Suvalisest punktist jätke kõrvale vektor, mis on võrdne antud vektoriga. Vektorid Vektorid Ajalooline viide Vektori mõiste Vektorite võrdsus Vektori edasilükkamine etteantud punktist Kahe vektori summa Liitmise seadused Lahutamine

1. Defineerige geomeetriliste vektorite võrdsus.

Kaks geomeetriline vektor peetakse võrdseks, kui:

need on kollineaarsed ja ühesuunalised;

nende pikkus on sama.

2. Määrake vektorite summa ja vektori korrutis arvuga.

Kahe vektori a ja b summa a + b on vektor c, mis on konstrueeritud järgmise kolmnurga reegli järgi. Ühendame vektori b alguse vektori a lõpuga. Siis on nende vektorite summaks vektor c, mille algus langeb kokku a algusega ja mille lõpp langeb kokku b lõpuga.

Kolmnurga reegli kõrval on rööpküliku reegel. Vektorite a ja b valimine ühine algus, ehitame nendele vektoritele rööpküliku. Seejärel määrab vektorite ühisest alguspunktist väljuva rööpküliku diagonaal nende summa.

Vektorit arvuga korrutades ei muutu vektori suund, vaid vektori pikkus korrutatakse arvuga.

3. Andke kollineaarsete ja koplanaarsete vektorite definitsioonid.

Kaht geomeetrilist vektorit peetakse kollineaarseks, kui nad asuvad samal sirgel või paralleelsel sirgel.

Kolme geomeetrilist vektorit nimetatakse koplanaarseks, kui need vektorid asuvad sirgel, mis on paralleelne mõne tasapinnaga.

4. Defineeri lineaarselt sõltuv ja lineaarne sõltumatu süsteem vektorid.

Vektoreid a 1 , … , a n nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui selline koefitsientide hulk α 1 , . . . , α n nii, et α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 ja pealegi on vähemalt üks neist koefitsientidest nullist erinev.

Kui määratud koefitsientide komplekti ei eksisteeri, nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks.

5. Sõnastage geomeetrilised kriteeriumid lineaarne sõltuvus 2 ja 3 vektorit.

Kaks vektorit on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on kollineaarsed.

6. Määratlege vektori alus ja koordinaadid.

Alus on selliste vektorite kogum vektorruum et selle ruumi mis tahes vektorit saab üheselt esitada selle hulga vektorite lineaarse kombinatsioonina - baasvektorid.

Vektori koordinaadid on valitud koordinaatsüsteemis ainsa võimaliku baasvektorite lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid, mis on võrdsed antud vektoriga.

7. Sõnasta teoreem vektori laienemise kohta baasi järgi.

Iga vektorruumi vektorit saab selle alusel ja pealegi ainulaadsel viisil lagundada.

Kui = (̅		- alus		= (1, 2, 3) , siis on arvude hulk (	…) selline, et

	̅ + + ̅̅, kus (		…) on baasis oleva vektori koordinaadid.

8. Määratlege vektori ortogonaalne skalaarprojektsioon suunale.

Nimetatakse vektori ortogonaalprojektsiooni vektori suunas skalaar Pr = | | cos() , kus nurk on vektorite vaheline nurk.

9. Defineeri vektorite skalaarkorrutis.

Kahe vektori skalaarkorrutist nimetatakse arvuks, mis on võrdne cos-ga -

pikkuste korrutis | | ja | | need vektorid nendevahelise nurga koosinuse järgi.

10. Sõnasta skalaarkorrutise lineaarsusomadus.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ c̅+ ̅ c̅.

11. Kirjutage üles valem kahe ortonormaalsel alusel antud vektori skalaarkorrutise arvutamiseks.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Kirjutage üles ortonormaalsel alusel antud vektoritevahelise nurga koosinuse valem.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Defineeri vektorite parem- ja vasakkolmik.

Mittetasatasandiliste vektorite a, b, c järjestatud kolmikut nimetatakse õigeks, kui vektori a suund langeb kokku vektori b suunaga vektori a lühima pöörde abil nende vektorite tasapinnas, mis sooritatakse vastupäeva alates vektor ac. Muidu (päripäeva pööramine) nimetatakse seda kolmikut vasakuks.

14. Defineeri vektorite vektorkorrutis.

vektorkunst mittekollineaarseid vektoreid ̅ ja ̅ nimetatakse vektoriks с̅, mis vastab kolmele järgmisele tingimusele:

vektor c on ortogonaalne vektoritega a ja b ;

vektori c pikkus on võrdne |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, kus ϕ on vektorite ̅ ja ̅ vaheline nurk;

vektorite järjestatud kolmik ̅ ,̅ ,с̅ on õige.

15. Sõnastage skalaarkorrutise kommutatiivsuse (sümmeetria) omadus ja vektori korrutise antikommutatiivsuse (antisümmeetria) omadus.

