Vene Föderatsiooni haridus- ja teadusministeerium

Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus

"Kubani Riiklik Tehnoloogiaülikool"

Teoreetiline mehaanika

2. osa dünaamika

Toimetuse ja kirjastuse poolt heaks kiidetud

ülikooli nõukogu as

õppejuhend

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Teoreetiline mehaanika. 2. osa. Dünaamika: õpik / L.I.Draiko; Kuban. olek technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 lk.

ISBN 5-230-06865-5

Teoreetiline materjal esitatakse lühidalt, tuuakse näiteid probleemide lahendamisest, millest enamik peegeldab reaalseid tehnilisi küsimusi, tähelepanu pööratakse ratsionaalse lahendusmeetodi valikule.

Mõeldud ehitus-, transpordi- ja insenerivaldkonna korrespondent- ja kaugõppe bakalaureuseõppe üliõpilastele.

Tab. 1 Joon. 68 Bibliograafia. 20 pealkirja

Teadustoimetaja tehnikateaduste kandidaat, dotsent. V. F. Melnikov

Arvustajad: Kubani Põllumajandusülikooli teoreetilise mehaanika ning mehhanismide ja masinate teooria osakonna juhataja prof. F.M. Kanarev; Kubani Riikliku Tehnikaülikooli teoreetilise mehaanika osakonna dotsent M.E. Multykh

Avaldatud Kubani Riikliku Tehnoloogiaülikooli toimetuse ja kirjastusnõukogu otsusega.

Kordusväljaandmine

ISBN 5-230-06865-5 KubGTU 1998

Eessõna

See õppejuhend on mõeldud õpilastele kirjavahetuse vormid s õpetab ehitus-, transpordi- ja insenerierialasid, kuid seda saavad kasutada teoreetilise mehaanika kursuse osa "Dünaamika" õppimisel nii teiste erialade osakoormusega õppijad kui ka üliõpilased. igapäevane vormõppida iseseisvalt töötades.

Käsiraamat on koostatud vastavalt kehtivale teoreetilise mehaanika kursuse programmile, hõlmab kõiki kursuse põhiosa küsimusi. Iga osa sisaldab lühikest teoreetilist materjali, mis on varustatud illustratsioonide ja juhistega selle kasutamiseks probleemide lahendamisel. Käsiraamatus analüüsitakse 30 ülesande lahendust, mis kajastavad tehnoloogia tegelikke probleeme ja vastavaid kontrollülesandeid sõltumatu lahendus. Iga ülesande puhul esitatakse arvutusskeem, mis illustreerib selgelt lahendust. Lahenduse kujundus vastab osakoormusega õppijate eksamite vormistamise nõuetele.

Autor avaldab sügavat tänu Kubani Põllumajandusülikooli teoreetilise mehaanika ning mehhanismide ja masinate teooria osakonna õppejõududele suur tööõpiku retsenseerimise eest, samuti Kubani Riikliku Tehnikaülikooli teoreetilise mehaanika osakonna õppejõud väärtuslike kommentaaride ja nõuannete eest õpiku avaldamiseks ettevalmistamisel.

Kõik kriitilised kommentaarid ja soovid võtab autor edaspidi tänuga vastu.

Sissejuhatus

Dünaamika on teoreetilise mehaanika kõige olulisem haru. Enamik inseneripraktikas esinevatest spetsiifilistest ülesannetest on seotud dünaamikaga. Staatika ja kinemaatika järeldusi kasutades kehtestab dünaamika üldised materiaalsete kehade liikumise seadused rakendatud jõudude toimel.

Lihtsaim materiaalne objekt on materiaalne punkt. Materiaalseks punktiks võib võtta mis tahes kujuga materiaalse keha, mille mõõtmed vaadeldavas ülesandes võib tähelepanuta jätta. Lõplike mõõtmetega keha võib võtta materiaalse punktina, kui selle punktide liikumise erinevus ei ole antud ülesande puhul oluline. See juhtub siis, kui keha mõõtmed on väikesed võrreldes vahemaadega, mida keha punktid läbivad. Iga osake tahke keha seda võiks kaaluda materiaalne punkt.

Punktile või materiaalsele kehale mõjuvaid jõude hinnatakse dünaamikas nende dünaamilise mõju järgi, st selle järgi, kuidas need muudavad materiaalsete objektide liikumise omadusi.

Materiaalsete objektide liikumine ajas toimub ruumis teatud tugiraamistiku suhtes. Klassikalises mehaanikas, lähtudes Newtoni aksioomidest, käsitletakse ruumi kolmemõõtmelisena, selle omadused ei sõltu selles liikuvatest materiaalsetest objektidest. Punkti asukoht sellises ruumis määratakse kolme koordinaadiga. Aeg ei ole seotud ruumi ja materiaalsete objektide liikumisega. Seda peetakse kõigi võrdlussüsteemide jaoks samaks.

Dünaamikaseadused kirjeldavad materiaalsete objektide liikumist absoluutsete koordinaattelgede suhtes, mida tinglikult peetakse liikumatuks. Absoluutse koordinaatsüsteemi alguspunkt võetakse Päikese keskpunktist ja teljed on suunatud kaugetele, tinglikult liikumatutele tähtedele. Paljude tehniliste probleemide lahendamisel võib arvestada tinglikult statsionaarset koordinaatteljed seotud maaga.

Valikud mehaaniline liikumine materiaalsed objektid dünaamikas luuakse matemaatiliste järeldustega klassikalise mehaanika põhiseadustest.

Esimene seadus (inertsiseadus):

Materiaalne punkt säilitab puhkeoleku ehk ühtse ja sirgjooneline liikumine kuni mis tahes jõudude tegevus ta sellest seisundist välja toob.

Punkti ühtlast ja sirgjoonelist liikumist nimetatakse inertsliikumiseks. Puhkus on inertsi teel liikumise erijuhtum, kui punkti kiirus on null.

Igal materiaalsel punktil on inerts, st see kipub säilitama puhkeseisundi või ühtlase sirgjoonelise liikumise. Võrdlusraamistikku, mille suhtes inertsiseadus on täidetud, nimetatakse inertsiaalseks ja selle raamistiku suhtes vaadeldavat liikumist absoluutseks. Iga tugiraam, mis teostab translatsioonilist sirgjoonelist ja ühtlast liikumist inertsiaalkaadri suhtes, on ka inertsiaalraam.

