Skalaarväärtus füüsika näidetes. Haamri ja alasi vahel

Vektori kogus (vektor) on füüsikaline suurus, millel on kaks tunnust – moodul ja suund ruumis.

Vektorsuuruste näited: kiirus (), jõud (), kiirendus () jne.

Geomeetriliselt on vektor kujutatud sirgjoone suunatud lõiguna, mille pikkus skaalal on vektori moodul.

Raadiuse vektor(tavaliselt tähistatakse või lihtsalt) - vektor, mis määrab punkti asukoha ruumis mõne eelnevalt fikseeritud punkti suhtes, mida nimetatakse alguspunktiks.

Sest suvaline punkt ruumis on raadiusvektor vektor alguspunktist sellesse punkti.

Raadiusvektori pikkus ehk selle moodul määrab kauguse, mille kaugusel punkt asub alguspunktist, ja nool näitab suunda sellesse ruumipunkti.

Tasapinnal on raadiusvektori nurk nurk, mille võrra raadiusvektorit pööratakse abstsisstelje suhtes vastupäeva.

nimetatakse joont, mida mööda keha liigub liikumise trajektoor. Olenevalt trajektoori kujust võib kõik liikumised jagada sirgjoonelisteks ja kõverjoonelisteks.

Liikumise kirjeldus algab vastusega küsimusele: kuidas muutus keha asend ruumis teatud aja jooksul? Kuidas määratakse keha asendi muutumine ruumis?

liigub- suunatud segment (vektor), mis ühendab keha alg- ja lõppasendit.

Kiirus(sageli tähistatud, inglise keelest. kiirus või fr. vitesse) - liikumiskiirust ja liikumissuunda iseloomustav vektorfüüsikaline suurus materiaalne punkt ruumis valitud võrdlussüsteemi suhtes (näiteks nurkkiirus). Sama sõna võib olla skalaar, täpsemalt raadiusvektori tuletise moodul.

Teadus kasutab ka kiirust lai tähendus, kui mõne suuruse (mitte tingimata raadiusvektori) muutumise kiirus, mis sõltub teisest (sagedamini muutub ajas, aga ka ruumis või muus). Nii näiteks räägitakse temperatuuri muutumise kiirusest, kiirusest keemiline reaktsioon, grupikiirus, ühenduskiirus, nurkkiirus jne. Matemaatiliselt iseloomustab funktsiooni tuletis.

Kiirendus(tavaliselt tähistatakse , sisse teoreetiline mehaanika), on kiiruse tuletis aja suhtes vektorsuurus, mis näitab, kui palju muutub punkti (keha) kiirusvektor selle liikumisel ajaühikus (st kiirendus ei võta arvesse mitte ainult kiiruse suuruse muutust). , aga ka selle suund).

Näiteks Maa lähedale langev keha, kui õhutakistust saab tähelepanuta jätta, suurendab oma kiirust iga sekundiga umbes 9,8 m / s, see tähendab, et selle kiirendus on 9,8 m / s².

Mehaanika haru, mis uurib liikumist kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, selle registreerimist, samuti kiiruste ja kiirenduste registreerimist erinevaid süsteeme viidet nimetatakse kinemaatikaks.

Kiirenduse ühik on meetrit sekundis sekundis ( m/s 2, m/s 2), on olemas ka süsteemiväline mõõtühik Gal (Gal), mida kasutatakse gravimeetrias ja mis võrdub 1 cm/s 2 .

Kiirenduse tuletis aja suhtes st. Väärtust, mis iseloomustab kiirenduse muutumise kiirust ajas, nimetatakse jerkiks.

Lihtsaim keha liikumine on selline, mille käigus kõik keha punktid liiguvad ühtemoodi, kirjeldades samu trajektoore. Sellist liikumist nimetatakse progressiivne. Seda tüüpi liikumise saame kildu liigutades nii, et see jääks kogu aeg endaga paralleelseks. Translatsioonilise liikumise korral võivad trajektoorid olla nii sirged (joon. 7, a) kui ka kõverad (joon. 7, b) jooned.
Võib tõestada, et translatsioonilise liikumise ajal jääb kehasse tõmmatud sirge iseendaga paralleelseks. See tunnusmärk seda on mugav kasutada vastamaks küsimusele, kas keha antud liikumine on translatsiooniline. Näiteks kui silinder veereb mööda tasapinda, ei jää telge lõikuvad jooned iseendaga paralleelseks: veeremine ei ole translatsiooniline liikumine. Kui T-ruut ja ruut liiguvad mööda joonestuslauda, ​​jääb iga neisse tõmmatud sirgjoon iseendaga paralleelseks, mis tähendab, et nad liiguvad edasi (joonis 8). Õmblusmasina nõel liigub edasi, kolb aurumasina või mootori silindris sisepõlemine, auto kere (aga mitte rattad!) sirgel teel sõites jne.

Teine lihtne liikumisviis on pöörlev liikumine keha või pöörlemine. Pöörleva liikumise ajal liiguvad kõik keha punktid mööda ringjooni, mille keskpunktid asuvad sirgel. Seda joont nimetatakse pöörlemisteljeks (joonisel 9 sirge 00 "). Ringid asetsevad paralleelsetes tasapindades, mis on pöördeteljega risti. Pöörlemisteljel asuvad keha punktid jäävad liikumatuks. Pöörlemine ei ole progressiivne liikumine: kui telg on pööratud OO". Näidatud teed jäävad paralleelseks ainult pöörlemisteljega paralleelsete sirgjoontega.

Absoluutselt jäik kere- mehaanika teine ​​võrdlusobjekt koos materiaalse punktiga.

