Sissejuhatus. Mõõtmistulemuste töötlemine füüsilises praktikas Mõõtmised ja mõõtmisvead Otseste mõõtmistulemuste analüüs

Juhuslikel vigadel on järgmised omadused.

Suure hulga mõõtmiste korral esineb võrdselt sageli sama suurusjärgu, kuid vastupidise märgiga vigu.

Suured vead on väiksema tõenäosusega kui väikesed. Seostest (1), nende vormis ümberkirjutamine

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

ja veerus liites saate mõõdetud väärtuse tegeliku väärtuse määrata järgmiselt:

või
.

(2)

need. mõõdetud suuruse tegelik väärtus on võrdne mõõtmistulemuste aritmeetilise keskmisega, kui neid on lõpmatult palju. Piiratud ja veelgi enam väikese arvu mõõtmiste puhul, millega me tavaliselt praktikas tegeleme, on võrdsus (2) ligikaudne.

Olgu mitme mõõtmise tulemusena saadud järgmised mõõdetud suuruse X väärtused: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1. Koostame nende tulemuste jaotuse diagrammi, joonistades instrumendi näidud piki abstsisstellge kasvavas järjekorras. Abstsisstellje külgnevate punktide vahelised kaugused on võrdsed kahekordse instrumendi maksimaalse lugemisveaga. Meie puhul tehakse pöördloendus kuni 0,1. See on võrdne x-teljel märgitud skaala ühe jaotusega. Ordinaatteljel joonistame väärtused, mis on proportsionaalsed tulemuste suhtelise arvuga, mis vastavad seadme konkreetsele näidule. Suhteline arv või tulemuste suhteline sagedus, mis võrdub x k-ga, tähistatakse W(x k). Meie puhul

Määrame iga x-i

(3)

kus A on proportsionaalsuskoefitsient.

Diagramm, mida nimetatakse histogrammiks, erineb tavapärasest graafikust selle poolest, et punkte ei ühenda mitte sujuv kõverjoon, vaid läbi nende tõmmatakse sammud. On ilmne, et astme pindala, mis ületab mingi x k väärtuse, on võrdeline selle tulemuse suhtelise esinemissagedusega. Valides proportsionaalsuse koefitsiendi avaldises (3) sobival viisil, saab selle pindala võrdseks tulemuse suhtelise sagedusega x k. Siis kõigi astmete pindalade summa, kõigi suhteliste sageduste summa. tulemus peaks olema võrdne ühega

Siit leiame A=10. Tingimust (4) nimetatakse funktsiooni (3) normaliseerimistingimuseks.

Kui teha igas seerias mõõtmiste seeria n mõõtmisega, siis väikese n-ga võivad erinevatest seeriatest leitud sama väärtuse x k suhtelised sagedused üksteisest oluliselt erineda. Mõõtmiste arvu suurenedes seerias W(x k) väärtuste kõikumised vähenevad ja need väärtused lähenevad teatud konstantsele arvule, mida nimetatakse tulemuse tõenäosuseks x k ja tähistatakse P (x k) ).

Oletame, et katse tegemisel ei arvesta me tulemust skaala terveteks osadeks või nende osadeks, vaid saame fikseerida punkti, kus nool peatus. Seejärel külastab nool lõpmatult suure hulga mõõtmiste korral skaala igat punkti. Mõõtmistulemuste jaotus omandab sel juhul pideva iseloomu ja seda kirjeldab astmelise histogrammi asemel pidev kõver y=f(x). Juhuslike vigade omaduste põhjal võib järeldada, et kõver peab olema sümmeetriline ja seetõttu langeb selle maksimum mõõtetulemuste aritmeetilisele keskmisele, mis on võrdne mõõdetud suuruse tegeliku väärtusega. Mõõtmistulemuste pideva jaotuse korral puudub