Skalaarkorrutis on kommutatiivne: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Vektorkorrutis on antikommutatiivne: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Sõnasta vektorite vektorkorrutise lineaarsusomadus.

assotsiatiivsuse omadus koos arvuga korrutamisega (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

distributiivne omadus liitmise suhtes (̅ +̅ )×с̅ =̅×с̅ +̅×с̅ .

Vektorkorrutise assotsiatiivsuse ja jaotusomadused ühinevad sarnaselt sisemise korrutise puhul vektorkorrutise lineaarsuse omadus

esimese teguri suhtes. Vektorkorrutise antikommutatiivsuse tõttu on vektorkorrutis lineaarne ka teise teguri suhtes:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅s ) = −(̅ +̅s )×̅ = −(̅ ×̅ +̅s ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅s.

17. Kirjutage üles ristkorrutise arvutamise valem õiges ortonormaalis.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Defineeri vektorite segakorrutis.

segatud toode kolme vektorit ̅ , ̅ , c̅ nimetatakse arvuks, mis võrdub (̅ ×̅ ) c̅ - kahe esimese vektori ja kolmanda vektori ristkorrutise skalaarkorrutisega.

19. Sõnasta segakorrutise permutatsiooniomadus (viltussümmeetria).

Segatoote puhul tsüklilise permutatsiooni reegel:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= − ̅с̅	= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.
20. Sõnasta segaprodukti lineaarsusomadus.
Segatud toode vastab assotsiatiivsuse omadusele

	vektorite korrutamine arvuga: (λ ̅ )с̅				= λ(̅ с̅ ).

	Segatud toode vastab jaotusomadusele: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅s + ̅̅̅
	̅s + ̅̅̅	koos.

Need segatoote omadused on formuleeritud esimese teguri jaoks. Tsüklilist permutatsiooni kasutades võib aga tõestada sarnast

väited nii teise kui ka kolmanda teguri kohta, s.o. võrdsused on tõesed

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅̅̅̅̅̅̅̅, ̅̅̅ + 1 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

ja selle tulemusena on meil segaprodukti lineaarsusomadus iga teguri jaoks.

21. Kirjutage õiges ortonormaalis üles segakorrutise arvutamise valem.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Salvestus üldvõrrand tasapinnad ja võrrand “segmentides”. Seletama geomeetriline tunne nendes võrrandites sisalduvad parameetrid.

Nimetatakse võrrand Ax + By + Cz + D = 0 tasapinna üldvõrrand. Selle võrrandi tundmatute koefitsiendid A, B, C on selge geomeetrilise tähendusega: vektor n = (A; B; C) on tasandiga risti. Teda kutsutakse normaalvektor lennukid. See, nagu ka tasandi üldvõrrand, määratakse kuni (nullist erineva) arvulise tegurini.

Nimetatakse võrrand + + = 1 tasapinnaline võrrand segmentides, kus a, b, c on

telgedel OX, OY ja OZ paiknevate punktide vastavad koordinaadid.

23. Kirjutage üles 3 etteantud punkti läbiva tasandi võrrand.

Olgu 1 (1 , 1 , 1 ) ,2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) antud punktid ja punkt M(x, y, z) moodustatud tasapinnale kuuluv punkt punktide 1 , 2 ja 3 järgi, siis on tasapinnaline võrrand

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Sõnasta kahe tasandi paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused.

kaks lennukit risti, kui nende normaalvektorid on ortogonaalsed.

Kaks tasapinda on paralleelsed, kui nende normaalvektorid on kollineaarsed.

25. Kirjutage üldvõrrandiga antud punkti ja tasandi kauguse valem.

Et leida kaugus punktist 0 (0 , 0 , 0 ) tasapinnani

: + + + = 0 kasutatakse valemit: (,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Kirjuta üles kanooniline ja parameetrilised võrrandid sirgjoon ruumis. Selgitage nendes võrrandites sisalduvate parameetrite geomeetrilist tähendust.

Võrrand ( = 0 + , kus (l; m; n) on sirge L suunava vektori koordinaadid ja

(0 ;0 ;

on ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis punkti 0 L koordinaadid, kutsutakse

ruumi sirgjoone parameetrilised võrrandid.

Võrrand

− 0

helistas kanoonilised võrrandid otse

ruumi.

27. Kirjutage üles kahte etteantud ruumipunkti läbiva sirge võrrand.

Võrrandid

− 1

nimetatakse kahte punkti läbiva sirge võrranditeks

1 (1 ,1 ,1 ) ja 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Kirjuta üles kahe sirge samale tasapinnale kuulumise tingimus.