Määratlusi on mitu:

1. Absoluutselt jäik keha on klassikalise mehaanika mudelkontseptsioon, mis tähistab materiaalsete punktide kogumit, mille vahelised kaugused säilivad selle keha sooritatavate liikumiste käigus. Teisisõnu, absoluutselt jäik keha mitte ainult ei muuda oma kuju, vaid hoiab ka massi jaotuse sees muutumatuna.

2. Absoluutselt jäik keha on mehaaniline süsteem, millel on ainult translatsiooni- ja pöörlemisvabadusaste. "Kõvadus" tähendab, et keha ei saa deformeeruda, see tähendab, et kehale ei saa üle kanda muud energiat, välja arvatud kineetiline energia translatsiooni- või pöörlev liikumine.

3. Absoluutselt tahke- keha (süsteem), mille ühegi punkti vastastikune asend ei muutu, olenemata sellest, millistes protsessides see osaleb.

AT kolmemõõtmeline ruum ja sidemete puudumisel on absoluutselt jäigal kehal 6 vabadusastet: kolm translatsioonilist ja kolm pöörlevat. Erandiks on kaheaatomiline molekul või klassikalise mehaanika keeles tahke varras, mille paksus on null. Sellisel süsteemil on ainult kaks pöörlemisvabadusastet.

Töö lõpp -

See teema kuulub:

Tõestamata ja ümberlükkamata hüpoteesi nimetatakse avatud probleemiks.

Füüsika on matemaatikaga tihedalt seotud, matemaatika annab aparaadi, mille kaudu füüsikalised seadused saab täpselt sõnastada.. teooria gr.

Kui vajate lisamaterjal sellel teemal või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida me teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal osutus teile kasulikuks, saate selle sotsiaalvõrgustikes oma lehele salvestada:

säutsuma

Kõik selle jaotise teemad:

Relatiivsusteooria põhimõte mehaanikas
Inertsiaalsed referentssüsteemid ja relatiivsuspõhimõte. Galilei teisendused. Transformatsiooni invariandid. Absoluutsed ja suhtelised kiirused ja kiirendused. Postulaadid erilise t

Materiaalse punkti pöörlev liikumine.
Materiaalse punkti pöörlev liikumine on materiaalse punkti liikumine mööda ringi. Pöörlev liikumine – vaade mehaaniline liikumine. Kell

Lineaar- ja nurkkiiruste vektorite seos, lineaar- ja nurkkiirendus.
Pöörleva liikumise mõõt: nurk φ, mille võrra punkti raadiuse vektor pöörleb pöörlemistelje suhtes normaalses tasapinnas. Ühtlane pöörlev liikumine

Kiirus ja kiirendus kõverjoonelisel liikumisel.
Kurviline liikumine üle keeruline vaade liikumine kui sirgjooneline, sest isegi kui liikumine toimub tasapinnal, siis kaks keha asendit iseloomustavat koordinaati muutuvad. kiirus ja

Kiirendus kõverjoonelise liikumise ajal.
Arvestades kõverjooneline liikumine keha, näeme, et selle kiirus on erinevatel hetkedel erinev. Isegi juhul, kui kiiruse suurusjärk ei muutu, on kiiruse suund siiski muutuv

Newtoni liikumisvõrrand
(1) kus jõud F üldjuhul

Massikese
inertsi keskpunkt, geomeetriline punkt, mille asend iseloomustab masside jaotumist kehas või mehaanilises süsteemis. C. m koordinaadid määratakse valemitega

Massikeskme liikumisseadus.
Kasutades impulsi muutumise seadust, saame massikeskme liikumisseaduse: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi

Galilei relatiivsusteooria põhimõte
Inertsiaalne tugiraamistik Galileo inertsiaalne tugiraamistik

Plastiline deformatsioon
Painutame natuke terasplaati (näiteks rauasaagi) ja laseme siis mõne aja pärast lahti. Näeme, et rauasaag taastab täielikult (vähemalt esmapilgul) oma kuju. Kui võtame

VÄLIS- JA SISEJÕUD
. Mehaanikas välised jõud antud materiaalsete punktide süsteemi suhtes (st selline materiaalsete punktide kogum, milles iga punkti liikumine sõltub kõigi telgede asenditest või liikumistest

Kineetiline energia
energiat mehaaniline süsteem, olenevalt selle punktide kiirustest. K. e. Materiaalse punkti T mõõdetakse poolega selle punkti massi m ja kiiruse ruudu korrutisest

Kineetiline energia.
Kineetiline energia – liikuva keha energia. (alates Kreeka sõna kinema – liikumine). Definitsiooni järgi võrdluskaadri kineetiline energia antud kaadris puhkeolekus

Väärtus, mis võrdub poolega keha massi ja selle kiiruse ruudu korrutisest.
=J. Kineetiline energia on suhteline väärtus, olenevalt CO valikust, sest keha kiirus sõltub CO valikust. See.

Võimu hetk
· Jõu hetk. Riis. Võimu hetk. Riis. Jõumoment, suurused

Pöörleva keha kineetiline energia
Kineetiline energia on aditiivne suurus. Seetõttu on suvaliselt liikuva keha kineetiline energia võrdne summaga kineetilised energiad kõik n materjalid

Töö ja jõud jäiga keha pöörlemisel.
Töö ja jõud jäiga keha pöörlemisel. Leiame väljenduse, millega töötada

Pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand
Võrrandi (5.8) kohaselt on Newtoni teine ​​​​seadus pöörleva liikumise P jaoks

Koguseid nimetatakse skalaariks (skalaarideks), kui pärast mõõtühiku valimist iseloomustatakse neid täielikult ühe arvuga. Skalaarsete suuruste näited on nurk, pind, maht, mass, tihedus, elektrilaeng, takistus, temperatuur.

Eristada tuleks kahte tüüpi skalaare: puhtad skalaarid ja pseudoskalaarid.

3.1.1. Puhtad skalaarid.

Puhtad skalaarid on täielikult määratletud ühe numbriga, sõltumata võrdlustelgede valikust. Temperatuur ja mass on puhaste skalaaride näited.

3.1.2. Pseudoskalaarid.

Nagu puhtad skalaarid, on ka pseudoskalaarid defineeritud ühe numbriga, absoluutväärtus mis ei sõltu võrdlustelgede valikust. Selle arvu märk sõltub aga positiivsete suundade valikust koordinaattelgedel.

Mõelge näiteks risttahukas, mille servade projektsioonid ristkülikukujulistel koordinaattelgedel on vastavalt võrdsed Selle rööptahuka ruumala määratakse determinandi abil

mille absoluutväärtus ei sõltu ristkülikukujuliste koordinaattelgede valikust. Kui aga muudate ühel koordinaatteljel positiivset suunda, muudab determinant märki. Helitugevus on pseudoskalaar. Pseudoskalaarid on ka nurk, pindala, pind. Allpool (jaotis 5.1.8) näeme, et pseudoskalaar on tegelikult teatud tüüpi tensor.

Vektori kogused

3.1.3. Telg.

Telg on lõpmatu sirge, millel valitakse positiivne suund. Olgu selline sirge ja suund alates

peetakse positiivseks. Vaatleme lõiku sellel sirgel ja oletame, et pikkust mõõdetav arv on a (joonis 3.1). Siis on lõigu algebraline pikkus võrdne a-ga, lõigu algebraline pikkus on võrdne - a.

Kui võtame mitu paralleelset sirget, siis pärast ühe neist positiivse suuna määramist määrame selle ülejäänud osas. Olukord on erinev, kui jooned pole paralleelsed; siis tuleb iga sirge positiivse suuna valimisel teha erikorraldus.

3.1.4. Pöörlemissuund.

Laske telg. Ümber telje pöörlemist nimetame positiivseks või otseseks, kui seda teostatakse vaatlejale, kes seisab piki telje positiivset suunda, paremale ja vasakule (joonis 3.2). Vastasel juhul nimetatakse seda negatiivseks või pöördvõrdeliseks.

3.1.5. Otsesed ja pöördkolmikud.

Olgu mõni kolmnurk (ristkülikukujuline või mitteristkülikukujuline). Positiivsed suunad valitakse telgedel vastavalt O kuni x, O kuni y ja O kuni z.

Füüsika käigus on sageli selliseid suurusi, mille kirjeldamiseks piisab ainult arvväärtuste teadmisest. Näiteks mass, aeg, pikkus.

Kogused, mida ainult iseloomustatakse arvväärtus, kutsutakse skalaar või skalaarid.

Lisaks skalaarsetele suurustele kasutatakse suurusi, millel on nii arvväärtus kui ka suund. Näiteks kiirus, kiirendus, jõud.

Nimetatakse koguseid, mida iseloomustavad arvväärtus ja suund vektor või vektorid.

Vektori suurused on tähistatud vastavate tähtedega, mille ülaosas on nool või need on esile tõstetud paksus kirjas. Näiteks jõuvektorit tähistab \(\vec F\) või F . Vektorsuuruse arvväärtust nimetatakse vektori mooduliks või pikkuseks. Jõuvektori väärtus on tähistatud F või \(\left|\vec F \right|\).

Vektorpilt

Vektoreid esindavad suunatud segmendid. Vektori algus on punkt, millest algab suunatud segment (punkt AGA joonisel fig. 1), on vektori lõpp punkt, kus nool lõpeb (punkt B joonisel fig. üks).

Riis. üks.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui need on sama pikkusega ja samas suunas. Selliseid vektoreid esindavad suunatud segmendid, millel on samad pikkused ja juhised. Näiteks joonisel fig. 2 näitab vektoreid \(\vec F_1 =\vec F_2\).

Riis. 2.

Kahe või enama vektori kujutamisel ühel joonisel ehitatakse segmendid eelnevalt valitud skaalal. Näiteks joonisel fig. Joonisel 3 on kujutatud vektoreid, mille pikkused \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.

Riis. 3.

Vektori täpsustamise meetod

Tasapinnal saab vektorit määrata mitmel viisil:

1. Määrake vektori alguse ja lõpu koordinaadid. Näiteks vektor \(\Delta\vec r\) joonisel fig. 4 määratakse vektori alguse koordinaatidega - (2, 4) (m), lõpu - (6, 8) (m).

Riis. neli.

2. Määrake vektori moodul (selle väärtus) ja nurk vektori suuna ja mõne tasapinnal eelnevalt valitud suuna vahel. Sageli sellise suuna eest positiivne pool telg 0 X. Sellest suunast vastupäeva mõõdetud nurki loetakse positiivseks. Joonisel fig. 5 vektor \(\Delta\vec r\) on antud kahe arvuga b ja \(\alpha\) , mis näitab vektori pikkust ja suunda.

Riis. 5.

Füüsika ja matemaatika ei saa hakkama ilma "vektorikoguse" mõisteta. Seda peab tundma ja tunnustama, samuti oskama sellega opereerida. Seda tuleks kindlasti õppida, et mitte segadusse sattuda ja rumalaid vigu mitte teha.

Kuidas eristada skalaarväärtust vektorväärtusest?

Esimesel on alati ainult üks omadus. See on selle numbriline väärtus. Enamik skalaare võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Näiteks elektrilaeng, töö või temperatuur. Kuid on mõned skalaarid, mis ei saa olla negatiivsed, näiteks pikkus ja mass.

Vektori kogus, v.a arvväärtus, mida võetakse alati modulo, iseloomustab ka suund. Seetõttu saab seda kujutada graafiliselt, see tähendab noole kujul, mille pikkus on võrdne teatud suunas suunatud väärtuse mooduliga.

