Funktsiooni antiderivaat ja üldvaade.

a)Otsene integratsioon.

Funktsioonide integraalide leidmine määramata integraalide omaduste vahetul rakendamisel ja integratsiooni põhivalemite tabel. Vaatleme näidet funktsiooni integraali leidmisest otsese integreerimise teel.

Näide:

∫(X–3) 2d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+C.

Enamikul juhtudel on tegemist funktsioonide integraalidega, mida otsese integreerimisega ei leita. Sel juhul on vaja teha asendus (muutuja asendamine).

b)Integreerimine asendamise teel (muutuja muutmine).

Asendusintegratsioon või, nagu seda sageli nimetatakse, muutuja muutmise meetod, on üks tõhusamaid ja levinumaid integreerimismeetodeid. Asendusmeetodiks on antud integratsioonimuutujalt teisele muutujale üleminek, et lihtsustada alamintegraali avaldist ja viia see ühte tabeliintegraali. Sel juhul otsustab asendusvaliku esineja individuaalselt, sest puuduvad üldised reeglid, mis täpsustaksid, millises asenduses sel juhul võta.

Näide: Leidke integraal ∫ e 2x+3d X.

Tutvustame uut muutujat t, millega on seotud X järgmine sõltuvus 2 X+ 3 =t.

Võtke selle võrrandi vasaku ja parema külje diferentsiaalid: 2d X=dt;d X=dt/2.

Nüüd 2 asemel X+ 3 ja d X asendame nende väärtused integrandiga. Siis saame: ∫ e 2x+3d X=∫e tdt= e t + C. Tulles tagasi eelmise muutuja juurde, saame lõpuks avaldise:

∫e 2x+3d X=e 2x+3 + C.

Veendumaks, et integraal on õigesti võetud, on vaja kasutada antiderivatiivi funktsiooni e 2x+ 3 eristada ja kontrollida, kas kas selle tuletis on võrdne integrandiga:

(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .

3. Määratud integraal ja selle omadused.

Määratletud integraali mõistet kasutatakse laialdaselt paljudes teaduse ja tehnika valdkondades. Tema abiga arvutatakse välja kõveratega piiratud alad, suvalise kujuga mahud, muutuva jõu võimsus ja töö, liikuva keha teekond, inertsmomendid ja paljud muud suurused.

AT
Valdav enamus juhtudel võetakse kõverjoonelise trapetsi pindala määramise ülesannete lahendamisel kasutusele kindla integraali mõiste. Olgu pidev funktsioon y =f( X) segmendil [ a, c]. Joonis, mis on piiratud kõveraga y \u003d f ( X) ordinaadid a Ah oh sisse AGA P ja segment [ a, c] abstsisstelge nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks (joon. 1).

Seadke endale ülesandeks: määrata kõverjoonelise trapetsi pindala S a A o A P sisse. Selleks jagame lõigu [ a, c] peal P ei ole vajalik võrdsetes osades ja tähistage jaotuspunkte järgmiselt: a=X umbes < Xüks < X 2 ‹ … ‹ X P = sisse.

Jaotuspunktidest taastame ristid kõveraga y \u003d f ( X). Seega oleme jaganud kogu kõveraga piiratud ala P elementaarsed kõverjoonelised trapetsid. Taastame alates suvalised punktid iga segment ∆ X i ordinatesf(C i), kuni see lõikub kõveraga y =f( X). Järgmiseks konstrueerime astmelise kujundi, mis koosneb ristkülikutest, mille alus on ∆ X i ja kõrgus f(C i). elementaarala ith ristkülik saab olema S i =f(C i)(X i -X i -1 ), ja kogu ala S P saadud astmeline joonis on võrdne ristkülikute pindalade summaga:

S P=f(C o)( X 1 -X o) + f (C 1) ( X 2 -X 1 ) + … +f(С P- 1)(X P -X P- 1).

Selle summa kirje lühendamiseks sisestage sümbol
(sigma) - märk, mis tähendab suuruste liitmist. Siis

S P =
.

See summa S P, mida nimetatakse integraalsummaks, võib olla kas suurem või väiksem antud pindala tegelikust väärtusest. Piirkonna tegelikule väärtusele lähim väärtus on summalimiit eeldusel, et elementaarlõigud jagatakse ( p→
) ja pikkus suur segment ∆X max kipub nulli, st:

S=
(4)

Seda integraalsumma piiri (kui see on olemas) kutsutakse kindel integraal funktsioonist f( X) segmendil [ a,sisse] ja tähistada:
=
(5)

(loe - "kindel integraal a enne sisse ef ot x de x”).

Numbrid a ja sisse nimetatakse integratsiooni alumiseks ja ülemiseks piiriks, f( X) on integrand; X on integratsioonimuutuja. Valemeid (4) ja (5) rakendades saab kirjutada. et kõverjoonelise trapetsi pindala on arvuliselt võrdne trapetsi piirava funktsiooni integraaliga, mis võetakse üle integreerimisintervalli [a,sisse]:

.

See asjaolu väljendab kindla integraali geomeetrilist tähendust.

Vaatleme kindla integraali omadusi.

1. Kindel integraal ei sõltu muutuja tähistusest, st:
=
.

2. Algebralise summa kindel integraal on võrdne iga liikme kindlate integraalide algebralise summaga:

= f 1 ( X)d x + f 2 ( X)d X+ ….