Olgu a ja b nende sirgete suunavektorid ning punktid M1 ja M2 kuuluvad vastavalt sirgetele ja l 1 ja l 2 . Siis kuuluvad kaks rida samale tasapinnale, kui segakorrutis (a, b, M1 M2 ) on võrdne 0-ga.

29. Kirjutage üles valem kauguse kohta punktist ruumi sirgeni.

Kaugus punktist 1 jooneni L saab arvutada järgmise valemi abil:

30. Kirjutage üles kaldjoonte vahelise kauguse valem.

Ristjoonte 1 ja 2 vahelise kauguse saab arvutada järgmise valemiga:

mis kuuluvad sirgjoonte hulka.

1. Tõesta lineaarse sõltuvuse geomeetriline kriteerium kolm vektorit.

Kolm vektorit on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui nad on tasapinnalised.

Tõestus:

Kui kolm vektorit ̅ ,̅ ,̅ on lineaarselt sõltuvad, siis vastavalt teoreemile 2.1 (vektorite lineaarsest sõltuvusest) on üks neist, näiteks ̅ , teiste lineaarne kombinatsioon: ̅ = β̅ + γ̅ . Kombineerime vektorite ̅ ja ̅ algused punktis A. Siis saavad vektorid β̅ , γ̅ punktis A ühise alguspunkti ja rööpkülikureegli järgi nende summa, s.o. vector̅ , on vektor algusega A ja lõpuga, mis on terminivektoritele ehitatud rööpküliku tipp. Seega asuvad kõik vektorid samal tasapinnal, s.t. koplanaarne.

Olgu vektorid ̅ ,̅ ,̅ tasapinnalised. Kui üks neist vektoritest on null, siis on ilmne, et see on teiste lineaarne kombinatsioon. Piisab, kui kõik lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid on võrdsed nulliga. Seetõttu võime eeldada, et kõik kolm vektorit ei ole nullid. Kombineerime nende vektorite algused ühine punkt O. Olgu nende otsad vastavalt punktid A, B, C (joonis 2.1). Läbi punkti C tõmbame sirged paralleelsed joontega, mis läbivad punktipaare O, A ja O, B. Tähistades lõikepunktid tähega A’ ja B’, saame


rööpkülik OA'CB', seega = ′ + ′ . Vektor′ ja nullist erinev vektor̅
on kollineaarsed ja seetõttu saab esimese neist saada, korrutades teise arvuga

reaalarv α: ′ = . Samamoodi′ = , β R. Selle tulemusena saame, mida
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′, st. vektor̅ on lineaarne kombinatsioon vektorist̅ ja. Teoreemi järgi
		̅ on lineaarselt sõltuvad.
2.1 (vektorite lineaarsest sõltuvusest), vektorid ̅ ,		̅ on lineaarselt sõltuvad.

2. Tõesta teoreem vektori laienemise kohta aluse kaudu.
Teoreem vektori laienemisest aluse järgi. Kui = (̅			- alus		= (1, 2, 3), siis

seal on hulk numbreid (	…) nii, et ̅= ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, kus (		…) – koordinaadid

vektorid baasis.

Tõestus: (i = 2 puhul)

(̅1 , ̅2 )– alus 2 , ̅2

Ruumi V2 definitsiooni järgi: x, e1, e2 on tasapinnalised => (3 vektori lineaarse sõltuvuse kriteerium) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 on lineaarselt sõltuvad => 0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 juhtum: 0 \u003d 0, siis 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅, 1 2 + 2 2 ≠ 0, siis 1, 2 on lineaarselt sõltuvad (̅ 1, ̅ 2) - lin. sõltuvad. ̅ 1 ja ̅ 2 on kollineaarsed.

2. juhtum: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Tõestatud olemasolu.

Olgu siin 2 esitust:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Erinevus:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => on lineaarselt sõltuvad ja see on vastuolus alus.

3. Tõesta skalaarkorrutise lineaarsusomadus.

Koos arvuga korrutamisega on skalaarkorrutamise tehe assotsiatiivne: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Skalaarkorrutis ja vektori liitmine on seotud distributiivse omadusega: (̅ +̅ )с̅

= ̅ c̅+ ̅ c̅.

Q.E.D.

4. Tuletage ortonormaalsel alusel antud vektorite skalaarkorrutise arvutamise valem.

Ortonormaalsel alusel antud vektorite skalaarkorrutise arvutamise valemi tuletamine.

Olgu vektorid ̅ ja ̅ alates 3 antud nende koordinaatide järgi ortonormaalses baasis, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). See tähendab, et on olemas laiendused ̅ =̅ +̅ +̅ ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Kasutades neid ja skalaarkorrutise omadusi, arvutame

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Lõplik vastus saadi võttes arvesse asjaolu, et aluse ortonormaalsus,̅ ,̅

̅ tähendab võrduste ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 täitumist. Seega

̅ ̅ = + +

5. Tuletage valem õiges ortonormaalses baasis antud vektorite ristkorrutise arvutamiseks.

Ortonormaalsel alusel antud vektorite ristkorrutise arvutamise valemi tuletamine.