Kirjutamisel tähistatakse iga vektori suurust noolemärgiga tähel. Kui a kõnealune arvväärtuse kohta, siis noolt ei kirjutata või võetakse see modulo.

Milliseid toiminguid tehakse kõige sagedamini vektoritega?

Esiteks võrdlus. Need võivad olla võrdsed või mitte. Esimesel juhul on nende moodulid samad. Kuid see pole ainus tingimus. Neil peavad olema ka samad või vastupidised suunad. Esimesel juhul tuleks neid nimetada võrdseteks vektoriteks. Teises on nad vastandlikud. Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, ei ole vektorid võrdsed.

Siis tuleb lisa. Seda saab teha kahe reegli järgi: kolmnurk või rööpkülik. Esimene näeb ette ühe vektori edasilükkamise, seejärel teise vektori edasilükkamise. Lisamise tulemus on see, mis tuleb tõmmata esimese algusest teise lõpuni.

Rööpkülikureeglit saab kasutada siis, kui füüsikas on vaja lisada vektorkoguseid. Erinevalt esimesest reeglist tuleks siin need ühest punktist edasi lükata. Seejärel ehitage need rööpkülikuks. Toimingu tulemuseks tuleks lugeda samast punktist tõmmatud rööpküliku diagonaali.

Kui vektori suurus lahutatakse teisest, siis joonistatakse need uuesti ühest punktist. Ainult tulemuseks on vektor, mis ühtib teise lõpust esimese lõpuni tõmmatud vektoriga.

Milliseid vektoreid füüsikas uuritakse?

Neid on sama palju kui skalaare. Saate lihtsalt meeles pidada, millised vektorkogused füüsikas eksisteerivad. Või teada märke, mille järgi neid saab arvutada. Neile, kes eelistavad esimest varianti, tuleb selline tabel kasuks. See sisaldab peamist vektorit

Nüüd natuke lähemalt mõnest sellisest kogusest.

Esimene väärtus on kiirus

Sellest tasub hakata tooma vektorkoguste näiteid. See on tingitud asjaolust, et seda uuritakse esimeste seas.

Kiirust määratletakse kui keha ruumis liikumise tunnust. See määrab numbrilise väärtuse ja suuna. Seetõttu on kiirus vektorsuurus. Lisaks on tavaks jagada see tüüpideks. Esimene on lineaarne kiirus. See võetakse kasutusele sirgjoonelise ühtlase liikumise kaalumisel. Sel juhul osutub see võrdseks keha läbitud tee ja liikumisaja suhtega.

Sama valemit saab kasutada ebaühtlane liikumine. Ainult siis on see keskmine. Pealegi peab valitav ajavahemik olema võimalikult lühike. Kui ajavahemik kipub olema null, on kiiruse väärtus juba hetkeline.

Kui arvestada suvalist liikumist, siis siin on kiirus alati vektorsuurus. Lõppude lõpuks tuleb see lagundada komponentideks, mis on suunatud piki iga koordinaatjooni suunavat vektorit. Lisaks on see defineeritud kui raadiusvektori tuletis aja suhtes.

Teine väärtus on tugevus

See määrab teiste kehade või väljade poolt kehale avaldatava löögi intensiivsuse mõõdu. Kuna jõud on vektorsuurus, on sellel tingimata oma moodulväärtus ja suund. Kuna see mõjub kehale, on oluline ka punkt, kuhu jõud rakendatakse. Et saada visuaalne esitus jõuvektorite kohta saate vaadata järgmist tabelit.

Samuti on resultantjõud samuti vektorsuurus. Seda määratletakse kui kõigi kehale mõjuvate toimingute summat mehaanilised jõud. Selle määramiseks on vaja läbi viia liitmine vastavalt kolmnurga reegli põhimõttele. Ainult teil on vaja vektoreid omakorda edasi lükata eelmise lõpust. Tulemuseks on see, mis ühendab esimese alguse viimase lõpuga.

Kolmas suurus on nihe

Liikumise ajal kirjeldab keha teatud joont. Seda nimetatakse trajektooriks. See rida võib olla täiesti erinev. Tema pole tähtsam välimus, ning liikumise algus- ja lõpp-punktid. Need on ühendatud segmendiga, mida nimetatakse nihkeks. See on ka vektorsuurus. Pealegi on see alati suunatud liikumise algusest punktini, kus liikumine peatati. Selle määramine on aktsepteeritud Ladina täht r.

Siin võib tekkida järgmine küsimus: "Kas tee on vektorsuurus?". AT üldine juhtum see väide ei vasta tõele. Tee pikkusega võrdne trajektoor ja sellel pole kindlat suunda. Erandiks on olukord, kui seda vaadeldakse ühes suunas. Siis langeb nihkevektori moodul väärtuselt kokku teekonnaga ja nende suund osutub samaks. Seega, kui vaadelda liikumist mööda sirgjoont ilma liikumissuunda muutmata, võib tee kaasata vektori suuruste näidetesse.

Neljas suurus on kiirendus

See on kiiruse muutumise kiiruse tunnus. Pealegi võib kiirendus olla nii positiivne kui ka negatiivne tähendus. Kell sirgjooneline liikumine see on suunatud suurema kiiruse suunas. Kui liikumine on poolt kõverjooneline trajektoor, siis selle kiirendusvektor jaotatakse kaheks komponendiks, millest üks on suunatud raadiust mööda kõveruskeskmesse.

Määrake kiirenduse keskmine ja hetkväärtus. Esimest tuleks arvutada kui kiiruse muutuse suhet teatud aja jooksul sellesse aega. Kui vaadeldav ajavahemik kipub nulli, siis räägitakse hetkekiirendusest.

Viies suurus on hoog

Teisel viisil nimetatakse seda ka liikumise hulgaks. Impulss on vektorsuurus, mis tuleneb asjaolust, et see on otseselt seotud kehale rakendatava kiiruse ja jõuga. Mõlemal on suund ja nad annavad selle impulsile.

Definitsiooni järgi viimane on võrdne tootega kehakaal kiiruse jaoks. Keha impulsi mõistet kasutades saab teada-tuntud Newtoni seaduse teistmoodi kirjutada. Selgub, et impulsi muutus võrdub jõu ja ajaintervalli korrutisega.

Füüsikas oluline roll kehtib impulsi jäävuse seadus, mis ütleb, et suletud kehade süsteemis on selle koguimpulss konstantne.

Oleme väga lühidalt loetlenud, milliseid suurusi (vektorit) füüsika käigus uuritakse.

Ebaelastse löögi probleem

Seisund. Rööbastel on fikseeritud platvorm. Sellele läheneb auto kiirusega 4 m/s. ja vagun - vastavalt 10 ja 40 tonni. Auto põrkab vastu platvormi, tekib automaatne sidur. Pärast kokkupõrget on vaja arvutada vaguni-platvormi süsteemi kiirus.

Lahendus. Esiteks peate sisestama märge: auto kiirus enne kokkupõrget - v 1, auto koos platvormiga pärast haakeseadet - v, auto mass m 1, platvorm - m 2. Vastavalt ülesande seisukorrale on vaja välja selgitada kiiruse v väärtus.

Selliste ülesannete lahendamise reeglid nõuavad süsteemi skemaatiliselt kujutamist enne ja pärast interaktsiooni. OX telg on mõistlik suunata mööda rööpaid selles suunas, kuhu auto liigub.

Nendel tingimustel võib vagunisüsteemi lugeda suletuks. Selle määrab asjaolu, et väliseid jõude saab tähelepanuta jätta. Gravitatsioon ja on tasakaalustatud ning rööbaste hõõrdumist ei võeta arvesse.

Impulsi jäävuse seaduse kohaselt on nende vektori summa enne auto ja platvormi vastasmõju võrdne siduri kogusummaga pärast kokkupõrget. Algul platvorm ei liikunud, nii et selle hoog oli null. Ainult auto liikus, selle hoog on m 1 ja v 1 korrutis.

Kuna löök oli mitteelastne, st vagun klammerdus platvormi külge ja seejärel hakkas ühes suunas veerema, siis süsteemi impulss suunda ei muutnud. Kuid selle tähendus on muutunud. Nimelt vaguni massi ja platvormi ning soovitud kiiruse summa korrutis.

Võite kirjutada järgmise võrdsuse: m 1 * v 1 \u003d (m 1 + m 2) * v. See kehtib impulsivektorite projektsiooni kohta valitud teljel. Sellest on lihtne tuletada soovitud kiiruse arvutamiseks vajalik võrdus: v \u003d m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

Reeglite kohaselt peaksite massi väärtused teisendama tonnidest kilogrammidesse. Seetõttu tuleks nende valemis asendamisel esmalt teadaolevad väärtused korrutada tuhandega. Lihtsad arvutused annavad arvuks 0,75 m/s.

Vastus. Vaguni kiirus koos platvormiga on 0,75 m/s.

Keha jagamine osadeks

Seisund. Lendava granaadi kiirus on 20 m/s. See laguneb kaheks osaks. Esimese kaal on 1,8 kg. See jätkab liikumist suunas, kuhu granaat lendas kiirusega 50 m/s. Teise killu mass on 1,2 kg. Mis on selle kiirus?

Lahendus. Olgu killu massid tähistatud tähtedega m 1 ja m 2 . Nende kiirused on vastavalt v 1 ja v 2 . alguskiirus granaadid v. Ülesandes peate arvutama väärtuse v 2 .

Selleks, et suurem kild jätkaks liikumist kogu granaadiga samas suunas, peab teine ​​sisse lendama tagakülg. Kui valime telje suunaks selle, millel oli algimpulss, siis pärast pausi lendab suur kild mööda telge ja väike kild vastu telge.

Selles ülesandes on lubatud kasutada impulsi jäävuse seadust, kuna granaadi plahvatus toimub koheselt. Seetõttu, hoolimata tõsiasjast, et granaadile ja selle osadele mõjub gravitatsioon, ei ole tal aega tegutseda ja oma mooduli väärtusega impulsi vektori suunda muuta.

Impulsi vektori väärtuste summa pärast granaadi lõhkemist on võrdne sellele eelnevaga. Kui kirjutada säilivusseadus projektsioonis OX-teljele, näeb see välja järgmine: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2 . Sellest on lihtne soovitud kiirust väljendada. See määratakse valemiga: v 2 \u003d ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. Pärast arvväärtuste ja arvutuste asendamist saadakse 25 m / s.

Vastus. Väikese killu kiirus on 25 m/s.

Probleem nurga all pildistamisel

Seisund. Tööriist on paigaldatud platvormile massiga M. Sellest tulistatakse välja mürsk massiga m. See stardib horisondi suhtes nurga α all kiirusega v (antud maapinna suhtes). Pärast lasku on vaja teada saada platvormi kiirus.

Lahendus. Selles ülesandes saate kasutada impulsi jäävuse seadust projektsioonis OX-teljele. Kuid ainult juhul, kui väliste resultantjõudude projektsioon on võrdne nulliga.

OX-telje suuna jaoks peate valima külje, kus mürsk lendab, ja paralleelselt horisontaaljoonega. Sel juhul on gravitatsioonijõudude projektsioonid ja toe reaktsioon OX-le võrdsed nulliga.

Probleem lahendatakse aastal üldine vaade, kuna teadaolevate koguste kohta puuduvad konkreetsed andmed. Valem on vastus.

