Vektorite punktkorrutis

Jätkame vektoritega tegelemist. Esimesel õppetunnil Mannekeenide vektorid oleme käsitlenud vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate ja lihtsamaid ülesandeid vektoritega. Kui sattusite sellele lehele esimest korda otsingumootori kaudu, soovitan soojalt lugeda ülaltoodud sissejuhatavat artiklit, sest materjali omastamiseks peate juhinduma minu kasutatavatest terminitest ja tähistustest, omama elementaarseid teadmisi vektorite kohta ja oskama elementaarseid probleeme lahendada. See õppetund on teema loogiline jätk ja selles analüüsin üksikasjalikult tüüpilisi ülesandeid, mis kasutavad vektorite skalaarkorrutist. See on VÄGA OLULINE töö.. Proovige mitte jätta näiteid vahele, nendega kaasneb kasulik boonus - praktika aitab käsitletavat materjali koondada ja "kätte saada" analüütilise geomeetria levinud probleemide lahendamisel.

Vektorite liitmine, vektori arvuga korrutamine…. Naiivne oleks arvata, et matemaatikud pole midagi muud välja mõelnud. Lisaks juba vaadeldud toimingutele on mitmeid muid vektoritega toiminguid, nimelt: vektorite punktkorrutis, vektorite ristkorrutis ja vektorite segakorrutis. Vektorite skalaarkorrutis on meile tuttav kooliajast, ülejäänud kaks korrutist on traditsiooniliselt seotud kõrgema matemaatika kursusega. Teemad on lihtsad, paljude probleemide lahendamise algoritm stereotüüpne ja arusaadav. Ainuke asi. Infot on korralik kogus, seega ei ole soovitav püüda KÕIKE JA KORRAGA valdada ja lahendada. See kehtib eriti mannekeenide kohta, uskuge mind, autor ei taha absoluutselt tunda end nagu matemaatikast pärit Chikatilo. Noh, matemaatikast ka muidugi mitte =) Ettevalmistumad õpilased saavad materjale valikuliselt kasutada, teatud mõttes puuduolevaid teadmisi “omandada”, sinu jaoks olen mina kahjutu krahv Dracula =)

Lõpetuseks teeme ukse pisut lahti ja vaatame, mis juhtub siis, kui kaks vektorit kohtuvad….

Vektorite skalaarkorrutise definitsioon.
Skalaarkorrutise omadused. Tüüpilised ülesanded

Punkttoote kontseptsioon

Kõigepealt umbes nurk vektorite vahel. Ma arvan, et kõik saavad intuitiivselt aru, mis on vektorite vaheline nurk, aga igaks juhuks natuke rohkem. Vaatleme vaba nullist erinevat vektorit ja . Kui lükkame need vektorid suvalisest punktist edasi, saame pildi, mille paljud on juba vaimselt esitanud:

Tunnistan, siin kirjeldasin olukorda ainult mõistmise tasemel. Kui vajate vektorite vahelise nurga ranget määratlust, vaadake õpikut, kuid praktiliste ülesannete jaoks me seda põhimõtteliselt ei vaja. Ka SIIN JA EDASI jätan mõnikord nullvektorid nende vähese praktilise tähtsuse tõttu tähelepanuta. Tegin broneeringu spetsiaalselt saidi edasijõudnud külastajatele, kes võivad mulle ette heita mõne järgneva väite teoreetilise ebatäielikkuse pärast.

võib võtta väärtusi vahemikus 0 kuni 180 kraadi (0 kuni radiaanini) kaasa arvatud. Analüütiliselt kirjutatakse see fakt topelt ebavõrdsusena: või (radiaanides).

Kirjanduses on nurga ikoon sageli välja jäetud ja lihtsalt kirjutatud.

Definitsioon: Kahe vektori skalaarkorrutis on ARV, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega:

Nüüd on see üsna range määratlus.

Keskendume olulisele teabele:

Määramine: skalaarkorrutist tähistatakse lihtsalt või .

Operatsiooni tulemus on NUMBER: arvu saamiseks korrutage vektor vektoriga. Tõepoolest, kui vektorite pikkused on arvud, nurga koosinus on arv, siis nende korrutis on ka number.

Paar näidet soojenduseks:

Näide 1

Otsus: Kasutame valemit . Sel juhul:

Vastus:

Koosinusväärtused leiate siit trigonomeetriline tabel. Soovitan selle printida - seda nõutakse peaaegu kõigis torni osades ja seda on vaja mitu korda.