Vaatleme kahte vektorit ̅

ja antud nende koordinaatidena õiges ortonormaalses aluses

̅ = {

). Siis on nende vektorite laiendid ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Nende põhjal

esindused

algebraline

vektori korrutamine,

saame

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

Saadud valemi lihtsustamiseks märgime, et see sarnaneb 1. rea kolmandat järku determinandi laiendamise valemiga, arvuliste koefitsientide asemel kasutatakse ainult vektoreid. Seetõttu võite selle valemi kirjutada determinandiks, mis arvutatakse tavapäraste reeglite järgi. Selle determinandi kaks rida koosnevad numbritest ja üks vektoritest. Seega saab vektorkorrutise arvutamise valemi õiges ortonormaalses baasis,̅ ,̅ ̅ kirjutada järgmiselt:

6. Tõesta segaprodukti lineaarsusomadus.

Segaprodukti omadusi kasutades saab tõestada vektori lineaarsust

tooted esimese teguri järgi:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Selle jaoks leiame skalaarkorrutis võrdsuse vasakul küljel olev vektor ja standardbaasi ühikvektor. Arvestades segatoote lineaarsust teise teguri suhtes,

saame

need. Tõestatava võrdsuse vasakpoolse vektori abstsiss on võrdne selle paremal küljel oleva vektori abstsissiga. Samamoodi tõestame, et võrdsuse mõlemas osas on vektorite ordinaadid ja ka rakendused vastavalt võrdsed. Seetõttu see võrdsed vektorid, kuna nende koordinaadid standardse aluse suhtes on samad.

7. Tuletage segu arvutamise valem tooted kolmest vektorid õiges ortonormaalses baasis.

Valemi tuletamine kolme vektori segakorrutise arvutamiseks õiges ortonormaalses baasis.

Olgu vektorid a, b, c antud nende koordinaatide järgi õiges ortonormaalaluses: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). Nende segatoote leidmiseks

kasutame skalaar- ja vektorkorrutise arvutamiseks valemeid:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Tuletage üldvõrrandiga antud punkti ja tasandi kauguse valem.

Üldvõrrandiga antud punkti ja tasandi kauguse valemi tuletamine.

Vaatleme mõnda tasapinda π ja suvalist punkti 0 ruumis. Valime

tasapinna jaoks ühiknormaalvektor n, mille alguspunkt on mingis punktis 1 π , ja olgu ρ(0 ,

alates | ̅ | = 1.

Kui tasand π on antud sisse ristkülikukujuline süsteem koordinaadid oma üldvõrrandi järgi
Ax + By + Cz + D = 0, siis selle normaalvektor on vektor koordinaatidega (A; B; C).
Olgu (0 , 0 , 0 ) ja (1 , 1 , 1 ) punktide0 koordinaadid				ja 1 . Siis võrdsus
A 1 +B1 +C1 +D = 0, kuna punkt M1 kuulub tasapinnale ja sealt saab leida koordinaadid
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Vektorid 1 0:		1 0 = (0 - 1 ; 0 - 1 ; 0 - 1 ) . Skalaarkorrutise ̅ 1 0 üleskirjutamine
koordinaatide vormi ja teisenduse (5.8), saame
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

kuna 1 + 1 + 1 = − . Punkti ja tasapinna kauguse arvutamiseks peate asendama punkti koordinaadid tasapinna üldvõrrandiga ja seejärel jagama tulemuse absoluutväärtuse normaliseeriva teguriga, võrdne pikkusega vastav normaalvektor.

9. Tuleta valem kauguse kohta punktist sirgjooneni ruumis.

Ruumi punkti ja sirge kauguse valemi tuletamine.

Ristkorrutise abil saab arvutada kauguse punktist 1 (1 , 1 , 1 ) kanooniliste võrranditega L antud sirgeni L: − 0 = − 0 = − 0. Tõesti,

sirge kanoonilised võrrandid annavad meile sirgel punkti 0 (0 , 0 , 0 )

ja selle sirge suunavektor ̅ = (l; m; n). Ehitame vektoritele ̅ ja ̅̅̅̅̅̅̅ rööpküliku.

Siis võrdub kaugus punktist 1 sirgeni L rööpküliku kõrgusega h (joonis 6.6).

Seega saab vajaliku vahemaa arvutada valemiga

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Tuletage kaldjoonte vahelise kauguse valem.

Viltusjoonte vahelise kauguse valemi tuletamine.