Teine seadus (dünaamika põhiseadus):

Materiaalse punkti kiirendus inertsiaalse tugisüsteemi suhtes on võrdeline punktile rakendatava jõuga ja langeb kokku jõuga, mis on suunatud:
.

Dünaamika põhiseadusest tuleneb, et jõuga
kiirendus
. Punkti mass iseloomustab punkti takistuse astet selle kiiruse muutumisele, see tähendab, et see on materiaalse punkti inertsi mõõt.

Kolmas seadus (tegevuse ja reaktsiooni seadus):

Jõud, millega kaks keha teineteisele mõjuvad, on võrdse suurusega ja suunatud piki üht sirget vastassuundades.

Rakendatakse jõud, mida nimetatakse tegevuseks ja reaktsiooniks erinevad kehad ja seetõttu ei moodusta tasakaalustatud süsteemi.

Neljas seadus (jõudude toimimise sõltumatuse seadus):

Mitme jõu samaaegsel toimel on materiaalse punkti kiirendus võrdne kiirenduste geomeetrilise summaga, mis sellel punktil oleks iga jõu mõjul eraldi:

, kus
,
,…,
.

VALGEVENE VABARIIGI PÕLLUMAJANDUS- JA TOIDUMINISTEERIUM

Õppeasutus "VALGEVENE RIIK PÕLLUMAJANDUS

TEHNILINE ÜLIKOOL"

Teoreetilise mehaanika ning mehhanismide ja masinate teooria osakond

TEOREETILINE MEHAANIKA

metoodiline kompleks erialade rühma üliõpilastele

74 06 Põllumajandustehnika

2 osas 1. osa

UDC 531.3(07) LBC 22.213ya7 T 33

Koostanud:

Füüsikaliste ja matemaatikateaduste kandidaat, dotsent Yu. S. Biza, kandidaat tehnikateadused, dotsent N. L. Rakova, vanemõppejõudI. A. Tarasevitš

Arvustajad:

Haridusasutuse teoreetilise mehaanika osakond "Valgevene rahvus Tehnikaülikool» (pea

BNTU teoreetilise mehaanika osakond füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, professorA. V. Chigarev);

Riikliku Teadusliku Instituudi "Mehaanikatehnika ühendinstituut" labori "Mehaaniliste süsteemide vibrokaitse" juhtivteadur

Valgevene Riiklik Teaduste Akadeemia”, tehnikateaduste kandidaat, dotsent A. M. Goman

Teoreetiline mehaanika. Jaotis "Dünaamika": hariv

T33 meetod. keeruline. 2 osas 1. osa / koost: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevitš. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 lk.

ISBN 978-985-519-616-8.

AT hariduslik ja metoodiline kompleks esitab materjale distsipliini "Teoreetiline mehaanika" osa "Dünaamika" 1. osa uurimise kohta. Sisaldab loengute kursust, teostuse algmaterjale praktilised harjutused, ülesanded ja ülesannete näidised iseseisvaks tööks ja kontrolliks õppetegevused täis- ja osakoormusega üliõpilased.

UDC 531.3(07) LBC 22.213a7

SISSEJUHATUS .................................................. ...................................................
1. HARIDUSE TEADUSLIK JA TEOREETILINE SISU
METOODIKA KOMPLEKSIST ................................................................ ..
1.1. Sõnastik................................................................. ................................
1.2. Loengute teemad ja nende sisu ................................................ ...
Peatükk 1. Sissejuhatus dünaamikasse. Põhimõisted
klassikaline mehaanika ................................................... ..................................................
Teema 1. Materiaalse punkti dünaamika................................................ ....
1.1. Materiaalsete punktide dünaamika seadused
(Galileo – Newtoni seadused) ................................................ ..........
1.2. Liikumise diferentsiaalvõrrandid
1.3. Dünaamika kaks peamist ülesannet ................................................... ..............
Teema 2. Suhtelise liikumise dünaamika
materiaalne punkt ................................................... ..........................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Teema 3. Dünaamika mehaaniline süsteem.....................................
3.1. Massi geomeetria. Mehaanilise süsteemi massikese......
3.2. Siseväed ................................................... ..................................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Teema 4. Jäiga keha inertsimomendid .................................................
4.1. Jäiga keha inertsimomendid
telje ja pooluse suhtes ................................................ ......................................
4.2. Teoreem jäiga keha inertsmomentide kohta
paralleeltelgede kohta
(Huygensi-Steineri teoreem) ................................................ ... ...
4.3. Tsentrifugaalsed inertsmomendid .................................................. .
Ülevaatusküsimused ................................................ ..................................
2. peatükk Üldteoreemid materjali punkti dünaamika

Teema 5. Teoreem süsteemi massikeskme liikumise kohta ...................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Iseõppimise ülesanded .................................................. .......
Teema 6. Materiaalse punkti liikumise maht
ja mehaaniline süsteem ................................................... ................................................
6.1. Materiaalse punkti liikumise kogus 43
6.2. Jõuimpulss ................................................... ...............................
6.3. Teoreem impulsi muutumise kohta
materiaalne punkt ................................................... ................................................
6.4. Põhivektori muutmise teoreem
mehaanilise süsteemi impulss ..........................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Iseõppimise ülesanded .................................................. .......
Teema 7. Materiaalse punkti impulsimoment
ja mehaaniline süsteem keskpunkti ja telje suhtes ...................................
7.1. Materiaalse punkti impulsimoment
keskpunkti ja telje suhtes ................................................ ..............................
7.2. Teoreem nurkimpulsi muutumise kohta
materiaalne punkt keskpunkti ja telje suhtes ......................
7.3. Teoreem kineetilise momendi muutumise kohta
mehaaniline süsteem keskpunkti ja telje suhtes ...................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Iseõppimise ülesanded .................................................. .......
Teema 8. Jõudude töö ja jõud ................................................ ... .........
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Iseõppimise ülesanded .................................................. .......
Teema 9. Materiaalse punkti kineetiline energia
ja mehaaniline süsteem ................................................... ................................................
9.1. Materiaalse punkti kineetiline energia
ja mehaaniline süsteem. Koenigi teoreem........................
9.2. Jäiga keha kineetiline energia
erinevate liigutustega ................................................... ..............................
9.3. Muuda teoreemi kineetiline energia
materiaalne punkt ................................................... ................................................

9.4. Kineetilise energia muutumise teoreem
mehaaniline süsteem ................................................... ................................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Iseõppimise ülesanded .................................................. .......
Teema 10. Potentsiaalne jõuväli
ja potentsiaalne energia ................................................... ................................................
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
Teema 11. Jäiga keha dünaamika................................................... ..............
Ülevaatusküsimused ................................................ ..............................
2. KONTROLLIMATERJALID
MOODULI POOLT................................................ ...................................................
ÕPILASTE ISESEISEV TÖÖ ...................................
4. NÕUDED JUHTIMISE KONSTRUKTSIOONILE
TÖÖTAB TÄISKOHA- JA KIRJAÕPILASELE
KOOLITUSE VORMID ................................................ ..........................................
5. ETTEVALMISTUSKÜSIMUSTE LOETELU
ÕPILASTE EKSAMILE (ÕPINGULE).
TÄISTÖÖKOHALINE JA KIRJAVÄLJAÕPE................................................ ......
6. KIRJANDUSTE LOETELU ................................................... ..............

SISSEJUHATUS

Teoreetiline mehaanika on teadus materiaalsete kehade mehaanilise liikumise, tasakaalu ja vastastikmõju üldistest seadustest.

See on üks põhilisi üldteaduslikke füüsikalisi ja matemaatilisi distsipliine. See on kaasaegse tehnoloogia teoreetiline alus.

Teoreetilise mehaanika õpe koos teiste füüsikaliste ja matemaatiliste distsipliinidega aitab kaasa teadusliku silmaringi avardumisele, kujundab oskust konkreetseks ja abstraktne mõtlemine ja aitab kaasa tulevase spetsialisti üldise tehnilise kultuuri parandamisele.

Teoreetiline mehaanika, mis on kõige teaduslik alus tehnilised distsipliinid, aitab kaasa oskuste arendamisele ratsionaalseid otsuseid inseneri ülesanded seotud põllumajandus- ja melioratsioonimasinate ja -seadmete käitamise, remondi ja projekteerimisega.

Vaadeldavate ülesannete olemuse järgi jaguneb mehaanika staatikaks, kinemaatikaks ja dünaamikaks. Dünaamika on teoreetilise mehaanika osa, mis uurib materiaalsete kehade liikumist rakendatud jõudude mõjul.

AT hariv ja metoodiline kompleks (UMK) esitleb materjale "Dünaamika" sektsiooni õppimise kohta, mis sisaldab loengute kursust, läbiviimise alusmaterjale. praktiline töö, ülesanded ja täitmise näidised jaoks iseseisev töö ja täiskoormusega osakoormusega üliõpilaste õppetegevuse kontroll.

AT "Dünaamika" sektsiooni õppimise tulemusena peab õpilane õppima teoreetiline alus dünaamika ja omandada dünaamika probleemide lahendamise põhimeetodid:

Teadma dünaamikaülesannete lahendamise meetodeid, dünaamika üldteoreeme, mehaanika põhimõtteid;

Oskab määrata keha liikumisseadusi sõltuvalt sellele mõjuvatest jõududest; rakendada ülesannete lahendamisel mehaanika seadusi ja teoreeme; määrata kehade liikumist piiravate sidemete staatilised ja dünaamilised reaktsioonid.

Distsipliini "Teoreetiline mehaanika" õppekava näeb ette auditoorsete tundide koguarvu - 136, sealhulgas 36 tundi rubriigi "Dünaamika" õppimiseks.

1. HARIDUS- JA METOODILISE KOMPLEKSI TEADUSLIKU JA TEOREETILINE SISU

1.1. Sõnastik

Staatika on mehaanika osa, mis kirjeldab üldist jõudude õpetust, uuritakse redutseerimist. keerulised süsteemid jõud kõige lihtsamale kujule ja luuakse tasakaalutingimused erinevaid süsteeme jõud.

Kinemaatika on teoreetilise mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete objektide liikumist, sõltumata seda liikumist põhjustavatest põhjustest, s.t sõltumata nendele objektidele mõjuvatest jõududest.

Dünaamika on teoreetilise mehaanika haru, mis uurib materiaalsete kehade (punktide) liikumist rakendatud jõudude toimel.

Materiaalne punkt- materiaalne keha, mille punktide liikumise erinevus on ebaoluline.

Keha mass on skalaarne positiivne väärtus, mis sõltub antud kehas sisalduva aine hulgast ja määrab selle inertsi mõõtme translatsioonilise liikumise ajal.

Võrdlussüsteem - kehaga seotud koordinaatsüsteem, mille suhtes uuritakse teise keha liikumist.

inertsiaalsüsteem- süsteem, milles dünaamika esimene ja teine ​​seadus on täidetud.

Jõu impulss on vektormõõt, mis näitab jõu mõju teatud aja jooksul.

Materiaalse punkti liikumise hulk on selle liikumise vektormõõt, võrdne tootega punkti mass selle kiirusvektori järgi.

Kineetiline energia on mehaanilise liikumise skalaarmõõt.

Elementaarne jõutöö on lõpmata väike skalaar võrdne punktitoode jõu vektor jõu rakenduspunkti lõpmatu väikese nihke vektorile.

Kineetiline energia on mehaanilise liikumise skalaarmõõt.

Materiaalse punkti kineetiline energia on skalaar

positiivne väärtus, mis võrdub poolega punkti massi ja selle kiiruse ruudu korrutisest.

Mehaanilise süsteemi kineetiline energia on aritme-

selle süsteemi kõigi materiaalsete punktide kineetiliste energiate kineetiline summa.

Jõud on kehade mehaanilise vastasmõju mõõt, mis iseloomustab selle intensiivsust ja suunda.

1.2. Loengute teemad ja nende sisu

1. jagu. Sissejuhatus dünaamikasse. Põhimõisted

klassikaline mehaanika

Teema 1. Materiaalse punkti dünaamika

Materiaalse punkti dünaamika seadused (Galileo – Newtoni seadused). Materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid. Kaks peamist dünaamika ülesannet materiaalse punkti jaoks. Dünaamika teise ülesande lahendus; integreerimiskonstandid ja nende määramine algtingimustest.

Viited:, lk 180-196, , lk 12-26.

Teema 2. Materjali suhtelise liikumise dünaamika

Materiaalse punkti suhteline liikumine. Punkti suhtelise liikumise diferentsiaalvõrrandid; kaasaskantavad ja Coriolise inertsjõud. Relatiivsusteooria põhimõte klassikalises mehaanikas. Suhtelise puhkuse juhtum.

Viited: , lk 180-196, , lk 127-155.

Teema 3. Masside geomeetria. Mehaanilise süsteemi massikese

Süsteemi mass. Süsteemi massikese ja selle koordinaadid.

Kirjandus:, lk 86-93, lk 264-265

Teema 4. Jäiga keha inertsimomendid

Jäiga keha inertsmomendid telje ja pooluse ümber. Inertsiraadius. Teoreem paralleeltelgede inertsmomentide kohta. Mõnede kehade aksiaalsed inertsmomendid.

Tsentrifugaalsed inertsimomendid keha asümmeetria tunnusena.

Viited: , lk 265-271, , lk 155-173.

2. jagu. Materiaalse punkti dünaamika üldteoreemid

ja mehaaniline süsteem

Teema 5. Teoreem süsteemi massikeskme liikumise kohta

Teoreem süsteemi massikeskme liikumise kohta. Süsteemi massikeskme liikumise teoreemi tagajärjed.

Viited: , lk 274-277, , lk 175-192.

Teema 6. Materiaalse punkti liikumise maht

ja mehaaniline süsteem

Materiaalse punkti ja mehaanilise süsteemi liikumishulk. Elementaarne impulss ja jõu impulss for otsaulatus aega. Teoreem punkti ja süsteemi impulsi muutumise kohta diferentsiaal- ja integraalkujul. Impulsi jäävuse seadus.

Kirjandus: , lk 280-284, , lk 192-207.

Teema 7. Materiaalse punkti impulsimoment

ja mehaaniline süsteem keskpunkti ja telje suhtes

Punkti impulsimoment keskpunkti ja telje ümber. Teoreem punkti nurkimpulsi muutumise kohta. Mehaanilise süsteemi kineetiline moment keskpunkti ja telje ümber.

Pöörleva jäiga keha nurkimment ümber pöörlemistelje. Teoreem süsteemi kineetilise momendi muutumise kohta. Impulsi jäävuse seadus.

Viited: , lk 292-298, , lk 207-258.

Teema 8. Jõude töö ja jõud

Elementaarne jõutöö, selle analüütiline väljendus. Jõu töö edasi viimane tee. Raskusjõu töö, elastsusjõud. Võrdsus tööde summa nulliga sisemised jõud tegutsedes tahkes. Kindla telje ümber pöörlevale jäigale kehale rakendatud jõudude töö. Võimsus. Tõhusus.

Viited: , lk 208-213, , lk 280-290.

Teema 9. Materiaalse punkti kineetiline energia

ja mehaaniline süsteem

Materiaalse punkti ja mehaanilise süsteemi kineetiline energia. Jäiga keha kineetilise energia arvutamine selle erinevatel liikumisjuhtudel. Koenigi teoreem. Teoreem punkti kineetilise energia muutumise kohta diferentsiaal- ja integraalkujul. Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise energia muutumisest diferentsiaal- ja integraalkujul.

Viited: , lk 301-310, , lk 290-344.

Teema 10. Potentsiaalne jõuväli ja potentsiaal

Jõuvälja mõiste. Potentsiaalne jõuväli ja jõufunktsioon. Jõu töö punkti lõplikul nihkel potentsiaalses jõuväljas. Potentsiaalne energia.

Viited: , lk 317-320, , lk 344-347.

Teema 11. Jäiga keha dünaamika

Diferentsiaalvõrrandid edasi liikumine tahke keha. Diferentsiaalvõrrand pöörlev liikumine jäik keha ümber fikseeritud telje. füüsiline pendel. Jäiga keha tasapinnalise liikumise diferentsiaalvõrrandid.

Viited: , lk 323-334, , lk 157-173.

1. jagu. Sissejuhatus dünaamikasse. Põhimõisted

klassikaline mehaanika

Dünaamika on teoreetilise mehaanika haru, mis uurib materiaalsete kehade (punktide) liikumist rakendatud jõudude toimel.

materiaalne keha- keha, millel on mass.

Materiaalne punkt- materiaalne keha, mille punktide liikumise erinevus on ebaoluline. See võib olla kas keha, mille mõõtmed võib liikumise ajal tähelepanuta jätta, või lõplike mõõtmetega keha, kui see liigub edasi.

Osakesi nimetatakse ka materiaalseteks punktideks, milleks tahke keha mõne dünaamilise karakteristiku määramisel mõtteliselt jaotatakse. Näited materiaalsetest punktidest (joon. 1): a - Maa liikumine ümber Päikese. Maa on materiaalne punkt; b on jäiga keha translatsiooniline liikumine. Tahke keha on ema-

al punkt, kuna V B \u003d V A; a B = a A; c - keha pöörlemine ümber telje.

Kehaosake on materiaalne punkt.

Inerts on materiaalsete kehade omadus muuta oma liikumiskiirust rakendatud jõudude toimel kiiremini või aeglasemalt.

Keha mass on skalaarne positiivne väärtus, mis sõltub antud kehas sisalduva aine hulgast ja määrab selle inertsi mõõtme translatsioonilise liikumise ajal. Klassikalises mehaanikas on mass konstant.

Tugevus - kvantitatiivne mõõt mehaaniline vastastikmõju kehade või keha (punkti) ja välja (elektriline, magnetiline jne) vahel.

Jõud on vektorsuurus, mida iseloomustavad suurusjärk, rakenduspunkt ja suund (mõjuliin) (joonis 2: A – rakenduspunkt; AB – jõu mõjujoon).

Riis. 2

Dünaamikas on koos konstantsete jõududega ka muutlikud jõud, mis võivad sõltuda ajast t, kiirusest ϑ, vahemaast r või nende suuruste kombinatsioonist, s.t.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ);

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ ) .

	Selliste jõudude näited on näidatud joonistel fig. 3: a										- kehakaal;
			(ϑ) – õhutakistusjõud;b–		T =						- tõmbejõud

elektrivedur; c − F = F (r) on keskpunktist O tõukejõud või selle külgetõmbejõud.

Võrdlussüsteem - kehaga seotud koordinaatsüsteem, mille suhtes uuritakse teise keha liikumist.

Inertsiaalsüsteem on süsteem, milles dünaamika esimene ja teine ​​seadus on täidetud. See on fikseeritud koordinaatsüsteem või süsteem, mis liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Liikumine mehaanikas on keha asukoha muutumine ruumis ja ajas teiste kehade suhtes.

Klassikalise mehaanika ruum on kolmemõõtmeline, järgides eukleidilist geomeetriat.

Aeg on skalaarne suurus, mis voolab kõigis võrdlussüsteemides ühtemoodi.

Mõõtühikute süsteem on mõõtühikute kogum füüsikalised kogused. Kõigi mehaaniliste suuruste mõõtmiseks piisab kolmest põhiühikust: pikkuse, aja, massi või jõu ühikutest.

Mehaaniline	Mõõtmed		Märge	Mõõtmed	Märge
suurusjärk
				sentimeetrit
	kilogramm-

Kõik muud mehaaniliste suuruste mõõtühikud on nende tuletised. Kasutatakse kahte tüüpi ühikusüsteeme: rahvusvaheline süsteem SI ühikud (või väiksemad - CGS) ja ühikute tehniline süsteem - MKGSS.

Teema1. Materjali punkti dünaamika

1.1. Materiaalse punkti dünaamika seadused (Galileo-Newtoni seadused)

Esimene (inertsi) seadus.

isoleeritud välismõjud materiaalne punkt säilitab puhkeoleku või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, kuni rakendatud jõud sunnivad seda olekut muutma.

Liikumist, mida punkt teeb jõudude puudumisel või tasakaalustatud jõudude süsteemi toimel, nimetatakse inertsliikumiseks.

Näiteks keha liikumine sujuvalt (hõõrdejõud on null) kulgeb.

horisontaalne pind (joonis 4: G - kehamass; N - normaalne reaktsioon lennukid).

Kuna G = − N , siis G + N = 0.

Kui ϑ 0 ≠ 0, liigub keha sama kiirusega; kui ϑ 0 = 0 on keha puhkeasendis (ϑ 0 on algkiirus).

Teine seadus (dünaamika põhiseadus).

Punkti massi ja antud jõu mõjul saadava kiirenduse korrutis on absoluutväärtuses selle jõuga võrdne ja selle suund langeb kokku kiirenduse suunaga.

a b

Matemaatiliselt väljendab seda seadust vektori võrdsus

Kui F = konst,

a = const - punkti liikumine on ühtlane. EL-

kas a ≠ konst, α

- aegluubis (joon. 5, kuid);

a ≠ konst,

a -

– kiirendatud liikumine (joonis 5, b) m – punktmass;

kiirendusvektor;

– vektorjõud; ϑ 0 on kiiruse vektor).

Kui F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - punkt liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või ϑ 0 = 0 juures - on puhkeasendis (inertsi seadus). Teiseks

seadus lubab luua seose lähedal asuva keha massi m vahel maa pind, ja selle kaal G .G = mg , kus g on

gravitatsiooni kiirendus.

Kolmas seadus (tegevuse ja reaktsiooni võrdsuse seadus). Kaks materiaalset punkti mõjuvad üksteisele jõududega, mille suurus on võrdne ja mis on suunatud piki ühendavat sirgjoont

need punktid vastupidistes suundades.

Kuna jõud F 1 = − F 2 rakenduvad erinevad punktid, siis jõudude süsteem (F 1 , F 2 ) ei ole tasakaalus, st (F 1 , F 2 )≈ 0 (joonis 6).

Omakorda

m a = m a

- suhtumine

interakteeruvate punktide massid on pöördvõrdelised nende kiirendustega.

Neljas seadus (jõudude toime sõltumatuse seadus). Punkti võrra samaaegselt saadud kiirendus

vaid mitu jõudu geomeetriline summa need kiirendused, mida punkt saaks iga jõu mõjul sellele eraldi.

Selgitus (joonis 7).

t a n

a 1 a kF n

Tulemuslikud jõud R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Kuna ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , siis

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, st neljas seadus on samaväärne

k = 1

jõudude liitmise reegel.

1.2. Materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid

Olgu materiaalses punktis korraga mitu jõudu, mille hulgas on nii konstante kui ka muutujaid.

Dünaamika teise seaduse kirjutame vormile

= ∑

(t ,

k = 1

, ϑ=

r on liikumise raadiuse vektor

punktid, siis (1.2) sisaldab r-i tuletisi ja on materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrand vektori kujul või materiaalse punkti dünaamika põhivõrrand.

Vektori võrdsuse (1.2) projektsioonid: - Descartes'i koordinaatide teljel (joon. 8, kuid)

max=md
					= ∑Fkx;
					k = 1
mai=md
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
maz=m					= ∑Fkz;
					k = 1

Loodusteljel (joonis 8, b)

matt				= ∑ Fk τ ,
				k = 1
				= ∑ F k n ;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b o peal

Võrrandid (1.3) ja (1.4) on materjali punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid vastavalt Descartes'i koordinaattelgedel ja naturaalsetel telgedel, st looduslikud diferentsiaalvõrrandid, mida tavaliselt kasutatakse punkti kõverjooneliseks liikumiseks, kui punkti trajektoor ja selle kõverusraadius on teada.

1.3. Materiaalse punkti kaks peamist dünaamika probleemi ja nende lahendus

Esimene (otsene) ülesanne.

Teades liikumisseadust ja punkti massi, määrake punktile mõjuv jõud.

Selle probleemi lahendamiseks peate teadma punkti kiirendust. Seda tüüpi ülesannetes saab selle anda otse või on antud punkti liikumisseadus, mille järgi seda saab määrata.

1. Seega, kui punkti liikumine on antud Descartes'i koordinaatides

x \u003d f 1 (t), y \u003d f 2 (t) ja z \u003d f 3 (t), siis määratakse kiirenduse projektsioonid

koordinaatide teljel x =		d2x			d2a			d2z		Ja siis - projekt-
F x , F y ja F z jõud nendel telgedel:
				,k ) = F F z . (1,6) 2. Kui punkt kohustab kõverjooneline liikumine ja liikumisseadus on teada s = f (t), punkti trajektoor ja selle kõverusraadius ρ, siis on mugav kasutada looduslikke telgesid ja nende telgede kiirenduse projektsioonid määratakse tuntud valemitega: Tangentsiaalne telg a τ = d ϑ = d 2 2 s – tangentsiaalne kiirendus;dt dt KoduTavaline ds 2 a n = ϑ 2 = dt on normaalkiirendus. Kiirenduse projektsioon binormaalile on null. Siis jõu projektsioonid loomulikele telgedele F=m F=m Jõu moodul ja suund määratakse valemitega: F \u003d F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos( Teine (pöörd)ülesanne. Teades punktile mõjuvaid jõude, selle massi ja esialgsed tingimused liikumist, määrake punkti liikumisseadus või mõni muu selle kinemaatiline omadus. Punkti liikumise algtingimusteks Descartes'i telgedel on punkti x 0, y 0, z 0 koordinaadid ja algkiiruse ϑ 0 projektsioon neile. teljed ϑ 0 x \u003d x 0, ϑ 0 y \u003d y 0 ja ϑ 0 z \u003d z 0 ajal, mis vastab annab punkti liikumise alguse ja võetakse võrdseks nulliga. Seda tüüpi ülesannete lahendamine taandub diferentsiaali koostamisele materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid (või üks võrrand) ja nende järgnev lahendus otsene integratsioon või teooriat kasutades diferentsiaalvõrrandid. Ülevaate küsimused 1. Mida dünaamika uurib? 2. Millist liikumist nimetatakse inertsiaalseks liikumiseks? 3. Millistel tingimustel jääb materiaalne punkt paigale või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt? 4. Mis on materiaalse punkti dünaamika esimese põhiprobleemi olemus? Teine ülesanne? 5. Kirjutage üles materiaalse punkti liikumise loomulikud diferentsiaalvõrrandid. Ülesanded iseõppimiseks 1. Punkt massiga m = 4 kg liigub mööda horisontaalset sirgjoont kiirendusega a = 0,3 t. Määrata punktile selle liikumissuunas mõjuva jõu moodul ajahetkel t = 3 s. 2. Osa massist m = 0,5 kg libiseb aluselt alla. Millise nurga all horisontaaltasand kandik peab asuma nii, et osa liiguks kiirendusega a = 2 m / s 2? Nurga ekspress kraadides. 3. Punkt massiga m = 14 kg liigub mööda Ox-telge kiirendusega a x = 2 t . Määrata punktile liikumissuunas mõjuva jõu moodul ajahetkel t = 5 s.

(MEHAANILISED SÜSTEEMID) - IV variant

1. Materiaalse punkti dünaamika põhivõrrand, nagu teada, on väljendatud võrrandiga . Mittevaba mehaanilise süsteemi suvaliste punktide liikumise diferentsiaalvõrrandid saab vastavalt kahele jõudude jagamise meetodile kirjutada kahel kujul:

(1) , kus k=1, 2, 3, … , n on materiaalse süsteemi punktide arv.

(2)

kus on k-nda punkti mass; - k-nda punkti raadiuse vektor, - antud k-ndale punktile mõjuv (aktiiv)jõud või kõigi k-ndale punktile mõjuvate aktiivjõudude resultant. - k-ndale punktile mõjuvate sidemete reaktsioonijõudude resultant; - k-ndale punktile mõjuvate sisejõudude resultant; - tulemus välised jõud tegutsedes k-s punktis.

Võrrandeid (1) ja (2) saab kasutada nii esimese kui ka teise dünaamika ülesande lahendamiseks. Kuid süsteemi teise dünaamika probleemi lahendamine muutub väga keeruliseks mitte ainult matemaatiline punkt nägemus, aga ka seetõttu, et seisame silmitsi põhiraskustega. Need seisnevad selles, et nii süsteemi (1) kui ka süsteemi (2) puhul on võrrandite arv märkimisväärne vähem kui arv teadmata.

Seega, kui me kasutame (1), siis on dünaamika teise (pöörd)ülesande jaoks tuntud ja , tundmatuteks aga ja . Vektorvõrrandid on " n", ja tundmatu - "2n".

Kui lähtuda võrrandisüsteemist (2), siis teadaolev ja osa välisjõududest . Miks osa? Fakt on see, et välisjõudude arv sisaldab väliseid reaktsioone seoseid, mis on tundmatud. Lisaks tuleb ka tundmatuid.

Seega on nii süsteem (1) kui ka süsteem (2) AVATUD. Peame lisama võrrandeid, võttes arvesse suhete võrrandeid, ja võib-olla peame siiski kehtestama suhetele endile mõned piirangud. Mida teha?

Kui lähtume punktist (1), siis saame järgida esimest tüüpi Lagrange'i võrrandite koostamise teed. Kuid see viis ei ole ratsionaalne, sest lihtsam ülesanne(vähem vabadusastmeid), seda keerulisem on seda matemaatika seisukohalt lahendada.

Seejärel pöörame tähelepanu süsteemile (2), kus - on alati tundmatud. Esimene samm süsteemi lahendamisel on nende tundmatute kõrvaldamine. Tuleb meeles pidada, et reeglina ei huvita meid süsteemi liikumise ajal sisemised jõud ehk süsteemi liikumisel pole vaja teada, kuidas süsteemi iga punkt liigub, vaid piisab, et teada, kuidas süsteem tervikuna liigub.

Seega, kui erinevaid viise süsteemist välja jätma (2) tundmatud jõud, siis saame mõned seosed, st mõned Üldised omadused süsteemi jaoks, mille tundmine võimaldab hinnata, kuidas süsteem üldiselt liigub. Neid tunnuseid tutvustatakse kasutades nn dünaamika üldteoreemid. Selliseid teoreeme on neli:

1. Teoreem umbes mehaanilise süsteemi massikeskme liikumine;

2. Teoreem umbes mehaanilise süsteemi impulsi muutus;

3. Teoreem umbes mehaanilise süsteemi nurkimpulsi muutus;

4. Teoreem umbes mehaanilise süsteemi kineetilise energia muutus.

Massikeskme liikumise teoreem. Mehaanilise süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid. Teoreem mehaanilise süsteemi massikeskme liikumise kohta. Massikeskme liikumise jäävuse seadus.

Teoreem impulsi muutumise kohta. Materiaalse punkti liikumise hulk. Elementaarne jõuimpulss. Jõuimpulss piiratud aja jooksul ja selle projektsioonid koordinaattelgedele. Teoreem materiaalse punkti impulsi muutumise kohta diferentsiaal- ja lõplikel vormidel.

Mehaanilise süsteemi liikumise maht; selle väljendus süsteemi massis ja selle massikeskme kiiruses. Teoreem mehaanilise süsteemi impulsi muutumise kohta diferentsiaal- ja lõplikel vormidel. Mehaanilise impulsi jäävuse seadus

(Keha ja muutuva massiga punkti mõiste. Meshchersky võrrand. Tsiolkovski valem.)

Teoreem impulsimomendi muutumise kohta. Materiaalse punkti impulsimoment keskpunkti ja telje suhtes. Materiaalse punkti nurkimpulsi muutumise teoreem. Keskne jõud. Materiaalse punkti nurkimpulsi säilimine keskjõu korral. (Sektori kiiruse mõiste. Pindalade seadus.)

Mehaanilise süsteemi peamine impulsimoment või kineetiline moment keskpunkti ja telje ümber. Pöörleva jäiga keha nurkimment ümber pöörlemistelje. Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise momendi muutumise kohta. Mehaanilise süsteemi kineetilise momendi jäävuse seadus. (Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise momendi muutumise kohta suhtelisel liikumisel massikeskme suhtes.)

Kineetilise energia muutumise teoreem. Materiaalse punkti kineetiline energia. Elementaarne jõutöö; analüütiline väljendus elementaarse töö jaoks. Jõu töö selle rakenduspunkti lõplikul nihkel. Raskusjõu, elastsusjõu ja raskusjõu töö. Teoreem materiaalse punkti kineetilise energia muutumise kohta diferentsiaal- ja lõplikel vormidel.

Mehaanilise süsteemi kineetiline energia. Valemid jäiga keha kineetilise energia arvutamiseks translatsioonilise liikumise ajal, pöörlemisel ümber fikseeritud telje ja üldine juhtum liikumine (eriti tasapinnalise paralleelse liikumisega). Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise energia muutumisest diferentsiaal- ja lõplikel vormidel. Tahkis sisejõudude töö summa võrdsus nulliga. Ümber fikseeritud telje pöörlevale jäigale kehale rakendatavate jõudude töö ja võimsus.

Jõuvälja mõiste. Potentsiaalne jõuväli ja jõufunktsioon. Jõuprojektsioonide väljendamine jõufunktsiooni järgi. Võrdse potentsiaaliga pinnad. Jõu töö punkti lõplikul nihkel potentsiaalses jõuväljas. Potentsiaalne energia. Potentsiaalsete jõuväljade näited: ühtlane gravitatsiooniväli ja gravitatsiooniväli. Mehaanilise energia jäävuse seadus.

Jäiga keha dünaamika. Jäiga keha translatsioonilise liikumise diferentsiaalvõrrandid. Jäiga keha pöörlemise diferentsiaalvõrrand ümber fikseeritud telje. füüsiline pendel. Jäiga keha tasapinnalise liikumise diferentsiaalvõrrandid.

d'Alemberti põhimõte. d'Alemberti põhimõte materiaalse punkti jaoks; inertsi jõud. d'Alemberti põhimõte mehaanilise süsteemi jaoks. Jäiga keha punktide inertsjõudude viimine keskmesse; põhivektor ja Peaasi inertsjõud.

(Laagrite dünaamiliste reaktsioonide määramine jäiga keha pöörlemisel ümber fikseeritud telje. Juhtum, kui pöörlemistelg on kere peamine keskne inertsitelg.)

Põhimõte võimalikud liigutused ja dünaamika üldvõrrand. Mehaanilisele süsteemile pealesurutud suhted. Materiaalse punkti ja mehaanilise süsteemi võimalikud (või virtuaalsed) nihked. Süsteemi vabadusastmete arv. Ideaalsed ühendused. Võimalike liigutuste põhimõte. Üldvõrrand dünaamika.

Süsteemi liikumise võrrandid üldistatud koordinaatides (Lagrange'i võrrandid).Üldised süsteemi koordinaadid; üldistatud kiirused. Elementaartöö väljendamine üldistatud koordinaatides. Üldised jõud ja nende arvutamine; potentsiaaliga jõudude juhtum. Süsteemi tasakaalutingimused üldistatud koordinaatides. Süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid üldistatud koordinaatides või 2. tüüpi Lagrange'i võrrandid. Lagrange'i võrrandid potentsiaalsete jõudude korral; Lagrange'i funktsioon (kineetiline potentsiaal).

Tasakaalu stabiilsuse mõiste. Väike vabad vibratsioonidühe vabadusastmega mehaaniline süsteem süsteemi stabiilse tasakaalu positsiooni lähedal ja nende omadused.

Mõjuteooria elemendid. Mõju nähtus. Löögijõud ja löögiimpulss. Tegevus lööv jõud materiaalsesse punkti. Teoreem mehaanilise süsteemi impulsi muutumise kohta kokkupõrkel. Kere otsene keskmõju fikseeritud pinnale; elastsed ja mitteelastsed löögid. Löögi taastumise koefitsient ja selle eksperimentaalne määramine. Kahe keha otsene kesklöök. Carnot’ teoreem.

BIBLIOGRAAFIA

Põhiline

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Teoreetilise mehaanika kursus. 1. kd, 2. M., 1985 ja varasemad väljaanded.

Dobronravov V. V., Nikitin N. N. Teoreetilise mehaanika kursus. M., 1983.

Staržinski V.M. Teoreetiline mehaanika. M., 1980.

Targ S.M. Teoreetilise mehaanika lühikursus. M., 1986 ja varasemad väljaanded.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Teoreetilise mehaanika kursus. 1. osa. M., 1984 ja eelmised väljaanded.

Yablonsky A. A. Teoreetilise mehaanika kursus. 2. osa. M., 1984 ja eelmised väljaanded.

Meshchersky I.V. Teoreetilise mehaanika ülesannete kogu. M., 1986 ja varasemad väljaanded.

Teoreetilise mehaanika ülesannete kogu / Toim. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Lisaks

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teoreetiline mehaanika näidetes ja ülesannetes. Ptk 1, 2. M., 1984 ja varasemad väljaanded.

Teoreetilise mehaanika ülesannete kogu / 5raznichen / co N. A., Kan V. L., Mintsberg B. L. et al., M., 1987.

Novožilov I. V., Zatsepin M. F. Arvutipõhised teoreetilise mehaanika standardarvutused. M., 1986,

Ülesannete kogumik kursusetööd teoreetilisest mehaanikast / Toim. A. A. Yablonsky. M., 1985 ja eelmised väljaanded (sisaldab näiteid probleemide lahendamisest).

Vaatleme teatud materjalimahtude süsteemi liikumist fikseeritud koordinaatsüsteemi suhtes Kui süsteem ei ole vaba, siis võib seda lugeda vabaks, kui jätta kõrvale süsteemile seatud piirangud ja asendada nende tegevus vastavate reaktsioonidega.

Jagagem kõik süsteemile rakenduvad jõud välisteks ja sisemisteks; mõlemad võivad hõlmata äraviskamise reaktsioone

ühendused. Tähistame peavektorit ja põhivektorit ning välisjõudude põhimomenti punkti A suhtes.

1. Teoreem impulsi muutumise kohta. Kui on süsteemi impulss, siis (vt )

st kehtib teoreem: süsteemi impulsi ajatuletis on võrdne kõigi välisjõudude peavektoriga.

Asendades vektori selle avaldise kaudu, kus on süsteemi mass, on massikeskme kiirus, võib võrrandile (4.1) anda erineva kuju:

See võrdsus tähendab, et süsteemi massikese liigub materiaalse punktina, mille mass on võrdne süsteemi massiga ja millele rakendub jõud, mis on geomeetriliselt võrdne süsteemi kõigi välisjõudude peavektoriga. Viimast väidet nimetatakse teoreemiks süsteemi massikeskme (inertskeskme) liikumise kohta.

Kui siis (4.1) järeldub, et impulsi vektor on suuruselt ja suunalt konstantne. Projekteerides selle koordinaatide teljele, saame süsteemi topeltahela diferentsiaalvõrrandite kolm esimest skalaarset integraali:

Neid integraale nimetatakse impulsi integraalideks. Kui massikeskme kiirus on konstantne, st see liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Kui välisjõudude peavektori projektsioon mis tahes ühele teljele, näiteks teljel, on võrdne nulliga, siis on meil üks esimene integraal või kui põhivektori kaks projektsiooni on võrdsed nulliga, siis on olemas impulsi kaks integraali.

2. Kineetilise momendi muutumise teoreem. Olgu A mõni suvaline punkt ruum (liikuv või paigalseisev), mis ei pruugi kogu liikumise aja jooksul ühtida süsteemi ühegi konkreetse materiaalse punktiga. Selle kiirust fikseeritud koordinaatide süsteemis tähistame järgmiselt. Materiaalse süsteemi nurkimpulsi muutumise teoreem punkti A suhtes on järgmine

Kui punkt A on fikseeritud, on võrdus (4.3) lihtsamal kujul:

See võrdsus väljendab teoreemi süsteemi nurkimpulsi muutumise kohta fikseeritud punkt: süsteemi nurkimpulsi ajatuletis, mis on arvutatud mõne fikseeritud punkti suhtes, on võrdne kõigi välisjõudude põhimomendiga selle punkti suhtes.

Kui siis vastavalt (4.4) nurkmomendi vektor on suuruselt ja suunalt konstantne. Projekteerides selle koordinaatide teljele, saame süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandi esimesed skalaarsed integraalid:

Neid integraale nimetatakse nurkimpulsi integraalideks või alade integraalideks.

Kui punkt A ühtib süsteemi massikeskmega, siis esimene liige võrdsuse (4.3) paremal küljel kaob ja teoreem nurkimpulsi muutumise kohta on sama kujuga (4.4) kui fikseeritud süsteemi korral. punkt A. Pange tähele (vt 4 § 3), et vaadeldaval juhul saab süsteemi absoluutse nurkimpulsi võrdsuse (4.4) vasakul poolel asendada süsteemi võrdse nurkimpulssiga selle liikumisel keskpunkti suhtes. massist.

Olgu mingi konstantne telg või konstantse suuna telg, mis läbib süsteemi massikeskpunkti, ja olgu süsteemi nurkimpulss selle telje suhtes. (4.4) järeldub, et

kus on välisjõudude moment telje ümber. Kui kogu liikumisaja jooksul, siis on meil esimene integraal

S. A. Chaplygini töödes saadi nurkimpulsi muutumise teoreemi mitu üldistust, mida seejärel rakendati mitmete kuulide veeremise ülesannete lahendamisel. Töödes on toodud kpnetoloogilise momendi muutumise teoreemi edasised üldistused ja nende rakendused jäiga keha dünaamika probleemides. Nende tööde peamised tulemused on seotud teoreemiga kineetilise momendi muutumise kohta liikuva momendi suhtes, mis läbib pidevalt mõnda liikuvat punkti A. Olgu - ühikvektor suunatud piki seda telge. Korrutades skalaarselt võrdsuse mõlema poolega (4.3) ja liites selle liikme mõlemale osale, saame

Kui kinemaatiline tingimus on täidetud

võrrand (4.5) tuleneb (4.7). Ja kui tingimus (4.8) on täidetud kogu liikumisaja jooksul, siis on esimene integraal (4.6) olemas.

Kui süsteemi ühendused on ideaalsed ja võimaldavad süsteemi kui jäiga keha pöörlemist ümber telje ja virtuaalsete nihete arvus, siis on reaktsioonide põhimoment ümber telje ja võrdne nulliga ning seejärel väärtus võrrandi (4.5) parem pool on kõigi väliste aktiivsete jõudude põhimoment telje ümber ja . Selle hetke võrdsus nulliga ja seose (4.8) rahuldatavus on vaadeldaval juhul piisavad tingimused integraali (4.6) olemasolu jaoks.

Kui telje ja suund on muutumatu, saab tingimuse (4.8) kirjutada kujul

See võrdsus tähendab, et massikeskme kiiruse ja punkti A kiiruse projektsioonid teljel ja sellega risti olevale tasapinnale on paralleelsed. S. A. Chaplygini töös on (4.9) asemel nõutud, et vähem kui üldine seisund kus X on suvaline konstant.

Pange tähele, et tingimus (4.8) ei sõltu punkti valikust . Tõepoolest, olgu P suvaline punkt teljel. Siis

ja seega

Kokkuvõtteks märgime ära Resali võrrandite (4.1) ja (4.4) geomeetrilise tõlgenduse: vektorid absoluutsed kiirused vektorite otsad ja on võrdsed vastavalt põhivektori ja kõigi välisjõudude põhimomendiga punkti A suhtes.