Mis on arvu moodul 2. Arvu moodul (arvu absoluutväärtus), definitsioonid, näited, omadused

Arvu moodul on kaugus sellest arvust koordinaatjoone nullini.

Moodul on tähistatud sümboliga: | |.

Rekord |6| loetakse kui "numbri 6 moodul" või "kuue moodul".
Rekord |8| kõlab "moodul 8".

Positiivse arvu moodul on võrdne arvu endaga. Näiteks |2| = 2. Negatiivse arvu moodul on võrdne vastasarvuga<=>|-3| = 3. Nulli moodul on võrdne nulliga, see tähendab |0| = 0. Vastandarvude moodulid on võrdsed, see tähendab |-a| = |a|.

Teema "arvu moodul" paremaks mõistmiseks soovitame kasutada assotsiatsioonimeetodit.

Kujutagem ette, et arvu moodul on vann ja miinusmärk on mustus.

Olles mooduli märgi all (see tähendab "vannis"), on negatiivne arv "pestud" ja väljub ilma "miinusmärgita" - puhas.

Vannis saab "pesta" (st seista mooduli märgi all) ja negatiivseid ja positiivseid numbreid ja numbrit null. Kuid "puhtad" positiivsed arvud ja null ei muuda oma märki "vannist" väljudes (st mooduli märgi alt)!

Arvu mooduli ajalugu või 6 huvitavat fakti arvu mooduli kohta

1. Sõna "moodul" tuleb ladinakeelsest nimetusest modulus, mis tähendab tõlkes sõna "mõõt".
2. Selle termini võttis kasutusele Isaac Newtoni õpilane, inglise matemaatik ja filosoof Roger Cotes (1682 - 1716).
3. Suur saksa füüsik, leiutaja, matemaatik ja filosoof Gottfried Leibniz kasutas oma töödes ja kirjutistes mooduli funktsiooni, mille ta nimetas. mod x.
4. Mooduli nimetuse võttis kasutusele 1841. aastal saksa matemaatik
Karl Weierstrass (1815 - 1897).
5. Mooduli kirjutamisel tähistatakse seda sümboliga: | |.
6. Teise versiooni terminist "moodul" võtsid kasutusele 1806. aastal prantslased
matemaatik nimega Jean Robert Argan (1768-1822). Kuid see pole nii.
19. sajandi alguse matemaatik Jean Robert Argán (1768-1822)
ja Augustin Louis Cauchy (1789-1857) tutvustas mõistet "kompleksarvu moodul",
mida õpitakse kõrgema matemaatika käigus.

Ülesannete lahendamine teemal "Arvumoodul"

Ülesanne number 1. Järjesta avaldised: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 kasvavas järjekorras.

— | 12 | = — 12
| — (— 2) | = 2

17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Vastus: -17< -|12| < 0 < | — (— 2) | < 54.

Ülesanne number 2. Vajalik on avaldiste järjestamine: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
kahanevas järjekorras.

Kõigepealt avame sulgud ja moodulid:

— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9

16 > 9 > -14 > - 21 > - 30, mis on samaväärne:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.

Vastus: |-16| > | -(-9) | > - | — 14| > — 21 > — |30|

Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult arvu absoluutväärtus. Anname arvu mooduli erinevaid definitsioone, tutvustame tähistust ja toome graafilisi illustratsioone. Sel juhul vaatleme erinevaid näiteid arvu mooduli leidmiseks definitsiooni järgi. Pärast seda loetleme ja põhjendame mooduli peamised omadused. Artikli lõpus räägime sellest, kuidas määratakse ja leitakse kompleksarvu moodul.

Leheküljel navigeerimine.

Arvumoodul – definitsioon, tähistus ja näited

Kõigepealt tutvustame mooduli tähistus. Arvu a moodul kirjutatakse kujul , see tähendab, et numbrist vasakule ja paremale asetame vertikaalsed jooned, mis moodustavad mooduli märgi. Toome paar näidet. Näiteks mooduli -7 saab kirjutada kujul ; moodul 4125 on kirjutatud kui , ja moodul on kirjutatud kui .

Järgmine mooduli definitsioon viitab reaalarvude hulga koostisosadele ja seega ka täisarvudele ning ratsionaal- ja irratsionaalarvudele. Räägime kompleksarvu moodulist in.

Definitsioon.

Moodul a on kas arv a ise, kui a on positiivne arv, või arv −a, mis on arvu a vastand, kui a on negatiivne arv, või 0, kui a=0 .

Arvu mooduli hääleline määratlus kirjutatakse sageli järgmisel kujul , tähendab see märge, et kui a>0 , kui a=0 ja kui a<0 .