Lisa

Integraalid saidile, et koondada õpilaste ja kooliõpilaste käsitletav materjal. Ja harjutage oma praktilisi oskusi. Integraalide täisväärtuslik lahendus teile hetkega võrgus aitab teil kindlaks teha kõik protsessi etapid. Iga kord, kui hakkate integraali võrgus lahendama, peate tuvastama selle tüübi, ilma selleta ei saa te ühtegi meetodit kasutada , välja arvatud tabeliintegraal. Mitte iga tabeli integraal ei ole selgelt nähtav toodud näide, mõnikord peate antiderivaadi leidmiseks muutma algset funktsiooni. Praktikas taandub integraalide lahendamine originaali ehk antituletise leidmise probleemile lõpmatust funktsioonide perekonnast, kuid kui on antud integratsiooni piirid, siis Newtoni-Leibnizi valemi järgi jääb alles ainult üks funktsioon, millele arvutusi rakendatakse. Võrguintegraalid on võrgus olev määramatu integraal ja võrgus olev kindel integraal. Võrgufunktsiooni integraal on nende integreerimiseks mõeldud arvude summa. Seetõttu on mitteametlikult võrgus olev kindel integraal ala funktsiooni graafiku ja integratsioonis oleva x-telje vahel. Näiteid ülesannete lahendamisest integraalidega. Arvutame kompleksintegraali üle ühe muutuja ja seostame selle vastuse ülesande edasise lahendusega. Nagu öeldakse, saate integrandi integraali otse leida. Iga suure täpsusega integraal määrab ala joontega piiratud arvud. See on üks tema omadest geomeetrilised tähendused. See meetod muudab õpilaste jaoks lihtsamaks. Mitmel etapil ei ole tegelikult suurt mõju vektoranalüüs. Võrgufunktsiooni integraal on integraaliarvutuse põhimõiste Määramata integraalide lahendamine. Analüüsi põhiteoreemi järgi on integreerimine diferentseerimisele pöördtehte, mis aitab lahendada diferentsiaalvõrrandid. Neid on mitu erinevaid määratlusi integreerimistoimingud, mis erinevad tehniliste üksikasjade poolest. Kuid need on kõik ühilduvad, st mis tahes kaks integreerimismeetodit, kui neid saab antud funktsioonile rakendada, annavad sama tulemuse. Lihtsaim on Riemanni integraal – kindel integraal või määramata integraal. Mitteametlikult saab ühe muutuja funktsiooni integraali sisestada graafiku aluse pindalana (funktsiooni graafiku ja x-telje vahele jääv joonis). Iga selline alamprobleem võib õigustada, et integraali arvutamine on olulise lähenemisviisi alguses äärmiselt vajalik. Ärge unustage seda! Püüdes seda ala leida, võib vaadelda kujundeid, mis koosnevad paljudest vertikaalsetest ristkülikutest, mille põhjad koos moodustavad integreerimislõigu ja saadakse lõigu jagamisel vastavaks arvuks väikesteks segmentideks. Integraalide lahendamine võrgus.Online integraal - võrgus määratu integraal ja võrgus kindel integraal. Integraalide lahendamine võrgus: võrgus määramata integraal ja võrgus kindel integraal. Kalkulaator lahendab integraalid koos toimingute kirjeldusega üksikasjalikult ja tasuta! Funktsiooni võrgus olev määramatu integraal on antud funktsiooni kõigi antiderivaatide kogum. Kui funktsioon on defineeritud ja intervallil pidev, siis on sellel antiderivatiivne funktsioon (või antiderivaatide perekond). Integraal defineerib ainult avaldise, mille tingimused sellise vajaduse ilmnemisel sead ise. Parem on sellele asjale ettevaatlikult läheneda ja kogeda tehtud tööst sisemist rahulolu. Kuid integraali arvutamine klassikalisest erineval viisil viib mõnikord ootamatute tulemusteni ja selle üle ei tasu imestada. Hea meel selle üle, et sellel on positiivne mõju toimuvale. Määratud integraalide ja integraalide määramata integraalide loend koos üksikasjaliku samm-sammult lahendusega. Kõik integraalid koos üksikasjaliku lahendusega võrgus. Määramatu integraal. Määramatu integraali leidmine võrgus on väga levinud ülesanne kõrgem matemaatika ja teised tehnilised sektsioonid Teadused. Integreerimise põhimeetodid. Integraali, kindla ja määramata integraali definitsioon, integraalide tabel, Newtoni-Leibnizi valem. Ja jällegi saate oma integraali leida integraaliavaldiste tabeli abil, kuid selleni peate siiski jõudma, kuna kõik pole nii lihtne, kui esmapilgul võib tunduda. Mõelge valmis hoonetele enne, kui leiate vigu. Määratud integraal ja selle arvutamise meetodid. Online kindel integraal muutujaga ülempiir. Integraalide lahendamine võrgus. Kõik näited, mis aitavad tabelivalemite abil integraali arvutada, on kasulikud juhendid mis tahes koolitustaseme õpilastele. Kriitiline samm teel õige vastuseni Integraalid võrgus. Mitte kindlad integraalid mis sisaldavad eksponentsiaalset ja logaritmilised funktsioonid. Integraalide lahendamine võrgus - saate üksikasjalik lahendus jaoks erinevad tüübid integraalid: määramatu, kindel, ebaõige. Määratud integraalide kalkulaator arvutab funktsiooni võrgupõhise kindla integraali intervallil kasutades numbriline integreerimine. Funktsiooni integraal on analoogne jada summaga. Mitteametlikult öeldes on kindel integraal funktsiooni graafiku osa pindala. Online integraallahendus.Online integraal - võrgus määramata integraal ja võrgus kindel integraal. Tihti määrab taoline integraal ära, kui palju keha on temaga võrreldes sama tihedusega objektist raskem ja pole vahet, mis kujuga see on, sest pind ei ima vett. Integraalide lahendamine võrgus.. Võrguintegraalid - võrgus määratu integraal ja võrgus kindel integraal. Iga bakalaureuseõppe üliõpilane teab, kuidas veebis integraali leida. Kooli õppekava alusel õpitakse ka seda matemaatika osa, kuid mitte üksikasjalikult, vaid ainult nii keerulise ja olulise teema põhitõdesid. Enamasti alustavad õpilased integraalide õppimist ulatusliku teooriaga, millele eelneb ka olulised teemad, näiteks tuletis- ja piiriüleminekud – need on samuti piirid. Integraalide lahendamine algab järk-järgult kõigest elementaarsed näited alates lihtsad funktsioonid, ja lõpeb paljude eelmisel sajandil ja isegi palju varem välja pakutud lähenemisviiside