Süsteemi hoog enne lasku oli võrdne nulliga, kuna platvorm ja mürsk olid paigal. Olgu platvormi soovitud kiirus tähistatud ladina tähega u. Seejärel määratakse selle hoog pärast lasku massi ja kiiruse projektsiooni korrutisena. Kuna platvorm veereb tagasi (vastu OX-telje suunda), on impulsi väärtus miinusmärgiga.

Mürsu impulss on selle massi ja kiiruse projektsiooni OX-teljel korrutis. Kuna kiirus on suunatud horisondi suhtes nurga all, on selle projektsioon võrdne kiirusega, mis on korrutatud nurga koosinusega. Sõnasõnalise võrdsuse korral näeb see välja järgmine: 0 = - Mu + mv * cos α. Sellest saadakse lihtsate teisenduste abil vastuse valem: u = (mv * cos α) / M.

Vastus. Platvormi kiirus määratakse valemiga u = (mv * cos α) / M.

Jõeületusprobleem

Seisund. Jõe laius kogu pikkuses on sama ja võrdne l-ga, kaldad on paralleelsed. Teada on vee voolu kiirus jões v 1 ja paadi enda kiirus v 2. üks). Ületamisel on paadi vöör suunatud rangelt vastaskaldale. Kui kaugele seda allavoolu kantakse? 2). Millise nurga α alla peaks paadi vöör olema suunatud, et see ulatuks lähtepunktiga rangelt risti vastaskaldani? Kui palju aega t selliseks ületamiseks kulub?

Lahendus.üks). Paadi täiskiirus on kahe suuruse vektorsumma. Esimene neist on jõe kulg, mis on suunatud piki kallast. Teine on paadi enda kiirus, kallastega risti. Joonisel on kaks sarnased kolmnurgad. Esimese moodustavad jõe laius ja vahemaa, mida paat kannab. Teine on kiirusvektorid.

Nendest tuleneb järgmine kirje: s / l = v 1 / v 2. Pärast teisendust saadakse soovitud väärtuse valem: s \u003d l * (v 1 / v 2).

2). Ülesande selles versioonis on kogukiiruse vektor kallakutega risti. See on võrdne v 1 ja v 2 vektorite summaga. Nurga siinus, mille võrra oma kiirusvektor peab hälbima, on võrdne moodulite v 1 ja v 2 suhtega. Reisiaja arvutamiseks peate jagama jõe laiuse arvutatud kogukiirusega. Viimase väärtus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil.

v = √(v 2 2 - v 1 2), siis t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Vastus.üks). s \u003d l * (v 1 / v 2), 2). sin α \u003d v 1 / v 2, t \u003d l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

 Vektor- puhtalt matemaatiline mõiste, mida kasutatakse ainult füüsikas või muus rakendusteadused ja mis võimaldab lihtsustada mõne keeruka probleemi lahendamist.
 Vektor− suunatud sirglõik.
Ma tean elementaarne füüsika tuleb opereerida kahe suuruskategooriaga − skalaar ja vektor.
 Skalaar suurused (skalaarid) on suurused, mida iseloomustavad arvväärtus ja märk. Skalaarid on pikkus − l, mass − m, tee − s, aeg − t, temperatuur − T, elektrilaeng − q, energia − W, koordinaadid jne.
Skalaarväärtustele rakendatakse kõiki algebralisi tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine jne).

 Näide 1.
Määrake süsteemi kogulaeng, mis koosneb selles sisalduvatest laengutest, kui q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC.
Süsteemi täielik tasu
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2-7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 Näide 2.
Sest ruutvõrrand lahke
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 vektor suurused (vektorid) on suurused, mille defineerimiseks on vaja lisaks arvväärtusele märkida ka suund. Vektorid − kiirus v, tugevus F, hoogu lk, pinge elektriväli E, magnetinduktsioon B ja jne.
Vektori arvväärtust (moodulit) tähistatakse tähega ilma vektori sümbolita või on vektor vertikaalsete joonte vahele r = |r|.
Graafiliselt on vektorit kujutatud noolega (joonis 1),

Mille pikkus antud skaalal on võrdne selle mooduliga ja suund langeb kokku vektori suunaga.
Kaks vektorit on võrdsed, kui nende moodulid ja suunad on samad.
Vektorisuurused liidetakse geomeetriliselt (vektorialgebra reegli järgi).
Antud komponentvektorite vektorsumma leidmist nimetatakse vektorite liitmiseks.
Kahe vektori liitmine toimub rööpküliku või kolmnurga reegli järgi. Koguvektor
c = a + b
võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaaliga a ja b. Moodul see
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (joonis 2).


Kui α = 90°, on c = √(a 2 + b 2 ) Pythagorase teoreem.

Sama vektori c saab kolmnurga reegliga, kui vektori lõpust a edasilükkamise vektor b. Sulgev vektor c (ühendab vektori algust a ja vektori lõpp b) on terminite (vektorite komponentide) vektorsumma a ja b).
Saadud vektor leitakse katkendjoone sulgemisena, mille lülideks on koostisosavektorid (joonis 3).


 Näide 3.
Lisage kaks jõudu F 1 \u003d 3 N ja F 2 \u003d 4 N, vektorid F1 ja F2 tehke horisondiga vastavalt nurgad α 1 \u003d 10 ° ja α 2 \u003d 40 °
 F = F 1 + F 2(joonis 4).

Nende kahe jõu liitmise tulemuseks on jõud, mida nimetatakse resultandiks. Vektor F suunatud piki vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaali F1 ja F2, külgedena ja moodul on võrdne selle pikkusega.
Vektori moodul F leida koosinusseadusega
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Kui a
(α 2 − α 1) = 90°, siis F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Nurga see vektor F on härja teljega, leiame valemiga
α \u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctaan((3,0,17 + 4,0,64)/(3,0,98 + 4,0,77)) = arctaan 0,51, α ≈ 0,47 rad.