Viltusjoonte vahelise kauguse saab leida segamise abil

tööd. Laske read 1	ja 2		kanoonilised võrrandid. Kuna nad
			̅̅̅̅̅̅̅̅

lõikuvad, nende suunavektorid 1 ,2 ja sirgete punkte ühendav vektor 1 2 on mittetasapinnalised. Seetõttu saab neile ehitada rööptahuka (joon. 6.7).

Siis võrdub joonte vaheline kaugus selle rööptahuka kõrgusega h. Rööptahuka kõrgust saab omakorda arvutada rööptahuka ruumala ja selle aluse pindala suhtena. Kasti maht võrdne mooduliga segatud toode kolmest määratud vektorid, ja rööpküliku pindala rööptahuka põhjas on võrdne joonte suunavate vektorite vektorkorrutise mooduliga. Selle tulemusena saame distantsi valemi

(1 , 2 ) ridade vahel:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Kellel omandatud teadmised ja oskused see õppetund, on õpilastele kasulik mitte ainult geomeetriatundides, vaid ka muude teaduste tundides. Tunni käigus õpivad koolilapsed vektorit edasi lükkama antud punkt. See võib olla nii tavaline geomeetriatund kui ka klassiväline või valiktund matemaatika. See areng aitab õpetajal säästa aega teemal "Vektori viivitamine antud punktist" tunniks valmistumisel. Piisab, kui ta klassis videotundi mängib ja seejärel materjali oma harjutuste valikuga kinnistab.

Tunni kestus on vaid 1:44 minutit. Kuid sellest piisab, et õpetada kooliõpilasi vektorit antud punktist edasi lükkama.

Tund algab vektori demonstreerimisega, mille algus on mingil hetkel. Nad ütlevad, et vektor on sellest edasi lükatud. Seejärel teeb autor ettepaneku tõestada temaga väidet, mille kohaselt saab mis tahes punktist tõmmata antud vektoriga võrdse ja pealegi ainulaadse vektori. Tõestuse käigus käsitleb autor iga juhtumit üksikasjalikult. Esiteks võtab see olukorra, kui antud vektor on null, ja teiseks, kui vektor on nullist erinev. Tõestuse käigus kasutatakse illustratsioone jooniste ja konstruktsioonide, matemaatilise märgistuse näol, mis kujundavad koolilaste matemaatilist kirjaoskust. Autor räägib aeglaselt, mis võimaldab õpilastel kommenteerimise ajal paralleelselt märkmeid teha. Autori poolt eelnevalt sõnastatud väite tõestamise käigus läbiviidud konstruktsioon näitab, kuidas ühest punktist saab konstrueerida antud vektoriga võrdset vektorit.

Kui õpilased jälgivad tundi hoolikalt ja teevad samal ajal märkmeid, õpivad nad materjali kergesti selgeks. Veelgi enam, autor räägib üksikasjalikult, mõõdetult ja üsna täielikult. Kui te mingil põhjusel midagi ei kuulnud, võite minna tagasi ja vaadata õppetundi uuesti.

Pärast videoõpetuse vaatamist on soovitav alustada materjali fikseerimisega. Õpetajal soovitatakse valida selleteemalised ülesanded, et välja töötada oskus vektorit antud punktist edasi lükata.

Seda õppetundi saab kasutada iseseisev õppimine koolilastele mõeldud teemad. Kuid konsolideerimiseks peate võtma ühendust õpetajaga, et ta valiks sobivad ülesanded. Tõepoolest, ilma materjali konsolideerimata on treeningul raske positiivset tulemust saavutada.

ov, kõigepealt peate mõistma sellist mõistet nagu vektori edasilükkamine antud punktist.

Definitsioon 1

Kui punkt $A$ on mingi vektori $\overrightarrow(a)$ algus, siis öeldakse, et vektor $\overrightarrow(a)$ on punktist $A$ edasi lükatud (joonis 1).

Joonis 1. $\overrightarrow(a)$ joonistatud punktist $A$

Tutvustame järgmist teoreemi:

1. teoreem

Igast punktist $K$ saab joonistada vektori $\overrightarrow(a)$ ja ainult ühe.

Tõestus.

Olemasolu: Siin tuleb arvestada kahe juhtumiga:

Vektor $\overrightarrow(a)$ on null.

Sel juhul on ilmne, et soovitud vektoriks on vektor $\overrightarrow(KK)$.

Vektor $\overrightarrow(a)$ on nullist erinev.

Olgu punkt $A$ tähistab vektori $\overrightarrow(a)$ algust ja punkt $B$ vektori $\overrightarrow(a)$ lõppu. Joonistame vektoriga $\overrightarrow(a)$ paralleelse sirge $b$ läbi punkti $K$. Joonistame sellele sirgele lõigud $\left|KL\right|=|AB|$ ja $\left|KM\right|=|AB|$. Vaatleme vektoreid $\overrightarrow(KL)$ ja $\overrightarrow(KM)$. Nendest kahest vektorist on soovitud vektor, mis suunatakse koos vektoriga $\overrightarrow(a)$ (joonis 2)

Joonis 2. 1. teoreemi illustratsioon

Unikaalsus: ainulaadsus tuleneb kohe alajaotises "olemasolu" teostatud konstruktsioonist.