Puhtalt matemaatilisest vaatenurgast on skalaarkorrutis mõõtmeteta, see tähendab, et tulemus on antud juhul vaid arv ja kõik. Füüsika probleemide seisukohalt on skalaarkorrutisel alati teatud füüsikaline tähendus, st pärast tulemust tuleb näidata üks või teine ​​füüsikaline ühik. Jõu töö arvutamise kanoonilise näite võib leida igast õpikust (valem on täpselt punktkorrutis). Jõu tööd mõõdetakse džaulides, seetõttu kirjutatakse vastus üsna konkreetselt, näiteks.

Näide 2

Leia, kui , ja vektorite vaheline nurk on .

See on näide eneseotsustamiseks, vastus on tunni lõpus.

Nurk vektorite ja punktkorrutise väärtuse vahel

Näites 1 osutus skalaarkorrutis positiivseks ja näites 2 negatiivseks. Uurime, millest sõltub skalaarkorrutise märk. Vaatame oma valemit: . Nullist erineva vektorite pikkused on alati positiivsed: , seega võib märk sõltuda ainult koosinuse väärtusest.

Märge: Alltoodud teabe paremaks mõistmiseks on parem uurida juhendis koosinusgraafikut Graafikud ja funktsioonide omadused. Vaadake, kuidas koosinus segmendil käitub.

Nagu juba märgitud, võib vektorite vaheline nurk erineda ja võimalikud on järgmised juhtumid:

1) Kui süstimine vektorite vahel vürtsikas: (0 kuni 90 kraadi), siis , ja punkttoode on positiivne kaasrežissöör, siis loetakse nendevaheline nurk nulliks ja skalaarkorrutis on samuti positiivne. Kuna , siis on valem lihtsustatud: .

2) Kui süstimine vektorite vahel nüri: (90-180 kraadi), siis ja vastavalt punktkorrutis on negatiivne: . Erijuhtum: kui vektorid suunatud vastupidiselt, siis arvestatakse nende vahelist nurka kasutusele võetud: (180 kraadi). Ka skalaarkorrutis on negatiivne, kuna

Tõsi on ka vastupidised väited:

1) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk terav. Teise võimalusena on vektorid kaassuunalised.

2) Kui , siis on nende vektorite vaheline nurk nüri. Teise võimalusena on vektorid suunatud vastupidi.

Kuid kolmas juhtum pakub erilist huvi:

3) Kui süstimine vektorite vahel otse: (90 kraadi) siis ja punktkorrutis on null: . Tõsi on ka vastupidine: kui , siis . Kompaktne avaldus on sõnastatud järgmiselt: Kahe vektori skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis, kui antud vektorid on ortogonaalsed. Lühike matemaatiline märge:

! Märge : korda matemaatilise loogika alused: kahepoolse loogilise tagajärje ikooni loetakse tavaliselt "kui ja ainult siis", "kui ja ainult siis". Nagu näete, on nooled suunatud mõlemas suunas - "siit järgneb see ja vastupidi - siit järgneb see." Mis vahe on muuseas ühesuunalise jälgimise ikoonist? Ikoon väidab ainult et et "sellest järeldub see", mitte tõsiasi, et vastupidine on tõsi. Näiteks: , kuid mitte iga loom ei ole panter, seega ei saa ikooni sel juhul kasutada. Samal ajal ikooni asemel saab kasutage ühepoolset ikooni. Näiteks ülesande lahendamisel saime teada, et jõudsime järeldusele, et vektorid on ortogonaalsed: - selline rekord on õige ja isegi sobivam kui .

Kolmas juhtum on väga praktilise tähtsusega., kuna see võimaldab teil kontrollida, kas vektorid on ortogonaalsed või mitte. Selle ülesande lahendame tunni teises osas.

Dot toote omadused

Pöördume tagasi olukorra juurde, kui kaks vektorit kaasrežissöör. Sel juhul on nende vaheline nurk null, ja skalaarkorrutise valem on järgmisel kujul: .

Mis juhtub, kui vektor korrutatakse iseendaga? On selge, et vektor on suunatud iseendaga, seega kasutame ülaltoodud lihtsustatud valemit:

Numbrile helistatakse skalaarruut vektor , ja on tähistatud kui .