Plaati saab esitada kompaktsemal kujul . See märge tähendab, et kui (a on suurem või võrdne 0 ) ja kui a<0 .

Seal on ka rekord . Siin tuleks eraldi selgitada juhust, kui a=0. Sel juhul on meil , kuid −0=0 , kuna nulli peetakse arvuks, mis on iseendale vastand.

Toome näiteid arvu mooduli leidmisest etteantud määratlusega. Näiteks leiame numbrite 15 ja moodulid. Alustame leidmisega. Kuna arv 15 on positiivne, on selle moodul definitsiooni järgi võrdne selle arvu endaga, st . Mis on arvu moodul? Kuna on negatiivne arv, siis on selle moodul võrdne arvule vastupidise arvuga, see tähendab arvuga . Seega,.

Selle lõigu kokkuvõtteks anname ühe järelduse, mida on väga mugav praktikas rakendada arvu mooduli leidmisel. Arvu mooduli definitsioonist järeldub, et arvu moodul on võrdne mooduli märgi all oleva arvuga, sõltumata selle märgist, ja ülaltoodud näidetest on see väga selgelt näha. Hääldatud väide selgitab, miks nimetatakse ka arvu moodulit arvu absoluutväärtus. Seega on arvu moodul ja arvu absoluutväärtus üks ja seesama.

Arvu moodul kaugusena

Geomeetriliselt saab arvu moodulit tõlgendada kui vahemaa. Toome arvu mooduli määramine kauguse järgi.

Definitsioon.

Moodul a on kaugus koordinaatjoone alguspunktist arvule a vastava punktini.

See määratlus on kooskõlas esimeses lõigus toodud arvu mooduli määratlusega. Selgitame seda punkti. Kaugus alguspunktist positiivsele arvule vastava punktini on võrdne selle arvuga. Null vastab lähtepunktile, seega kaugus alguspunktist punktini koordinaadiga 0 on null (punktist O punkti jõudmiseks ei pea edasi lükkama ühtki lõiku ega ühtki lõiku, mis moodustab ühikulõigu murdosa koordinaadiga 0). Kaugus lähtepunktist negatiivse koordinaadiga punktini on võrdne antud punkti koordinaadile vastandliku arvuga, kuna see on võrdne kaugusega lähtepunktist punktini, mille koordinaat on vastupidine arv.

Näiteks arvu 9 moodul on 9, kuna kaugus lähtepunktist punktini koordinaadiga 9 on üheksa. Võtame teise näite. Punkt koordinaadiga −3,25 asub punktist O 3,25 kaugusel, seega .

Arvu mooduli kõlaline määratlus on kahe arvu erinevuse mooduli määratlemise erijuht.

Definitsioon.

Kahe arvu erinevuse moodul a ja b on võrdne koordinaatidega a ja b koordinaatjoone punktide vahelise kaugusega.

See tähendab, et kui on antud punktid koordinaatjoonel A(a) ja B(b), siis kaugus punktist A punkti B on võrdne arvude a ja b vahe mooduliga. Kui võtta punktiks B punkt O (referentspunkt), siis saame selle lõigu alguses antud arvu mooduli definitsiooni.

Arvu mooduli määramine aritmeetilise ruutjuure kaudu

Mõnikord leitud mooduli määramine aritmeetilise ruutjuure kaudu.

Näiteks arvutame arvude −30 moodulid ja selle definitsiooni põhjal. Meil on . Samamoodi arvutame kahe kolmandiku mooduli: .

Arvu mooduli definitsioon aritmeetilise ruutjuurena on samuti kooskõlas käesoleva artikli esimeses lõigus toodud määratlusega. Näitame seda. Olgu a positiivne arv ja olgu −a negatiivne. Siis ja , kui a=0 , siis .

Mooduli omadused

Moodulil on mitmeid iseloomulikke tulemusi - mooduli omadused. Nüüd anname neist peamised ja kõige sagedamini kasutatavad. Nende omaduste põhjendamisel tugineme arvu mooduli definitsioonile kauguse järgi.

Alustame kõige ilmsemast mooduli omadusest − arvu moodul ei saa olla negatiivne arv. Literaalses vormis on sellel omadusel vorm mis tahes arvu a jaoks. Seda omadust on väga lihtne põhjendada: arvu moodul on kaugus ja kaugust ei saa väljendada negatiivse arvuna.

Liigume edasi mooduli järgmise atribuudi juurde. Arvu moodul on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui see arv on null. Nullmoodul on definitsiooni järgi null. Null vastab lähtepunktile, ükski teine punkt koordinaatjoonel ei vasta nullile, kuna iga reaalarv on seotud koordinaatjoone ühe punktiga. Samal põhjusel vastab iga number peale nulli muule punktile peale lähtepunkti. Ja kaugus lähtepunktist ühegi teise punktini peale punkti O ei ole võrdne nulliga, kuna kahe punkti vaheline kaugus on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui need punktid langevad kokku. Ülaltoodud arutluskäik tõestab, et ainult nullmoodul on võrdne nulliga.

