Paljude raadiotehnikas laialdaselt kasutatavate signaalide matemaatilised mudelid ei rahulda absoluutse integreeritavuse tingimust, mistõttu Fourier' teisendusmeetod oma tavapärasel kujul ei ole nende puhul rakendatav. Kuid nagu märgitud, võib selliste signaalide spektraaltihedustest rääkida, kui eeldada, et neid tihedusi kirjeldavad üldistatud funktsioonid.

Üldistatud Rayleighi valem. Tõestame olulist abiväidet signaalide spektraalsete omaduste kohta.

Olgu kaks signaali üldjuhul kompleksväärtuslikud, määratletud nende Fourier' pöördteisendustega:

Leiame nende signaalide skalaarkorrutise, väljendades ühte neist näiteks selle spektraaltiheduse kaudu:

Siin on sisemine integraal ilmselgelt signaali spektraalne tihedus. Sellepärast

Saadud seos on üldistatud Rayleighi valem. Selle valemi kergesti meeldejääv tõlgendus on järgmine: kahe signaali skalaarkorrutis kuni koefitsiendini on võrdeline nende spektraaltiheduse skalaarkorrutisega.

Spektritiheduse mõiste üldistus.

Eeldame, et signaal on absoluutselt integreeritav funktsioon. Siis on selle Fourier' teisendus tavaline klassikaline sagedusfunktsioon. Olgu koos sellega, et signaal ei täida absoluutse integreeritavuse tingimust ja Fourier' teisendust tavapärases klassikalises tähenduses ei eksisteeri. Küll aga võib spektraaltiheduse mõistet laiendada eeldades, et tegemist on üldistatud funktsiooniga § 1.2 sätestatud tähenduses. Selleks piisab üldistatud Rayleighi valemiga eeldamisest, et tegemist on funktsionaalsega, mis teadaolevale funktsioonile toimides annab järgmise tulemuse:

Soovitatav on kaaluda mitteintegreeritavate signaalide spektrite arvutamise meetodeid konkreetsete näidete abil.

Ajakonstantse signaali spektri tihedus. Lihtsaim mitteintegreeritav signaal on konstantne väärtus ja . Oletame, et see on suvaline reaalne absoluutselt integreeritav signaal, millel on teadaolev spektraalne tihedus

Valemi (2.43) laiendamine on meil olemas

Kuid nagu on lihtne näha,

Seega järeldame deltafunktsiooni filtreerimisomaduse põhjal, et võrdsus (2.43) on võimalik ainult tingimusel, et

Saadud tulemuse füüsikaline tähendus on selge - ajas muutumatul signaalil on spektraalne komponent ainult nullsagedusel.

Kompleksse eksponentsiaalse signaali spektri tihedus.

Laskma olla kompleksne eksponentsiaalne signaal antud reaalsagedusega See signaal ei ole absoluutselt integreeritav, kuna funktsioon s(t) ei kaldu mingile piirile . Selle signaali Fourier' teisendus, vaadeldes üldistatult, peab seda seost rahuldama

Seega väljendatakse soovitud spektri tihedus S (co) järgmiselt:

Pange tähele järgmist.

1. Kompleksse eksponentsiaalse signaali spektraalne tihedus on kõikjal võrdne nulliga, välja arvatud punkt, kus sellel on delta-singulaarsus.

2. Selle signaali spekter on punkti suhtes asümmeetriline ja koondub kas positiivsete või negatiivsete sageduste piirkonda.

Harmooniliste võnkumiste spektri tihedus. Laske Euleri valemi järgi

Ülaltoodud kompleksse eksponentsiaalse signaali spekter ja Fourier' teisenduse lineaarsus võimaldavad meil kohe kirjutada koosinussignaali spektraaltiheduse avaldise:

Lugeja saab hõlpsasti ise kontrollida, kas siinussignaali korral on seos

Tuleb märkida, et avaldis (2.46) on paaris ja avaldis (2.47) on sageduse paaritu funktsioon.

Suvalise perioodilise signaali spektri tihedus.

Varem uuriti perioodilisi signaale Fourier' jadate teooria meetoditega. Nüüd saate laiendada oma arusaamist nende spektraalsetest omadustest, kirjeldades perioodilisi signaale Fourier' teisenduse abil.

Perioodiline signaal, mis annab selle Fourier' seeria keerulisel kujul. Valemi (2.45) põhjal, võttes arvesse Fourier' teisenduse lineaarsuse omadust, saame kohe sellise signaali spektraaltiheduse avaldise:

Vastav spektraaltiheduse graafik oma konfiguratsioonis kordab perioodilise signaali tavalist spektraaldiagrammi. Graafik on moodustatud sageduspiirkonna deltaimpulssidest, mis paiknevad koordinaatidega punktides

Lülitusfunktsiooni spektraalne tihedus.

Arvutame kaasamisfunktsiooni spektraaltiheduse, mille lihtsuse mõttes defineerime kõigis punktides, välja arvatud punktis t = 0 [vt. koos (1.2)]:

Esiteks märgime, et sisselülitamisfunktsioon saadakse eksponentsiaalsest videoimpulsist piirini üle minnes:

Seetõttu võib püüda saada kaasamisfunktsiooni spektraaltihedust, minnes eksponentsiaalse võnkumise spektraaltiheduse valemis piirini a - 0:

Otsene üleminek piirmäärale, mille kohaselt kehtib kõigil sagedustel, välja arvatud väärtus , kui on vaja hoolikamat kaalumist.

Kõigepealt eraldame eksponentsiaalsignaali spektraaltiheduses tegelikud ja kujuteldavad osad:

Seda saab kontrollida

Tõepoolest, selle murdosa piirväärtus kaob igal juhul ja samal ajal

sõltumata a väärtusest, millest väide tuleneb.

Niisiis, oleme saanud üks-ühele vastavuse kaasamisfunktsiooni ja selle spektraaltiheduse vahel:

Delta singulaarsus at näitab, et sisselülitusfunktsiooni konstantne komponent on võrdne 1/2-ga.

Raadioimpulsi spektraalne tihedus.

Teatavasti antakse raadioimpulss mõne videoimpulsi, mis mängib mähisjoone rolli, ja mitteintegreeritava harmoonilise võnkumise korrutisena: .

Raadioimpulsi spektraaltiheduse leidmiseks eeldame, et teadaolev funktsioon on selle mähisjoone spekter. Suvalise algfaasiga koosinussignaali spekter saadakse valemi (2.46) elementaarüldistusega:

Raadioimpulsi spekter on konvolutsioon

Võttes arvesse deltafunktsiooni filtreerimisomadust, saame olulise tulemuse:

Riis. 2.8 illustreerib videoimpulsi spektri teisendust, kui see korrutatakse kõrgsagedusliku harmoonilise signaaliga.

Riis. 2.8. Spektritiheduse mooduli sagedussõltuvused: a - videoimpulss; b - raadioimpulss

On näha, et üleminek videoimpulsilt raadioimpulssile spektraalses lähenemisviisis tähendab videoimpulsi spektri ülekandmist kõrgsageduspiirkonda – ühe spektritiheduse maksimumi asemel on kaks maksimumi juures , maksimumide absoluutväärtused on poole võrra väiksemad.

Pange tähele, et joonisel fig. 2.8 vastavad olukordadele, kus sagedus ületab oluliselt videoimpulsi spektri efektiivset laiust (see on nii, mida praktikas tavaliselt rakendatakse). Sel juhul pole positiivsetele ja negatiivsetele sagedustele vastavate spektrite märgatavat "kattumist". Siiski võib selguda, et videoimpulsi spektri ribalaius on nii suur (lühikese impulsi jaoks), et valitud sageduse väärtus ei kõrvalda “kattuvat” efekti. Selle tulemusena ei ole videoimpulsi ja raadioimpulsi spektrite profiilid enam sarnased.

Näide 2.3. Ristkülikukujulise raadioimpulsi spektraaltihedus.

Lihtsuse huvides määrame algfaasiks null ja kirjutame raadioimpulsi matemaatilise mudeli kujule

Teades vastava videoimpulsi spektrit [vt valem (2.20)], leiame (2.50) põhjal vajaliku spektri:

Joonisel fig. 2.9 näitab spektraaltiheduse arvutamise tulemusi valemi (2.51) abil kahe iseloomuliku juhtumi korral,

Esimesel juhul (joon. 2.9, a) sisaldab mähisjoone impulss 10 kõrgsagedusliku täitmise perioodi, siin on sagedus piisavalt kõrge, et vältida "kattumist". Teisel juhul (joon. 2.9, b) koosneb raadioimpulss ainult ühest täitumisperioodist.Positiivse ja negatiivse sageduse piirkondadele vastavate komponentide superpositsioon viib kroonlehtede struktuuri graafiku iseloomuliku asümmeetriani. raadioimpulsi spektraalne tihedus.

Riis. 2.9. Ristkülikukujulise mähisjoonega raadioimpulsi spektraaltiheduste graafikud: a - at ; nahkhiir

Statistilises raadiotehnikas ja füüsikas kasutatakse deterministlike signaalide ja juhuslike protsesside uurimisel laialdaselt nende spektraalset esitust spektritiheduse kujul, mis põhineb Fourier' teisendusel.

Kui protsessil on lõplik energia ja see on ruudukujuline integreeritav (ja see on mittestatsionaarne protsess), siis protsessi ühe teostuse korral saab Fourier' teisenduse defineerida kui sageduse juhuslikku kompleksfunktsiooni:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

See osutub aga ansambli kirjeldamisel peaaegu kasutuks. Väljapääs sellest olukorrast on jätta kõrvale mõned spektri parameetrid, nimelt faaside spekter, ja konstrueerida funktsioon, mis iseloomustab protsessi energia jaotust piki sagedustelge. Siis Parsevali teoreemi kohaselt energia

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X(f) | 2d f . (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Funktsioon S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) iseloomustab seega realiseerimisenergia jaotust piki sagedustelge ja seda nimetatakse realisatsiooni spektraaltiheduseks. Selle funktsiooni kõigi realisatsioonide keskmistamisega saab saada protsessi spektraaltiheduse.

Pöördugem nüüd laias laastus statsionaarse tsentreeritud stohhastilise protsessi juurde x (t) (\displaystyle x(t)), mille realisatsioonidel on lõpmatu energia tõenäosusega 1 ja seetõttu puudub neil Fourier' teisendus. Sellise protsessi võimsusspektri tiheduse saab leida Wiener-Khinchini teoreemi põhjal korrelatsioonifunktsiooni Fourier' teisendusena:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau .)

(3)

Kui on otseteisendus, siis on ka Fourier pöördteisendus, mis määrab teadaolevast k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Kui eeldame vastavalt valemites (3) ja (4), f = 0 (\displaystyle f=0) ja τ = 0 (\displaystyle \tau =0), meil on

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau ,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Valem (6), võttes arvesse (2), näitab, et dispersioon määrab statsionaarse juhusliku protsessi koguenergia, mis on võrdne spektraaltiheduse kõvera aluse pindalaga. Mõõtmete väärtus S x (f) d f (\displaystyle S_(x) (f) df) võib tõlgendada kui energia osa, mis on koondunud väikesesse sagedusvahemikku alates f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) enne f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Kui aru sai x (t) (\displaystyle x(t)) juhuslik (kõikumine) vool või pinge, seejärel väärtus S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) on energia mõõde [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Sellepärast S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) mõnikord kutsutakse energia spekter. Sageli leiate kirjandusest teise tõlgenduse: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))- loetakse keskmiseks võimsuseks, mis vabaneb voolust või pingest takistusel 1 oomi. Samal ajal väärtus S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) helistas võimsusspekter juhuslik protsess.

Spektri tiheduse omadused

• Statsionaarse protsessi (reaalne või kompleksne) energiaspekter on mittenegatiivne väärtus:

S x (f) ≥ 0 (\displaystyle S_(x)(f)\geq 0).

(7)

• Reaalse statsionaarse energiaspekter juhusliku protsessi laiemas tähenduses on sageduse reaalne ja ühtlane funktsioon:

S x (− f) = S x (f) (\displaystyle S_(x)(-f)=S_(x)(f)).

(8)

1. Signaalid ja spektrid. Digitaalse suhtluse teoreetilised alused

1. Signaalid ja spektrid

1.1. Signaalitöötlus digitaalses sides

1.1.1. Miks "digitaalne"

Miks kasutatakse "numbreid" sõjalistes ja kommertssidesüsteemides? Põhjuseid on palju. Selle lähenemisviisi peamine eelis on digitaalsete signaalide taastamise lihtsus võrreldes analoogsignaalidega. Kaaluge joonist fig. 1.1, mis näitab ideaalset binaarset digitaalset impulssi, mis levib läbi andmekanali. Lainekuju mõjutavad kaks peamist mehhanismi: (1) kuna kõikidel kanalitel ja ülekandeliinidel on mitteideaalne sagedusreaktsioon, on ideaalne impulss moonutatud; ja (2) soovimatu elektrimüra või muud välised häired moonutavad lainekuju veelgi. Mida pikem on kanal, seda enam moonutavad need mehhanismid impulssi (joonis 1.1). Kuigi edastatud impulssi saab endiselt usaldusväärselt tuvastada (enne kui see laguneb mitmetähenduslikuks olekuks), võimendab impulssi digitaalne võimendi, taastades selle esialgse ideaalse kuju. Hoog "sünnib uuesti" või taastub. Signaali taastamise eest vastutavad regeneratiivsed repiiterid, mis asuvad sidekanalis üksteisest teatud kaugusel.