Seega vektori skalaarruut on võrdne antud vektori pikkuse ruuduga:

Sellest võrdsusest saate vektori pikkuse arvutamise valemi:

Kuigi see tundub ebaselge, asetavad tunni ülesanded kõik oma kohale. Probleemide lahendamiseks vajame ka dot toote omadused.

Suvaliste vektorite ja mis tahes arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) - nihutatav või kommutatiivne skalaarkorrutise seadus.

2) - levitamine või jaotav skalaarkorrutise seadus. Lihtsamalt öeldes saate avada sulud.

3) - kombinatsioon või assotsiatiivne skalaarkorrutise seadus. Konstandi saab skalaarkorrutisest välja võtta.

Tihtipeale tajuvad kõikvõimalikud omadused (mis vajavad ka tõestamist!) õpilased tarbetu prügina, mis tuleb vaid pärast eksamit pähe õppida ja turvaliselt unustada. Näib, et mis siin oluline on, kõik teavad juba esimesest klassist, et toode ei muutu tegurite permutatsioonist:. Pean hoiatama, et kõrgemas matemaatikas on sellise lähenemisega lihtne asju sassi ajada. Seega näiteks kommutatiivne omadus ei kehti algebralised maatriksid. See ei vasta tõele vektorite ristkorrutis. Seetõttu on vähemalt parem süveneda kõigisse omadustesse, mida kõrgema matemaatika käigus kohtate, et mõista, mida saab ja mida mitte.

Näide 3

.

Otsus: Kõigepealt teeme olukorra selgeks vektoriga. Milles see on? Vektorite summa ja on täpselt määratletud vektor, mida tähistatakse . Vektoritega toimingute geomeetrilise tõlgenduse leiate artiklist Mannekeenide vektorid. Sama petersell vektoriga on vektorite summa ja .

Seega on tingimuse järgi vaja leida skalaarkorrutis. Teoreetiliselt peate rakendama töövalemit , aga häda on selles, et me ei tea vektorite pikkusi ja nende vahelist nurka. Kuid tingimusel on vektorite jaoks antud sarnased parameetrid, seega läheme teist teed:

(1) Asendame vektorite avaldised.

(2) Avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi, vulgaarse keeleväänaja leiab artiklist Kompleksarvud või Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine. Ma ei korda ennast =) Muide, skalaarkorrutise jaotusomadus võimaldab sulgusid avada. Meil on õigus.

(3) Esimeses ja viimases osas kirjutame kompaktselt vektorite skalaarruudud: . Teises liikmes kasutame skalaarkorrutise kommuteeritavust: .

(4) Siin on sarnased terminid: .

(5) Esimeses liikmes kasutame skalaarruutvalemit, mida mainiti mitte nii kaua aega tagasi. Viimasel ametiajal töötab sama asi: . Teist terminit laiendatakse standardvalemi järgi .

(6) Asendage need tingimused , ja sooritage HOOLIKALT lõplikud arvutused.

Vastus:

Punktkorrutise negatiivne väärtus näitab, et vektorite vaheline nurk on nüri.

Ülesanne on tüüpiline, siin on näide iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 4

Leidke vektorite skalaarkorrutis ja , kui see on teada .

Nüüd veel üks levinud ülesanne, just uue vektori pikkuse valemi jaoks. Siinsed tähistused kattuvad veidi, nii et selguse huvides kirjutan selle ümber teise tähega:

Näide 5

Leia vektori pikkus, kui .

Otsus saab olema järgmine:

(1) Esitame vektoravaldise .

(2) Kasutame pikkuse valemit: , samas kui vektorina "ve" on täisarv.

(3) Summa ruudu jaoks kasutame kooli valemit. Pöörake tähelepanu sellele, kuidas see uudishimulikult siin töötab: - tegelikult on see erinevuse ruut ja tegelikult see nii on. Soovijad saavad vektoreid kohati ümber paigutada: - kuni terminite ümberpaigutamiseni selgus sama.

(4) Järgnev on juba kahest eelnevast ülesandest tuttav.

Vastus:

Kuna me räägime pikkusest, ärge unustage märkida mõõdet - "ühikud".

Näide 6

Leia vektori pikkus, kui .