on mõttekas rääkida mis tahes nende väärtuste tõenäosusest, sest seal on vaadeldavale meelevaldselt lähedased väärtused. Nüüd peaksime juba püstitama küsimuse tõenäosuse kohta, et mõõtmiste käigus saavutatakse tulemus teatud intervalliga ümber x k väärtuse, mis on võrdne
,
. Nii nagu histogrammil võrdub tulemuse x suhteline sagedus selle tulemuse peale ehitatud sammu pindalaga, on pideva jaotuse graafikul tulemuse leidmise tõenäosus intervallis (
,
) on võrdne selle intervalli peale konstrueeritud ja kõveraga f(x) piiratud kõverjoonelise trapetsi pindalaga. Selle tulemuse matemaatiline tähistus on

kui
vähe, st. viirutatud kõverjoonelise trapetsi pindala asendatakse sama aluse ja f(xk) kõrgusega ristküliku ligikaudse pindalaga. Funktsiooni f(x) nimetatakse mõõtmistulemuste jaotuse tõenäosustiheduseks. Tõenäosus leida x mingis intervallis on võrdne antud intervalli tõenäosustihedusega, mis on korrutatud selle pikkusega.

Katseliselt saadud mõõtmistulemuste jaotuskõverat mõõteseadme skaala teatud lõigu kohta, kui seda jätkata, abstsisstelljele asümptootiliselt lähendades vasakult ja paremalt, kirjeldab analüütiliselt hästi vormi funktsioon

(5)

Nii nagu kõigi histogrammi sammude kogupindala oli võrdne ühega, on kogu f (x) kõvera ja abstsisstelje vaheline ala, mis tähendab tõenäosust, et saavutatakse vähemalt mingi x väärtus mõõdud, on samuti võrdne ühega. Selle funktsiooniga kirjeldatud jaotust nimetatakse normaaljaotuseks. Normaaljaotuse põhiparameetriks on dispersioon  2 . Dispersiooni ligikaudse väärtuse saab mõõtmistulemustest valemi abil

(6)

See valem annab tegelikule väärtusele lähedase dispersiooni ainult suure hulga mõõtmiste korral. Näiteks 100 mõõtmise tulemuste põhjal leitud σ 2 võib tegelikust väärtusest kõrvale kalduda 15%, 10 mõõtmisel leitud juba 40%. Dispersioon määrab normaaljaotuse kõvera kuju. Kui juhuslikud vead on väikesed, on dispersioon, nagu tuleneb (6), väike. Kõver f(x) on sel juhul kitsam ja teravam X-i tegeliku väärtuse lähedal ning kipub sellest eemaldumisel kiiremini nulli minema kui suurte vigade korral. Järgmine joonis näitab, kuidas kõvera f(x) kuju normaaljaotuse korral muutub sõltuvalt σ-st.

Tõenäosusteoorias on tõestatud, et kui võtta arvesse mitte mõõtmistulemuste jaotust, vaid igas seerias n mõõtmise seeriast leitud aritmeetiliste keskmiste väärtuste jaotust, siis järgib see ka normaalseadust, kuid dispersiooniga. see on n korda väiksem.

Mõõtmistulemuse leidmise tõenäosus teatud intervalliga (
) mõõdetud väärtuse tegeliku väärtuse lähedal on võrdne selle intervalli peale ehitatud kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mis on ülalt piiratud kõveraga f(x). Intervalli väärtus
mõõdetakse tavaliselt dispersiooni ruutjuurega võrdelistes ühikutes
Olenevalt k väärtusest intervalli kohta
on suurema või väiksema pindalaga kõverjooneline trapets, s.o.

kus F(k) on mingi k funktsioon. Arvutused näitavad, et for

k = 1,

k = 2,

k = 3,

See näitab, et intervall
moodustab ligikaudu 95% kõvera f(x)alusest pindalast. See fakt on täielikult kooskõlas juhuslike vigade teise omadusega, mis ütleb, et suured vead on ebatõenäolised. Vead on suuremad kui
, esineb tõenäosusega alla 5%. n mõõtmise aritmeetilise keskmise jaotuse jaoks ümber kirjutatud avaldis (7) saab kuju

(8)

Väärtus punktides (7) ja (8) saab mõõtmistulemuste põhjal määrata ainult ligikaudu valemiga (6)

Selle väärtuse asendamine avaldisesse (8) saame paremale mitte F (k), vaid mõne uue funktsiooni, mis sõltub mitte ainult vaadeldava väärtuste intervalli X suurusest, vaid ka tehtud mõõtmiste arvust.
Ja

sest ainult väga suure hulga mõõtmiste korral muutub valem (6) piisavalt täpseks.

Olles lahendanud selle avaldise vasakus servas sulgudes oleva kahe võrratuse süsteemi X-i tegeliku väärtuse suhtes, saame selle ümber kirjutada kujul

Avaldis (9) määrab, kui suure tõenäosusega on X-i tegelik väärtus teatud pikkusevahemikus väärtuse kohta . Seda tõenäosust vigade teoorias nimetatakse usaldusväärsuseks ja sellele vastavat intervalli tõelise väärtuse puhul usaldusvahemikuks. Funktsioon
arvutatakse sõltuvalt t n-st ja n-st ning selle kohta on koostatud detailne tabel. Tabelil on 2 sisendit: pt n ja n. Selle abil on võimalik teatud arvu mõõtmiste n korral leida teatud usaldusväärsusväärtuse Р korral t n väärtus, mida nimetatakse Studenti koefitsiendiks.

Tabeli analüüs näitab, et teatud arvu mõõtmiste puhul koos usaldusväärsuse suurendamise nõudega saame kasvavad väärtused t n, s.o. usaldusvahemiku suurenemine. Ühega võrdne usaldusväärsus vastaks usaldusvahemikule, mis on võrdne lõpmatusega. Arvestades teatud usaldusväärsust, saame tegeliku väärtuse usaldusvahemikku kitsamaks muuta, suurendades mõõtmiste arvu, kuna S n ei muutu palju ja väheneb nii lugejat vähendades kui ka nimetajat suurendades. Pärast piisava arvu katsete tegemist on võimalik teha mis tahes väikese väärtusega usaldusvahemik. Kuid suure n korral vähendab katsete arvu edasine suurendamine väga aeglaselt usaldusvahemikku ja arvutustöö maht suureneb palju. Mõnikord on praktilises töös mugav kasutada ligikaudset reeglit: selleks, et väikese arvu mõõtmiste põhjal leitud usaldusvahemikku mitu korda vähendada, on vaja mõõtmiste arvu sama teguri võrra suurendada.

OTSE MÕÕTMISTULEMUSTE TÖÖTLEMISE NÄIDE

Võtame katseandmeteks kolm esimest tulemust 12-st, mille järgi koostati histogramm X: 13,4; 13,2; 13.3.

Küsigem endalt usaldusväärsust, mida tavaliselt õppelaboris aktsepteeritakse, P = 95%. P = 0,95 ja n = 3 tabelist leiame t n = 4,3.

või

95% töökindlusega. Viimane tulemus kirjutatakse tavaliselt võrdsusena

Kui sellise väärtuse usaldusvahemik ei sobi (näiteks juhul, kui instrumentaalviga on 0,1) ja tahame seda poole võrra vähendada, peaksime mõõtmiste arvu kahekordistama.

Kui võtame näiteks sama 12 tulemuse 6 viimast väärtust (esimese kuue puhul on soovitatav arvutus ise teha)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1,

siis

Koefitsiendi t n väärtus leitakse tabelist, kui Р = 0,95 ja n = 6; tn = 2,6.

Sel juhul
Joonistame arvulisele teljele tõelise väärtuse usaldusvahemiku esimesel ja teisel juhul.

6 mõõtmise põhjal arvutatud intervall jääb ootuspäraselt kolmest mõõtmisest leitud intervalli sisse.

Instrumentaalviga toob tulemustesse süstemaatilise vea, mis laiendab teljel kujutatud usaldusvahemikke 0,1 võrra. Seetõttu on instrumentaalviga arvesse võttes kirjutatud tulemused sellise kujuga

1)
2)

Üldjuhul on otsemõõtmiste tulemuste töötlemise kord järgmine (eeldatakse, et süstemaatilisi vigu ei esine).

Juhtum 1 Mõõtmiste arv on väiksem kui viis.

1) Valemi (6) järgi leitakse keskmine tulemus x, mis on määratletud kõigi mõõtmiste tulemuste aritmeetilise keskmisena, s.o.

2) Valemi (12) järgi arvutatakse üksikute mõõtmiste absoluutvead

.

3) Valemi (14) järgi määratakse keskmine absoluutviga

.

4) Valemi (15) järgi arvutatakse mõõtmistulemuse keskmine suhteline viga

.

5) Salvestage lõpptulemus järgmisel kujul:

, kell
.

Juhtum 2. Mõõtmiste arv on üle viie.

1) Valemi (6) järgi leitakse keskmine tulemus

.

2) Valemi (12) järgi määratakse üksikute mõõtmiste absoluutvead

.

3) Valemi (7) järgi arvutatakse ühe mõõtmise keskmine ruutviga

.

4) Arvutage mõõdetud väärtuse keskmise väärtuse standardhälve valemiga (9).

.

5) Lõpptulemus fikseeritakse järgmisel kujul

.

Mõnikord võivad juhuslikud mõõtmisvead osutuda väiksemaks väärtusest, mida mõõteseade (instrument) suudab registreerida. Sel juhul saadakse mis tahes arvu mõõtmiste puhul sama tulemus. Sellistel juhtudel kui keskmine absoluutne viga
võtta pool instrumendi (tööriista) skaalajaotist. Seda väärtust nimetatakse mõnikord piiravaks või instrumentaalseks veaks ja tähistatakse
(noonusepillide ja stopperi jaoks
võrdne instrumendi täpsusega).

Mõõtmistulemuste usaldusväärsuse hindamine

Igas katses on füüsikalise suuruse mõõtmiste arv ühel või teisel põhjusel alati piiratud. Tähtaeg koos see võib olla tulemuse usaldusväärsuse hindamine. Teisisõnu, määrake kindlaks, kui suure tõenäosusega saab väita, et antud juhul tehtud viga ei ületa etteantud väärtust ε. Seda tõenäosust nimetatakse usalduse tõenäosuseks. Tähistame seda tähega.

Võib püstitada ka pöördülesande: määrata intervalli piirid
nii et etteantud tõenäosusega võib väita, et suuruse mõõtmiste tegelik väärtus ei lähe kaugemale määratud nn usaldusvahemikust.

Usaldusvahemik iseloomustab saadud tulemuse täpsust ja usaldusvahemik selle usaldusväärsust. Nende kahe probleemirühma lahendamise meetodid on saadaval ja on välja töötatud eriti üksikasjalikult juhuks, kui mõõtmisvead jaotuvad vastavalt tavaseadusele. Tõenäosusteooria pakub ka meetodeid, mille abil saab määrata katsete arvu (korduvmõõtmised), mis tagavad eeldatava tulemuse etteantud täpsuse ja usaldusväärsuse. Käesolevas töös neid meetodeid ei käsitleta (piirdume nende mainimisega), kuna laboritööde tegemisel selliseid ülesandeid tavaliselt ei püstitata.

Eriti huvitav on aga füüsikaliste suuruste mõõtmise tulemuse usaldusväärsuse hindamine väga väikese arvu kordusmõõtmistega. Näiteks,
. Just seda kohtame sageli füüsika laboritööde tegemisel. Sedalaadi ülesannete lahendamisel on soovitatav kasutada Studenti jaotusel (seadusel) põhinevat meetodit.

Vaadeldava meetodi praktilise rakendamise hõlbustamiseks on olemas tabelid, mille abil saate määrata usaldusvahemiku
mis vastab antud usaldustasemele või lahendage pöördülesanne.

Allpool on nimetatud tabelite need osad, mida võib vaja minna laboriklasside mõõtmistulemuste hindamisel.

Olgu näiteks toodetud mõne füüsikalise suuruse võrdsed (samadel tingimustel) mõõtmised ja arvutas selle keskmise väärtuse . On vaja leida usaldusvahemik mis vastab antud usaldustasemele . Probleem lahendatakse üldiselt järgmisel viisil.