Teoreem on tõestatud.

Vektorite lahutamine. Esimene reegel

Olgu meile antud vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$.

Definitsioon 2

Kahe vektori $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ erinevus on vektor $\overrightarrow(c)$, mis lisamisel vektorile $\overrightarrow(b)$ annab vektori $\ overrightarrow(a)$ , st

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Määramine:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Vaatleme kahe vektori erinevuse konstrueerimist ülesande abil.

Näide 1

Olgu antud vektorid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$. Koostage vektor $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Otsus.

Koostame suvalise punkti $O$ ja joonistame sellest vektorid $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Ühendades punkti $B$ punktiga $A$, saame vektori $\overrightarrow(BA)$ (joonis 3).

Joonis 3. Kahe vektori erinevus

Kahe vektori summa koostamise kolmnurga reegli järgi näeme seda

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Definitsioonist 2 saame selle

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Vastus:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Sellest ülesandest saame järgmise reegli kahe vektori erinevuse leidmiseks. Et leida erinevust $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, peame suvalisest punktist $O$ kõrvale jätma vektorid $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow( OB)=\overrightarrow(b )$ ja ühenda teise vektori lõpp esimese vektori lõpuga.

Vektorite lahutamine. Reegel kaks

Tuletage meelde järgmist mõistet, mida vajame.

3. määratlus

Vektorit $\overrightarrow(a_1)$ nimetatakse suvaliseks vektori $\overrightarrow(a)$ jaoks, kui need vektorid on vastassuunalised ja on sama pikkusega.

Määramine: Vektor $(-\overrightarrow(a))$ on vastupidine vektorile $\overrightarrow(a)$.

Kahe vektori erinevuse teise reegli juurutamiseks peame esmalt tutvustama ja tõestama järgmise teoreemi.

2. teoreem

Mis tahes kahe vektori $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ puhul kehtib järgmine võrdsus:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Tõestus.

Definitsiooni 2 järgi on meil

Lisage mõlemale osale vektor $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, saame

Kuna vektorid $\overrightarrow(b)$ ja $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ on vastupidised, siis $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ ülenool (0)$. Meil on

Teoreem on tõestatud.

Sellest teoreemist saame järgmise reegli kahe vektori erinevuse kohta: erinevuse $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ leidmiseks peame edasi lükkama vektori $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow( a)$ suvalisest punktist $O$, seejärel lükake saadud punktist $A$ vektor $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ ja ühendage esimese vektori algus vektori lõpuga teine vektor.

Näide ülesandest vektorite erinevuse mõiste kohta

Näide 2

Olgu $ADCD$ rööpkülik, mille diagonaalid lõikuvad punktis $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (joonis 4). Väljendage järgmisi vektoreid $\overrightarrow(a)$ ja $\overrightarrow(b)$ kujul:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Joonis 4. Paralleelogramm

Otsus.

a) Liidame kolmnurga reegli järgi, saame

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Kahe vektori erinevuse esimesest reeglist saame

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Kuna $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, saame

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Teoreemi 2 järgi on meil

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Kolmnurga reeglit kasutades oleme lõpuks saanud

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Vektor on eukleidilise ruumi sirge suunatud lõik, mille üht otsa (punkti A) nimetatakse vektori alguseks ja teist otsa (punkti B) vektori lõpuks (joonis 1). . Vektorid on tähistatud:

Kui vektori algus ja lõpp on samad, siis kutsutakse vektorit nullvektor ja tähistatud 0 .

Näide. Olgu vektori alguses kahemõõtmelises ruumis koordinaadid A(12,6) , ja vektori lõpp on koordinaadid B(12.6). Siis on vektor nullvektor.

Lõika pikkus AB helistas moodul (pikk, norm) vektor ja seda tähistatakse | a|. pikkuse vektor, võrdne ühega, kutsutakse ühikvektor . Lisaks moodulile iseloomustab vektorit suund: vektoril on suund alates A juurde B. Vektorit nimetatakse vektoriks, vastupidine vektor .

Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Joonisel fig. 3 punast vektorit on kollineaarsed alates nad asuvad samal sirgel ja sinised vektorid on kollineaarsed, sest nad asuvad paralleelsetel joontel. Kaks kollineaarsed vektorid helistas võrdselt suunatud kui nende otsad asuvad samal pool nende algust ühendavat joont. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastassuunas kui nende otsad on mööda erinevad küljed neid ühendavast sirgjoonest. Kui kaks kollineaarset vektorit asuvad samal sirgel, siis öeldakse, et need on võrdselt suunatud, kui üks ühe vektori moodustatud kiirtest sisaldab täielikult teise vektori moodustatud kiirt. Vastasel juhul nimetatakse vektoreid vastassuunalisteks. Joonisel 3 on sinised vektorid võrdselt suunatud ja punased vastassuunas.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on võrdsed moodulid ja need on võrdselt suunatud. Joonisel 2 on vektorid võrdsed, sest nende moodulid on võrdsed ja sama suunaga.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne kui need asuvad samal tasapinnal või paralleelsetel tasapindadel.

AT n Dimensioonilises vektorruumis vaatleme kõigi vektorite hulka, mille alguspunkt kattub lähtepunktiga. Seejärel saab vektori kirjutada järgmisel kujul:

(1)

kus x 1 , x 2 , ..., x n vektori lõpp-punkti koordinaadid x.

Kujul (1) kirjutatud vektorit kutsutakse rea vektor, ja vektor, mis on kirjutatud kujul

(2)

helistas veeru vektor.

Number n helistas dimensioon (korras) vektor. Kui a siis kutsutakse vektorit nullvektor(sest vektori alguspunkt ). Kaks vektorit x ja y on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed.

Vektor on üks geomeetrilisi põhimõisteid. Vektorit iseloomustavad arv (pikkus) ja suund. Visuaalselt võib seda ette kujutada suunatud segmendina, kuigi vektorist rääkides on õigem mõelda tervet klassi suunatud segmente, mis kõik on üksteisega paralleelsed, on sama pikkuse ja sama suunaga (joonis 1). 1). Looduses vektoriks olevate füüsikaliste suuruste näideteks on (progressiivselt liikuva keha) kiirus, kiirendus, jõud jne.

Vektori mõiste ilmus 19. sajandi saksa matemaatiku töödesse. G. Grassmann ja Iiri matemaatik W. Hamilton; siis võtsid paljud matemaatikud ja füüsikud selle hõlpsalt vastu. Kaasaegses matemaatikas ja selle rakendustes mängib see kontseptsioon oluline roll. Vektoreid kasutatakse klassikalises Galileo-Newtoni mehaanikas (selles kaasaegne esitlus), relatiivsusteoorias, kvantfüüsikas, in matemaatiline majandusteadus ja paljud teised loodusteaduse harud, rääkimata vektorite kasutamisest matemaatika erinevates valdkondades.

Iga vektori moodustavat suunatud segmenti (joonis 1) võib nimetada selle vektori esindajaks. Vektorit, mille esindaja on punktist punkti kulgev suunatud segment, tähistatakse . Joonisel fig. 1 on meil , st. ja on sama vektor (esindatud mõlema suunatud segmendiga, mis on esile tõstetud joonisel 1). Mõnikord tähistatakse vektorit väikese tähega noolega: , .

Vektorit, mida esindab suunatud "segment", mille algus ja lõpp langevad kokku, nimetatakse nulliks; seda tähistatakse , st. . Kaks paralleelvektor millel on sama pikkus, kuid vastupidised suunad, nimetatakse vastandlikeks. Kui vektorit tähistatakse tähega , siis sellele vastanduv vektor on tähistatud .

Nimetagem peamised vektoritega seotud toimingud.

I. Vektori edasilükkamine punktist. Olgu mõni vektor ja punkt. Suunatud segmentide hulgas, mis on vektori esindajad, on punktist algav suunatud segment. Selle suunatud lõigu lõppu nimetatakse punktiks, mis tuleneb vektori edasilükkamisest punktist (joonis 2). Sellel toimingul on järgmine omadus:

I1. Iga punkti ja vektori jaoks on olemas ja ainult üks punkt, mille jaoks .

Vektorite liitmine. Olgu ja on kaks vektorit. Võtame suvalise punkti ja jätame vektori punktist kõrvale, s.o. leida selline punkt, et (joonis 3). Seejärel jätame vektori punktist kõrvale, st leiame sellise punkti, et . Vektorit nimetatakse vektorite summaks ja ja seda tähistatakse . Saab tõestada , et summa ei sõltu punkti valikust s.t. kui asendame teise punktiga , siis saame vektori, mis on võrdne (joonis 3). Vektorite summa definitsioonist järeldub, et mis tahes kolme punkti korral on võrdsus

I2:

(kolme punkti reegel). Kui nullist erinevad vektorid ja ei ole paralleelsed, siis on mugav leida nende summa rööpkülikureegli abil (joonis 4).

II. Vektorite summa peamised omadused väljendavad järgmist 4 võrdsust (kehtib mis tahes vektorite , , ) jaoks:

II2. .

Pange tähele ka seda, et mitme vektori summa leitakse, leides järjestikku nende kahe summa. Näiteks: .

