Millist vektorit nimetatakse ühikuks. Vektorid: määratlus ja põhimõisted

Sellist mõistet kui vektorit käsitletakse peaaegu kõigis loodusteadustes ja sellel võib olla täiesti erinev tähendus, seetõttu on võimatu anda vektori ühemõttelist määratlust kõigi valdkondade jaoks. Aga proovime sellest aru saada. Niisiis, vektor - mis see on?

Vektori mõiste klassikalises geomeetrias

Vektor on geomeetrias segment, mille jaoks on näidatud, milline selle punktidest on algus ja milline lõpp. See tähendab, et lihtsalt öeldes nimetatakse suunatud segmenti vektoriks.

Sellest lähtuvalt on näidatud vektor (mis see on - eespool käsitletud), samuti segment, see tähendab kaks ladina tähestiku suurtähte, millele on lisatud üleval paremale osutav joon või nool. Selle võib allkirjastada ka ladina tähestiku väikese (väikese) tähega koos sidekriipsu või noolega. Nool osutab alati paremale ja ei muutu sõltuvalt vektori asukohast.

Seega on vektoril suund ja pikkus.

Vektori tähistus sisaldab ka selle suunda. Seda väljendatakse nii, nagu on näidatud alloleval joonisel.

Suuna muutmine muudab vektori väärtuse vastupidiseks.

Vektori pikkus on selle segmendi pikkus, millest see moodustatakse. See on määratud vektorist moodulina. See on näidatud alloleval joonisel.

Sellest lähtuvalt on null vektor, mille pikkus on võrdne nulliga. Sellest järeldub, et nullvektor on punkt, pealegi kattuvad selles algus- ja lõpp-punkt.

Vektori pikkus on alati mittenegatiivne väärtus. Teisisõnu, kui segment on olemas, siis on sellel tingimata teatud pikkus või see on punkt, siis selle pikkus on null.

Punkti mõiste on põhiline ja sellel puudub definitsioon.

Vektori lisamine

Vektorite jaoks on olemas spetsiaalsed valemid ja reeglid, mida saab kasutada liitmise tegemiseks.

Kolmnurga reegel. Selle reegli järgi vektorite lisamiseks piisab, kui kombineerida paralleeltõlke abil esimese vektori lõpp ja teise algus ning need ühendada. Saadud kolmas vektor võrdub kahe ülejäänud vektoriga.

rööpküliku reegel. Selle reegli järgi liitmiseks peate joonistama mõlemad vektorid ühest punktist ja seejärel joonistama nende mõlema lõpust teise vektori. See tähendab, et teine ​​loositakse esimesest ja esimene teisest. Selle tulemusena saadakse uus lõikepunkt ja moodustub rööpkülik. Kui ühendada vektorite alguse ja lõpu lõikepunktid, on saadud vektor liitmise tulemus.

Samamoodi on võimalik teostada lahutamist.

Vektori erinevus

Sarnaselt vektorite liitmisele on võimalik teostada ka nende lahutamist. See põhineb alloleval joonisel näidatud põhimõttel.

See tähendab, et piisab lahutatava vektori esitamisest sellele vastandliku vektorina ja arvutamisest liitmise põhimõtete järgi.

Samuti saab absoluutselt iga nullist erineva vektori korrutada mis tahes arvuga k, see muudab selle pikkust k korda.

Lisaks nendele on ka teisi vektorvalemeid (näiteks vektori pikkuse väljendamiseks selle koordinaatides).

Vektorite asukoht

Kindlasti on paljud kohanud sellist mõistet nagu kollineaarne vektor. Mis on kollineaarsus?

Vektorite kollineaarsus on samaväärne sirgete paralleelsusega. Kui kaks vektorit asuvad sirgel, mis on üksteisega paralleelne või samal sirgel, nimetatakse selliseid vektoreid kollineaarseteks.

Suund. Üksteise suhtes võivad kollineaarsed vektorid olla nii kaas- kui ka vastassuunalised, selle määrab vektorite suund. Järelikult, kui vektor on suunatud koos teisega, siis on sellele vastav vektor vastupidiselt suunatud.

Esimesel joonisel on kujutatud kaks vastandsuunalist vektorit ja kolmas, mis ei ole nendega kollineaarne.

Peale ülaltoodud omaduste tutvustamist on võimalik defineerida ka võrdsed vektorid - need on vektorid, mis on suunatud samas suunas ja millel on sama pikkusega lõigud, millest need moodustatakse.

Paljudes teadustes kasutatakse ka raadiusvektori mõistet. Selline vektor kirjeldab tasapinna ühe punkti asukohta teise fikseeritud punkti suhtes (sageli on see alguspunkt).

Vektorid füüsikas

Oletame, et ülesande lahendamisel tekkis tingimus: keha liigub kiirusega 3 m/s. See tähendab, et keha liigub kindla suunaga ühel sirgel, seega on see muutuja vektorsuurus. Selle lahendamiseks on oluline teada nii väärtust kui ka suunda, kuna olenevalt kaalutlusest võib kiirus olla kas 3 m/s või -3 m/s.

Üldiselt kasutatakse vektorit füüsikas kehale mõjuva jõu suuna näitamiseks ja resultandi määramiseks.

Kui need jõud on joonisel näidatud, tähistatakse neid nooltega, mille kohal on vektori silt. Klassikaliselt on sama oluline noole pikkus, mille abil näitavad nad, milline jõud on tugevam, kuid see omadus on teisejärguline, sellele ei tohiks loota.

Vektor lineaaralgebras ja arvutuses

Lineaarruumide elemente nimetatakse ka vektoriteks, kuid antud juhul on tegemist järjestatud arvude süsteemiga, mis kirjeldab mõnda elementi. Seetõttu pole suund antud juhul enam oluline. Klassikalises geomeetrias ja matemaatilises analüüsis on vektori määratlused väga erinevad.

Vektorprojektsioon

Projekteeritud vektor - mis see on?

Üsna sageli on korrektseks ja mugavaks arvutamiseks vaja kahe- või kolmemõõtmelises ruumis paiknevat vektorit koordinaatide telgede järgi lagundada. See toiming on vajalik näiteks mehaanikas kehale mõjuvate jõudude arvutamisel. Vektorit kasutatakse füüsikas üsna sageli.

Projektsiooni teostamiseks piisab, kui langetada ristid vektori algusest ja lõpust igale koordinaatteljele, nendel saadud segmente nimetatakse vektori projektsiooniks teljele.

Projektsiooni pikkuse arvutamiseks piisab selle algpikkuse korrutamisest teatud trigonomeetrilise funktsiooniga, mis saadakse miniülesande lahendamisel. Tegelikult on olemas täisnurkne kolmnurk, kus hüpotenuus on algvektor, üks jalg on projektsioon ja teine ​​jalg on langenud risti.