Digitaalsed kanalid on vähem vastuvõtlikud moonutustele ja häiretele kui analoogkanalid. Kuna binaarsed digitaalkanalid annavad tähendusliku signaali ainult siis, kui nad töötavad ühes kahest olekust – sees või väljas –, peab häire olema piisavalt suur, et liigutada kanali tööpunkti ühest olekust teise. Ainult kahe oleku olemasolu hõlbustab signaali taastamist ja hoiab seega ära müra või muude häirete kogunemise edastamise ajal. Analoogsignaalid seevastu ei ole kahe olekuga signaalid; nad võivad võtta lõpmatu arvu vormid. Analoogkanalites võib isegi väike häire signaali äratundmatult moonutada. Kui analoogsignaal on moonutatud, ei saa häiret võimendusega eemaldada. Kuna müra kogunemine on lahutamatult seotud analoogsignaalidega, ei saa neid täiuslikult taasesitada. Digitaalse tehnoloogiaga võimaldab väga madal veamäär ning vigade tuvastamise ja parandamise protseduuride rakendamine signaali kõrge täpsuse. Jääb vaid märkida, et sellised protseduurid pole analoogtehnoloogiatega saadaval.

Joonis 1.1. Moonutused ja hoo taastumine

Digitaalkommunikatsioonil on ka teisi olulisi eeliseid. Digikanalid on töökindlamad ja neid saab toota madalama hinnaga kui analoogkanaleid. Lisaks võimaldab digitarkvara enamat paindlikum rakendamine kui analoog (nt mikroprotsessorid, digitaalsed kommutatsioonid ja suuremahulised integraallülitused (LSI)). Digitaalsignaalide ja ajajaotusega multipleksimise (TDM) kasutamine on lihtsam kui analoogsignaalide ja sagedusjaotusega multipleksimise (FDM). Edastamises ja kommutatsioonis võib erinevat tüüpi digitaalseid signaale (andmeside, telegraaf, telefon, televisioon) pidada identseks: natuke on ju natuke. Lisaks saab ümberlülitamise ja töötlemise hõlbustamiseks rühmitada digitaalsed sõnumid autonoomseteks üksusteks, mida nimetatakse pakettideks. Digitehnoloogiad sisaldavad loomulikult funktsioone, mis kaitsevad häirete ja signaali summutamise eest või pakuvad krüptimist või privaatsust. (Selliseid tehnoloogiaid käsitletakse peatükkides 12 ja 14.) Lisaks toimub side peamiselt kahe arvuti vahel või arvuti ja digiseadmete või terminali vahel. Selliseid digitaalterminale teenindavad paremini (ja loomulikumad!) digitaalsed sidekanalid.

Mida me maksame digitaalsete sidesüsteemide eeliste eest? Digitaalsed süsteemid nõuavad rohkem töötlemist kui analoogsüsteemid. Lisaks nõuavad digitaalsed süsteemid erinevatel tasanditel sünkroonimiseks märkimisväärse hulga ressursside eraldamist (vt 10. peatükk). Analoogsüsteeme on seevastu lihtsam sünkroonida. Digitaalsete sidesüsteemide teine ​​puudus on see, et kvaliteedi halvenemine on läviväärtuslik. Kui signaali-müra suhe langeb alla teatud läve, võib teenuse kvaliteet ootamatult muutuda väga heast väga halvaks. Analoogsüsteemides toimub lagunemine aga sujuvamalt.

1.1.2. Tüüpiline kastdiagramm ja põhiteisendused

Joonisel fig. 1.2 illustreerib signaali levimise ja töötlemise etappe tüüpilises digitaalses sidesüsteemis (DCS). Ülemised plokid - vormindamine, lähtekoodi kodeerimine, krüpteerimine, kanali kodeerimine, multipleksimine, impulssmodulatsioon, ribapääsmodulatsioon, hajaspekter ja mitmekordne juurdepääs - peegeldavad signaali teisendusi teel allikast saatjani. Diagrammi alumised plokid on signaaliteisendused teel vastuvõtjast teabe vastuvõtjani ja tegelikult on need ülemiste plokkide vastas. Modulatsiooni- ja demoduleerimis-/tuvastusüksusi nimetatakse ühiselt modemiks. Mõiste "modem" ühendab sageli mitu signaalitöötlusetappi, mis on näidatud joonisel fig. 1,2; sel juhul võib modemit pidada süsteemi "ajuks". Saatjat ja vastuvõtjat võib vaadelda kui süsteemi "lihaseid". Juhtmevabade rakenduste puhul koosneb saatja raadiosageduse (RF) ülesskaleerimise ahelast, võimsusvõimendist ja antennist ning vastuvõtja antennist ja madala müravõimendist (LNA). Pöördsageduse vähendamine toimub vastuvõtja ja/või demodulaatori väljundis.

Joonisel fig. 1.2 illustreerib vastavust süsteemi ülemise (edastava) ja alumise (vastuvõtva) osa plokkide vahel. Signaali töötlemise etapid, mis toimuvad saatjas, on valdavalt vastupidised vastuvõtja sammudele. Joonisel fig. 1.2 lähteteave teisendatakse kahendnumbriteks (bittideks); bitid rühmitatakse seejärel digitaalseteks sõnumiteks või sõnumimärkideks. Iga sellist märki ( kus ) võib pidada lõpliku tähestiku elemendiks, mis sisaldab M elemendid. Seetõttu jaoks M=2 sõnumi sümbol on binaarne (st koosneb ühest bitist). Kuigi kahendmärke võib liigitada M-ary (millega M = 2), tavaliselt nimi " M-ary" kasutatakse juhtudel M>2; seega koosnevad sellised sümbolid kahe või enama biti jadast. (Võrdle DCS-süsteemide sarnast lõplikku tähestikku analoogsüsteemidega, kus sõnumisignaal on võimalike signaalide lõpmatu hulga element.) Kanali kodeerimist (veaparanduskoode) kasutavate süsteemide puhul on sõnumisümbolite jada teisendatakse kanali sümbolite tähemärkide jadaks) ja iga kanali märk on tähistatud . Kuna sõnumisümbolid või kanalisümbolid võivad koosneda ühest bitist või bittide rühmast, nimetatakse selliste sümbolite jada bitivooks (joonis 1.2).

Mõelge joonisel fig 1 näidatud signaalitöötluse võtmeplokkidele. 1,2; DCS-süsteemide jaoks on vajalikud ainult vormindamise, moduleerimise, demoduleerimise/tuvastamise ja sünkroonimise etapid.

Vormindamine teisendab algse teabe bittideks, tagades nii teabe- ja signaalitöötlusfunktsioonide ühilduvuse DCS-süsteemiga. Sellest punktist joonisel kuni impulssmodulatsiooniplokini jääb teave bitivoo kujul.

Riis. 1.2. Tüüpilise digitaalse sidesüsteemi plokkskeem

Modulatsioon on protsess, mille käigus sõnumisümbolid või kanalisümbolid (kui kasutatakse kanali kodeerimist) teisendatakse andmekanali poolt kehtestatud nõuetele vastavateks signaalideks. Impulssmodulatsioon on veel üks vajalik samm, sest iga sümbol, mida tuleb edastada, tuleb esmalt teisendada binaarsest esitusest (pingetasemed tähistavad binaarseid 0-sid ja 1-sid) kitsaribasignaali vormingusse. Mõiste "kitsasriba" (baasband) määratleb signaali, mille spekter algab konstantsest komponendist (või selle lähedal) ja lõpeb mõne lõppväärtusega (tavaliselt mitte rohkem kui paar megahertsi). PCM-plokk sisaldab tavaliselt filtreerimist, et minimeerida edastusriba laiust. Kui binaarsetele sümbolitele rakendatakse impulssmodulatsiooni, nimetatakse saadud binaarset signaali PCM (impulsskoodi modulatsioon) kodeeritud signaaliks. PCM-signaale on mitut tüüpi (kirjeldatud 2. peatükis); telefonirakendustes nimetatakse neid signaale sageli kanalikoodideks. Kui impulssmodulatsiooni rakendatakse mittebinaarsetele sümbolitele, viidatakse saadud signaalile kui M-ary impulssmoduleeritud. Selliseid signaale on mitut tüüpi, mida on kirjeldatud ka 2. peatükis, mis keskendub impulsi amplituudmodulatsioonile (PAM). Pärast impulssmodulatsiooni on iga sõnumi sümbol või kanali sümbol ribapäässignaali kujul, kus . Igas elektroonilises teostuses on impulssmodulatsioonile eelnev bitivoogu pingetasemed esindatud. Võib tekkida küsimus, miks on impulssmodulatsiooni jaoks eraldi plokk, kui tegelikult võib binaarsete nullide ja ühtede pingenivood pidada juba ideaalseteks ristkülikukujulisteks impulssideks, millest igaühe kestus on võrdne ühe biti edastusajaga? Nende pingetasemete ja modulatsiooniks kasutatavate ribapäässignaalide vahel on kaks olulist erinevust. Esiteks võimaldab impulssmodulatsiooni plokk kasutada binaarseid ja M-aarsed signaalid. Jaotis 2.8.2 kirjeldab nende signaalitüüpide erinevaid kasulikke parameetreid. Teiseks genereerib impulssmodulatsiooniplokis läbiviidav filtreerimine impulsse, mille kestus on pikem kui ühe biti edastusaeg. Filtreerimine võimaldab kasutada pikemaid impulsse; seega jaotatakse impulsid naaberbiti ajapiludesse. Seda protsessi nimetatakse mõnikord impulsi kujundamiseks; seda kasutatakse ülekande ribalaiuse hoidmiseks spektri mõnes soovitud piirkonnas.

Raadiosagedusedastust hõlmavate rakenduste puhul on järgmine oluline samm ribapääsmodulatsioon; see on vajalik alati, kui edastusmeedium ei toeta impulsssignaalide levimist. Sellistel juhtudel nõuab keskkond ribapäässignaali, kus . Terminit "ribapääs" kasutatakse selleks, et kajastada, et kitsariba signaali nihutatakse kandelaine poolt sagedusel, mis on palju suurem kui spektraalkomponendid. Kui signaal levib läbi kanali, mõjutavad seda kanali omadused, mida saab väljendada impulssreaktsioonina (vt punkt 1.6.1). Samuti moonutab signaalitee erinevates punktides vastuvõetud signaali täiendav juhuslik müra, mistõttu vastuvõtt tuleb väljendada saatja signaali rikutud versioonina. Vastuvõetud signaali saab väljendada järgmiselt:

kus märk "*" tähistab konvolutsioonioperatsiooni (vt A liide) ja on müraprotsess (vt punkt 1.5.5).

Vastupidisel suunal vähendavad vastuvõtja esiosa ja/või demodulaator iga ribapäässignaali sagedust. Tuvastamiseks valmistudes rekonstrueerib demodulaator kitsariba signaali optimaalse mähisjoonena. Tavaliselt on vastuvõtja ja demodulaatoriga seotud mitu filtrit – filtreerimine toimub soovimatute kõrgsageduslike komponentide eemaldamiseks (ribapäässignaali kitsaribaks teisendamise käigus) ja impulsside kujundamiseks. Ekvalifitseerimist võib kirjeldada kui filtreerimise tüüpi, mida kasutatakse demodulaatoris (või pärast demodulaatorit), et eemaldada kõik signaali halvenemise efektid, mida kanal võib põhjustada. Tasandamine on vajalik, kui kanali impulssreaktsioon on nii halb, et vastuvõetud signaal on tugevalt moonutatud. Ekvalaiser (ekvalaiser) on rakendatud, et kompenseerida (st eemaldada või summutada) mitteideaalsest reaktsioonist põhjustatud signaali moonutusi. Lõpuks teisendab diskreetimisetapp kujuga impulsi valimiks, et taastada (ligikaudne) kanali sümbol või teate sümbol (kui kanali kodeerimist ei kasutata). Mõned autorid kasutavad mõisteid "demodulatsioon" ja "tuvastus" vaheldumisi. Selles raamatus viitab demodulatsioon signaali (ribalaiuse impulsi) taastamisele ja tuvastamine selle signaali digitaalse väärtuse kohta otsuse tegemisele.

Ülejäänud signaalitöötluse etapid modemis on valikulised ja mõeldud konkreetsete süsteemivajaduste rahuldamiseks. Allika kodeerimine on analoogsignaali teisendamine digitaalseks (analoogallikate puhul) ja üleliigse (ebavajaliku) teabe eemaldamine. Pange tähele, et tüüpiline DCS-süsteem võib kasutada kas allika kodeeringut (algse teabe digiteerimiseks ja tihendamiseks) või lihtsamat vormingu teisendust (ainult digiteerimiseks). Süsteem ei saa korraga rakendada nii lähtekoodi kodeerimist kui ka vormindamist, kuna esimene sisaldab juba vajalikku teabe digiteerimise etappi. Krüpteerimine, mida kasutatakse sidesaladuse tagamiseks, takistab volitamata kasutajal sõnumist aru saamast ja valeteateid süsteemi sisestamast. Kanali kodeerimine antud andmeedastuskiirusel võib vähendada PE-vea tõenäosust või vähendada soovitud PE tõenäosuse saavutamiseks vajalikku signaali-müra suhet, suurendades edastuse ribalaiust või muutes dekoodri keerulisemaks. Multipleksimise ja mitme juurdepääsu protseduurid ühendavad signaale, millel võivad olla erinevad omadused või mis võivad pärineda erinevatest allikatest, nii et nad saavad jagada osa sideressurssidest (nt spekter, aeg). Sageduse levitamine võib anda signaali, mis on häirete suhtes (nii loomulike kui ka tahtlike) suhtes suhteliselt immuunne ja mida saab kasutada suhtlevate osapoolte privaatsuse suurendamiseks. See on ka väärtuslik tehnoloogia, mida kasutatakse mitme juurdepääsu jaoks.