Samal ajal, ükskõik millises järjekorras me lisame antud vektorid, on tulemus (nagu punktides II1 ja II2 nimetatud omadustest tuleneb) alati sama. Näiteks:

Lisaks saab geomeetriliselt mitme vektori summa saada järgmiselt: on vaja paigutada üksteise järel suunatud segmendid, mis on nende vektorite esindajad (st nii, et teise suunatud segmendi algus langeb kokku vektori lõpuga) esimene, kolmanda algus - teise lõpuga jne); siis vektor selle esindajana on "sulgev" suunatud segment, mis ulatub esimese algusest viimase lõpuni (joonis 5). (Pange tähele, et kui sellise järjestikuse edasilükkamise tulemuseks on "suletud vektori katkendjoon", siis .)

III. Vektori korrutamine arvuga. Olgu nullist erinev vektor ja nullist erinev arv. Vektorit tähistatakse kahe järgmise tingimusega: a) vektori pikkus on ; b) vektor on paralleelne vektoriga ja selle suund ühtib vektori suunaga punktis ja sellele vastassuunas punktis (joonis 6). Kui vähemalt üks võrdustest , on tõene, loetakse korrutis võrdseks . Seega on korrutis defineeritud mis tahes vektori ja mis tahes arvu jaoks.

Järgmised 4 võrdsust (kehtivad mis tahes vektorite ja arvude jaoks) väljendavad vektori arvuga korrutamise põhiomadusi:

III2. .

III3. .

Nendest omadustest tuleneb seeria täiendavaid fakte seotud vaadeldavate vektoritega tehtavate operatsioonidega. Märgime mõned neist, mida sageli kasutatakse probleemide lahendamisel.

a) Kui on selline lõigu punkt, mis , siis mis tahes punkti võrdsus , Eelkõige, kui on segmendi keskpunkt , Siis .

b) Kui - kolmnurga mediaanide lõikepunkt, siis ; pealegi iga punkti võrdsus (kehtivad ka pöördteoreemid).

c) Olgu sirge punkt ja selle sirgega paralleelne nullist erinev vektor. Punkt kuulub reale siis ja ainult siis (kus on arv).

d) Laskma olema punkt lennuk ja , olema nullist erinev ja mitteparalleelsed vektorid paralleelselt selle tasapinnaga. Punkt kuulub tasapinnale siis ja ainult siis, kui vektorit väljendatakse ja terminites, st. .

Lõpuks märgime ära ka dimensiooni omaduse, mis väljendab asjaolu, et ruum on kolmemõõtmeline.

IV. Ruumis on kolm vektorit , , , nii et ühtki neist ei saa väljendada kahe teisega; mis tahes neljandat vektorit väljendatakse nende kolme vektori kaudu: . on defineeritud võrdsusega: tähistatakse vektori skalaarkorrutist (ja siis pole nende vahelist nurka määratletud).

Eespool loetletud vektoritehete omadused on paljuski sarnased arvude liitmise ja korrutamise omadustega. Samas on vektor geomeetriline objekt ja vektoritehte definitsioonis selline geomeetrilised mõisted nagu pikkus ja nurk; see selgitab vektorite kasulikkust geomeetrias (ja selle rakendustes füüsikas ja teistes teadmiste valdkondades). Küll aga selleks, et lahendada geomeetrilised probleemid vektorite abil on vaja ennekõike õppida geomeetrilise ülesande tingimuse "tõlkimist" vektori "keelde". Pärast sellist "tõlget" tehakse algebralised arvutused vektoritega ja seejärel "tõlgitakse" saadud vektorlahendus uuesti geomeetrilisse "keelde". See on geomeetriliste ülesannete vektorlahendus.

Koolis geomeetriakursuse esitamisel antakse vektor defineeritud mõistena (vt Definitsioon) ja seetõttu ei ütle kooliõpikusse omaks võetud geomeetria aksiomaatika (vt Aksiomaatika ja aksiomaatiline meetod) midagi vektorite omaduste kohta, s.t. kõik need omadused tuleb teoreemidena tõestada.

Geomeetria esitamiseks on aga veel üks viis, kus algseteks (määratlemata) mõisteteks loetakse vektorit ja punkti ning ülalmainitud omadusi I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4. võetakse aksioomidena. Selle geomeetria konstrueerimise viisi pakkus 1917. aastal välja saksa matemaatik G. Weyl. Siin on jooned ja tasapinnad määratletud mõisted. Sellise konstruktsiooni eeliseks on selle lühidus ja orgaaniline seos kaasaegse arusaamaga geomeetriast nii matemaatikas endas kui ka teistes teadmiste valdkondades. Eelkõige tutvustavad aksioomid II1-II4, III1-III4 kaasaegses matemaatikas, füüsikas, matemaatilises ökonoomikas jne kasutatavat nn vektorruumi.