Vektori a projektsioon teljele Ox (Oy) on skalaarväärtus, mis sõltub vektori suuna vahelisest nurgast α a ja kirved Ox (Oy). (Joonis 5)


Vektorprojektsioonid a Ox ja Oy telgedel ristkülikukujuline süsteem koordinaadid. (Joonis 6)


Et vältida vigu vektori projektsiooni märgi määramisel teljele, on kasulik meeles pidada järgmist reeglit: kui komponendi suund langeb kokku telje suunaga, siis vektori projektsioon sellele. telg on positiivne, aga kui komponendi suund on vastupidine telje suunale, siis on vektori projektsioon negatiivne. (Joonis 7)


Vektori lahutamine on liitmine, milles esimesele vektorile lisatakse vektor, mis on arvuliselt võrdne teisega, vastupidises suunas
a − b = a + (−b) = d(joonis 8).

Olgu see vektorist vajalik a lahutada vektor b, nende erinevus − d. Kahe vektori erinevuse leidmiseks on vaja vektorit a lisa vektor ( −b), see tähendab vektorit d = a − b on vektor, mis on suunatud vektori algusest a vektori lõpu poole ( −b) (joonis 9).

Vektoritele ehitatud rööpkülikul a ja b mõlemad pooled, üks diagonaal c on summa ja muu tähendus d− vektorite erinevused a ja b(joonis 9).
Vektortoode a skalaari kohta k võrdub vektoriga b= k a, mille moodul on k korda suurem kui vektori moodul a, ja suund on sama mis suund a positiivse k korral ja vastupidi negatiivse k korral.

 Näide 4.
Määrake 2 kg massiga keha impulss, mis liigub kiirusega 5 m/s. (Joonis 10)

keha hoog lk= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s ja on suunatud kiirusele v.

 Näide 5.
Laeng q = −7,5 nC asetatakse elektrivälja intensiivsusega E = 400 V/m. Leia laengule mõjuva jõu moodul ja suund.

Tugevus võrdub F= q E. Kuna laeng on negatiivne, on jõuvektor suunatud vektorile vastupidises suunas E. (Joonis 11)


 Jaoskond vektor a skalaariga k võrdub korrutamisega a 1/k võrra.
 Dot toode vektorid a ja b kutsuge skalaari "c" võrdne tootega nende vektorite moodulid nendevahelise nurga koosinuse järgi
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (joonis 12)


 Näide 6.
Leidke konstantse jõu F = 20 N töö, kui nihe S = 7,5 m ning nurk α jõu ja nihke α = 120° vahel.

Jõu töö on definitsiooni järgi punktitoode jõud ja liigutused
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = –150 × 1/2 = –75 J.

 vektorkunst vektorid a ja b kõne vektor c, mis on arvuliselt võrdne vektorite a ja b moodulite korrutisega, korrutatuna nendevahelise nurga siinusega:
c = a × b = ,
c = ab × sinα.
Vektor c risti tasapinnaga, millel vektorid asuvad a ja b, ja selle suund on seotud vektorite suunaga a ja b parempoolne kruvireegel (joonis 13).


 Näide 7.
Määrata magnetvälja asetatud 0,2 m pikkusele juhile, mille induktsioon on 5 T, mõjuv jõud, kui voolutugevus juhis on 10 A ja see moodustab välja suunaga nurga α = 30 °.

Võimendi võimsus
dF = I = Idl × B või F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Kaaluge probleemi lahendamist.
1. Kuidas on suunatud kaks vektorit, mille moodulid on ühesugused ja võrdsed a-ga, kui nende summa moodul on: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?

 Lahendus.
a) Kaks vektorit on suunatud piki sama sirget sisse vastasküljed. Nende vektorite summa on võrdne nulliga.

b) Kaks vektorit on suunatud piki sama sirget samas suunas. Nende vektorite summa on 2a.

c) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 120° nurga all. Vektorite summa on võrdne a. Saadud vektor leitakse koosinusteoreemiga:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 ja α = 120°.
d) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 90° nurga all. Summa moodul on
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2,
cosα = 0 ja α = 90°.

e) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 60° nurga all. Summa moodul on
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 ja α = 60°.
 Vastus: Vektorite vaheline nurk α on võrdne: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Kui a = a1 + a2 vektorite orientatsioon, mida saab öelda vektorite vastastikuse orientatsiooni kohta a 1 ja a 2, kui: a) a = a 1 + a 2; b) a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 \u003d a 1 - a 2?

 Lahendus.
a) Kui vektorite summa leitakse nende vektorite moodulite summana, siis vektorid on suunatud mööda ühte sirgjoont, mis on üksteisega paralleelsed a 1 ||a 2.
b) Kui vektorid on suunatud üksteise suhtes nurga all, siis nende summa leitakse rööpküliku koosinuste seadusega
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 ja α = 90°.
vektorid on üksteisega risti a 1 ⊥ a 2.
c) Seisukord a 1 + a 2 = a 1 - a 2 saab teostada, kui a 2− nullvektor, siis a 1 + a 2 = a 1 .
 Vastused. a) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; sisse) a 2− nullvektor.

3. Keha ühte punkti rakendatakse kaks jõudu, kumbki 1,42 N, üksteise suhtes 60° nurga all. Millise nurga all tuleb keha samale punktile rakendada kumbki 1,75 N suurust jõudu, et nende mõju tasakaalustaks kahe esimese jõu mõju?