Signaalitöötlusplokid, mis on näidatud joonisel fig. 1.2 kujutavad digitaalse sidesüsteemi tüüpilist diagrammi; kuid mõnikord rakendatakse neid plokke veidi erinevas järjekorras. Näiteks võib multipleksimine toimuda enne kanali kodeerimist või moduleerimist või kaheastmelises modulatsiooniprotsessis (alamkandja ja kandja) võib see toimuda modulatsiooni kahe etapi vahel. Sarnaselt võib sageduslaiendusplokk paikneda erinevates kohtades joonise fig 1 ülemises reas. 1,2; selle täpne asukoht sõltub konkreetsest kasutatavast tehnoloogiast. Sünkroniseerimine ja selle põhielement, sünkroniseeriv signaal, osalevad DCS-süsteemi signaalitöötluse kõigis etappides. Lihtsuse huvides on sünkroonimisplokk joonisel fig. 1.2 on näidatud ilma millestki arvestamata, kuigi tegelikult osaleb ta toimingute reguleerimises pea igas joonisel kujutatud plokis.

Joonisel fig. Joonisel 1.3 on kujutatud peamised signaalitöötlusfunktsioonid (mida võib käsitleda signaaliteisendustena), mis on jagatud üheksasse rühma.

Joon.1.3. Olulisemad digitaalse side ümberkujundamine

1. Allika vormindamine ja kodeerimine

2. Kitsasriba signaalimine

3. Ribalaiuse signaalimine

4. Nivelleerimine

5. Kanali kodeerimine

6. Pitseerimine ja mitmekordne juurdepääs

7. Hajaspekter

8. Krüpteerimine

9. Sünkroonimine

Joonisel fig. 1.3 Kitsasriba signaaliplokk sisaldab binaarsete alternatiivide loendit PCM-modulatsiooni või liinikoodide kasutamisel. See plokk määrab ka kutsutavate signaalide mittebinaarse kategooria M-aarne impulssmodulatsioon. Teine teisendus joonisel fig. 1.3, sildiga Bandwidth signaling, on jagatud kaheks põhiplokiks, koherentseks ja mittekoherentseks. Demoduleerimine toimub tavaliselt võrdlussignaalide abil. Kasutades teadaolevaid signaale kõigi signaaliparameetrite (eriti faasi) mõõtmiseks, peetakse demodulatsiooniprotsessi koherentseks; kui faasiteavet ei kasutata, siis öeldakse, et protsess on ebaühtlane.

Kanalite kodeerimine on seotud tehnikatega, mida kasutatakse digitaalsete signaalide parandamiseks, mille tulemusena muutuvad need halvendustegurite, nagu müra, tuhmumine ja signaali summutamine, suhtes vähem haavatavaks. Joonisel fig. 1.3, kanali kodeerimine on jagatud kaheks plokiks, lainekuju kodeerimisplokiks ja struktureeritud järjestuse plokiks. Lainekuju kodeerimine hõlmab uute signaalide kasutamist, mis parandavad algsignaali tuvastamise kvaliteeti. Struktureeritud jadad hõlmavad täiendavate bittide kasutamist, et teha kindlaks, kas kanalis on mürast põhjustatud viga. Üks selline tehnoloogia, automaatne kordustaotlus (ARQ), lihtsalt tuvastab vea esinemise ja palub saatjal sõnum uuesti saata; teine ​​tehnika, mida nimetatakse edasisuunas veaparanduseks (FEC), võimaldab automaatset veaparandust (teatud piirangutega). Struktureeritud järjestuste kaalumisel käsitleme kolme levinud meetodit - plokk-, konvolutsiooni- ja turbokodeering.

Digitaalses sides hõlmab ajastus nii aja kui ka sageduse arvutamist. Nagu on näidatud joonisel fig. 1.3, sünkroniseerimine toimub viiel tasemel. Koherentsete süsteemide tugisagedused tuleb sageduse ja faasi osas sünkroniseerida kandjaga (ja võib-olla ka alamkandjaga). Mittekoherentsete süsteemide puhul ei ole faaside sünkroniseerimine vajalik. Põhiline aja sünkroonimise protsess on sümbolite sünkroniseerimine (või bitisünkroniseerimine binaarsete sümbolite jaoks). Demodulaator ja detektor peavad teadma, millal sümbolite ja bittide tuvastamise protsessi alustada ja lõpetada; sünkroniseerimisviga viib tuvastamise efektiivsuse vähenemiseni. Aja sünkroonimise järgmine tase, kaadri sünkroniseerimine, võimaldab sõnumeid ümber korraldada. Ja viimane tase, võrgu sünkroonimine, võimaldab teil ressursse tõhusalt kasutada teiste kasutajatega.

1.1.3. Digitaalse suhtluse põhiterminoloogia

Alljärgnevalt on toodud mõned põhiterminid, mida digitaalsuhtluse valdkonnas tavaliselt kasutatakse.

Teabe allikas(teabeallikas). Seade, mis edastab teavet DCS-süsteemi kaudu. Teabeallikas võib olla analoogne või diskreetne. Analoogallika väljund võib võtta mis tahes väärtuse pidevast amplituudivahemikust, samas kui diskreetse teabeallika väljund võib võtta väärtusi piiratud amplituudide komplektist. Analoogsed teabeallikad teisendatakse diskreetse või kvantimise teel digitaalseks. Diskreetimis- ja kvantimismeetodid, mida nimetatakse allika vormindamiseks ja kodeerimiseks (joonis 1.3).

Tekstisõnum(tekstisõnum). Tähemärkide jada (joonis 1.4, a). Digitaalses andmeedastuses on teade numbrite või märkide jada, mis kuulub lõplikku märgikomplekti või tähestikku.

Sign(Tegelane). Tähestiku või märgistiku element (joonis 1.4, b). Märke saab vastendada kahendnumbrite jadaga. Märgikodeerimiseks kasutatakse mitmeid standardseid koode, sealhulgas ASCII (Ameerika standardkood teabevahetuseks), EBCDIC (laiendatud kahendkoodiga kümnendkoodivahetuse kood), Hollerith (Hollerithi kood), Baudot kood, Murray kood ja Morse kood.

Joon.1.4. Terminite illustratsioon: a) tekstisõnumid; b) sümbolid;

c) bitivoog (7-bitine ASCII kood); d) sümbolid, ;

e) ribapääs digitaalne signaal

kahendnumber(kahendnumber) (bitt) (bitt). Kõigi digitaalsüsteemide teabe põhiühik. Infoühikuna kasutatakse ka mõistet "bit", mida kirjeldatakse 9. peatükis.

bitivoog(bitivoog). Kahendnumbrite jada (nullid ja ühed). Bitivoogu nimetatakse sageli põhiriba signaaliks; see tähendab, et selle spektraalkomponendid ulatuvad alalisvoolust (või selle ümber) kuni lõpliku väärtuseni, tavaliselt mitte rohkem kui paar megahertsi. Joonisel fig. 1.4, "KUIDAS" sõnum on esitatud seitsmebitise ASCII-koodi abil ja bitivoogu näidatakse kahetasandiliste impulsside kujul. Impulsside jada on kujutatud väga stiliseeritud (täiuslikult ristkülikukujuliste) lainekujudega, mille külgnevate impulsside vahel on tühimikud. Reaalses süsteemis ei näe impulsid kunagi sellised, kuna sellised lüngad on täiesti kasutud. Teatud andmeedastuskiiruse korral suurendavad lüngad edastamiseks vajalikku ribalaiust; või, arvestades ribalaiust, suurendavad nad sõnumi vastuvõtmiseks vajalikku viivitust.

Sümbol(sümbol) (digitaalne sõnum) (digitaalne sõnum). Sümbol on rühm k bitte tervikuna. Edasi nimetame seda plokki sõnumisümboliks () lõplikust sümbolite hulgast või tähestikust (joonis 1.4, d.) Tähestiku suurus M võrdub , kus k on bittide arv märgis. Kitsasriba edastuse korral on iga sümbol kujutatud ühe kitsariba impulsssignaalide komplektist . Mõnikord kasutatakse selliste impulsside jada edastamisel impulsisageduse (sümbolikiiruse) väljendamiseks boodiühikut (baudi). Tüüpilise ribapääsmeedastuse korral esindab iga impulss üks ribapääs-impulsssignaalide komplektist . Seega traadita süsteemide jaoks saadetakse sümbol digitaalse signaali edastamise teel T sekundit. Järgmine märk saadetakse järgmise ajapilu jooksul, T. Asjaolu, et DCS-süsteemi edastatav märgistik on piiratud, on nende süsteemide ja analoogsidesüsteemide peamine erinevus. DCS-vastuvõtja peab ainult kindlaks määrama, milline M võimalikud signaalid on edastatud; samas kui analoogvastuvõtja peab täpselt kindlaks määrama pidevasse signaalivahemikku kuuluva väärtuse.

digitaalne signaal(digitaalne lainekuju). Kirjeldatud pinge või voolu tasemega, signaaliga (impulss kitsariba edastuseks või siinuslaine ribapääsu edastamiseks), mis tähistab digitaalset märki. Signaali omadused (impulsside puhul - amplituud, kestus ja asukoht või sinusoidi puhul - amplituud, sagedus ja faas) võimaldavad seda tuvastada kui üht lõpliku tähestiku sümbolit. Joonisel fig. 1.4 d on näidatud ribapääsliku digitaalsignaali näide. Kuigi signaal on siinuskujuline ja seetõttu analoogkujul, nimetatakse seda siiski digitaalseks, kuna see kodeerib digitaalset teavet. Sellel joonisel näidatakse digitaalset väärtust edastusega iga ajavahemiku jooksul T teatud sagedusega signaal.

Ülekandekiirus(andmesidekiirus). Selle väärtuse bittides sekundis (bps) annab (bps) kus k bitid määratlevad tähemärgi tähestikust - ja T on kestus juurde-bitine tegelane.

1.1.4. Digitaal- ja analoogjõudluse etalonid

Põhiline erinevus analoog- ja digitaalsidesüsteemide vahel on seotud nende toimivuse hindamise meetodiga. Analoogsüsteemi signaalid on pidevas, seega peab vastuvõtja töötama lõpmatu arvu võimalike signaalidega. Analoogsidesüsteemide jõudluse mõõdik on täpsus, näiteks signaali-müra suhe, moonutuste protsent või eeldatav RMS-viga edastatud ja vastuvõetud signaalide vahel.

Erinevalt analoogidest edastavad digitaalsed sidesüsteemid signaale, mis esindavad numbreid. Need numbrid moodustavad lõpliku hulga või tähestiku ja see hulk on vastuvõtjale a priori teada. Digitaalsete sidesüsteemide kvaliteedi kriteeriumiks on numbri ebaõige tuvastamise tõenäosus või vea tõenäosus ().

1.2. Signaali klassifikatsioon

1.2.1. Deterministlikud ja juhuslikud signaalid

Signaali võib klassifitseerida deterministlikuks (kui selle väärtuse suhtes pole mingil ajahetkel ebakindlust) või muul viisil juhuslikuks. Deterministlikke signaale modelleeritakse matemaatilise avaldise abil. Juhusliku signaali jaoks on sellist avaldist võimatu kirjutada. Kui aga vaadelda juhuslikku signaali (nimetatakse ka juhuslikuks protsessiks) piisavalt pika aja jooksul, võib märgata mõningaid mustreid, mida saab kirjeldada tõenäosuste ja statistilise keskmisega. Selline mudel juhusliku protsessi tõenäosusliku kirjelduse kujul on eriti kasulik sidesüsteemide signaalide ja müra omaduste kirjeldamisel.

1.2.2. Perioodilised ja mitteperioodilised signaalid

Signaali peetakse ajas perioodiliseks, kui on olemas konstant, nii et

jaoks (1.2)

kust läbi t aeg on märgitud. Väikseimat väärtust, mis seda tingimust rahuldab, nimetatakse signaali perioodiks. Periood määrab funktsiooni ühe täistsükli kestuse. Signaali, mille jaoks pole võrrandit (1.2) rahuldavat väärtust, nimetatakse mitteperioodiliseks.

1.2.3. Analoog- ja diskreetsignaalid

Analoogsignaal on aja pidev funktsioon, st. kõigi jaoks unikaalselt määratletud t. Elektriline analoogsignaal tekib siis, kui mõni seade muudab füüsilise signaali (näiteks kõne) elektriliseks signaaliks. Võrdluseks, diskreetne signaal on signaal, mis eksisteerib diskreetsete ajavahemike järel; seda iseloomustab iga ajahetke jaoks määratletud numbrijada, kT, kus k on täisarv ja T- kindel ajavahemik.

1.2.4. Energia või võimsusena väljendatud signaalid

Elektrilist signaali võib pidada pinge või voolu muutuseks, mille takistusele rakendatakse hetkevõimsust R:

Sidesüsteemides normaliseeritakse võimsus sageli (eeldatakse, et takistus R võrdub 1 oomiga, kuigi reaalses kanalis võib see olla ükskõik milline). Kui see on vajalik tegeliku võimsuse väärtuse määramiseks, saadakse see normaliseeritud väärtuse "denormaliseerimisega". Normaliseeritud juhul on võrranditel (1.3.a) ja (1.3.6) sama kuju. Seetõttu, olenemata sellest, kas signaali esindab pinge või vool, võimaldab normaliseeritud vorm väljendada hetkevõimsust kui

kus on pinge või vool. Võrrandi (1.4) abil saadud hetkevõimsusega reaalsignaali ajaintervalli () energia hajumist saab kirjutada järgmiselt.

(1.5)

Signaali poolt selle intervalli jooksul hajutatud keskmine võimsus on järgmine.

(1.6)

Sidesüsteemi jõudlus sõltub vastuvõetud signaali energiast; suurema energiaga signaale tuvastatakse usaldusväärsemalt (vähemate vigadega) - tuvastamise töö teostab vastuvõetud energia. Teisest küljest on võimsus energiasisendi kiirus. See punkt on oluline mitmel põhjusel. Võimsus määrab saatjale rakendatava pinge ja raadiosüsteemides arvesse võetavate elektromagnetväljade tugevuse (ehk saatjat antenniga ühendavates lainejuhtides ja antenni kiirgavate elementide ümber olevad väljad).