Lõpuks sain käed laiaulatuslikule ja kauaoodatud teemale analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast…. Kindlasti meenus teile nüüd kooli geomeetriakursus koos arvukate teoreemide, nende tõestuste, jooniste jms. Mis seal salata, olulisele osale õpilastest armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks tembeldatud matemaatilist pööret: “graafiline lahendusmeetod” ja “lahenduse analüütiline meetod”. Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute, jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist valdavalt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite täpsest rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa see ilma joonisteta üldse läbi, pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks tuua neid üle vajaduse.

Geomeetria tundide avatud kursus ei pretendeeri teoreetilisele terviklikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajao kohta täielikumat viidet, soovitan järgmist üsna juurdepääsetavat kirjandust:

1) Asi, mis, ilma naljata, on tuttav mitmele põlvkonnale: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on vastu pidanud juba 20 (!) kordusväljaannet, mis muidugi pole piir.

2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on kõrghariduse jaoks mõeldud kirjandus, mida vajate esimene köide. Harva esinevad ülesanded võivad minu vaateväljast välja kukkuda ja õpetus on hindamatuks abiks.

Mõlemad raamatud on veebis tasuta allalaaditavad. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla kõrgema matemaatika näited.

Tööriistadest pakun jällegi enda arendust - tarkvarapakett analüütilise geomeetria kohta, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.

Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajad)

Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Lisaks soovitan lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, sama hästi kui Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne ei ole üleliigne - Segmendi jagamine selles osas. Ülaltoodud teabe põhjal saate tasapinna sirgjoone võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetria ülesandeid. Abiks on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirgjoone võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal , muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.

Vektori mõiste. vaba vektor

Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:

Sel juhul on lõigu algus punkt , lõigu lõpp punkt . Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui paigutate noole ümber segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav samastada füüsilise keha liikumisega: tuleb tunnistada, et instituudi ustest sisenemine või instituudi ustest väljumine on täiesti erinevad asjad.

Tasapinna üksikuid punkte on mugav käsitleda, ruumi nn nullvektor. Sellisel vektoril on sama lõpp ja algus.

!!! Märge: Siin ja allpool võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et need asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.

Nimetused: Paljud juhtisid kohe tähelepanu pulgale, mille tähises polnud noolt ja ütlesid, et nad panid ka noole otsa! Täpselt nii, noolega võib kirjutada: , aga lubatav ja salvestus, mida kasutan hiljem. Miks? Ilmselt on selline harjumus välja kujunenud praktilistest kaalutlustest, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga mitmekesisteks ja karvasteks. Õppekirjanduses ei vaevuta nad mõnikord üldse kiilkirjaga, vaid tõstavad esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.

See oli stiil ja nüüd vektorite kirjutamise viisidest:

1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega:
ja nii edasi. Kuigi esimene täht tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine ​​täht tähistab vektori lõpp-punkti.

2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega .

Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiliselt.

Vektori pikkust tähistatakse mooduli märgiga: ,

Kuidas vektori pikkust leida, õpime (või kordame kellegi jaoks, kuidas) veidi hiljem.

See oli elementaarne teave vektori kohta, mis oli tuttav kõigile koolilastele. Analüütilises geomeetrias on nn vaba vektor.

Kui see on üsna lihtne - vektorit saab tõmmata mis tahes punktist:

Varem nimetasime selliseid vektoreid võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtmatemaatilisest vaatenurgast on see SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saab ühe või teise vektori “kinnitada” IGASLE vajalikule tasapinna või ruumi punktile. See on väga lahe kinnisvara! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga vektorit – seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilase vanasõna: Iga lektor in f ** u vektoris. Lõppude lõpuks, mitte ainult vaimukas riim, kõik on matemaatiliselt õige - sinna saab ka vektori kinnitada. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, õpilased ise kannatavad sagedamini =)

Niisiis, vaba vektor- see on palju identsed suunalised segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks ..." tähendab spetsiifiline etteantud hulgast võetud suunatud lõik, mis kinnitub tasandi või ruumi kindlasse punkti.

Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja vektori rakenduspunkt on oluline. Tõepoolest, minu rumala eeskuju arendamiseks piisab sama jõu otsesest löögist nina või otsaesisele, ja sellel on erinevad tagajärjed. Kuid, mitte vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).

Tegevused vektoritega. Vektorite kollineaarsus

Kooli geomeetria kursusel võetakse arvesse mitmeid vektoritega toiminguid ja reegleid: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektorite erinevuse reegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Seemnena kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.

Vektorite liitmise reegel kolmnurkade reegli järgi

Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja :

On vaja leida nende vektorite summa. Tulenevalt asjaolust, et kõiki vektoreid peetakse vabaks, lükkame vektori edasi lõpp vektor:

Vektorite summa on vektor . Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav anda sellele füüsiline tähendus: lasta mõnel kehal teha rada mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit . Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mis algab lähtepunktist ja lõpeb saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha minna oma teed tugevalt siksakiliselt või võib-olla autopiloodil - mööda saadud summavektorit.

Muide, kui vektor lükatakse edasi alustada vektor , siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.

Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nendega seoses kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".

Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaassuunaline. Kui nooled vaatavad eri suundades, siis vektorid on vastupidiselt suunatud.

Nimetused: vektorite kollineaarsus on kirjutatud tavalise paralleelsuse ikooniga: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on suunatud vastupidi).

tööd nullist erineva vektori arvu järgi on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .

Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildiga lihtsam mõista:

Mõistame üksikasjalikumalt:

1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.

2) Pikkus. Kui tegur sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus kaks korda väiksem kui vektori pikkus. Kui mooduli kordaja on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.

3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teisega, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Sellel viisil: kui korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaali suhtes) vektor.

4) Vektorid on kaassuunalised. Vektorid ja on samuti kaassuunalised. Esimese rühma mis tahes vektor on vastupidine teise rühma mis tahes vektorile.

Millised vektorid on võrdsed?

Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasuunalised ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuund tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Määratlus on ebatäpne (ülearune), kui ütlete: "Kaks vektorit on võrdsed, kui need on kollineaarsed, kaassuunatud ja sama pikkusega."

Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid samad vektorid, millest oli juttu juba eelmises lõigus.

Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis

Esimene punkt on vaadelda vektoreid tasapinnal. Joonistage Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatide süsteem ja jätke lähtepunktist kõrvale vallaline vektorid ja:

Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame vastavalt sõnu kollineaarsus ja ortogonaalsus.

Määramine: vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise ristimärgiga, näiteks: .

Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. Mis on aluseks, on minu arvates paljudele intuitiivselt selge, üksikasjalikumat teavet leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus.Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi – see on omamoodi vundament, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.

Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: "orto" - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna "normaliseeritud" ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.

Määramine: alus kirjutatakse tavaliselt sulgudesse, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatud kohad vahetama.

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt:
, kus - numbrid, mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Aga väljend ise helistas vektori laguneminealus .

