Kuidas leida funktsiooni monotoonsuse intervalle. b - lõplik arv

Teoreem monotoonse funktsiooni piiri kohta. Teoreemi tõestus on esitatud kahe meetodi abil. Samuti on antud rangelt kasvavate, mittekahanevate, rangelt kahanevate ja mittesuurenevate funktsioonide definitsioonid. Monotoonse funktsiooni definitsioon.

Definitsioonid

Suurenevate ja kahanevate funktsioonide määratlused
Olgu funktsioon f (x) määratletud mõnes komplektis reaalarvud x.
Funktsiooni kutsutakse rangelt kasvav (rangelt kahanev), kui kõigi x′, x′′ ∈ X nii et x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funktsiooni kutsutakse mitte-kahanev (mitte kasvav), kui kõigi x′, x′′ ∈ X nii et x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

See tähendab, et rangelt kasvav funktsioon ei ole ka vähenev. Rangelt kahanev funktsioon ei ole ka suurenev.

Monotoonse funktsiooni definitsioon
Funktsiooni kutsutakse üksluine kui see ei vähene või ei suurene.

Funktsiooni monotoonsuse uurimiseks mõnel hulgal X peate leidma selle väärtuste erinevuse kahes suvalised punktid kuuluvad sellesse komplekti. Kui , siis funktsioon on rangelt kasvav; kui , siis funktsioon ei vähene; kui , siis rangelt väheneb; kui , siis ei suurene.

Kui mõnel hulgal on funktsioon positiivne: , siis saab monotoonsuse määramiseks uurida selle väärtuste jagamiskoefitsienti selle hulga kahes suvalises punktis. Kui , siis funktsioon on rangelt kasvav; kui , siis funktsioon ei vähene; kui , siis rangelt väheneb; kui , siis ei suurene.

Teoreem
Olgu funktsioon f (x) intervalliga ei vähene (a, b), kus.
Kui see on ülalt piiratud arvuga M : , siis on punktis b : lõplik vasakpoolne piir. Kui f (x) ei ole ülalpool piiratud, siis .
Kui f (x) on altpoolt piiratud arvuga m : , siis on punktis a : lõplik parempoolne piir. Kui f (x) ei ole allpool piiratud, siis .

Kui punktid a ja b on lõpmatuses, siis avaldistes tähendavad piirmärgid, et .
Seda teoreemi saab sõnastada kompaktsemalt.

Olgu funktsioon f (x) intervalliga ei vähene (a, b), kus. Siis on punktides a ja b ühepoolsed piirid:
;
.

Sarnane teoreem mittekasvava funktsiooni kohta.

Funktsioon ei tohi suureneda intervallil , kus . Siis on ühepoolsed piirangud:
;
.

Tagajärg
Olgu funktsioon intervallil monotoonne. Siis on selle intervalli mis tahes punktis funktsioonil ühepoolsed lõplikud piirid:
ja .

Teoreemi tõestus

Funktsioon ei vähene

b - lõplik arv

Funktsioon on ülalt piiratud

1.1.1. Olgu funktsioon ülalt piiratud arvuga M : for .

.
;
.

Kuna funktsioon ei vähene, siis . Siis
aadressil .
Teisendame viimase ebavõrdsuse:
;
;
.
Sest siis. Siis
aadressil .

aadressil .
"Funktsiooni ühepoolsete piiride määratlused lõplikus punktis").

Funktsioon ei ole ülalt piiratud

1. Funktsioon ei tohi intervallil väheneda.
1.1. Olgu arv b lõplik: .
1.1.2. Olgu funktsioon ülalt piiramata.
Tõestame, et sel juhul on piir olemas.

.

aadressil .

Tähistame . Siis iga eksisteerib, nii et
aadressil .
See tähendab, et vasakpoolne piir punktis b on (vt "Funktsiooni ühepoolsete lõpmatute piiride definitsioonid lõpp-punktis").

b varajane pluss lõpmatus

Funktsioon on ülalt piiratud

1. Funktsioon ei tohi intervallil väheneda.
1.2.1. Olgu funktsioon ülalt piiratud arvuga M : for .
Tõestame, et sel juhul on piir olemas.

Kuna funktsioon on ülalt piiratud, on olemas lõplik ülemine piir
.
Vastavalt definitsioonile täpne ülemine nägu, sooritatakse järgmisi tingimusi:
;
iga positiivse jaoks on argument, mille poolt
.

Kuna funktsioon ei vähene, siis . Siis kell . Või
aadressil .

Nii leidsime, et iga jaoks on olemas arv , nii et
aadressil .
"Lõpmatuse ühepoolsete piiride määratlused").

Funktsioon ei ole ülalt piiratud

1. Funktsioon ei tohi intervallil väheneda.
1.2. Olgu arv b pluss lõpmatus: .
1.2.2. Olgu funktsioon ülalt piiramata.
Tõestame, et sel juhul on piir olemas.

Kuna funktsioon ei ole ülalt piiratud, siis iga arvu M jaoks on argument , mille jaoks
.

Kuna funktsioon ei vähene, siis . Siis kell .

Nii et iga jaoks on number , nii et
aadressil .
See tähendab, et piir at on (vt "Lõpmatuse ühepoolsete lõpmatute piiride definitsioonid").

Funktsioon ei suurene

Mõelge nüüd juhtumile, kui funktsioon ei suurene. Nagu ülalpool, võite kaaluda iga võimalust eraldi. Aga me katame need kohe ära. Selleks kasutame. Tõestame, et sel juhul on piir olemas.

Vaatleme funktsiooni väärtuste komplekti lõplikku alumist piiri:
.
Siin võib B olla kas lõplik arv või punkt lõpmatuses. Täpse infimumi määratluse kohaselt on täidetud järgmised tingimused:
;
mis tahes punkti B naabruskonna jaoks on argument, mille poolt
.
Teoreemi tingimusel, . Sellepärast .

Kuna funktsioon ei suurene, siis . Sellest ajast
aadressil .
Või
aadressil .
Lisaks märgime, et ebavõrdsus defineerib punkti b vasakpoolse punkteeritud naabruse.

Niisiis leidsime, et punkti b mis tahes naabruskonnas on punkti b nii läbimurtud vasakpoolne naabruskond, et
aadressil .
See tähendab, et punktis b vasakul olev piirang on:

(vt universaalset funktsiooni piiri määratlust Cauchy järgi).

Piir punktis a

Nüüd näitame, et punktis a on piir ja leiame selle väärtuse.

Vaatleme funktsiooni. Teoreemi tingimusel on funktsioon jaoks monotoonne. Asendame muutuja x -x-ga (või teeme asendus ja seejärel asendame muutuja t-ga x ). Siis on funktsioon jaoks monotoonne. Ebavõrdsuse korrutamine arvuga -1 ja muutes nende järjekorda, järeldame, et funktsioon on jaoks monotoonne.

Samamoodi on lihtne näidata, et kui ei vähene, siis ei suurene. Siis, vastavalt ülaltoodule, on piir
.
Kui ei suurene, siis ei vähene. Sel juhul on piir
.

Nüüd jääb üle näidata, et kui funktsioonil on limiit at , siis on ka funktsiooni limiit at ja need piirid on võrdsed:
.

Tutvustame tähistust:
(1) .
Avaldame f-i g-ga:
.
Võtke suvaline positiivne arv. Olgu punkti A epsiloni naabruskond. Epsiloni naabrus on määratletud nii A lõplike kui ka lõpmatute väärtuste jaoks (vt "Punkti naabruskond"). Kuna on olemas piir (1), siis vastavalt piiri määratlusele on iga jaoks olemas selline, et
aadressil .

Olgu a lõplik arv. Väljendame punkti -a vasakpoolset punkteeritud ümbrust võrratuste abil:
aadressil .
Asendame x -x-ga ja arvestame sellega:
aadressil .
Viimased kaks ebavõrdsust määravad punkti a läbitorkatud parempoolse naabruse. Siis
aadressil .

Olgu a lõpmatu arv, . Kordame arutelu.
kell ;
kell ;
kell ;
aadressil .

Niisiis, oleme leidnud, et iga jaoks on olemas selline
aadressil .
See tähendab et
.

Teoreem on tõestatud.

Esimest korda kohtusime 7. klassi algebra kursusel. Funktsiooni graafikut vaadates eemaldasime vastava info: kui liigume piki graafikut vasakult paremale, liigume samal ajal alt üles (nagu roniks mäkke), siis deklareerisime funktsiooni suurenevaks ( joonis 124); kui liikuda ülevalt alla (mäest alla minna), siis kuulutasime funktsiooni kahanevaks (joon. 125).

Kuid matemaatikutele selline funktsiooni omaduste uurimise viis väga ei meeldi. Nad usuvad, et mõistete definitsioonid ei tohiks põhineda joonisel – joonis peaks vaid illustreerima funktsiooni üht või teist omadust selle peal. diagramm. Andkem kasvavate ja kahanevate funktsioonide mõistete ranged määratlused.

Definitsioon 1. Funktsiooni y \u003d f (x) nimetatakse kasvavaks intervallil X, kui võrratusest x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definitsioon 2. Funktsiooni y \u003d f (x) nimetatakse intervalli X kahanevaks, kui võrratusest x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ebavõrdsus f(x1) > f(x2).

Praktikas on mugavam kasutada järgmisi koostisi:

funktsioon suureneb, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele;
funktsioon väheneb, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

Kasutades neid mõisteid ja §-s 33 kehtestatud omadusi arvulised ebavõrdsused, saame põhjendada järeldusi varem uuritud funktsioonide suurenemise või vähenemise kohta.

1. Lineaarfunktsioon y = kx + m

Kui k > 0, siis funktsioon tervikuna suureneb (joonis 126); kui k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Tõestus. Olgu f(x) = kx + m. Kui x 1< х 2 и k >Oh, siis arvuliste võrratuste omaduse 3 järgi (vt § 33) kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineaarne funktsioonid y = kx + m.

Kui x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ja vastavalt omadusele 2 tuleneb kx 1 > kx 2-st, et kx 1 + m > kx 2 + t.

Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). See tähendab, et funktsioon y \u003d f (x) väheneb, st. lineaarne funktsioon y = kx + m.

Kui funktsioon on kasvav (kahanev) kogu oma määratluspiirkonnas, siis võib seda nimetada suurenevaks (kahanevaks) ilma intervalli määramata. Näiteks funktsiooni y \u003d 2x - 3 kohta võime öelda, et see suureneb tervel arvureal, kuid võib öelda ka lühidalt: y \u003d 2x - 3 - suureneb
funktsiooni.

2. Funktsioon y = x2

1. Vaatleme tala funktsiooni y \u003d x 2. Võtke kaks mittepositiivset arvu x 1 ja x 2, nii et x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Kuna arvud - x 1 ja - x 2 on mittenegatiivsed, siis viimase võrratuse mõlemad osad ruudustades saame samatähendusliku võrratuse (-x 1) 2 > (-x 2) 2, s.o. See tähendab, et f (x 1) > f (x 2).

Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Seetõttu funktsioon y \u003d x 2 väheneb talal (- 00, 0] (joon. 128).

1. Vaatleme funktsiooni intervallil (0, + 00).
Olgu x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). See tähendab, et funktsioon väheneb avatud kiirel (0, + 00) (joonis 129).

2. Vaatleme funktsiooni intervallil (-oo, 0). Olgu x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negatiivsed arvud. Siis - x 1 > - x 2 ja viimase võrratuse mõlemad osad - positiivsed numbrid, ja seetõttu (kasutasime taas § 33 näites 1 tõestatud ebavõrdsust). Siis on meil , kust me saame .

Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) st. funktsioon väheneb avatud valgusvihu korral (- 00 , 0)

Tavaliselt ühinevad mõisted "suurenev funktsioon", "vähendav funktsioon". üldnimetus monotoonne funktsioon ning suurendamise ja kahanemise funktsiooni uurimist nimetatakse monotoonsuse funktsiooni uurimiseks.

Lahendus.

1) Joonistame funktsiooni y \u003d 2x 2 ja võtame selle parabooli haru punktis x< 0 (рис. 130).

2) Ehitame ja valime lõigule selle osa (joonis 131).

3) Konstrueerime hüperbooli ja valime selle osa avatud kiirel (4, + 00) (joonis 132).
4) Kõik kolm "tükki" on kujutatud samas koordinaatsüsteemis - see on funktsiooni y \u003d f (x) graafik (joonis 133).

Loeme funktsiooni y \u003d f (x) graafikut.

1. Funktsiooni ulatus on terve arvurida.

2. y \u003d 0 x \u003d 0 jaoks; y > 0, kui x > 0.

