Milliste arvude puhul on ebavõrdsuse märk õige? Videotund “Arvuliste võrratuste omadused

Väide on tõestatud.

Tõepoolest, näiteks 2< 3, но

Omadus 4. Kui a > b ja c > d, siis a + c > b + d.

Tõestus. Kuna a>b ja c>d, on erinevused a-b ja c-d positiivsed arvud. Siis on ka nende arvude summa positiivne arv (a-b)+(c-d). Laiendage sulud ja rühmitage (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Seda võrdsust silmas pidades on saadud avaldis (a + c) - (b + d) positiivne arv. Seetõttu a+ c> b+ d.

Ebavõrdsused kujul a>b, c>d või a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Omadus 5. Kui a > b, c > d, siis ac > bd, kus a, b, c, d on positiivsed arvud.

Tõestus. Kuna a>b ja c on positiivne arv, siis omadust 3 kasutades saame ac > bc. Kuna c >d ja b on positiivne arv, siis bc > bd. Seetõttu esimese atribuudiga ac > bd. Tõestatud omaduse tähendus on järgmine: "Kui korrutada termin samatähenduslikud võrratused, milles vasak ja parem osa on positiivsed arvud, saame samatähendusliku võrratuse"

Näiteks 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Vara 6. Kui a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Tõestus. Kui korrutada liikmega, need n võrratused a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Omandi taotlemine

Vaatleme näidet meie poolt käsitletud omaduste rakendamisest.

Las 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Hinnake summat a + b. Kasutades atribuuti 4, saame 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Hinnake erinevust a - b. Kuna lahutamise omadust pole, siis vahe a - b asendatakse summaga a + (-b). Hindame kõigepealt (- b). Selleks kasutatakse omadust 3, mõlemad ebavõrdsuse 3 osad< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Saame -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Hinnake korrutist a ∙ b. Omadusega 5 korrutame sama märgi võrratused

Ebavõrdsusega kohtusime koolis, kus kasutame arvulisi ebavõrdsusi. Selles artiklis käsitleme arvuliste võrratuste omadusi, millest mõned on nendega töötamise põhimõtted.

Võrratuste omadused on sarnased arvuliste võrratuste omadustega. Omadused, selle põhjendused tulevad läbi, toome näiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numbrilised ebavõrdsused: definitsioon, näited

Ebavõrdsuse kontseptsiooni tutvustamisel oleme seisukohal, et nende määratlus tehakse kirje tüübi järgi. On algebralisi avaldisi, millel on märgid ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Anname definitsiooni.

Definitsioon 1

Numbriline ebavõrdsus nimetatakse ebavõrdsuseks, mille mõlemal poolel on arvud ja arvavaldised.

Arvulisi ebavõrdsusi käsitletakse koolis pärast naturaalarvude uurimist. Selliseid võrdlusoperatsioone uuritakse samm-sammult. Esialgne välimus on 1< 5 , 5 + 7 >3 . Pärast seda reegleid täiendatakse ja võrratused muutuvad keerulisemaks, siis saame võrratused kujul 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73-17 2< 0 .

Numbriliste võrratuste omadused

Ebavõrdsustega korrektseks töötamiseks peate kasutama arvuliste võrratuste omadusi. Need pärinevad ebavõrdsuse mõistest. Sellist mõistet täpsustatakse lausega, mis on tähistatud kui "suurem kui" või "vähem kui".

2. definitsioon

• arv a on suurem kui b, kui erinevus a - b on positiivne arv;
• arv a on väiksem kui b, kui erinevus a - b on negatiivne arv;
• arv a on võrdne b-ga, kui erinevus a - b on võrdne nulliga.

Määratlust kasutatakse ebavõrdsuse lahendamisel suhetega "väiksem või võrdne", "suurem või võrdne". Me saame sellest aru

3. määratlus

• a on suurem kui b või sellega võrdne, kui a - b on mittenegatiivne arv;
• a on väiksem kui b või sellega võrdne, kui a - b on mittepositiivne arv.

Definitsioone hakatakse kasutama arvuliste võrratuste omaduste tõestamisel.

Põhiomadused

Vaatleme 3 peamist ebavõrdsust. Märkide kasutamine< и >iseloomulik omadustega:

4. määratlus

• antirefleksiivsus, mis ütleb, et mis tahes arv a võrratusest a< a и a >a loetakse kehtetuks. On teada, et iga a korral kehtib võrdus a − a = 0, seega saame, et a = a. Nii et a< a и a >a on vale. Näiteks 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 on valed.
• asümmeetria. Kui arvud a ja b on sellised, et a< b , то b >a , ja kui a > b , siis b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Teine osa on tõestatud sarnasel viisil.

Näide 1

Näiteks kui võtta arvesse ebavõrdsust 5< 11 имеем, что 11 >5 , siis kirjutatakse selle arvuline võrratus − 0 , 27 > − 1 , 3 ümber kujul − 1 , 3< − 0 , 27 .

Enne järgmise omaduse juurde liikumist märgime, et asümmeetria abil saab lugeda ebavõrdsust paremalt vasakule ja vastupidi. Seega saab arvulist ebavõrdsust muuta ja vahetada.

Definitsioon 5

• transitiivsus. Kui arvud a , b , c vastavad tingimusele a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b ja b > c , siis a > c .

Tõestus 1

Esimest väidet saab tõestada. Seisukord a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Teine osa transitiivsuse omadusega on tõestatud sarnaselt.

Näide 2

Analüüsitud omadust vaadeldakse võrratuste näitel − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ja 1 8 > 1 32 järeldub, et 1 2 > 1 32 .

Arvulistel võrratustel, mis on kirjutatud mitterangete võrratuse märkide abil, on refleksiivsuse omadus, kuna a ≤ a ja a ≥ a võivad olla võrdsed a = a. neid iseloomustab asümmeetria ja transitiivsus.

Definitsioon 6

Võrratustel, mille tähistuses on märgid ≤ ja ≥, on järgmised omadused:

• refleksiivsus a ≥ a ja a ≤ a loetakse tõeliseks ebavõrdsuseks;
• antisümmeetria, kui a ≤ b, siis b ≥ a ja kui a ≥ b, siis b ≤ a.
• transitiivsus, kui a ≤ b ja b ≤ c, siis a ≤ c, ja samuti, kui a ≥ b ja b ≥ c, siis a ≥ c .

Tõestus viiakse läbi sarnaselt.

Muud arvuliste võrratuste olulised omadused

Ebavõrdsuse põhiomaduste täiendamiseks kasutatakse tulemusi, millel on praktiline tähtsus. Rakendatakse avaldiste väärtuste hindamise meetodi põhimõtet, millel põhinevad ebavõrdsuse lahendamise põhimõtted.

See jaotis paljastab ühe range ebavõrdsuse märgi ebavõrdsuse omadused. Sama tehakse mitterangete puhul. Vaatleme näidet, sõnastades ebavõrdsuse, kui a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• kui a > b , siis a + c > b + c ;
• kui a ≤ b , siis a + c ≤ b + c ;
• kui a ≥ b , siis a + c ≥ b + c .

Mugavaks esitluseks anname vastava väite, mis kirjutatakse üles ja tuuakse tõestused, näidatakse kasutusnäiteid.

Definitsioon 7

Arvu lisamine või arvutamine mõlemale poolele. Teisisõnu, kui a ja b vastavad ebavõrdsusele a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Tõestus 2

Selle tõestamiseks on vajalik, et võrrand rahuldaks tingimust a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Näide 3

Näiteks kui võrratuse 7 > 3 mõlemat osa suurendada 15 võrra, siis saame 7 + 15 > 3 + 15 . See võrdub 22 > 18 .

Definitsioon 8

Kui ebavõrdsuse mõlemad osad korrutada või jagada sama arvuga c, saame õige ebavõrdsuse. Kui võtame arvu c negatiivseks, muutub märk vastupidiseks. Vastasel juhul näeb see välja järgmine: a ja b korral kehtib ebavõrdsus, kui a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >eKr.

Tõestus 3

Kui on juhtum c > 0 , on vaja teha vahe ebavõrdsuse vasak- ja parempoolse osa vahel. Siis saame, et a · c − b · c = (a − b) · c . Tingimusest a< b , то a − b < 0 , а c >0 , siis korrutis (a − b) · c on negatiivne. See tähendab, et a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Tõestuses saab täisarvuga jagamise asendada antud arvu pöördarvuga korrutamisega, st 1 c . Vaatleme teatud numbrite omaduse näidet.

Näide 4

Mõlemad ebavõrdsuse osad on lubatud 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Nüüd sõnastame järgmised kaks tulemust, mida kasutatakse ebavõrdsuse lahendamisel:

• Tagajärg 1. Arvulise ebavõrdsuse osade märkide muutmisel muutub ebavõrdsuse märk ise vastupidiseks, kuna< b , как − a >−b. See vastab reeglile, mille kohaselt korrutatakse mõlemad osad 1-ga. See on kohaldatav üleminekuks. Näiteks - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Tagajärg 2. Kui arvulise ebavõrdsuse osad asendatakse pöördväärtustega, muutub ka selle märk ja ebavõrdsus jääb tõeseks. Seega saame, et a ja b on positiivsed arvud, a< b , 1 a >1b.

Võrratuse mõlema osa jagamisel a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 meil on see 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b võib olla vale.

Näide 5

Näiteks – 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 on kehtetu võrdsus.

Kõiki punkte ühendab asjaolu, et tegevused ebavõrdsuse osadel annavad väljundis õige ebavõrdsuse. Vaatleme omadusi, kus algselt esineb mitu arvulist ebavõrdsust ja selle tulemus saadakse selle osade liitmisel või korrutamisel.

Definitsioon 9

Kui arvud a , b , c , d kehtivad võrratuste a korral< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Tõestus 4

Tõestame, et (a + c) − (b + d) on negatiivne arv, siis saame, et a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Atribuuti kasutatakse kolme, nelja või enama arvulise ebavõrdsuse liitmiseks. Arvud a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n alluvad võrratustele a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Näide 6

Näiteks kui on antud kolm sama märgiga arvulist võrratust − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definitsioon 10

Mõlema osa tähtajalise korrutamise tulemuseks on positiivne arv. Le< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Tõestus 5

Selle tõestamiseks vajame ebavõrdsuse a mõlemat poolt< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Seda omadust peetakse kehtivaks arvude arvu puhul, millega tuleb korrutada ebavõrdsuse mõlemad pooled. Siis a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n on positiivsed arvud, kus 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Pange tähele, et võrratuste kirjutamisel on mittepositiivsed arvud, siis nende terminite kaupa korrutamine toob kaasa ebaõiged võrratused.

Näide 7

Näiteks ebavõrdsus 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Tagajärg: Võrratuste tähtaegne korrutamine a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Numbriliste võrratuste omadused

Vaatleme järgmisi arvulise ebavõrdsuse omadusi.

1. a< a , a >a - vale ebavõrdsus,
   a ≤ a , a ≥ a on kehtivad võrratused.
2. Kui a< b , то b >a - antisümmeetria.
3. Kui a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Kui a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Kui a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Kui a< b и c - отрицательное число, то a · c >eKr.

Järeldus 1: kui a< b , то - a >-b.

Tagajärg 2: kui a ja b on positiivsed arvud ja a< b , то 1 a >1b.

1. Kui 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Kui 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n on positiivsed arvud ja a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Järeldus 1: kui a< b , a ja b on positiivsed arvud, siis a n< b n .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kõikide arvavaldiste puhul kehtivad järgmised omadused.

Vara 1. Kui õige arvulise võrratuse mõlemale osale lisada sama arvavaldis, siis saame õige arvulise võrratuse ehk see on tõsi: ; .

Tõestus. Kui a . Kasutades liitmistehte kommutatiivseid, assotsiatiivseid ja distributiivseid omadusi, saame: .

Seetõttu seose "suurem kui" määratluse järgi .

Vara 2. Kui lahutada õige arvulise võrratuse mõlemast osast sama arvavaldis, siis saame õige arvulise võrratuse ehk see on tõsi: ;

Tõestus. Tingimuste järgi . Eelmist omadust kasutades lisame selle võrratuse mõlemale osale arvavaldise , saame: .

Kasutades liitmistehte assotsiatiivset omadust, saame: , seega , Järelikult.

Tagajärg. Iga terminit saab arvulise võrratuse ühest osast teise vastupidise märgiga üle kanda.

Vara 3. Kui liidame õiged arvulised võrratused liikme kaupa, siis saame õige arvulise võrratuse ehk see on tõsi:

Tõestus. Omaduse 1 järgi saame: ja kasutades seose "suurem kui" transitiivsuse omadust, saame: .

Vara 4. Vastupidise tähendusega tõelisi arvulisi võrratusi saab lahutada termini haaval, säilitades ebavõrdsuse märgi, millest lahutame, see tähendab: ;

Tõestus. Tõeliste arvuliste võrratuste definitsiooni järgi . Vara 3 järgi, kui . Selle teoreemi omaduse 2 tulemusena saab mis tahes liiget üle kanda ühest võrratuse osast teise vastupidise märgiga. Järelikult . Seega, kui.

Vara on tõendatud sarnaselt.

Vara 5. Kui õige arvulise võrratuse mõlemad osad korrutada sama arvavaldisega, mis võtab positiivse väärtuse ilma võrratuse märki muutmata, siis saame õige arvulise võrratuse, see tähendab:

Tõestus. Millest . Meil on: siis . Kasutades korrutamise operatsiooni distributiivsust lahutamise suhtes, saame: .

Siis seose "suurem kui" määratluse järgi.

Vara on tõendatud sarnaselt.

Vara 6. Kui õige arvulise võrratuse mõlemad osad korrutada sama arvavaldisega, mis võtab negatiivse väärtuse, muutes ebavõrdsuse märgi vastupidiseks, siis saame õige arvulise võrratuse ehk: ;

Vara 7. Kui õige arvulise võrratuse mõlemad osad jagada sama arvavaldisega, mis võtab positiivse väärtuse ilma ebavõrdsuse märki muutmata, siis saame õige arvulise võrratuse, see tähendab:

Tõestus. Meil on: . Omandi 5 järgi saame: . Kasutades korrutamistoimingu assotsiatiivsust, saame: Järelikult .

Vara on tõendatud sarnaselt.

vara 8. Kui õige arvulise võrratuse mõlemad osad jagada sama arvavaldisega, mis võtab negatiivse väärtuse, muutes ebavõrdsuse märgi vastupidiseks, siis saame õige arvulise võrratuse ehk: ;

Jätame selle omaduse tõendi välja.

Vara 9. Kui korrutada termini haaval õiged samatähenduslikud arvulised võrratused negatiivsete osadega, muutes võrratuse märgi vastupidiseks, siis saame õige arvulise võrratuse ehk:

Jätame selle omaduse tõendi välja.

Kinnistu 10. Kui korrutada termini haaval samatähenduslikud õiged arvulised võrratused positiivsete osadega, ilma võrratuse märki muutmata, siis saame õige arvulise võrratuse ehk:

Jätame selle omaduse tõendi välja.

Kinnistu 11. Kui jagada termini kaupa õige vastupidise tähendusega arvuline ebavõrdsus positiivsete osadega, säilitades esimese võrratuse märgi, siis saame õige arvulise võrratuse, st:

;

.

Jätame selle omaduse tõendi välja.

Näide 1 Kas ebavõrdsus ja samaväärne?

Lahendus. Teine võrratus saadakse esimesest võrratusest, lisades selle mõlemale osale sama avaldise, mis ei ole defineeritud. See tähendab, et arv ei saa olla esimese ebavõrdsuse lahendus. See on aga lahendus teisele ebavõrdsusele. Seega on teisele ebavõrdsusele lahendus, mis ei ole esimese ebavõrdsuse lahendus. Seetõttu ei ole need ebavõrdsused samaväärsed. Teine ebavõrdsus on esimese ebavõrdsuse tagajärg, kuna iga lahendus esimesele ebavõrdsusele on lahendus teisele.

Esitatakse peamised ebavõrdsuse tüübid, sealhulgas Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovski, Tšebõševi ebavõrdsused. Vaadeldakse ebavõrdsuse omadusi ja nendega seotud toiminguid. Esitatakse peamised ebavõrdsuse lahendamise meetodid.

Põhivõrratuste valemid

Universaalse ebavõrdsuse valemid

Universaalsed ebavõrdsused on täidetud nendes sisalduvate koguste mis tahes väärtuste korral. Allpool on loetletud peamised universaalse ebavõrdsuse tüübid.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Võrdsus toimub ainult siis, kui a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Cauchy-Bunyakovsky ebavõrdsus

Võrdsus kehtib siis ja ainult siis, kui α a k = β b k kõigi k = 1, 2, ..., n ja mõne α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkowski ebavõrdsus, kui p ≥ 1

Rahuldatava ebavõrdsuse valemid

Nendes sisalduvate koguste teatud väärtuste puhul on rahuldatavad ebavõrdsused täidetud.

1) Bernoulli ebavõrdsus:
.
Üldisemalt:
,
kus , numbrid sama märgiga ja suurem kui -1 : .
Bernoulli lemma:
.
Vt "Ebavõrdsuse tõendid ja Bernoulli lemma".

2)
kui a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Tšebõševi ebavõrdsus
juures 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ja 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Kell 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ja b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Tšebõševi üldistatud ebavõrdsused
juures 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ja 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n ja k loomulik
.
Kell 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ja b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Ebavõrdsuse omadused

Ebavõrdsuse omadused on nende reeglite kogum, mis nende teisendamisel täidetakse. Allpool on toodud ebavõrdsuse omadused. On arusaadav, et esialgsed ebavõrdsused on täidetud väärtuste x i (i = 1, 2, 3, 4) puhul, mis kuuluvad mingisse etteantud intervalli.

1) Külgede järjekorra muutmisel pööratakse ebavõrdsusmärki.
Kui x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Kui x 1 ≤ x 2, siis x 2 ≥ x 1.
Kui x 1 ≥ x 2, siis x 2 ≤ x 1.
Kui x 1 > x 2, siis x 2< x 1 .

2) Üks võrdsus võrdub kahe erineva tähise mitterange ebavõrdsusega.
Kui x 1 = x 2, siis x 1 ≤ x 2 ja x 1 ≥ x 2.
Kui x 1 ≤ x 2 ja x 1 ≥ x 2, siis x 1 = x 2.

3) Transitiivsuse omadus
Kui x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Kui x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja x 2 ≤ x 3, siis x 1 ≤ x 3 .

4) Võrratuse mõlemale osale saab liita (lahutada) sama arvu.
Kui x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Kui x 1 ≤ x 2, siis x 1 + A ≤ x 2 + A .
Kui x 1 ≥ x 2, siis x 1 + A ≥ x 2 + A .
Kui x 1 > x 2, siis x 1 + A > x 2 + A.

5) Kui sama suuna märgiga võrratust on kaks või enam, siis võib nende vasaku ja parema osa liita.
Kui x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kui x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 , siis x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Sarnased väljendid esinevad märkide ≥, > puhul.
Kui esialgsed ebavõrdsused sisaldavad mitterangete ebavõrdsuse märke ja vähemalt ühte ranget ebavõrdsust (kuid kõik märgid on sama suunaga), siis liitmise tulemuseks on range ebavõrdsus.

6) Mõlemad võrratuse osad saab korrutada (jagada) positiivse arvuga.
Kui x 1< x 2 и A >0, siis A x 1< A · x 2 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja A > 0 , siis A x 1 ≤ A x 2 .
Kui x 1 ≥ x 2 ja A > 0, siis A x 1 ≥ A x 2.
Kui x 1 > x 2 ja A > 0, siis A x 1 > A x 2.

7) Mõlemad võrratuse osad saab korrutada (jagada) negatiivse arvuga. Sel juhul muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.
Kui x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2 .
Kui x 1 ≤ x 2 ja A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Kui x 1 ≥ x 2 ja A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Kui x 1 > x 2 ja A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Kui positiivsete liikmetega, samasuunalise märgiga võrratust on kaks või enam, siis saab nende vasaku ja parema osa omavahel korrutada.
Kui x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ja siis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kui x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ja siis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ja siis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Kui x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, siis x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Sarnased väljendid esinevad märkide ≥, > puhul.
Kui esialgsed ebavõrdsused sisaldavad mitterange ebavõrdsuse märke ja vähemalt ühte ranget ebavõrdsust (kuid kõik märgid on sama suunaga), siis korrutamise tulemuseks on range ebavõrdsus.

9) Olgu f(x) monotoonselt kasvav funktsioon. See tähendab, et iga x 1 > x 2 korral on f(x 1) > f(x 2) . Siis saab seda funktsiooni rakendada mõlemale võrratuse osale, millest alates võrratuse märk ei muutu.
Kui x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Kui x 1 ≤ x 2, siis f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kui x 1 ≥ x 2, siis f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kui x 1 > x 2, siis f(x 1) > f(x 2) .

10) Olgu f (x) monotoonselt kahanev funktsioon, st mis tahes x 1 > x 2 korral f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Kui x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Kui x 1 ≤ x 2, siis f(x 1) ≥ f(x 2) .
Kui x 1 ≥ x 2, siis f(x 1) ≤ f(x 2) .
Kui x 1 > x 2, siis f(x 1)< f(x 2) .

Ebavõrdsuse lahendamise meetodid

Võrratuste lahendamine intervallmeetodil

Intervallmeetod on rakendatav, kui ebavõrdsus sisaldab ühte muutujat, mida tähistame kui x , ja see on kujul:
f(x) > 0
kus f(x) on pidev funktsioon, millel on piiratud arv katkestuspunkte. Ebavõrdsuse märk võib olla ükskõik milline: >, ≥,<, ≤ .

Intervalli meetod on järgmine.

1) Leia funktsiooni f(x) domeen ja märgi see intervallidega reaalteljel.

2) Leia funktsiooni f(x) katkestuspunktid. Näiteks kui see on murd, siis leiame punktid, kus nimetaja kaob. Märgime need punktid numbriteljel.

3) Lahenda võrrand
f(x) = 0.
Selle võrrandi juured on märgitud arvujoonele.

4) Selle tulemusena jagatakse numbritelg punktide kaupa intervallideks (segmentideks). Igas määratluspiirkonnas sisalduvas intervallis valime suvalise punkti ja arvutame selles punktis funktsiooni väärtuse. Kui see väärtus on suurem kui null, siis paneme segmendi (intervalli) kohale plussmärgi. Kui see väärtus on väiksem kui null, siis segmendi (intervalli) kohale paneme märgi "-".

5) Kui ebavõrdsus on kujul: f(x) > 0 , siis vali intervallid plussmärgiga. Ebavõrdsuse lahendus on nende intervallide liit, mis ei sisalda nende piire.
Kui võrratus on kujul: f(x) ≥ 0 , siis liidame lahendusele punktid, kus f(x) = 0 . See tähendab, et mõnel intervallil võivad olla suletud piirid (piir kuulub intervalli). teine ​​osa võib olla avatud piiridega (piir ei kuulu intervalli).
Samamoodi, kui ebavõrdsus on: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Kui võrratus näeb välja selline: f(x) ≤ 0, siis liidame lahendusele punktid, kus f(x) = 0 .

Võrratuste lahendamine nende omadusi rakendades

Seda meetodit saab kasutada mis tahes keerukusega ebavõrdsuse korral. See seisneb ülaltoodud omaduste rakendamises, et vähendada ebavõrdsust lihtsamale kujule ja saada lahendus. On täiesti võimalik, et selle tulemuseks pole mitte üks, vaid ebavõrdsuse süsteem. See on universaalne meetod. See kehtib igasuguse ebavõrdsuse kohta.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

LINEAARSED VÕRDED JA VÕRRADUSED I

§ 10 Numbriliste võrratuste põhiomadused

1. Kui a > b, siis b< а , ja vastupidi, kui a< b , siis b > a.

Tõestus. Lase a > b . Definitsiooni järgi tähendab see, et arv ( a - b ) on positiivne. Kui paneme selle ette miinusmärgi, siis tulemuseks on - ( a - b ) on ilmselt negatiivne. Sellepärast - ( a - b ) < 0, или b - a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Kutsume õpilasi üles vastupidist väidet iseseisvalt tõestama.

Võrratuste tõestatud omadus võimaldab lihtsat geomeetrilist tõlgendamist: kui punkt A asub reaalsirgel punktist B paremal, siis punkt B asub punktist A vasakul ja vastupidi (vt joonis 20).

2. Kui a > b, a b > c, siis a > c.

Geomeetriliselt on see omadus järgmine. Olgu punkt A (vastab arvule a ) asub punktist B paremal (vastab arvule b ) ja punkt B asub omakorda punktist C paremal (vastab arvule Koos ). Siis jääb punkt A veelgi enam punktist C paremale (joonis 21).

Toome selle võrratuse omaduse algebralise tõestuse.

Lase a > b , a b > c . See tähendab, et numbrid ( a - b ) ja ( b-c ) on positiivsed. Kahe positiivse arvu summa on ilmselgelt positiivne. Sellepärast ( a - b ) + (b-c ) > 0 või a - c > 0. See aga tähendab seda a > Koos .

3. Kui a > b, siis mis tahes numbri jaoks Koos a + c > b + c, a - c > b - c.

Teisisõnu, kui arvulise võrratuse mõlemale osale liidetakse või lahutatakse sama arv, siis ebavõrdsust ei rikuta.

Tõestus. Lase a > b . See tähendab et a - b > 0. Aga a - b = (a + c ) - (b + c ). Sellepärast ( a + c ) - (b + c ) > 0. Ja definitsiooni järgi tähendab see seda a + c > b + c . Samamoodi on näidatud, et a - c > b - c .

Näiteks kui liidame võrratuse 5 > 4 mõlemale osale 1 1/2, siis saame
6 1/2 > 5 1/2. Lahutades selle võrratuse mõlemast osast arvu 5, saame 0 > - 1.

Tagajärg. Numbrilise võrratuse ühe osa mis tahes liikme saab üle kanda teise võrratuse osasse, muutes selle liikme märgi vastupidiseks.

Olgu näiteks a + b > c . Seda on vaja tõestada a > c - b . Selle ebavõrdsuse mõlema osa tõestamiseks piisab arvu lahutamisest b .

4. Lase a > b. Kui a c > 0, siis ac > eKr . Kui Koos< 0 , siis äss< bс .

Teisisõnu, kui arvulise võrratuse mõlemad osad korrutada positiivse arvuga, siis võrratust ei rikuta;
Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks.

Lühidalt, see omadus on sõnastatud järgmiselt:

Ebavõrdsus säilib järgu kaupa positiivse arvuga korrutamise korral ja märgi ümberkorrutamise korral negatiivse arvuga.

Näiteks korrutades võrratuse 5 > 1 liige liikmega 7-ga, saame 35 > 7. Sama ebavõrdsuse liigete kaupa korrutamine - 7-ga annab - 35< - 7.

4. vara tõend.

Lase a > b. See tähendab, et number a - b positiivselt. Kahe positiivse arvu korrutis a - b ja Koos on ilmselgelt ka positiivne, st ( a - b ) Koos > 0 või
ac - bc > 0. Seetõttu ac > eKr .

Samamoodi käsitleme juhtumit, kui number Koos negatiivne. Positiivse arvu korrutis a - b negatiivsele arvule Koos on ilmselgelt negatiivne, st.
(a - b) c< 0; sellepärast ac - eKr< 0, kust äss< bс .

Tagajärg. Ebavõrdsusmärk säilib, kui jagatakse liikme kaupa positiivse arvuga ja pöördutakse ümber, kui jagatakse liikmega negatiivse arvuga.

See tuleneb arvuga jagamisest Koos =/= 0 võrdub arvuga 1 korrutamisega / c .

Harjutused

81. Kas võrratust 2 > 1 saab liikme kaupa korrutada arvuga

a) a 2+1; b) | a |; sisse) a ; d) 1-2a + a 2

et ebavõrdsusmärk säiliks?

82. Kas see on alati 5 X üle 4 X , a - juures vähem juures ?

83. Mis võib olla arv X kui on teada, et - X > 7?

84. Järjesta arvu järgi kasvavas järjekorras: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 a , 2a ; sisse) a , a 2 , a 3 . 85. Järjesta arvu järgi kahanevas järjekorras

a - b , a - 2b , a - 3b .

86. Andke arvuliste võrratuste kolmanda omaduse geomeetriline tõlgendus.