Kuidas leida geomeetrilise progressiooni jagajat. Geomeetrilise progressiooni mõiste

Geomeetriline progressioon, koos aritmeetikaga, on oluline numbriline seeria mida õpitakse aastal koolikursus algebra 9. klassis. Selles artiklis käsitleme geomeetrilise progressiooni nimetajat ja seda, kuidas selle väärtus mõjutab selle omadusi.

Geomeetrilise progressiooni definitsioon

Esiteks määratleme selle numbriseeria. Geomeetriline progressioon on jada ratsionaalsed arvud, mis saadakse selle esimese elemendi järjestikuse korrutamisega konstantne arv, mida nimetatakse nimetajaks.

Näiteks arvud reas 3, 6, 12, 24, ... on geomeetriline progressioon, sest kui korrutada 3 (esimene element) 2-ga, saame 6. Kui korrutame 6 2-ga, saame 12 ja nii edasi.

Vaadeldava jada liikmeid tähistatakse tavaliselt sümboliga ai, kus i on täisarv, mis näitab elemendi arvu reas.

Ülaltoodud progressiooni definitsiooni saab matemaatika keeles kirjutada järgmiselt: an = bn-1 * a1, kus b on nimetaja. Seda valemit on lihtne kontrollida: kui n = 1, siis b1-1 = 1 ja saame a1 = a1. Kui n = 2, siis an = b * a1 ja jõuame taas vaadeldava arvujada definitsioonini. Sarnaseid mõttekäike võib jätkata suured väärtused n.

Geomeetrilise progressiooni nimetaja

Arv b määrab täielikult, mis tähemärki kogu numbriseeria saab. Nimetaja b võib olla positiivne, negatiivne ja selle väärtus on suurem kui üks või väiksem. Kõik ülaltoodud valikud viivad erinevate jadadeni:

• b > 1. Ratsionaalarvude jada kasvab. Näiteks 1, 2, 4, 8, ... Kui element a1 on negatiivne, siis kogu jada kasvab ainult mooduli, kuid väheneb, võttes arvesse arvude märki.
• b = 1. Sageli ei nimetata sellist juhtumit progressiooniks, kuna on olemas tavaline identsete ratsionaalarvude jada. Näiteks -4, -4, -4.

Summa valem

Enne konkreetsete probleemide käsitlemist, kasutades vaadeldava progressitüübi nimetajat, tuleks tuua oluline valem selle esimese n elemendi summaks. Valem on: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Selle avaldise saate ise hankida, kui arvestada progressi liikmete rekursiivset jada. Pange tähele ka seda, et ülaltoodud valemis piisab suvalise arvu terminite summa leidmiseks ainult esimese elemendi ja nimetaja teadmisest.

Lõpmatult kahanev järjestus

Eespool oli selgitus, mis see on. Nüüd, teades Sn valemit, rakendame seda sellele arvuseeriale. Kuna iga arv, mille moodul ei ületa 1, kui seda tõstetakse suured kraadid kipub nulli, st b∞ => 0, kui -1

Kuna erinevus (1 - b) on alati positiivne, olenemata nimetaja väärtusest, määrab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni S∞ summa märk üheselt selle esimese elemendi a1 märgiga.

Nüüd käsitleme mitmeid probleeme, kus näitame, kuidas omandatud teadmisi konkreetsetele numbritele rakendada.

Ülesanne number 1. Progressi tundmatute elementide ja summa arvutamine

Arvestades geomeetrilist progressiooni, on progressiooni nimetaja 2 ja selle esimene element on 3. Mis on selle 7. ja 10. liige ning mis on selle seitsme algelemendi summa?

Probleemi tingimus on üsna lihtne ja hõlmab ülaltoodud valemite otsest kasutamist. Nii et arvuga n elemendi arvutamiseks kasutame avaldist an = bn-1 * a1. 7. elemendi jaoks on meil: a7 = b6 * a1, asendades teadaolevad andmed, saame: a7 = 26 * 3 = 192. Teeme sama 10. liikmega: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kasutame summa jaoks üldtuntud valemit ja määrame selle väärtuse seeria esimese 7 elemendi jaoks. Meil on: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Ülesanne number 2. Edasiliikumise suvaliste elementide summa määramine

Olgu -2 eksponentsiaalse progressiooni bn-1 * 4 nimetaja, kus n on täisarv. On vaja kindlaks määrata selle seeria 5. kuni 10. elemendi summa, kaasa arvatud.

Käsitletavat probleemi ei saa otse kasutades lahendada tuntud valemid. Saate selle lahendada 2 erinevaid meetodeid. Täielikkuse huvides esitame mõlemad.

1. meetod. Selle idee on lihtne: peate arvutama esimeste liikmete kaks vastavat summat ja seejärel lahutama teisest ühest. Arvutage väiksem summa: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nüüd arvutame suure summa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Pange tähele, et viimases avaldises summeeriti ainult 4 liiget, kuna 5. on juba sisaldunud summas, mis tuleb vastavalt ülesande seisukorrale arvutada. Lõpuks võtame erinevuse: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Meetod 2. Enne arvude asendamist ja loendamist saate vaadeldava jada liikmete m ja n vahelise summa valemi. Toimime täpselt samamoodi nagu 1. meetodis, ainult et kõigepealt töötame summa sümboolse esitusega. Meil on: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Saadud avaldises saate asendada teadaolevad numbrid ja arvutage lõpptulemus: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Ülesanne number 3. Mis on nimetaja?

Olgu a1 = 2, leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja eeldusel, et selle lõpmatu summa on 3 ja on teada, et see on kahanev arvude jada.

Vastavalt ülesande seisukorrale pole raske ära arvata, millist valemit selle lahendamiseks kasutada. Muidugi lõpmatult kahaneva progresseerumise summaks. Meil on: S∞ = a1 / (1 - b). Kust me väljendame nimetaja: b = 1 - a1 / S∞. Jääb asendada teadaolevad väärtused ja saada vajalik arv: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 või -0,333(3). Saame seda tulemust kvalitatiivselt kontrollida, kui meeles pidada, et seda tüüpi jada puhul ei tohi moodul b ületada 1. Nagu näete, |-1 / 3|

Ülesanne number 4. Numbrite jada taastamine

Olgu antud arvurea 2 elementi, näiteks 5. võrdub 30 ja 10. 60. Nende andmete põhjal on vaja taastada terve seeria, teades, et see rahuldab geomeetrilise progressiooni omadusi.

Ülesande lahendamiseks tuleb esmalt kirjutada igale teadaolevale liikmele vastav avaldis. Meil on: a5 = b4 * a1 ja a10 = b9 * a1. Nüüd jagame teise avaldise esimesega, saame: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Siit määrame nimetaja, võttes ülesande tingimusest teadaolevate liikmete suhte viienda astme juure, b = 1,148698. Asendame saadud arvu ühe teadaoleva elemendi avaldisega, saame: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Seega oleme leidnud, mis on progressiooni bn nimetaja ja geomeetriline progressioon bn-1 * 17,2304966 = an, kus b = 1,148698.

Kus kasutatakse geomeetrilisi progressioone?

Kui seda arvulist rida praktikas ei rakendataks, taandataks selle uurimine puhtalt teoreetiliseks huviks. Kuid selline rakendus on olemas.

Allpool on loetletud 3 kõige kuulsamat näidet:

• Zenoni paradoks, mille puhul väle Achilleus ei jõua aeglasele kilpkonnale järele, on lahendatud lõpmatult kahaneva arvujada kontseptsiooni abil.
• Kui malelaua igasse lahtrisse asetatakse nisuterad nii, et 1. lahtrisse asetatakse 1 tera, 2. 2, 3. 3 ja nii edasi, siis on kõigi lahtrite täitmiseks vaja 18446744073709551615 tera. juhatus!
• Mängus "Tower of Hanoi" on ketaste ühelt vardalt teisele ümberpaigutamiseks vaja teha 2n - 1 toimingut, see tähendab, et nende arv kasvab eksponentsiaalselt kasutatavate ketaste arvust n.

Kui iga naturaalarv n ritta panna tegelik arv a n , siis nad ütlevad, et antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks jne. Number a n helistas n liige järjestused , a naturaalarv n — tema number .

Kahelt naaberliikmelt a n ja a n +1 liikmete järjestused a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), a a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise numbriga jadaliikme.

Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jadaliikme numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

kui a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis esimesed seitse terminit numbrijada seadke järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim kui tal on lõplik arv liikmed. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algnumbrite jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse kahanev , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on tõusev jada;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on kahanev jada. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

kus d - mingi number.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse määramisest.

Näiteks,

kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-1 + a n+1
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Seega

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

jaoks a 5 saab kirjutada

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

a n=	a n-k +a n+k
	2

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, nagu

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne poolte äärmiste liikmete summa ja liikmete arvu korrutisega:

Eelkõige sellest järeldub, et kui on vaja tingimusi kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui antakse aritmeetiline progressioon, siis kogused a 1 , a n, d, n jaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui kolm Nendest kogustest on antud, siis määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemitest, mis on kombineeritud kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

• kui d > 0 , siis see suureneb;
• kui d < 0 , siis see väheneb;
• kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

kus q ≠ 0 - mingi number.