Sidesignaalide analüüsimisel on sageli soovitav töötada signaalienergiaga. Me nimetame seda energiasignaaliks siis ja ainult siis, kui sellel on igal ajahetkel nullist erinev lõplik energia (), kus

(1.7)

Reaalses olukorras edastame alati piiratud energiaga signaale (). Perioodiliste signaalide kirjeldamiseks, mis definitsiooni järgi (võrrand (1.2)) on alati olemas ja seetõttu lõpmatu energiaga, ja töötamiseks juhuslike signaalidega, millel on ka piiramatu energia, on mugav määratleda signaalide klass, mis on väljendatud terminites. võimust. Seega on mugav esitada signaali võimsuse abil, kui see on perioodiline ja selle lõppvõimsus on igal ajal nullist erinev (), kus

(1.8)

Teatud signaali võib omistada kas energiale või perioodilisusele. Energiasignaalil on piiratud energia, kuid null keskmine võimsus, samas kui perioodilise signaali keskmine võimsus on null, kuid energia lõpmatu. Süsteemi signaali saab väljendada kas selle energia või perioodiliste väärtuste kaudu. Üldreeglina väljendatakse perioodilisi ja juhuslikke signaale võimsusega ning deterministlikud ja mitteperioodilised signaalid energias.

Signaali energia ja võimsus on sidesüsteemi kirjeldamisel kaks olulist parameetrit. Signaali klassifitseerimine kas energiasignaaliks või perioodiliseks on mugav mudel, mis hõlbustab erinevate signaalide ja mürade matemaatilist käsitlemist. Jaotis 3.1.5 arendab neid ideid digitaalsete sidesüsteemide kontekstis.

1.2.5. Ühiku impulsi funktsioon

Kasulik funktsioon kommunikatsiooniteoorias on ühikuimpulss ehk Diraci deltafunktsioon. Impulssfunktsioon on abstraktsioon, lõpmatu amplituudiga, nulllaiuse ja ühikukaaluga (impulsi alune pindala) impulss, mis on koondunud punkti, kus selle argumendi väärtus on null. Ühikuimpulss on antud järgmiste seostega.

Piiramatu ühes punktis (1.11)

(1.12)

Ühikimpulss ei ole funktsioon selle sõna tavalises tähenduses. Kui see siseneb mis tahes toimingusse, on seda mugav käsitleda lõpliku amplituudi, pindalaühiku ja nullist erineva kestusega impulsina, pärast mida on vaja arvestada piiriga, kuna impulsi kestus kipub olema null. Graafiliselt saab seda kujutada tipuna, mis asub punktis, mille kõrgus on võrdne selle või selle pindala integraaliga. Seega konstandiga AGA tähistab impulsi funktsiooni, mille pindala (või kaal) on AGA, ja väärtus on null kõikjal, välja arvatud punkt .

Võrrandit (1.12) tuntakse ühikimpulssfunktsiooni sõelumis- (või kvantimis-) omadusena; ühikimpulsi ja suvalise funktsiooni integraal annab funktsiooni näidise punktis .

1.3. Spektri tihedus

Signaali karakteristikute spektraalne tihedus on signaali energia või võimsuse jaotus sagedusvahemikus. See kontseptsioon on eriti oluline sidesüsteemide filtreerimise kaalumisel. Peame suutma hinnata filtri väljundis olevat signaali ja müra. Sellise hindamise läbiviimisel kasutatakse energiaspektri tihedust (ESD) või võimsusspektri tihedust (power spectral density - PSD).

1.3.1. Spektri energiatihedus

Intervallis defineeritud reaalse energia signaali koguenergiat kirjeldab võrrand (1.7). Parsevali teoreemi kasutades saame sellise signaali ajapiirkonnas väljendatud energia seostada sageduspiirkonnas väljendatud energiaga:

, (1.13)

kus on mitteperioodilise signaali Fourier' teisendus . (Fourier' analüüsi kokkuvõte on toodud lisas A.) Tähistage ristkülikukujulise amplituudispektriga, mis on määratletud kui

(1.14)

Kogus on signaali spektraalne energiatihedus (ESD). Seetõttu saab võrrandist (1.13) väljendada koguenergiat, integreerides spektri tiheduse sageduse suhtes.

(1.15)

See võrrand näitab, et signaali energia on võrdne sageduspiirkonna graafiku all oleva pindalaga. Spektri energiatihedus kirjeldab signaali energiat ribalaiuse ühiku kohta ja seda mõõdetakse J/Hz. Positiivne ja negatiivne sageduskomponent annavad võrdse energiapanuse, seega on reaalse signaali väärtus sageduse paarisfunktsioon. Seetõttu on spektraalenergia tihedus alguspunkti suhtes sagedussümmeetriline ja signaali koguenergiat saab väljendada järgmiselt.

(1.16)

1.3.2. Võimsusspektri tihedus

Reaalsignaali keskmine võimsus perioodilises esituses määratakse võrrandiga (1.8). Kui on perioodiline signaal perioodiga , klassifitseeritakse see perioodilises esituses signaaliks. Perioodilise signaali keskmise võimsuse avaldis on antud valemiga (1.6), kus ühe perioodi aja keskmine on võetud.

(1.17a)

Parsevali teoreem reaalse perioodilise signaali kohta on kujul

, (1.17,b)

kus terminid on perioodilise signaali Fourier' rea komplekskoefitsiendid (vt lisa A).

Võrrandi (1.17.6) kasutamiseks on vaja teada ainult koefitsientide väärtust. Perioodilise signaali võimsusspektri tihedus (PSD), mis on sageduse tegelik, ühtlane ja mittenegatiivne funktsioon ning annab signaali võimsuse jaotuse sagedusvahemikus, on määratletud järgmiselt.

(1.18)

Võrrand (1.18) defineerib perioodilise signaali võimsusspektri tiheduse kaalutud deltafunktsioonide jadana. Seetõttu on perioodilise signaali PSD sageduse diskreetne funktsioon. Kasutades võrrandis (1.18) määratletud PSD-d, saab kirjutada reaalsignaali keskmise normaliseeritud võimsuse.

(1.19)

Võrrand (1.18) kirjeldab ainult perioodiliste signaalide PSD-d. Kui on mitteperioodiline signaal, ei saa seda väljendada Fourier' jadana; kui see on perioodilises esituses mitteperioodiline signaal (millel on lõpmatu energia), ei pruugi sellel Fourier' teisendust olla. Selliste signaalide võimsusspektri tihedust saame siiski väljendada piirides. Kui moodustame perioodilises esituses mitteperioodilise signaali kärbitud versiooni, võttes selleks ainult selle väärtused intervallist (), siis on sellel piiratud energia ja vastav Fourier' teisendus . Võib näidata, et mitteperioodilise signaali võimsusspektri tihedus on defineeritud piirina.

(1.20)

Näide 1.1. Keskmine nimivõimsus

a) Leidke keskmine normaliseeritud signaali tugevus kasutades aja keskmistamist.

b) Sooritage punkt a, liites spektraalkoefitsiendid.

Lahendus

a) Kasutades võrrandit (1.17, a) saame järgmise.

b) Kasutades võrrandeid (1.18) ja (1.19), saame järgmise.

(vt lisa A)

1.4. autokorrelatsioon

1.4.1. Energiasignaali autokorrelatsioon

Korrelatsioon on sobitamise protsess; autokorrelatsioon on signaali sobitamine oma viivitatud versiooniga. Reaalse energia signaali autokorrelatsioonifunktsioon on defineeritud järgmiselt.

jaoks (1.21)

Autokorrelatsiooni funktsioon mõõdab signaali sarnasust oma koopiaga, nihutatuna ajaühikute kaupa. Muutuja mängib skannimis- või otsinguparameetri rolli. ei ole aja funktsioon; see on lihtsalt signaali ja selle nihutatud koopia vahelise ajavahe funktsioon.

Reaalse energia signaali autokorrelatsioonifunktsioonil on järgmised omadused.

1.

3. autokorrelatsioon ja ESD on teineteise Fourier' teisendused, mida tähistab kahe otsaga nool

4. väärtus nullis võrdub signaali energiaga

Paragrahvide rahuldamisel. 1-3 on autokorrelatsiooni funktsioon. Tingimus 4 on tingimuse 3 tagajärg, seega ei ole vaja seda autokorrelatsioonifunktsiooni testimiseks põhikomplekti lisada.

1.4.2. Perioodilise signaali autokorrelatsioon

Reaalse perioodilise signaali autokorrelatsioon on defineeritud järgmiselt.

jaoks (1,22)

Kui signaal on perioodiline perioodiga , võib võrrandi (1.22) aja keskmise võtta ühe perioodi kohta ja autokorrelatsiooni saab väljendada järgmiselt.

jaoks (1.23)

Reaalväärtusi võtva perioodilise signaali autokorrelatsioonil on energiasignaaliga sarnased omadused.

1. sümmeetria nulli suhtes

2. kõigi puhul on maksimaalne väärtus null

3. autokorrelatsioon ja ESD on teineteise Fourier' teisendused

4.

1.5. juhuslikud signaalid

Sidesüsteemi põhiülesanne on teabe edastamine sidekanali kaudu. Kõik kasulikud sõnumisignaalid ilmuvad juhuslikult, s.t. vastuvõtja ei tea ette, milline võimalikest sõnumimärkidest edastatakse. Lisaks tekib erinevate elektriliste protsesside tõttu müra, mis saadab infosignaale. Seetõttu vajame tõhusat viisi juhuslike signaalide kirjeldamiseks.

1.5.1. juhuslikud muutujad

Olgu juhuslik suurus HA) kujutab funktsionaalset seost juhusliku sündmuse vahel AGA ja reaalarv. Märgistamise hõlbustamiseks tähistame juhuslikku muutujat tähisega X ja selle funktsionaalne sõltuvus AGA loetakse selgesõnaliseks. Juhuslik suurus võib olla diskreetne või pidev. Juhusliku suuruse jaotus X leitakse väljendiga:

, (1.24)

kus on tõenäosus, et väärtus aktsepteeritakse; juhuslik muutuja X väiksem kui reaalarv X või sellega võrdne. Jaotusfunktsioonil on järgmised omadused.

2. kui

Teine kasulik funktsioon, mis on seotud juhusliku muutujaga X, on tõenäosustihedus, mis on kirjutatud järgmiselt.

(1.25,a)

Nagu jaotusfunktsiooni puhul, on tõenäosustihedus reaalarvu funktsioon X. Nimetus "tihedusfunktsioon" tuli sellest, et sündmuse tõenäosus võrdub järgmisega.

Kasutades võrrandit (1.25.6), saame ligikaudselt üles kirjutada tõenäosuse, et juhuslik suurus X on väärtus, mis kuulub väga väikesesse intervalli ja vahel.

Seega võime nullile kalduva piiri sisse kirjutada järgmise.

Tõenäosustihedusel on järgmised omadused.

2. .

Seega on tõenäosustihedus alati mittenegatiivne ja sellel on pindalaühik. Raamatu tekstis kasutame tähistust pideva juhusliku suuruse tõenäosustiheduse tähistamiseks. Märgistamise hõlbustamiseks jätame indeksi sageli välja X ja kirjuta lihtsalt. Kui juhuslik suurus X võib võtta ainult diskreetseid väärtusi, kasutame tähistust .

1.5.1.1. Ansambel tähendab

Juhusliku muutuja keskmine väärtus või eeldatav väärtus X on määratletud väljendiga

, (1.26)

kus nimetatakse eeldatava väärtuse operaatoriks. hetk n juhusliku suuruse -ndat järku tõenäosusjaotus X nimetatakse järgmiseks väärtuseks.

(1.27)

Sidesüsteemide analüüsi jaoks on olulised muutuja kaks esimest momenti X. Jah, kl n=1 võrrand (1.27) annab ülaltoodud momendi ja millal n= 1 – ruutkeskmine väärtus X.

(1.28)

Võib määratleda ka keskseid hetki, mis on erinevuse hetked X ja . Teist järku keskmoment (nimetatakse ka dispersiooniks) on järgmine.

Dispersioon X kirjutatud ka kui , ja selle väärtuse ruutjuurt nimetatakse standardhälbeks X. Dispersioon on juhusliku suuruse "hajumise" mõõt X. Juhusliku suuruse dispersiooni määramine piirab tõenäosustiheduse funktsiooni laiust. Dispersioon ja RMS on seotud järgmise seosega.

Seega on dispersioon võrdne keskmise ruudu ja keskmise ruudu erinevusega.

1.5.2. juhuslikud protsessid

Juhuslikku protsessi saab vaadelda kahe muutuja funktsioonina: sündmused AGA ja aeg. Joonisel fig. 1.5 näitab juhusliku protsessi näidet. Kuvatakse N aja näidisfunktsioonid. Iga näidisfunktsiooni saab vaadelda eraldi mürageneraatori väljundina. Iga sündmuse jaoks on meil üks ajafunktsioon (st näidisfunktsioon). Kõigi näidisfunktsioonide kogumit nimetatakse ansambliks. Igal ajahetkel , on juhuslik muutuja, mille väärtus sõltub sündmusest. Ja viimane, konkreetse sündmuse ja konkreetse ajahetke jaoks, on tavaline arv. Märgistamise hõlbustamiseks tähistame juhuslikku protsessi kui X(t) ja funktsionaalne sõltuvus AGA loetakse selgesõnaliseks.