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Jätkame skalaarkorrutisest kasulike asjade väljapressimist. Vaatame uuesti oma valemit . Proportsioonireegli järgi lähtestame vektorite pikkused vasaku külje nimetaja järgi:

Vahetame osad ära:

Mis on selle valemi tähendus? Kui on teada kahe vektori pikkused ja nende skalaarkorrutis, siis saab arvutada nende vektorite vahelise nurga koosinuse ja sellest tulenevalt ka nurga enda.

Kas skalaarkorrutis on arv? Number. Kas vektori pikkused on arvud? Numbrid. Nii et ka murd on arv. Ja kui nurga koosinus on teada: , siis on pöördfunktsiooni kasutades lihtne nurk ise leida: .

Näide 7

Leia nurk vektorite ja , kui on teada, et .

Otsus: Kasutame valemit:

Arvutuste viimases etapis kasutati tehnikat - nimetaja irratsionaalsuse kõrvaldamist. Irratsionaalsuse kõrvaldamiseks korrutasin lugeja ja nimetaja arvuga.

Nii et kui , siis:

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtused leiate järgmiselt trigonomeetriline tabel. Kuigi seda juhtub harva. Analüütilise geomeetria ülesannetes ilmneb palju sagedamini mõni kohmakas karu, mille nurga väärtus tuleb kalkulaatori abil leida ligikaudu. Tegelikult näeme seda pilti ikka ja jälle.

Vastus:

Jällegi ärge unustage täpsustada mõõdet - radiaanid ja kraadid. Isiklikult eelistan kõigi küsimuste tahtlikuks "eemaldamiseks" märkida mõlemad (välja arvatud juhul, kui muidugi tingimuse järgi on vaja vastust esitada ainult radiaanides või ainult kraadides).

Nüüd saate raskema ülesandega iseseisvalt hakkama:

Näide 7*

Antud on vektorite pikkused ja nendevaheline nurk. Leia vektorite vaheline nurk , .

Ülesanne pole niivõrd raske kui mitmesuunaline.
Analüüsime lahendusalgoritmi:

1) Vastavalt tingimusele on vaja leida nurk vektorite ja vahel, seega tuleb kasutada valemit .

2) Leiame skalaarkorrutise (vt näiteid nr 3, 4).

3) Leidke vektori pikkus ja vektori pikkus (vt näited nr 5, 6).

4) Lahenduse lõpp langeb kokku näitega nr 7 - me teame arvu , mis tähendab, et nurka ennast on lihtne leida:

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus.

Tunni teine ​​osa on pühendatud samale punktitootele. Koordinaadid. See on veelgi lihtsam kui esimeses osas.

vektorite punktkorrutis,
antud koordinaatidega ortonormaalsel alusel

Vastus:

Ütlematagi selge, et koordinaatidega tegelemine on palju meeldivam.

Näide 14

Leia vektorite skalaarkorrutis ja kui

See on tee-seda-ise näide. Siin saab kasutada tehte assotsiatiivsust ehk mitte arvestada, vaid võtta skalaarkorrutisest kohe kolmik välja ja korrutada sellega viimaseks. Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Lõigu lõpus provokatiivne näide vektori pikkuse arvutamisest:

Näide 15

Leia vektorite pikkused , kui

Otsus: jällegi soovitab end eelmise jaotise meetod: aga on ka teine ​​võimalus:

Leiame vektori:

Ja selle pikkus triviaalse valemi järgi :

Skalaarkorrutis pole siin üldse asjakohane!

Kui asjata on see vektori pikkuse arvutamisel:
Peatus. Miks mitte kasutada ära vektori ilmset pikkusomadust? Mida saab öelda vektori pikkuse kohta? See vektor on vektorist 5 korda pikem. Suund on vastupidine, kuid see pole oluline, sest me räägime pikkusest. Ilmselgelt on vektori pikkus võrdne korrutisega moodul numbrid vektori pikkuse kohta:
- mooduli märk "sööb ära" numbri võimaliku miinuse.

Seega:

Vastus:

Koordinaatidega antud vektorite vahelise nurga koosinuse valem

Nüüd on meil täielik teave, nii et varem tuletatud vektoritevahelise nurga koosinuse valem väljendada vektori koordinaatidena:

Tasapinnavektorite vahelise nurga koosinus ja ortonormaalses alusel , väljendatakse valemiga:
.

Ruumivektorite vahelise nurga koosinus, antud ortonormaalses baasis , väljendatakse valemiga:

Näide 16

Kolmnurga kolm tippu on antud. Leia (tipunurk ).

Otsus: Tingimusel pole joonist vaja, kuid siiski:

Vajalik nurk on tähistatud rohelise kaarega. Tuletage kohe meelde nurga koolitähistust: - erilist tähelepanu keskel täht - see on meile vajaliku nurga tipp. Lühiduse huvides võiks selle kirjutada ka lihtsalt.

Jooniselt on üsna ilmne, et kolmnurga nurk langeb kokku vektorite ja vahelise nurgaga, teisisõnu: .

Soovitav on õppida vaimselt sooritatud analüüsi sooritama.

Leiame vektorid:

Arvutame skalaarkorrutise:

Ja vektorite pikkused:

Nurga koosinus:

Just sellist ülesannete järjekorda soovitan mannekeenidele. Kogenumad lugejad saavad arvutused kirjutada "ühele reale":

Siin on näide "halvast" koosinusväärtusest. Saadud väärtus ei ole lõplik, seega pole suurt mõtet nimetaja irratsionaalsusest vabaneda.

Leiame nurga:

Kui vaadata joonist, on tulemus üsna usutav. Nurka kontrollimiseks saab mõõta ka nurgamõõturiga. Ärge kahjustage monitori katet =)

Vastus:

Vastuseks ärge unustage seda küsis kolmnurga nurga kohta(ja mitte vektorite vahelise nurga kohta), ärge unustage näidata täpset vastust: ja nurga ligikaudset väärtust: leitud kalkulaatoriga.

Need, kes on protsessi nautinud, saavad arvutada nurgad ja veenduda, et kanooniline võrdsus on tõsi

Näide 17

Kolmnurk on antud ruumis selle tippude koordinaatidega. Leia külgede vaheline nurk ja

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Väike viimane osa on pühendatud projektsioonidele, milles on "kaasatud" ka skalaarkorrutis:

Vektori projektsioon vektorile. Vektorprojektsioon koordinaattelgedele.
Vektori suuna koosinused

Võtke arvesse vektoreid ja:

Projekteerime vektori vektorile , selleks jätame vektori algusest ja lõpust välja perpendikulaarid vektori kohta (rohelised punktiirjooned). Kujutage ette, et valguskiired langevad vektorile risti. Siis on segment (punane joon) vektori "vari". Sel juhul on vektori projektsioon vektorile lõigu PIKKUS. See tähendab, PROJEKTSIOON ON NUMBER.

See NUMBER on tähistatud järgmiselt: , "suur vektor" tähistab vektorit MIS projekt, "väike alamindeksi vektor" tähistab vektorit ON mis on prognoositud.

Kirje ise kõlab järgmiselt: "vektori "a" projektsioon vektorile "olla"".

Mis juhtub, kui vektor "olla" on "liiga lühike"? Joonistame sirge, mis sisaldab vektorit "olla". Ja vektor "a" projitseeritakse juba vektori "olema" suunas, lihtsalt - sirgel, mis sisaldab vektorit "olla". Sama juhtub ka siis, kui vektor "a" on kolmekümnendas kuningriigis kõrvale jäetud – see projitseerub ikkagi kergesti joonele, mis sisaldab vektorit "olla".

Kui nurk vektorite vahel vürtsikas(nagu pildil), siis

Kui vektorid ortogonaalne, siis (projektsioon on punkt, mille mõõtmed on oletatud nulliks).

Kui nurk vektorite vahel nüri(joonisel asetage vektori nool mõtteliselt ümber), seejärel (sama pikk, kuid võetud miinusmärgiga).

Jätke need vektorid ühest punktist kõrvale:

Ilmselgelt vektorit liigutades selle projektsioon ei muutu

Vektorite skalaarkorrutis (edaspidi ühisettevõtte tekstis). Kallid sõbrad! Matemaatika eksam sisaldab vektorite lahendamise ülesannete rühma. Oleme mõningaid probleeme juba kaalunud. Näete neid kategoorias "Vektorid". Üldiselt on vektorite teooria lihtne, peaasi, et seda järjepidevalt uurida. Arvutused ja toimingud vektoritega koolimatemaatika kursusel on lihtsad, valemid pole keerulised. Vaata sisse . Selles artiklis analüüsime vektorite ühisettevõtte ülesandeid (kaasatud eksamile). Nüüd "kümblus" teooriasse:

H Vektori koordinaatide leidmiseks peate selle lõpu koordinaatidest lahutamaselle alguse vastavad koordinaadid

Ja edasi:

*Vektori pikkus (moodul) on määratletud järgmiselt:

Need valemid tuleb pähe õppida!!!

Näitame vektorite vahelist nurka:

On selge, et see võib varieeruda vahemikus 0 kuni 180 0(või radiaanides 0 kuni Pi).

Saame teha mõned järeldused skalaarkorrutise märgi kohta. Vektorite pikkused on ilmselgelt positiivsed. Seega sõltub skalaarkorrutise märk vektoritevahelise nurga koosinuse väärtusest.

Võimalikud juhtumid:

1. Kui vektorite vaheline nurk on terav (0 0 kuni 90 0), siis on nurga koosinus positiivne väärtus.

2. Kui vektorite vaheline nurk on nüri (90 0 kuni 180 0), siis on nurga koosinus negatiivne.

*Null kraadi juures, st kui vektoritel on sama suund, on koosinus võrdne ühega ja vastavalt sellele on tulemus positiivne.

180 o juures, st kui vektoritel on vastupidised suunad, on koosinus võrdne miinus ühega,ja tulemus on negatiivne.

Nüüd TÄHTIS PUNKT!

90 o juures, st kui vektorid on üksteisega risti, on koosinus null ja seega on ühisettevõte null. Seda asjaolu (tagajärg, järeldus) kasutatakse paljude ülesannete lahendamisel, kus räägime vektorite vastastikusest paigutusest, sealhulgas matemaatika avatud ülesannete panka kuuluvates ülesannetes.

Sõnastame väite: skalaarkorrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui antud vektorid asuvad risti.

Seega on SP vektorite valemid järgmised:

Kui vektorite koordinaadid või nende algus- ja lõpupunktide koordinaadid on teada, siis leiame alati vektoritevahelise nurga:

Kaaluge ülesandeid:

27724 Leia vektorite a ja b sisekorrutis.

Leiame vektorite skalaarkorrutise, kasutades ühte kahest valemist:

Vektorite vaheline nurk on teadmata, kuid me saame hõlpsalt leida vektorite koordinaadid ja seejärel kasutada esimest valemit. Kuna mõlema vektori algused ühtivad alguspunktiga, on nende vektorite koordinaadid võrdsed nende otste koordinaatidega, see tähendab

Vektori koordinaatide leidmist kirjeldatakse artiklis.

Arvutame:

Vastus: 40

Leidke vektorite koordinaadid ja kasutage valemit:

Vektori koordinaatide leidmiseks on vaja vektori lõpu koordinaatidest lahutada selle alguse vastavad koordinaadid, mis tähendab

Arvutame skalaarkorrutise:

Vastus: 40

Leia vektorite a ja b vaheline nurk. Esitage oma vastus kraadides.

Olgu vektorite koordinaadid järgmisel kujul:

Vektorite vahelise nurga leidmiseks kasutame vektorite skalaarkorrutise valemit:

Vektoritevahelise nurga koosinus:

Seega:

Nende vektorite koordinaadid on:

Ühendame need valemiga:

Vektorite vaheline nurk on 45 kraadi.

Vastus: 45

Seega arvutatakse vektori pikkus selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurena
. Samamoodi arvutatakse n-mõõtmelise vektori pikkus
. Kui meenutada, et vektori iga koordinaat on lõpu ja alguse koordinaatide vahe, siis saame lõigu pikkuse valemi, s.t. Eukleidiline kaugus punktide vahel.

Skalaarkorrutis kaks vektorit tasapinnal on nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinus korrutis:
. Võib tõestada, et kahe vektori skalaarkorrutis = (x 1, x 2) ja = (y 1, y 2) on võrdne nende vektorite vastavate koordinaatide korrutistega:
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

N-mõõtmelises ruumis on vektorite X= (x 1 , x 2 ,...,x n) ja Y= (y 1 , y 2 ,...,y n) punktkorrutis defineeritud korrutiste summana. nende vastavatest koordinaatidest: X*Y \u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Vektorite üksteisega korrutamise toiming on sarnane reamaatriksi korrutamisele veerumaatriksiga. Rõhutame, et tulemuseks on arv, mitte vektor.

Vektorite skalaarkorrutisel on järgmised omadused (aksioomid):

1) Kommutatiivne omadus: X*Y=Y*X.

2) Jaotusomadus liitmise suhtes: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Suvalise reaalarvu  korral
.

4)
, kui X ei ole nullvektor;
kui X on nullvektor.

Lineaarset vektorruumi, milles on antud vektorite skalaarkorrutis, mis rahuldab neli vastavat aksioomi, nimetatakse Eukleidiline lineaarvektorruumi.

On hästi näha, et mis tahes vektori endaga korrutades saame selle pikkuse ruudu. Nii et see on erinev pikkus vektorit saab defineerida kui ruutjuurt selle skalaarruudust:.

Vektori pikkusel on järgmised omadused:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, kus  on reaalarv;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsus);

4) |X+Y||X|+|Y| ( kolmnurga ebavõrdsus).

Nurk  vektorite vahel n-mõõtmelises ruumis määratakse skalaarkorrutise kontseptsiooni alusel. Tõepoolest, kui
, siis
. See murd ei ole suurem kui üks (vastavalt Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsusele), nii et siit leiate .

Neid kahte vektorit nimetatakse ortogonaalne või risti kui nende punktkorrutis on null. Punktkorrutise definitsioonist järeldub, et nullvektor on ortogonaalne mis tahes vektori suhtes. Kui mõlemad ortogonaalvektorid on nullist erinevad, siis tingimata cos= 0, st=/2 = 90 o.

Vaatleme uuesti joonist 7.4. Jooniselt on näha, et vektori horisontaaltelje kaldenurga  koosinus on arvutatav
, ja vektori vertikaaltelje kaldenurga  koosinus kui
. Neid numbreid kutsutakse suunakoosinused. Lihtne on näha, et suunakoosinuste ruutude summa on alati võrdne ühega: cos 2 +cos 2 = 1. Samamoodi saame suunakoosinuste mõiste kasutusele võtta ka suuremate mõõtmetega ruumide puhul.

Vektorruumi alus

Vektorite jaoks saab defineerida mõisted lineaarne kombinatsioon,lineaarne sõltuvus ja iseseisvus sarnaselt sellele, kuidas need mõisted maatriksiridade jaoks kasutusele võeti. Tõsi on ka see, et kui vektorid on lineaarselt sõltuvad, siis vähemalt ühte neist saab väljendada lineaarselt teistega (st tegemist on nende lineaarse kombinatsiooniga). Tõene on ka vastupidine väide: kui üks vektoritest on teiste lineaarne kombinatsioon, siis kõik need vektorid on agregaadis lineaarselt sõltuvad.

Pange tähele, et kui vektorite a l , a 2 ,...a m hulgas on nullvektor, siis see vektorite kogum on tingimata lineaarselt sõltuv. Tõepoolest, saame  l a l +  2 a 2 +...+  m a m = 0, kui näiteks võrdsustame koefitsiendi  j nullvektoriga ühega ja kõik muud koefitsiendid nulliga. Sel juhul ei ole kõik koefitsiendid võrdsed nulliga ( j ≠ 0).

Lisaks, kui mõned vektorid vektorite hulgast on lineaarselt sõltuvad, siis kõik need vektorid on lineaarselt sõltuvad. Tõepoolest, kui mõned vektorid annavad oma lineaarses kombinatsioonis nullvektori koefitsientidega, mis ei ole samaaegselt nullid, siis saab sellele korrutissummale lisada ülejäänud vektorid, mis on korrutatud nullkoefitsientidega, ja see jääb ikkagi nullvektoriks.

Kuidas teha kindlaks, kas vektorid on lineaarselt sõltuvad?

Näiteks võtame kolm vektorit: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) ja a 3 = (3, 1, 4, 3). Teeme neist maatriksi, milles need on veerud:

Seejärel taandatakse lineaarse sõltuvuse küsimus selle maatriksi järgu määramisele. Kui see osutub võrdseks kolmega, on kõik kolm veergu lineaarselt sõltumatud ja kui see osutub väiksemaks, näitab see vektorite lineaarset sõltuvust.

Kuna auaste on 2, on vektorid lineaarselt sõltuvad.

Pange tähele, et ülesande lahendamist võiks alustada ka argumentidest, mis põhinevad lineaarse sõltumatuse definitsioonil. Nimelt koostage vektorvõrrand  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, mis saab kujul l * (1, 0, 1, 5) + 2 * (2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Siis saame võrrandisüsteemi:

Selle süsteemi lahendus Gaussi meetodil taandatakse sama astmemaatriksi saamiseks, ainult et sellel on veel üks veerg - vabad liikmed. Need kõik on võrdsed nulliga, kuna nullide lineaarsed teisendused ei saa anda teistsugust tulemust. Teisendatud võrrandisüsteem on järgmisel kujul:

Selle süsteemi lahendus on (-s; -s; s), kus s on suvaline arv; näiteks (-1;-1;1). See tähendab, et kui võtame  l \u003d -1;  2 \u003d -1 ja  3 \u003d 1, siis  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0, i. vektorid on tegelikult lineaarselt sõltuvad.

Lahendatud näitest selgub, et kui võtta vektorite arv rohkem kui ruumi mõõde, siis on need tingimata lineaarselt sõltuvad. Tõepoolest, kui võtaksime selles näites viis vektorit, saaksime 4 x 5 maatriksi, mille auaste ei saa olla suurem kui neli. Need. lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalne arv ei oleks ikkagi suurem kui neli. Kaks, kolm või neli neljamõõtmelist vektorit võivad olla lineaarselt sõltumatud, kuid viis või enam ei pruugi olla. Järelikult ei saa tasapinnal lineaarselt sõltumatud olla rohkem kui kaks vektorit. Kõik kolm vektorit kahemõõtmelises ruumis on lineaarselt sõltuvad. Kolmemõõtmelises ruumis on kõik neli (või enam) vektorit alati lineaarselt sõltuvad. Jne.

Niisiis dimensioon tühikuid saab määratleda kui maksimaalset lineaarselt sõltumatute vektorite arvu, mis selles võib olla.

Nimetatakse n-mõõtmelise ruumi R n lineaarselt sõltumatute vektorite hulka alus see ruum.

Teoreem. Iga lineaarset ruumivektorit saab esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina ja pealegi ainulaadsel viisil.

Tõestus. Olgu vektorid e l , e 2 ,...e n n-mõõtmelise ruumi R aluse. Tõestame, et iga vektor X on nende vektorite lineaarne kombinatsioon. Kuna koos vektoriga X muutub vektorite arv (n + 1), siis on need (n + 1) vektorid lineaarselt sõltuvad, st. seal on arvud l , 2 ,..., n ,, mis ei ole üheaegselt võrdsed nulliga, nii et

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

Sel juhul 0, sest muidu saaksime  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, kus kõik koefitsiendid l , 2 ,..., n ei ole võrdsed nulliga. See tähendab, et baasvektorid oleksid lineaarselt sõltuvad. Seetõttu saame esimese võrrandi mõlemad pooled jagada -ks:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

kus x j = -( j /),
.

Tõestame nüüd, et selline esitus lineaarse kombinatsioonina on ainulaadne. Eeldame vastupidist, s.t. et on veel üks esitus:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Lahutage sellest termini haaval varem saadud avaldis:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Kuna baasvektorid on lineaarselt sõltumatud, saame, et (y j - x j) = 0,
, st y j = x j . Nii et väljend on sama. Teoreem on tõestatud.

Avaldist X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n nimetatakse lagunemine vektor X vastavalt alusele e l , e 2 ,...e n ja arvudele x l , x 2 ,... x n - koordinaadid vektor x selle aluse suhtes või selles baasis.

Saab tõestada, et kui n-mõõtmelise eukleidilise ruumi null-vektorid on paarikaupa ortogonaalsed, siis moodustavad nad aluse. Tõepoolest, korrutame võrrandi l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 mõlemad pooled mis tahes vektoriga e i . Saame  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0  jaoks .

N-mõõtmelise eukleidilise ruumi vektorid e l , e 2 ,...e n ortonormaalne alus, kui need vektorid on paarikaupa ortogonaalsed ja igaühe norm on võrdne ühega, s.o. kui e i *e j = 0 i≠ji |e i | korral = 1 i jaoks.

Teoreem (ilma tõestuseta). Igal n-mõõtmelisel eukleidilisel ruumil on ortonormaalne alus.

Ortonormaalse baasi näide on n-st ühikvektorist koosnev süsteem e i , milles i-s komponent on võrdne ühega ja ülejäänud komponendid on võrdsed nulliga. Iga sellist vektorit nimetatakse ort. Näiteks vektorid (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1) moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse.