Elementaarfunktsioonide tuletiste tabel

Definitsioon 1

Tuletise arvutamist nimetatakse eristamist.

Tähistage tuletist $y"$ või $\frac(dy)(dx)$.

Märkus 1

Funktsiooni tuletise leidmiseks teisendatakse põhireeglite kohaselt diferentseerimine teiseks funktsiooniks.

Vaatleme tuletisinstrumentide tabelit. Pöörame tähelepanu asjaolule, et funktsioonid pärast nende tuletiste leidmist muudetakse muudeks funktsioonideks.

Ainus erand on $y=e^x$, mis muutub iseendaks.

Tuletiste diferentseerimise reeglid

Kõige sagedamini tuleb tuletise leidmisel mitte ainult vaadata tuletisi tabelit, vaid kõigepealt rakendada diferentseerimisreegleid ja tuletise tõestust ning alles seejärel kasutada elementaarfunktsioonide tuletise tabelit. .

1. Konstant võetakse tuletise märgist välja

$C$ on konstant (konstant).

Näide 1

Eristage funktsiooni $y=7x^4$.

Otsus.

Otsige üles $y"=(7x^4)"$. Võtame tuletise märgiks välja arvu $7$, saame:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

tabeli abil peate leidma võimsusfunktsiooni tuletise väärtuse:

$=7 \cdot 4x^3=$

Teisendame tulemuse matemaatikas aktsepteeritud kujule:

Vastus:$28x^3$.

2. Summa (erinevuse) tuletis võrdub tuletiste summaga (vahega):

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Näide 2

Eristage funktsioon $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Otsus.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

rakendage tuletissumma ja vahe diferentseerimise reeglit:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\voodi x)"=$

pane tähele, et eristamisel tuleb kõik astmed ja juured teisendada kujule $x^(\frac(a)(b))$;

võtame tuletise märgist välja kõik konstandid:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\voodi x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\voodi x)"=$

olles käsitlenud eristamise reegleid, rakendatakse mõnda neist (näiteks nagu kaks viimast) üheaegselt, et vältida pika avaldise ümberkirjutamist;

tuletise märgi alla oleme saanud avaldise elementaarfunktsioonidest; Kasutame tuletiste tabelit:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

teisenda matemaatikas aktsepteeritud vormile:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $

Pange tähele, et tulemuse leidmisel on tavaks teisendada murdarvuga terminid juurteks ja negatiivsed murdudeks.

Vastus: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. Funktsioonide korrutise tuletise valem:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Näide 3

Eristage funktsioon $y=x^(11) \ln x$.

Otsus.

Kõigepealt rakendame funktsioonide korrutise tuletise arvutamise reeglit ja seejärel tuletiste tabelit:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

Vastus: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Privaatfunktsiooni tuletise valem:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Näide 4

Eristage funktsiooni $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Otsus.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

matemaatiliste tehtete ülimuslikkuse reeglite järgi teostame esmalt jagamise ning seejärel liitmise ja lahutamise, seega rakendame esmalt jagatise tuletise arvutamise reeglit:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

rakendage summa ja vahe tuletiste reegleid, avage sulud ja lihtsustage avaldist:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Vastus:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Näide 5

Eristagem funktsiooni $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Otsus.

Funktsioon y on kahe funktsiooni jagatis, seega saame rakendada jagatise tuletise arvutamise reeglit, kuid sel juhul saame tülika funktsiooni. Selle funktsiooni lihtsustamiseks saate jagada lugeja nimetajaga terminiga:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Rakendame lihtsustatud funktsioonile funktsioonide summa ja erinevuse diferentseerimise reeglit:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Vastus: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

1. (f(h(x))) "= f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (sin x) " = cos x

3. (cos x) " = - sin x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5.(ctg x)" = 1/sin 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (e x) " = e x

8. (lnx)" = 1/x

9. (log a x) " = 1/ x ∙ ln a a

10.(arcsinx)" = 1/

11. (arccos x) "= -1/

12. (arctg x) "= 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

Näide. Arvutage tuletis

y=sin3(1-x2)

y"= (patt 3 (1-x 2))"* (patt (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2) ) ) * (-2x) =

6x * sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Definitsioon. Olgu funktsioon y = f(x), x Є(a;b) diferentseeruv mingis punktis x o Є(a;b), st. punktis x o on piir lim Δf(x o) / Δx = f"’ (x o)

Siit saame Δ f(x o) / Δx = f’(x o) + α , kus α on lõpmata väike väärtus Δ x→0 juures, s.o. limα = 0

Seega Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Teine liige on lõpmatult väike kui Δx→0, seega d f(x o)= f "(x o)∙ Δx või

Näide. Arvutage funktsiooni y = x 2 + cos 3x - 5 diferentsiaal

Dy \u003d (x 2 + cos 3x - 5) "dx \u003d (2x - 3 sin 3x) dx.

Definitsioon. Mingil intervallil x defineeritud diferentsiaalfunktsiooni f(x) nimetatakse antituletiseks funktsiooni f(x) jaoks, mis on defineeritud samal intervallil, kui kõigi selle intervalli x jaoks F"(x) = f(x) või d F(x ) = f(x) * dx

Definitsioon. Mingil intervallil x määratletud funktsiooni f(x) kõigi antiderivatiivide hulka nimetatakse funktsiooni f(x) määramatuks integraaliks sellel intervallil ja seda tähistatakse sümboliga

∫ f(x) dx = f(x) + C, kus F(x) on antiderivaat

C on tuletiskonstant.

Määramatu integraali arvutamiseks on põhiintegraalide tabel (vt I.I. Valuta õpik Matemaatika tehnikutele), lk.251).

Näide. Leidma

1. ∫(4x 3 - 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 - 6 x 3 /3 + 2 x 2 /2 +

2. ∫(5x4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 / 5 - 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫ 2 3 x 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Definitsioon. Mis tahes tuletisvastaste funktsioonide f(x) + C juurdekasvu F(b) - F (a), kui argument muutub väärtuselt x = a väärtusele x = b, nimetatakse funktsiooni f(x) kindlaks integraaliks a-st b-ni. ), ja seda tähistatakse f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a) ning seda nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.

Näide. Arvutama

1. ∫ (x 2 - 3x + 7)dx = ( x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 - 3/2 * 2 2 + 7 * 2) - (1/3 * (-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Definitsioon. Joonist, mis on piiratud funktsiooni y \u003d f (x), segmendi ja sirgjoonte x \u003d a ja x \u003d b graafikuga, nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks.

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

Näide. Arvutage piiratud kujundi pindala y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3

S= ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6

Teema 1.2. Tavalised diferentsiaalvõrrandid

Erinevate ülesannete lahendamine matemaatilise modelleerimise meetodil taandub tundmatu funktsiooni leidmisele võrrandist, mis sisaldab sõltumatut muutujat, soovitud funktsiooni ja selle funktsiooni tuletisi. Sellist võrrandit nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks.

Definitsioon. Diferentsiaalvõrrandi lahendus on mis tahes funktsioon, mis muudab antud võrrandi identiteediks.

Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

F(x, y, y" , y"", .....y (h)) = 0

2x + y – 3y"= 0 y" 2 – 4 = 0, sin y"= cos xy, y"" = 2x on diferentsiaalvõrrandid.

Definitsioon 2. Diferentsiaalvõrrandi järjekord on antud võrrandis sisalduvate tuletiste suurim järjekord.

xy" + y - 2 = 0 - esimest järku võrrand

y"" + 7y"- 3y = 0 - kolmandat järku võrrand

Definitsioon 3. Esimest järku diferentsiaalvõrrand on võrrand kujul F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) on esimest järku võrrand, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Definitsioon 4. Diferentsiaalvõrrandi iga üksikut lahendit nimetatakse selle konkreetseks lahendiks.

Definitsioon 5. Funktsioon, mis on antud valemiga y = (e (x,C) või y = y(x,C) - kujutab diferentsiaallahendi F(x, y, y) = 0 üldlahendit või

Cauchy probleem. Konkreetsete ülesannete lahendamisel on sageli vaja kogu diferentsiaalvõrrandi lahenduste hulgast välja tuua see konkreetne lahendus, mis on vastuseks püstitatud küsimusele. Selleks, et kogu lahenduste hulgast välja tuua eraldi integraalkõver, seatakse nn algtingimused.

Esimest järku y" = f(x, y) diferentsiaalvõrrandite puhul mõistetakse selle lahendi y = y(x) algtingimusena tingimusi, mis seisnevad selles, et y = y o kohas x = x o s.o. y (x o) \u003d y o, kus x o ja y o on antud numbrid (algandmed), nii et kui x \u003d x o ja y \u003d y o, on funktsioon f (x, y) mõttekas, s.t on olemas f ( x o, y umbes).

Definitsioon 6. Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse leidmise ülesannet, mis vastab antud algtingimustele, nimetatakse Cauchy probleemiks.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi korral formuleeritakse Cauchy ülesanne järgmiselt: leidke võrrandi y" = f(x, y) lahendus y = y(x), mis rahuldab antud lähteandmete (x o, y o), algtingimus

y (x o) \u003d y o või mõnes teises tähises y x \u003d x0 \u003d y o, kus x o, y o on antud numbrid.

Definitsioon 7. Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse eraldatavate muutujatega võrrandiks, kui see on järgmisel kujul: y "= f 1 (x) f 2 (y) või

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Teoreem: Kui integraalid ∫dy/f 2 (y) ja ∫ f 1 (x) dx on olemas, siis eraldatud muutujavõrrandi üldintegraali annab võrrand

F 2 (y) = F 1 (x) + C, kus F 2 (y) ja F 1 (x) on vastavalt funktsioonide 1/f 2 (y) ja f 1 (x) antiderivaadid.

Eraldusmuutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel saab juhinduda järgmisest algoritmist:

1) eraldage muutujad (võttes arvesse tingimusi, millal seda saab teha);

2) lahutatud muutujatega saadud võrrandite liitmine termini haaval, leida selle üldintegraal;

3) selgitab välja, kas võrrandis on lahendeid, mis ei ole saadud üldintegraalist;

4) leida algtingimusi rahuldav osaintegraal (või lahendus (vajadusel).

Näide. Leidke konkreetne lahendus võrrandile 2yy" = 1-3x 2, kui y o = 3, kui x o =1

See on eraldatud muutuja võrrand. Esitame seda diferentsiaalides:

Seega 2a * dy = (1-3 x 2) dx

Integreerime viimase võrrandi mõlemad osad, leiame ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx saame y 2 = x - x 3 + C. Asendades algväärtused y o = 3 x o =1 leiame

C: 9 \u003d 1-1 + C s.o. C = 9.

Seetõttu on soovitud osaline integraal y 2 \u003d x - x 3 + 9 või

x 3 + y 2 - x - 9 \u003d 0

Teema 1.4. read.

Definitsioon 1. Arvurida on vormi avaldis

а 1 + а 2 + …а n + ………., kus а 1 , а 2 , ……а n – mingisse kindlasse arvusüsteemi kuuluvad arvud.

Seeria lühendatud tähistuses kasutatakse summeerimismärki Σ ja

nimelt a 1 + a 2 + …a n + ……….= Σ a n

Definitsioon 2. Arve a 1, a 2, ... ja n, ..... nimetatakse seeria liikmeteks; ja n nimetatakse seeria ühisliikmeks.

Definitsioon 3. Jada nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade jada S 1 , S 2 , S 3 .........S n , ...... koondub, st. kui on piiratud piir

Arvu S nimetatakse jada summaks. Kui Lim S n ei eksisteeri või Lim S n = ∞, siis seeria

h →∞ h →∞

nimetatakse divergentseks ja sellele ei omistata numbrilist väärtust.

Teoreem 1. Kui jada koondub, siis selle ühisliige a n kipub olema null.

Kui Lim a n ≠ 0 või seda piiri pole, siis seeria lahkneb.

Teoreem 2. Olgu antud positiivsete liikmetega jada а 1 + а 2 + …а n + ………..

a n + 1 a n + 1

Oletame, et Lim on olemas ja Lim = P

h →∞ a n h →∞ a n

1) kui R<1, то ряд сходится

2) kui Р>1, siis seeria lahkneb.

Definitsioon 3. Nii positiivseid kui ka negatiivseid termineid sisaldavaid seeriaid nimetatakse regulaarseks.

Definitsioon 4. Regulaarset jada nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui seeria koondub

|a 1 | + |а 2 | + …+ | ja n | + ………., mis koosneb selle liikmete moodulitest.

Definitsioon 5. Jada а 1 + а 2 + …а n + ………., nimetatakse tingimuslikult koonduvaks, kui see koondub, ja rida |а 1 | + |а 2 | + …+ | ja n | + ………., mis koosneb selle liikmete moodulitest, erineb.

Definitsioon 6. Seeriat nimetatakse vahelduvaks, kui positiivsed ja negatiivsed liikmed järgnevad üksteisele kordamööda (a 1 + a 2 + a 3 - a 4 +…..+(-1) n +1 *

Teoreem 3. Vahelduvrida koondub, kui:

1) selle liikmed vähenevad modulo,

a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n ≥ ……..

2) selle ühine termin kipub olema null,

Veelgi enam, rea summa S rahuldab ebavõrdsust 0≤ S ≤a 1

Definitsioon 7. Olgu u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) ... mingi funktsioonide jada.

Avaldist kujul Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) + nimetatakse funktsionaalreaks.

Definitsioon 8. Funktsionaalrea nimetatakse koonduvaks punktis x o, kui

arvurida Σ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.....u n (x o) + ......

mis saadakse funktsionaalreast asendusega x = x o , on koonduv jada. Seda nimetatakse seeria konvergentsipunktiks.

Definitsioon 9. Astmete jada on vormi funktsionaalne jada

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2,.....a n (x-x o) n + ......

kus х on sõltumatu muutuja, х o on kindel arv, а o , а 1 , а 2 , … а n ….. on konstantsed koefitsiendid.

Jaotis 2.1. Diskreetse matemaatika alused.

Teema 2.1. Hulgad ja seosed. Suhte omadused. Operatsioonid komplektidel.

Hulk on hulgateooria põhimõiste, mida tutvustatakse ilma definitsioonita. Vähemalt on komplekti kohta teada, et see koosneb elementidest.

Hulka A nimetatakse

on element B (joonis 1)

pilt 1

Komplektide määramise viisid:

1. Loendamise teel, s.o. selle elementide loetelu.

2. Generatiivne protseduur, mis kirjeldab meetodit hulga elementide saamiseks juba saadud elementidest või muudest objektidest. Sel juhul on komplekti elemendid kõik objektid, mida saab sellise protseduuri abil konstrueerida.

3. Iseloomulike omaduste kirjeldus, mis selle elementidel peaksid olema.

Määrake mitmel viisil kõigi naturaalarvude 1, 2, 3 hulk N...

a) hulka N ei saa selle lõpmatuse tõttu loendina määratleda.

b) genereerimisprotseduur sisaldab kahte reeglit:

1) 1 О N ; 2) kui n н N, siis n + 1 н N

c) hulga N elementide iseloomuliku omaduse kirjeldus:

N = (x; x on positiivne täisarv)

Operatsioonid komplektidel.

1. Hulkade A ja B ühendust nimetatakse

kõigi nende elementide kogum

mis kuuluvad vähemalt ühte komplekti

A, B. (joonis 2)

Joonis 2

2. Hulkade A ja B lõikepunkti nimetatakse

komplekt, mis koosneb kõigist neist ja ainult nendest elementidest

mis kuuluvad nii A kui B hulka. (Joonis 3)

Joonis 3

3. Hulkade A ja B erinevus on hulk

kõik need ja ainult need A elemendid, mis

Joonis 4

4. Hulga A täiendit (kuni B-ni) nimetatakse B-ks

AGA

kõigi A-sse mittekuuluvate elementide hulk (joonis 5)

Joonis 5

Tehke toimingud komplektidega A = (a, b, c, d) ja B = (c, d, f.g, h)

A U B =(a, b, c, d, e, f.g,h)

A ∩ B = (c, d)

Täiendustehteid komplektides A ja B ei saa sooritada s.t. universaalset komplekti ei ole määratletud.

Seosed on üks võimalustest määrata hulga elementide vahelisi seoseid. Enim uuritud ja enim kasutatud on nn alla- ja kahepaarisuhted.

Suhteid saab määrata:

nimekiri;

Maatriks.

Suhte omadused.

Olgu R seos hulgal M, R ≤ M x M, siis:

1. R on refleksiivne, kui R a kehtib mis tahes Î M korral.

2. R on refleksivastane, kui kumbki Î M ei kehti R a.

3. R ​​on sümmeetriline, kui R b tähendab bRа.

4. R on antisemmeetriline, kui aRb ja bRa viitavad a=b, st. mis tahes erineva elemendi puhul a ja b (a≠b) ei ole nii aRb kui ka bRa .

5. R on transitiivne, kui aRb ja bRa viitavad aRc-le.

Teema 2.2 Graafiteooria põhimõisted

Graafilised esitused laiemas tähenduses on kõik uuritava süsteemi, protsessi, nähtuse visuaalsed esitused tasapinnal. Need võivad sisaldada jooniseid, jooniseid, tunnuste sõltuvusgraafikuid, alade plaanikaarte, protsesside vooskeeme, diagramme jne.

Graafilised esitused on mugav viis erinevate mõistete sisu illustreerimiseks, mis on seotud muude formaliseeritud esitusviisidega.

Võimas ja enim uuritud graafiliste esitustega seotud objektide klass on nn graafikud.

Graafiteoorial on tohutult rakendusi, kuna selle keel on ühest küljest selge ja arusaadav ning teisest küljest formaalses uurimistöös mugav.

Graafilised esitused kitsamas tähenduses on uuritava süsteemi, protsessi, nähtuse kirjeldus graafiteooria abil kahe klassi objektide komplektina: tipud ja neid ühendavad jooned - servad või kaared.

Definitsioon: Graaf D on kahe hulga kogum: tipud V ja servad E, mille elementide vahel on defineeritud langemisseos – iga serv e E on juhuslikult võrdne kahe tipuga v", v"" V, mida see ühendab .

Ka graafikuteooriast, graafide elementide kohta, tutvuda graafikutüüpidega ja kaaluda tehteid nendega, saab uurida 3. osa "Graafiteooria", lk 195-214 toimetatud XXI sajandi õpikus. G.I. Moskinov "Diskreetne matemaatika".

Teema iseseisvaks õppimiseks 3.1. Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika alused. Tõenäosus. Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid. Teemad 3.2. Juhuslik muutuja, selle jaotusfunktsioon. Teemad 3.3. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon. Võite kasutada järgmist kirjandust: V. S. Shchipacheva "Kõrgema matemaatika alused", samuti I. P. Natanson. Kõrgema matemaatika lühikursus või NV Bogomolov Praktiline matemaatika tund.

Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud intervallis X. tuletis funktsiooni y \u003d f (x) punktis x o nimetatakse piiriks

= .

Kui see piir piiratud, siis kutsutakse funktsioon f(x). eristatav punktis x o; pealegi osutub see siinkohal tingimata ja pidevaks.

Kui vaadeldav piirväärtus on võrdne  (või - ), siis tingimusel, et funktsioon punktis X o on pidev, siis ütleme, et funktsioonil f(x) on punkt X o lõpmatu tuletis.

Tuletist tähistatakse sümbolitega

y , f (x o), , .

Tuletise leidmist nimetatakse eristamist funktsioonid. Tuletise geomeetriline tähendus tuletis on kõvera y=f(x) puutuja kalle antud punktis X o ; füüsiline tunne - selles, et tee aja tuletis on sirgjoonelisel liikumisel liikuva punkti hetkkiirus s = s(t) hetkel t o .

Kui a koos on konstantne arv ja u = u(x), v = v(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis kehtivad järgmised diferentseerimisreeglid:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) kui y = f(u), u = (x), s.o. y = f((x)) - keeruline funktsioon, või superpositsioon, mis koosneb diferentseeruvatest funktsioonidest  ja f, siis , või

6) kui funktsiooni y = f(x) jaoks on olemas pöörddiferentseeruv funktsioon x = g(y) ja  0, siis .

Tuletise definitsiooni ja diferentseerimisreeglite alusel saab koostada põhiliste elementaarfunktsioonide tabelituletisi loendi.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Arvutame eksponentsiaalse avaldise y=u v , (u>0) tuletise, kus u ja v funktsiooni olemus X millel on antud punktis tuletised sina",v".

Võttes võrrandi y=u v logaritmi, saame ln y = v ln u.

Tuletiste võrdsustamine suhtes X saadud võrdsuse mõlemast osast, kasutades reegleid 3, 5 ja logaritmilise funktsiooni tuletise valemit, saame:

y"/y = vu"/u + v" ln u, kust y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Näiteks kui y \u003d x sin x, siis y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).

Kui funktsioon y = f(x) on punktis diferentseeruv x, st. on selles punktis lõplik tuletis y", siis = y "+, kus 0 juures х 0; seega  y = y" х +  x.

Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, lineaarne x suhtes, kutsutakse diferentsiaal funktsioonid ja seda tähistatakse dy-ga: dy \u003d y "x. Kui paneme sellesse valemisse y \u003d x, siis saame dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x, seega dy \u003d \u003d y "dx, st tuletise tähise sümbolit võib pidada murdarvuks.

Funktsiooni juurdekasv  y on kõvera ordinaadi juurdekasv ja diferentsiaal d y on puutuja ordinaadi juurdekasv.

Leiame funktsiooni y=f(x) jaoks selle tuletise y = f (x). Selle tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletis funktsioonid f(x), või teine ​​tuletis, ja tähistatud .

Järgmised on määratletud ja tähistatud samal viisil:

kolmandat järku tuletis - ,

neljandat järku tuletis -

ja üldiselt rääkides n-ndat järku tuletis - .

Näide 3.15. Arvutage funktsiooni y=(3x 3 -2x+1)sin x tuletis.

Otsus. Reegli 3 kohaselt y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.

Näide 3.16 . Leidke y", y = tg x + .

Otsus. Kasutades summa ja jagatise eristamise reegleid, saame: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Näide 3.17. Leia kompleksfunktsiooni y= , u=x 4 +1 tuletis.

Otsus. Kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt saame: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Kuna u \u003d x 4 +1, seejärel (2 x 4 + 2+ .

Tuletis, diferentseerimise reeglid ja valemid

Olgu funktsioon y = f(x) defineeritud intervallis X. tuletis funktsiooni y \u003d f (x) punktis x o nimetatakse piiriks

= .

Kui see piir piiratud, siis kutsutakse funktsioon f(x). eristatav punktis x o; pealegi osutub see siinkohal tingimata ja pidevaks.

Kui vaadeldav piirmäär on võrdne ¥ (või - ¥), siis tingimusel, et funktsioon punktis x o on pidev, siis ütleme, et funktsioonil f(x) on punkt x o lõpmatu tuletis.

Tuletist tähistatakse sümbolitega

y ¢, f ¢(x o), , .

Tuletise leidmist nimetatakse eristamist funktsioonid. Tuletise geomeetriline tähendus tuletis on kõvera y=f(x) puutuja kalle antud punktis x o; füüsiline tunne - selles, et tee tuletis aja suhtes on liikuva punkti hetkkiirus sirgjoonelisel liikumisel s = s(t) hetkel t o .

Kui a koos on konstantne arv ja u = u(x), v = v(x) on mõned diferentseeruvad funktsioonid, siis kehtivad järgmised diferentseerimisreeglid:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) kui y = f(u), u = j(x), s.o. y = f(j(x)) - keeruline funktsioon, või superpositsioon, mis koosneb diferentseeruvatest funktsioonidest j ja f, siis , või

6) kui funktsiooni y = f(x) jaoks on olemas pöörddiferentseeruv funktsioon x = g(y) ja ¹ 0, siis .

Tuletise definitsiooni ja diferentseerimisreeglite alusel saab koostada põhiliste elementaarfunktsioonide tabelituletisi loendi.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u × u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Arvutame eksponentsiaalse avaldise y=u v , (u>0) tuletise, kus u ja v funktsiooni olemus X millel on antud punktis tuletised sina",v".

Võttes võrrandi y=u v logaritmi, saame ln y = v ln u.

Tuletiste võrdsustamine suhtes X saadud võrdsuse mõlemast osast, kasutades reegleid 3, 5 ja logaritmilise funktsiooni tuletise valemit, saame:

y"/y = vu"/u + v" ln u, kust y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Näiteks kui y \u003d x sin x, siis y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Kui funktsioon y = f(x) on punktis diferentseeruv x, st. on selles punktis lõplik tuletis y", siis \u003d y "+a, kus a®0 kohas Dx® 0; seega D y \u003d y" Dx + a x.

Funktsiooni juurdekasvu põhiosa, Dx suhtes lineaarne, nimetatakse funktsiooni diferentsiaal ja tähistatakse dy: dy \u003d y "Dx. Kui paneme sellesse valemisse y \u003d x, siis saame dx \u003d x" Dx \u003d 1 × Dx \u003d Dx, seega dy \u003d y "dx, i. tuletist tähistavat sümbolit võib pidada murdarvuks.

D funktsiooni juurdekasv y on kõvera ordinaadi juurdekasv ja diferentsiaal d y on puutuja ordinaadi juurdekasv.

Leiame funktsiooni y=f(x) jaoks selle tuletise y ¢= f ¢(x). Selle tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletis funktsioonid f(x), või teine ​​tuletis, ja tähistatud .

Järgmised on määratletud ja tähistatud samal viisil:

kolmandat järku tuletis - ,

neljandat järku tuletis -

ja üldiselt rääkides n-ndat järku tuletis - .

Näide 3.15. Arvutage funktsiooni y=(3x 3 -2x+1)×sin x tuletis.

Otsus. Reegli 3 järgi y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1) × (sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.

Näide 3.16. Leidke y", y = tg x + .

Otsus. Kasutades summa ja jagatise eristamise reegleid, saame: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Näide 3.17. Leia kompleksfunktsiooni y= tuletis,
u = x 4 +1.

Otsus. Kompleksfunktsiooni diferentseerimise reegli kohaselt saame: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Kuna u \u003d x 4 +1 siis
(2 x 4 +2+ .

Näide 3.18.

Otsus. Esitame funktsiooni y= kahe funktsiooni superpositsioonina: y = e u ja u = x 2 . Meil on: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u × 2x. Asendades x2 selle asemel u, saame y=2x .

Näide 3.19. Leia funktsiooni y=ln sin x tuletis.

Otsus. Tähistame u=sin x, siis kompleksfunktsiooni y=ln u tuletis arvutatakse valemiga y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Näide 3.20. Leia funktsiooni y= tuletis.

Otsus. Mitme superpositsiooni tulemusel saadud keeruka funktsiooni juhtum ammendub reegli 5 järjestikuse kohaldamisega:

.

Näide 3.21. Arvutage tuletis y=ln .

Otsus. Võttes logaritmid ja kasutades logaritmide omadusi, saame:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Eristades viimase võrdsuse mõlemad osad, saame:

Funktsiooni äärmus

Kutsutakse funktsioon y=f(x). suureneb (kahanev) mõnes intervallis, kui x 1 korral< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Kui lõigul diferentseeruv funktsioon y = f(x) suureneb (väheneb), siis selle tuletis sellel lõigul f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Punkt x o helistas kohalik maksimumpunkt (miinimum) funktsiooni f(x) korral, kui on olemas punkti naabrus x o, mille kõigi punktide puhul on tõene võrratus f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)).

Nimetatakse maksimum- ja miinimumpunktid äärmuslikud punktid, ja funktsiooni väärtused nendes punktides on selle äärmuslik.

Ekstreemumiks vajalikud tingimused. Kui punkt x o on funktsiooni f(x) äärmuspunkt, siis kas f ¢(x o) = 0 või f ¢(x o) ei eksisteeri. Selliseid punkte nimetatakse kriitiline, kus funktsioon ise on määratletud kriitilises punktis. Funktsiooni äärmusi tuleks otsida selle kriitiliste punktide hulgast.

Esimene piisav tingimus. Las olla x o- kriitiline punkt. Kui f ¢ (x) punkti läbimisel x o muudab plussmärgi miinusmärgiks, seejärel punktis x o funktsioonil on maksimum, muidu on miinimum. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis punktis x o ekstreemumit pole.

Teine piisav tingimus. Olgu funktsioonil f(x) tuletis
f ¢ (x) punkti läheduses x o ja teine ​​tuletis just selles punktis x o. Kui f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o on funktsiooni f(x) lokaalne miinimum (maksimaalne) punkt. Kui =0, siis tuleb kas kasutada esimest piisavat tingimust või kaasata kõrgemad tuletised.

Lõigul võib funktsioon y = f(x) saavutada oma minimaalse või maksimaalse väärtuse kas kriitilistes punktides või lõigu otstes.

Näide 3.22. Leidke funktsiooni f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ekstreemum.

Otsus. Kuna f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), siis funktsiooni kriitilised punktid x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3. Äärmuslikud punktid võivad olla ainult nendes punktides. Kuna punkti x 1 \u003d 2 läbimisel muudab tuletis märgi plussist miinusesse, siis on sellel hetkel funktsioonil maksimum. Punkti x 2 \u003d 3 läbimisel muudab tuletis märgi miinusest plussiks, seetõttu on punktis x 2 \u003d 3 funktsioonil miinimum. Olles arvutanud funktsiooni väärtused punktides x 1 = 2 ja x 2 = 3, leiame funktsiooni äärmused: maksimaalne f (2) = 14 ja minimaalne f (3) = 13.

Näide 3.23. Kiviseina äärde on vaja rajada ristkülikukujuline ala nii, et see oleks kolmest küljest traatvõrguga piiratud ja neljandast küljest piirneks müüriga. Selle jaoks on olemas a võrgu lineaarsed meetrid. Millise kuvasuhtega on saidil suurim pindala?

Otsus. Märgistage saidi küljed läbi x ja y. Saidi pindala on S = xy. Las olla y on seinaga külgneva külje pikkus. Siis peab tingimuse järgi võrdus 2x + y = a kehtima. Seetõttu y = a - 2x ja S = x(a - 2x), kus 0 £ x £ a/2 (ala pikkus ja laius ei saa olla negatiivsed). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0, kui x = a/4, kust
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Kuna x = a/4 on ainus kriitiline punkt, siis kontrollime, kas selle punkti läbimisel tuletise märk muutub. x jaoks< a/4 S ¢ >0 ja x >a/4 S ¢ korral<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Kuna S on pidev sees ja selle väärtused S(0) ja S(a/2) otstes on võrdsed nulliga, siis on leitud väärtuseks funktsiooni suurim väärtus. Seega on antud ülesande tingimustes saidi kõige soodsam kuvasuhe y = 2x.

Näide 3.24. Vajalik on teha kinnine silindriline paak mahuga V=16p » 50 m 3 . Millised peaksid olema paagi mõõtmed (raadius R ja kõrgus H), et selle valmistamiseks kuluks kõige vähem materjali?

Otsus. Silindri kogupindala on S = 2pR(R+H). Teame silindri ruumala V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Seega S(R) = 2p(R2 +16/R). Leiame selle funktsiooni tuletise:
S¢(R) = 2p (2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S¢(R) = 0, kui R3 = 8, seega
R = 2, H = 16/4 = 4.

Kõigis allolevates valemites tähed u ja v tähistatakse sõltumatu muutuja diferentseeruvaid funktsioone x: , , aga kirjadega a, c, n- alaline:

1.

3.

4.

5.

6.

Ülejäänud valemid on kirjutatud nii sõltumatu muutuja funktsioonide kui ka keerukate funktsioonide jaoks:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7a.

8a.

9a.

11a.

12a.

13a.

16a.

17a.

Alltoodud näidete lahendamisel tehakse üksikasjalikud märkmed. Eristamist tuleks aga õppida ilma vahepealsete sissekanneteta.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis .

Otsus. See funktsioon on funktsioonide algebraline summa. Me eristame seda valemite 3, 5, 7 ja 8 abil:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Otsus. Rakendades valemeid 6, 3, 7 ja 1, saame

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis ja arvutage selle väärtus

Otsus. See on vahepealse argumendiga keerukas funktsioon. Kasutades valemeid 7a ja 10, saame

.

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis .

Otsus. See on vahepealse argumendiga keerukas funktsioon. Rakendades valemeid 3, 5, 7a, 11, 16a, saame

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis .

Otsus. Me eristame seda funktsiooni valemitega 6, 12, 3 ja 1:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis ja arvutage selle väärtus .

Otsus. Esiteks teisendame funktsiooni logaritmide omaduste abil:

Nüüd eristame valemitega 3, 16a, 7 ja 1:

.

Arvutame tuletise väärtuse .

Näide 7 Leidke funktsiooni tuletis ja arvutage selle väärtus .

Otsus. Kasutame valemeid 6, 3, 14a, 9a, 5 ja 1:

.

Arvutage tuletise väärtus kohas:

.

Tuletise geomeetriline tähendus.

Funktsiooni tuletis on lihtsa ja olulise geomeetrilise tõlgendusega.

Kui funktsioon punktis eristatav X, siis on selle funktsiooni graafikul puutuja vastavas punktis ja puutuja kalle on võrdne tuletise väärtusega vaadeldavas punktis.

Funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kalle punktis ( X 0 , juures 0), on võrdne funktsiooni tuletise väärtusega at x = x 0, st. .

Selle puutuja võrrandil on vorm

Näide 8. Kirjutage funktsioonigraafiku puutuja võrrand punktis A (3.6).

Otsus. Puutuja kalde leidmiseks leiame selle funktsiooni tuletise:

X= 3:

Tangensi võrrandil on vorm

, või , st.

Näide 9 Koostage funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja võrrand abstsisspunktiga punktis x=2.

Otsus. Esiteks leidke puutepunkti ordinaat. Kuna punkt A asub kõveral, rahuldavad selle koordinaadid kõvera võrrandit, s.t.

; .

Punktis kõverale tõmmatud puutuja võrrandil on vorm . Puutuja kalde leidmiseks leiame tuletise:

.

Puutuja kalle on võrdne funktsiooni tuletise väärtusega at X= 2:

Tangensi võrrand on järgmine:

, , st.

Tuletise füüsikaline tähendus. Kui keha liigub seaduse järgi sirgjooneliselt s=s(t), seejärel teatud aja jooksul (alates hetkest t hetkeni ) see läheb kuidagi. Siis on mingi aja keskmine liikumiskiirus .

kiirust keha liigutused teatud ajahetkel t nimetatakse tee ja aja juurdekasvu suhte piiriks, kui aja juurdekasv kipub olema null:

.

Seetõttu on tee s ajatuletis t võrdne keha sirgjoonelise liikumise kiirusega antud ajahetkel:

.

Füüsikaliste, keemiliste ja muude protsesside kiirust väljendatakse ka tuletise abil.

Funktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni muutumiskiirusega argumendi antud väärtuse korral X:

Näide 10 Punkti piki sirget liikumise seadus on antud valemiga (s - meetrites, t - sekundites). Leidke punkti kiirus esimese sekundi lõpus.

Otsus. Punkti kiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega s aja järgi t:

,

Seega on punkti kiirus esimese sekundi lõpus 9 m/s.

Näide 11. Vertikaalselt üles visatud keha liigub vastavalt seadusele , kus v 0 - algkiirus, g on vabalangemise kiirendus. Leidke selle liikumise kiirus mis tahes ajahetkel t. Kaua keha kerkib ja millisele kõrgusele tõuseb kui v0= 40 m/s?

Otsus. Kiirus, millega punkt teatud ajahetkel liigub t võrdne tee tuletisega s aja järgi t:

.

Tõusu kõrgeimas punktis on keha kiirus null:

, , , , koos.

üle 40/ g sekundit tõuseb keha kõrgusele

, m.

Teine tuletis.

Funktsiooni tuletis üldiselt on funktsioon X. Kui arvutame selle funktsiooni tuletise, siis saame funktsiooni teist järku tuletise või teise tuletise .

Teine tuletis funktsioonid nimetatakse selle esimese tuletise tuletiseks .

Funktsiooni teist tuletist tähistatakse ühe sümboliga - , , . Seega .

Mis tahes järjestust tuletisinstrumente määratletakse ja tähistatakse sarnaselt. Näiteks kolmandat järku tuletis:

või ,

Näide 12. .

Otsus. Kõigepealt leiame esimese tuletise

Näide 13 Leia funktsiooni teine ​​tuletis ja arvutage selle väärtus x=2.

Otsus. Kõigepealt leiame esimese tuletise:

Jällegi eristades leiame teise tuletise:

Arvutame teise tuletise väärtuse at x=2; meil on

Teise tuletise füüsikaline tähendus.

Kui keha liigub seaduse järgi sirgjooneliselt s = s(t), siis tee teine ​​tuletis s aja järgi t võrdne keha kiirendusega antud ajahetkel t:

Seega esimene tuletis iseloomustab mõne protsessi kiirust ja teine ​​tuletis sama protsessi kiirendust.

Näide 14 Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele . Leidke liikumise kiirus ja kiirendus .

Otsus. Keha kiirus antud ajahetkel on võrdne tee tuletisega s aja järgi t, ja kiirendus on tee teine ​​tuletis s aja järgi t. Leiame:

; siis ;

; siis

Näide 15 Sirgjoonelise liikumise kiirus on võrdeline läbitud tee ruutjuurega (nagu näiteks vabalangemisel). Tõesta, et see liikumine toimub konstantse jõu mõjul.

Otsus. Newtoni seaduse järgi on liikumist põhjustav jõud F võrdeline kiirendusega, s.o.

või

Vastavalt seisundile . Seda võrdsust eristades leiame

Seega tegutsev jõud .

Tuletise rakendused funktsiooni uurimisel.

1) Funktsiooni suurenemise tingimus: Diferentseeruv funktsioon y = f(x) suureneb monotoonselt intervallil X siis ja ainult siis, kui selle tuletis on suurem kui null, s.t. y = f(x) f'(x) > 0. See tingimus tähendab geomeetriliselt, et selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab teravnurga, mille suund on x-telje suhtes positiivne.

2) Funktsiooni vähenemise tingimus: Diferentseeruv funktsioon y = f(x) väheneb monotoonselt intervallil X siis ja ainult siis, kui selle tuletis on väiksem kui null, s.t.

y = f(x)↓ f'(x) See tingimus tähendab geomeetriliselt, et selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab nürinurga x-telje positiivse suunaga)

3) funktsiooni püsivuse tingimus: Diferentseeruv funktsioon y = f(x) on intervallil X konstantne siis ja ainult siis, kui selle tuletis on võrdne nulliga, s.t. y = f(x) – konstant f'(x) = 0. See tingimus tähendab geomeetriliselt, et selle funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne oX-teljega, st α \u003d 0)

Funktsiooni äärmused.

Definitsioon 1: kutsutakse punkt x \u003d x 0 miinimumpunkt funktsioon y = f(x), kui sellel punktil on naabrus, mille kõigi punktide jaoks (välja arvatud punkt ise) on võrratus f(x)> f(x 0)

Definitsioon 2: Nimetatakse punkti x \u003d x 0 maksimaalne punkt funktsioon y = f(x), kui sellel punktil on naabrus, mille kõigi punktide jaoks (välja arvatud punkt ise) on võrratus f(x)< f(x 0).

Definitsioon 3: funktsiooni miinimum- või maksimumpunkti nimetatakse punktiks äärmus. Funktsiooni väärtust selles punktis nimetatakse äärmuslikuks.

Märkused: 1. Maksimaalne (minimaalne) ei pruugi olla funktsiooni maksimaalne (väikseim) väärtus;

2. Funktsioonil võib olla mitu maksimumi või miinimumi;

3. Lõigul defineeritud funktsioon võib jõuda ekstreemumini ainult selle lõigu sisemistes punktides.

5) Ekstreemumi vajalik tingimus: Kui funktsioonil y \u003d f (x) on ekstreemum punktis x \u003d x 0, siis selles punktis on tuletis võrdne nulliga või seda pole olemas. Neid punkte nimetatakse 1. tüüpi kriitilised punktid.

6) Piisavad tingimused funktsiooni ekstreemumi olemasoluks: Olgu funktsioon y \u003d f (x) pidev intervallil X ja selle intervalli sees on 1. tüüpi kriitiline punkt x \u003d x 0, siis:

a) kui sellel punktil on naabruskond, kus x jaoks< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, siis x = x 0 on punkt miinimum funktsioonid y = f(x);

b) kui sellel punktil on naabruskond, kus x jaoks< х 0 f’(x) >0 ja x> x 0 korral

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой maksimaalselt funktsioonid y = f(x);

c) kui sellel punktil on selline naabrus, et selles nii punktist x 0 paremal kui ka vasakul on tuletise märgid samad, siis punktis x 0 ekstreemumit ei ole.

Vähenevate või suurenevate funktsioonide intervalle nimetatakse intervallideks. monotoonsus.

Definitsioon 1: Kutsutakse kõverat y = f(x). allapoole kumer intervallil a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется kumer üles intervallil a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Definitsioon 2: Nimetatakse intervalle, milles funktsiooni graafik on kumer üles või alla paisuma vahedega funktsiooni graafik.

Piisav tingimus, et kõver oleks kumer. Diferentseeruva funktsiooni Y = f(x) graafik on kumer üles intervallil a< х <в, если f”(x) < 0 и allapoole kumer, kui f”(x) > 0.

Definitsioon 1: Nimetatakse punkte, kus teine ​​tuletis on null või puudub teist tüüpi kriitilised punktid.

Definitsioon 2: Funktsiooni Y = f(x) graafiku punkti, mis eraldab selle graafiku vastassuundade kumeruse intervalle, nimetatakse punktiks kääne.

pöördepunkt

Näide: antud funktsioon y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Uurige funktsiooni monotoonsuse intervallide ja äärmuspunktide jaoks. Määrake kumerus- ja käändepunktide suund.

Lahendus: 1. Leia funktsiooni domeen: D(y) = ;

2. Leidke esimene tuletis: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Lahendame võrrandi: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, siis sellel võrrandil pole lahendit, seega pole ka ekstreemumpunkte. y' , siis funktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

4. Leia teine ​​tuletis: y” = 6x - 4;

5. Lahendage võrrand: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Vastus: ( ; - ) - käändepunkt, funktsioon on x-is ülespoole kumer ja x-is ülespoole kumer

Asümptoodid.

1. Definitsioon: Kõvera asümptoot on sirgjoon, millele antud funktsiooni graafik läheneb lõputult.

2. Asümptootide tüübid:

1) Vertikaalsed asümptoodid. Funktsiooni y = f(x) graafikul on vertikaalne asümptoot, kui . Vertikaalse asümptoodi võrrandi kuju on x = a

2) Horisontaalsed asümptoodid. Funktsiooni y = f(x) graafikul on horisontaalne asümptoot, kui . Horisontaalne asümptoodi võrrand on y = b.

Näide 1: funktsiooni y = jaoks leidke asümptoodid.

3) Viltused asümptoodid. Sirget y = kx + b nimetatakse funktsiooni y = f(x) graafiku kaldus asümptoodiks, kui . K ja b väärtused arvutatakse valemitega: k = ; b = .

Otsus: , siis y = 0 on horisontaalne asümptoot;

(kuna x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), siis x = 3 on vertikaalne asümptoot. ,t. st k = 0, siis kõveral puudub kaldus asümptoot.

Näide 2: funktsiooni y = jaoks leidke asümptoodid.

Lahendus: x 2 - 25 ≠ 0 koos x ≠ ± 5, siis x \u003d 5 ja x \u003d - 5 on horisontaalsed asümptoodid;

y = , siis kõveral puudub vertikaalne asümptoot;

k = ; b = , st y = 5x - kaldus asümptoot.

Funktsioonigraafikute koostamise näited.

Näide 1.

Uurige funktsiooni ja koostage funktsiooni y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3 graafik

1. Leia funktsiooni domeen: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), st.

(y \u003d x 5 - x 3 - paaritu, y \u003d x 4 + x 2 - paaritu)

3. Ei ole perioodiline.

4. Leidke koordinaattelgede lõikepunktid: kui x \u003d 0, siis y \u003d - 3 (0; - 3)

kui Y = 0, on x raske leida.

5. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid: Vertikaalseid asümptoote pole, sest pole x väärtusi, mille puhul funktsioon on määramata; y = , st horisontaalseid asümptoote pole;

k = , s.t. kaldus asümptoote pole.

6. Uurime funktsiooni monotoonsuse intervallidele ja selle äärmustele: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y' = 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 – 1. tüüpi kriitilised punktid.

Määrame tuletise märgid: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = -3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - maksimaalne punkt; y min \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - miinimumpunkt, funktsioon y x ja y jaoks .

7. Uurime kumerus- ja käändepunktide intervallide funktsiooni:

y" = (y')' = (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12, y" = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - 1. tüüpi kriitiline punkt.

Määrame teise tuletise märgid: y”(0) = -12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - käändepunkt, funktsioon on kumer punktis x ja kumer alla punktis x.

8. Lisapunktid:

X	- 1
juures	- 19

9. Koostame funktsiooni graafiku:

Uurige funktsiooni ja joonistage funktsioon y =

1. Leidke funktsiooni domeen: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Uurige, kas antud funktsioon on paaris või paaritu: ,

y(- x) ≠ y(x) ei ole paaris ja y(- x) ≠ - y(x) ei ole paaritu

3. Ei ole perioodiline.

4. Leidke koordinaattelgede lõikepunktid: x \u003d 0, siis y \u003d - 2; y = 0, siis , st (0; - 2); ().

5. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid: kuna x ≠ 1, siis sirge x = 1 on vertikaalne asümptoot;