Serveeritud õhtusöök:

Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori aluse osas lagundamisel kasutatakse just vaadeldud:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .

Nüüd lükake vektor vaimselt kõrvale igast teisest tasapinna punktist. On üsna ilmne, et tema korruptsioon "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus – vektor "kannab kõike endaga kaasas". See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas, et baas(vaba)vektorid ise ei pea olema alguspunktist kõrvale jätnud, ühe saab joonistada näiteks all vasakule, teise aga üleval paremal ja sellest ei muutu midagi! Tõsi, te ei pea seda tegema, sest õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "passi".

Vektorid , illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on suunatud koos baasvektoriga , vektor on suunatud baasvektorile vastassuunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga, selle saab täpselt kirjutada järgmiselt:


Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).

Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud teile lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Niisiis, vektorite "de" ja "e" laiendused on rahulikult kirjutatud summana: . Järjesta terminid kohati ümber ja järgi joonist, kui selgelt vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi nendes olukordades töötab.

Arvestatud vormi lagunemine mida mõnikord nimetatakse vektori lagunemiseks süsteemis ort(ehk ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:

Või võrdusmärgiga:

Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja

See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme salvestusvõimalust.

Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber paigutada. Rangelt esikohal kirjuta üles koordinaat, mis vastab ühikuvektorile, rangelt teisel kohal pane kirja ühikvektorile vastav koordinaat . Tõepoolest, ja need on kaks erinevat vektorit.

Leidsime lennuki koordinaadid. Nüüd kaaluge vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on kõik peaaegu sama! Lisatakse veel ainult üks koordinaat. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teha, seetõttu piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides lükkan lähtepunktist edasi:

Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalselt:
, kus on antud baasis vektori (arvu) koordinaadid.

Näide pildilt: . Vaatame, kuidas vektortoimingute reeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (magenta nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab lähtepunktist (vektori algusest) ja jõuab lõpp-punkti (vektori lõppu).

Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad, proovige vektorit mõtteliselt edasi lükata mis tahes muust punktist ja saate aru, et selle laienemine "jääb sellega".

Sarnaselt lennuki juhtumiga, lisaks kirjutamine laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .

Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, siis pannakse selle asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles .

Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:

Siin on ehk kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Võib-olla on termineid ja määratlusi liiga palju, seega soovitan mannekeenidel see teave uuesti läbi lugeda ja sellest aru saada. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks omandamiseks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid kasutatakse edaspidi sageli. Märgin, et saidi materjalidest ei piisa teoreetilise testi, geomeetria kollokviumi läbimiseks, kuna krüpteerin hoolikalt kõik teoreemid (peale tõenditeta) - teadusliku esitusstiili kahjuks, kuid pluss teie mõistmise eest teemast. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks palun kummardada professor Atanasyani ees.

Liigume nüüd praktilise osa juurde:

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Ülesandeid, mida kaalutakse, on väga soovitav õppida neid täielikult automaatselt lahendama ja valemeid meelde jätta, ärge isegi meelega mäletage, nad mäletavad seda ise =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. Särgil pole vaja ülemisi nööpe kinnitada, paljud asjad on sulle koolist tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinnal kui ruumilisel. Sel põhjusel, et kõik valemid ... näete ise.

Kuidas leida vektorit, millel on kaks punkti?

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

Kui on antud kaks ruumipunkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.

Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.

Näide 1

Arvestades kaks punkti lennukis ja . Otsige vektori koordinaadid

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Teise võimalusena võib kasutada järgmist tähistust:

Esteetid otsustavad järgmiselt:

Isiklikult olen harjunud plaadi esimese versiooniga.

Vastus:

Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist ehitada (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et mannekeenidele mõnda punkti selgitada, ei ole ma liiga laisk:

Tuleb aru saada punkti koordinaatide ja vektori koordinaatide erinevus:

Punktide koordinaadid on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik teavad, kuidas joonistada punkte koordinaattasandil alates 5.-6. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.

Sama vektori koordinaadid on selle laiendamine aluse suhtes , antud juhul . Iga vektor on vaba, seetõttu saame seda vajadusel hõlpsasti mõnest teisest tasandi punktist edasi lükata. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei saa te üldse telgi ehitada, ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, vajate ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.

Punktide koordinaatide ja vektorkoordinaatide kirjed näivad olevat sarnased: , ja koordinaatide tunnetamine absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.

Daamid ja härrad, me täidame oma käed:

Näide 2

a) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse ja . Leia vektorid ja .
c) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid .

Võib-olla piisab. Need on näited iseseisvaks otsuseks, proovige neid mitte tähelepanuta jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid ei nõuta. Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku “kaks pluss kaks võrdub null” viga. Vabandan juba ette, kui eksisin =)

Kuidas leida lõigu pikkust?

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab lõigu pikkuse arvutada valemiga

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid selles on paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Tingimusel pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehniline nipp – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab teguri juure alt välja võtmist (võimalusel). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: . Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja nipet-näpet.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli saadakse piisavalt suur arv näiteks juure alla. Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, jagage täielikult, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Sellel viisil: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Proovin jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame täisarvu, mida ei saa välja võtta, siis proovime juure alt välja võtta teguri - kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , jne.

Erinevate ülesannete lahendamise käigus leitakse sageli juured, püüdke alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid sekeldusi oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Üldkujul kraadidega toimingute reeglid leiate algebra kooliõpikust, kuid arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kuidas leida vektori pikkust?

Kui on antud tasapindvektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.

Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga .

VEKTOR
Füüsikas ja matemaatikas on vektor suurus, mida iseloomustab selle arvväärtus ja suund. Füüsikas on palju olulisi suurusi, mis on vektorid, nagu jõud, asend, kiirus, kiirendus, pöördemoment, impulss, elektri- ja magnetväljad. Neid saab vastandada muude suurustega, nagu mass, maht, rõhk, temperatuur ja tihedus, mida saab kirjeldada tavalise numbriga, ja neid nimetatakse "skalaarideks". Vektormärki kasutatakse töötamisel suurustega, mida ei saa tavaliste numbritega täielikult täpsustada. Näiteks soovime kirjeldada objekti asukohta mingi punkti suhtes. Me saame öelda, mitu kilomeetrit punktist objektini jõuab, kuid me ei saa selle asukohta täielikult kindlaks teha enne, kui pole teada, millises suunas see asub. Seega iseloomustab objekti asukohta arvväärtus (kaugus kilomeetrites) ja suund. Graafiliselt on vektorid kujutatud teatud pikkusega sirgjoone suunatud segmentidena, nagu joonisel fig. 1. Näiteks viiekilose jõu graafiliseks esitamiseks tuleb tõmmata viie ühiku pikkune sirgjoon jõu suunas. Nool näitab, et jõud mõjub punktist A punkti B; kui jõud mõjuks punktist B punktini A, siis kirjutaksime või Mugavuse huvides tähistatakse vektoreid tavaliselt paksus suurtähtedega (A, B, C jne); vektoritel A ja -A on võrdsed arvväärtused, kuid vastupidised. Vektori A arvväärtust nimetatakse mooduliks või pikkuseks ja seda tähistatakse tähega A või |A|. See suurus on loomulikult skalaar. Vektorit, mille algus ja lõpp langevad kokku, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse O-ga.