Seega on selle geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja määramisest.

Näiteks,

kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n -nda termini saab leida valemiga:

b n = b 1 · q n -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmise (proportsionaalsega).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mõne geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne tootegaülejäänud kaks, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks,

tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Seega

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab nõutavat väidet. ◄

Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · q n - k.

Näiteks,

jaoks b 5 saab kirjutada

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

eksponentsiaalselt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , nagu

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n nimetajaga geomeetrilise progressiooni liikmed q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= n.b. 1

Pange tähele, et kui meil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Näiteks,

eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nende kolme suuruse väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis on kombineeritud kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Kui a q< 0 , siis on geomeetriline progressioon märgi vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui esimesel liikmel ja paarisnumbritel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemiga:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem kui 1 , st

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada märk-vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta number, millele esimese summa n progresseerumise tingimustes koos arvu piiramatu suurenemisega n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatleme ainult kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , siis

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon q , siis

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Juhend

10, 30, 90, 270...

On vaja leida geomeetrilise progressiooni nimetaja.
Otsus:

1 variant. Võtame progressiooni suvalise liikme (näiteks 90) ja jagame selle eelmisega (30): 90/30=3.

Kui geomeetrilise progressiooni mitme liikme summa või kahaneva geomeetrilise progressiooni kõigi liikmete summa on teada, siis progressiooni nimetaja leidmiseks kasutage vastavaid valemeid:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kus Sn on geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa ja
S = b1/(1-q), kus S on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa (kõikide progressiooni liikmete summa, mille nimetaja on väiksem kui üks).
Näide.

Kahaneva geomeetrilise progressiooni esimene liige võrdne ühega, ja kõigi selle liikmete summa on võrdne kahega.

On vaja kindlaks määrata selle progresseerumise nimetaja.
Otsus:

Asendage ülesande andmed valemisse. Hankige:
2=1/(1-q), kust – q=1/2.

Progress on arvude jada. Geomeetrilises progressioonis saadakse iga järgmine liige, korrutades eelmise teatud arvuga q, mida nimetatakse progressiooni nimetajaks.

Juhend

Kui on teada kaks geomeetrilise b(n+1) ja b(n) naaberliiget, on nimetaja saamiseks vaja jagada suure arvuga arv sellele eelnevaga: q=b(n +1)/b(n). See tuleneb progressiooni määratlusest ja selle nimetajast. Oluline tingimus on progressiooni esimese liikme ja nimetaja võrratus null, vastasel juhul peetakse seda määramatuks.

Seega tekivad progressiooni liikmete vahel järgmised seosed: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Valemiga b(n)=b1 q^(n-1) saab arvutada geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme, mille nimetaja q ja liige b1 on teada. Samuti on iga progressioonimoodul võrdne tema naaberliikmete keskmisega: |b(n)|=√, seega on progressioon oma .

Geomeetrilise progressiooni analoog on kõige lihtsam eksponentsiaalne funktsioon y=a^x, kus x on eksponendis, a on mingi arv. Sel juhul on progressiooni nimetaja sama, mis esimene liige ja on võrdne arvuga a. Funktsiooni y väärtust võib mõista kui n-s tähtaeg progressioonid, kui argument x võetakse naturaalarvuna n (loendur).

Esineb geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa jaoks: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). See valem kehtib q≠1. Kui q=1, siis arvutatakse esimese n liikme summa valemiga S(n)=n b1. Muide, progresseerumist nimetatakse kasvavaks, kui q on suurem kui üks ja positiivne b1. Kui progressiooni nimetaja, moodul ei ületa ühte, nimetatakse progressiooni kahanevaks.

erijuhtum geomeetriline progressioon – lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon (b.u.g.p.). Fakt on see, et kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmed vähenevad ikka ja jälle, kuid ei jõua kunagi nullini. Sellest hoolimata on võimalik leida sellise progressi kõigi liikmete summa. See määratakse valemiga S=b1/(1-q). Kokku n liiget on lõpmatud.

Et kujutada ette, kuidas saate lisada lõpmatu arvu numbreid ja mitte saada lõpmatust, küpseta kook. Lõika pool sellest ära. Seejärel lõigake poole pealt 1/2 ära jne. Saadud tükid pole midagi muud kui lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmed, mille nimetaja on 1/2. Kui panete kõik need tükid kokku, saate originaalse koogi.

Geomeetria probleemid on eriline sort harjutused, mis nõuavad ruumilist mõtlemist. Kui te ei suuda geomeetrilist lahendada ülesanne proovige järgida alltoodud reegleid.

Juhend

Lugege probleemi seisukord hoolikalt läbi, kui midagi ei mäleta või ei saa aru, lugege see uuesti läbi.

Proovige välja mõelda, millist geomeetrilised probleemid see on näiteks: arvutuslik, kui on vaja välja selgitada mingi väärtus, ülesanded, mis nõuavad loogilist arutlusahelat, kompassi ja joonlaua abil koostatavad ülesanded. Rohkem ülesandeid segatüüpi. Kui olete probleemi tüübi selgeks saanud, proovige loogiliselt mõelda.

Rakendage selle ülesande jaoks vajalik teoreem, kui teil on kahtlusi või valikuid pole üldse, siis proovige meeles pidada teooriat, mida te vastaval teemal õppisite.

Tee ka probleemist mustand. Proovige taotleda tuntud viisid oma lahenduse õigsuse kontrollimine.

Lõpetage ülesande lahendus korralikult sülearvutis, ilma plekkide ja läbikriipsudeta, ja mis kõige tähtsam -. Võib-olla võtab esimeste geomeetriliste ülesannete lahendamine aega ja vaeva. Kuid kui olete selle protsessiga selgeks saanud, hakkate klõpsama selliseid ülesandeid nagu pähklid ja nautima seda tehes!

Geomeetriline progressioon on arvude jada b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), nii et b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Teisisõnu, iga progressiooni liige saadakse eelmisest, korrutades selle progressiooni q mingi nullist erineva nimetajaga.

Juhend

Progressiooniga seotud ülesandeid lahendatakse enamasti süsteemi koostamise ja järgimisega progressiooni b1 esimese liikme ja progressiooni q nimetaja suhtes. Võrrandite kirjutamiseks on kasulik meeles pidada mõningaid valemeid.

Kuidas väljendada progressiooni n-ndat liiget läbi progressiooni esimese liikme ja progressiooni nimetaja: b(n)=b1*q^(n-1).

Vaatleme eraldi juhtumit |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Vaatleme sarja.

7 28 112 448 1792...

On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. Nii et see sari on edasiminek.

Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada, mille põhitunnuseks on see, et mingi kindla arvuga korrutades saadakse eelmisest järgmine arv. Seda väljendatakse järgmise valemiga.

a z +1 =a z q, kus z on valitud elemendi number.

Vastavalt sellele z ∈ N.

Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:

0.25 0.125 0.0625...

Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:

Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.

Järelikult peate seeria järgmise numbri väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.

Selle edenemise määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.

Sordid

Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:

• Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis on selline jada geomeetriline progressioon, mis kasvab iga järgmise elemendiga. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.

Seejärel saab numbrilise jada kirjutada järgmiselt:

3 6 12 24 48 ...

• Kui |q| vähem kui üks, st sellega korrutamine võrdub jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.

Seejärel saab numbrilise jada kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.

• Märgi-muutuja. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Näide: a 1 = -3 , q = -2 - mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.

Siis saab järjestuse kirjutada järgmiselt:

3, 6, -12, 24,...

Valemid

Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:

• z-nda liikme valem. Võimaldab arvutada elemendi kindla numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.

Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja arvutada progressiooni neljas element.

Otsus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Esimeste elementide summa, mille arv on z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.

Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega q ei ole võrdne 1-ga.

Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduva arvu jada.

Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S 5 .

Otsus:S 5 = 22 - arvutamine valemiga.

• Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.

Otsus:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Mõned omadused:

• iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus sooritatud mis tahesz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Samuti leitakse geomeetrilise progressiooni mis tahes arvu ruut, lisades antud jada mis tahes muu kahe arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kuston nende numbrite vaheline kaugus.

• Elemendiderinevad q-süks kord.
• Ka progressioonielementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid juba aritmeetilise, st igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.

Mõnede klassikaliste probleemide näited

Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, võivad abiks olla näited 9. klassi lahendusega.

• Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.

Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teiste kaudu, kasutades nimetajat.

Seegaa 3 = q 2 · a 1

Asendamiselq= 4

• Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6 .

Otsus:Selleks piisab, kui leida q, esimene element ja asendada see valemiga.

a 3 = q· a 2 , seega,q= 2

a 2 = q a 1,Sellepärast a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.

Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Rakenduse näide:

• Panga klient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille tingimustel lisab klient sellest igal aastal 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?

Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. Seega on aasta pärast investeeringut kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahasummade leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element 10 tuhandega ja nimetaja 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Summa arvutamise ülesannete näited:

Erinevates ülesannetes kasutatakse geomeetrilist progressiooni. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:

a 1 = 4, q= 2, arvutaS5.

Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.

Otsus:

Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, see tähendab, et summa arvutamiseks peate elementi teadmaa 1 ja nimetajaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samamoodi peame leidmaa 1 , teadesa 2 jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

ARVJANDUSED VI

§ l48. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa

Siiani oleme summadest rääkides alati eeldanud, et nendes summades olevate liikmete arv on lõplik (näiteks 2, 15, 1000 jne). Kuid mõne ülesande lahendamisel (eriti kõrgema matemaatika puhul) tuleb tegeleda lõpmatu hulga terminite summadega

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Mis need summad on? A-prioor lõpmatu arvu terminite summa a 1 , a 2 , ..., a n , ... nimetatakse summa S piiriks n esiteks P numbrid millal P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limiit (2) võib loomulikult eksisteerida, aga ei pruugi olla. Sellest lähtuvalt öeldakse, et summa (1) on olemas või mitte.

Kuidas teha kindlaks, kas summa (1) on igal konkreetsel juhul olemas? Selle küsimuse üldine lahendus läheb meie programmi ulatusest palju kaugemale. Siiski on üks oluline erijuhtum, mida peame nüüd kaaluma. Räägime lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete liitmisest.

Las olla a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. See tähendab, et | q |< 1. Сумма первых P selle progressiooni liikmed on võrdne

Muutujate piiride põhiteoreemidest (vt § 136) saame:

Kuid 1 = 1, a q n = 0. Seega

Seega on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa võrdne selle progressi esimese liikmega jagatud ühega miinus selle progressiooni nimetaja.

1) Geomeetrilise progressiooni 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... summa on

ja geomeetrilise progressiooni summa on 12; -6; 3; - 3/2, ... võrdub

2) Lihtne perioodiline murd 0,454545 ... muutuda tavaliseks.

Selle ülesande lahendamiseks esitame selle murdosa lõpmatu summana:

Selle võrrandi parem pool on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, mille esimene liige on 45/100 ja nimetaja on 1/100. Niisiis

Kirjeldatud viisil on võimalik saada ka lihtperioodi murdude harilikeks murdudeks teisendamise üldreegel (vt II peatükk, § 38):

Lihtsa perioodilise murru teisendamiseks tavaliseks peate toimima järgmiselt: panema lugejasse kümnendmurru periood ja nimetajasse - üheksast koosnev arv, mis võetakse nii mitu korda, kui perioodis on numbreid. kümnendmurrust.

3) Segaperioodi murdosa 0,58333 .... muutuda harilikuks murdeks.

Esitame selle murdosa lõpmatu summana:

Selle võrrandi paremal küljel moodustavad kõik liikmed alates 3/1000-st lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, mille esimene liige on 3/1000 ja nimetaja on 1/10. Niisiis

Kirjeldatud viisil on võimalik saada ka segaperioodi murdude harilikeks murrudeks muutmise üldeeskiri (vt II peatükk, § 38). Me ei lisa seda siia teadlikult. Seda tülikat reeglit pole vaja pähe õppida. Palju kasulikum on teada, et iga segatud perioodilist murdu saab esitada lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni ja mõne arvu summana. Ja valem

lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa puhul tuleb muidugi meeles pidada.

Harjutusena kutsume teid lisaks allolevatele probleemidele nr 995-1000 pöörduma veel kord probleemi nr 301 § 38 poole.

Harjutused

995. Mida nimetatakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks?

996. Leidke lõpmatult kahanevate geomeetriliste progressioonide summad:

997. Millistele väärtustele X progresseerumist

väheneb lõpmatult? Leidke sellise progressi summa.

998. Võrdkülgses kolmnurgas küljega a uus kolmnurk kirjutatakse selle külgede keskpunktide ühendamise teel; sellesse kolmnurka kirjutatakse samamoodi uus kolmnurk ja nii edasi lõpmatuseni.

a) kõigi nende kolmnurkade ümbermõõtude summa;

b) nende pindalade summa.

999. Küljega ruudus a uus ruut kirjutatakse selle külgede keskpunktide ühendamise teel; ruut kantakse sellesse ruutu samamoodi ja nii edasi lõpmatuseni. Leidke kõigi nende ruutude ümbermõõtude summa ja nende pindalade summa.

1000. Tehke lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, nii et selle summa on võrdne 25/4 ja liikmete ruutude summa 625/24.