3. Funktsioon kiirel väheneb (-oo, 0], lõigul suureneb, kiirel väheneb, lõigul kumer ülespoole, kiirel allapoole kumer Vaatleme funktsiooni \(f(t)=t^3+t\) . Seejärel kirjutatakse võrrand ümber järgmisel kujul: \ Uurime funktsiooni \(f(t)\) . \ Seetõttu funktsioon \(f(t)\) kasvab kõigi \(t\) . See tähendab, et iga funktsiooni \(f(t)\) väärtus vastab täpselt argumendi \(t\) ühele väärtusele. Seega, et võrrandil oleks juured, on teil vaja: \ Et saadud võrrandil oleks kaks juurt, peab selle diskriminant olema positiivne: \

Vastus:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Ülesanne 2 #2653

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leia kõik parameetri \(a\) väärtused, mille jaoks võrrand on \

on kaks juurt.

(Tellijate ülesanne.)

Teeme asendused: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Siis saab võrrand järgmise kuju: \ Vaatleme funktsiooni \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Siis saab meie võrrand järgmise kuju:

Leiame tuletise \ Pange tähele, et kõigi \(w\ne 0\) tuletis on \(f"(w)>0\) , kuna \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Pange tähele ka et funktsioon \(f(w)\) ise on defineeritud kõigi \(w\) jaoks. Kuna pealegi on \(f(w)\) pidev, võime järeldada, et \(f (w)\) on kasvab kõigil \(\mathbb(R)\) .
Seega on võrdus \(f(t)=f(u)\) võimalik siis ja ainult siis, kui \(t=u\) . Läheme tagasi algsete muutujate juurde ja lahendame saadud võrrandi:

\ Selleks, et sellel võrrandil oleks kaks juurt, peab see olema ruut ja selle diskriminant positiivne:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Vastus:

\((-\infty;1)\tass(1;2)\)

Ülesanne 3 #3921

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik positiivsed väärtused, mille jaoks võrrand on

sisaldab vähemalt \(2\) lahendust.

Liigutagem kõik terminid, mis sisaldavad \(ax\) vasakule ja need, mis sisaldavad \(x^2\) paremale, ning kaalume funktsiooni
\

Siis on algne võrrand järgmine:
\

Leiame tuletise:
\

Sest \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), siis \(f"(t)\geqslant 0\) mis tahes \(t\in \mathbb(R)\) jaoks.

Veelgi enam, \(f"(t)=0\), kui \((t-2)^2=0\) ja \(1+\cos(2t)=0\) samal ajal, mis pole tõsi mis tahes \ (t\) jaoks Seetõttu \(f"(t)> 0\) iga \(t\in \mathbb(R)\) jaoks.

Seega funktsioon \(f(t)\) kasvab rangelt kõigi \(t\in \mathbb(R)\) korral.

Seega on võrrand \(f(ax)=f(x^2)\) samaväärne võrrandiga \(ax=x^2\) .

Võrrandil \(x^2-ax=0\) \(a=0\) on üks juur \(x=0\) ja \(a\ne 0\) on kaks erinev juur\(x_1=0\) ja \(x_2=a\) .
Peame leidma väärtused \(a\), mille võrrandil on vähemalt kaks juurt, võttes arvesse ka asjaolu, et \(a>0\) .
Seetõttu on vastus: \(a\in (0;+\infty)\) .

Vastus:

\((0;+\infty)\) .

Ülesanne 4 #1232

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand \

on ainulaadne lahendus.

Korrutage võrrandi parem ja vasak pool arvuga \(2^(\sqrt(x+1))\) (sest \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) ja kirjutage võrrand ümber järgmiselt : \

Mõelge funktsioonile \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) jaoks (sest \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Tuletis \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\parem)\).

Sest \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) kõigi jaoks \(t\geqslant 0\) , siis \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Järelikult väheneb \(t\geqslant 0\) funktsioon \(y\) monotoonselt.

Võrrandit saab vaadata kui \(y(t)=y(z)\) , kus \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Funktsiooni monotoonsusest järeldub, et võrdsus on võimalik ainult siis, kui \(t=z\) .

See tähendab, et võrrand on samaväärne võrrandiga: \(ax=\sqrt(x+1)\) , mis omakorda on samaväärne süsteemiga: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

\(a=0\) jaoks on süsteemil üks lahendus \(x=-1\) , mis vastab tingimusele \(ax\geqslant 0\) .

Mõelge juhtumile \(a\ne 0\) . Süsteemi \(D=1+4a^2>0\) esimese võrrandi diskriminant kõigi \(a\) jaoks. Seetõttu on võrrandil alati kaks juurt \(x_1\) ja \(x_2\) ning neil on erinevad märgid (sest Vieta teoreemi järgi \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

See tähendab, et \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) positiivne juur sobib tingimusega. Seetõttu on süsteemil alati unikaalne lahendus.

Seega \(a\in \mathbb(R)\) .

Vastus:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Ülesanne 5 #1234

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand \

sellel on vähemalt üks juur vahemikust \([-1;0]\) .

Mõelge funktsioonile \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) mõne fikseeritud \(a\) jaoks. Leiame selle tuletise: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Pange tähele, et \(f"(x)\geqslant 0\) kõigi \(x\) ja \(a\) väärtuste jaoks ning võrdub \(0\) ainult \(x=a=1) \) . Aga \(a=1\) jaoks:
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Paremnool f(x)=2(x-1)^3 \Paremnool\) võrrandil \(2(x-1)^3=0\) on üks juur \(x=1\), mis tingimust ei täida. Seetõttu ei saa \(a\) olla võrdne \(1\) .

Seega on kõigi \(a\ne 1\) funktsioon \(f(x)\) rangelt kasvav, seega võib võrrandil \(f(x)=0\) olla kuni üks juur. Arvestades kuupfunktsiooni omadusi, näeb mõne fikseeritud \(a\) graafik \(f(x)\) välja järgmine:

Seega, et võrrandil oleks juur segmendist \([-1;0]\) , on vaja: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Paremnool \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(juhtumid) \Paremnool \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Seega \(a\in [-2;0]\) .

Vastus:

\(a\in [-2;0]\) .

Ülesanne 6 #2949

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

on juured.

(Tellijate ülesanne)

odz võrrand: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightrow\quad x\in \). Seega, et võrrandil oleks juured, on vajalik, et vähemalt üks võrranditest \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(või)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] oli ODZ kohta otsuseid.

1) Vaatleme esimest võrrandit \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(kogutud)\begin(joondatud) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(joondatud) \end(kogutud)\paremale. \quad\Leftright nool\quad \sin x=2a+2\] Selle võrrandi juured peavad olema \(\) . Mõelge ringile:

Seega näeme, et mis tahes \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) võrrandil on üks lahend ja kõigi teiste jaoks pole sellel lahendeid. Seetõttu millal \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) võrrandil on lahendid.

2) Vaatleme teist võrrandit \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Vaatleme funktsiooni \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Leiame selle tuletise: \ ODZ-l on tuletis üks null: \(x=\frac34\) , mis on ühtlasi funktsiooni \(f(x)\) maksimumpunkt.
Pange tähele, et \(f(0)=f(1)=0\) . Skemaatiliselt näeb graafik \(f(x)\) välja selline:

Seetõttu on võrrandi lahendite saamiseks vajalik, et graafik \ (f (x) \) ristuks joonega \ (y \u003d -a \) (üks sobivaid valikuid on näidatud joonisel) . See tähendab, et see on vajalik \ . Nendega \(x\):

Funktsioon \(y_1=\sqrt(x-1)\) kasvab rangelt. Funktsiooni \(y_2=5x^2-9x\) graafik on parabool, mille tipp asub punktis \(x=\dfrac(9)(10)\) . Seetõttu on kõigi \(x\geqslant 1\) puhul ka funktsioon \(y_2\) rangelt kasvav (parabooli parem haru). Sest rangelt suurenevate funktsioonide summa rangelt kasvab, siis \(f_a(x)\) rangelt suureneb (konstant \(3a+8\) funktsiooni monotoonsust ei mõjuta).

Funktsioon \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) kõigi \(x\geqslant 1\) jaoks on osa hüperbooli parempoolsest harust ja on rangelt kahanev.

Võrrandi \(f_a(x)=g_a(x)\) lahendamine tähendab funktsioonide \(f\) ja \(g\) lõikepunktide leidmist. Nende vastupidisest monotoonsusest järeldub, et võrrandil võib olla kõige rohkem üks juur.

\(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Seetõttu on võrrandil ainulaadne lahendus, kui:

\\ tass

Vastus:

\(a\in(-\infty;-1]\tass)