Valemi järgi, võttes arvesse (7), arvuta

Siis etteantud väärtuste eest n ja leidke tabeli (tabel 2) järgi väärtus . Väärtus, mida otsite, arvutatakse valemi alusel

(16)

Pöördülesande lahendamisel arvutatakse esmalt parameeter valemi (16) abil. Usaldustõenäosuse soovitud väärtus on võetud tabelist (tabel 3) antud arvu jaoks ja arvutatud parameeter .

Tabel 2. Teatud arvu katsete parameetri väärtus

ja usalduse tase

Tabel 3 Teatud arvu katsete usalduse tõenäosuse väärtus n ja parameeter ε

Mitme vaatlusega otsemõõtmiste tulemuste töötlemise meetodite põhisätted on määratletud standardis GOST 8.207-76.

Võtke mõõtmise tulemuseks keskmine andmed n vaatlused, millest süstemaatilised vead on välistatud. Eeldatakse, et vaatlustulemused pärast süstemaatiliste vigade väljajätmist neist kuuluvad normaaljaotusse. Mõõtmistulemuse arvutamiseks on vaja igast vaatlusest välja jätta süstemaatiline viga ja selle tulemusena saada parandatud tulemus i- tähelepanek. Seejärel arvutatakse nende parandatud tulemuste aritmeetiline keskmine ja võetakse mõõtmistulemuseks. Aritmeetiline keskmine on mõõdetava suuruse järjepidev, erapooletu ja tõhus hinnang vaatlusandmete normaaljaotuse korral.

Tuleb märkida, et mõnikord kirjanduses termini asemel vaatlustulemus seda terminit kasutatakse mõnikord ühekordne mõõtmise tulemus, millest süstemaatilised vead on välistatud. Samal ajal mõistetakse aritmeetilise keskmise väärtuse all selle mitme mõõtmise seeria mõõtmistulemust. See ei muuda allpool esitatud tulemuste töötlemise protseduuride olemust.

Vaatlustulemuste rühmade statistilisel töötlemisel tuleks teha järgmist: operatsioonid :

1. Likvideerige igast vaatlusest teadaolev süstemaatiline viga ja hankige individuaalse vaatluse parandatud tulemus x.

2. Arvutage mõõtmistulemuseks võetud korrigeeritud vaatlustulemuste aritmeetiline keskmine:

3. Arvutage standardhälbe hinnang

vaatlusrühmad:

Kontrolli saadavust jämedad vead – kas on väärtusi, mis ületavad ±3 S. Tavalise jaotusseaduse korral, mille tõenäosus on praktiliselt võrdne 1-ga (0,997), ei tohiks ükski selle erinevuse väärtustest ületada määratud piire. Kui need on, siis tuleks vastavad väärtused kaalumisest välja jätta ning arvutusi ja hindamist korrata. S.

4. Arvutage mõõtmistulemuse RMS hinnang (keskmine

aritmeetika)

5. Kontrollige hüpoteesi vaatlustulemuste normaaljaotuse kohta.

Vaatlustulemuste jaotuse normaalsuse kontrollimiseks on erinevaid ligikaudseid meetodeid. Mõned neist on toodud GOST 8.207-76. Kui vaatluste arv on selle GOST-i kohaselt alla 15, ei kontrollita nende kuulumist normaaljaotusse. Juhusliku vea usalduspiirid määratakse ainult siis, kui on ette teada, et vaatlustulemused kuuluvad sellesse jaotusse. Ligikaudu saab jaotuse olemust hinnata vaatlustulemuste histogrammi koostamisega. Jaotuse normaalsuse kontrollimise matemaatilisi meetodeid käsitletakse erialakirjanduses.

6. Arvutage mõõtmistulemuse juhusliku vea (vea juhusliku komponendi) usalduspiirid e

kus t q- Studenti koefitsient, olenevalt vaatluste arvust ja usaldustasemest. Näiteks millal n= 14, P= 0,95 t q= 2,16. Selle koefitsiendi väärtused on toodud kindlaksmääratud standardi lisas.

7. Arvutage mõõtmistulemuse Q kogu mittevälistatud süstemaatilise vea (TSE) piirid (vastavalt punktis 4.6 toodud valemitele).

8. Analüüsige Q ja :

Kui , siis jäetakse NSP juhuslike vigade ja tulemuse veapiiriga võrreldes tähelepanuta D=e.. Kui > 8, siis võib juhusliku vea ja tulemuse veapiiri tähelepanuta jätta D=Θ . Kui mõlemad ebavõrdsused ei ole täidetud, siis leitakse tulemuse veapiir juhuslike vigade ja NSP jaotuste kompositsiooni konstrueerimisel valemi järgi: , kus To– juhusliku vea ja NSP suhtest sõltuv koefitsient; S e- mõõtmistulemuse summaarse standardhälbe hindamine. Kogu standardhälbe hinnang arvutatakse järgmise valemi abil:

.

Koefitsient K arvutatakse empiirilise valemiga:

.

Arvutamise usaldustase ja peab olema sama.

Viga, mis tuleneb viimase valemi rakendamisest ühtse (NSP puhul) ja normaaljaotuse (juhusliku vea korral) koostise jaoks, ulatub 12%-ni usaldusnivooga 0,99.

9. Salvestage mõõtmistulemus. Mõõtmistulemuse kirjutamiseks on kaks võimalust, kuna eristada tuleb mõõtmisi, kui mõõdetud suuruse väärtuse saamine on lõppeesmärk, ja mõõtmistel, mille tulemusi kasutatakse edasistes arvutustes või analüüsides.

Esimesel juhul piisab mõõtetulemuse koguvea teadmisest ja sümmeetrilise usaldusveaga esitatakse mõõtmistulemused kujul: , kus

kus on mõõtmistulemus.

Teisel juhul peaksid olema teada mõõtmisvea komponentide omadused - mõõtmistulemuse standardhälbe hinnang, NSP piirid, tehtud vaatluste arv. Kui puuduvad andmed tulemuse veakomponentide jaotusfunktsioonide vormi ja tulemuste edasise töötlemise või vigade analüüsi vajaduse kohta, esitatakse mõõtmistulemused kujul:

Kui NSP piirid arvutatakse vastavalt punktile 4.6, siis märgitakse täiendavalt usaldustõenäosus P.

Nende väärtuse hinnanguid ja tuletisi saab väljendada nii absoluutsel kujul, see tähendab mõõdetud suuruse ühikutes, kui ka suhtelisena, st antud suuruse absoluutväärtuse ja mõõtetulemuse suhtena. Sel juhul tuleks arvutused vastavalt käesoleva jaotise valemitele teha ainult absoluutses või suhtelises vormis väljendatud koguste abil.

Füüsika on eksperimentaalne teadus, mis tähendab, et füüsikalised seadused kehtestatakse ja testitakse eksperimentaalsete andmete kogumise ja võrdlemise teel. Füüsikalise töötoa eesmärk on õpilastel kogeda füüsikalisi põhinähtusi, õppida õigesti mõõtma füüsikaliste suuruste arvväärtusi ja võrrelda neid teoreetiliste valemitega.

Kõik mõõtmised võib jagada kahte tüüpi - otse ja kaudne.

Kell otsene Mõõtmisel saadakse soovitud suuruse väärtus otse mõõteriista näitude põhjal. Nii näiteks mõõdetakse pikkust joonlauaga, aega kella järgi jne.

Kui soovitud füüsikalist suurust ei saa seadmega otse mõõta, vaid see väljendatakse mõõdetud suuruste kaudu valemi abil, siis nimetatakse selliseid mõõtmisi nn. kaudne.

Ühegi suuruse mõõtmine ei anna selle suuruse absoluutselt täpset väärtust. Iga mõõtmine sisaldab alati mõnda viga (viga). Viga on erinevus mõõdetud väärtuse ja tegeliku väärtuse vahel.

Vead jagunevad süstemaatiline ja juhuslik.

Süstemaatiline nimetatakse veaks, mis jääb konstantseks kogu mõõtmiste seeria jooksul. Sellised vead tulenevad mõõtevahendi (näiteks seadme nullnihke) või mõõtmismeetodi ebatäiuslikkusest ja on põhimõtteliselt lõpptulemusest välja jäetud, tehes vastava paranduse.

Süstemaatiliste vigade hulka kuulub ka mõõtevahendite viga. Iga seadme täpsus on piiratud ja seda iseloomustab selle täpsusklass, mis on tavaliselt näidatud mõõteskaalal.

Juhuslik nimetatakse veaks, mis on erinevates katsetes erinev ja võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Juhuslikud vead on tingitud põhjustest, mis sõltuvad nii mõõteseadmest (hõõrdumine, lüngad jne) kui ka välistingimustest (vibratsioon, pingekõikumised võrgus jne).

Juhuslikke vigu ei saa empiiriliselt välistada, kuid korduvate mõõtmiste abil saab nende mõju tulemusele vähendada.

Otseste mõõtmiste vea, keskmise väärtuse ja keskmise absoluutvea arvutamine.

Oletame, et teeme X-i mõõtmiste seeriat. Juhuslike vigade olemasolu tõttu saame n erinevad tähendused:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Mõõtmistulemusena võetakse tavaliselt keskmine väärtus

Keskmise ja tulemuse erinevus mina- mõõtmist nimetatakse selle mõõtmise absoluutseks veaks

Keskmise väärtuse vea mõõtmiseks võib võtta ühe mõõtmise absoluutvea keskmise väärtuse

(2)

Väärtus
nimetatakse aritmeetiliseks keskmiseks (või keskmiseks absoluutseks) veaks.

Seejärel tuleks mõõtmistulemus vormile kirjutada

(3)

Mõõtmiste täpsuse iseloomustamiseks kasutatakse suhtelist viga, mida tavaliselt väljendatakse protsentides

(4)

Üldjuhul on otsemõõtmiste tulemuste töötlemise kord järgmine (eeldatakse, et süstemaatilisi vigu ei esine).

Juhtum 1 Mõõtmiste arv on väiksem kui viis.

x, mis on määratletud kõigi mõõtmiste tulemuste aritmeetilise keskmisena, s.o.

2) Valemi (12) järgi arvutatakse üksikute mõõtmiste absoluutvead

3) Valemi (14) järgi määratakse keskmine absoluutviga

.

4) Valemi (15) järgi arvutatakse mõõtmistulemuse keskmine suhteline viga

5) Salvestage lõpptulemus järgmisel kujul:

Juhtum 2. Mõõtmiste arv on üle viie.

1) Valemi (6) järgi leitakse keskmine tulemus

2) Valemi (12) järgi määratakse üksikute mõõtmiste absoluutvead

3) Valemi (7) järgi arvutatakse ühe mõõtmise keskmine ruutviga

.

4) Arvutage mõõdetud väärtuse keskmise väärtuse standardhälve valemiga (9).

5) Lõpptulemus fikseeritakse järgmisel kujul

Mõnikord võivad juhuslikud mõõtmisvead osutuda väiksemaks väärtusest, mida mõõteseade (instrument) suudab registreerida. Sel juhul saadakse mis tahes arvu mõõtmiste puhul sama tulemus. Sellistel juhtudel võetakse keskmiseks absoluutveaks pool seadme (tööriista) skaala jagamise väärtusest. Seda väärtust nimetatakse mõnikord piiravaks või instrumentaalveaks ja tähistatakse (nonnierinstrumentide ja stopperi puhul võrdub see instrumendi täpsusega).

Mõõtmistulemuste usaldusväärsuse hindamine

Igas katses on füüsikalise suuruse mõõtmiste arv ühel või teisel põhjusel alati piiratud. Sellega seoses saab seada ülesandeks hinnata tulemuse usaldusväärsust. Teisisõnu, määrake kindlaks, kui suure tõenäosusega saab väita, et antud juhul tehtud viga ei ületa etteantud väärtust ε. Seda tõenäosust nimetatakse usalduse tõenäosuseks. Tähistame seda tähega.

Võib püstitada ka pöördülesande: määrata intervalli piirid, et antud tõenäosusega saaks väita, et suuruse mõõtmiste tegelik väärtus ei lähe kaugemale määratud nn usaldusvahemikust.

Usaldusvahemik iseloomustab saadud tulemuse täpsust ja usaldusvahemik selle usaldusväärsust. Nende kahe probleemirühma lahendamise meetodid on saadaval ja on välja töötatud eriti üksikasjalikult juhuks, kui mõõtmisvead jaotuvad vastavalt tavaseadusele. Tõenäosusteooria pakub ka meetodeid, mille abil saab määrata katsete arvu (korduvmõõtmised), mis tagavad eeldatava tulemuse etteantud täpsuse ja usaldusväärsuse. Käesolevas töös neid meetodeid ei käsitleta (piirdume nende mainimisega), kuna laboritööde tegemisel selliseid ülesandeid tavaliselt ei püstitata.

Eriti huvitav on aga füüsikaliste suuruste mõõtmise tulemuse usaldusväärsuse hindamine väga väikese arvu kordusmõõtmistega. Näiteks, . Just seda kohtame sageli füüsika laboritööde tegemisel. Sedalaadi ülesannete lahendamisel on soovitatav kasutada Studenti jaotusel (seadusel) põhinevat meetodit.

Vaadeldava meetodi praktilise rakendamise mugavuse huvides on olemas tabelid, mille abil saate määrata antud usalduse tõenäosusele vastava usaldusvahemiku või lahendada pöördülesande.

Allpool on nimetatud tabelite need osad, mida võib vaja minna laboriklasside mõõtmistulemuste hindamisel.

Tehke näiteks teatud füüsikalise suuruse võrdse täpsusega (samadel tingimustel) mõõtmised ja arvutage selle keskmine väärtus. On vaja leida antud usaldustasemele vastav usaldusvahemik. Probleem lahendatakse üldiselt järgmisel viisil.

Valemi järgi, võttes arvesse (7), arvuta

Siis etteantud väärtuste eest n ja leidke väärtus vastavalt tabelile (tabel 2). Väärtus, mida otsite, arvutatakse valemi alusel

Pöördülesande lahendamisel arvutatakse esmalt parameeter valemiga (16). Usaldustõenäosuse soovitud väärtus võetakse tabelist (tabel 3) antud arvu ja arvutatud parameetri jaoks.

Tabel 2. Teatud arvu katsete parameetri väärtus

ja usalduse tase

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Tabel 3 Teatud arvu katsete usalduse tõenäosuse väärtus n ja parameeter ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Kaudmõõtmiste tulemuste töötlemine

Väga harva taandatakse laboritöö või teadusliku eksperimendi sisu otsese mõõtmise tulemuse saamisele. Enamasti on soovitud kogus mitme teise suuruse funktsioon.

Kaudsete mõõtmistega katsete töötlemise ülesanne on arvutada soovitud väärtuse kõige tõenäolisem väärtus ja hinnata kaudsete mõõtmiste viga teatud suuruste (argumentide) otsemõõtmise tulemuste põhjal, mis on seotud soovitud väärtusega teatud funktsionaalse sõltuvusega.

Kaudsete mõõtmiste käsitlemiseks on mitu võimalust. Kaaluge kahte järgmist meetodit.

Määratagu mõni füüsikaline suurus kaudsete mõõtmiste meetodil.

Selle argumentide x, y, z otsemõõtmiste tulemused on toodud tabelis. 4.

Tabel 4

Kogemuse number	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Esimene viis tulemuste töötlemiseks on järgmine. Arvutatud (17) valemi abil arvutatakse iga katse tulemuste põhjal soovitud väärtus

(17)

Kirjeldatud tulemuste töötlemise meetod on põhimõtteliselt rakendatav eranditult kõigil kaudse mõõtmise juhtudel. Seda on aga kõige otstarbekam kasutada siis, kui argumentide korduvate mõõtmiste arv on väike ja kaudselt mõõdetud väärtuse arvutusvalem on suhteliselt lihtne.

Teise katsetulemuste töötlemise meetodi puhul arvutatakse esmalt otseste mõõtmiste tulemuste (tabel 4) abil esmalt iga argumendi aritmeetilised keskmised väärtused, samuti nende mõõtmisvead. Asendamine , , ,... arvutusvalemisse (17) määra mõõdetava suuruse kõige tõenäolisem väärtus

(17*)