Joon.1.5. Juhuslik müraprotsess

1.5.2.1. Juhusliku protsessi statistiline keskmine

Kuna juhusliku protsessi väärtus igal järgneval ajahetkel on teadmata, saab juhuslikku protsessi, mille jaotusfunktsioonid on pidevad, kirjeldada statistiliselt tõenäosustiheduse kaudu. Üldiselt on sellel juhusliku protsessi funktsioonil erinevatel aegadel erinev vorm. Enamasti on ebareaalne empiiriliselt määrata juhusliku protsessi tõenäosusjaotust. Samas piisab sidesüsteemide vajadusteks sageli osalisest kirjeldusest, mis sisaldab keskmist ja autokorrelatsioonifunktsiooni. Niisiis, määratleme juhusliku protsessi keskmise X(t) kuidas

, (1.30)

kus on juhuslik suurus, mis on saadud juhusliku protsessi arvessevõtmisel ajal , a on tõenäosustihedus (tihedus sündmuste kogumi üle ajahetkel ).

Defineerime juhusliku protsessi autokorrelatsioonifunktsiooni X(t) funktsioonina kahest muutujast ja

kus ja on juhuslikud suurused, mis on saadud kaalumisel X(t) kohati ja vastavalt. Autokorrelatsioonifunktsioon on ühe juhusliku protsessi kahe ajaproovi vahelise suhte mõõt.

1.5.2.2. statsionaarsus

juhuslik protsess X(t) nimetatakse statsionaarseks selle kitsas tähenduses, kui selle statistikat ei mõjuta aja alguse ülekandmine. Juhuslikku protsessi nimetatakse laiemas tähenduses statsionaarseks, kui selle kaks statistikat, keskmine ja autokorrelatsioonifunktsioon, ei muutu aja alguspunkti nihutamisel. Seega on protsess üldjoontes statsionaarne, kui

Statsionaarsus kitsas tähenduses tähendab statsionaarsust laiemas tähenduses, kuid mitte vastupidi. Enamik kommunikatsiooniteooria kasulikest tulemustest põhinevad eeldusel, et juhuslikud infosignaalid ja müra on laiemas mõttes paigal. Praktilisest vaatenurgast ei pea juhuslik protsess alati olema paigal, piisab, kui olla paigal mõnes praktilist huvi pakkuvas jälgitavas ajavahemikus.

Statsionaarsete protsesside puhul ei sõltu autokorrelatsioonifunktsioon võrrandis (1.33) ajast, vaid ainult erinevusest . Ehk siis kõik väärtuste paarid X(t) mõnikord eraldatud intervalliga on sama korrelatsiooniväärtus. Seetõttu saab statsionaarsete süsteemide puhul funktsiooni kirjutada lihtsalt kujul .

1.5.2.3. Juhuslike protsesside autokorrelatsioon, statsionaarne laiemas tähenduses

Nii nagu dispersioon pakub juhuslike muutujate juhuslikkuse mõõdet, pakub autokorrelatsiooni funktsioon sarnast mõõdet juhuslike protsesside jaoks. Laiemas mõttes statsionaarsete protsesside puhul sõltub autokorrelatsiooni funktsioon ainult ajavahest.

Laias laastus statsionaarse nullkeskmise protsessi korral näitab funktsioon, kui statistiliselt on korrelatsioonis protsessi juhuslikud suurused sekunditega eraldatuna. Teisisõnu annab see teavet juhusliku protsessiga seotud sagedusreaktsiooni kohta. Kui see muutub aeglaselt, kui see tõuseb nullist teatud väärtuseni, näitab see, et valimi väärtused on keskmiselt X(t), võetud kohati ja , on peaaegu võrdsed. Seetõttu on meil õigus seda sagedusesituses eeldada X(t) domineerivad madalad sagedused. Teisest küljest, kui see suurenedes kiiresti väheneb, võiks seda eeldada X(t) muutub aja jooksul kiiresti ja hõlmab seetõttu valdavalt kõrgeid sagedusi.

Laiemas tähenduses statsionaarse ja tegelikke väärtusi võtva protsessi autokorrelatsioonifunktsioonil on järgmised omadused.

1. sümmeetria nulli suhtes

2. kõigi puhul on maksimaalne väärtus nullis

3. autokorrelatsioon ja võimsusspektri tihedus on teineteise Fourier' teisendused

4. väärtus nullis võrdub signaali keskmise tugevusega

1.5.3. Aja keskmistamine ja ergoodilisus

Ansambli arvutamiseks ja keskmistamiseks peame need keskmistama kõigi protsessi näidisfunktsioonide kohta ja seetõttu vajame täielikku teavet tõenäosustiheduse funktsioonide vastastikuse jaotuse kohta esimeses ja teises lähenduses. Üldjuhul selline teave reeglina puudub.

Kui juhuslik protsess kuulub eriklassi, mida nimetatakse ergoodiliste protsesside klassiks, on selle aja keskmine võrdne ansambli keskmisega ja protsessi statistilisi omadusi saab määrata protsessi ühe näidisfunktsiooni keskmistamisega ajas. Et juhuslik protsess oleks ergoodiline, peab see olema statsionaarne selle kitsas tähenduses (tagurpidi pole vajalik). Kommunikatsioonisüsteemide puhul, kus statsionaarsus laiemas mõttes on meile piisav, huvitab meid aga ainult keskmine ja autokorrelatsiooni funktsioon.

Juhuslik protsess on ergoodiline keskmise kui suhtes

(1.35)

ja ergoodiline autokorrelatsioonifunktsiooni suhtes, kui

(1.36)

Juhusliku protsessi ergoodsuse testimine on tavaliselt üsna keeruline. Praktikas kasutatakse reeglina intuitiivset eeldust ansambli keskmiste asendamise otstarbekuse kohta ajaliste keskmistega. Enamiku sidekanalite signaalide analüüsimisel (impulsiefektide puudumisel) on mõistlik eeldada, et juhuslikud signaalid on autokorrelatsioonifunktsiooni suhtes ergoodilised. Kuna ergoodiliste protsesside korral on aja keskmised võrdsed ansambli keskmiste väärtustega, saab ergoodilise juhusliku protsessi momentidega seostada põhilisi elektrilisi parameetreid, nagu alalisvoolu komponendi amplituud, ruutkeskväärtus ja keskmine võimsus.

1. Väärtus võrdub signaali alalisvoolukomponendiga.

2. Väärtus võrdub alalisvoolukomponendi normaliseeritud võimsusega.

3. Teise tellimuse hetk X(t), , on võrdne keskmise normaliseeritud koguvõimsusega.

4. Väärtus võrdub signaali efektiivväärtusega, mis on väljendatud voolu või pingena.

5. Dispersioon on võrdne vahelduvsignaali keskmise normaliseeritud võimsusega.

6. Kui protsessi keskmine on null (st ), siis , ja dispersioon on võrdne efektiivväärtusega või (teine ​​sõnastus) tähistab dispersioon normaliseeritud koormuse koguvõimsust.

7. Standardhälve on muutuva signaali standardväärtus.

8. Kui , siis on signaali efektiivväärtus.

1.5.4. Stohhastilise protsessi võimsusspektri tihedus ja autokorrelatsioon

juhuslik protsess X(t) võib omistada perioodilisele signaalile, millel on selline võimsusspektri tihedus, nagu on näidatud võrrandis (1.20). Funktsioon on eriti kasulik sidesüsteemides, kuna see kirjeldab signaali võimsuse jaotust sagedusvahemikus. Võimsusspektri tihedus võimaldab hinnata teadaolevate sagedusomadustega võrgu kaudu edastatava signaali võimsust. Võimsuse spektraaltiheduse funktsioonide põhiomadused võib sõnastada järgmiselt.

1. võtab alati tõelisi väärtusi

2. jaoks X(t) tõeliste väärtuste võtmine

3. autokorrelatsioon ja võimsusspektri tihedus on teineteise Fourier' teisendused

4. seos keskmise normaliseeritud võimsuse ja võimsuse spektraaltiheduse vahel

Joonisel fig. 1.6 näitab autokorrelatsiooni funktsiooni ja võimsuse spektraaltiheduse funktsiooni visuaalset esitust. Mida tähendab mõiste "korrelatsioon"? Kui meid huvitab kahe nähtuse korrelatsioon, siis küsime, kui tihedalt on need käitumises või välimuses seotud ja kui palju need ühtivad. Matemaatikas kirjeldab signaali autokorrelatsioonifunktsioon (ajapiirkonnas) signaali vastavust iseendale, mis on teatud aja võrra nihutatud. Täpne koopia loetakse looduks ja lokaliseerituks miinus lõpmatuse juures. Seejärel liigutame koopiat järjestikku ajatelje positiivses suunas ja küsime, kuidas need (originaalversioon ja koopia) omavahel vastavad. Seejärel liigutame koopiat veel ühe sammu positiivses suunas ja küsime, kui palju need nüüd sobivad jne. Kahe signaali vaheline korrelatsioon on kujutatud aja funktsioonina, mida tähistatakse ; sel juhul võib aega lugeda skaneerimisparameetriks.

Joonisel fig. 1.6 a-d eelkirjeldatud olukorda on kujutatud teatud ajahetkedel. Riis. 1.6 a illustreerib laias laastus paigalseisva juhusliku protsessi üksikut signaali X(t). Signaal on juhuslik binaarjada positiivsete ja negatiivsete (bipolaarsete) impulssühikute amplituudiga. Positiivsed ja negatiivsed impulsid ilmnevad võrdse tõenäosusega. Iga impulsi kestus (kahendnumber) on T sekundit ja keskmine ehk juhusliku jada konstantse komponendi väärtus on null. Joonisel fig. 1.6 b kuvatakse sama jada, ajas sekundite kaupa nihutatuna. Aktsepteeritud tähistuse kohaselt tähistatakse seda järjestust . Oletame protsessi X(t) on autokorrelatsioonifunktsiooni suhtes ergoodiline, seega saame leidmiseks kasutada ansambli keskmistamise asemel aja keskmistamist. Väärtus saadakse kahe jada korrutamisel X(t) ja sellele järgneva keskmise leidmisega võrrandi (1.36) abil, mis kehtib ergoodiliste protsesside puhul ainult piirväärtuses. Täisarvu perioodide integreerimine võib aga anda meile hinnangu . Pange tähele, mida saab nihutamisega saada X(t) nii positiivses kui negatiivses suunas. Sarnast juhtumit on illustreeritud joonisel fig. 1.6 sisse, millel kasutatakse algset näidisjada (joonis 1.6, a) ja selle nihutatud koopia (joonis 1.6, b). Tootekõvera all olevad varjutatud alad mõjutavad toodet positiivselt, hallid alad aga negatiivselt. Integreerimine üle edastusaja annab kõveral punkti. Jada saab veelgi nihutada ja iga selline nihe annab punkti üldisele autokorrelatsioonifunktsioonile, nagu on näidatud joonisel fig. 1.6 G. Teisisõnu, iga juhuslik bipolaarsete impulsside jada vastab autokorrelatsioonipunktile joonisel fig. 1.6 G. Funktsiooni maksimum on punktis (parim sobivus on siis, kui , võrdub nulliga, kuna kõigi puhul ) ja funktsioon langeb välja kui . Joonisel fig. 1.6 G on näidatud punktid, mis vastavad ja.

Autokorrelatsioonifunktsiooni analüütiline avaldis, mis on näidatud joonisel fig. 1.6 G, on järgmisel kujul.

(1.37)

Pange tähele, et autokorrelatsiooni funktsioon annab meile teavet sageduse kohta; see ütleb meile midagi signaali ribalaiuse kohta. Samal ajal on autokorrelatsioon ajaline funktsioon; valemis (1.37) puuduvad sagedusest sõltuvad terminid. Kuidas see siis meile ribalaiuse kohta teavet annab?

Joon.1.6. Autokorrelatsioon ja võimsusspektri tihedus

Joon.1.6. Autokorrelatsioon ja võimsusspektri tihedus (lõpp)

Oletame, et signaal liigub väga aeglaselt (signaalil on madal ribalaius). Kui nihutada signaali koopiat mööda telge, esitades nihke igas etapis küsimuse, kui palju koopia ja originaal teineteisele vastavad, on vastavus pikka aega üsna tugev. Teisisõnu, kolmnurkse autokorrelatsiooni funktsioon (joonis 1.6, G ja valem 1.37) väheneb aeglaselt suurenedes. Oletame nüüd, et signaal muutub piisavalt kiiresti (st meil on lai riba). Sel juhul põhjustab isegi väike muudatus korrelatsiooni nulli ja autokorrelatsioonifunktsiooni väga kitsa kuju. Seetõttu annab autokorrelatsiooni funktsioonide võrdlemine kuju järgi teavet signaali ribalaiuse kohta. Kas funktsioon väheneb järk-järgult? Sel juhul on meil kitsa ribaga signaal. Kas funktsiooni kuju meenutab kitsast tippu? Siis on signaalil lai riba.

Autokorrelatsiooni funktsioon võimaldab teil selgelt väljendada juhusliku signaali võimsusspektri tihedust. Kuna võimsusspektri tihedus ja autokorrelatsioonifunktsioon on teineteise Fourier-teisendused, võib juhusliku bipolaarsete impulsside jada võimsusspektri tiheduse, , leida funktsiooni Fourier' teisendusena, mille analüütiline avaldis on antud võrrandis (1.37) . Selleks saate kasutada tabelit. A.1. Märka seda

(1.38)

Funktsiooni üldvaade on näidatud joonisel fig. 1.6 d.

Pange tähele, et võimsuse spektraaltiheduse kõvera alune ala tähistab keskmist signaali võimsust. Üks mugav ribalaiuse mõõt on peamise spektraalsagara laius (vt jaotis 1.7.2). Joonisel fig. 1.6 d on näidatud, et signaali ribalaius on seotud sümboli kestuse või impulsi laiuse pöördväärtusega. Riis. 1.6 f-k korrake ametlikult joonist fig. 1.6 põrgu, välja arvatud see, et järgmistel joonistel on impulsi kestus lühem. Pange tähele, et lühemate impulsside korral on funktsioon kitsam (joonis 1.6, ja) kui pikemate puhul (joonis 1.6, G). Joonisel fig. 1.6 ja; Teisisõnu, lühema impulsi kestuse korral piisab nihkest , null-sobivuse loomiseks või nihutatud jadade vahelise korrelatsiooni täielikuks kadumiseks. Kuna joonisel fig. 1.6 e impulsi kestus T vähem (kõrgem impulsi ülekandekiirus) kui joonisel fig. 1.6 a, bändi täituvus joonisel fig. 1.6 juurde rohkem riba hõivatust madalama impulsi sageduse jaoks, mis on näidatud joonisel fig. 1.6 d.

1.5.5. Müra sidesüsteemides

Mõiste "müra" viitab soovimatutele elektrisignaalidele, mis on alati elektrisüsteemides olemas. Müra olemasolu signaalile "varjab" või varjab signaali; see piirab vastuvõtja võimet teha täpseid otsuseid sümbolite tähenduse kohta ja seega piirab teabe kiirust. Müra iseloom on mitmekesine ja hõlmab nii looduslikke kui tehislikke allikaid. Inimtekkeline müra on sädesüüte müra, lülitusimpulssmüra ja muudest seotud elektromagnetkiirguse allikatest tulenev müra. Looduslikud mürad pärinevad atmosfäärist, päikesest ja muudest galaktilistest allikatest.

Hea tehniline disain võib filtreerimise, sõelumise, modulatsiooni valiku ja vastuvõtja optimaalse asukoha abil kõrvaldada enamiku müra või selle soovimatuid mõjusid. Näiteks tehakse tundlikke raadioastronoomilisi mõõtmisi tavaliselt kaugetes kõrbepiirkondades, mis on kaugel looduslikest müraallikatest. Siiski on üks loomulik müra, mida nimetatakse termiliseks müraks, mida ei saa kõrvaldada. Soojusmüra põhjustab elektronide soojusliikumine kõigis dissipatiivsetes komponentides – takistites, juhtides jne. Samad elektronid, mis vastutavad elektrijuhtivuse eest, vastutavad ka soojusmüra eest.

Termilist müra võib kirjeldada kui Gaussi juhuslikku protsessi, mille keskmine väärtus on null. Gaussi protsess n(t) on juhuslik funktsioon, mille väärtus ja suvalisel ajahetkel t Seda iseloomustab statistiliselt Gaussi tõenäosustiheduse funktsioon:

, (1.40)

kus on dispersioon n. Normaliseeritud Gaussi protsessi tihedusfunktsioon null keskmisega saadakse eeldusel, et . Skemaatiliselt normaliseeritud tõenäosustiheduse funktsioon on näidatud joonisel fig. 1.7.

Siin on juhuslik signaal, a- signaal sidekanalis ja n on juhuslik suurus, mis väljendab Gaussi müra. Seejärel väljendatakse tõenäosustiheduse funktsiooni kujul

, (1.41)

kus, nagu eespool, on dispersioon n.

Joon.1.7. Normaliseeritud () Gaussi tõenäosustiheduse funktsioon

Gaussi jaotust kasutatakse sageli süsteemi müra mudelina, kuna on olemas keskne piiriteoreem, mis väidab, et väga üldistel tingimustel on summa tõenäosusjaotus. j statistiliselt sõltumatud juhuslikud muutujad järgivad Gaussi jaotust ja üksikute jaotusfunktsioonide vorm ei oma tähtsust. Seega, isegi kui üksikutel müramehhanismidel on mitte-Gaussi jaotus, kaldub paljude selliste mehhanismide kogum Gaussi jaotusele.

1.5.5.1. valge müra

Termilise müra peamine spektraalne omadus on see, et selle võimsusspektri tihedus on enamikus sidesüsteemides kõigi huvipakkuvate sageduste puhul sama; teisisõnu, soojusmüra allikas kiirgab kõigil sagedustel võrdse võimsusega ribalaiuse ühiku kohta - alalisvoolust kuni sageduseni, mis on suurusjärgus Hz. Seetõttu eeldab lihtne termilise müra mudel, et selle võimsusspektri tihedus on kõigil sagedustel ühtlane, nagu on näidatud joonisel fig. 1.8 a, ja see on kirjutatud järgmisel kujul.

(1.42)

Siin on kaasatud tegur 2, mis näitab, et see on kahepoolne võimsusspektri tihedus. Kui müra võimsusel on nii ühtlane spektri tihedus, nimetame seda müra valgeks. Omadussõna "valge" kasutatakse samas tähenduses nagu valge valguse puhul, mis sisaldab võrdsetes osades nähtavas elektromagnetilises spektris kõiki sagedusi.

Joon.1.8. Valge müra: a) võimsuse spektraalne tihedus;

b) autokorrelatsioonifunktsioon

Valge müra autokorrelatsioonifunktsioon saadakse müra võimsuse spektraaltiheduse Fourier' pöördteisendusega (vt tabel A.1) ja see on kirjutatud järgmiselt.

(1.43)

Seega on valge müra autokorrelatsioon deltafunktsioon, mis on kaalutud teguriga ja asub punktis , nagu on näidatud joonisel fig. 1.8 b. Pange tähele, et väärtus on võrdne nulliga, st kaks erinevat valge müra näidist ei ole korrelatsioonis, ükskõik kui lähedased nad ka poleks.

Valge müra keskmine võimsus on lõpmatu, kuna valge müra ribalaius on lõpmatu. Seda saab näha, saades võrranditest (1.19) ja (1.42) järgmise avaldise.

(1.44)

Kuigi valge müra on väga kasulik abstraktsioon, ei saa ükski müraprotsess tegelikult olla valge; paljudes reaalsetes süsteemides tekkivat müra võib aga oletatavasti pidada valgeks. Sellist müra saame jälgida alles pärast seda, kui see on läbinud lõpliku ribalaiusega reaalse süsteemi. Seega, kuni müra ribalaius on oluliselt suurem süsteemi kasutatavast ribalaiusest, võib müra lugeda lõpmatu ribalaiusega.

Delta funktsioon võrrandis (1.43) tähendab, et mürasignaal n(t) on absoluutselt korrelatsioonis oma kallutatud versiooniga mis tahes . Võrrand (1.43) näitab, et valge müra protsessi mis tahes kaks näidist ei ole korrelatsioonis. Kuna termiline müra on Gaussi protsess ja selle näidised ei ole korrelatsioonis, on ka müra näidised sõltumatud. Seega on aditiivse valge Gaussi mürakanali mõju tuvastamisprotsessile see, et müra mõjutab sõltumatult iga edastatud sümbolit. Sellist kanalit nimetatakse mäluta kanaliks. Mõiste "lisand" tähendab, et müra lihtsalt kantakse signaali peale või lisatakse sellele – kordamismehhanisme ei eksisteeri.

Kuna soojusmüra esineb kõigis sidesüsteemides ja see on enamiku süsteemide jaoks oluline müraallikas, kasutatakse sidesüsteemide müra modelleerimiseks sageli soojusmüra karakteristikuid (liit, valge ja Gaussi). Kuna nullkeskmist Gaussi müra iseloomustab täielikult selle dispersioon, on seda mudelit eriti lihtne kasutada signaali tuvastamisel ja vastuvõtja optimaalsel disainil. Selles raamatus eeldame (kui pole öeldud teisiti), et süsteemi rikub nullkeskmise lisandväärtusega valge Gaussi müra, kuigi mõnikord on see lihtsustamine liiga tugev.

1.6. Signaali edastamine liinisüsteemide kaudu

Nüüd, kui oleme välja töötanud signaali- ja müramudelite komplekti, vaatame süsteemide omadusi ning nende mõju signaalidele ja mürale. Kuna süsteemi saab ühtviisi hästi iseloomustada nii sagedus- kui ka ajavaldkonnas, on mõlemal juhul välja töötatud meetodid lineaarse süsteemi reaktsiooni analüüsimiseks suvalisele sisendsignaalile. Süsteemi sisendisse kantud signaali (joonis 1.9) saab kirjeldada kas ajasignaalina , või selle Fourier' teisenduse, . Ajaanalüüsi kasutamine annab ajaväljundi ja selle käigus määratakse võrgu funktsioon, impulssreaktsioon või impulssreaktsioon. Arvestades sisendit sageduspiirkonnas, peame kindlaks määrama süsteemi sageduskarakteristiku ehk ülekandefunktsiooni, mis määrab sageduse väljundi. Eeldatakse, et süsteem on aja suhtes lineaarne ja muutumatu. Samuti eeldatakse, et süsteemil puudub sisendsignaali andmise hetkel varjatud energia.

Joon.1.9. Lineaarne süsteem ja selle põhiparameetrid

1.6.1. impulssreaktsioon

Lineaarne, ajas muutumatu süsteem või võrk, mis on näidatud joonisel fig. 1.9 kirjeldatakse (ajapiirkonnas) impulssreaktsiooniga , mis on süsteemi reaktsioon, kui selle sisendile rakendatakse üks impulss.

Mõelge terminile "impulssreaktsioon", mis on selle sündmuse jaoks äärmiselt sobiv. Süsteemi tunnuste kirjeldamisel selle impulssreaktsiooni kaudu on otsene füüsiline tõlgendus. Süsteemi sisendis rakendame ühte impulssi (lõpmatu amplituudiga, nulllaiuse ja pindalaühikuga ebareaalne signaal), nagu on näidatud joonisel fig. 1.10, a. Sellise impulsi andmist süsteemile võib käsitleda kui "hetke mõju". Kuidas süsteem reageerib (“reageerib”) sellisele jõu (impulsi) rakendamisele? Väljundsignaal on süsteemi impulssreaktsioon. (Selle vastuse võimalik vorm on näidatud joonisel 1.10, b.)

Võrgu reaktsioon suvalisele signaalile on konvolutsioon koos , mis on kirjutatud järgmiselt.

(1.46)

Joon.1.10. Mõiste "impulssreaktsioon" illustratsioon: a) sisendsignaal on ühikimpulssfunktsioon; b) väljundsignaal on süsteemi impulssreaktsioon

Siin tähistab "*" märk konvolutsioonioperatsiooni (vt punkt A.5). Eeldatakse, et süsteem on põhjuslik, mis tähendab, et väljundis ei ole signaali kuni hetkeni, mil signaal sisendisse rakendatakse. Seetõttu võib integratsiooni alumise piiri võtta võrdseks nulliga ja väljundit saab väljendada veidi erineval viisil.

(1.47,a)

või kujul

(1,47b)

Avaldisi võrrandites (1.46) ja (1.47) nimetatakse konvolutsiooniintegraalideks. Konvolutsioon on põhiline matemaatiline tööriist, mis mängib olulist rolli kõigi sidesüsteemide mõistmisel. Kui lugeja selle toiminguga tuttav ei ole, peaks ta võrrandite (1.46) ja (1.47) tuletamiseks lugema jaotist A.5.

1.6.2. Sagedusülekande funktsioon

Sagedusväljund saadakse Fourier' teisenduse rakendamisel võrrandi (1.46) mõlemale poolele. Kuna ajapiirkonna konvolutsioonist saab sageduspiirkonnas korrutamine (ja vastupidi), saame võrrandist (1.46) järgmise.

(Eeldatakse muidugi, et kõigi jaoks.) Siin , impulssreaktsiooni Fourier' teisendus, mida nimetatakse sageduse ülekandefunktsiooniks, sageduskarakteristikuks või võrgu sagedusreaktsiooniks. Üldiselt on funktsioon keeruline ja seda saab kirjutada kui

, (1.50)

kus on reaktsioonimoodul. Reageerimisfaas on määratletud järgmiselt.

(1.51)

(ja tähistage argumendi tegelikke ja kujuteldavaid osi.)

Lineaarse, ajas muutumatu võrgu sageduse ülekandefunktsiooni saab hõlpsasti mõõta laboris - võrgus, mille sisendis on harmooniline generaator ja väljundis ostsilloskoop. Kui sisendsignaal on väljendatud kujul

,

siis saab väljundi kirjutada järgmiselt.

Sisendsagedust nihutatakse meid huvitava väärtuse võrra; seega võimaldavad mõõtmised sisendis ja väljundis liigi määrata.

1.6.2.1. Stohhastilised protsessid ja lineaarsüsteemid

Kui juhuslik protsess moodustab lineaarse, ajas muutumatu süsteemi sisendi, siis selle süsteemi väljundis saame ka juhusliku protsessi. Teisisõnu, iga sisendprotsessi näidisfunktsioon annab väljundprotsessi näidisfunktsiooni. Sisendvõimsuse spektraaltihedus ja väljundvõimsuse spektraaltihedus on seotud järgmise seosega.

(1.53)

Võrrand (1.53) pakub lihtsat viisi võimsusspektri tiheduse leidmiseks lineaarse ajas muutumatu süsteemi väljundis, kui sisendina kasutatakse juhuslikku protsessi.

Peatükkides 3 ja 4 vaatleme signaali tuvastamist Gaussi müras. Gaussi protsesside peamist omadust rakendatakse lineaarsele süsteemile. Näidatakse, et kui Gaussi protsess suunatakse ajas muutumatule lineaarsele filtrile, siis juhuslik protsess, mis väljastatakse, on samuti Gaussi protsess.

1.6.3. Ülekanne ilma moonutusteta

Mida on vaja selleks, et võrk käituks ideaalse edastuskanalina? Ideaalse sidekanali väljundis olev signaal võib sisendi signaali suhtes hilineda; lisaks võivad need signaalid olla erineva amplituudiga (lihtne skaleerimine), aga nagu kõige muu puhul - signaal ei tohiks olla moonutatud, st. sellel peab olema sisendsignaaliga sama kuju. Seetõttu võime ideaalse moonutamata ülekande jaoks kirjeldada väljundsignaali kui

, (1.54)

kus ja on konstandid. Rakendades Fourier' teisenduse mõlemale osale (vt jaotist A.3.1), saame järgmise.

(1.55)

Asendades avaldise (1.55) võrrandiga (1.49), näeme, et süsteemi vajalik ülekandefunktsioon moonutusteta edastamiseks on järgmisel kujul.

(1.56)

Seetõttu peab ideaalse moonutusteta ülekande saamiseks süsteemi üldisel reaktsioonil olema konstantne moodul ja faasinihe peab olema sageduselt lineaarne. Sellest ei piisa, et süsteem kõiki sageduskomponente võrdselt võimendab või kärbib. Kõik signaali harmoonilised peavad jõudma väljundisse ühesuguse viivitusega, et neid saaks summeerida. Kuna viivitus on seotud faasinihke ja tsüklilise sagedusega

, (1.57,a)

on ilmne, et selleks, et kõigi komponentide viivitus oleks sama, peab faasinihe olema võrdeline sagedusega. Hilinemisest põhjustatud signaali moonutuste mõõtmiseks kasutatakse sageli tunnust, mida nimetatakse rühma viivituseks; see on määratletud järgmiselt.

(1,57b)

Seega on moonutusteta edastamiseks kaks samaväärset nõuet: faas peab olema sageduselt lineaarne või grupi viivitus peab olema võrdne konstandiga. Praktikas on signaal süsteemi teatud osade läbimisel moonutatud. Selle moonutuse kõrvaldamiseks võib süsteemi sisestada faasi- või amplituudikorrektsiooniahelad (võrdsustamine). Üldiselt on moonutus süsteemi üldine sisend-/väljundtunnus, mis määrab selle jõudluse.

1.6.3.1. Ideaalne filter

Ideaalset võrku, mida kirjeldab võrrand (1.56), on ebareaalne konstrueerida. Probleem seisneb selles, et võrrand (1.56) eeldab lõpmatut ribalaiust, kusjuures süsteemi ribalaiuse määrab positiivsete sageduste vahemik, kus moodulil on antud väärtus. (Üldiselt on mitu ribalaiuse mõõdikut, levinumad on loetletud jaotises 1.7.) Lõpmatu ribalaiusega ideaalse võrgu lähendamiseks valime kärbitud võrgu, mis läbib moonutusteta kõik harmoonilised sageduste vahel ja kus on alumine piirsagedus ja on ülemine, nagu on näidatud joonisel fig. 1.11. Kõiki selliseid võrke nimetatakse ideaalseteks filtriteks. Eeldatakse, et väljaspool vahemikku, mida nimetatakse pääsuribaks (passband), on ideaalse filtri reaktsiooniamplituud null. Efektiivne ribalaius määratakse filtri ribalaiusega ja see on Hz.

Kui ja , nimetatakse filtrit läbilaskvaks (joonis 1.11, a). Kui ja on lõpliku väärtusega, nimetatakse seda madalpääsfiltriks (joonis 1.11, b). Kui selle väärtus on nullist erinev ja , nimetatakse seda kõrgpääsfiltriks (joonis 1.11, sisse).

Joon.1.11. Ideaalsete filtrite ülekandefunktsioon: a) ideaalne ülekandefilter; b) ideaalne madalpääsfilter; c) ideaalne madalpääsfilter

Kasutades võrrandit (1.59) ja eeldades ideaalset madalpääsfiltrit Hz ribalaiusega, mis on näidatud joonisel fig. 1.11 b, saab ülekandefunktsiooni kirjutada järgmiselt.

(1.58)

Ideaalse madalpääsfiltri impulssreaktsioon, mis on näidatud joonisel fig. 1.12 väljendatakse järgmise valemiga.

Joon.1.12. Ideaalse madalpääsfiltri impulssreaktsioon

kus funktsioon on defineeritud võrrandis (1.39). Joonisel fig. 1,12 on mittepõhjuslik; see tähendab, et hetkel, kui signaal sisestatakse sisendisse (), on filtri väljundis nullist erinev reaktsioon. Seega peaks olema ilmne, et võrrandiga (1.58) kirjeldatud ideaalset filtrit tegelikult ei esine.

Näide 1.2. Valge müra läbimine ideaalsest filtrist

Valge müra võimsuse spektraaltihedusega näidatud joonisel 1.8, a, rakendatakse ideaalse madalpääsfiltri sisendile, mis on näidatud joonisel fig. 1.11 b. Määrake väljundsignaali võimsusspektri tihedus ja autokorrelatsiooni funktsioon.

Lahendus

Autokorrelatsioonifunktsioon on Fourier' pöördteisundi rakendamise tulemus võimsusspektri tiheduse suhtes. Autokorrelatsioonifunktsioon määratakse järgmise avaldise abil (vt tabel A.1).

Võrreldes saadud tulemust valemiga (1.62), näeme, et sellel on sama kuju kui ideaalse madalpääsfiltri impulssreaktsioonil, mis on näidatud joonisel fig. 1.12. Selles näites teisendab ideaalne madalpääsfilter valge müra autokorrelatsioonifunktsiooni (määratletud deltafunktsioonina) funktsiooniks . Pärast filtreerimist ei ole süsteemil enam valget müra. Väljundmürasignaalil on ainult nullkorrelatsioon selle nihutatud koopiatega, kui seda nihutatakse , kus on mis tahes nullist erinev täisarv.

1.6.3.2. Rakendatud filtrid

Lihtsaim madalpääsfilter, mida saab rakendada, koosneb takistusest (R) ja mahtuvusest (C), nagu on näidatud joonisel fig. 1.13 a; seda filtrit nimetatakse RC-filtriks ja selle ülekandefunktsiooni saab väljendada järgmiselt.

, (1.63)

kus . Amplituudikarakteristik ja faasikarakteristik on näidatud joonisel fig. 1.13 b, sisse. Madalpääsfiltri ribalaius määratakse poole võimsuse punktis; see punkt tähistab sagedust, mille puhul väljundsignaali võimsus on pool maksimaalsest väärtusest või sagedus, mille puhul väljundpinge amplituud on võrdne maksimaalse väärtusega.

Üldiselt väljendatakse poolvõimsuspunkti detsibellides (dB) punktina -3 dB või punktina, mis jääb 3 dB võrra alla maksimumväärtuse. Definitsiooni järgi määratakse väärtus detsibellides võimsuste suhtega ja .

(1,64, a)

Siin ja on pinged, a ja on takistused. Sidesüsteemides kasutatakse analüüsiks tavaliselt normaliseeritud võimsust; sel juhul peetakse takistusi ja võrdseks 1 oomiga, siis

Joon.1.13. RC-filter ja selle ülekandefunktsioon: a) RC-filter; b) RC-filtri amplituudikarakteristik; c) RC-filtri faasivastus

(1,64, b)

Amplituudireaktsiooni saab väljendada detsibellides kui

, (1,64 tolli)

kus ja on sisend- ja väljundpinged ning eeldatakse, et sisend- ja väljundtakistus on võrdne.

Võrrandist (1.63) on lihtne kontrollida, kas RC madalpääsfiltri poolvõimsuspunkt vastab rad/s ehk Hz. Seega on ribalaius hertsides . Filtri kujutegur mõõdab seda, kui hästi reaalne filter ideaalsele filtrile läheneb. Tavaliselt määratletakse seda kui -60 dB ja -6 dB filtri ribalaiuste suhet. Piisavalt väikese vormiteguri (umbes 2) saab väga terava lõikega ülekandefiltris. Võrdluseks, lihtsa RC madalpääsfiltri kujutegur on umbes 600.

Ideaalse madalpääsfiltri karakteristikutele on mitmeid kasulikke ligikaudseid hinnanguid. Ühte neist pakub Butterworthi filter, mis annab funktsiooniga ligilähedaselt ideaalse madalpääsfiltri

, (1.65)

kus on ülemine piirsagedus (-3 dB) ja filtri järjekord. Mida kõrgem on tellimus, seda suurem on filtri rakendamise keerukus ja maksumus. Joonisel fig. 1.14 näitab mitme väärtuse amplituudigraafikuid. Pange tähele, et kasvades lähenevad amplituudi karakteristikud ideaalse filtri omadustele. Butterworthi filtrid on populaarsed, kuna need on filtri maksimaalse ribalaiuse tasasuse seisukohalt ideaalse juhtumi parim ligikaudne näitaja.

Impulsi perioodiline jätkumine. Signaali spektraaltiheduse mõiste.Fourieri pöördteisendus. Tingimus signaali spektraaltiheduse olemasoluks Impulsi kestuse ja selle spektri laiuse vaheline seos Üldistatud Rayleighi valem Signaalide vastastikune spektraaltihedus. Energiaspekter Signaalide korrelatsioonianalüüs Ajas nihkunud signaalide võrdlus.

Loengu eesmärk:

Fourier' jada üldistamise abil saate mitteperioodiliste (impulss) signaalide spektraalkarakteristikud. Määrake raadioseadme ribalaiuse nõuded. Esitage signaale nende spektraaltiheduse järgi. Kasutage erinevate tehniliste hinnangute saamiseks energiaspektrit. Saate aru, kuidas tekib vajadus spetsiaalselt valitud omadustega signaalide järele.

Olgu s (t) piiratud kestusega üksikimpulsssignaal. Täiendades seda vaimselt samade signaalidega, mis perioodiliselt läbivad teatud ajavahemikku T, saame eelnevalt uuritud perioodilise jada S per (t), mida saab kujutada kompleksse Fourier' seeriana

(12.1) koefitsientidega . (12.2)

Ühe impulsssignaali juurde naasmiseks seadkem kordusperioodiks lõpmatus T. Sel juhul on ilmne:

a) naaberharmoonikute nω 1 ja (n+ l)ω 1 sagedused on suvaliselt lähedased, nii et valemites (12.1) ja (12.2) saab diskreetse muutuja nω 1 asendada pideva muutujaga ω - voolusagedus;

b) amplituudikoefitsiendid C n muutuvad lõpmatult väikeseks tänu T esinemisele valemi (12.2) nimetajas.

Meie ülesandeks on nüüd leida valemi (12.1) piirav vorm kujul T→∞.

Vaatleme väikest sagedusvahemikku Δω, mis moodustab mõne valitud sagedusväärtuse ω 0 naabruse. Selle intervalli sees sisaldab N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) üksikuid spektraalkomponentide paare, mille sagedused erinevad nii vähe kui soovitakse. Seetõttu saab komponente lisada kui nagu oleks neil kõigil sama sagedus ja neid iseloomustavad samad komplekssed amplituudid

Selle tulemusena leiame ekvivalentse harmoonilise signaali kompleksse amplituudi, mis peegeldab kõigi intervallis Δω sisalduvate spektraalkomponentide panust.

. (12.3)

Funktsioon (12.4)

kutsutakse spektraalne tihedus signaal s (t). Valem (12.4) rakendab Fourier' teisendus see signaal.

Lahendame signaalide spektriteooria pöördülesande: leiame signaali spektri tiheduse järgi, mida loeme antud.

Kuna piirväärtuses vähenevad kõrvuti asetsevate harmooniliste vahelised sagedusvahemikud lõputult, tuleks viimane summa asendada integraaliga.

. (12.5)

Seda olulist valemit nimetatakse Fourier pöördteisendus signaali s(t) jaoks.

Sõnastame lõpuks põhitulemuse: signaali s(t) ja selle spektraalne tihedus S(ω) on üks-ühele seotud Fourier' otse- ja pöördteisendustega

, (12.6)

.

Signaalide spektraalne esitus avab otsese tee signaalide läbimise analüüsimiseks läbi laia klassi raadioahelate, seadmete ja süsteemide.

Signaali s(t) saab seostada selle spektraaltihedusega s(ω), kui see signaal täiesti integreeritav, st on olemas integraal

Selline tingimus kitsendab oluliselt lubatavate signaalide klassi. Seega on näidatud klassikalises tähenduses võimatu rääkida harmoonilise signaali spektraaltihedusest ja(t) = U m cosω 0 t , eksisteerivad kogu lõpmatul ajateljel.

Oluline kaasavõtt: mida lühem on impulsi kestus, seda laiem on selle spekter.

Spektri laiuse all mõistetakse sagedusvahemikku, mille piires spektri tiheduse moodul ei ole väiksem kui mingi ettemääratud tase, näiteks varieerub |S| max , kuni 0,1|S| max.

Impulsi spektri laiuse ja selle kestuse korrutis on konstantne arv, mis sõltub ainult impulsi kujust ja millel on reeglina ühtsuse järjekord: Mida lühem on impulsi kestus, seda laiem on vastava impulsi ribalaius. võimendi peaks olema. Lühike impulssmüra on laia spektriga ja võib seetõttu halvendada raadiovastuvõtutingimusi suures sagedusalas.

Paljude raadiotehnikas laialdaselt kasutatavate signaalide matemaatilised mudelid ei rahulda absoluutse integreeritavuse tingimust, mistõttu Fourier' teisendusmeetod oma tavapärasel kujul ei ole nende puhul rakendatav. Küll aga saame rääkida selliste signaalide spektraaltihedustest, kui eeldame, et neid tihedusi kirjeldavad üldistatud funktsioonid.

Anna kaks signaali u(t) ja v(t),üldiselt kompleksväärtuslikud, määratletud nende pöörd-Fourieri teisendustega.

Leiame nende signaalide skalaarkorrutise, väljendades näiteks ühte neist v(t), spektraaltiheduse kaudu

Saadud seos on üldistatud Rayleighi valem. Selle valemi kergesti meeldejääv tõlgendus on järgmine: kahe signaali skalaarkorrutis kuni koefitsiendini on võrdeline nende spektraaltiheduse skalaarkorrutisega. Kui signaalid langevad identselt kokku, võrdub skalaarkorrutis energiaga

. (12.7)

Helistame vastastikune energiaspekter tõelised signaalid u(t) ja v t) funktsioon

, (12.8)

selline, et

. (4.9)

On lihtne näha, et Re W UV(ω)-paaris ja Im W UV(ω)-paaritu sagedusfunktsioon. Integraal (12.9) aitab kaasa ainult reaalosale, seega

. (12.10)

Viimane valem võimaldab analüüsida signaalide seotuse "peenstruktuuri".

Veelgi enam, üldistatud Rayleighi valem, mis on esitatud kujul (12.10), näitab põhimõttelist viisi kahe signaali vahelise ühenduse määra vähendamiseks, saavutades nende ortogonaalsuse piirides. Selleks tuleb üht signaali töödelda spetsiaalses füüsilises süsteemis nn sagedusfilter. See filter on vajalik selleks, et mitte edastada väljundisse spektrikomponente, mis jäävad sagedusvahemikku, kus vastastikuse energiaspektri reaalosa on suur. Sellise ülekandeteguri sagedussõltuvus ortogonaliseeriv filter on näidatud sagedusvahemikus selgelt väljendunud miinimum.

Signaali energia spektraalse esituse saab hõlpsasti saada üldistatud Rayleighi valemist, kui selles olevad signaalid u(t) ja v(t) arvesta samaga. Valem (12.8), mis väljendab spektraalset energiatihedust, võtab kuju

Väärtust W u (ω) nimetatakse spektraalne energiatihedus signaal u(t), või lühidalt tema energia spekter. Valem (3.2) kirjutatakse siis kujul

. (12.12)

Seos (4.12) on tuntud kui Rayleighi valem(kitsas tähenduses), mis ütleb järgmist: mis tahes signaali energia on sagedustelje erinevatest intervallidest saadud panuste liitmise tulemus.

Signaali uurides selle energiaspektri abil kaotame paratamatult signaali faasispektris sisalduva teabe, kuna valemi (4.11) kohaselt on energiaspekter spektri tiheduse mooduli ruut ega sõltu selle faas.

Pöördume sihtmärgi ulatuse mõõtmiseks loodud impulssradari töö lihtsustatud idee poole. Siin on teave mõõteobjekti kohta sisestatud väärtusesse τ - sondeerimise ja vastuvõetud signaalide vaheline viivitus. Vormide uurimine ja(t) ja vastu võetud ja(t-τ) signaalid on iga viivituse korral samad. Kauguse määramiseks mõeldud radari signaalitöötlusseadme plokkskeem võib välja näha joonisel 12.1 kujutatu.

Joonis 12.1 – Seade signaali viivitusaja mõõtmiseks

Vaatleme Fourier’ integraali nn energiavormi. 5. peatükis esitati valemid (7.15) ja (7.16), mis annavad ülemineku ajafunktsioonilt Fourier kujutisele ja vastupidi. Kui arvestada mõnd aja x (s) juhuslikku funktsiooni, siis selle jaoks saab need valemid kirjutada kujule

ja integreerida üle kõige

asendada avaldisega (11.54):

Väärtus nurksulgudes (11,57), nagu seda on lihtne näha, on aja algfunktsioon (11,55). Seetõttu saadakse nn Rayleigh' valem (Parsevali teoreem), mis vastab Fourier' integraali energiavormile:

(11.58) ja (11.39) parem pool on suurus, mis on võrdeline vaadeldava protsessi energiaga. Näiteks kui arvestada voolu, mis voolab läbi teatud takisti takistusega K, siis on selles takistis aja jooksul vabanev energia

Valemid (11.58) ja (11.59) ning väljendavad Fourier’ integraali energiavormi.

Need valemid on aga ebamugavad, kuna enamiku protsesside puhul kipub energia ka lõpmatusse ajavahemikku. Seetõttu on mugavam tegeleda mitte energiaga, vaid protsessi keskmise võimsusega, mis saadakse, kui energia jagada vaatlusintervalliga. Siis saab valemit (11.58) esitada kui

Tutvustame noodikirja

nimetatakse spektraaltiheduseks. oluline

Füüsikalise tähenduse järgi on spektraaltihedus suurus, mis on võrdeline protsessi keskmise võimsusega sagedusvahemikus co kuni co + d?co.

Mõnel juhul võetakse spektri tihedus arvesse ainult positiivsete sageduste puhul, kahekordistades seda samal ajal, mida saab teha, kuna spektri tihedus on sageduse ühtlane funktsioon. Siis tuleks näiteks valem (11.62) kirjutada kujul

- positiivsete sageduste spektraaltihedus.

kuna sel juhul muutuvad valemid sümmeetrilisemaks.

Väga oluline asjaolu on see, et juhuslike protsesside spektraaltihedus ja korrelatsioonifunktsioon on vastastikused Fourier' teisendused, st need on ühendatud tüübi (11.54) ja (11.55) integraalsõltuvustega. See omadus on antud ilma tõendita.

Seega saab kirjutada järgmised valemid:

Kuna spektraaltihedus ja korrelatsioonifunktsioon on isegi reaalfunktsioonid, esitatakse mõnikord valemid (11,65) ja (11,66) lihtsamal kujul;

)

See tuleneb asjaolust, et võrdsused toimuvad:

ja kujuteldavad osad saab pärast (11.65) ja (11.66) asendamist kõrvale jätta, kuna tegelikud funktsioonid on vasakul.

seisneb selles, et mida kitsam on spektraaltiheduse graafik (joon. 11.16, a), st mida madalamad sagedused on spektritiheduses esindatud, seda aeglasemalt muutub x väärtus ajas. Vastupidi, mida laiem on spektri tiheduse graafik (joon. 11.16, b), st mida suuremad on spektritiheduses esindatud sagedused, seda peenem on funktsiooni x (r) struktuur ja seda kiiremad on muutused ajas. .

Nagu sellest kaalutlusest näha, saadakse seos spektraaltiheduse tüübi ja ajafunktsiooni tüübi vahel pöördvõrdeliselt võrreldes korrelatsioonifunktsiooni ja protsessi enda vahelise seosega (joonis 11.14). Sellest järeldub, et korrelatsioonifunktsiooni kitsam graafik peaks vastama laiemale spektraaltiheduse graafikule ja vastupidi.

Ja 8 (koos). Erinevalt 4. peatükis käsitletud impulssfunktsioonidest on need funktsioonid paarisarvulised. See tähendab, et funktsioon 8(m) paikneb sümmeetriliselt alguspunkti suhtes ja seda saab defineerida järgmiselt;

Sarnane määratlus kehtib ka funktsiooni 8(co) kohta. Mõnikord võetakse arvesse normaliseeritud spektraaltihedust, mis on normaliseeritud korrelatsioonifunktsiooni Fourier kujutis (11.52):

ja seega

kus O on dispersioon.

Vastastikused spektraaltihedused on ka kahe juhusliku muutuja vahelise seose mõõt. Side puudumisel on vastastikused spektraaltihedused võrdsed nulliga.

Vaatame mõnda näidet.

See funktsioon on näidatud joonisel fig. 11.17 a. Sellele vastav Fourier kujutis tabeli alusel. 11.3 tahe

Protsessi spekter koosneb ühest impulssfunktsiooni tüüpi tipust, mis asub koordinaatide alguspunktis (joon. 11.17, b).

See tähendab, et kogu vaadeldava protsessi jõud on koondunud kuulisagedusele, mis on ootuspärane.

See funktsioon on näidatud joonisel fig. 11.18, a, Vastavalt tabelile. 11,3 on spektraalne tihedus

3. Fourier' reas laiendatud perioodilise funktsiooni jaoks

lisaks perioodilisele osale sisaldab mitteperioodilist komponenti, siis selle funktsiooni spekter sisaldab koos impulssfunktsiooni tüüpi üksikute joontega ka pidevat osa (joonis 11.20). Individuaalsed piigid spektraaltiheduse graafikul näitavad varjatud ebakorrapärasuste olemasolu uuritavas funktsioonis.

ei sisalda perioodilist osa, siis on sellel pidev spekter ilma väljendunud piikideta.

Vaatleme mõnda statsionaarset juhuslikku protsessi, mis on juhtimissüsteemide uurimisel olulised. Me käsitleme ainult tsentreeritud

Sel juhul on juhusliku suuruse keskmine ruut võrdne dispersiooniga:

pideva nihke arvestamine juhtimissüsteemis on elementaarne.

(joonis 11.21, a):

Sellise protsessi näide on takisti termiline müra, mis annab selle takisti kaootilise pinge spektraaltiheduse taseme

absoluutne temperatuur.

(11.68) põhjal vastab spektraaltihedus (11.71) korrelatsioonifunktsioonile

juhusliku suuruse x järgnevate ja eelmiste väärtuste vahel puudub korrelatsioon.

ja seega lõpmatu jõud.

Füüsiliselt reaalse protsessi saamiseks on mugav juurutada piiratud spektraaltihedusega valge müra mõiste (joon. 11.21, b):

Spektritiheduse ribalaius.

See protsess vastab korrelatsioonifunktsioonile

Juhusliku suuruse RMS väärtus on võrdeline sagedusriba ruutjuurega:

Sageli on mugavam lähendada sõltuvust (11,73) sujuva kõveraga. Selleks võite kasutada näiteks väljendit

Tegur, mis määrab ribalaiuse.

Protsess läheneb valgele mürale, nii et

mis puudutab neid sagedusi

Kõigi sageduste integreerimine (11.77) võimaldab määrata dispersiooni:

Seetõttu saab spektraaltiheduse (11,77) kirjutada muul kujul:

Selle protsessi korrelatsioonifunktsioon

Korrelatsioonifunktsioon on näidatud ka joonisel fig. 11.21, c.

Üleminek ühelt väärtuselt teisele on hetkeline. Ajavahemikud järgivad Poissoni jaotuse seadust (11.4).

Seda tüüpi graafik saadakse näiteks esimeses lähenduses liikuva sihtmärgi jälgimisel radariga. Püsikiiruse väärtus vastab sihtmärgi sirgjoonelisele liikumisele. Kiiruse märgi või suuruse muutus vastab sihtmärgi manöövrile.

See on selle ajaintervalli keskmine väärtus, mille jooksul nurkkiirus jääb konstantseks. Radari puhul on see väärtus keskmine aeg, mil sihtmärk liigub sirgjooneliselt.

Korrelatsioonifunktsiooni määramiseks on vaja leida toote keskmine väärtus

Selle töö leidmisel võib olla kaks juhtumit.

kuuluvad samasse intervalli. Siis on nurkkiiruste korrutise keskmine väärtus võrdne nurkkiiruse või dispersiooni keskmise ruuduga:

kuuluvad erinevatesse intervallidesse. Siis on kiiruste korrutise keskmine väärtus võrdne kuuliga:

kuna positiivsete ja negatiivsete märkidega tooted on võrdselt tõenäolised. Korrelatsioonifunktsioon on võrdne

Nende leidmise tõenäosus erinevate intervallidega.

Puudumise tõenäosus

Ajaintervalli jaoks

kuna need sündmused on sõltumatud.

Selle tulemusena saame lõpliku intervalli Am korral

Mooduli märk punktis m on seatud, kuna avaldis (11.80) peab vastama paarisfunktsioonile. Korrelatsioonifunktsiooni avaldis langeb kokku (11.79). Seetõttu peab vaadeldava protsessi spektraalne tihedus ühtima (11.78):

Pange tähele, et erinevalt (11.78) on spektraaltiheduse valem (11.81) kirjutatud protsessi nurkkiiruse jaoks (joonis 11.22). Kui liigume nurkkiiruselt nurgale, siis saame mittestatsionaarse juhusliku protsessi, mille dispersioon kaldub lõpmatusse. Kuid enamikul juhtudel on servosüsteemil, mille sisendis see protsess töötab, esimest ja kõrgemat järku astaatilisus. Seetõttu on servosüsteemi esimene veategur c0 võrdne nulliga ja selle vea määravad ainult sisendkiirus ja kõrgema järgu tuletised, mille suhtes protsess on paigal. See võimaldab kasutada jälgimissüsteemi dünaamilise vea arvutamisel spektraalset tihedust (11,81).

3. Ebaregulaarne kaldenurk. Mõned objektid, nagu laevad, lennukid jt, olles ebaregulaarsete häirete (ebakorrapärased lained, atmosfäärihäired jne) mõjul, liiguvad juhusliku seaduse järgi.häiringusagedused, mis on lähedased nende loomuliku võnkesagedusele. Sellest tulenevat juhuslikku objekti liikumist nimetatakse ebaregulaarseks veeremiseks, erinevalt regulaarsest veeremisest, mis on perioodiline liikumine.

Tüüpiline ebakorrapärase kalde graafik on näidatud joonisel fig. 11.23. Selle graafiku vaatlemisel on näha, et hoolimata juhuslikkusest on see

liikumine on perioodilisusele üsna lähedane.

Praktikas on ebakorrapärase veeremise korrelatsioonifunktsiooni sageli ligikaudne avaldis

Dispersioon.

leitakse tavaliselt katseandmete töötlemisel (välikatsed).

Korrelatsioonifunktsioon (11.82) vastab spektraaltihedusele (vt tabel 11.3)

Lähenduse (11.82) ebamugavus seisneb selles, et see valem võib kirjeldada mis tahes ebakorrapärase veeremise (nurk, nurkkiirus või nurkkiirendus) käitumist. Sel juhul vastab O väärtus nurga, kiiruse hajumisele. või kiirendus.

Kui kirjutame näiteks nurga jaoks valemi (11.82), siis see protsess vastab ebakorrapärasele damaskile, mille nurkkiiruste dispersioon on lõpmatuseni, st see on füüsiliselt ebareaalne protsess.

Mugavam valem kaldenurga lähendamiseks

Kuid see lähendus vastab ka füüsiliselt ebareaalsele protsessile, kuna nurkkiirenduse hajumine kipub lõpmatuseni.

Nurkkiirenduse lõpliku dispersiooni saamiseks on vaja veelgi keerukamaid lähendusvalemeid, mida siin ei esitata.

Korrelatsioonifunktsiooni ja ebakorrapärase veeremise spektraaltiheduse tüüpilised kõverad on näidatud joonistel fig. 11.24.