ja reeglite rakendamisega. Integraalarvutus on sissejuhatav lütseumides ja koolides ehk keskkoolis õppeasutused. Meie saidi sait aitab teid alati ja integraalide lahendamine võrgus muutub teie jaoks tavaliseks ja mis kõige tähtsam - arusaadavaks ülesandeks. Selle ressursi põhjal saate selles hõlpsasti tipptaseme saavutada matemaatika osa. Õppides selgeks samm-sammult õpitud reeglid, nagu osade kaupa integreerimine või Tšebõševi meetodi rakendamine, saate hõlpsasti otsustada maksimaalne summa punktid mis tahes testi kohta. Kuidas siis ikkagi arvutada integraali kõigile teadaoleva integraalitabeli abil, kuid nii, et lahendus oleks õige, õige ja võimalikult täpse vastusega? Kuidas seda õppida ja kas tavalisel esmakursuslasel on see võimalik võimalikult lühikese ajaga? Vastame sellele küsimusele jaatavalt – see on võimalik! Sel juhul ei suuda te mitte ainult lahendada mis tahes näidet, vaid jõuda ka kõrgetasemelise inseneri tasemele. Saladus on sama lihtne kui kunagi varem – pead pingutama maksimaalselt, andma nõutav summa aega enesetreeninguks. Kahjuks pole keegi veel teist võimalust välja mõelnud! Kuid kõik pole nii hägune, kui esmapilgul tundub. Kui viitate selle küsimusega meie saiditeenusele, siis teeme teie elu lihtsamaks, sest meie sait suudab arvutada integraale Internetis üksikasjalikult, väga kiiresti ja laitmatult täpse vastusega. Oma tuumas ei määra integraal seda, kuidas argumentide suhe mõjutab süsteemi kui terviku stabiilsust. Kui kõik oleks tasakaalus. Lisaks sellele, kuidas õpite selle põhitõdesid matemaatika teema, võib teenus leida mis tahes integrandi integraali, kui seda integraali saab lahendada elementaarfunktsioonides. Vastasel juhul ei ole elementaarfunktsioonides mittevõetavate integraalide puhul praktikas vaja analüütiliselt või teisisõnu eksplitsiitses vormis vastust leida. Kõik integraalide arvutused taandatakse antud integrandi antiderivatiivse funktsiooni määratlusele. Selleks arvuta esmalt võrgus kõikide matemaatikaseaduste järgi määramatu integraal. seejärel asendage vajadusel integraali ülemine ja alumine väärtus. Kui teil pole vaja määrata ega arvutada arvväärtus määramatu integraal, siis lisatakse saadud antiderivatiivsele funktsioonile konstant, määratledes sellega antiderivatiivsete funktsioonide perekonna. Eriline koht teaduses ja üldiselt mis tahes insenerivaldkonnas, sealhulgas kontiinummehaanikas, kirjeldab integratsioon terveid mehaanilisi süsteeme, nende liikumisi ja palju muud. Paljudel juhtudel määrab koostatud integraal materiaalse punkti liikumisseaduse. See on väga oluline tööriistõppimises rakendusteadused. Selle põhjal ei saa öelda mastaapsete arvutuste kohta olemasolu ja käitumise seaduste kindlaksmääramiseks mehaanilised süsteemid. Saidi veebipõhine integreeritud lahenduskalkulaator on võimas tööriist professionaalsed insenerid. Garanteerime selle teile ühemõtteliselt, kuid teie integraali saame arvutada alles pärast seda, kui olete integrandi piirkonda õige avaldise sisestanud. Ärge kartke eksida, selles küsimuses on kõik parandatav! Tavaliselt taandatakse integraalide lahendus rakendusele tabeli funktsioonid tuntud õpikutest või entsüklopeediatest. Nagu iga teine ​​määramata integraal, arvutatakse see standardvalemi järgi ilma jämedate kriitikateta. Kergesti ja loomulikult haaravad esmakursuslased õpitava materjali käigu pealt ning mõnikord ei kulu integraali leidmiseks rohkem kui kaks minutit. Ja kui õpilane on integraalide tabeli selgeks saanud, siis üldiselt oskab ta vastuseid oma mõtetes määrata. Funktsioonide laiendamine muutujate võrra pindade suhtes tähendab algselt õiget vektori suund mingil hetkel abstsissil. Pinnajoonte ettearvamatu käitumine võtab vastuse allikas aluseks teatud integraalid matemaatilised funktsioonid. Kuuli vasak serv ei puuduta silindrit, millesse ring on sisse kirjutatud, kui vaadata tasapinnal olevat lõiget. Väikeste alade summa, mis on jagatud sadadeks tükkhaaval pidevateks funktsioonideks, on võrguintegraal antud funktsioon. mehaaniline tunne integraal koosneb paljudest rakendatud ülesanded, see on kehade mahu määratlus ja kehamassi arvutamine. Kolmekordne ja topeltintegraalid nendesse arvutustesse kaasatud. Nõuame, et online-integraalid lahendataks ainult kogenud õpetajate juhendamisel ja arvukate kontrollide kaudu.Tihti küsitakse meilt nende üliõpilaste edusammude kohta, kes loengus ei käi, jätavad need ilma põhjuseta, kuidas neil õnnestub integraal ise leida. Vastame, et õpilased on vabad inimesed ja võivad end hästi koolitada väliselt, valmistudes testiks või eksamiks mugavates kodustes tingimustes. Mõne sekundiga aitab meie teenus kõiki, kes soovivad arvutada mis tahes funktsiooni integraali muutuja suhtes. Kontrollige saadud tulemust, võttes antiderivatiivse funktsiooni tuletise. Sel juhul kaob integraali lahendusest konstant. See reegel kehtib ilmselgelt kõigile. Kuna mitmesuunalised operatsioonid on põhjendatud, taandatakse määramatu integraal sageli piirkonna jagamiseks väikesteks osadeks. Mõned õpilased ja kooliõpilased aga eiravad seda nõuet. Nagu alati, saab meie teenindussaidil veebipõhiseid integraale üksikasjalikult lahendada ja päringute arvule pole piiranguid, kõik on tasuta ja kõigile kättesaadav. Selliseid saite, mis annavad samm-sammult vastuse mõne sekundiga, pole palju ja mis kõige tähtsam kõrge täpsusega ja sisse mugav viis. AT viimane näide viiendal lehel kodutöö täidetud üks, mis näitab vajadust arvutada integraal etapiviisiliselt. Kuid me ei tohiks unustada, kuidas on võimalik integraali leida, kasutades valmisteenust, mis on aeg-testitud ja testitud tuhandete Internetis lahendatud näidete põhjal. Seda, kuidas selline integraal määrab süsteemi liikumise, näitab üsna selgelt ja selgelt viskoosse vedeliku liikumise iseloom, mida see võrrandisüsteem kirjeldab.

Oleme näinud, et tuletisel on palju rakendusi: tuletis on liikumise kiirus (või üldisemalt mis tahes protsessi kiirus); tuletis on kalle funktsiooni graafiku puutuja; kasutades tuletist, saate uurida funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse jaoks; Tuletis aitab lahendada optimeerimisülesandeid.

Aga sisse päris elu tuleb otsustada ja pöördprobleemid: näiteks koos teadaoleva liikumisseaduse järgi kiiruse leidmise probleemiga on probleem ka teadaolevalt kiiruselt liikumisseaduse taastamine. Vaatleme ühte neist probleemidest.

Näide 1 Liigub sirgjooneliselt materiaalne punkt, selle liikumise kiirus ajahetkel t on antud valemiga u = tg. Leidke liikumisseadus.

Otsus. Olgu s = s(t) soovitud liikumisseadus. On teada, et s"(t) = u"(t). Seega peame probleemi lahendamiseks valima funktsiooni s = s(t), mille tuletis on võrdne tg-ga. Seda on lihtne ära arvata

Märgime kohe, et näide on õigesti lahendatud, kuid mittetäielikult. Oleme saanud selle. Tegelikult on probleemil lõpmatult palju lahendusi: vormi mis tahes funktsioon suvaline konstant, võib toimida liikumisseadusena, sest

Ülesande täpsustamiseks tuli fikseerida lähteolukord: näidata liikuva punkti koordinaat mingil ajahetkel, näiteks t=0 juures. Kui ütleme, et s (0) \u003d s 0, siis võrdsusest saame s (0) \u003d 0 + C, st S 0 \u003d C. Nüüd on liikumisseadus üheselt defineeritud:
Matemaatikas määratakse vastastikused tehted erinevad nimed, pakkuge välja spetsiaalne tähistus: näiteks ruudustamiseks (x 2) ja eraldamiseks ruutjuur siinus (sinx) ja arcsine(arcsin x) jne. Antud funktsiooni suhtes tuletise leidmise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks ja pöördtehteks, s.o. funktsiooni leidmise protsess antud tuletise järgi – integreerimise teel.
Juba terminit "tuletis" saab õigustada "maisel viisil": funktsioon y - f (x) "toob maailma" uus funktsioon y "= f" (x) Funktsioon y \u003d f (x) toimib justkui "vanemana", kuid matemaatikud muidugi ei nimeta seda "vanemaks" ega "tootjaks", nad ütlevad, et see on seoses funktsiooniga y"=f"(x), esmase kujutisega või lühidalt antiderivaadiga.

Definitsioon 1. Funktsiooni y \u003d F (x) nimetatakse funktsiooni y \u003d f (x) antituletiseks antud intervallil X, kui kõigi x-i korral X-st on võrdus F "(x) \u003d f (x) .

Praktikas ei ole intervall X tavaliselt täpsustatud, vaid kaudne (funktsiooni loomuliku domeenina).

siin on mõned näidised:

1) Funktsioon y \u003d x 2 on funktsiooni y \u003d 2x antituletis, kuna kõigi x puhul on võrdsus (x 2) "\u003d 2x tõene.
2) funktsioon y - x 3 on funktsiooni y-3x 2 antituletis, kuna kõigi x puhul on võrdsus (x 3)" \u003d 3x 2 tõene.
3) Funktsioon y-sinx on funktsiooni y=cosx antituletis, kuna kõigi x puhul kehtib võrdus (sinx) "=cosx.
4) Funktsioon on intervalli funktsiooni antituletis kuna kõigi x > 0 korral on võrdsus tõene
Üldjuhul, teades derivaatide leidmise valemeid, ei ole raske koostada antiderivaatide leidmise valemite tabelit.

Loodame, et saate aru, kuidas see tabel on koostatud: teise veergu kirjutatud funktsiooni tuletis on võrdne funktsiooniga, mis on kirjutatud esimese veeru vastavale reale (kontrollige seda, ärge olge laisk, see on väga kasulik). Näiteks funktsiooni y \u003d x 5 puhul on funktsioon, nagu te määrate, antiderivaat (vt tabeli neljandat rida).

Märkused: 1. Allpool tõestame teoreemi, et kui y = F(x) on funktsiooni y = f(x) antituletis, siis funktsioonil y = f(x) on lõpmatult palju antituletisi ja need kõik on kujul y = F (x ) + C. Seetõttu oleks õigem lisada tabeli teises veerus kõikjale termin C, kus C on suvaline reaalarv.
2. Lühiduse huvides öeldakse mõnikord fraasi "funktsioon y = F(x) on funktsiooni y = f(x) antiderivaat" asemel, et F(x) on f(x) antituletis. ".

2. Antiderivaatide leidmise reeglid

Antiderivaatide otsimisel, nagu ka tuletisi otsides, ei kasutata mitte ainult valemeid (need on loetletud tabelis lk 196), vaid ka mõningaid reegleid. Need on otseselt seotud vastavate tuletisinstrumentide arvutamise reeglitega.

Teame, et summa tuletis on võrdne tuletiste summaga. See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.

1. reegel Summa antiderivaat on võrdne antiderivatiivide summaga.

Juhime teie tähelepanu selle sõnastuse mõningasele "kergusele". Tegelikult oleks vaja sõnastada teoreem: kui funktsioonidel y = f(x) ja y=g(x) on intervallil X antituletised vastavalt y-F(x) ja y-G(x), siis summa funktsioonidest y = f(x) + g(x) omab antituletist intervallil X ja selleks antituletiseks on funktsioon y = F(x) + G(x). Kuid tavaliselt reeglite (ja mitte teoreemide) sõnastamisel lahkutakse ainult märksõnad- seega on reeglit praktikas mugavam rakendada

Näide 2 Leidke funktsiooni y = 2x + cos x antituletis.

Otsus. 2x antituletiv on x "; cosx antituletiv on sin x. Seega on funktsiooni y \u003d 2x + cos x antituletiseks funktsioon y \u003d x 2 + sin x (ja üldiselt mis tahes funktsiooni funktsioon vorm Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Teame, et konstantse teguri saab tuletise märgist välja võtta. See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.

2. reegel Konstantse faktori saab antiderivatiivsest märgist välja võtta.

Näide 3

Otsus. a) Sin x antiderivaat on -cos x; seega funktsiooni y \u003d 5 sin x puhul on antiderivatiiv funktsioon y \u003d -5 cos x.

b) cos x antiderivaat on sin x; seega antiderivatiivse funktsiooni jaoks on funktsioon
c) x 3 antiderivaat on funktsiooni x antiderivaat y \u003d 1 on funktsioon y \u003d x. Kasutades esimest ja teist antiderivaatide leidmise reeglit, saame, et funktsiooni y \u003d 12x 3 + 8x-1 antiderivaat on funktsioon
kommenteerida. Teatavasti ei võrdu korrutise tuletis tuletiste korrutisega (korrutise eristamise reegel on keerulisem) ja jagatise tuletis ei võrdu tuletiste jagatisega. Seetõttu puuduvad reeglid toote antiderivaadi või kahe funktsiooni jagatise antiderivaadi leidmiseks. Ole ettevaatlik!
Saame veel ühe reegli antiderivaatide leidmiseks. Teame, et funktsiooni y \u003d f (kx + m) tuletis arvutatakse valemiga

See reegel genereerib vastava reegli antiderivaatide leidmiseks.
3. reegel Kui y \u003d F (x) on funktsiooni y \u003d f (x) antiderivaat, siis funktsiooni y \u003d f (kx + m) antiderivaat on funktsioon

Tõepoolest,

See tähendab, et see on funktsiooni y \u003d f (kx + m) antiderivaat.
Kolmanda reegli tähendus on järgmine. Kui teate, et funktsiooni y \u003d f (x) antiderivaat on funktsioon y \u003d F (x), ja peate leidma funktsiooni y \u003d f (kx + m) antituletise, toimige järgmiselt. järgneb: võta sama funktsioon F, kuid argumendi x asemel asenda avaldis xx+m; lisaks ärge unustage funktsiooni märgi ette kirjutada "parandustegurit".
Näide 4 Leidke antud funktsioonide jaoks antiderivaadid:

Otsus, a) Sin x antiderivaat on -cos x; see tähendab, et funktsiooni y \u003d sin2x puhul on antiderivatiiv funktsioon
b) cos x antiderivaat on sin x; seega antiderivatiivse funktsiooni jaoks on funktsioon

c) Funktsiooni x 7 antituletiseks on seega funktsiooni y \u003d (4-5x) 7 korral antituletiseks funktsioon

3. Määramatu integraal

Oleme juba eespool märkinud, et antud funktsioonile y = f(x) antituletise leidmise probleemil on rohkem kui üks lahendus. Arutame seda küsimust üksikasjalikumalt.

Tõestus. 1. Olgu y \u003d F (x) funktsiooni y \u003d f (x) antituletis vahemikus X. See tähendab, et kõigi x-ide korral X-st on võrdus x "(x) \u003d f (x) tõene. Leidke mis tahes funktsiooni kujul y \u003d F (x) + C tuletis:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Niisiis, (F(x)+C) = f(x). See tähendab, et y \u003d F (x) + C on funktsiooni y \u003d f (x) antiderivaat.
Seega oleme tõestanud, et kui funktsioonil y \u003d f (x) on antiderivaat y \u003d F (x), siis funktsioonil (f \u003d f (x) on lõpmatult palju antiderivaate, näiteks mis tahes funktsiooni funktsioon vorm y \u003d F (x) +C on antiderivaat.
2. Tõestame seda nüüd määratud tüüp funktsioone, on kogu antiderivaatide komplekt ammendatud.

Olgu y=F 1 (x) ja y=F(x) kaks antituletist funktsiooni Y = f(x) jaoks intervallil X. See tähendab, et intervalli X kõigi x puhul kehtivad järgmised seosed: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Mõelge funktsioonile y \u003d F 1 (x) -.F (x) ja leidke selle tuletis: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
On teada, et kui funktsiooni tuletis intervallil X on identselt võrdne nulliga, siis on funktsioon intervallil X konstantne (vt § 35 teoreem 3). Seega F 1 (x) -F (x) \u003d C, st. Fx) \u003d F (x) + C.

Teoreem on tõestatud.

Näide 5 Kehtestatud on kiiruse muutumise seadus ajast v = -5sin2t. Leidke liikumisseadus s = s(t), kui on teada, et hetkel t=0 oli punkti koordinaat võrdne arvuga 1,5 (st s(t) = 1,5).

Otsus. Kuna kiirus on koordinaadi tuletis aja funktsioonina, peame esmalt leidma kiiruse antituletise, s.o. funktsiooni v = -5sin2t antiderivaat. Üks sellistest antiderivaatidest on funktsioon ja kõigi antiderivaatide komplektil on vorm:

Konstandi C konkreetse väärtuse leidmiseks kasutame esialgsed tingimused, mille kohaselt s(0) = 1,5. Asendades valemis (1) väärtused t=0, S = 1,5, saame:

Asendades leitud väärtuse C valemiga (1), saame meid huvitava liikumisseaduse:

2. definitsioon. Kui funktsioonil y = f(x) on intervallil X antiderivatiiv y = F(x), siis on kõigi antiderivaatide hulk, s.o. funktsioonide komplekti kujul y \u003d F (x) + C nimetatakse funktsiooni y \u003d f (x) määramatuks integraaliks ja tähistatakse:

(need loevad: "x de x määramatu integraal ef").
Järgmises osas saame teada, mis on varjatud tähendus näidatud tähistus.
Selles lõigus saadaoleva antiderivaatide tabeli põhjal koostame peamiste määramata integraalide tabeli:

Eeltoodud kolmest antiderivaatide leidmise reeglist lähtudes saame sõnastada vastavad integreerimisreeglid.

1. reegel Funktsioonide summa integraal on võrdne summaga nende funktsioonide integraalid:

2. reegel Konstantse teguri saab integraalmärgist välja võtta:

3. reegel Kui a

Näide 6 Otsige määramata integraalid:

Otsus, a) Kasutades esimest ja teist integreerimisreeglit, saame:

Nüüd kasutame 3. ja 4. integreerimisvalemeid:

Selle tulemusena saame:

b) Kasutades kolmandat integreerimisreeglit ja valemit 8, saame:

c) Antud integraali otseseks määramiseks pole meil ei vastavat valemit ega vastavat reeglit. Sellistel juhtudel mõnikord eelnevalt teostatud identsed teisendused integraalimärgi all sisalduv väljend.

Kasutame ära trigonomeetriline valem alandamine:

Seejärel leiame järjestikku:

A.G. Mordkovitši algebra 10. klass

Kalendri-temaatiline planeerimine matemaatikas, video matemaatikas võrgus, matemaatikas koolis

See õppetund on esimene integratsiooni käsitlevate videote seeriast. Selles saame aru, mis on funktsiooni antiderivaat ning uurime ka nende väga antiderivaatide arvutamise elementaarseid meetodeid.

Tegelikult pole siin midagi keerulist: sisuliselt taandub kõik tuletise mõistele, millega peaks juba tuttav olema. :)

Märgin seda kohe, kuna see on meie esimene õppetund uus teema, täna keerulisi arvutusi ja valemeid ei tehta, kuid see, mida täna uurime, on arvutamisel palju keerukamate arvutuste ja struktuuride aluseks. keerulised integraalid ja ruudud.

Lisaks eeldame just integratsiooni ja integraalide uurimist alustades kaudselt, et üliõpilane tunneb juba vähemalt tuletise mõisteid ja omab vähemalt elementaarseid oskusi nende arvutamiseks. Ilma selle selge mõistmiseta pole integratsioonis absoluutselt midagi peale hakata.

Siin peitub aga üks sagedasemaid ja salakavalamaid probleeme. Fakt on see, et alustades oma esimeste antiderivaatide arvutamist, ajavad paljud õpilased need segamini tuletistega. Selle tulemusena eksamitel ja iseseisev töö tehakse rumalaid ja solvavaid vigu.

Seetõttu ei anna ma nüüd antiderivaadi selget määratlust. Ja vastutasuks soovitan teil vaadata, kuidas seda peetakse lihtsal konkreetsel näitel.

Mis on primitiivne ja kuidas seda peetakse

Me teame seda valemit:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Seda tuletist peetakse elementaarseks:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Vaatame saadud avaldist tähelepanelikult ja väljendame $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Kuid vastavalt tuletise määratlusele võime selle kirjutada ka nii:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime )))\]

Ja nüüd tähelepanu: see, mille me just üles kirjutasime, on antiderivaadi määratlus. Kuid selle õigeks kirjutamiseks peate kirjutama järgmise:

Kirjutame samamoodi järgmise avaldise:

Kui me seda reeglit üldistame, saame tuletada järgmise valemi:

\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nüüd saame sõnastada selge määratluse.

Funktsiooni antiderivatiiv on funktsioon, mille tuletis on võrdne algfunktsiooniga.

Küsimused antiderivatiivse funktsiooni kohta

Tundub olevat üsna lihtne ja selge määratlus. Seda kuuldes tekib aga tähelepanelikul õpilasel kohe mitu küsimust:

1. Ütleme nii, et see valem on õige. Kuid sel juhul, kui $n=1$, on meil probleeme: nimetajasse ilmub "null" ja seda pole võimalik nulliga jagada.
2. Valem on piiratud ainult volitustega. Kuidas arvutada antiderivatiiv, näiteks siinus, koosinus ja mis tahes muu trigonomeetria, samuti konstandid.
3. Eksistentsiaalne küsimus: kas antiderivaati on alati üldse võimalik leida? Kui jah, siis kuidas on lood antiderivatiivi summaga, vahega, tootega jne?

Vastan kohe viimasele küsimusele. Kahjuks ei võeta antiderivaati erinevalt tuletisest alati arvesse. Sellist universaalset valemit, mille järgi mis tahes esialgsest konstruktsioonist saame funktsiooni, mis on võrdne selle sarnase konstruktsiooniga, pole olemas. Mis puutub jõududesse ja konstantidesse, siis me räägime sellest nüüd.

Võimsusfunktsioonidega seotud probleemide lahendamine

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Nagu näeme, antud valem$((x)^(-1))$ jaoks ei tööta. Tekib küsimus: mis siis töötab? Kas me ei saa lugeda $((x)^(-1))$? Muidugi saame. Alustame sellest:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Nüüd mõtleme: millise funktsiooni tuletis on võrdne $\frac(1)(x)$. Ilmselt mäletab iga õpilane, kes on selle teemaga vähegi tegelenud, et see avaldis võrdub naturaallogaritmi tuletisega:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Seetõttu võime julgelt kirjutada järgmist:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Seda valemit on vaja teada, nagu ka võimsusfunktsiooni tuletist.

Mida me seni teame:

• Võimsusfunktsiooni jaoks — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Konstandi puhul - $=const\to \cdot x$
• Võimsusfunktsiooni erijuhtum - $\frac(1)(x)\to \ln x$

Ja kui hakkame korrutama ja jagama lihtsamaid funktsioone, kuidas siis arvutada korrutise antiderivatiivi või jagatist. Paraku ei tööta siin analoogiad toote või jagatisega tuletisega. Ükskõik milline standardvalem ei eksisteeri. Mõnel juhul on keerulised spetsiaalsed valemid – nendega tutvume tulevastes videoõpetustes.

Siiski pidage meeles: üldine valem, pole jagatise ja korrutise tuletise arvutamiseks sarnast valemit.

Tõeliste probleemide lahendamine

Ülesanne nr 1

Teeme igaüks toitefunktsioonid loe eraldi:

\[((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)\]

Tulles tagasi meie väljendi juurde, kirjutame üldkonstruktsiooni:

Ülesanne nr 2

Nagu ma juba ütlesin, primitiivseid teoseid ja privaatseid "tühi läbi" ei käsitleta. Siin saate aga teha järgmist.

Oleme murru jaganud kahe murru summaks.

Arvutame:

Hea uudis on see, et kui olete teadnud antiderivaatide arvutamise valemeid, saate juba arvutada keerukamaid struktuure. Läheme aga edasi ja laiendame oma teadmisi veel veidi. Fakt on see, et paljusid konstruktsioone ja väljendeid, millel pole esmapilgul midagi pistmist $((x)^(n))$-ga, saab esitada võimsusena ratsionaalne näitaja, nimelt:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Kõiki neid tehnikaid saab ja tuleks kombineerida. Jõuväljendid saab

• korrutada (võimsused liidetakse);
• jagada (kraadid lahutatakse);
• korrutada konstandiga;
• jne.

Avaldiste lahendamine astmega ratsionaalse astendajaga

Näide nr 1

Loendame iga juurt eraldi:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Kokkuvõttes võib kogu meie ehituse kirjutada järgmiselt:

Näide nr 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \parem))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Seega saame:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ kuni \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2(x)^(2)))\]

Kokkuvõttes, kogudes kõik ühte avaldisse, võime kirjutada:

Näide nr 3

Esiteks pange tähele, et oleme juba välja arvutanud $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Kirjutame ümber:

Loodan, et ma ei üllata kedagi, kui ütlen, et see, mida me just uurisime, on kõige lihtsamad antiderivaatide arvutused, kõige elementaarsemad konstruktsioonid. Vaatame nüüd veidi lähemalt keerulised näited, milles lisaks tabelina esitatud antiderivaatidele tuleb ka meelde tuletada kooli õppekava, nimelt vähendatud korrutusvalemid.

