Kuidas kontrollida, kas funktsioon on paaris või paaritu. Paaris- ja paaritu funktsioonid

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Eesmärgid:

• kujundada paaris- ja paaritu funktsioonide mõiste, õpetada nende omaduste määramise ja kasutamise oskust funktsioonide uurimisel, graafikute koostamisel;
• arendada õpilaste loovat aktiivsust, loogilist mõtlemist, võrdlemis-, üldistusvõimet;
• kasvatada töökust, matemaatilist kultuuri; arendada suhtlemisoskusi .

Varustus: multimeedia installatsioon, interaktiivne tahvel, jaotusmaterjalid.

Töö vormid: frontaal ja rühm otsingu- ja uurimistegevuse elementidega.

Teabeallikad:

1. Algebra klass 9 A.G.Mordkovich. Õpik.
2. Algebra 9. klass A.G. Mordkovich. Ülesanderaamat.
3. Algebra hinne 9. Ülesanded õpilaste õppimiseks ja arendamiseks. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TUNNIDE AJAL

1. Organisatsioonimoment

Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.

2. Kodutööde kontrollimine

Nr 10.17 (Probleemiraamat 9. klass A.G. Mordkovich).

a) juures = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 jaoks X ~ 0,4
4. f(X) >0 juures X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funktsioon suureneb koos X € [– 2; + ∞)
6. Funktsioon on altpoolt piiratud.
7. juures rent = -3, juures naibi pole olemas
8. Funktsioon on pidev.

(Kas kasutasite funktsioonide uurimise algoritmi?) Libisema.

2. Kontrollime slaidil tabelit, mida teilt küsiti.

Täida tabel
	Domeen	Funktsiooni nullid	Püsivuse intervallid		Graafiku ja Oy lõikepunktide koordinaadid
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Teadmiste värskendus

- Funktsioonid on antud.
– Määrake iga funktsiooni määratluspiirkond.
– Võrrelge iga funktsiooni väärtust iga argumendi väärtuste paari jaoks: 1 ja – 1; 2 ja -2.
– Milliste definitsioonipiirkonna antud funktsioonide jaoks on võrdsused f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pane andmed tabelisse) Libisema

		f(1) ja f(– 1)	f(2) ja f(– 2)	diagrammid	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		ja pole määratletud.

4. Uus materjal

- Seda tööd tehes, poisid, paljastasime veel ühe funktsiooni omaduse, mis on teile võõras, kuid mitte vähem oluline kui teised - see on funktsiooni ühtlus ja veidrus. Kirjutage üles tunni teema: "Paaris- ja paaritu funktsioonid", meie ülesandeks on õppida paaris- ja paarituid funktsioone määrama, selgitada välja selle omaduse tähtsus funktsioonide uurimisel ja graafikul.
Niisiis, otsime õpikust definitsioonid ja loeme (lk 110) . Libisema

Def. üks Funktsioon juures = f (X) kutsutakse välja hulgal X isegi, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X pooleli võrdus f (–x) = f (x). Too näiteid.

Def. 2 Funktsioon y = f(x), defineeritud hulgal X kutsutakse kummaline, kui mis tahes väärtuse eest XЄ X võrdus f(–х)= –f(х) on täidetud. Too näiteid.

Kus kohtasime mõisteid "paaris" ja "paaritu"?
Mis te arvate, milline neist funktsioonidest on paaris? Miks? Millised on veidrad? Miks?
Vormi mis tahes funktsiooni jaoks juures= x n, kus n on täisarv, võib väita, et funktsioon on paaritu jaoks n on paaritu ja funktsioon on paaris jaoks n- isegi.
– Funktsioonide vaatamine juures= ja juures = 2X– 3 pole paaris ega paaritu, sest võrdsust ei täideta f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Küsimuse uurimist, kas funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse pariteedi funktsiooni uurimiseks. Libisema

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlesid funktsiooni väärtusi punktides x ja - x, seega eeldatakse, et funktsioon on defineeritud ka väärtuse juures X, ja kell - X.

ODA 3. Kui arvuhulk koos iga selle elemendiga x sisaldab vastaselementi x, siis hulk X nimetatakse sümmeetriliseks hulgaks.

Näited:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) on sümmeetrilised hulgad ja , [–5;4] on mittesümmeetrilised.

- Kas isegi funktsioonidel on määratluspiirkond – sümmeetriline hulk? Imelikud?
- kui D( f) on asümmeetriline hulk, siis mis on funktsioon?
– Seega, kui funktsioon juures = f(X) on paaris või paaritu, siis on selle määratluspiirkond D( f) on sümmeetriline komplekt. Kuid kas on vastupidine, kui funktsiooni valdkond on sümmeetriline hulk, siis on see paaris või paaritu?
- Seega on definitsioonipiirkonna sümmeetrilise hulga olemasolu vajalik, kuid mitte piisav tingimus.
– Kuidas siis uurida pariteedi funktsiooni? Proovime kirjutada algoritmi.

Libisema

Pariteedi funktsiooni uurimise algoritm

1. Määrake, kas funktsiooni domeen on sümmeetriline. Kui ei, siis pole funktsioon paaris ega paaritu. Kui jah, siis minge algoritmi 2. sammu juurde.

2. Kirjutage avaldis jaoks f(–X).

3. Võrdle f(–X).ja f(X):

• kui f(–X).= f(X), siis on funktsioon paaris;
• kui f(–X).= – f(X), siis on funktsioon paaritu;
• kui f(–X) ≠ f(X) ja f(–X) ≠ –f(X), siis pole funktsioon paaris ega paaritu.

Näited:

Uurige pariteedi funktsiooni a) juures= x 5 +; b) juures= ; sisse) juures= .

Lahendus.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), sümmeetriline hulk.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funktsioon h(x)= x 5 + paaritu.

b) y =,

juures = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asümmeetriline hulk, seega pole funktsioon paaris ega paaritu.

sisse) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. variant

1. Kas antud hulk on sümmeetriline: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Uurige pariteedi funktsiooni:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi jaoks X, mis vastab tingimusele X? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paarisfunktsioon.

3. Joonisel fig. joonistatud juures = f(X), kõigi x jaoks, mis rahuldavad x? 0.
Joonistage funktsioon juures = f(X), kui juures = f(X) on paaritu funktsioon.

Vastastikune kontroll libisema.

6. Kodutöö: №11.11, 11.21,11.22;

Paarsusomaduse geomeetrilise tähenduse tõestus.

*** (Kasutamise valiku määramine).

1. Paaritu funktsioon y \u003d f (x) on defineeritud kogu reaalreal. Muutuja x mis tahes mittenegatiivse väärtuse korral kattub selle funktsiooni väärtus funktsiooni g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Leia funktsiooni h( X) = juures X = 3.

7. Kokkuvõtete tegemine

Mis ühel või teisel määral olid teile tuttavad. Seal märgiti ka ära, et funktsiooniomaduste varu täieneb järk-järgult. Selles jaotises käsitletakse kahte uut omadust.

Definitsioon 1.

Funktsiooni y \u003d f (x), x є X kutsutakse välja isegi siis, kui mis tahes hulga X väärtuse x korral on võrdsus f (-x) \u003d f (x) tõene.

2. definitsioon.

Funktsiooni y \u003d f (x), x є X nimetatakse paarituks, kui mis tahes hulga X väärtuse x korral on võrdus f (-x) \u003d -f (x) tõene.

Tõesta, et y = x 4 on paarisfunktsioon.

Lahendus. Meil on: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Kuid (-x) 4 = x 4 . Seega on mistahes x korral võrdsus f (-x) = f (x), st. funktsioon on ühtlane.

Samamoodi saab tõestada, et funktsioonid y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 on paaris.

Tõesta, et y = x 3 on paaritu funktsioon.

Lahendus. Meil on: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Kuid (-x) 3 = -x 3 . Seega on mis tahes x korral võrdsus f (-x) \u003d -f (x), st. funktsioon on paaritu.

Samamoodi saab tõestada, et funktsioonid y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 on paaritud.

Sina ja mina oleme end korduvalt veendunud, et matemaatika uued terminid on kõige sagedamini “maise” päritoluga, s.t. neid saab kuidagi seletada. See kehtib nii paaris kui paaritu funktsioonide puhul. Vaadake: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 on paaritud funktsioonid, samas kui y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 on paarisfunktsioonid. Ja üldiselt, mis tahes funktsiooni kujul y \u003d x "(allpool uurime neid funktsioone konkreetselt), kus n on naturaalarv, võime järeldada: kui n on paaritu arv, siis funktsioon y \u003d x "on paaritu; kui n on paarisarv, siis funktsioon y \u003d xn on paaritu.

On ka funktsioone, mis pole paaris ega paaritud. Selline on näiteks funktsioon y \u003d 2x + 3. Tõepoolest, f (1) \u003d 5 ja f (-1) \u003d 1. Nagu näete, ei ole siin seega ka identiteet f (-x ) \u003d f ( x), kumbki mitte identiteet f(-x) = -f(x).

Seega võib funktsioon olla paaris, paaritu või mitte kumbki.

Küsimuse uurimist, kas antud funktsioon on paaris või paaritu, nimetatakse tavaliselt paarisfunktsiooni uurimiseks.

Definitsioonid 1 ja 2 käsitlevad funktsiooni väärtusi punktides x ja -x. See eeldab, et funktsioon on defineeritud nii punktis x kui ka punktis -x. See tähendab, et punkt -x kuulub funktsiooni valdkonda samaaegselt punktiga x. Kui arvuline hulk X koos iga selle elemendiga x sisaldab vastandelementi -x, siis nimetatakse X-i sümmeetriliseks hulgaks. Oletame, et (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) on sümmeetrilised hulgad, samas kui \).

Kuna \(x^2\geqslant 0\) , siis võrrandi (*) vasak pool on suurem või võrdne \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Seega saab võrdsust (*) kehtida ainult siis, kui võrrandi mõlemad pooled on võrdsed \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Ja see tähendab seda \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright nool\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightparrow\quad x=0\] Seetõttu sobib meile väärtus \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Vastus:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Ülesanne 2 #3923

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on funktsiooni graafik \

sümmeetriline päritolu suhtes.

Kui funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline, on selline funktsioon paaritu, see tähendab, et \(f(-x)=-f(x)\) on täidetud mis tahes \(x\) korral funktsiooni domeen. Seega tuleb leida need parameetrite väärtused, mille puhul \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(joondatud) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(joondatud)\]

Viimane võrrand peab kehtima kõigi \(x\) jaoks domeenist \(f(x)\) , seega \(\sin(2\pi a)=0 \Paremnool a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Vastus:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Ülesanne 3 #3069

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrandil \ 4 lahendit, kus \(f\) on paaris perioodiline funktsioon perioodiga \(T=\dfrac(16)3\) defineeritud kogu reaalreal ja \(f(x)=ax^2\) jaoks \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tellijate ülesanne)

Kuna \(f(x)\) on paarisfunktsioon, on selle graafik y-telje suhtes sümmeetriline, seega kui \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Seega, kl \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), ja see on segment pikkusega \(\dfrac(16)3\) , funktsioon \(f(x)=ax^2\) .

1) Olgu \(a>0\) . Siis näeb funktsiooni \(f(x)\) graafik välja selline:


Seejärel, et võrrandil oleks 4 lahendit, on vaja, et graafik \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) läbiks punkti \(A\) :


Järelikult \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(kogutud)\begin(joondatud) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(joondatud) \end(kogutud)\paremale. \quad\Leftright nool\quad \left[\begin(kogutud)\begin(joondatud) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(joondatud) \end( kogutud)\õige.\] Kuna \(a>0\) , siis \(a=\dfrac(18)(23)\) on hea.

2) Olgu \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Punkti \(B\) läbimiseks vajame graafikut \(g(x)\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftright nool\quad \left[\begin(kogutud)\begin(joondatud) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(joondatud) \end(kogutud)\parem.\] Alates \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Juhtum, kus \(a=0\) ei sobi, sest siis \(f(x)=0\) kõigi \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) ja võrrandil on ainult 1 juur.

Vastus:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Ülesanne 4 #3072

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke kõik väärtused \(a\) , millest igaühe võrrand \

on vähemalt üks juur.

(Tellijate ülesanne)

Kirjutame võrrandi ümber kujul \ ja kaaluge kahte funktsiooni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) ja \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funktsioon \(g(x)\) on paaris, selle miinimumpunkt on \(x=0\) (ja \(g(0)=49\) ).
Funktsioon \(f(x)\) \(x>0\) puhul väheneb ja \(x) puhul<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Tõepoolest, \(x>0\) korral laieneb teine ​​moodul positiivselt (\(|x|=x\) ), seetõttu on \(f(x)\) olenemata sellest, kuidas esimene moodul laieneb. ( kx+A\) , kus \(A\) on \(a\) avaldis ja \(k\) võrdub kas \(-9\) või \(-3\) . \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Leidke väärtus \(f\) maksimumpunktist: \

Selleks, et võrrandil oleks vähemalt üks lahend, on vajalik, et funktsioonide \(f\) ja \(g\) graafikutel oleks vähemalt üks lõikepunkt. Seetõttu vajate: \ \\]

Vastus:

\(a\in \(-7\)\tass\)

Ülesanne 5 #3912

Ülesande tase: võrdne ühtse riigieksamiga

Leidke parameetri \(a\) kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrand \

on kuus erinevat lahendust.

Teeme asendused \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Siis võtab võrrand kuju \ Kirjutame järk-järgult välja tingimused, mille korral algsel võrrandil on kuus lahendit.
Pange tähele, et ruutvõrrandil \((*)\) võib olla kuni kaks lahendit. Igal kuupvõrrandil \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) võib olla kuni kolm lahendit. Seega, kui võrrandil \((*)\) on kaks erinevat lahendit (positiivne!, kuna \(t\) peab olema suurem kui null) \(t_1\) ja \(t_2\) , siis, olles teinud vastupidise asendus, saame: \[\left[\begin(kogutud)\begin(joondatud) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(joondatud)\end(kogutud)\paremale.\] Kuna iga positiivset arvu saab mingil määral esitada kujul \(\sqrt2\), \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), siis kirjutatakse hulga esimene võrrand kujul ümber \ Nagu me juba ütlesime, ei ole ühelgi kuupvõrrandil rohkem kui kolm lahendit, seega pole igal hulga võrrandil rohkem kui kolm lahendit. See tähendab, et kogu komplektis ei ole rohkem kui kuus lahendust.
See tähendab, et selleks, et algsel võrrandil oleks kuus lahendit, peab ruutvõrrandil \((*)\) olema kaks erinevat lahendit ja igal saadud kuupvõrrandil (hulgast) peab olema kolm erinevat lahendit (ja mitte ühte ühe võrrandi lahendus peaks langema kokku - või teise otsusega!)
Ilmselgelt, kui ruutvõrrandil \((*)\) on üks lahend, siis me ei saa algvõrrandi jaoks kuut lahendit.

Nii saab lahendusplaan selgeks. Paneme punkthaaval kirja tingimused, mis peavad olema täidetud.

1) Et võrrandil \((*)\) oleks kaks erinevat lahendit, peab selle diskriminant olema positiivne: \

2) Samuti on meil vaja, et mõlemad juured oleksid positiivsed (sest \(t>0\) ). Kui kahe juure korrutis on positiivne ja nende summa on positiivne, siis on juured ise positiivsed. Seetõttu vajate: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Seega oleme juba varustanud endale kaks erinevat positiivset juurt \(t_1\) ja \(t_2\) .

3) Vaatame seda võrrandit \ Millise \(t\) jaoks on sellel kolm erinevat lahendust?
Vaatleme funktsiooni \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Saab korrutada: \ Seetõttu on selle nullpunktid: \(x=-1;2\) .
Kui leiame tuletise \(f"(x)=3x^2-6x\) , siis saame kaks äärmist punkti \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Seetõttu näeb graafik välja selline:


Näeme, et mis tahes horisontaalne joon \(y=k\) , kus \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) on kolm erinevat lahendust, on vajalik, et \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Seega vajate: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Pangem kohe ka tähele, et kui arvud \(t_1\) ja \(t_2\) on erinevad, siis arvud \(\log_(\sqrt2)t_1\) ja \(\log_(\sqrt2)t_2\) olla erinevad, seega võrrandid \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) ja \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) on erinevad juured.
Süsteemi \((**)\) saab ümber kirjutada järgmiselt: \[\begin(cases) 1

Seega oleme kindlaks teinud, et võrrandi \((*)\) mõlemad juured peavad asuma intervallis \((1;4)\) . Kuidas seda tingimust kirjutada?
Me ei kirjuta otseselt välja juuri.
Vaatleme funktsiooni \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Selle graafik on ülespoole suunatud harudega parabool, millel on kaks lõikepunkti abstsissteljega (selle tingimuse kirjutasime lõigus 1)). Kuidas peaks selle graafik välja nägema, et lõikepunktid abstsissteljega oleksid vahemikus \((1;4)\) ? Niisiis:


Esiteks peavad funktsiooni väärtused \(g(1)\) ja \(g(4)\) punktides \(1\) ja \(4\) olema positiivsed ja teiseks, funktsiooni tipp parabool \(t_0\ ) peab samuti olema vahemikus \((1;4)\) . Seetõttu saab süsteemi kirjutada: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) on alati vähemalt üks juur \(x=0\) . Seega on ülesande tingimuse täitmiseks vajalik, et võrrand \

sellel oli neli erinevat nullist erinevat juurt, mis esindavad koos \(x=0\) aritmeetilist progressiooni.

Pange tähele, et funktsioon \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) on paaris, seega kui \(x_0\) on võrrandi \((*) juur )\ ) , siis on \(-x_0\) ka selle juur. Siis on vaja, et selle võrrandi juurteks oleks kasvavas järjekorras olevad arvud: \(-2d, -d, d, 2d\) (siis \(d>0\) ). Siis moodustavad need viis arvu aritmeetilise progressiooni (erinevus \(d\) ).

Et need juured oleksid arvud \(-2d, -d, d, 2d\) , peavad arvud \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) olema arvude juured võrrand \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Siis Vieta teoreemi järgi:

Kirjutame võrrandi ümber kujul \ ja kaaluge kahte funktsiooni: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) ja \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funktsiooni \(g(x)\) maksimumpunkt on \(x=0\) (ja \(g_(\text(ülemine))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulltuletis: \(x=0\) . \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) jaoks: \(g"<0\) .
Funktsioon \(f(x)\) \(x>0\) korral suureneb ja \(x) puhul<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Tõepoolest, \(x>0\) puhul laieneb esimene moodul positiivselt (\(|x|=x\) ), mistõttu olenemata sellest, kuidas teine ​​moodul laieneb, on \(f(x)\) võrdne \ ( kx+A\) , kus \(A\) on \(a\) avaldis ja \(k\) on kas \(13-10=3\) või \(13+10=23\) . \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Leiame väärtuse \(f\) miinimumpunktist: \

Selleks, et võrrandil oleks vähemalt üks lahend, on vajalik, et funktsioonide \(f\) ja \(g\) graafikutel oleks vähemalt üks lõikepunkt. Seetõttu vajate: \ Selle süsteemide komplekti lahendades saame vastuse: \\]

Vastus:

\(a\in \(-2\)\tass\)