Kaht vektorit nimetatakse võrdseks (või vabaks), kui nende moodulid ja suunad on samad. Mehaanikas ja füüsikas tuleb seda definitsiooni kasutada ettevaatlikult, kuna kaks võrdset jõudu, mis rakendatakse keha erinevatele punktidele, annavad üldiselt erinevad tulemused. Sellega seoses jagatakse vektorid "lingitud" või "libisevateks" järgmiselt: Lingitud vektoritel on fikseeritud rakenduspunktid. Näiteks raadiuse vektor näitab punkti asukohta mingi fikseeritud alguspunkti suhtes. Seotud vektoreid peetakse võrdseteks, kui neil pole mitte ainult samad moodulid ja suunad, vaid neil on ka ühine rakenduspunkt. Liugvektorid on võrdsed vektorid, mis asuvad samal sirgel.
Vektorite liitmine. Vektorite liitmise idee tuleneb asjaolust, et leiame ühe vektori, millel on sama mõju kui kahel teisel vektoril koos. Kui mingisse punkti jõudmiseks peame kõndima esmalt A kilomeetrit ühes suunas ja seejärel B kilomeetrit teises suunas, siis võiksime oma lõpp-punkti jõuda, kõndides C kilomeetrit kolmandas suunas (joonis 2). Selles mõttes võib nii öelda

A+B=C.
Vektorit C nimetatakse A ja B "tulemusvektoriks" ning see on antud joonisel kujutatud konstruktsiooniga; vektoritele A ja B ehitatakse rööpkülik nagu külgedele ja C on diagonaal, mis ühendab A algust ja B lõppu. Jooniselt fig. 2 on näha, et vektorite liitmine on "kommutatiivne", st. A + B = B + A. Samamoodi saate lisada mitu vektorit, ühendades need järjestikku "pidevasse ahelasse", nagu on näidatud joonisel fig. 3 kolme vektori D, E ja F jaoks. Jooniselt fig. 3 näitab ka seda

(D + E) + F = D + (E + F), st. vektorite liitmine on assotsiatiivne. Summeerida saab suvalise arvu vektoreid ja vektorid ei pea asuma samal tasapinnal. Vektorite lahutamist kujutatakse negatiivsele vektorile liitmisena. Näiteks A - B = A + (-B), kus, nagu eelnevalt määratletud, -B on vektor, mis on absoluutväärtuses võrdne B-ga, kuid vastupidine. Seda liitmisreeglit saab nüüd kasutada tõelise kriteeriumina kontrollimaks, kas mingi suurus on vektor või mitte. Liikumise suhtes kehtivad tavaliselt selle reegli tingimused; sama võib öelda ka kiiruste kohta; jõud liidetakse samamoodi, nagu võis näha "jõudude kolmnurgast". Kuid mõned suurused, millel on nii arvväärtused kui ka suunad, ei järgi seda reeglit ja seetõttu ei saa neid pidada vektoriteks. Näiteks on piiratud pöörded.
Vektori korrutamine skalaariga. Korrutis mA või Am, kus m (m # 0) on skalaar ja A on nullist erinev vektor, on defineeritud kui teine ​​vektor, mis on m korda pikem kui A ja millel on sama suund kui A, kui m on positiivne, ja vastupidine, kui m negatiivne, nagu on näidatud joonisel fig. 4, kus m on vastavalt 2 ja -1/2. Lisaks 1A = A, st. 1-ga korrutamisel vektor ei muutu. Väärtus -1A on vektor, mis on pikkuselt A-ga võrdne, kuid vastupidise suunaga, tavaliselt kirjutatuna -A. Kui A on nullvektor ja (või) m = 0, siis mA on nullvektor. Korrutamine on distributiivne, s.t.

Saame lisada suvalise arvu vektoreid ja terminite järjekord ei mõjuta tulemust. Tõsi on ka vastupidi: iga vektor laguneb kaheks või enamaks "komponendiks", s.t. kaheks või enamaks vektoriks, mis kokku liitmisel annavad tulemuseks algse vektori. Näiteks joonisel fig. 2, A ja B on C komponendid. Paljusid matemaatilisi tehteid vektoritega lihtsustatakse, kui vektor jaotatakse kolmeks komponendiks kolmes üksteisega risti olevas suunas. Valime õige Descartes'i koordinaatsüsteemi telgedega Ox, Oy ja Oz nagu näidatud joonisel fig. 5. Parempoolse koordinaatsüsteemi all peame silmas seda, et x-, y- ja z-teljed on paigutatud parema käe pöidla-, nimetis- ja keskmise sõrmena, mida saab paigutada. Ühest parempoolsest koordinaatsüsteemist on sobiva pööramise teel alati võimalik saada teine ​​parempoolne koordinaatsüsteem. Joonisel fig. 5 näitab vektori A lagunemist kolmeks komponendiks ja need liidetakse kokku vektoriga A , kuna

Järelikult

Samuti võib esmalt liita ja hankida ning seejärel lisada. Vektori A projektsioone kolmel koordinaatteljel, mida tähistatakse Ax, Ay ja Az, nimetatakse vektori A skalaarkomponentideks:

kus a, b ja g on nurgad A ja kolme koordinaattelje vahel. Nüüd tutvustame kolme ühikpikkusvektorit i, j ja k (orths), millel on sama suund kui vastavatel x, y ja z telgedel. Siis, kui Ax korrutada i-ga, on tulemuseks vektor, mis on võrdne ja

Kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad skalaarkomponendid on võrdsed. Seega A = B siis ja ainult siis, kui Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Kaks vektorit saab lisada nende komponentide lisamisega:

Lisaks Pythagorase teoreemi järgi:

Lineaarsed funktsioonid. Avaldist aA + bB, kus a ja b on skalaarid, nimetatakse vektorite A ja B lineaarfunktsiooniks. See on vektor, mis asub A ja B-ga samal tasapinnal; kui A ja B ei ole paralleelsed, siis a ja b muutumisel liigub vektor aA + bB üle kogu tasapinna (joonis 6). Kui A, B ja C ei asu kõik samal tasapinnal, siis vektor aA + bB + cC (muutused a, b ja c) liigub läbi ruumi. Oletame, et A, B ja C on ühikvektorid i, j ja k. Vektor ai asub x-teljel; vektor ai + bj võib liikuda piki kogu xy tasapinda; vektor ai + bj + ck võib liikuda läbi ruumi.