Liigu edasi. Vastandarvudel on võrdsed moodulid, st mis tahes arvu a jaoks. Tõepoolest, koordinaatjoone kaks punkti, mille koordinaadid on vastandarvud, on lähtepunktist samal kaugusel, mis tähendab, et vastandarvude moodulid on võrdsed.

Järgmine mooduli atribuut on: kahe arvu korrutise moodul on võrdne nende arvude moodulite korrutisega, st. Definitsiooni järgi on arvude a ja b korrutise moodul kas a b, kui , või −(a b), kui . Reaalarvude korrutamise reeglitest tuleneb, et arvude a ja b moodulite korrutis võrdub kas a b , või −(a b) , kui , mis tõendab vaadeldavat omadust.

Jagatis a jagamisel b-ga on võrdne mooduli a jagatise b mooduliga, st. Põhjendame seda mooduli omadust. Kuna jagatis on võrdne korrutisega, siis . Eelmise vara tõttu on meil . Jääb vaid kasutada võrdsust , mis kehtib arvu mooduli definitsiooni tõttu.

Järgmine mooduli omadus on kirjutatud ebavõrdsusena: , a , b ja c on suvalised reaalarvud. Kirjalik ebavõrdsus pole midagi muud kui kolmnurga ebavõrdsus. Selle selgeks tegemiseks võtame koordinaatsirgele punktid A(a) , B(b) , C(c) ja vaatleme degenereerunud kolmnurka ABC, mille tipud asuvad samal sirgel. Definitsiooni järgi on erinevuse moodul võrdne lõigu AB pikkusega, - lõigu AC pikkusega ja - lõigu CB pikkusega. Kuna kolmnurga ühegi külje pikkus ei ületa ülejäänud kahe külje pikkuste summat, on ebavõrdsus , seega kehtib ka ebavõrdsus.

Äsja tõestatud ebavõrdsus on vormis palju tavalisem . Kirjutatud ebavõrdsust peetakse tavaliselt mooduli eraldiseisvaks omaduseks sõnastusega: “ Kahe arvu summa moodul ei ületa nende arvude moodulite summat". Kuid ebavõrdsus tuleneb otseselt ebavõrdsusest , kui paneme sellesse b asemel −b ja võtame c=0 .

Kompleksarvu moodul

Anname kompleksarvu mooduli määramine. Olgu meile antud kompleksarv, kirjutatud algebralises vormis , kus x ja y on mõned reaalarvud, mis esindavad vastavalt antud kompleksarvu z reaal- ja imaginaarosa ning on imaginaarne ühik.

Arvu absoluutväärtus a on kaugus lähtepunktist punktini AGA(a).

Selle määratluse mõistmiseks asendame muutuja asemel a suvaline arv, näiteks 3, ja proovige seda uuesti lugeda:

Arvu absoluutväärtus 3 on kaugus lähtepunktist punktini AGA(3 ).

Selgub, et moodul pole midagi muud kui tavaline vahemaa. Proovime näha kaugust lähtepunktist punktini A( 3 )

Kaugus koordinaatide alguspunktist punktini A( 3 ) võrdub 3 (kolm ühikut või kolm sammu).

Arvu moodulit tähistavad kaks vertikaalset joont, näiteks:

Arvu 3 moodulit tähistatakse järgmiselt: |3|

Arvu 4 moodulit tähistatakse järgmiselt: |4|

Arvu 5 moodulit tähistatakse järgmiselt: |5|

Otsisime arvu 3 moodulit ja saime teada, et see on võrdne 3-ga. Seega kirjutame:

Loeb nagu: "Kolme moodul on kolm"

Nüüd proovime leida arvu -3 moodulit. Jällegi pöördume tagasi definitsiooni juurde ja asendame sellega arvu -3. Ainult täpi asemel A kasuta uut punkti B. punkt A oleme juba esimeses näites kasutanud.

Arvu moodul on 3 nimetada kaugust lähtepunktist punktini B(—3 ).

Kaugus ühest punktist teise ei saa olla negatiivne. Seetõttu ei ole ka ühegi negatiivse arvu moodul, mis on kaugus, negatiivne. Arvu -3 mooduliks saab number 3. Kaugus lähtepunktist punktini B(-3) võrdub samuti kolme ühikuga:

Loeb nagu: "Arvu miinus kolm moodul on kolm"

Arvu 0 moodul on 0, kuna punkt koordinaadiga 0 ühtib alguspunktiga, s.t. kaugus lähtepunktist punktini O(0) võrdub nulliga:

"Nullmoodul on null"

Teeme järeldused:

Arvu moodul ei saa olla negatiivne;
Positiivse arvu ja nulli korral on moodul võrdne arvu endaga ja negatiivse puhul vastupidise arvuga;
Vastandarvudel on võrdsed moodulid.