Keerulisemate näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Tuletage meelde erinevuse ruudu valem:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Kirjutame oma funktsiooni ümber:

Nüüd peame leidma sellise funktsiooni antiderivaadi:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Kogume kõik ühisesse kujundusse:

Ülesanne nr 2

Sel juhul peame avama erinevuse kuubi. Tuletame meelde:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2)-((b)^(3))\]

Arvestades seda asjaolu, võib selle kirjutada järgmiselt:

Muudame natuke oma funktsiooni:

Arvestame, nagu alati, iga termini puhul eraldi:

\[((x)^(-3))\frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ kuni \ln x\]

Kirjutame saadud konstruktsiooni:

Ülesanne nr 3

Peal on summa ruut, avame selle:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Kirjutame lõpplahenduse:

Ja nüüd tähelepanu! Kõrgelt oluline asi, millega on seotud lõviosa vigadest ja arusaamatustest. Fakt on see, et seni, lugedes tuletisi abil antiderivaate, andes teisendusi, ei mõelnud me sellele, millega konstandi tuletis võrdub. Kuid konstandi tuletis on võrdne "nulliga". Ja see tähendab, et saate kirjutada järgmised valikud:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Seda on väga oluline mõista: kui funktsiooni tuletis on alati sama, siis on samal funktsioonil lõpmatu arv antituletisi. Saame lihtsalt lisada oma primitiividele mis tahes konstantsed arvud ja hankida uued.

Pole juhus, et äsja lahendatud ülesannete selgitusse oli kirjutatud “Kirjuta üles üldine vorm primitiivid." Need. juba ette eeldatakse, et neid pole mitte üks, vaid terve hulk. Kuid tegelikult erinevad need ainult konstantse $ C $ poolest lõpus. Seetõttu parandame oma ülesannetes seda, mida me pole lõpetanud.

Veelkord kirjutame oma konstruktsioonid ümber:

Sellistel juhtudel tuleks lisada, et $C$ on konstant — $C=const$.

Teises funktsioonis saame järgmise konstruktsiooni:

Ja viimane:

Ja nüüd saime tõesti selle, mida meilt probleemi algseisundis nõuti.

Ülesannete lahendamine antud punktiga antiderivaatide leidmisel

Nüüd, kus me teame konstante ja antiderivatiivide kirjutamise iseärasusi, tekivad üsna loogiliselt järgmist tüüpi probleemid, kui kõigi antiderivaatide hulgast on vaja leida üks ja ainus, mis läbiks antud punkt. Mis see ülesanne on?

Fakt on see, et kõik antud funktsiooni antiderivaadid erinevad ainult selle poolest, et neid nihutatakse vertikaalselt mingi numbri võrra. Ja see tähendab, et olenemata sellest, mis hetkel koordinaattasand me ei võtnud, üks primitiivne läheb kindlasti läbi ja pealegi ainult üks.

Niisiis, ülesanded, mida me nüüd lahendame, on sõnastatud järgmiselt: algfunktsiooni valemit teades pole lihtne leida antiderivatiivi, vaid valida neist täpselt üks, mis läbib antud punkti, mille koordinaadid antakse probleemi olukorras.

Näide nr 1

Esiteks arvutame lihtsalt iga termini:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\frac(((x)^(4)))(4)\]

Nüüd asendame need väljendid oma konstruktsioonis:

See funktsioon peab läbima punkti $M\left(-1;4 \right)$. Mida see tähendab, et see läbib punkti? See tähendab, et kui panna $x$ asemel kõikjale $-1$ ja $F\left(x \right)$ asemele - $-4$, siis peaksime saama õige arvulise võrdsuse. Teeme ära:

Näeme, et meil on $C$ võrrand, nii et proovime seda lahendada:

Paneme kirja just selle lahenduse, mida otsisime:

Näide nr 2

Kõigepealt on vaja lühendatud korrutamisvalemi abil avada erinevuse ruut:

\[((x)^(2))\frac(((x)^(3)))(3)\]

Algne struktuur kirjutatakse järgmiselt:

Nüüd leiame $C$: asendame punkti $M$ koordinaadid:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Väljendame $C$:

Jääb üle näidata lõplik avaldis:

Trigonomeetriliste ülesannete lahendamine

Nagu lõpuakord Lisaks äsja analüüsitule teen ettepaneku kaaluda veel kahte väljakutseid pakkuvad ülesanded sisaldab trigonomeetriat. Neis on samamoodi vaja leida kõigi funktsioonide antiderivaadid, seejärel valida sellest komplektist ainus, mis läbib koordinaattasandil punkti $M$.

Tulevikku vaadates tahaksin märkida, et tehnika, mida me nüüd kasutame antiderivaatide leidmiseks trigonomeetrilised funktsioonid, tegelikult on universaalne vastuvõtt enesetesti jaoks.

Ülesanne nr 1

Meenutagem järgmist valemit:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Selle põhjal saame kirjutada:

Asendame oma avaldisega punkti $M$ koordinaadid:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Kirjutame avaldise seda fakti silmas pidades ümber:

Ülesanne nr 2

Siin on see veidi keerulisem. Nüüd näete, miks.

Meenutagem seda valemit:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

"Miinusest" vabanemiseks peate tegema järgmist:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Siin on meie disain

Asendage punkti $M$ koordinaadid:

Paneme kirja lõpliku konstruktsiooni:

See on kõik, mida ma teile täna öelda tahtsin. Oleme uurinud terminit antiderivaadid, kuidas neid lugeda elementaarsed funktsioonid, samuti kuidas leida koordinaattasandil kindlat punkti läbiv antiderivatiiv.

Loodan, et see õppetund aitab teil seda pisut mõista raske teema. Igal juhul ehitatakse just antiderivatiividele ebamäärased ja määramata integraalid, seega on nendega kindlasti vaja arvestada. See on minu jaoks kõik. Varsti näeme!