nüüd saate lühendada:

See on kõik. Pole midagi keerulist, eks?

Veel üks näide:

Lihtsustage väljendit.

Esmalt proovige see ise lahendada ja alles siis vaadake lahendust.

Otsus:

Kõigepealt määratleme protseduuri.

Esmalt lisame sulgudes olevad murded, kahe murru asemel tuleb välja üks.

Seejärel teeme murdude jagamise. Noh, lisame tulemuse viimase murdosaga.

Nummerdan sammud skemaatiliselt:

Lõpuks annan teile kaks kasulikku nõuannet:

1. Kui on sarnaseid, tuleb need kohe ära tuua. Igal hetkel, kui meil on sarnaseid, on soovitatav need kohe tuua.

2. Sama kehtib ka fraktsioonide redutseerimise kohta: niipea, kui avaneb võimalus vähendada, tuleb see ära kasutada. Erandiks on murrud, mille lisate või lahutate: kui neil on nüüd samad nimetajad, siis tuleks taandamine jätta hilisemaks.

Siin on mõned ülesanded, mida saate ise lahendada:

Ja lubas kohe alguses:

Vastused:

Lahendused (lühidalt):

Kui tulite toime vähemalt kolme esimese näitega, siis arvake, et olete teema selgeks saanud.

Nüüd õppimise juurde!

Avaldise teisendamine. KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEM

Põhilised lihtsustustoimingud:

• Sarnase toomine: sarnaste terminite lisamiseks (vähendamiseks) tuleb lisada nende koefitsiendid ja määrata täheosa.
• Faktoreerimine:ühisteguri sulgudest välja võtmine, rakendamine jne.
• Fraktsiooni vähendamine: murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga, millest murdu väärtus ei muutu.
  1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima
  2) kui lugejas ja nimetajas on ühised tegurid, võib need läbi kriipsutada.

  TÄHTIS: vähendada saab ainult kordajaid!

• Murdude liitmine ja lahutamine:
  ;
• Murdude korrutamine ja jagamine:
  ;

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled niigi parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Eksami eduka sooritamise, eelarvega instituuti vastuvõtmise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla kindlasti teistest eksamil parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele õpetuse kõigis 99 artiklis - Osta õpik - 499 rubla

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele on kohe avatav.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Arve ja avaldisi, mis moodustavad algse avaldise, saab asendada nendega identselt võrdsete avaldistega. Selline algse avaldise teisendus toob kaasa avaldise, mis on sellega identselt võrdne.

Näiteks avaldises 3+x saab arvu 3 asendada summaga 1+2 , mille tulemuseks on avaldis (1+2)+x , mis on identselt võrdne algse avaldisega. Teine näide: avaldises 1+a 5 saab a 5 astme asendada sellega identselt võrdse korrutisega, näiteks kujul a·a 4 . See annab meile avaldise 1+a·a 4 .

See transformatsioon on kahtlemata kunstlik ja on tavaliselt ettevalmistus mõneks edasiseks transformatsiooniks. Näiteks summas 4·x 3 +2·x 2 võib astme omadusi arvestades liiget 4·x 3 esitada korrutisena 2·x 2 ·2·x . Pärast sellist teisendust saab algne avaldis kujul 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Ilmselt on saadud summa liikmetel ühine tegur 2 x 2, nii et saame teha järgmise teisenduse - sulud. Pärast seda jõuame avaldiseni: 2 x 2 (2 x+1) .

Sama arvu liitmine ja lahutamine

Teine avaldise kunstlik teisendus on sama arvu või avaldise samaaegne liitmine ja lahutamine. Selline teisendus on identne, kuna see on tegelikult samaväärne nulli lisamisega ja nulli lisamine väärtust ei muuda.

Kaaluge näidet. Võtame avaldise x 2 +2 x . Kui lisate sellele ühe ja lahutate ühe, võimaldab see tulevikus teha teise identse teisenduse - vali binoomi ruut: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 17. väljaanne, lisa. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 lk.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Arvude liitmise ja korrutamise põhiomadused.

Liitmise kommutatiivne omadus: tingimuste ümberpaigutamisel summa väärtus ei muutu. Mis tahes arvu a ja b korral on võrdsus tõene

Liitmise assotsiatiivne omadus: kahe arvu summale kolmanda arvu liitmiseks saate esimesele arvule lisada teise ja kolmanda summa. Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene

Korrutamise kommutatiivne omadus: tegurite permutatsioon ei muuda korrutise väärtust. Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene

Korrutamise assotsiatiivne omadus: kahe arvu korrutise korrutamiseks kolmanda arvuga saate esimese arvu korrutada teise ja kolmanda korrutisega.

Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene

Jaotusomadus: arvu korrutamiseks summaga saate selle arvu korrutada iga liikmega ja liita tulemused. Mis tahes arvu a, b ja c korral on võrdsus tõene

Liitmise kommutatiivsetest ja assotsiatiivsetest omadustest järeldub, et suvalises summas saab termineid vastavalt soovile ümber paigutada ja suvaliselt rühmadesse kombineerida.

Näide 1 Arvutame summa 1,23+13,5+4,27.

Selleks on mugav ühendada esimene termin kolmandaga. Saame:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

See tuleneb korrutamise kommutatiivsetest ja assotsiatiivsetest omadustest: mis tahes korrutises saate tegurid mis tahes viisil ümber paigutada ja suvaliselt rühmadesse ühendada.

Näide 2 Leiame korrutise väärtuse 1,8 0,25 64 0,5.

Kombineerides esimese teguri neljanda ja teise kolmandaga, saame:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Jaotusomadus kehtib ka siis, kui arv korrutatakse kolme või enama liikme summaga.

Näiteks mis tahes arvu a, b, c ja d korral on võrdsus tõene

a(b+c+d)=ab+ac+reklaam.

Teame, et lahutamise saab asendada liitmisega, lisades minuendile lahutuskohale vastupidise arvu:

See võimaldab pidada arvulist avaldist kujul a-b arvude a ja -b summaks, arvulist avaldist kujul a + b-c-d pidada arvude a, b, -c, -d jne summaks. toimingute kaalutletud omadused kehtivad ka selliste summade puhul.

Näide 3 Leiame avaldise 3,27-6,5-2,5+1,73 väärtuse.

See avaldis on arvude 3,27, -6,5, -2,5 ja 1,73 summa. Lisaomadusi rakendades saame: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Näide 4 Arvutame korrutise 36·().

Kordajat võib pidada arvude ja - summaks. Kasutades korrutamise jaotusomadust, saame:

36()=36-36=9-10=-1.

Identiteedid

Definitsioon. Kaks avaldist, mille vastavad väärtused on muutujate mis tahes väärtuste jaoks võrdsed, on identsed.

Definitsioon. Võrdsust, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta, nimetatakse identiteediks.

Leiame avaldiste 3(x+y) ja 3x+3y väärtused x=5, y=4 korral:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3a=3 5+3 4=15+12=27.

Saime sama tulemuse. Jaotusomadusest järeldub, et üldiselt on muutujate mis tahes väärtuste korral avaldiste 3(x+y) ja 3x+3y vastavad väärtused võrdsed.

Vaatleme nüüd avaldisi 2x+y ja 2xy. Kui x=1, y=2 on neil võrdsed väärtused:

Siiski saate määrata x ja y väärtused nii, et nende avaldiste väärtused ei ole võrdsed. Näiteks kui x=3, y=4, siis

Avaldised 3(x+y) ja 3x+3y on identselt võrdsed, kuid avaldised 2x+y ja 2xy ei ole identselt võrdsed.

Võrdsus 3(x+y)=x+3y, mis kehtib kõigi x ja y väärtuste puhul, on identsus.

Identiteetideks loetakse ka tõelisi arvulisi võrdusi.

Seega on identiteedid võrdsused, mis väljendavad arvudega tehtavate toimingute peamisi omadusi:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Identiteedi kohta võib tuua ka teisi näiteid:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Avaldiste identiteedi teisendused

Ühe avaldise asendamist teisega, sellega identselt võrdsega, nimetatakse identseks teisenduseks või lihtsalt avaldise teisendamiseks.

Muutujatega avaldiste identsed teisendused tehakse arvudega tehtavate tehtete omaduste põhjal.

Avaldise xy-xz väärtuse leidmiseks väärtuste x, y, z korral peate tegema kolm sammu. Näiteks kui x=2.3, y=0.8, z=0.2 saame:

xy-xz = 2,3 0,8-2,3 0,2 = 1,84-0,46 = 1,38.

Selle tulemuse saab ainult kahes etapis, kasutades avaldist x(y-z), mis on identselt võrdne avaldisega xy-xz:

xy-xz = 2,3 (0,8-0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Oleme arvutusi lihtsustanud, asendades avaldise xy-xz identselt võrdse avaldisega x(y-z).

Avaldiste identiteedi teisendusi kasutatakse laialdaselt avaldiste väärtuste arvutamisel ja muude probleemide lahendamisel. Mõned identsed teisendused on juba tehtud, näiteks sarnaste terminite taandamine, sulgude avamine. Tuletage meelde nende teisenduste teostamise reegleid:

sarnaste terminite toomiseks tuleb liita nende koefitsiendid ja tulemus korrutada ühise täheosaga;

kui sulgude ees on plussmärk, siis võib sulud ära jätta, jättes alles iga sulgudes oleva termini märgi;

kui sulgude ees on miinusmärk, siis saab sulud ära jätta, muutes iga sulgudes oleva termini märki.

Näide 1 Liidame sarnased terminid summas 5x+2x-3x.

Sarnaste terminite vähendamiseks kasutame reeglit:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

See teisendus põhineb korrutamise jaotusomadusel.

Näide 2 Laiendame sulgusid avaldises 2a+(b-3c).

Plussmärgiga eelnenud sulgude avamise reegli rakendamine:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Teostatud teisendus põhineb liitmise assotsiatiivsel omadusel.

Näide 3 Laiendame sulgusid avaldises a-(4b-c).

Kasutame sulgude laiendamise reeglit, millele eelneb miinusmärk:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Teostatud teisenduse aluseks on korrutamise jaotusomadus ja liitmise assotsiatiivne omadus. Näitame seda. Esitame selle avaldise teist liiget -(4b-c) korrutisena (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Rakendades neid toimingute omadusi, saame:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.