Vastandnumbrid

Nimetatakse numbreid, mis erinevad ainult märkide poolest vastupidine. Näiteks arvud −2 ja 2 on vastandid. Need erinevad ainult märkide poolest. Numbril −2 on miinusmärk ja numbril 2 on plussmärk, kuid me ei näe seda, sest plussi, nagu varem ütlesime, traditsiooniliselt ei kirjutata.

Veel näiteid vastupidiste arvude kohta:

Vastandarvudel on võrdsed moodulid. Näiteks leiame moodulid −2 ja 2 jaoks

Joonis näitab, et kaugus lähtepunktist punktideni A(−2) ja B(2) võrdne kahe sammuga.

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta teateid saama

Juhend

Kui moodulit esitatakse pideva funktsioonina, võib selle argumendi väärtus olla kas positiivne või negatiivne: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

On lihtne näha, et kompleksarvude liitmine ja lahutamine järgivad sama reeglit nagu liitmine ja .

Kahe kompleksarvu korrutis on:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Kuna i^2 = -1, on lõpptulemus:

(x1*x2 – y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Kompleksarvude astmeni tõstmise ja juure eraldamise toimingud määratletakse samamoodi nagu reaalarvude puhul. Kuid kompleksvaldkonnas on mis tahes arvu jaoks täpselt n arvu b, mille puhul b^n = a, st n n-nda astme juurt.

Eelkõige tähendab see, et mis tahes n-nda astme algebralisel võrrandil ühes muutujas on täpselt n kompleksjuurt, millest mõned võivad olla ja .

Seotud videod

Allikad:

Loeng "Keerulised numbrid" 2019. aastal

Juur on ikoon, mis tähistab sellise arvu leidmise matemaatilist operatsiooni, mille tõstmine enne juuremärki näidatud astmeni peaks andma just selle märgi all näidatud numbri. Sageli ei piisa juurtega probleemide lahendamiseks ainult väärtuse arvutamisest. Peame tegema lisatoiminguid, millest üks on arvu, muutuja või avaldise sisestamine juuremärgi alla.

Juhend

Määrake juure eksponent. Indikaator on täisarv, mis näitab võimsust, milleni juure arvutamise tulemus tuleb radikaalavaldise (arv, millest see juur eraldatakse) saamiseks tõsta. Juure eksponent, määratud ülaindeksina juurikooni ees. Kui seda ei määrata, on see ruutjuur, mille võimsus on kaks. Näiteks juureksponent √3 on kaks, astendaja ³√3 on kolm, juureksponent ⁴√3 on neli ja nii edasi.

Tõstke arv, mille soovite juurmärgi alla lisada, astmeni, mis on võrdne selle juure eksponendiga, mille määrasite eelmises etapis. Näiteks kui on vaja sisestada juure ⁴√3 märgi alla arv 5, siis juure astendaja on neli ja vaja on 5 neljanda astmeni tõstmise tulemust 5⁴=625. Saate seda teha mis tahes teile sobival viisil - oma mõtetes, kasutades kalkulaatorit või vastavaid postitatud teenuseid.

Sisestage eelmises etapis saadud väärtus juurmärgi alla radikaalavaldise kordajana. Eelmises etapis kasutatud näite puhul juure ⁴√3 5 (5*⁴√3) alla lisamisega saab seda toimingut teha järgmiselt: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Võimaluse korral lihtsustage saadud radikaalset väljendit. Eelmiste sammude näite puhul on see, et peate lihtsalt korrutama juuremärgi all olevad arvud: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. See lõpetab juure alla numbri lisamise toimingu.

Kui ülesandes on tundmatuid muutujaid, saab ülalkirjeldatud samme teha üldiselt. Näiteks kui soovite sisestada neljanda astme juure alla tundmatu muutuja x ja juuravaldis on 5/x³, saab kogu toimingute jada kirjutada järgmiselt: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Allikad:

kuidas nimetatakse juurmärki

Reaalarvudest ei piisa ühegi ruutvõrrandi lahendamiseks. Lihtsaim ruutvõrrand, millel pole reaalarvude juure, on x^2+1=0. Selle lahendamisel selgub, et x=±sqrt(-1) ja elementaaralgebra seaduste järgi eraldage negatiivsest paarisastme juur numbrid see on keelatud.