Võiks valida neli üksteisega risti olevat vektorit i, j, k ja l ning defineerida neljamõõtmelise vektori suurusena A = Axi + Ayj + Azk + Awl
pikkusega

ja üks võiks jätkuda kuni viie, kuue või suvalise arvu dimensioonidega. Kuigi sellist vektorit on võimatu visuaalselt kujutada, pole siin matemaatilisi raskusi. Selline märge on sageli kasulik; näiteks kirjeldab liikuva osakese olekut kuuemõõtmeline vektor P (x, y, z, px, py, pz), mille komponentideks on tema asukoht ruumis (x, y, z) ja impulss (px) , py, pz). Sellist ruumi nimetatakse "faasiruumiks"; kui arvestada kahte osakest, siis on faasiruum 12-mõõtmeline, kui kolm, siis 18 jne. Mõõtmete arvu saab piiramatult suurendada; aga kogused, millega me tegeleme, käituvad peaaegu samamoodi nagu need, mida käsitleme selle artikli ülejäänud osas, nimelt kolmemõõtmelised vektorid.
Kahe vektori korrutamine. Vektorite liitmise reegel saadi vektoritega kujutatud suuruste käitumist uurides. Pole selget põhjust, miks kahte vektorit ei saaks mingil viisil korrutada, kuid sellel korrutamisel on mõtet ainult siis, kui saab näidata, et see on matemaatiliselt õige; lisaks on soovitav, et tootel oleks teatud füüsiline tähendus. Nendele tingimustele vastavate vektorite korrutamiseks on kaks võimalust. Neist ühe tulemuseks on skalaar, sellist korrutist nimetatakse kahe vektori "skalaarkorrutiseks" või "sisekorrutiseks" ja kirjutatakse ACHB või (A, B). Teise korrutise tulemuseks on vektor, mida nimetatakse "ristkorrutiseks" või "väliskorrutiseks" ja see on kirjutatud A*B või []. Punktproduktidel on füüsiline tähendus ühe, kahe või kolme mõõtme jaoks, samas kui vektorkorrutised on määratletud ainult kolme mõõtme jaoks.
Skalaarsed tooted. Kui mingi jõu F mõjul liigub punkt, kuhu see rakendatakse, kaugust r, siis on tehtud töö võrdne r ja komponendi F korrutisega suunas r. See komponent on võrdne F cos bF, rc, kus bF, rc on nurk F ja r vahel, st. Tehtud töö = Fr cos bF, rc. See on näide mis tahes kahe vektori A, B jaoks valemi abil defineeritud skalaarkorrutise füüsilisest põhjendusest
A*B = AB cos bA, Bs.
Kuna kõik võrrandi paremal poolel olevad suurused on skalaarid, siis A*B = B*A; seetõttu on skalaarkorrutis kommutatiivne. Skalaarkorrutamisel on ka jaotusomadus: A*(B + C) = A*B + A*C. Kui vektorid A ja B on risti, siis cos bA, Bc on võrdne nulliga ja seega A*B = 0, isegi kui ei A ega B ei ole võrdne nulliga. Seetõttu ei saa me vektoriga jagada. Oletame, et jagame võrrandi A*B = A*C mõlemad pooled A-ga. See annaks B = C ja kui jagamine oleks võimalik, oleks see võrdsus ainuvõimalik tulemus. Kui aga kirjutada võrrand A*B = A*C ümber A*(B - C) = 0 ja meeles pidada, et (B - C) on vektor, siis on selge, et (B - C) ei pruugi olla null. ja seega ei tohi B olla võrdne C-ga. Need vastuolulised tulemused näitavad, et vektorite jagamine on võimatu. Skalaarkorrutis annab veel ühe võimaluse vektori arvväärtuse (mooduli) kirjutamiseks: A*A = AA*cos 0° = A2;
sellepärast

Skalaarkorrutist saab kirjutada ka muul viisil. Selleks pidage meeles, et: A = Ax i + Ayj + Azk. Märka seda

Siis

Kuna viimane võrrand sisaldab alamindeksitena x, y ja z, näib võrrand sõltuvat konkreetsest valitud koordinaatsüsteemist. Kuid see pole nii, nagu on näha definitsioonist, mis ei sõltu valitud koordinaattelgedest.
Vektori kunstiteos. Vektor või vektorite väliskorrutis on vektor, mille moodul on võrdne nende moodulite ja algvektoritega risti oleva nurga siinuse korrutisega ning moodustab koos nendega parempoolse kolmiku. Seda toodet on kõige lihtsam tutvustada, võttes arvesse kiiruse ja nurkkiiruse vahelist seost. Esimene on vektor; näitame nüüd, et viimast saab tõlgendada ka vektorina. Pöörleva keha nurkkiirus määratakse järgmiselt: valime kehal suvalise punkti ja tõmbame sellest punktist risti pöörlemisteljega. Siis on keha nurkkiirus radiaanide arv, mille see joon on ajaühikus pööranud. Kui nurkkiirus on vektor, peab sellel olema arvväärtus ja suund. Arvväärtust väljendatakse radiaanides sekundis, suunda saab valida piki pöörlemistelge, selle saab määrata suunates vektori suunas, milles liiguks koos kehaga pöörlemisel parempoolne kruvi. Vaatleme keha pöörlemist ümber fikseeritud telje. Kui paigaldame selle telje rõnga sisse, mis on omakorda fikseeritud teise rõnga sees olevale teljele, saame anda esimese rõnga sees olevale kehale pöörlemise nurkkiirusega w1 ja seejärel panna sisemise rõnga (ja keha) pöörlema nurkkiirus w2. Joonis 7 selgitab asja olemust; ringikujulised nooled näitavad pöörlemissuunda. See keha on tahke kera keskpunktiga O ja raadiusega r.

Riis. 7. KESKEGA O KERA, mis pöörleb rõnga BC sees nurkkiirusega w1, mis omakorda pöörleb rõnga DE sees nurkkiirusega w2. Kera pöörleb nurkkiirusega, mis on võrdne nurkkiiruste summaga ja kõik punktid joonel POP" on hetkelises puhkeolekus.

Anname sellele kehale liikumise, mis on kahe erineva nurkkiiruse summa. Seda liikumist on üsna raske visualiseerida, kuid on üsna ilmne, et keha ei pöörle enam ümber kindla telje. Siiski võib öelda, et see pöörleb. Selle näitamiseks valime keha pinnal mingi punkti P, mis vaadeldaval ajahetkel asub suurringil, mis ühendab punkte, kus kaks telge ristuvad kera pinnaga. Kujutagem ristid punktist P teljele. Need ristid muutuvad vastavalt ringide PQRS ja PTUW raadiusteks PJ ja PK. Joonistame sfääri keskpunkti läbiva joone POPў. Nüüd liigub punkt P vaadeldaval ajahetkel samaaegselt mööda ringjooni, mis puudutavad punkti P. Väikese ajavahemiku Dt jooksul liigub P kaugusesse

See vahemaa on null, kui

Sel juhul on punkt P hetkelises puhkeseisundis ja samuti kõik punktid sirgel POP sfääri pöörlemisteljel, nii nagu igal ajahetkel teel veerev ratas pöörleb oma madalaima punkti ümber. punkt Mis on sfääri nurkkiirus? , see liigub ajas Dt kaugusele

Ringi raadiusega r sin w1. Definitsiooni järgi nurkkiirus

Sellest valemist ja seosest (1) saame

Teisisõnu, kui kirjutada üles arvväärtus ja valida nurkkiiruse suund, nagu ülalpool kirjeldatud, siis need suurused liidetakse vektoriteks ja neid võib ka sellisena käsitleda. Nüüd saate sisestada ristkorrutise; vaatleme keha, mis pöörleb nurkkiirusega w. Valime kehal suvalise punkti P ja mistahes algpunkti O, mis asub pöörlemisteljel. Olgu r vektor, mis on suunatud punktist O punkti P. Punkt P liigub mööda ringjoont kiirusega V = w r sin (w, r). Kiirusevektor V puutub ringiga ja osutab joonisel fig. kaheksa.

See võrrand annab punkti kiiruse V sõltuvuse kahe vektori w ja r kombinatsioonist. Me kasutame seda seost uut tüüpi toote määratlemiseks ja kirjutame: V = w * r. Kuna sellise korrutamise tulemuseks on vektor, nimetatakse seda korrutist vektorkorrutiseks. Mis tahes kahe vektori A ja B korral, kui A * B = C, siis C = AB sin 6A, Bc ja vektori C suund on selline, et see on risti A ja B läbiva tasapinnaga ja osutab samas suund paremale pöörleva kruvi liikumissuunana, kui see on paralleelne C-ga ja pöörleb punktist A punkti B. Teisisõnu võime öelda, et A, B ja C moodustavad selles järjekorras õige koordinaattelgede komplekti. Vektorprodukt on kommutatiivne; vektoril B * A on sama moodul nagu A * B, kuid see on suunatud vastupidises suunas: A * B = -B * A. See korrutis on distributiivne, kuid mitte assotsiatiivne; seda saab tõestada

Vaatame, kuidas on kirjutatud vektorkorrutis komponentide ja ühikvektorite järgi. Esiteks, mis tahes vektori A korral A * A = AA sin 0 = 0.
Seetõttu on ühikvektorite puhul i * i = j * j = k * k = 0 ja i * j = k, j * k = i, k * i = j. Siis

Selle võrdsuse võib kirjutada ka determinandiks:

Kui A * B = 0, siis kas A või B on 0 või A ja B on kollineaarsed. Seega, nagu punktkorrutise puhul, ei ole vektoriga jagamine võimalik. A * B väärtus on võrdne külgedega A ja B rööpküliku pindalaga. Seda on lihtne näha, kuna B sin bA, Bc on selle kõrgus ja A on alus. On palju muid füüsikalisi suurusi, mis on vektorproduktid. Üks olulisemaid vektorprodukte esineb elektromagnetismi teoorias ja seda nimetatakse Poyntingi vektoriks P. See vektor on antud järgmiselt: P = E * H, kus E ja H on vastavalt elektri- ja magnetvälja vektorid. P-vektorit võib käsitleda kui etteantud energiavoogu vattides ruutmeetri kohta mis tahes punktis. Siin on veel mõned näited: lähtepunkti suhtes mõjuv jõumoment F (pöördemoment), mis mõjub punktile, mille raadiuse vektor on r, on defineeritud kui r * F; punktis r paikneva osakese massiga m ja kiirusega V on lähtepunkti suhtes nurkimment mr * V; jõud, mis mõjub osakesele, mis kannab elektrilaengut q läbi magnetvälja B kiirusega V, on qV * B.
Kolmekordne töö. Kolmest vektorist saame moodustada järgmised kolmikkorrutised: vektor (A*B) * C; vektor(A*B)*C; skalaar (A * B) * C. Esimene tüüp on vektori C ja skalaari A*B korrutis; sellistest töödest oleme juba rääkinud. Teist tüüpi nimetatakse topeltristkorrutiseks; vektor A * B on risti tasapinnaga, kus asuvad A ja B, ja seetõttu on (A * B) * C vektor, mis asub tasapinnal A ja B ning on risti C-ga. Seetõttu üldiselt (A * B) * C ei ole võrdne A * (B * C). Kirjutades A, B ja C nende x-, y- ja z-koordinaatide (komponentide) järgi ja korrutades, saame näidata, et A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A*) B). Kolmas korrutis, mis esineb tahkisfüüsikas võrearvutustes, on arvuliselt võrdne rööptahuka ruumalaga servadega A, B, C. Kuna (A * B) * C = A * (B * C), siis märgid skalaar- ja vektorkorrutisi saab omavahel vahetada ning korrutis kirjutatakse sageli kui (A B C). See korrutis on võrdne determinandiga

Pange tähele, et (A B C) = 0, kui kõik kolm vektorit asuvad samal tasapinnal või kui A = 0 või (ja) B = 0 või (ja) C = 0.
VEKTORIDE DIFERENTSIOON
Oletame, et vektor U on ühe skalaarmuutuja t funktsioon. Näiteks U võib olla raadiuse vektor, mis on tõmmatud lähtepunktist liikuva punktini, ja t võib olla aeg. Olgu t muutuv väikese Dt võrra, mis muudab U DU võrra. See on näidatud joonisel fig. 9. Suhe DU/Dt on vektor, mis on suunatud DU-ga samas suunas. Saame defineerida U tuletise t as suhtes

tingimusel, et selline piirang on olemas. Teisest küljest võib U-d esitada kolme telje komponentide summana ja kirjutada

Kui U on raadiuse vektor r, siis dr/dt on punkti kiirus, väljendatuna aja funktsioonina. Jälle aja suhtes eristades saame kiirenduse. Oletame, et punkt liigub piki joonisel fig. 10. Olgu s punkti läbitud vahemaa piki kõverat. Väikese ajaintervalli Dt jooksul läbib punkt piki kõverat vahemaa Ds; raadiusvektori asukoht muutub Dr. Seega on Dr/Ds vektor, mis on suunatud nagu Dr. Edasi

Dr vektor – raadiuse-vektori muutus.

on kõvera puutuja ühikvektor. Seda on näha sellest, et kui punkt Q läheneb punktile P, läheneb PQ puutujale ja Dr läheneb Ds-ile. Korrutise eristamise valemid on sarnased skalaarfunktsioonide korrutise eristamise valemitega; kuna aga ristkorrutis on kommutatiivne, tuleb korrutamise järjekord säilitada. Sellepärast,

Seega näeme, et kui vektor on ühe skalaarmuutuja funktsioon, siis saame tuletist esitada umbes samamoodi nagu skalaarfunktsiooni puhul.
Vektor- ja skalaarväljad. Gradient. Füüsikas tuleb sageli tegeleda vektor- või skalaarsuurustega, mis teatud piirkonnas muutuvad punktist punkti. Selliseid alasid nimetatakse "põldudeks". Näiteks skalaar võib olla temperatuur või rõhk; vektoriks võib olla liikuva vedeliku kiirus või laengute süsteemi elektrostaatiline väli. Kui oleme valinud mingi koordinaatsüsteemi, siis suvaline punkt P (x, y, z) antud piirkonnas vastab mingile raadiusvektorile r (= xi + yj + zk) ja ka vektori suuruse U (r) väärtusele või sellega seotud skalaar f (r). Oletame, et U ja f on domeenis üheselt defineeritud; need. iga punkt vastab ühele ja ainult ühele väärtusele U või f, kuigi erinevatel punktidel võivad loomulikult olla erinevad väärtused. Oletame, et tahame kirjeldada kiirust, millega U ja f muutuvad selle ala läbimisel. Lihtsad osatuletised, nagu dU / dx ja df / dy, meile ei sobi, kuna need sõltuvad konkreetselt valitud koordinaattelgedest. Siiski on võimalik sisse viia vektori diferentsiaaloperaator, mis ei sõltu koordinaattelgede valikust; seda operaatorit nimetatakse "gradiendiks". Käsitleme skalaarvälja f. Esiteks kaaluge näiteks riigi piirkonna kontuurkaarti. Sel juhul f on kõrgus merepinnast; kontuurjooned ühendavad sama f-väärtusega punkte. Mööda mõnda neist joontest liikudes f ei muutu; kui liigume nende sirgetega risti, siis on f muutumise kiirus maksimaalne. Iga punkti saame seostada vektoriga, mis näitab kiiruse f maksimaalse muutuse suurust ja suunda; selline kaart ja mõned neist vektoritest on näidatud joonisel fig. 11. Kui teeme seda välja iga punkti jaoks, saame vektorvälja, mis on seotud skalaarväljaga f. See on vektori väli nimega "gradient" f, mis on kirjutatud kui grad f või Cf (sümbolit C nimetatakse ka "nablaks").

Kolme mõõtme korral muutuvad kontuurjooned pindadeks. Väike nihe Dr (= iDx + jDy + kDz) toob kaasa f muutuse, mis kirjutatakse järgmiselt

kus punktid tähistavad kõrgemat järku termineid. Selle avaldise saab kirjutada punktkorrutisena

Jagage selle võrrandi parem ja vasak pool Ds-ga ja laske D-del nullida; siis

kus dr/ds on ühikvektor valitud suunas. Sulgudes olev avaldis on valitud punktist sõltuv vektor. Seega on df/ds maksimaalne väärtus, kui dr/ds osutab samas suunas, on sulgudes olev avaldis gradient. Sellel viisil,

- vektor, mis on suuruselt võrdne ja kattub suunalt f maksimaalse muutumiskiirusega koordinaatide suhtes. Gradient f kirjutatakse sageli kujul

See tähendab, et operaator C eksisteerib iseenesest. Paljudel juhtudel käitub see nagu vektor ja on tegelikult "vektori diferentsiaaloperaator" – üks olulisemaid diferentsiaaloperaatoreid füüsikas. Vaatamata sellele, et C sisaldab ühikvektoreid i, j ja k, ei sõltu selle füüsikaline tähendus valitud koordinaatsüsteemist. Milline on seos Cf ja f vahel? Esiteks oletame, et f määratleb potentsiaali mis tahes punktis. Iga väikese nihke Dr korral muutub f väärtus võrra

Kui q on suurus (näiteks mass, laeng), mida liigutab Dr, siis q liigutamisel Dr abil tehtud töö on võrdne

Kuna Dr on nihe, siis qСf on jõud; -Cf on f-ga seotud pinge (jõud ühiku koguse kohta). Näiteks olgu U elektrostaatiline potentsiaal; siis E on elektrivälja tugevus valemiga E = -СU. Oletame, et U tekib lähtepunkti asetatud q kuloni punktelektrilaenguga. U väärtus punktis P (x, y, z) raadiusvektoriga r saadakse valemiga

Kus e0 on vaba ruumi dielektriline konstant. Sellepärast

millest järeldub, et E toimib suunas r ja selle suurus on võrdne q/(4pe0r3). Teades skalaarvälja, saab määrata sellega seotud vektorvälja. Võimalik on ka vastupidine. Matemaatilise töötluse seisukohalt on skalaarvälju lihtsam kasutada kui vektorvälju, kuna need on antud koordinaatide ühe funktsiooniga, vektorvälja jaoks on aga vaja kolme funktsiooni, mis vastavad vektori komponentidele kolmes suunas. Seega tekib küsimus: kas vektorvälja andmisel saame üles kirjutada sellega seotud skalaarvälja?
Divergents ja rootor. Oleme näinud tulemust, kui C toimib skalaarfunktsioonile. Mis juhtub, kui vektorile rakendatakse C? On kaks võimalust: olgu U (x, y, z) vektor; siis saame moodustada risti ja täpi korrutise järgmiselt:

Esimene neist avaldistest on skalaar, mida nimetatakse U lahknemiseks (tähistatud divU); teine ​​on vektor, mida nimetatakse rootoriks U (tähistatakse rotU). Neid diferentsiaalfunktsioone, lahknemist ja kõverdumist, kasutatakse matemaatilises füüsikas laialdaselt. Kujutage ette, et U on mingi vektor ning see ja tema esimesed tuletised on mingis valdkonnas pidevad. Olgu P punkt selles piirkonnas, mida ümbritseb ruumala DV piirav väike suletud pind S. Olgu n selle pinnaga risti olev ühikvektor igas punktis (n muudab pinna ümber liikudes suunda, kuid omab alati ühiku pikkust); olgu n suunatud väljapoole. Näitame seda

Siin tähistab S, et need integraalid on võetud üle kogu pinna, da on S pinna element. Lihtsuse huvides valime S-i sobiva kuju väikese rööptahuka kujul (nagu on näidatud joonisel 12). küljed Dx, Dy ja Dz; punkt P on rööptahuka keskpunkt. Arvutame integraali võrrandist (4) kõigepealt rööptahuka ühe tahu kohal. Esikülje jaoks n = i (ühikvektor on paralleelne x-teljega); Da = DyDz. Integraali panus esiküljelt on võrdne

Vastasel küljel n = -i; see nägu aitab kaasa integraalile

Taylori teoreemi kasutades saame kahe tahu kogupanuse

Pange tähele, et DxDyDz = DV. Samamoodi saab arvutada kahe ülejäänud näopaari panuse. Täisintegraal on võrdne

ja kui seame DV (r) 0, siis kõrgemat järku liikmed kaovad. Valemi (2) järgi on sulgudes olev avaldis divU, mis tõestab võrdsust (4). Võrdsust (5) saab tõestada samamoodi. Kasutame joonist fig. 12; siis on esikülje panus integraali võrdne