Lahendus.
Vastavalt ülesande tingimusele tasakaalustavad kaks jõudu 1,75 N kumbki kahte jõudu 1,42 N. See on võimalik, kui jõupaaride tulemuseks olevate vektorite moodulid on võrdsed. Saadud vektor määratakse rööpküliku koosinusteoreemiga. Esimese jõudude paari jaoks:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
vastavalt teisele jõudude paarile
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Võrrandi vasakpoolsete osade võrdsustamine
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Leidke soovitud nurk β vektorite vahel
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Pärast arvutusi,
cosβ = (2,1,422 + 2,1,422.cos60° – 2,1,752)/(2,1,752) = –0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Teine lahendus.
Vaatleme vektorite projektsiooni koordinaatteljele OX (joon.).

Kasutades külgede vahelist suhet sisse täisnurkne kolmnurk, saame
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
kus
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) ja β ≈ 90,7°.

4. Vektor a = 3i − 4j. Milline peab olema skalaarväärtus c, et |c a| = 7,5?
 Lahendus.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektori moodul a on võrdne
a 2 = 3 2 + 4 2 ja a = ±5,
siis alates
c.(±5) = 7,5,
leida see
c = ±1,5.

5. Vektorid a 1 ja a 2 päritolust välja tulema ja omama Descartes'i koordinaadid otsad vastavalt (6, 0) ja (1, 4). Leidke vektor a 3 selline, et: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Lahendus.
Joonistame vektorid sisse Descartes'i süsteem koordinaadid (joon.)

a) Saadud vektor piki Ox-telge on
a x = 6 + 1 = 7.
Saadud vektor piki Oy telge on
a y = 4 + 0 = 4.
Et vektorite summa oleks võrdne nulliga, on vajalik, et tingimus
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 moodul on võrdne koguvektoriga a1 + a2 kuid suunatud vastupidises suunas. Lõppvektori koordinaat a 3 on võrdne (−7, −4) ja mooduliga
a 3 \u003d √ (7 2 + 4 2) \u003d 8.1.

B) Saadud vektor piki Ox-telge on võrdne
a x = 6 - 1 = 5,
ja saadud vektor mööda Oy telge
a y = 4 – 0 = 4.
Kui tingimus
a 1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 on vektori lõpu koordinaadid a x = -5 ja a y = -4 ning selle moodul on
a 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4.

6. Sõnumitooja sõidab 30 m põhja, 25 m itta, 12 m lõunasse ja tõuseb siis hoones liftiga 36 m kõrgusele.Kuidas on tema läbitud vahemaa L ja nihe S?

 Lahendus.
Kujutagem ülesandes kirjeldatud olukorda tasapinnal suvalises mõõtkavas (joon.).

Vektori lõpp OA on koordinaadid 25 m ida suunas, 18 m põhjas ja 36 üles (25; 18; 36). Inimese läbitud tee on
P = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Nihkevektori moodul leitakse valemiga
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2),
kus x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2) \u003d 47,4 (m).
 Vastus: P = 103 m, S = 47,4 m.

7. Nurk α kahe vektori vahel a ja b võrdub 60°. Määrake vektori pikkus c = a + b ja vektorite vaheline nurk β a ja c. Vektorite suurused on a = 3,0 ja b = 2,0.

 Lahendus.
Vektori pikkus võrdne summaga vektorid a ja b määrame rööpküliku koosinusteoreemi abil (joon.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Pärast asendamist
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60°) = 4,4.
Nurga β määramiseks kasutame siinusteoreemi jaoks kolmnurk ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samal ajal peaksite seda teadma
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Lihtsa lahendamine trigonomeetriline võrrand, jõuame väljendini
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
Järelikult
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Kontrollime kolmnurga koosinusteoreemi abil:
a 2 + c 2 - 2ac.cosβ = b 2,
kus
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
ja
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arccos ((3 2 + 4,4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
 Vastus: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Probleeme lahendama.
8. Vektorite jaoks a ja b defineeritud näites 7, leidke vektori pikkus d = a − b nurk γ vahel a ja d.

9. Leia vektori projektsioon a = 4,0i + 7,0j sirgele, mille suund moodustab Ox-teljega nurga α = 30°. Vektor a ja joon asub xOy tasapinnal.

10. Vektor a teeb sirgjoonega AB nurga α = 30°, a = 3,0. Millise nurga all β sirge AB suhtes peaks vektor olema suunatud b(b = √(3)), nii et vektor c = a + b oli paralleelne AB-ga? Leia vektori pikkus c.

11. Antud on kolm vektorit: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. Leia) a+b; b) a+c; sisse) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.

12. Vektoritevaheline nurk a ja b võrdub α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Leia vektorite pikkused c = (a, b)a + b ja d = 2b − a/2.

13. Tõesta, et vektorid a ja b on risti, kui a = (2, 1, -5) ja b = (5, -5, 1).

14. Leidke vektorite vaheline nurk α a ja b, kui a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vektor a teeb Ox-teljega nurga α = 30°, selle vektori projektsioon Oy teljele on a y = 2,0. Vektor b vektoriga risti a ja b = 3,0 (vt joonist).

Vektor c = a + b. Leidke: a) vektorprojektsioonid b Ox ja Oy telgedel; b) väärtus c ja vektori vaheline nurk β c ja telg Ox; Takso); d) (a, c).

 Vastused:
9. a 1 \u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) b x \u003d -1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Füüsikat õppides on sul suurepäraseid võimalusi jätkake oma haridusteed tehnikaülikool. See eeldab paralleelset teadmiste süvendamist matemaatikas, keemias, keeles ja harvem ka muudes ainetes. Vabariikliku olümpiaadi võitja Egor Savich on lõpetamas Moskva Füüsika ja Tehnoloogia Instituudi ühte osakonda, kus keemia teadmistele esitatakse suuri nõudmisi. Kui vajate abi GIA-s keemias, võtke ühendust spetsialistidega, teile antakse kindlasti kvalifitseeritud ja õigeaegne abi.

 Vaata ka: