Biograafiad Omadused Analüüs
Laienda
Kodu ›

Näited ülesannetest punktide asukohas.

Geomeetria (Kreeka geomeetria, alates ge - maa ja metreo - mõõt)

matemaatika haru, mis uurib ruumisuhteid ja vorme, aga ka muid oma struktuurilt ruumilistega sarnaseid seoseid ja vorme.

Mõiste "G.", mis tähendab sõna-sõnalt "maamõõtmist", päritolu on seletatav järgmiste Vana-Kreeka teadlasele Eudemusele Rhodosest (4. sajand eKr) omistatud sõnadega: "Geomeetria avastasid egiptlased ja see tekkis siis, kui Maa mõõtmisel. See mõõtmine oli talle vajalik Niiluse jõe üleujutuse tõttu, mis uhtus pidevalt piire. " Juba iidsete kreeklaste seas tähendas geodeesia matemaatilist teadust, samas kui mõiste geodeesia võeti kasutusele Maa mõõtmise teaduse jaoks. . Vana-Egiptuse kirjutiste säilinud fragmentide põhjal otsustades arenes gravitatsioon välja mitte ainult maa mõõtmiste, vaid ka pinnase- ja ehitustööde käigus tehtud ruumalade ja pindade mõõtmise tulemusel jne.

Esialgsed gravitatsioonikontseptsioonid tekkisid kehade kõigist omadustest ja suhetest, välja arvatud suhteline asukoht ja suurus, abstraktsiooni tulemusena. Esimesed väljenduvad kehade puudutuses või külgnemises üksteisega, selles, et üks keha on osa teisest, asukohas “vahel”, “sees” jne. Viimased väljenduvad mõistetes "rohkem", "vähem", kehade võrdsuse mõistes.

Sama abstraktsiooniga tekib geomeetrilise keha mõiste. Geomeetriline keha on abstraktsioon, milles säilivad ainult kuju ja mõõtmed, mis on kõigist muudest omadustest täielikult abstraktsed. Samas, geomeetria, nagu matemaatikale üldiselt omane, abstraheerub täielikult reaalsete kujude ja suuruste määramatusest ja liikuvusest ning peab kõiki uuritavaid seoseid ja vorme absoluutselt täpseteks ja kindlateks. Abstraktsioon kehade laiendamisest viib pindade, joonte ja punktide mõisteteni. Seda väljendavad selgelt näiteks Eukleidese antud definitsioonid: "joon on pikkus ilma laiuseta", "pind on see, millel on pikkus ja laius". Punkt ilma laienduseta on abstraktsioon, mis peegeldab keha kõigi mõõtmete piiramatu vähenemise võimalust, selle lõpmatu jagunemise kujuteldavat piiri. Siis on geomeetrilise kujundi üldine mõiste, mida ei mõisteta mitte ainult keha, pinna, joone või punktina, vaid ka nende mis tahes kombinatsioonina.

G. oma algses tähenduses on teadus figuuridest, nende osade omavahelisest paigutusest ja suurusest, samuti kujundite ümberkujundamisest. See määratlus on täielikult kooskõlas geomeetria kui ruumiliste vormide ja suhete teaduse määratlusega. Tõepoolest, kujund, nagu seda peetakse G.-s, on ruumiline vorm; seetõttu öeldakse G.-s näiteks "pall", mitte "kerakujuline keha"; asukoha ja mõõtmed määravad ruumilised suhted; Lõpuks, teisendus, nagu seda mõistetakse G.-s, on ka teatud suhe kahe kujundi - antud ja selle, milleks see on teisendatud, - vahel.

Tänapäevases üldisemas mõttes hõlmab geomeetria mitmesuguseid matemaatilisi teooriaid, mille kuuluvuse geomeetriasse ei määra mitte ainult nende aine sarnasus (ehkki mõnikord väga kauge) tavaliste ruumivormide ja suhetega, vaid ka asjaolu, et need on ajalooliselt kujunenud ja kujunemas G. algses tähenduses ning lähtuvad oma konstruktsioonides selle mõistete analüüsist, üldistamisest ja muutmisest. Geograafia selles üldises tähenduses on tihedalt läbi põimunud teiste matemaatikaharudega ja selle piirid ei ole täpsed. Vt Geomeetria üldistus ja kaasaegne geomeetria.

Geomeetria arendamine. Geoloogia arengus võib välja tuua neli põhiperioodi, mille üleminekud tähistasid geograafia kvalitatiivset muutust.

Esimene – geomeetria kui matemaatilise teaduse sünniperiood – kestis Vana-Egiptuses, Babüloonias ja Kreekas umbes 5. sajandini. eKr e. Esmane geomeetriline informatsioon ilmneb ühiskonna arengu varases staadiumis. Teaduse alguseks tuleks pidada esimeste üldiste mustrite, antud juhul geomeetriliste suuruste vaheliste seoste kehtestamist. Seda hetke ei saa dateerida. Varaseim G. algendeid sisaldav teos on meieni jõudnud Vana-Egiptusest ja pärineb umbes 17. sajandist. eKr e., kuid see pole kindlasti esimene. Selle perioodi geomeetrilist teavet ei olnud palju ja see taandus peamiselt teatud pindalade ja mahtude arvutamiseks. Ilmselt olid need reeglite kujul välja toodud suures osas empiirilise päritoluga, samas kui loogilised tõestused olid ilmselt veel väga primitiivsed. Kreeka kandus Kreeka ajaloolaste sõnul Egiptusest Kreekasse 7. sajandil. eKr e. Siin kujunes see mitme põlvkonna jooksul ühtseks süsteemiks. See protsess toimus uute geomeetriliste teadmiste kogumise, erinevate geomeetriliste faktide vaheliste seoste selgitamise, tõestamismeetodite väljatöötamise ja lõpuks kujundi, geomeetrilise lause ja tõestuse kohta mõistete moodustamise kaudu.

See protsess on viimaks viinud kvalitatiivse hüppeni. Geomeetriast sai iseseisev matemaatikateadus: ilmusid selle süstemaatilised käsitlused, milles tema väiteid järjekindlalt tõestati. Sellest ajast algab geoloogia teine ​​arenguperiood, teada on viiteid süstemaatilisele geoloogiaesitlusele, mille hulgas on toodud 5. sajandil. eKr e. Chiose Hippokrates (vt Chiose Hippokrates). Nad jäid ellu ja mängisid otsustavat rolli tulevikus, mis ilmus umbes 300 eKr. e. Eukleidese "algused" (vt Eukleidese algus). Siin esitatakse geomeetriad nii, nagu neid üldiselt mõistetakse tänapäevalgi, kui piirduda elementaargeomeetriaga (vt elementaargeomeetria); see on teadus lihtsaimatest ruumivormidest ja suhetest, mis on välja töötatud loogilises järjestuses, tuginedes selgelt sõnastatud põhisätetele - aksioomidele ja ruumilistele põhiesitustele. Samadel alustel (aksioomidel) välja töötatud geomeetriat, mis on isegi viimistletud ja rikastatud nii aines kui ka uurimismeetodites, nimetatakse eukleidiliseks geomeetriaks. Isegi Kreekas lisanduvad sellele uued tulemused, tekivad uued meetodid pindalade ja mahtude määramiseks (Archimedes, 3. saj eKr), koonuslõigete õpetus (Apollonius Pergast, 3. saj eKr), lisanduvad trigonomeetria alged (Hipparkhos). , 2 sisse. eKr e.) ja G. sfääril (Menelaus, 1. saj pKr). Muistse ühiskonna allakäik tõi kaasa geoloogia arengu võrdleva stagnatsiooni, kuid see arenes edasi Indias, Kesk-Aasias ja Araabia Ida riikides.

Teaduste ja kunstide renessanss Euroopas tõi kaasa geograafia edasise õitsengu, 17. sajandi esimesel poolel astuti põhimõtteliselt uus samm. R. Descartes, kes tõi geomeetriasse koordinaatide meetodi. Koordinaatide meetod võimaldas siduda geomeetria tollal areneva algebra ja tekkiva analüüsiga. Nende teaduste meetodite rakendamine geoloogias tõi kaasa analüütilise geograafia ja seejärel diferentsiaalgeoloogia. G. liikus iidsete G.-ga võrreldes kvalitatiivselt uuele tasemele: arvestab palju üldisemaid kujundeid ja kasutab sisuliselt uusi meetodeid. Sellest ajast on alanud G kolmas arenguperiood.Analüütiline geomeetria uurib algebra meetoditega ristkülikukujulistes koordinaatides algebraliste võrranditega antud kujundeid ja teisendusi. Diferentsiaalgeomeetria, mis tekkis 18. sajandil. L. Euleri, H. Monge'i jt töö tulemusena uurib ta juba kõiki piisavalt siledaid kõveraid jooni ja pindu, nende perekondi (st nende pidevaid kogumeid) ja teisendusi (“diferentsiaalgeomeetria” mõiste on antakse nüüd sageli üldisem tähendus, mida käsitletakse jaotises Kaasaegne geomeetria). Selle nime seostatakse peamiselt selle meetodiga, mis pärineb diferentsiaalarvutusest. 17. sajandi 1. pooleks. viitab projektiivse geomeetria tekkele (vt projektiivne geomeetria) J. Desarguesi ja B. Pascali töödes (vt Pascal). See tekkis kehade tasapinnal kujutamise probleemidest; selle esimene teema on tasapinnaliste kujundite omadused, mis säilivad projitseerimisel ühelt tasapinnalt teisele mis tahes punktist. Nende uute geoloogiasuundade lõplik sõnastus ja süstemaatiline selgitus anti 18. sajandil ja 19. sajandi alguses. Euler analüütiliseks graafikuks (1748), Monge diferentsiaalgraafikuks (1795), J. Poncelet projektiivseks graafikuks (1822) ja geomeetrilise kujutamise õpetus (otseses seoses joonistamise ülesannetega) töötati välja veelgi varem (1799). ja Monge tõi süsteemi kirjeldava geomeetria kujul (vt kirjeldav geomeetria). Kõigis neis uutes distsipliinides jäid geomeetria alused (aksioomid, algkontseptsioonid) muutumatuks, samas laienes uuritavate kujundite ring ja nende omadused ning kasutatavad meetodid.

Neljas periood geomeetria arengus algab N. I. Lobatševski konstrueerimisega (vt Lobatševski) aastal 1826 uus, mitteeukleidiline geomeetria, mida nüüd nimetatakse Lobatševski geomeetriaks (vt Lobatševski geomeetria). Sõltumata Lobatševskist ehitas J. Bolyai 1832. aastal sama geomeetria (K. Gauss arendas samu ideid, kuid ta ei avaldanud neid). Lobatševski ideede allikas, olemus ja tähendus taanduvad järgmisele. Eukleidese geomeetrias on paralleelide aksioom, mis ütleb: "punkti kaudu, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata maksimaalselt ühe sirgega paralleelse sirge." Paljud geomeetrid on püüdnud seda aksioomi tõestada teiste Eukleidese geomeetria põhitingimuste põhjal, kuid edutult. Lobatševski jõudis järeldusele, et selline tõestus on võimatu. Eukleidese aksioomile vastandlik väide ütleb: "punkti kaudu, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata mitte ühe, vaid vähemalt kaks sellega paralleelset sirget." See on Lobatševski aksioom. Selle sätte lisamine teistele G. põhisätetele viib Lobatševski hinnangul loogiliselt laitmatute järeldusteni. Nende järelduste süsteem moodustab uue, mitteeukleidilise geomeetria.Lobatševski eelis seisneb selles, et ta mitte ainult ei väljendanud seda ideed, vaid tegelikult ehitas ja arendas kõikehõlmavalt välja uue geomeetria, mis on loogiliselt sama täiuslik ja järeldusterikas kui Eukleidiline geomeetria. , hoolimata selle vastuolust tavaliste visuaalsete esitustega. Lobatševski käsitles oma geomeetriat kui võimalikku ruumisuhete teooriat; see jäi aga hüpoteetiliseks kuni selle tegeliku tähenduse selgitamiseni (aastal 1868) ja seega anti selle täielik põhjendus (vt jaotist Geomeetria tõlgendused).

Lobatševski tekitatud revolutsioon geomeetrias ei jää oma olulisuselt alla ühelegi revolutsioonile loodusteadustes ja ilmaasjata kutsuti Lobatševskit "geomeetria Kopernikuks". Tema ideedes toodi välja kolm põhimõtet, mis määrasid geomeetriate uue arengu.Esimene põhimõte on see, et loogiliselt ei ole mõeldavad mitte ainult eukleidilised geomeetriad, vaid ka muud "geomeetriad". Teine põhimõte on uute geomeetriliste teooriate konstrueerimise põhimõte, muutes ja üldistades Eukleidilise G põhisätteid. Kolmas põhimõte on see, et geomeetrilise teooria tõde selles mõttes, et see vastab ruumi tegelikele omadustele, võib Seda saab kontrollida ainult füüsikaliste uuringute abil ja on võimalik, et sellised uuringud tõestavad selles mõttes eukleidilise G ebatäpsust. Kaasaegne füüsika on seda kinnitanud. Eukleidilise geomeetria matemaatiline täpsus ei lähe aga seetõttu kaotsi, kuna selle määrab selle G loogiline järjepidevus (järjepidevus). Samamoodi tuleb iga geomeetrilise teooria suhtes eristada nende füüsilist ja matemaatilist tõde; esimene seisneb kogemusega kontrollitud tegelikkuse vastavuses, teine ​​loogilises järjepidevuses. Lobatševski andis seega matemaatikafilosoofiale materialistliku lähenemise. Need üldpõhimõtted on mänginud olulist rolli mitte ainult matemaatikas, vaid ka matemaatikas üldiselt, selle aksiomaatilise meetodi väljatöötamisel ja selle seose mõistmisel tegelikkusega.

Lobatševski poolt alustatud geomeetria ajaloo uue perioodi põhijooneks on uute geomeetriliste teooriate – uute "geomeetriate" väljatöötamine ja geomeetria aine vastavas üldistuses; esile kerkib erinevat tüüpi “ruumide” mõiste (mõistel “ruum” on teaduses kaks tähendust: ühelt poolt on tegemist tavalise reaalruumiga, teisalt abstraktse “matemaatilise ruumiga”). Samal ajal kujunesid mõned teooriad eukleidilises geograafias selle eripeatükkide kujul ja omandasid alles siis iseseisva tähenduse. Nii tekkis projektiivne, afiinne, konformne geomeetria jt, mille teemaks on figuuride omadused, mis säilivad sobivate (projektiivsete, afiinsete, konformsete jne) teisenduste korral. Tekkis projektiivse, afiinse ja konformse ruumi mõiste; Eukleidilist geograafiat ennast hakati teatud mõttes pidama projektiivse geograafia juhiks. teooriad, nagu ka Lobatševski geomeetria, ehitati algusest peale üles eukleidilise geomeetria mõistete muutumise ja üldistamise alusel, nii tekkis näiteks mitmemõõtmeline geomeetria; esimesed sellega seotud tööd (G. Grassman ja A. Cayley, 1844) kujutasid endast tavapärase analüütilise gravitatsiooni formaalset üldistamist kolmest koordinaadist kuni n. Kõigi nende uute "geomeetriate" väljatöötamise tulemuse võttis 1872. aastal kokku F. Klein, näidates ära nende ehitamise üldpõhimõtte.

Põhimõttelise sammu astus B. Riemann (loeng 1854, ilmus 1867). Esiteks sõnastas ta selgelt üldistatud ruumikontseptsiooni mis tahes homogeensete objektide või nähtuste pideva kogumina (vt jaotist Geomeetria subjekti üldistus). Teiseks tutvustas ta ruumi mõistet mis tahes seadusega kauguste mõõtmiseks lõpmata väikeste sammudega (sarnaselt joone pikkuse mõõtmisele väga väikese skaalaga). Siit arenes välja tohutu Gruusia piirkond, nn. Riemanni geomeetria ja selle üldistused, mis on leidnud olulisi rakendusi relatiivsusteoorias, mehaanikas jne.

Veel üks näide. Gaasi olek kolvi all olevas silindris määratakse rõhu ja temperatuuriga. Seetõttu saab gaasi kõigi võimalike olekute kogumit esitada kahemõõtmelise ruumina. Selle "ruumi" "punktid" on gaasi olekud; "punktid" erinevad kahe "koordinaadi" - rõhu ja temperatuuri poolest, nagu ka tasapinna punktid erinevad oma koordinaatide väärtuste poolest. Pidevat olekumuutust tähistab selles ruumis joon.

Lisaks võib ette kujutada mis tahes materiaalset süsteemi - mehaanilist või füüsikalis-keemilist. Selle süsteemi kõigi võimalike olekute kogumit nimetatakse "faasiruumiks". Selle ruumi "punktid" on olekud ise. Kui süsteemi olek on määratletud n koguseid, siis ütleme, et süsteemil on n vabadusastmed. Need suurused mängivad punktoleku koordinaatide rolli, nagu gaasi näites, rõhk ja temperatuur mängisid koordinaatide rolli. Vastavalt sellele nimetatakse sellist süsteemi faasiruumi n-mõõtmeline. Olekumuutust kujutab selles ruumis joon; olekute üksikud piirkonnad, mis eristuvad ühe või teise tunnuse järgi, on faasiruumi piirkonnad ja piirkondade piirid on selle ruumi pinnad. Kui süsteemil on ainult kaks vabadusastet, siis saab selle olekuid esitada tasapinna punktidega. Seega gaasi olek rõhuga R ja temperatuur T mida esindab koordinaatidega punkt R ja T, ja gaasiga toimuvaid protsesse kujutatakse tasapinnal olevate joontega. See graafilise kujutamise meetod on hästi tuntud ning seda kasutatakse pidevalt füüsikas ja tehnoloogias protsesside ja nende seaduste visualiseerimiseks. Kuid kui vabadusastmete arv on suurem kui 3, muutub lihtne graafiline esitus (isegi ruumis) võimatuks. Seejärel kasutatakse kasulike geomeetriliste analoogiate säilitamiseks abstraktse faasiruumi kontseptsiooni. Seega kasvavad visuaalsed graafilised meetodid selliseks abstraktseks esituseks. Faasiruumi meetodit kasutatakse laialdaselt mehaanikas, teoreetilises füüsikas ja füüsikalises keemias. Mehaanikas kujutatakse mehaanilise süsteemi liikumist punkti liikumisega selle faasiruumis. Füüsikalises keemias on eriti oluline arvestada mitmest ainest koosneva süsteemi faasiruumi nende piirkondade kuju ja omavahelist külgnemist, mis vastavad kvalitatiivselt erinevatele olekutele. Neid piirkondi eraldavad pinnad on ühelt kvaliteedilt teisele ülemineku pinnad (sulamine, kristalliseerumine jne). Geomeetrias endas käsitletakse ka abstraktseid ruume, mille “punktideks” on kujundid; nii on määratletud ringide, sfääride, joonte jne "ruumid". Mehaanikas ja relatiivsusteoorias võetakse kasutusele ka abstraktne neljamõõtmeline ruum, lisades neljanda koordinaadina kolmele ruumikoordinaadile aega. See tähendab, et sündmusi tuleb eristada mitte ainult asukoha järgi ruumis, vaid ka ajas.

Nii saab selgeks, kuidas üldistatud ruumikontseptsiooni alla saab tuua erinevate objektide, nähtuste ja olekute pidevaid kogumeid. Sellises ruumis saab tõmmata "jooni", mis kujutavad pidevaid nähtuste (olekute) jadasid, joonistada "pindu" ja määrata sobival viisil "punktide vahemaad", andes seeläbi kvantitatiivse väljenduse füüsilise kontseptsiooni astmest. vastavate nähtuste (olekute) erinevus jne. Nii tekibki analoogselt tavalise geomeetriaga abstraktse ruumi "geomeetria"; viimane võib isegi vähe sarnaneda tavaruumiga, olles näiteks oma geomeetrilistelt omadustelt ebahomogeenne ja lõplik, nagu ebaühtlaselt kaarjas suletud pind.

Geoloogia teemaks üldistatud tähenduses ei ole mitte ainult ruumivormid ja suhted, vaid kõik vormid ja suhted, mis nende sisust abstraheerituna osutuvad sarnasteks tavaliste ruumivormide ja suhetega. Neid ruumisarnaseid reaalsuse vorme nimetatakse "ruumideks" ja "figuurideks". Ruum on selles mõttes homogeensete objektide, nähtuste, olekute pidev kogum, mis mängivad ruumis punktide rolli ja selles kogumis on tavaliste ruumisuhetega sarnased suhted, nagu näiteks punktide vaheline kaugus, võrdsus. figuuridest jne. (figuur on üldiselt ruumi osa). G. käsitleb neid reaalsuse vorme abstraktselt konkreetsest sisust, samas kui konkreetsete vormide ja suhete uurimine seoses nende kvalitatiivselt ainulaadse sisuga on teiste teaduste teema ja G. on nende jaoks meetod. Eeskujuks võib olla mis tahes abstraktse geomeetria rakendus, isegi kui ülaltoodud rakendus n-mõõtmeline ruum füüsikalises keemias. G.-le on iseloomulik selline lähenemine objektile, mis seisneb tavapäraste geomeetriliste mõistete ja visuaalsete esituste üldistamises ja ülekandmises uutele objektidele. Täpselt nii tehakse ka ülaltoodud näidetes värvide ruumi jms kohta. See geomeetriline lähenemine pole sugugi puhas konventsioon, vaid vastab nähtuste olemusele. Kuid sageli saab samu tegelikke fakte esitada analüütiliselt või geomeetriliselt, nii nagu sama sõltuvuse saab anda võrrandi või joonega graafikul.

Geomeetria arengut ei tohiks aga kujutada nii, et see ainult registreerib ja kirjeldab geomeetrilises keeles juba praktikas kohatud vorme ja seoseid sarnaselt ruumilistele. Tegelikkuses määratleb geomeetria uusi ruume ja nendes olevaid figuure laiemalt, lähtudes visuaalse geomeetria andmete ja juba väljakujunenud geomeetriliste teooriate analüüsist ja üldistamisest. Abstraktses definitsioonis esinevad need ruumid ja kujundid reaalsuse võimalike vormidena. Seetõttu ei ole need puhtalt spekulatiivsed konstruktsioonid, vaid peaksid lõpuks toimima tõeliste faktide uurimise ja kirjeldamise vahendina. Lobatševski, luues oma geomeetriat, pidas seda võimalikuks ruumisuhete teooriaks. Ja nii nagu tema geomeetriat põhjendati selle loogilise järjepidevuse ja loodusnähtustele rakendatavuse mõttes, läbib iga abstraktne geomeetria teooria sama topelttesti. Loogilise järjepidevuse kontrollimiseks on hädavajalik uute ruumide matemaatiliste mudelite koostamise meetod. Kuid teaduses juurduvad lõpuks ainult need abstraktsed mõisted, mida õigustavad nii tehismudeli konstrueerimine kui ka rakendused, kui mitte otseselt loodusteaduses ja tehnoloogias, siis vähemalt teistes matemaatilistes teooriates, mille kaudu need mõisted on kuidagi seotud tegelikkus. Lihtsus, millega matemaatikud ja füüsikud praegu erinevate "ruumidega" opereerivad, on saavutatud geomeetria pika arengu tulemusena tihedas seoses matemaatika kui terviku ja teiste täppisteaduste arenguga. Just selle arengu tulemusena kujunes välja ja omandas suure tähenduse ka artikli alguses antud üldises määratluses märgitud geograafia teine ​​pool: vormidega sarnaste vormide ja suhete uurimise kaasamine geograafiasse. ja suhted tavaruumis.

Abstraktse geomeetrilise teooria näitena võib käsitleda G. n-mõõtmeline eukleidiline ruum. See on konstrueeritud tavalise geomeetria põhisätete lihtsa üldistamisega ja selleks on mitu võimalust: võib näiteks üldistada tavageomeetria aksioome, aga võib lähtuda ka punktide määramisest koordinaatide järgi. Teise lähenemisega n-mõõtmeline ruum on määratletud kui (iga) poolt antud element-punktide kogum n numbrid x 1, x2,…, xn, mis asuvad kindlas järjekorras, - punktide koordinaadid. Lisaks punktide vaheline kaugus X \u003d (x 1, x 2, ..., xn) ja X"= (x’ 1, x’ 2,…, x’ n) määratakse järgmise valemiga:

mis on kolmemõõtmelise ruumi üldtuntud kauguse valemi otsene üldistus. Liikumist defineeritakse kui kujundi teisendust, mis ei muuda selle punktide vahelisi kaugusi. Siis teema n-mõõtmeline geomeetria on defineeritud kui figuuride nende omaduste uurimine, mis liikumise ajal ei muutu. Selle põhjal mõisted sirgjoon, erineva mõõtmetega tasapinnad kahest kuni n-1, palli kohta jne. See. tekkimas on sisult rikas teooria, mis on paljuski sarnane tavalisele eukleidilisele geomeetriale, kuid paljuski sellest erinev. Tihti juhtub, et kolmemõõtmelise ruumi kohta saadud tulemused on sobivate muudatustega hõlpsasti ülekantavad mis tahes mõõtmetega ruumi. Näiteks teoreem, et kõigi sama ruumalaga kehade hulgas on kuul väikseima pindalaga, loetakse sõna-sõnalt samamoodi mis tahes mõõtmete ruumis [peate lihtsalt meeles pidama n- mõõtmete ruumala, ( n-1)-mõõtmeline pindala ja n-mõõtmeline kuul, mis on defineeritud üsna analoogselt vastavate tavagravitatsiooni mõistetega]. Järgmisena sisse n-mõõtmeline ruum, prisma ruumala võrdub aluse pindala ja kõrguse korrutisega ning püramiidi ruumala on võrdne sellise korrutisega jagatud n. Selliseid näiteid võiks jätkata. Teisest küljest leitakse kvalitatiivselt uusi fakte ka mitmemõõtmelistes ruumides.

Geomeetria tõlgendused. Sama geomeetriline teooria võimaldab erinevaid rakendusi, erinevaid tõlgendusi (teostusi, mudeleid või tõlgendusi). Igasugune teooria rakendamine ei ole midagi muud kui mõne selle järelduse realiseerimine vastavas nähtuste valdkonnas.

Erinevate rakenduste võimalus on iga matemaatilise teooria ühine omadus. Seega realiseeritakse aritmeetilised seosed kõige erinevamate objektide kogumitel; sama võrrand kirjeldab sageli täiesti erinevaid nähtusi. Matemaatika käsitleb ainult nähtuse vormi, abstraheerides sisust ja vormi seisukohalt osutuvad sageli sarnaseks paljud kvalitatiivselt erinevad nähtused. Matemaatika ja eriti geomeetria rakenduste mitmekesisuse tagab just selle abstraktne iseloom. Arvatakse, et teatud objektide süsteem (nähtuste väli) tagab teooria realiseerimise, kui selle objektivälja suhteid on võimalik teooria keeles kirjeldada nii, et teooria iga väide väljendab ühte. või muu vaatlusaluses piirkonnas aset leidev asjaolu. Eelkõige, kui teooria on üles ehitatud teatud aksioomide süsteemi alusel, siis selle teooria tõlgendamine seisneb selle mõistete sellises võrdlemises teatud objektide ja nende suhetega, milles aksioomid on nende objektide puhul rahuldatud.

Eukleidese G. tekkis tegelikkuse faktide peegeldusena. Gravitatsioonile kui matemaatilisele teooriale eelneb selle tavaline tõlgendus, kus venitatud niite peetakse sirgeks, mehaaniliseks liikumiseks jne. Teiste tõlgenduste küsimust ei tõstatatud ega saanudki tõstatada enne, kui tekkis abstraktsem arusaam geomeetriast. Lobatševski lõi mitteeukleidilise geomeetria võimaliku geomeetriana ja siis tekkis küsimus selle tegeliku tõlgendamise kohta. Selle ülesande lahendas 1868. aastal E. Beltrami, kes märkas, et Lobatševski geomeetria ühtib püsiva negatiivse kumerusega pindade sisegeomeetriaga, st Lobatševski geomeetria teoreemid kirjeldavad geomeetrilisi fakte sellistel pindadel (antud juhul on sirgjoonte roll mida mängivad geodeetilised jooned ja rolliliigutused – pinna painutamine enda poole). Kuna samal ajal on selline pind eukleidilise geomeetria objekt, siis selgus, et Lobatševski geomeetriat tõlgendatakse Eukleidese geomeetria kaudu. Seega tõestati Lobatševski geomeetria järjepidevus, kuna selles sisalduv vastuolu tooks selle tõlgenduse tõttu kaasa vastuolu Eukleidese geomeetrias.

Nii saab selgeks geomeetria teooria tõlgenduse kahetähendus - füüsikaline ja matemaatiline. Kui räägime tõlgendamisest konkreetsetel objektidel, siis saame teooria tõesuse eksperimentaalse tõestuse (muidugi vastava täpsusega); kui objektidel endil on abstraktne iseloom (nagu geomeetriline pind Eukleidese geomeetria raames), siis seostub teooria mõne teise matemaatilise teooriaga, antud juhul eukleidilise geomeetriaga ja selle kaudu ka selles kokku võetud katseandmetega. Ühe matemaatilise teooria selline tõlgendamine teise abil on muutunud matemaatiliseks meetodiks uute teooriate põhjendamiseks, meetodiks nende järjepidevuse tõestamiseks, kuna vastuolu uues teoorias tekitaks vastuolu selles teoorias, milles seda tõlgendatakse. Kuid teooria, mille järgi tõlgendus tehakse, vajab omakorda põhjendamist. Seetõttu ei kõrvalda näidatud matemaatiline meetod tõsiasja, et praktika jääb matemaatiliste teooriate lõplikuks tõekriteeriumiks. Praegu tõlgendatakse geomeetrilisi teooriaid kõige sagedamini analüütiliselt; näiteks Lobatševski tasapinna punkte saab seostada arvupaaridega X ja juures, sirgjooned – määrata võrranditega jne. See meetod õigustab teooriat, sest matemaatiline analüüs ise on lõppkokkuvõttes põhjendatud selle ulatusliku praktikaga.

kaasaegne geomeetria. Kaasaegses matemaatikas aktsepteeritud ruumi ja kujundi mõistete formaalne matemaatiline definitsioon lähtub hulga mõistest (vt hulgateooria). Ruumi määratletakse kui mis tahes elementide ("punktide") kogumit tingimusel, et selles komplektis luuakse mõned suhted, mis on sarnased tavaliste ruumisuhetega. Värvide komplekt, füüsilise süsteemi olekute komplekt, segmendil määratletud pidevate funktsioonide komplekt jne. moodustavad ruumid, kus punktid on värvid, olekud, funktsioonid. Täpsemalt mõistetakse neid hulki ruumidena, kui neis on fikseeritud vaid vastavad seosed, näiteks punktide vaheline kaugus ning need omadused ja seosed, mis nende kaudu on määratud. Seega saab funktsioonide vahelise kauguse määratleda nende erinevuse absoluutväärtuse maksimumina: max| f(x)-g(x)| . Figuuri määratletakse kui suvalist punktide kogumit antud ruumis. (Mõnikord on ruum elementide kogumite süsteem. Näiteks projektiivses geomeetrias on tavaks lugeda punkte, sirgeid ja tasapindu võrdseteks algsete geomeetriliste objektidena, mida ühendavad “ühenduse” seosed.)

Peamised suhete tüübid, mis erinevates kombinatsioonides viivad kaasaegse geomeetria mitmesugustele "ruumidele", on järgmised:

1) Üldised seosed, mis igas hulgas eksisteerivad, on kuuluvus- ja kaasamissuhted: punkt kuulub hulka ja üks hulk on osa teisest. Kui arvestada ainult neid seoseid, siis ei ole hulgal "geomeetriat" veel määratletud, see ei muutu ruumiks. Kui aga valida mingid erikujud (punktide komplektid), siis saab ruumi "geomeetria" määrata punktide nende kujunditega ühendamise seaduste järgi. Sellist rolli mängivad kombinatsiooni aksioomid elementaar-, afiin- ja projektiivses geomeetrias; siin toimivad jooned ja tasapinnad spetsiaalsete komplektidena.

Sama erihulkade valimise põhimõte võimaldab määratleda topoloogilise ruumi mõiste - ruumi, milles punktide "naabruskonnad" on erihulgana välja toodud (tingimusel, et punkt kuulub oma naabrusse ja igal punktil on vähemalt üks naabruskond; naabruskondadele täiendavate nõuete kehtestamine määrab ühe või teise topoloogilise ruumi tüübi). Kui antud punkti mis tahes naabruses on ühiseid punkte mõne hulgaga, siis nimetatakse sellist punkti selle hulga kokkupuutepunktiks. Kahte komplekti võib nimetada puudutavateks, kui vähemalt üks neist sisaldab teise kokkupuutepunkte; ruum või kujund on pidev või, nagu öeldakse, ühendatud, kui seda ei saa jagada kaheks mittekülgnevaks osaks; teisendus on pidev, kui see kontakti ei katkesta. Seega toimib topoloogilise ruumi mõiste järjepidevuse mõiste matemaatilise väljendina. [Topoloogilist ruumi saab defineerida ka teiste erihulkadega (suletud, avatud) või otse puutujaseosega, milles mis tahes punktide hulk on seotud selle puutujapunktidega.] Topoloogilised ruumid kui sellised, neis sisalduvad hulgad ja nende teisendused. on topoloogia teema. Geomeetria põhiaineks on (suurel määral) täiendavate omadustega topoloogiliste ruumide ja figuuride uurimine neis.

2) Teatud ruumide määramise ja nende uurimise tähtsuselt teine ​​põhimõte on koordinaatide kasutuselevõtt. Kollektor on (ühendatud) topoloogiline ruum iga punkti naabruses, mille koordinaate saab sisestada, asetades naabruskonna punktid üks-ühele ja vastastikku pidevasse vastavusse süsteemidega alates n reaalarvud x 1, x 2,(, xn. Number n on kollektori mõõtmete arv. Enamikus geomeetrilistes teooriates uuritud ruumid on kollektorid; kõige lihtsamad geomeetrilised kujundid (lõigud, kõveratega piiratud pindade osad jne) on tavaliselt kollektoritükid. Kui kõigi kollektori tükkidesse sisestatavate koordinaatsüsteemide hulgas eristatakse selliseid koordinaatsüsteeme, et ühed koordinaadid on väljendatud teistes diferentseeruvate (ühe või teise arvu kordi) või analüütiliste funktsioonidega, siis me saada nn. sile (analüütiline) kollektor. See kontseptsioon üldistab sileda pinna visuaalset esitust. Siledad kollektorid kui sellised on teemaks nö. diferentsiaalne topoloogia. Õiges G. on neil lisaomadused. Koordinaadid nende teisenduste diferentseeritavuse aktsepteeritud tingimusega loovad aluse analüütiliste meetodite – diferentsiaal- ja integraalarvutuse, aga ka vektor- ja tensoranalüüsi – laialdaseks kasutamiseks (vt Vektorarvutus, Tensorarvutus). Nende meetoditega välja töötatud geoloogiateooriate kogum moodustab üldise diferentsiaalgeograafia; selle lihtsaim juhtum on klassikaline sujuvate kõverate ja pindade teooria, mis pole muud kui ühe- ja kahemõõtmelised diferentseeruvad kollektorid.

3) Liikumise kui ühe kujundi teisendamise mõiste üldistamine viib erinevate ruumide määratlemise üldpõhimõtteni, kui ruum on elementide (punktide) kogum, milles üks-ühele teisenduste rühm see komplekt iseendale on antud. Sellise ruumi "geomeetria" seisneb figuuride nende omaduste uurimises, mis säilivad selle rühma teisenduste käigus. Seetõttu võib sellise geomeetria seisukohalt figuuri pidada "võrdseks", kui üks läheb antud rühmast teisenduse kaudu teiseks. Näiteks eukleidiline geomeetria uurib liikumiste korral säilivate kujundite omadusi, afiinne geomeetria afiinsete teisenduste korral säilinud kujundite omadusi ja topoloogia uurib kujundite omadusi, mis säilivad mis tahes üks-ühele ja pidevate teisenduste korral. . Sama skeem hõlmab Lobatševski geomeetriat, projektiivseid geomeetriaid jm.Tegelikult on see põhimõte kombineeritud koordinaatide kasutuselevõtuga. Ruumi defineeritakse kui sujuvat kollektorit, milles teisendused on määratletud funktsioonidega, mis seovad iga antud punkti ja selle punkti koordinaate, kuhu see läheb (punkti kujutise koordinaadid on määratletud punkti enda koordinaatide funktsioonidena ja parameetrid, millest teisendus sõltub; näiteks afiinsed teisendused on määratletud kui lineaarsed: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a x n, i = 1, …, n). Seetõttu on selliste "geomeetriate" väljatöötamise üldaparaat pidevate teisenduste rühmade teooria. Võimalik on ka teine, sisuliselt samaväärne vaatenurk, mille järgi ei täpsustata ruumiteisendusi, vaid selles olevaid koordinaatide teisendusi ning uuritakse neid kujundite omadusi, mis väljenduvad erinevates koordinaatsüsteemides võrdselt. See vaatenurk on leidnud rakendust relatiivsusteoorias, mis nõuab erinevates koordinaatsüsteemides, mida füüsikas nimetatakse tugiraamideks, sama füüsikaseaduste väljendamist.

4) Teine ruumide määratlemise üldpõhimõte, millele Riemanni 1854. aastal osutas, lähtub kauguse mõiste üldistusest. Riemanni järgi on ruum sujuv kollektor, milles kauguste, täpsemalt pikkuste mõõtmise seadus on seatud lõpmata väikeste sammudega, st kõvera kaare pikkuse diferentsiaal seatakse funktsioonina kõvera kaare koordinaatidest. kõvera punkt ja nende diferentsiaalid. See on pindade sisegeomeetria üldistus, mille Gauss on määratlenud kui pindade omaduste uurimist, mille saab kindlaks teha sellel olevate kõverate pikkuste mõõtmisega. Lihtsaim juhtum on esindatud nn. Riemanni ruumid, milles Pythagorase teoreem kehtib lõpmatult väikeses (st iga punkti naabruses saab sisestada koordinaadid nii, et selles punktis on kaare pikkuse diferentsiaali ruut võrdne punktide summaga koordinaatide diferentsiaalide ruudud, suvalistes koordinaatides väljendatakse seda üldise positiivse ruutvormiga, vt Riemanni geomeetriad (vt Riemanni geomeetria)). Selline ruum on seega lõpmatuseni eukleidiline, kuid üldiselt ei pruugi see olla eukleidiline, nii nagu kõverat pinda saab vastava täpsusega taandada ainult lõpmatuseni tasapinnaks. Eukleidese ja Lobatševski geomeetriad osutuvad selle Riemanni G erijuhtumiks. Kauguse mõiste kõige laiem üldistus viis üldise meetrilise ruumi kontseptsioonini kui sellise elementide kogumina, milles on ette antud "meetria", mille nn kauguse mõiste on kõige laiem. st igale elementide paarile omistatakse number – nendevaheline kaugus, alluvad vaid väga üldistele tingimustele. See idee mängib olulist rolli funktsionaalses analüüsis ja on mõnede uusimate geomeetriliste teooriate aluseks, näiteks mittesiledate pindade sisemine piir ja vastavad Riemanni piiri üldistused.

5) Riemanni idee "geomeetria" määratluse kohta kollektori lõpmata väikestel aladel kombineerimine "geomeetria" määratlusega teisenduste rühma abil viis (E. Cartan, 1922-25) kontseptsioonini a. ruum, milles teisendusi antakse ainult lõpmatult väikestel aladel; teisisõnu, siin loovad teisendused seose ainult lõpmatult lähedaste kollektori tükkide vahel: üks tükk muundub teiseks, lõpmatult lähedaseks. Seetõttu räägitakse ühte või teist tüüpi "ühendusega" ruumidest. Eelkõige on Riemanni ruumid "eukleidilise ühendusega". Edasised üldistused naasevad ruumi kui sujuva kollektori mõiste juurde, millel on üldiselt antud mingi "objekti" "väli", mis võib olla ruutvorm, nagu Riemanni geomeetrias, suuruste kogum, mis määrab seose. , üks või teine ​​tensor jne Siia kuuluvad ka hiljuti kasutusele võetud nn. kihilised ruumid. Nende mõistete hulka kuulub eelkõige relatiivsusteooriaga seotud Riemanni geomeetria üldistus, kui vaadeldakse ruume, kus mõõdikut ei anna enam positiivne, vaid vahelduv ruutvorm (sellisi ruume nimetatakse ka Riemanni või pseudo ruumideks). -Riemanni keel, kui neid tahetakse eristada riemanni algses tähenduses). Need ruumid on vastava rühma poolt määratletud ühendusega ruumid, mis erinevad eukleidiliste liikumiste rühmast.

Relatiivsusteooria põhjal tekkis ruumide teooria, milles on määratletud punktide järjestuse mõiste, nii et iga punkt X vastused seatud V(X) sellele järgnevad punktid. (See on sündmuste jada loomulik matemaatiline üldistus, mille määrab asjaolu, et sündmus Y jälgib sündmust x, kui X mõjutab jah ja siis Y järgneb X ajas mis tahes võrdlusraamistikus.) Kuna juba komplektide määramine V määratleb järgmised punktid x, komplekti kuuluvana V(X), siis osutub seda tüüpi ruumide määratlus ülalloetletud põhimõtete esimese rakendamiseks, kui ruumi "geomeetria" määratakse spetsiaalsete komplektide valikuga. Muidugi, kuigi paljud V peavad kehtima vastavad tingimused; lihtsaimal juhul on need kumerad koonused. See teooria hõlmab vastavate pseudo-Riemanni ruumide teooriat.

6) Aksiomaatiline meetod oma puhtal kujul on nüüd mõeldud kas valmisteooriate formuleerimiseks või üldiste ruumitüüpide kindlaksmääramiseks eristuvate erihulkadega. Kui defineerida üht või teist tüüpi spetsiifilisemaid ruume, formuleerides nende omadused aksioomidena, siis kasutatakse kas koordinaate või mõõdikut vms. Aksiomaatilise teooria järjepidevust ja seega ka mõttekust kontrollitakse, näidates ära mudeli, millel see realiseeritakse. , nagu esmakordselt tehti Lobatševski geomeetria jaoks. Mudel ise on üles ehitatud abstraktsetest matemaatilistest objektidest, seega läheb mistahes geomeetriliste teooriate "lõplik põhjendus" matemaatika aluste valdkonda üldiselt, mis ei saa olla täielikus tähenduses lõplik, vaid nõuab süvenemist (vt matemaatika, aksiomaatiline meetod). ).

Need põhimõtted erinevates kombinatsioonides ja variatsioonides annavad alust väga erinevatele geomeetrilistele teooriatele. Igaühe olulisuse ja probleemidele tähelepanu pööramise määravad nende ülesannete sisu ja saadud tulemused, selle seosed teiste geomeetriateooriate, teiste matemaatika valdkondadega, täppisloodusteadusega ja nende probleemidega. tehnoloogia. Iga antud geomeetriline teooria on määratletud teiste geomeetriliste teooriate hulgas, esiteks selle järgi, millist ruumi või mis tüüpi ruumi see käsitleb. Teiseks sisaldab teooria definitsioon viidet uuritavatele arvudele. Nii eristatakse polüheedrite, kõverate, pindade, kumerate kehade jms teooriaid. Kõik need teooriad võivad areneda konkreetses ruumis. Näiteks võib vaadelda polüheedrite teooriat tavalises eukleidilises ruumis n-dimensiooniline eukleidiline ruum, Lobatševski ruumis jne Võimalik arendada tavalist pindade teooriat, projektiivset, Lobatševski ruumis jne. Kolmandaks on oluline figuuride vaadeldavate omaduste olemus. Seega saab uurida pindade omadusi, mis säilivad teatud transformatsioonidel; võib eristada pindade kõveruse doktriini, paindeõpetust (st deformatsioonidest, mis ei muuda pinna kõverate pikkusi) ja sisemist G-d. Lõpuks võib teooria definitsiooni lisada ka selle doktriini. põhimeetod ja ülesannete sõnastamise olemus. G. eristatakse nii: elementaarne, analüütiline, diferentsiaal; näiteks võib rääkida Lobatševski ruumi elementaarsetest või analüütilistest geomeetriatest. G-d eristatakse "väikeses", mis võtab arvesse ainult geomeetrilise kujutise suvaliselt väikeste tükkide (kõver, pind, kollektor) omadusi, G-st "tervikuna", mis, nagu ka nimest selgub, on geomeetriline. pilte tervikuna kogu nende pikkuses. Väga üldiselt eristatakse analüütilisi meetodeid ja sünteetilise geomeetria meetodeid (või rangelt geomeetrilisi meetodeid); esimesed kasutavad vastava arvutuse vahendeid: diferentsiaal, tensor jne, teised opereerivad vahetult geomeetriliste kujutistega.

Kõigist erinevatest geomeetriliste teooriatest on tegelikult kõige arenenum n-mõõtmeline eukleidiline geomeetria ja Riemanni (sh pseudo-Riemanni) geomeetria.Esimeses arendatakse eelkõige kõverate ja pindade (ning erineva mõõtmete arvuga hüperpindade) teooriat, sile, klassikalises diferentsiaalgeomeetrias uuritud; see hõlmab ka polüeedreid (polühedralisi pindu). Siis on vaja nimetada kumerate kehade teooria, mis on aga suures osas omistatav pindade teooriale tervikuna, kuna. keha määratletakse selle pinna järgi. Järgmine on teooria regulaarsetest figuurisüsteemidest, st nendest, mis võimaldavad liigutusi, mis kannavad kogu süsteemi endasse ja mis tahes selle figuuri mis tahes teise (vt Fedorovi rühmad (vt Fedorovi rühm)). Võib märkida, et märkimisväärne osa olulisematest tulemustest neis valdkondades on tingitud Sov. geomeetrid: kumerate pindade teooria väga täielik edasiarendus ja üldiste mittekumerate pindade teooria oluline edasiarendus, mitmesugused teoreemid pindade kohta üldiselt (kumerpindade olemasolu ja ainulaadsus antud sisemeetriga või antud mõõdikuga või mõni muu "kõverusfunktsioon", teoreem täieliku kumerusega pinna olemasolu võimatuse kohta, igal pool vähem kui mingi negatiivne arv jne), ruumi õige jaotuse uurimine jne.

Riemanni ruumide teoorias uuritakse küsimusi, mis puudutavad nende meetriliste omaduste seost topoloogilise struktuuriga, geodeetiliste (väikestel lõikudel lühemate) joonte käitumist üldiselt, näiteks suletud geodeesia olemasolu küsimusi, küsimusi " keelekümblus", st etteantu realiseerimine n-mõõtmeline Riemanni ruum vormis n- mõõtmete pind eukleidilises ruumis mis tahes mõõtmetega, pseudo-Riemanni geomeetria küsimused, mis on seotud üldrelatiivsusteooriaga ja muud. G.

Lisaks tuleks mainida algebralist geomeetriat (vt Algebraline geomeetria), mis arenes välja analüütilisest geomeetriast ja uurib peamiselt algebraliste võrranditega määratletud geomeetrilisi kujutisi; sellel on eriline koht, sest hõlmab mitte ainult geomeetrilisi, vaid ka algebralisi ja aritmeetilisi ülesandeid. Samuti on olemas ulatuslik ja oluline lõpmatumõõtmeliste ruumide uurimisvaldkond, mis aga ei kuulu heterogeensuse kategooriasse, vaid kuulub funktsionaalanalüüsi, kuna Lõpmatu mõõtmega ruumid on konkreetselt määratletud kui ruumid, mille punktid on teatud funktsioonid. Sellegipoolest on selles valdkonnas palju tulemusi ja probleeme, mis on tõeliselt geomeetrilised ja mis seetõttu tuleks omistada G-le.

Geomeetria väärtus. Eukleidilise geomeetria kasutamine on kõige levinum nähtus kõikjal, kus määratakse alad, mahud jne. Kogu tehnoloogia, kuna selles mängivad rolli kehade kuju ja suurus, kasutab eukleidilist güroskoopiat. Kartograafia, geodeesia, astronoomia, kõik graafilised meetodid ja mehaanika on mõeldamatud ilma güroskoobita. Ilmekas näide on I. Kepleri avastus faktist et planeedid pöörlevad ellipsides; ta võis ära kasutada asjaolu, et ellipsi uurisid muistsed geomeetrid. Geomeetriline kristallograafia on geomeetrilise kristallograafia sügav rakendus, mis on olnud regulaarsete kujundite süsteemide teooria (vrd kristallograafia) allikaks ja rakendusalaks.

Abstraktsemaid geomeetrilisi teooriaid kasutatakse laialdaselt mehaanikas ja füüsikas, kui süsteemi olekute hulka vaadeldakse teatud ruumina (vt jaotist Geomeetria aine üldistus). Niisiis moodustavad mehaanilise süsteemi kõik võimalikud konfiguratsioonid (elementide vastastikune paigutus) "konfiguratsiooniruumi"; süsteemi liikumist kujutab punkti liikumine selles ruumis. Füüsikalise süsteemi kõigi olekute (lihtsamal juhul süsteemi moodustavate materiaalsete punktide, näiteks gaasimolekulide asukohad ja kiirused) kogumit käsitletakse süsteemi "faasiruumina". See vaatenurk leiab rakendust eelkõige statistilises füüsikas (vt. Statistiline füüsika) jne.

Esimest korda sündis mehaanikaga seoses mitmemõõtmelise ruumi kontseptsioon juba J. Lagrange’is, mil kolm ruumi. koordinaadid x, y, z aeg lisatakse formaalselt neljandana t. Nii tekibki neljamõõtmeline “aegruum”, kus punkt on määratud nelja koordinaadiga x, y, z, t. Iga sündmust iseloomustavad need neli koordinaati ja abstraktselt öeldes osutub kõigi maailma sündmuste kogum neljamõõtmeliseks ruumiks. See vaade kujunes välja H. Minkowski antud relatiivsusteooria geomeetrilises tõlgenduses ja hiljem A. Einsteini üldise relatiivsusteooria konstrueerimises. Selles kasutas ta neljamõõtmelist Riemanni (pseudo-Riemanni) geomeetriat, seega osutusid ruumikogemusest saadud andmete üldistamisest välja töötatud geomeetrilised teooriad matemaatiliseks meetodiks ruumi ja aja sügavama teooria konstrueerimiseks. Relatiivsusteooria andis omakorda võimsa tõuke üldiste geomeetriliste teooriate arengule. Olles tekkinud elementaarsest praktikast, naaseb geoloogia rea ​​abstraktsioonide ja üldistuste kaudu loodusteaduse ja praktika kui meetodi juurde kõrgemal tasemel.

Geomeetrilisest vaatenurgast käsitletakse aegruumi kollektorit üldrelatiivsusteoorias tavaliselt kui Riemanni tüüpi mittehomogeenset, kuid märgimuutuse vormiga määratud mõõdikuga, mis on taandatud lõpmata väikeses piirkonnas vormiks.

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(koos - valguse kiirus vaakumis). Ruum ise, kuna seda saab ajast eraldada, osutub samuti mittehomogeenseks Riemanniks. Kaasaegsest geomeetrilisest vaatenurgast on parem relatiivsusteooriat vaadelda järgmiselt. Spetsiaalne relatiivsusteooria väidab, et ruumi paljusus – aeg on pseudoeukleidiline ruum, s.t selline, milles "liikumiste" rolli mängivad ruutvormi säilitavad teisendused.

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

täpsemalt on tegemist ruumiga, mille teisenduste rühm säilitab määratud ruutvormi. Iga füüsikaseadust väljendav valem ei pea muutuma selle ruumi rühma teisenduste all, mis on nn Lorentzi teisendused. Üldrelatiivsusteooria järgi on aegruumi kollektor mittehomogeenne ja ainult igas “lõpmatult väikeses” piirkonnas taandub pseudoeukleidiliseks ehk tegemist on Cartani-tüüpi ruumiga (vt osa Kaasaegne geomeetria). Selline arusaam sai aga võimalikuks alles hiljem, sest. seda tüüpi ruumide mõiste tekkis pärast relatiivsusteooriat ja töötati välja selle otsesel mõjul.

Matemaatikas endas määrab geomeetria asendi ja rolli eelkõige see, et selle kaudu toodi matemaatikasse järjepidevus. Matemaatika kui teadus reaalsuse vormidest kohtab ennekõike kahte üldvormi: diskreetsust ja järjepidevust. Eraldi (diskreetsete) objektide arvestus annab aritmeetika, tühikud. G. uurib järjepidevust.Üks peamisi matemaatika arengut juhtivaid vastuolusid on kokkupõrge diskreetse ja pideva vahel. Isegi pidevate suuruste jagamine osadeks ja mõõtmine kujutavad endast diskreetse ja pideva võrdlust: näiteks skaala joonistatakse piki mõõdetavat lõiku eraldi sammudena. Vastuolu tuli ilmsiks. erilise selgusega, kui Vana-Kreekas (ilmselt 5. sajandil eKr) avastati ruudu külje ja diagonaali võrreldamatus: ruudu küljega 1 diagonaali pikkust ei väljendatud ühegi arvuga, sest irratsionaalarvu mõistet ei eksisteerinud. Vaja oli arvu mõiste üldistamist – irratsionaalarvu mõiste loomist (mida tehti Indias alles palju hiljem). Üldine irratsionaalarvude teooria loodi alles 70ndatel. 19. sajand Sirget (ja koos sellega ka iga kujundit) hakati käsitlema punktide kogumina. Nüüd on see vaatenurk domineeriv. Siiski näitasid hulgateooria raskused selle piiranguid. Diskreetse ja pideva vastuolu ei saa täielikult kõrvaldada.

Geomeetria üldine roll matemaatikas seisneb ka selles, et see on seotud täpse sünteetilise mõtlemisega, mis lähtub ruumilistest esitusviisidest ja võimaldab sageli analüüsi ja arvutustega saavutatut üldiselt katta vaid läbi pika sammude ahela. . Seega ei iseloomusta geomeetriat mitte ainult tema aine, vaid ka meetod, mis lähtub visuaalsetest esitustest ja osutub viljakaks paljude teiste matemaatika valdkondade ülesannete lahendamisel. G. omakorda kasutab nende meetodeid laialdaselt. Seega saab ühte ja sama matemaatilist probleemi sageli käsitleda kas analüütiliselt või geomeetriliselt või mõlemat meetodit kombineerides.

Teatud mõttes võib peaaegu kogu matemaatikat pidada algebra (algselt aritmeetika) ja geomeetria koostoimest arenevaks ning meetodi mõttes arvutuste ja geomeetriliste esituste kombinatsioonist. Seda on näha juba kõigi reaalarvude kogusumma kontseptsioonis arvude aritmeetilisi omadusi pidevusega ühendava arvujoonena. Siin on mõned G. mõju esiletõstmised matemaatikas.

1) Mehaanika kõrval oli analüüsi tekkimisel ja arengul määrav tähtsus geomeetrial. Integratsioon tuleneb iidsete teadlaste poolt alustatud pindalade ja mahtude leidmisest, pealegi peeti kindlateks pindala ja mahtu kui suurusi; integraali analüütilist määratlust ei antud kuni 19. sajandi esimese pooleni. Puutujate joonistamine oli üks probleeme, mis tekitas eristumise. Funktsioonide graafiline esitus mängis analüüsi mõistete väljatöötamisel olulist rolli ja säilitab oma tähtsuse. Analüüsi terminoloogias on selle mõistete geomeetriline allikas nähtav, näiteks terminites: "murdepunkt", "muutuja muutuste ulatus" jne. Esimene analüüsikursus, mille kirjutas 1696. aastal G. Lopital (vt Lopital), kandis nime: "Lõpmatu väike analüüs kõverate joonte mõistmiseks". Diferentsiaalvõrrandite teooriat tõlgendatakse enamasti geomeetriliselt (integraalkõverad jne). Variatsioonide arvutus See tekkis ja areneb suurel määral geomeetria probleemidest ning selle mõisted mängivad selles olulist rolli.

2) Lõplikult kehtestasid kompleksarvud matemaatikas 18.-19. sajandi vahetusel. ainult nende võrdlemise tulemusena tasandi punktidega, st "keerulise tasandi" konstrueerimisel. Keerulise muutuja funktsioonide teoorias mängivad geomeetrilised meetodid olulist rolli. Analüütilise funktsiooni kontseptsioon w = f(z) kompleksmuutuja saab defineerida puhtalt geomeetriliselt: selline funktsioon on tasandi konformne kaardistus z(või lennuki alad z) lennukis w. Riemanni geomeetria mõisted ja meetodid leiavad rakendust mitme kompleksse muutuja funktsioonide teoorias.

3) Funktsionaalanalüüsi põhiidee seisneb selles, et antud klassi funktsioone (näiteks kõiki intervallil defineeritud pidevaid funktsioone) käsitletakse "funktsionaalse ruumi" punktidena ja funktsioonide vahelisi seoseid tõlgendatakse geomeetrilistena. seosed vastavate punktide vahel (näiteks funktsioonide konvergentsi tõlgendatakse punktide koondumisena, funktsioonide erinevuse absoluutväärtuse maksimumina - kaugusena jne). Siis saavad paljud analüüsiküsimused geomeetrilise käsitluse, mis osutub paljudel juhtudel väga viljakaks. Üldiselt on teatud matemaatiliste objektide (funktsioonide, kujundite jne) kujutamine mingi ruumi punktidena koos nende objektide seoste vastava geomeetrilise tõlgendamisega tänapäeva matemaatika üks üldisemaid ja viljakamaid ideid, mis on tunginud peaaegu kõik selle sektsioonid.

4) G. mõjutab algebrat ja isegi aritmeetikat – arvuteooriat. Algebra kasutab näiteks vektorruumi mõistet. Arvuteoorias on loodud geomeetriline suund, mis võimaldab lahendada paljusid arvutusmeetodile vaevu alluvaid probleeme. Omakorda tuleks ära märkida ka graafilised arvutusmeetodid (vt Nomograafia) ning kaasaegse arvutus- ja arvutiteooria geomeetrilised meetodid.

5) Teooria aksiomaatika loogiline täiustamine ja analüüs mängis otsustavat rolli aksiomaatilise meetodi abstraktse vormi väljatöötamisel koos selle täieliku abstraktsiooniga aksiomatiseeritud teoorias esinevate objektide ja suhete olemusest. Sama materjali põhjal töötati välja aksioomide järjepidevuse, täielikkuse ja sõltumatuse mõisted.

Tervikuna on geomeetria ja teiste matemaatika valdkondade läbipõimumine nii tihe, et sageli osutuvad piirid tinglikeks ja seostuvateks ainult traditsiooniga. Geomeetriaga on peaaegu või üldse mitte seotud ainult sellised lõigud nagu abstraktne algebra, matemaatiline loogika ja mõned teised.

Lit.: Peamised klassikalised teosed. Eukleides, Algused, tlk. kreeka keelest, raamat. 1-15, M. - L., 1948-50; Descartes R., Geomeetria, tlk. ladina keelest., M. - L., 1938; Monge G., Analüüsi rakendused geomeetrias, tlk. prantsuse keelest, M. - L., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - R., 1822; Gauss KF, Kumerate pindade ülduuringud, tlk. saksa keelest, kogumikus: Geomeetria alustest, M., 1956; Lobachevsky N.I., Poln. koll. soch., v. 1-3, M. - L., 1946-51; Bolai Ya., Lisa. Taotlus,..., per. ladina keelest., M. - L., 1950; Riemann B., Geomeetria aluste hüpoteesidest, tlk. saksa keelest, kogumikus: Geomeetria alustest, M., 1956; Klein, F., A Comparative Review of Recent Geometrical Research ("Erlangeni programm"), ibid.; E. Kartan, Üldistatud ruumide holonoomiarühmad, tlk. prantsuse keelest, raamatus: VIII rahvusvaheline konkurss Nikolai Ivanovitš Lobatševski nimelisele auhinnale (1937), Kaasan, 1940; Hilbert D., Geomeetria alused, tlk. saksa keelest., M. - L., 1948.

Lugu. Kolman E., Matemaatika ajalugu antiikajal, M., 1961; Juskevitš A. P., Matemaatika ajalugu keskajal, M., 1961; Vileitner G., Matemaatika ajalugu Descartes'ist 19. sajandi keskpaigani, tlk. saksa keelest, 2. väljaanne, M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

b) Elementaarne geomeetria. Hadamard J., Elementaarne geomeetria, tlk. prantsuse keelest, 1. osa, 3. väljaanne, M., 1948, osa 2, M., 1938; Pogorelov A. V., elementaarne geomeetria, Moskva, 1969.

sisse) Analüütiline geomeetria. Aleksandrov P.S., Loengud analüütilisest geomeetriast..., M., 1968; Pogorelov A. V., Analüütiline geomeetria, 3. väljaanne, M., 1968.

e) Kirjeldav ja projektiivne geomeetria. Glagolev N. A., Kirjeldav geomeetria, 3. väljaanne, M. - L., 1953; Efimov N.V., Kõrgem geomeetria, 4. väljaanne, M., 1961.

e) Riemanni geomeetria ja selle üldistused. Rashevsky P.K., Riemanni geomeetria ja tensoranalüüs, 2. väljaanne, M. - L., 1964; Norden A. P., Afiinse ühenduse ruumid, M. - L., 1950; Cartan E., Riemanni ruumide geomeetria, tlk. prantsuse keelest, M. - L., 1936; Eisenhart L.P., Riemanni geomeetria, tlk. inglise keelest, M., 1948.

Mõned monograafiad geomeetriast. Fedorov ES, Kristallide sümmeetria ja struktuur. Põhiteosed, M., 1949; Aleksandrov A. D., Kumer polühedra, M. - L., 1950; tema, Kumerate pindade sisegeomeetria, M. - L., 1948; Pogorelov A. V., Kumerate pindade välisgeomeetria, Moskva, 1969; Buseman G., Geomeetria geomeetria, tlk. inglise keelest, M., 1962; tema, Kumerad pinnad, trans. inglise keelest, M., 1964; E. Kartan, Moving Frame Method, Theory of Continuous Groups and Generalized spaces, tlk. prantsuse keelest, M. - L., 1936; Finikov S. P., Cartani välisvormide meetod diferentsiaalgeomeetrias, M. - L., 1948; tema enda, Projektiiv-diferentsiaalgeomeetria, M. - L., 1937; tema oma, Kongruentside teooria, M. - L., 1950; Shouten I. A., Stroik D. J., Sissejuhatus diferentsiaalgeomeetria uutesse meetoditesse, tlk. inglise keelest, kd 1-2, M. - L., 1939-48; Nomizu K., Valerühmad ja diferentsiaalgeomeetria, tlk. inglise keelest, M., 1960; Milnor J., Morse Theory, tlk. inglise keelest, M., 1965.

Vene keele võõrsõnade sõnastik


    • 4. Näited probleemidest punktide asukohas

    1. Kaks ratast raadiusega r 1 ja r 2 veerevad mööda sirget l. Leidke nende ühiste sisepuutujate lõikepunktide M hulk.

    Lahendus: Olgu O 1 ja O 2 vastavalt raadiusega r 1 ja r 2 rataste keskpunktid. Kui M on sisemiste puutujate lõikepunkt, siis O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Sellest tingimusest on lihtne aru saada, et kaugus punktist M sirgeni l on võrdne 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Seetõttu asuvad kõik ühiste sisepuutujate lõikepunktid sirgjoonega l paralleelsel sirgel, mis on sellest 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2) kaugusel.

    2. Leia kahte antud punkti läbivate ringide keskpunktide asukoht.

    Lahendus: Laske ringjoonel keskpunktiga O läbida antud punkte A ja B. Kuna OA = OB (ühe ringi raadiustena), asub punkt O sirglõigu AB risti poolitajal. Ja vastupidi, iga punkt O, mis asub punkti AB risti poolitajal, on võrdsel kaugusel punktidest A ja B. Seega on punkt O punkte A ja B läbiva ringi keskpunkt.

    3. Pindala S nelinurga ABCD küljed AB ja CD ei ole paralleelsed. Leidke HMT X, mis asub nelinurga sees, mille puhul S ABX + S CDX = S/2.

    Lahendus: Olgu O sirgete AB ja CD lõikepunkt. Joonistame kiirtele OA ja OD lõigud OK ja OL, mis on võrdsed vastavalt AB ja CD. Siis S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL . Seetõttu on kolmnurga KXL pindala konstantne, st punkt X asub KL-ga paralleelsel sirgel.

    4. Tasapinnal on antud punktid A ja B. Leidke GMT M, mille puhul on lõikude AM ja BM pikkuste ruutude erinevus konstantne.

    Lahendus: Tutvustame koordinaatsüsteemi, valides lähtepunktiks punkti A ja suunates Ox-telje piki kiirt AB. Olgu punktil M koordinaadid (x, y). Siis AM 2 = x 2 + y 2 ja BM 2 = (x - a) 2 + y 2, kus a = AB. Seetõttu AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . See väärtus võrdub k-ga punktide M koordinaatidega ((a 2 + k)/2a, y); kõik sellised punktid asuvad sirgel, mis on risti AB-ga.

    5. Antud on ristkülik ABCD. Leidke GMT X, mille puhul AX + BX = CX + DX.

    Lahendus: Olgu l sirge, mis läbib külgede BC ja AD keskpunkte. Oletame, et punkt X ei asu sirgel l, näiteks punktid A ja X asuvad sirge l samal küljel. Siis AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

    6. Antud kaks sirget, mis lõikuvad punktis O. Leidke GMT X, mille puhul nendele sirgetele jäävate lõikude OX projektsioonide pikkuste summa on konstantne.

    Lahendus: Olgu a ja b antud sirgetega paralleelsed ühikvektorid; x on võrdne vektoriga x. Vektori x projektsioonide pikkuste summa antud sirgele on võrdne |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)| ja märgi muutus toimub punktist O püstitatud perpendikulaaridel antud sirgetele. Seetõttu on soovitud GMT ristkülik, mille küljed on paralleelsed antud sirgete vaheliste nurkade poolitajatega ja mille tipud asuvad näidatud ristkülikutel.

    7. Antud ringjoon S ja punkt M sellest väljaspool. Läbi punkti M tõmmatakse kõik võimalikud ringid S 1, mis ristuvad ringiga S; X - ringjoone S 1 puutuja lõikepunkt punktis M ringjoonte S ja S 1 ühise kõõlu jätkuga. Otsige üles GMT X.

    Lahendus: Olgu A ja B ringide S ja S 1 lõikepunktid. Siis XM 2 = XA . XB \u003d XO 2 - R 2, kus O ja R on ringi S keskpunkt ja raadius. Seetõttu XO 2 - XM 2 \u003d R 2, mis tähendab, et punktid X asuvad risti sirgega OM.

    8. Antud on kaks mittelõikavat ringi. Leia nende ringide keskpunktide asukoht, mis poolitavad antud ringjooni (st lõikavad neid diametraalselt vastupidistes punktides).

    Lahendus: Olgu O 1 ja O 2 nende ringide keskpunktid, R 1 ja R 2 on nende raadiused. Raadiusega r ring keskpunktiga X lõikab esimest ringjoont diametraalselt vastupidistes punktides siis ja ainult siis, kui r 2 \u003d XO 1 2 + R 1 2, seetõttu koosneb soovitud GMT punktidest X nii, et XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2, kõik sellised punkti X punktid asuvad sirgel, mis on risti O 1 O 2 -ga.

    9. Ringjoone sees on võetud punkt A. Leia kõigi punkti A sisaldavate võimalike kõõlude otste kaudu tõmmatud ringi puutujate lõikepunktide asukoht.

    Lahendus: Olgu O ringjoone keskpunkt, R selle raadius, M punkti A sisaldava kõõlu otste kaudu tõmmatud puutujate lõikepunkt, P selle kõõlu keskpunkt. Siis OP * OM = R 2 ja OP = OA cos f, kus f = AOP. Seetõttu AM 2 \u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2, mis tähendab, et OM 2 - AM 2 \u003d 2R 2 - OA 2 väärtus on konstantne. Seetõttu asuvad kõik punkti M punktid sirgel, mis on risti OA-ga.

    10. Leidke nende punktide M asukoht, mis asuvad rombi ABCD sees ja millel on omadus, et AMD + BMC = 180 o .

    Lahendus: Olgu N punkt, mille vektorid MN = DA. Siis NAM = DMA ja NBM = BMC, seega on AMBN sissekirjutatud nelinurk. Sissekirjutatud nelinurga AMBN diagonaalid on võrdsed, seega AM| BN või BM| AN. Esimesel juhul AMD = MAN = AMB ja teisel juhul BMC = MBN = BMA. Kui AMB = AMD, siis AMB + BMC = 180 o ja punkt M asub diagonaalil AC ning kui BMA = BMC, siis punkt M asub diagonaalil BD. Samuti on selge, et kui punkt M asub ühel diagonaalil, siis AMD + BMC = 180 o .

    11. a) Antud rööpkülik ABCD. Tõesta, et suurus AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 ei sõltu punkti X valikust.

    b) Nelinurk ABCD ei ole rööpkülik. Tõesta, et kõik X punktid, mis rahuldavad seost AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2, asuvad samal sirgel, mis on risti diagonaalide keskpunkte ühendava lõiguga.

    Lahendus: Olgu P ja Q diagonaalide AC ja BD keskpunktid. Siis AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 ja BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, seega ülesandes b) koosneb soovitud HMT punktidest X nii, et PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4 ja ülesandes a) P = Q, seega on vaadeldav suurus võrdne (BD 2 - AC 2)/2.


    Kirjandus

    1. Pogorelov A.V. Geomeetria: Õpik haridusasutuste 7-9 klassile. - M.: Valgustus, 2000, lk. 61.

    2. Savin A.P. Geomeetriliste kohtade meetod / Matemaatika valikkursus: Õpik gümnaasiumi 7.-9. Comp. I.L. Nikolskaja. - M .: Haridus, 1991, lk. 74.

    3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geomeetria: Õpik haridusasutuste 7-9 klassile. – M.: Mnemosyne, 2005, lk. 84.

    4. Sharygin I.F. Geomeetria. 7.-9. klass: Õpik üldharidusasutustele. – M.: Bustard, 1997, lk. 76.

    5. Interneti-ressurss: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm





    Interaktsioonide informatiivne põhjuslikkus (entroopia neutraliseerimine), mis on seotud järjestusastmete peegeldusprotsessidega (ergastused), universaalse aegruumi suhete süsteemi omamisega, eraldab "absoluutse kvanti" füüsikalise olemuse fenomenaalseks nähtuseks. See võib olla selle esialgse toimeaine ootamatu materiaalne kehastus, mille objektiivne idealism, ...


    Sellise lõigu Q(y) on võrdne, kus y eeldatakse integreerimise ajal konstantseks. Integreerides seejärel Q(y) y vahemikku, st c-st d-ni, jõuame topeltintegraali (B) teise avaldiseni. Siin teostatakse integreerimine esmalt üle x ja seejärel üle y. .Valemid (A) ja (B) näitavad, et topeltintegraali arvutamine taandatakse kahe tavalise ...

    Geomeetria on teadus, mis uurib objektide ruumisuhteid ja kujundeid.

    Eukleidiline geomeetria on geomeetriline teooria, mis põhineb aksioomide süsteemil, mis on esmakordselt esitatud Eukleidese elementides.

    Lobatševski geomeetria (hüperboolne geomeetria)- üks mitteeukleidilistest geomeetriatest, geomeetriline teooria, mis põhineb samadel põhitingimustel nagu tavaline eukleidiline geomeetria, välja arvatud paralleelsete joonte aksioom, mis asendatakse Lobatševski paralleelsete joonte aksioomiga.

    Sirget, mis on ühest otsast piiratud ja teisest otsast piiramata, nimetatakse kiireks.

    Mõlemalt poolt piiratud sirge osa nimetatakse lõiguks.

    Süstimine- See on geomeetriline kujund, mis on moodustatud ühest punktist (nurga tipust) lähtuvast kahest kiirest (nurga küljest). Nurga mõõtmiseks kasutatakse kahte ühikut: radiaani ja kraadi. Nurka 90° nimetatakse täisnurgaks; nurka alla 90° nimetatakse teravnurgaks; Nurka, mis on suurem kui 90°, nimetatakse nürinurgaks.

    Kõrvuti asetsevad nurgad on nurgad, millel on ühine tipp ja ühine külg; ülejäänud kaks külge on üksteise pikendused. Külgnevate nurkade summa on 180°. Vertikaalsed nurgad on kaks ühise tipuga nurka, milles ühe küljed on teise külje pikendused.

    Nurgapoolitaja nimetatakse kiireks, mis poolitab nurga.

    Kahte sirget nimetatakse paralleelseks, kui nad asuvad samal tasapinnal ega ristu, olenemata sellest, kui kaua neid jätkatakse. Kõik ühe sirgega paralleelsed sirged on üksteisega paralleelsed. Kõik sama sirge ristid on üksteisega paralleelsed ja vastupidi, ühe paralleelse sirgega risti olev sirge on risti teistega. Kahe paralleelse sirge vahele jääva risti lõigu pikkus on nendevaheline kaugus. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, moodustub kaheksa nurka, mida nimetatakse paariks: vastavad nurgad (need nurgad on paarikaupa võrdsed); sisemised risti lamamisnurgad (need on paarides võrdsed); välised risti lamamisnurgad (need on paarides võrdsed); sisemised ühepoolsed nurgad (nende summa on 180°); välised ühepoolsed nurgad (nende summa on 180°).

    Thalese teoreem. Kui nurga külgi lõikavad paralleelsed jooned, jagatakse nurga küljed proportsionaalseteks segmentideks.

    Geomeetria aksioomid. Kuuluvuse aksioom: tasandi kahe punkti kaudu saab tõmmata sirge ja pealegi ainult ühe. Järjekorraaksioom: mis tahes kolme joonel asuva punkti hulgas on kõige rohkem üks punkt, mis asub kahe teise punkti vahel.

    Kongruentsi aksioom (võrdsus) segmendid ja nurgad: kui kaks lõiku (nurka) on kolmandaga kongruentsed, siis on nad omavahel kongruentsed. Paralleelsete sirgete aksioom: läbi mis tahes punkti, mis asub väljaspool sirget, on võimalik tõmmata teine ​​sirge paralleelselt antud sirgega ja pealegi ainult üks.

    Järjepidevuse aksioom (Arhimedese aksioom): mis tahes kahe lõigu AB ja CD jaoks on olemas lõplik punktide hulk A1, A2, …, An, mis asub sirgel AB, nii et lõigud AA1, A1A2, …, An-1An on segmendiga CD kongruentsed ning punkt B asub A ja An vahel.

    Lamedat kujundit, mis on moodustatud suletud segmentide ahelast, nimetatakse hulknurgaks.
    Sõltuvalt nurkade arvust võib hulknurk olla kolmnurk, nelinurk, viisnurk, kuusnurk jne. Pikkuste summat nimetatakse perimeetriks ja tähistatakse p-ga.
    Kui kõik diagonaalid asuvad hulknurga sees, nimetatakse seda kumeraks. Kumera hulknurga sisenurkade summa on 180°*(n-2), kus n on hulknurga nurkade (või külgede) arv.

    Kolmnurk on kolme küljega (või kolme nurgaga) hulknurk. Kui kõik kolm nurka on teravnurksed, siis on tegemist terava kolmnurgaga. Kui üks nurkadest on täisnurkne, on see täisnurkne kolmnurk; täisnurga moodustavaid külgi nimetatakse jalgadeks; täisnurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Kui üks nurkadest on nürinurkne, siis on see nürinurkne kolmnurk. Kolmnurk on võrdhaarne, kui selle kaks külge on võrdsed. Kolmnurk on võrdkülgne, kui selle kõik küljed on võrdsed.

    Täisnurkses kolmnurgas on tõesed järgmised seosed:

    Täisnurkse kolmnurga pindala:

    Sisse kirjutatud ringi raadius:

    Suvalises kolmnurgas:

    Ringi saab kirjutada mis tahes korrapärasesse hulknurka ja selle ümber saab kirjeldada ringi:

    kus a on hulknurga külg, n on hulknurga külgede arv, R on piiritletud ringi raadius, r on sisse kirjutatud ringi raadius (regulaarse hulknurga apoteem).

    Tavalise hulknurga pindala:

    Külgede ja diagonaalide pikkused on seotud järgmise valemiga:

    Kolmnurkade põhiomadused:

    • suurema külje vastas on suurem nurk ja vastupidi;
    • võrdsed vastasküljed on võrdsed nurgad ja vastupidi;
    • kolmnurga nurkade summa on 180°;
    • jätkates kolmnurga ühte külge, saame välisnurga. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mittekülgnevate sisenurkade summaga;
    • Kolmnurga mis tahes külg on väiksem kui kahe ülejäänud külje summa ja suurem kui nende erinevus.

    Kolmnurkade võrdsuse märgid: kolmnurgad on kongruentsed, kui nad on võrdsed:

    • kaks külge ja nendevaheline nurk;
    • kaks nurka ja nendega külgnev külg;
    • kolm külge.

    Täisnurkse kolmnurga võrdsuse testid: kaks täisnurkset kolmnurka on kongruentsed, kui on tõene üks järgmistest tingimustest:

    • nende jalad on võrdsed;
    • ühe kolmnurga jalg ja hüpotenuus on võrdsed teise jala ja hüpotenuusiga;
    • ühe kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on võrdsed teise kolmnurga hüpotenuusi ja teravnurgaga;
    • ühe kolmnurga jalg ja sellega külgnev teravnurk on võrdsed teise kolmnurga jalaga ja sellega külgnev teravnurk;
    • ühe kolmnurga jalg ja vastassuunaline teravnurk on võrdsed teise kolmnurga jalaga ja vastassuunaline teravnurk.

    Kolmnurga kõrgus on suvalisest tipust vastasküljele (või selle pikendusele) langenud risti. Seda külge nimetatakse kolmnurga põhjaks. Kolmnurga kolm kõrgust lõikuvad alati ühes punktis, mida nimetatakse kolmnurga ortotsentriks. Teravkolmnurga ortotsenter asub kolmnurga sees ja nüri kolmnurga ortotsenter on väljaspool; Täisnurga kolmnurga ortotsenter langeb kokku täisnurga tipuga.

    Kolmnurga kõrguse valem on järgmine:

    Mediaan on sirglõik, mis ühendab kolmnurga mis tahes tippu vastaskülje keskpunktiga. Kolmnurga kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mis asub alati kolmnurga sees ja on selle raskuskese. See punkt jagab iga mediaani ülevalt 2:1.

    Poolitaja- see on nurga poolitaja segment tipust vastasküljega lõikepunktini. Kolmnurga kolm poolitajat ristuvad ühes punktis, mis asub alati kolmnurga sees ja on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Poolitaja jagab vastaskülje osadeks, mis on proportsionaalsed külgnevate külgedega.
    Kolmnurga poolitaja valem on järgmine:

    Keskmine risti on lõigu (külje) keskpunktist tõmmatud risti. Kolmnurga kolm keskristi ristuvad ühes punktis, mis on piiritletud ringi keskpunkt. Ägeda kolmnurga puhul asub see punkt kolmnurga sees; nüris - väljaspool; ristkülikukujulises - hüpotenuusi keskel. Ortotsenter, raskuskese, ümberringjoone kese ja sisse kirjutatud ringi keskpunkt langevad kokku ainult võrdkülgse kolmnurga puhul.

    Pythagorase teoreem. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga: c2 = a2 + b2.

    Üldjuhul (suvalise kolmnurga puhul) saame: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, kus C on külgede a ja b vaheline nurk.

    nelinurkne- kujund, mis koosneb neljast punktist (tipust), millest kolm ei asu samal sirgel, ja neljast neid järjestikku ühendavast segmendist (küljest), mis ei tohiks ristuda.

    Parallelogramm on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed. Rööpküliku mis tahes kahte vastaskülge nimetatakse selle alusteks ja nendevahelist kaugust kõrguseks.

    Parallelogrammi omadused:

    • rööpküliku vastasküljed on võrdsed;
    • rööpküliku vastasnurgad on võrdsed;
    • rööpküliku diagonaalid jagatakse nende lõikepunktis pooleks;
    • rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle nelja külje ruutude summaga.

    Parallelogrammi ala:

    Rööpkülikusse kantud ringi raadius:

    Ristkülik on rööpkülik, mille kõik nurgad on 90°.

    Ristküliku põhiomadused.
    Ristküliku küljed on ka selle kõrgused.
    Ristküliku diagonaalid on võrdsed: AC = BD.

    Ristküliku diagonaali ruut võrdub selle külgede ruutude summaga (Pythagorase teoreemi järgi).

    Ristküliku ala: S=ab.

    Ristküliku läbimõõt:

    Ristküliku ümber piiratud ringi raadius:

    Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed. Rombi diagonaalid on üksteisega risti ja poolitavad nende nurgad.

    Rombi pindala väljendatakse diagonaalides:

    Ruut on täisnurkade ja võrdsete külgedega rööpkülik. Ruut on samaaegselt ristküliku ja rombi erijuht, seetõttu on sellel kõik ülaltoodud omadused.

    Ruudu pindala:

    Ruudu ümber piiratud ringi raadius:

    Ruudusse kantud ringi raadius:

    Ruudu diagonaal:

    Trapets on nelinurk, mille kaks vastaskülge on paralleelsed. Paralleelseid külgi nimetatakse trapetsi alusteks ja kahte ülejäänud külgedeks. Aluste vaheline kaugus on kõrgus. Külgede keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse trapetsi keskjooneks. Trapetsi keskjoon on pool aluste summast ja nendega paralleelne. Võrdkülgsete külgedega trapetsi nimetatakse võrdhaarseks trapetsiks. Võrdhaarses trapetsis on iga aluse nurgad võrdsed.

    Trapetsi pindala: , kus a ja b on alused, h on kõrgus.

    Kolmnurga keskjoon on sirglõik, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte. Kolmnurga keskjoon on võrdne poolega selle alusest ja sellega paralleelne. See omadus tuleneb trapetsi omadusest, kuna kolmnurka võib käsitleda kui trapetsi taandarengut, kui üks selle alustest muutub punktiks.

    Tasapinnaliste kujundite sarnasus. Kui muudate lameda kujundi kõiki mõõtmeid sama arv kordi (sarnasussuhe), siis nimetatakse vanu ja uusi kujundeid sarnasteks. Kaks hulknurka on sarnased, kui nende nurgad on võrdsed ja nende küljed on võrdelised.

    Kolmnurkade sarnasuse märgid. Kaks kolmnurka on sarnased, kui:

    • kõik nende vastavad nurgad on võrdsed (piisab kahest nurgast);
    • kõik nende küljed on proportsionaalsed;
    • ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede vahele jäävad nurgad on võrdsed.

    Sarnaste kujundite pindalad on võrdelised nende sarnaste joonte (nt küljed, läbimõõdud) ruutudega.

    Punktide asukoht on kõigi punktide kogum, mis vastavad teatud tingimustele.

    Ring- See on punktide asukoht ühest punktist võrdsel kaugusel asuval tasapinnal, mida nimetatakse ringi keskpunktiks. Segmenti, mis ühendab ringi keskpunkti selle mis tahes punktiga, nimetatakse raadiuseks ja tähistatakse - r. Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ringiks. Ringi osa nimetatakse kaareks. Ringjoone kahte punkti läbivat sirget nimetatakse sekantiks ja selle ringi sees asuvat lõiku nimetatakse kõõluks. Ringjoone keskpunkti läbivat kõõlu nimetatakse läbimõõduks ja tähistatakse d-ga. Läbimõõt on suurim kõõl, mis võrdub kahe raadiusega: d = 2r.

    Kus a on tegelik, b on kujuteldav pooltelg.

    Tasapinna võrrand ruumis:
    Ax + By + Cz + D = 0,
    kus x, y, z on tasapinna muutuva punkti ristkülikukujulised koordinaadid, A, B, C on konstantsed arvud.
    Sirget, mis läbib selle punkti raadiusega risti olevat ringi punkti, nimetatakse puutujaks. Seda punkti nimetatakse kokkupuutepunktiks.

    Tangenti omadused:

    • ringjoone puutuja on risti raadiusega, mis on tõmmatud kokkupuutepunkti;
    • ringist väljaspool asuvast punktist saab samale ringile tõmmata kaks puutujat; nende segmendid on võrdsed.

    Segment- see on ringi osa, mis on piiratud kaare ja vastava kõõluga. Kõõlu keskosast kaarega ristumiskohani tõmmatud risti pikkust nimetatakse lõigu kõrguseks.

    Sektor- see on osa ringist, mis on piiratud kaare ja kahe raadiusega, mis on tõmmatud selle kaare otstesse.

    Nurgad ringis. Kesknurk on kahe raadiusega moodustatud nurk. Sissekirjutatud nurk on nurk, mille moodustavad kaks kõõlut, mis on tõmmatud nende ühisest punktist. Kirjeldatud nurk on nurk, mille moodustavad ühest ühisest punktist tõmmatud kaks puutujat.

    See valem on nurkade radiaanimõõtmise määramise aluseks. Mis tahes nurga radiaanimõõt on suvalise raadiusega tõmmatud ja selle nurga külgede vahele jääva kaare pikkuse suhe selle raadiusesse.

    Ringi elementide vahelised seosed.

    Sissekirjutatud nurk on võrdne poole sama kaare kesknurgaga. Seetõttu on kõik samal kaarel põhinevad sisse kirjutatud nurgad võrdsed. Ja kuna kesknurk sisaldab sama arvu kraade kui selle kaar, mõõdetakse iga sisse kirjutatud nurka poole võrra kaarest, millel see toetub.

    Kõik poolringil põhinevad sisse kirjutatud nurgad on täisnurgad.

    Kahe kõõlu moodustatud nurka mõõdetakse poolega selle külgede vahele jäävate kaare summast.

    Kahe sekantsi moodustatud nurka mõõdetakse selle külgede vahele jäävate kaare poole vahega.

    Puutuja ja kõõlu moodustatud nurka mõõdetakse poole selle sees oleva kaarega.

    Puutuja ja sekandi moodustatud nurka mõõdetakse selle külgede vahele jäävate kaare poolde vahega.

    Kirjeldatud nurka, mis on moodustatud kahe puutujaga, mõõdetakse selle külgede vahele jäävate kaare poolde vahega.

    Nende akordide segmentide korrutised, milleks need lõikumispunktiga on jagatud, on võrdsed.

    Puutuja ruut võrdub sekandi ja selle välimise osa korrutisega.

    Läbimõõduga risti olev kõõl poolitatakse nende ristumispunktis.

    Hulknurka nimetatakse ringi sissekirjutatuks, mille tipud asuvad ringil. Ringjoone lähedalt piiritletud hulknurk on hulknurk, mille küljed puutuvad ringiga. Vastavalt sellele nimetatakse hulknurga tippe läbivat ringjoont hulknurga lähedal piiritletuks; ringjoont, mille hulknurga küljed puutuvad kokku, nimetatakse sissekirjutatud ringiks. Suvalise hulknurga puhul on võimatu sellesse kirjutada ja seda ümbritsevat ringi kirjeldada. Kolmnurga puhul on see võimalus alati olemas.

    Ringi saab kirjutada nelinurka, kui selle vastaskülgede summad on võrdsed. Rööpkülikute puhul on see võimalik ainult rombi (ruudu) korral. Sissekirjutatud ringi keskpunkt asub diagonaalide lõikepunktis. Ringi saab nelinurga ümber piirata, kui selle vastasnurkade summa on 180°. Rööpküliku puhul on see võimalik ainult ristküliku (ruudu) puhul. Piiratud ringi keskpunkt asub diagonaalide lõikepunktis. Ringjoont saab kirjeldada ümber trapetsi, kui see on võrdhaarne. Tavaline hulknurk on võrdsete külgede ja nurkadega hulknurk.

    Korrapärane nelinurk on ruut; täisnurkne kolmnurk on võrdkülgne kolmnurk. Korrapärase hulknurga iga nurk on võrdne 180°(n - 2)/n, kus n on selle nurkade arv. Korrapärase hulknurga sees on selle kõigist tippudest võrdsel kaugusel punkt O, mida nimetatakse korrapärase hulknurga keskpunktiks. Korrapärase hulknurga keskpunkt on samuti selle kõigist külgedest võrdsel kaugusel. Korrapärasesse hulknurka saab kirjutada ringi ja selle ümber saab määrata ringi. Sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid langevad kokku korrapärase hulknurga keskpunktiga. Piiratud ringi raadius on korrapärase hulknurga raadius ja sissekirjutatud ringi raadius on selle apoteem.

    Stereomeetria põhiaksioomid.

    Ükskõik, milline on tasapind, on punkte, mis kuuluvad sellele tasapinnale, ja punkte, mis ei kuulu.

    Kui kahel erineval tasapinnal on ühine punkt, siis nad lõikuvad piki seda punkti läbivat sirget.

    Kui kahel erineval sirgel on ühine punkt, saab neid läbi tõmmata ühe ja ainult ühe tasapinna.

    Läbi kolme ühel sirgel paikneva punkti saab tõmmata lõpmatu arvu tasapindu, mis antud juhul moodustavad tasapindade kimbu. Sirget, mida läbivad kõik kiire tasandid, nimetatakse kiire teljeks. Läbi mis tahes sirge ja sellest sirgest väljaspool asuva punkti saab tõmmata ühe ja ainult ühe tasapinna. Kahe joone kaudu pole alati võimalik tasapinda joonistada, siis nimetatakse neid jooni viltu.

    Ristumisjooned ei ristu, olenemata sellest, kui kaua neid jätkatakse, kuid need ei ole paralleelsed jooned, kuna need ei asu samal tasapinnal. Ainult paralleelsed sirged on mittelõikuvad sirged, mille kaudu saab tõmmata tasapinna. Kaldjoonte ja paralleelsete joonte erinevus seisneb selles, et paralleelsetel joontel on sama suund, kuid kaldjoontel mitte. Läbi kahe ristuva sirge saab alati tõmmata ühe ja ainult ühe tasapinna. Kahe kaldjoone vaheline kaugus on selle segmendi pikkus, mis ühendab kaldjoontel paiknevaid lähimaid punkte. Mittelõikuvaid tasapindu nimetatakse paralleeltasanditeks. Tasapind ja sirge kas ristuvad (ühes punktis) või mitte. Viimasel juhul öeldakse, et joon ja tasapind on üksteisega paralleelsed.

    Punktist tasapinnale langetatud rist on lõik, mis ühendab antud punkti tasapinna punktiga ja kulgeb tasapinnaga risti asetseval sirgel.

    Punkti projektsioon tasapinnale on punktist tasapinnale langetatud risti alus. Lõigu projektsioon tasapinnale P on lõik, mille otsad on selle lõigu punktide projektsioonid.

    Dihedraalnurk on kujund, mille moodustavad kaks pooltasapinda, mida piirab ühine sirgjoon. Pooltasapindu nimetatakse tahkudeks ja neid piiravat sirget kahetahulise nurga servaks. Servaga risti asetsev tasapind annab nurga, mille lõikumisel pooltasanditega nimetatakse kahetahulise nurga lineaarnurka. Dihedraalnurka mõõdetakse selle lineaarnurgaga.

    hulktahuline nurk. Kui läbi punkti joonistame hulga tasapindu, mis ristuvad järjestikku mööda sirgeid, siis saame kujundi, mida nimetatakse hulktahuliseks nurgaks. Tasapindu, mis moodustavad hulktahulise nurga, nimetatakse selle tahkudeks; sirgeid, mida mööda tahud järjestikku ristuvad, nimetatakse hulktahuka nurga servadeks. Mitmetahulise nurga tahkude minimaalne arv on kolm.

    Mitmetahulise nurga servadest lõigatakse välja paralleelsed tasapinnad, proportsionaalsed segmendid ja moodustavad sarnased hulknurgad.

    Sirge ja tasandi paralleelsuse märgid.

    Kui väljaspool tasapinda asuv sirge on paralleelne mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega, siis on see selle tasapinnaga paralleelne.

    Kui sirge ja tasapind on sama sirgega risti, siis on nad paralleelsed.

    Paralleelsete tasandite märgid:

    • Kui kaks lõikuvat sirget ühes tasapinnas on paralleelsed teise tasandi kahe lõikuva sirgega, siis on need tasapinnad paralleelsed.
    • Kui kaks tasapinda on sama sirgega risti, siis on nad paralleelsed.
    • Sirge ja tasandi risti olemise märgid.
    • Kui sirge on risti kahe tasapinnas asetseva lõikuva sirgega, siis on see selle tasapinnaga risti.
    • Kui tasapind on risti ühe paralleelse sirgega, siis on see risti ka teisega.

    Tasapinda lõikuvat sirget, mis ei ole sellega risti, nimetatakse tasapinnaga kaldu.

    Kolme risti teoreem

    Tasapinnas asuv sirgjoon, mis on risti kaldtasandi projektsiooniga sellele tasapinnale, on samuti risti kaldpinna endaga.

    Paralleelsete joonte märgid ruumis:

    • Kui kaks sirget on sama tasapinnaga risti, siis on nad paralleelsed.
    • Kui üks lõikuvatest tasapindadest sisaldab teise tasandiga paralleelset sirget, siis on see paralleelne tasandite lõikejoonega.

    Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi xy tasapinna sirgjoone võrrand:
    ax + bx + c = 0, kus a, b, c on konstantsed arvud, x ja y on muutuja punkti M(x,y) koordinaadid sirgel.

    Paralleelsete joonte märgid:

    Tasapindade perpendikulaarsuse märk: kui tasapind läbib teise tasandiga risti olevat sirget, siis on need tasandid risti.

    Kahe kaldjoone ühise risti teoreem. Iga kahe risuva sirge jaoks on ainult üks ühine risti.

    Polüheder- see on keha, mille piir koosneb tasapindade tükkidest (hulknurkadest). Neid hulknurki nimetatakse tahkudeks, nende külgi servadeks, nende tipud on hulktahuka tipud. Lõike, mis ühendavad kahte tippu ja ei asu samal pinnal, nimetatakse hulktahuka diagonaalideks. Hulktahukas on kumer, kui kõik selle diagonaalid on selle sees.

    Kuubik- kuue võrdse näoga kolmemõõtmeline kujund.

    Kuubi maht ja pindala:

    Prisma on hulktahukas, mille kaks tahku (prisma alused) on võrdsed hulknurgad vastavalt paralleelsete külgedega ja ülejäänud tahud on rööpkülikukujulised.

    Vastavaid tippe ühendavaid segmente nimetatakse külgservadeks. Prisma kõrgus on mis tahes risti, mis on langenud aluse mis tahes punktist teise aluse tasapinnaga. Olenevalt põhjas paikneva hulknurga kujust võib prisma olla vastavalt kolmnurkne, nelinurkne, viisnurkne, kuusnurkne jne. Kui prisma külgservad on risti aluse tasapinnaga, siis selline prisma on nimetatakse sirgjooneks; muidu on tegemist kaldus prismaga. Kui sirge prisma põhjas asub korrapärane hulknurk, siis nimetatakse sellist prismat ka regulaarseks. Prisma diagonaal on segment, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

    Sirge prisma külgpindala:
    S külg \u003d P * H, kus P on aluse ümbermõõt ja H on kõrgus.

    Parallelepiped on prisma, mille alused on rööpkülikud. Seega on rööptahukal kuus tahku ja kõik need on rööpkülikukujulised. Vastasküljed on paarikaupa võrdsed ja paralleelsed. Rööptahukal on neli diagonaali; nad kõik lõikuvad ühes punktis ja jagunevad selles pooleks.

    Kui rööptahuka neli külgpinda on ristkülikud, nimetatakse seda sirgeks. Parempoolset rööptahukat, mille kõik kuus tahku on ristkülikud, nimetatakse ristkülikuks. Ristkülikukujulise rööptahuka d diagonaal ja selle servad a, b, c on seotud seosega d2 = a2 + b2 + c2. Ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik tahud on ruudud, nimetatakse kuubiks. Kuubi kõik servad on võrdsed.

    Ristkülikukujulise rööptahuka maht ja pindala:
    V = a*b*c, S kokku = 2 (ab + ac + bc).

    Püramiid on hulktahukas, mille üks tahk (püramiidi põhi) on suvaline hulknurk ja ülejäänud tahud (külgpinnad) on ühise tipuga kolmnurgad, mida nimetatakse püramiidi tipuks. Püramiidi tipust selle alusele langenud risti nimetatakse püramiidi kõrguseks. Sõltuvalt põhjas paikneva hulknurga kujust võib püramiid olla vastavalt kolmnurkne, nelinurkne, viisnurkne, kuusnurkne jne. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder, nelinurkne viisnurk jne. Püramiidi nimetatakse regulaarseks. kui alus asub hulknurk ja selle kõrgus langeb aluse keskele. Korrapärase püramiidi kõik külgmised servad on võrdsed; kõik külgpinnad on võrdhaarsed kolmnurgad. Külgpinna kõrgust nimetatakse tavalise püramiidi apoteemiks.

    Kui joonistada püramiidi põhjaga paralleelne lõige, siis nende tasandite ja külgpinna vahele jäävat keha nimetatakse tüvipüramiidiks. Paralleelseid tahke nimetatakse alusteks; nende vaheline kaugus on kõrgus. Kärbitud püramiidi nimetatakse õigeks, kui püramiid, millest see saadi, on õige. Korrapärase kärbitud püramiidi kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed trapetsid.

    Tavalise püramiidi külgpindala:
    , kus P on aluse ümbermõõt; h on külgpinna kõrgus (tavalise püramiidi apoteem).

    Kärbitud püramiidi ruumala:

    Tavalise kärbitud püramiidi külgpindala:
    ,
    kus P ja P' on aluste perimeetrid; h on külgpinna kõrgus (tavalise kärbitud püramiidi apoteem).

    Silindriline pind moodustub sirgjoone liigutamisel, mis säilitab oma suuna ja lõikub etteantud joonega (kõveraga). Seda rida nimetatakse juhendiks. Sirgeid, mis vastavad sirgjoone erinevatele asukohtadele selle liikumisel, nimetatakse silindrilise pinna generaatoriteks.

    Silinder on keha, mida piirab suletud juhikuga silindriline pind ja kaks paralleelset tasapinda. Nende tasapindade osi nimetatakse silindri alusteks. Aluste vaheline kaugus on silindri kõrgus. Silinder on sirge, kui selle generaatorid on aluse suhtes risti; vastasel juhul on silinder kaldu. Silindrit nimetatakse ringikujuliseks, kui selle alus on ring. Kui silinder on nii sirge kui ka ringikujuline, nimetatakse seda ümaraks. Prisma on silindri erijuhtum.

    Silindri maht, külg- ja täispindade pindala:
    ,
    kus R on aluste raadius; H on silindri kõrgus.

    Ringsilindri külgpinna silindrilised lõiked.

    Alusega paralleelsed lõigud on sama raadiusega ringid.

    Silindri generaatoritega paralleelsed lõigud on paralleelsete joonte paarid.

    Lõigud, mis ei ole paralleelsed ei aluse ega generaatoritega, on ellipsid.

    Kooniline pind tekib siis, kui sirgjoon liigub, läbides kogu aeg kindlat punkti ja ristudes antud sirgega, mida nimetatakse juhikuks. Joone, mis vastavad joone erinevatele asukohtadele selle liikumisel, nimetatakse koonilise pinna generatriteks; punkt on selle tipp. Kooniline pind koosneb kahest osast: ühte kirjeldab kiir, teist selle jätk.

    Tavaliselt peetakse üht selle osa kooniliseks pinnaks.

    Koonus- see on keha, mida piirab koonilise pinna üks osadest, millel on suletud juhik ja koonuspinda ristuv tasapind, mis ei läbi tippu.

    Selle tasandi osa, mis asub koonilise pinna sees, nimetatakse koonuse põhjaks. Ülaosast alusele langenud risti nimetatakse koonuse kõrguseks.

    Püramiid on koonuse erijuhtum. Koonust nimetatakse ringikujuliseks, kui selle alus on ring. Sirget, mis ühendab koonuse ülaosa aluse keskpunktiga, nimetatakse koonuse teljeks. Kui ringikujulise koonuse kõrgus langeb kokku selle teljega, siis nimetatakse sellist koonust ringikujuliseks.

    Koonuse külg- ja täispindade maht, pindala:
    ,
    kus r on raadius; Sosn - piirkond; P on aluse ümbermõõt; L on generatriksi pikkus; H on koonuse kõrgus.

    Tüvikoonuse külgpinna maht ja pindala:

    Koonilised lõigud.

    Ringkoonuse lõigud, mis on paralleelsed selle põhjaga, on ringid.

    Lõik, mis lõikab ainult ühte ringkoonuse osa ja ei ole paralleelne ühegi selle generaatoriga, on ellips.

    Lõige, mis lõikab ainult ühte ringkoonuse osa ja on paralleelne selle ühe generaatoriga, on parabool.

    Ringkoonuse mõlemat osa lõikev lõik on üldjuhul kahest harust koosnev hüperbool. Täpsemalt, kui see lõik läbib koonuse telge, saame ristuvate joonte paari (moodustades koonuse).

    sfääriline pind- see on ühest punktist võrdsel kaugusel asuvate ruumipunktide asukoht, mida nimetatakse sfäärilise pinna keskpunktiks.

    Pall (kera) on sfäärilise pinnaga piiratud keha. Saate palli saada, keerates poolringi (või ringi) ümber läbimõõdu. Kõik sfääri tasapinnalised lõigud on ringid. Suurim ring asub palli keskpunkti läbivas osas ja seda nimetatakse suureks ringiks. Selle raadius on võrdne sfääri raadiusega. Kaks suurt ringi ristuvad kuuli läbimõõduga. See läbimõõt on ka ristuvate suurte ringide läbimõõt. Sfäärilise pinna kahe sama läbimõõduga otstes asuva punkti kaudu on võimalik joonistada lõpmatu arv suuri ringe.

    Kera ruumala on poolteist korda väiksem kui selle ümber kirjeldatud silindri ruumala ja sfääri pind poolteist korda väiksem sama silindri kogupinnast.

    Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kera võrrand on järgmine:
    (x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
    siin x, y, z on sfääri muutuva punkti koordinaadid;
    x0, y0, z0 - keskpunkti koordinaadid;
    R on sfääri raadius.

    Kera ruumala ja sfääri pindala:

    Sfäärilise segmendi maht ja segmenteeritud pinna pindala:
    ,
    kus h on sfäärilise segmendi kõrgus.

    Sfäärilise sektori maht ja kogupindala:
    ,
    kus R on kuuli raadius; h on sfäärilise segmendi kõrgus.

    Sfäärilise kihi maht ja kogupindala:
    ,
    kus h on kõrgus; r1 ja r2 on sfäärilise kihi aluste raadiused.

    Toruse ruumala ja pindala:
    ,
    kus r on ringi raadius; R on kaugus ringi keskpunktist pöörlemisteljeni.

    Pinna S keskmine kumerus punktis A0:

    palli osad. Osa kuulist (sfäärist), mis on sellest mis tahes tasapinnaga ära lõigatud, nimetatakse sfääriliseks (sfääriliseks) segmendiks. Ringi nimetatakse sfäärilise segmendi aluseks. Ringjoone keskpunktist sfäärilise pinnaga ristumiskohani tõmmatud risti lõiku nimetatakse sfäärilise lõigu kõrguseks. Sfäärilise pinnaga kahe paralleelse tasandi vahele jäävat sfääri osa nimetatakse sfääriliseks kihiks; sfäärilise kihi kõverat pinda nimetatakse sfääriliseks vööks (tsooniks). Sfäärilise vöö aluste vaheline kaugus on selle kõrgus. Kuuli osa, mis on piiratud sfäärilise segmendi kumera pinnaga ja koonilise pinnaga, mille alus on segmendi alus ja ülaosa on kuuli keskpunkt, nimetatakse sfääriliseks sektoriks.

    Sümmeetria.

    Peegli sümmeetria. Geomeetrilist kujundit nimetatakse sümmeetriliseks tasapinna S suhtes, kui selle kujundi iga punkti E jaoks on võimalik leida sama kujundi punkt E', nii et lõik EE' on tasandiga S risti ja jagatakse see lennuk pooleks. Tasapinda S nimetatakse sümmeetriatasandiks. Sümmeetrilised kujundid, esemed ja kehad ei ole üksteisega võrdsed selle sõna kitsas tähenduses, neid nimetatakse peegelvõrdeliseks.

    keskne sümmeetria. Geomeetrilist kujundit nimetatakse sümmeetriliseks keskpunkti C suhtes, kui selle kujundi iga punkti A jaoks on võimalik leida sama kujundi punkt E, nii et lõik AE läbib keskpunkti C ja poolitatakse selles punktis. Punkti C nimetatakse sel juhul sümmeetriakeskuseks.

    pöörlemise sümmeetria. Kehal on pöörlemissümmeetria, kui nurga all 360° / n (n on täisarv) ümber mingi sirge AB (sümmeetriatelg) pööramisel langeb see täielikult kokku oma algasendiga. Kui n=2 on meil telgsümmeetria.

    Näited sümmeetria tüüpidest. Kuulil (keral) on nii kesk- kui ka peegelsümmeetria ja pöörlemissümmeetria. Sümmeetria keskpunkt on palli keskpunkt; sümmeetriatasand on mis tahes suurringi tasapind; sümmeetriatelg on kuuli läbimõõt.

    Ümmargune koonus on aksiaalselt sümmeetriline; sümmeetriatelg on koonuse telg.

    Sirgel prismal on peegelsümmeetria. Sümmeetriatasand on paralleelne selle alustega ja asub nende vahel samal kaugusel.

    Tasapinnaliste kujundite sümmeetria.

    Peegli telje sümmeetria. Kui tasapinnaline kujund on tasapinna suhtes sümmeetriline (mis on võimalik ainult siis, kui tasapinna kujund on selle tasapinnaga risti), siis sirge, mida mööda need tasapinnad ristuvad, on selle kujundi teist järku sümmeetriatelg. Sel juhul nimetatakse figuuri peegelsümmeetriliseks.

    keskne sümmeetria. Kui tasapinnalisel joonisel on teist järku sümmeetriatelg, mis on risti kujundi tasapinnaga, siis punkt, kus joon ja joonise tasapind ristuvad, on sümmeetriakese.

    Tasapinnaliste kujundite sümmeetria näiteid.

    Rööpkülikul on ainult keskne sümmeetria. Selle sümmeetriakese on diagonaalide lõikepunkt.
    Võrdhaarsel trapetsil on ainult teljesuunaline sümmeetria. Selle sümmeetriatelg on risti, mis on tõmmatud läbi trapetsi aluste keskpunktide.

    Rombil on nii kesk- kui ka telgsümmeetria. Selle sümmeetriatelg on mis tahes diagonaal; sümmeetria keskpunkt on nende ristumispunkt.

    Punktide asukoht (edaspidi GMT) on tasapinnaline kujund, mis koosneb teatud omadusega punktidest ja ei sisalda ühtegi punkti, millel see omadus puudub.

    Vaatleme ainult neid HMT-sid, mida saab konstrueerida kompassi ja sirgjoonega.

    Vaatleme lennukis HMT-d, millel on kõige lihtsamad ja sagedamini väljendatud omadused:

    1) HMT, mis asub antud punktist O teatud kaugusel r, on ringjoon, mille keskpunkt on raadiusega r punkt O.

    2) Kahest etteantud punktist võrdsel kaugusel olevate punktide A ja B GMT on lõiguga AB risti olev ja selle keskkohta läbiv sirge.

    3) GMT kahest etteantud ristuvast sirgest võrdsel kaugusel on ristumispunkti läbiv ja antud sirgete vahelised nurgad pooleks jagav vastastikku risti asetsevate sirgete paar.

    4) GMT, mis asuvad sirgest samal kaugusel h, on kaks sirget paralleelselt selle sirgega ja asuvad selle vastaskülgedel etteantud kaugusel h.

    5) Antud sirget m puutuvate ringide keskpunktide asukoht antud punktis M sellel on risti AB-ga punktis M (välja arvatud punkt M).

    6) Sellel antud ringile antud punktis M puutuvate ringide keskpunktide asukoht on sirge, mis läbib punkti M ja antud ringi keskpunkti (va punktid M ja O).

    7) HMT, mille see segment on antud nurga all nähtav, on kaks ringikaaret, mis on kirjeldatud antud segmendil ja mis ümbritsevad etteantud nurka.

    8) GMT, kaugused, millest kahe antud punktini A ja B on vahekorras m:n, on ring (nimetatakse Apolloniuse ringiks).

    9) Ringjoone ühest punktist tõmmatud kõõlude keskpunktide asukoht on ring, mis on ehitatud lõigule, mis ühendab antud punkti antud ringi keskpunktiga, nagu läbimõõdul.

    10) Antud kolmnurga tippude asukoht, mille suurus on võrdne ja millel on ühine alus, on kaks sirget, mis on paralleelsed alusega ja läbivad antud kolmnurga tippu ja on selle suhtes sümmeetrilised alust sisaldava joone suhtes.

    Toome näiteid GMT leidmise kohta.

    NÄIDE 2.Leidke GMT, mis on akordide keskpunktid,tõmmatud antud ringi ühest punktist(GMT nr 9).

    Otsus . Olgu antud ring keskpunktiga O ja sellel ringil valitakse punkt A, millest tõmmatakse kõõlud. Näitame, et soovitud HMT on AO-le kui läbimõõdule ehitatud ring (v.a punkt A) (joonis 3).

    Olgu AB kõõl ja M selle keskpunkt. Ühendame M ja O. Siis MO ^ AB (raadius, mis jagab kõõlu pooleks, on risti selle kõõluga). Aga siis RAMO = 90 0 . Seega kuulub M ringile, mille läbimõõt on AO (GMT nr 7). Sest see ring läbib punkti O, siis O kuulub meie GMT-sse.


    Ja vastupidi, kuulugu M meie GMT-sse. Seejärel tõmmates kõõlu AB läbi M ja ühendades M ja O, saame, et РАМО = 90 0, s.o. MO ^ AB ja seetõttu on M kõõlu AB keskpunkt. Kui M ühtib O-ga, siis O on AC keskpunkt.

    Sageli võimaldab koordinaatide meetod leida GMT.

    NÄIDE 3.Leia GMT, mille kaugus kahest antud punktist A ja B on antud suhtega m:n (m ≠ n).

    Otsus . Valime ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi nii, et punktid A ja B paiknevad Ox-teljel sümmeetriliselt koordinaatide alguspunkti suhtes ning Oy telg läbib AB keskosa (joonis 4). Seadsime AB = 2a. Siis on punktil A koordinaadid A (a, 0), punktil B on koordinaadid B (-a, 0). Olgu C kuuluv meie HMT-sse, koordinaadid C(x, y) ja CB/CA = m/n. Aga Tähendab

    (*)

    Muudame oma võrrandit. Meil on

    Kehad erinevad üksteisest kaalu, värvi, tiheduse, kõvaduse, hõivatava ruumi jms poolest.

    Neid märke nimetatakse kehade omadusteks.

    Nende omadustega kehasid nimetatakse füüsilised kehad.

    Nende omaduste vahel nimetatakse keha omadust pikkus.

    Pikkus seal on keha omadus hõivata ruumis teatud koht.

    Seda nimetatakse keha geomeetriliseks omaduseks. See omadus määrab keha kuju ja suuruse.

    Keha, millel on ainult üks pikendusomadus, nimetatakse geomeetriliseks kehaks. Arvestades geomeetrilist keha, pöörake tähelepanu ainult selle kujule ja suurusele.

    Ülejäänud keha omadusi nimetatakse füüsikalisteks.

    geomeetriline keha seal on füüsilise keha poolt hõivatud ruum.

    Geomeetriline keha on kõikidest külgedest piiratud. See on ülejäänud ruumist eraldatud keha pinnaga. Selle väljendamiseks ütlevad nad seda

    Pind seal on keha piir.

    Üks pind on teisest joonega eraldatud. Joon määrab pinna, mistõttu joont nimetatakse pinna piiriks.

    Liin seal on pinna piir.

    Rea lõppu nimetatakse punktiks. Punkt piiritleb ja eraldab ühe sirge teisest, mistõttu punkti nimetatakse sirge piiriks.

    Punkt seal on rea piirang.

    Joonisel 1 on kujutatud igast küljest suletud kasti kujul olevat korpust. See on piiratud kuue küljega, mis moodustavad kasti pinna. Karbi kumbagi külge saab vaadelda eraldi pinnana. Need küljed on üksteisest eraldatud 12 joonega, mis moodustavad karbi servad. Jooned on üksteisest eraldatud 8 punktiga, mis moodustavad kasti nurgad.

    Kehad, pinnad ja jooned ei ole ühesuurused. See tähendab, et nad hõivavad ebavõrdse ruumi või ebavõrdse ulatuse.

    keha maht. Geomeetrilise keha väärtust nimetatakse keha mahuks või mahuks.

    pindala. Pindala nimetatakse pindalaks.

    Joone pikkus. Joone pikkust nimetatakse pikkuseks.

    Pikkus, pindala ja maht on heterogeensed suurused. Neid mõõdetakse erinevates ühikutes ja kasutatakse erinevatel eesmärkidel. Kahe objekti kauguse, käe laiuse, kaevu sügavuse, torni kõrguse leidmiseks määrake joone pikkus. Selleks tehakse ainult üks mõõtmine, see tähendab, et mõõtmine toimub ühes suunas. Mõõtmisel kasutage pikkuseühikuid. Neid pikkusühikuid nimetatakse verstideks, sazhenideks, aršiniteks, jalgadeks, meetriteks jne. Pikkusühikul on üks mõõde, mistõttu öeldakse, et

    Joontel on üks mõõde. Joontel pole laiust ega paksust. Need on ühepikkused.

    Pildi suurusest aimu saamiseks peate teadma selle pikkust ja laiust. Pikkus ja laius annavad aimu pildi pindalast. Pindala määramiseks tekkis vajadus teha kaks mõõtmist ehk mõõta pilti kahes suunas. Pindala suuruse määramiseks kasutatakse pindalaühikuid. Pindalaühikuna võetakse ruut, mille külgedel on kindel pikkusühik. Pindalaühikuid nimetatakse ruutmiilideks, ruutverstideks, ruutjalgadeks ja nii edasi. Ruutverst on ruudu pindala, mille kumbki külg on võrdne verstaga jne. Pindalaühikul on kaks mõõdet: pikkus ja laius. Kuna pindu mõõdetakse pindalaühikutes, siis selles mõttes öeldakse nii

    Pinnad on kahemõõtmelised. Pinnadel pole paksust. Neil võib olla ainult pikkus ja laius.

    Ruumi või kasti mahutavuse kohta aimu saamiseks peate teadma nende mahtu. Selleks on vaja teada ruumi pikkust, laiust ja kõrgust ehk teha kolm mõõtmist või mõõta kolmes suunas. Maht mõõdetakse mahuühikutes. Ruumiühikuks võetakse kuup, mille kumbki külg on võrdne ühega. Mahuühikutel on kolm mõõdet: pikkus, laius ja kõrgus. Kuna mahtusid mõõdetakse mahuühikutes, siis me ütleme seda

    Kehadel on kolm mõõdet.

    Mahuühikuid nimetatakse kuupverstideks, kuupjalgadeks jne. Olenevalt kuubi külje pikkusest.

    Punktil pole pikkust, laiust ega kõrgust või punktil pole mõõtmeid.

    geomeetrilised laiendused. Joone, pindu ja tahkeid kehasid nimetatakse geomeetrilisteks laienditeks.

    Geomeetria on geomeetriliste laiendite omaduste ja mõõtmise teadus.

    Geomeetria on kosmoseteadus. See sätestab ruumi olemusega seotud vajalike suhete kogumi.

    Geomeetriliste ulatuste kujunemine liikumise teel

    Sirget võib vaadelda samamoodi kui punkti liikumisest jäetud jälge, pinda joone liikumisest jäetud jäljena ja keha kui pinna liikumisest jäetud jälge. Muud joone, pinna ja tahke definitsioonid põhinevad neil kaalutlustel.

    Liin on liikuva punkti asukoht.

    Pind on liikuva joone asukoht.

    Keha on liikuva pinna asukoht.

    Kõigil looduses vaadeldavatel objektidel on kolm mõõdet. Selles pole punkte, jooni ega pindu, vaid eksisteerivad ainult kehad. Kuid geomeetrias käsitletakse punkte, jooni ja pindu kehadest eraldi. Samal ajal annab keha väga õhuke kest pinna ligikaudse visuaalse kujutise, väga õhuke niit või karv annab meile visuaalse kujutise joonest ja niidi ots punktist.

    read

    Jooned jagunevad sirgjoonteks, katkendjoonteks ja kõverateks.

    on lühim vahemaa kahe punkti vahel.

    Tihedalt venitatud õhuke niit annab sirgjoone visuaalse esituse.

    Iga joont tähistatakse selle punktidesse paigutatud tähtedega. Joonis 2 näitab sirget AB. Igal sirgel juhitakse tähelepanu sellele suunas ja väärtus.

    Sirge suuna määrab selle asukoht.

    on mitme erineva suunaga sirge järjestikused ja pidevad ühendused.

    Katkendjoon ABCD (joonis 3) koosneb sirgjoontest AB, BC, CD, millel ei ole sama suund.

    on üks, mis ei saa koosneda sirgjoontest.

    Joonisel fig. 4, on kõverjoon.

    Sirgetest ja kõveratest koosnevat joont nimetatakse mõnikord liitjooneks.

    Joonis (4, a) kujutab sellist liitjoont.

    pinnad

    Pinnad jagunevad sirgeks või tasaseks ja kõveraks. Tasast pinda nimetatakse tasapinnaks.

    Lennuk. Pinda nimetatakse tasapinnaks, kui iga pinna iga kahe punkti kaudu tõmmatud sirgjoon asub sellel koos kõigi oma punktidega.

    Kõver pind on üks, mida ei saa tasapindadest koostada.

    Kumera pinna mis tahes kahe punkti vahele tõmmatud sirgjoon ei mahu sellele kõigi oma vahepunktidega.

    Tasapinnast annab teatud visuaalse esituse hästi poleeritud peegli pind või seisva vee pind. Kumerate pindade näide on piljardipalli pind.

    Geomeetria lõiked

    Geomeetria jaguneb planimeetriaks ja tahkete geomeetriaks.

    Planimeetria uurib tasapinnal vaadeldavate geomeetriliste pikenduste omadust.

    Stereomeetria uurib selliste geomeetriliste laiendite omadusi, mida ei saa ühel tasapinnal kujutada.

    Planimeetriat nimetatakse geomeetriaks tasapinnal, stereomeetriat - geomeetriaks ruumis.

    Geomeetria jaguneb veel esmaseks ja kõrgemaks. Käesolevas töös esitatakse ainult esialgne geomeetria.

    Geomeetriliste tõdede erinevad väljendusvormid

    Geomeetrilisi tõdesid väljendatakse aksioomide, teoreemide, lemmade ja probleemide või probleemide kujul.

    Aksioom tõde on, kuid selle tõendid ei vaja tõestust.

    Tõestamist mittevajavate tõdede näited on järgmised aksioomid:

      Tervik on võrdne selle osade summaga.

      Tervik on suurem kui selle osa. Osad on väiksemad kui tervik.

      Kaks suurust, mis on võrdsed sama kolmandikuga, on üksteisega võrdsed.

      Võrdsete suuruste võrdselt liitmisel või lahutamisel saame võrdsed suurused.

      Võrdseid väärtusi mitte võrdselt liites või neist lahutades saame ebavõrdsed väärtused.

      Lisades või lahutades ebavõrdsed väärtused võrdselt, saame ebavõrdsed väärtused.

      Suuremate summa on suurem kui väiksemate summa.

      Homogeenne suurus, mis ei ole rohkem ega vähem kui teine, on sellega võrdne jne.

    Teoreem. Teoreem või oletus on tõde, mis nõuab tõestust..

    Tõestus on argumentide kogum, mis muudab teoreemi ilmseks.

    Teoreem on tõestatud aksioomide abil.

    Teoreemi koostis. Iga teoreem koosneb tingimusest ja järeldusest.

    Seda seisundit nimetatakse mõnikord oletus, oletus, ja järeldust nimetatakse mõnikord tagajärg. Tingimus on antud ja seetõttu saab mõnikord ka nime antud.

    Teoreemi nimetatakse pöördvõrdeliseks, kui järeldusest saab tingimus ja tingimusest või eeldusest saab järeldus. Sel juhul nimetatakse seda teoreemi otseseks. Igal teoreemil ei ole oma pöördväärtust.

    Probleem või väljakutse on küsimus, mida saab lahendada teoreemide abil.

    Lemma on abitõde, mis hõlbustab teoreemi tõestamist.

    Kas te ei leidnud oma küsimusele vastust? Vaata siit
    Kaks pead ja kuus jalga; neli kõnnivad ja kaks lebavad paigalKaks pead ja kuus jalga; neli kõnnivad ja kaks lebavad paigal
    Enesehinnang - mis see on: mõiste, struktuur, tüübid ja tasemedEnesehinnang - mis see on: mõiste, struktuur, tüübid ja tasemed
    Cassandra tee ehk Pasta Adventures War on Earth and UndergroundCassandra tee ehk Pasta Adventures War on Earth and Underground