Ja kasutades Taylori teoreemi, saame, et kahe tahu kogupanus integraali on kujul

need. need on kaks terminit võrrandis (3) olevast rotU avaldisest. Ülejäänud neli terminit saadakse pärast ülejäänud nelja näo panuste arvessevõtmist. Mida need suhted tegelikult tähendavad? Mõelge võrdsusele (4). Oletame, et U on (näiteks vedeliku) kiirus. Siis nЧU da = Un da, kus Un on vektori U pinna normaalkomponent. Seetõttu on Un da ​​ajaühikus läbi da voolava vedeliku maht ja läbi S ajaühikus voolava vedeliku maht. Järelikult

Mahuühiku paisumiskiirus punkti P ümber. Siit saabki lahknemine oma nime; see näitab kiirust, millega vedelik paisub P-st välja (st erineb sellest). Rootori U füüsikalise tähenduse selgitamiseks vaatleme teist pinnaintegraali, mis paikneb P ümbritseval väikesel silindrilisel kõrgusel h; tasapinnalisi paralleelseid pindu saab orienteerida mis tahes meie valitud suunas. Olgu k iga pinnaga risti olev ühikvektor ja iga pinna pindala DA; siis kogumaht DV = hDA (joonis 13). Mõelge nüüd integraalile

Integrand on eelnevalt mainitud kolmekordne skalaarkorrutis. See korrutis on null tasastel pindadel, kus k ja n on paralleelsed. Kumeral pinnal

Kus ds on kõvera element, nagu on näidatud joonisel fig. 13. Võrreldes neid võrdusi seosega (5), saame selle

Eeldame ikkagi, et U on kiirus. Kui suur on sel juhul vedeliku keskmine nurkkiirus ümber k? See on ilmne

kui DA ei ole võrdne 0-ga. See avaldis on maksimaalne, kui k ja rotU osutavad samas suunas; see tähendab, et rotU on vektor, mis võrdub vedeliku kahekordse nurkkiirusega punktis P. Kui vedelik pöörleb ümber P, siis rotU on #0 ja U vektorid pöörlevad ümber P. Sellest ka nimi rootor. Lahknemisteoreem (Ostrogradski-Gaussi teoreem) on valemi (4) üldistus lõplike mahtude jaoks. Ta väidab, et mõne ruumala V puhul, mis on piiratud suletud pinnaga S,

Vektor on matemaatiline objekt, mida iseloomustavad suund ja suurus. Vektor on geomeetrias tasapinnas või ruumis olev sirglõik, millel on oma kindel suund ja pikkus.

Vektortähistus

Vektori tähistamiseks kasutatakse kas ühte väiketähte või kahte suurtähte, mis vastavad vektori algusele ja lõpule, samal ajal kui tähtede kohal kuvatakse horisontaalne kriips. Esimene täht tähistab vektori algust, teine ​​- lõppu (vt joonis 1). Vektori graafilisel kuval on nool, mis näitab selle suunda.

Millised on vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis?

Vektori koordinaadid on valitud koordinaatsüsteemis ainsa võimaliku baasvektorite lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on see üsna lihtne. Võtame näite.

Oletame, et peame leidma vektori a koordinaadid. Asetame selle kolmemõõtmelisse koordinaatsüsteemi (vt joonis 2) ja teostame vektori projektsioonid igale teljele. Vektor a kirjutatakse sel juhul järgmiselt: a= a x i+ a y j+ a z k, kus i, j, k on baasvektorid, a x , a y , a z on koefitsiendid, mis määravad vektori a koordinaadid. Avaldist ennast nimetatakse lineaarseks kombinatsiooniks. Tasapinnal (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) koosneb lineaarne kombinatsioon kahest alusest ja koefitsiendist.

Vektorsuhted

Vektoriteoorias on selline termin nagu vektorite suhe. See mõiste määratleb vektorite asukoha üksteise suhtes tasapinnal ja ruumis. Kõige kuulsamad vektorsuhete erijuhud on:

• kollineaarsus;
• kaassuunalisus;
• koplanaarsus;
• võrdsus.

Kollineaarsed vektorid asuvad samal sirgel või on üksteisega paralleelsed, kaassuunalised vektorid on sama suunaga, samatasandilised vektorid asuvad samal tasapinnal või paralleelsetes tasandites, võrdsed vektorid on sama suuna ja pikkusega.

Vektor on eukleidilise ruumi sirge suunatud lõik, mille üht otsa (punkti A) nimetatakse vektori alguseks ja teist otsa (punkti B) vektori lõpuks (joonis 1). . Vektorid on tähistatud:

Kui vektori algus ja lõpp on samad, siis kutsutakse vektorit nullvektor ja tähistatud 0 .

Näide. Olgu vektori alguses kahemõõtmelises ruumis koordinaadid A(12,6) , ja vektori lõpp on koordinaadid B(12.6). Siis on vektor nullvektor.

Lõika pikkus AB helistas moodul (pikk, norm) vektor ja seda tähistatakse | a|. Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega ühikvektor. Lisaks moodulile iseloomustab vektorit suund: vektoril on suund alates A juurde B. Vektorit nimetatakse vektoriks, vastupidine vektor .

Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Joonisel fig. 3 punast vektorit on kollineaarsed alates nad asuvad samal sirgel ja sinised vektorid on kollineaarsed, sest nad asuvad paralleelsetel joontel. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit võrdselt suunatud kui nende otsad asuvad samal pool nende algust ühendavat joont. Nimetatakse kahte kollineaarset vektorit vastassuunas kui nende otsad asuvad nende algust ühendava joone vastaskülgedel. Kui kaks kollineaarset vektorit asuvad samal sirgel, siis öeldakse, et need on võrdselt suunatud, kui üks ühe vektori moodustatud kiirtest sisaldab täielikult teise vektori moodustatud kiirt. Vastasel juhul nimetatakse vektoreid vastassuunalisteks. Joonisel 3 on sinised vektorid samas suunas ja punased vastupidises suunas.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on võrdsed moodulid ja need on võrdselt suunatud. Joonisel 2 on vektorid võrdsed, sest nende moodulid on võrdsed ja sama suunaga.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne kui need asuvad samal tasapinnal või paralleelsetel tasapindadel.

AT n Dimensioonilises vektorruumis vaatleme kõigi vektorite hulka, mille alguspunkt kattub lähtepunktiga. Seejärel saab vektori kirjutada järgmisel kujul:

(1)

kus x 1 , x 2 , ..., x n vektori lõpp-punkti koordinaadid x.

Kujul (1) kirjutatud vektorit kutsutakse rea vektor, ja vektor, mis on kirjutatud kujul

(2)

helistas veeru vektor.

Number n helistas dimensioon (korras) vektor. Kui a siis kutsutakse vektorit nullvektor(sest vektori alguspunkt ). Kaks vektorit x ja y on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad elemendid on võrdsed.