Kuidas leida kahe arvu vähim ühiskordne. Kahe arvu nod ja nok, eukleidiline algoritm

Kaaluge järgmise probleemi lahendust. Poisi samm on 75 cm ja tüdrukul 60 cm. Tuleb leida väikseim vahemaa, mille juures mõlemad astuvad täisarv samme.

Otsus. Kogu tee, mille poisid läbivad, peab jaguma 60 ja 70-ga ilma jäägita, kuna igaüks peab astuma täisarv samme. Teisisõnu, vastus peab olema nii 75 kui ka 60 kordne.

Esmalt kirjutame arvu 75 jaoks välja kõik kordsed. Saame:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Nüüd kirjutame välja arvud, mis on 60-kordsed. Saame:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nüüd leiame mõlemas reas olevad numbrid.

• Arvude ühiskordsed arvud on arvud, 300, 600 jne.

Väikseim neist on arv 300. Sel juhul nimetatakse seda arvude 75 ja 60 vähimaks ühiskordseks.

Tulles tagasi probleemi olukorra juurde, siis väikseim vahemaa, mille jooksul poisid teevad täisarvu samme, on 300 cm. Poiss läbib seda teed 4 sammuga ja tüdruk peab astuma 5 sammu.

Vähim levinud mitmiku leidmine

• Kahe naturaalarvu a ja b vähim ühiskordne on väikseim naturaalarv, mis on nii a kui ka b kordne.

Kahe arvu vähima ühiskordse leidmiseks ei ole vaja nende arvude kõiki kordajaid järjest üles kirjutada.

Võite kasutada järgmist meetodit.

Kuidas leida vähim ühiskordne

Esiteks peate need arvud algteguriteks jaotama.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Nüüd paneme kirja kõik tegurid, mis on esimese arvu (2,2,3,5) laienemises ja liidame sellele kõik teise arvu (5) laienemisest puuduvad tegurid.

Selle tulemusena saame algarvude jada: 2,2,3,5,5. Nende arvude korrutis on nende arvude kõige vähem levinud tegur. 2*2*3*5*5 = 300.

Üldskeem vähima ühiskordse leidmiseks

• 1. Jagage arvud algteguriteks.
• 2. Kirjutage üles algtegurid, mis on osa neist.
• 3. Lisage nendele teguritele kõik need, mis on ülejäänute lagunemises, kuid mitte valitud.
• 4. Leia kõigi välja kirjutatud tegurite korrutis.

See meetod on universaalne. Seda saab kasutada mis tahes arvu naturaalarvude vähima ühiskordse leidmiseks.

Arvu kordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Arvude rühma vähim ühiskordne (LCM) on väikseim arv, mis jagub võrdselt iga rühma arvuga. Vähima ühiskordse leidmiseks tuleb leida antud arvude algtegurid. Samuti saab LCM-i arvutada mitmete muude meetodite abil, mis on rakendatavad kahe või enama numbriga rühmade puhul.

Sammud

Mitmekordsete jada

Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada, kui on antud kaks arvu, mis mõlemad on väiksemad kui 10. Kui on antud suured arvud, kasutage teist meetodit.

• Näiteks leidke arvude 5 ja 8 vähim ühiskordne. Need on väikesed arvud, seega saab seda meetodit kasutada.

1. Arvu kordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Korrutamistabelist leiate mitu numbrit.

   • Näiteks arvud, mis on 5-kordsed, on: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Kirjutage üles arvude jada, mis on esimese arvu kordsed. Kahe arvurea võrdlemiseks tehke seda esimese arvu kordsete all.

   • Näiteks arvud, mis on 8-kordsed, on: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ja 64.

3. Leidke väikseim arv, mis esineb mõlemas korduste seerias. Kogusumma leidmiseks peate võib-olla kirjutama pikki kordiseid. Väikseim arv, mis esineb mõlemas kordajate seerias, on väikseim ühiskordne.

   • Näiteks 5 ja 8 kordajate reas esinev väikseim arv on 40. Seetõttu on 40 arvude 5 ja 8 vähim ühiskordne.

   Peamine faktoriseerimine

   1. Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada, kui on antud kaks arvu, mis mõlemad on suuremad kui 10. Väiksemate arvude korral kasutage teist meetodit.

      • Näiteks leidke arvude 20 ja 84 vähim ühiskordne. Iga arv on suurem kui 10, seega saab seda meetodit kasutada.

   2. Teguriseerige esimene number. See tähendab, et peate leidma sellised algarvud, korrutades saate etteantud arvu. Olles leidnud algtegurid, kirjutage need üles võrdusena.

      • Näiteks, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) ja 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Seega on arvu 20 algteguriteks arvud 2, 2 ja 5. Kirjuta need avaldisena: .

   3. Teisendage teine ​​arv algteguriteks. Tehke seda samamoodi, nagu arvestasite esimest arvu, st leidke sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse see arv.

      • Näiteks, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) ja 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Seega on arvu 84 algteguriteks arvud 2, 7, 3 ja 2. Kirjuta need avaldisena: .

   4. Kirjutage üles mõlema arvu ühised tegurid. Kirjutage sellised tegurid korrutustehtena. Iga teguri üleskirjutamisel kriipsutage see läbi mõlemas avaldises (avaldistes, mis kirjeldavad arvude lagunemist algteguriteks).

      • Näiteks mõlema arvu ühine tegur on 2, seega kirjuta 2 × (\displaystyle 2\times) ja kriipsutage mõlemas väljendis läbi 2.
      • Mõlema arvu ühine tegur on teine ​​tegur 2, nii et kirjutage 2 × 2 (\displaystyle 2\ korda 2) ja kriipsutage mõlemas avaldises teine ​​2 läbi.

   5. Lisa ülejäänud tegurid korrutustehtele. Need on tegurid, mis pole mõlemas avaldises läbi kriipsutatud, st tegurid, mis pole mõlema arvu jaoks ühised.

      • Näiteks väljendis 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ korda 2\ korda 5) mõlemad kaks (2) on läbi kriipsutatud, kuna need on ühised tegurid. Koefitsient 5 ei ole läbi kriipsutatud, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5)
      • Väljendis 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84 = 2 korda 7 korda 3 korda 2) mõlemad kahekohalised (2) on samuti läbi kriipsutatud. Tegurid 7 ja 3 ei ole läbi kriipsutatud, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3).

   6. Arvutage vähim ühiskordne. Selleks korrutage kirjutatud korrutustehtega arvud.

      • Näiteks, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7\ korda 3 = 420). Seega on 20 ja 84 vähim ühiskordne 420.

      Ühiste jagajate leidmine

      1. Joonistage ruudustik, nagu teeksite tic-tac-toe mängu jaoks. Selline ruudustik koosneb kahest paralleelsest sirgest, mis ristuvad (täisnurga all) kahe teise paralleelse sirgega. Selle tulemuseks on kolm rida ja kolm veergu (ruudustik sarnaneb palju märgiga #). Kirjutage esimene number esimesse rida ja teise veergu. Kirjutage teine ​​number esimesse ritta ja kolmandasse veergu.

         • Näiteks leidke 18 ja 30 vähim ühiskordne. Kirjutage esimesse ritta ja teise veergu 18 ning esimesse ritta ja kolmandasse veergu 30.

      2. Leidke mõlema arvu ühine jagaja. Kirjutage see esimesse rida ja esimesse veergu. Parem on otsida algjagajaid, kuid see ei ole eeltingimus.

         • Näiteks 18 ja 30 on paarisarvud, seega on nende ühine jagaja 2. Seega kirjutage esimesse ritta ja esimesse veergu 2.

      3. Jagage iga arv esimese jagajaga. Kirjutage iga jagatis vastava numbri alla. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus.

         • Näiteks, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), seega kirjutage 9 alla 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), nii et kirjutage 15 alla 30.

      4. Leidke mõlemale jagajale ühine jagaja. Kui sellist jagajat pole, jätke järgmised kaks sammu vahele. Vastasel juhul kirjutage jagaja teise rida ja esimesse veergu.

         • Näiteks 9 ja 15 jaguvad 3-ga, seega kirjutage teise rida ja esimesse veergu 3.

      5. Jagage iga jagatis teise jagajaga. Kirjutage iga jagamise tulemus vastava jagatise alla.

         • Näiteks, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), nii et kirjutage 3 alla 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3 = 5), seega kirjutage 5 alla 15.

      6. Vajadusel täiendage võrku täiendavate lahtritega. Korrake ülaltoodud samme, kuni jagatistel on ühine jagaja.

      7. Tõmmake ruudustiku esimeses veerus ja viimases reas numbrid ümber. Seejärel kirjuta esiletõstetud arvud korrutustehtena.

         • Näiteks numbrid 2 ja 3 on esimeses veerus ning numbrid 3 ja 5 on viimases reas, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5).

      8. Leidke arvude korrutamise tulemus. See arvutab kahe antud arvu väikseima ühiskordse.

         • Näiteks, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5 = 90). Nii et 18 ja 30 vähim ühiskordne on 90.

      Eukleidese algoritm

      1. Pidage meeles jagamise operatsiooniga seotud terminoloogiat. Dividend on arv, mida jagatakse. Jagaja on arv, millega jagada. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus. Ülejäänud osa on arv, mis jääb kahe arvu jagamisel.

         • Näiteks väljendis 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6 = 2) puhata. 3:
           15 on jagatav
           6 on jagaja
           2 on privaatne
           3 on ülejäänud osa.

Suurim ühine jagaja

2. definitsioon

Kui naturaalarv a jagub naturaalarvuga $b$, siis $b$ nimetatakse arvu $a$ jagajaks ja arvu $a$ arvu $b$ kordseks.

Olgu $a$ ja $b$ naturaalarvud. Arvu $c$ nimetatakse nii $a$ kui ka $b$ ühiseks jagajaks.

Arvude $a$ ja $b$ ühisjagajate hulk on lõplik, kuna ükski neist jagajatest ei saa olla suurem kui $a$. See tähendab, et nende jagajate hulgas on suurim, mida nimetatakse arvude $a$ ja $b$ suurimaks ühisjagajaks ning selle tähistamiseks kasutatakse tähistust:

$gcd \ (a; b) \ ​​või \ D \ (a; b) $

Kahe arvu suurima ühisjagaja leidmiseks:

1. Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

Näide 1

Leidke numbrite $121$ ja $132.$ gcd

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Valige numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$gcd=2\cdot 11=22$

Näide 2

Leidke monomialide GCD $ 63 $ ja $ 81 $.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks:

Jagame arvud algteguriteks

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Valime numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Leiame sammus 2 leitud arvude korrutise. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$gcd=3\cdot 3=9$

Kahe arvu GCD saate leida muul viisil, kasutades arvude jagajate komplekti.

Näide 3

Leidke numbrite $48$ ja $60$ gcd.

Otsus:

Leidke $48$ jagajate komplekt: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Nüüd leiame jagajate komplekti $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Leiame nende hulkade ristumiskoha: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – see hulk määrab arvude $48$ ja $60 ühisjagajate hulga $. Selle komplekti suurim element on number $12 $. Seega on $48$ ja $60$ suurim ühine jagaja $12$.

NOC määratlus

3. määratlus

naturaalarvude ühiskordne$a$ ja $b$ on naturaalarv, mis on arvude $a$ ja $b$ kordne.

Arvude ühiskordsed on arvud, mis jaguvad algarvuga ilma jäägita. Näiteks arvude $25$ ja $50$ puhul on ühiskordadeks numbrid $50,100,150,200$ jne.

Väiksemat ühiskordset nimetatakse vähimaks ühiskordseks ja seda tähistatakse LCM$(a;b)$ või K$(a;b).$

Kahe numbri LCM-i leidmiseks vajate:

1. Jagage arvud algteguriteks
2. Kirjutage välja tegurid, mis on osa esimesest arvust ja lisage neile tegurid, mis on osa teisest ja ei lähe esimesele

Näide 4

Leidke numbrite 99 $ ja 77 $ LCM.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks

Jagage arvud algteguriteks

99 $=3\cdot 3\cdot 11$

Kirjutage üles esimeses sisalduvad tegurid

lisada neile tegurid, mis on osa teisest ja ei lähe esimese juurde

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud vähim ühiskordne

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693 $

Arvude jagajate loendite koostamine on sageli väga aeganõudev. GCD leidmiseks on viis, mida nimetatakse Eukleidese algoritmiks.

Väited, millel Eukleidese algoritm põhineb:

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud ja $a\vdots b$, siis $D(a;b)=b$

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud, nii et $b

Kasutades $D(a;b)= D(a-b;b)$, saame vaadeldavaid arve järjest vähendada, kuni jõuame sellise arvupaarini, et üks neist jagub teisega. Siis neist arvudest väiksem on arvude $a$ ja $b$ soovitud suurim ühisjagaja.

GCD ja LCM omadused

1. $a$ ja $b$ mis tahes ühiskordne jagub K$(a;b)$-ga
2. Kui $a\vdots b$ , siis K$(a;b)=a$

Kui K$(a;b)=k$ ja $m$-loodusarv, siis K$(am;bm)=km$

Kui $d$ on väärtuste $a$ ja $b$ ühine jagaja, siis K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kui $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , siis on $\frac(ab)(c)$ väärtuste $a$ ja $b$ ühiskordne

Mis tahes naturaalarvude $a$ ja $b$ korral on võrdsus

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Iga väärtuste $a$ ja $b$ ühine jagaja on väärtuse $D(a;b)$ jagaja

Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale, mis pärineb artiklist pealkirjaga LCM - vähim ühiskordaja, definitsioon, näited, seos LCM-i ja GCD vahel. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, ja pöörata erilist tähelepanu näidete lahendamisele. Esmalt näitame, kuidas arvutatakse kahe arvu LCM nende arvude GCD järgi. Järgmisena kaaluge vähima ühiskordse leidmist arvude algteguriteks faktorina. Pärast seda keskendume kolme või enama arvu LCM-i leidmisele ja pöörame tähelepanu ka negatiivsete arvude LCM-i arvutamisele.

Leheküljel navigeerimine.

Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine läbi gcd

Üks viis vähima ühiskordse leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhtel. Olemasolev seos LCM-i ja GCD vahel võimaldab teadaoleva suurima ühisjagaja kaudu arvutada kahe positiivse täisarvu väikseima ühiskordaja. Vastaval valemil on vorm LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Vaadake näiteid LCM-i leidmiseks ülaltoodud valemi järgi.

Näide.

Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.

Otsus.

Selles näites a=126, b=70. Kasutame valemiga väljendatud seost LCM-i ja GCD vahel LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). See tähendab, et kõigepealt peame leidma arvude 70 ja 126 suurima ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi järgi arvutada nende arvude LCM-i.

Leia gcd(126, 70), kasutades Eukleidese algoritmi: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , seega gcd(126, 70)=14 .

Nüüd leiame nõutava vähima ühiskordse: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70:14=630 .

Vastus:

LCM(126,70)=630.

Näide.

Mis on LCM(68, 34)?

Otsus.

Nagu 68 jagub võrdselt 34-ga, siis gcd(68, 34)=34 . Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Vastus:

LCM(68,34)=68.

Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a .

LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktorina

Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui teeme nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille järel jätame sellest korrutisest välja kõik levinud algtegurid, mis esinevad nende arvude laiendustes, siis on saadud korrutis võrdne nende arvude vähima ühiskordsega.

Väljakuulutatud reegel LCM-i leidmiseks tuleneb võrdsusest LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. Omakorda gcd(a, b) võrdub kõigi arvude a ja b laiendustes samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega (mida kirjeldatakse peatükis gcd leidmine, kasutades arvude algteguriteks jaotamist ).

Võtame näite. Anname teada, et 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Koostage nende laienduste kõigi tegurite korrutis: 2 3 3 5 5 5 7 . Nüüd jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemisel (sellised tegurid on 3 ja 5), ​​siis saab korrutis kuju 2 3 5 5 7 . Selle korrutise väärtus on võrdne arvude 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Näide.

Pärast arvude 441 ja 700 arvestamist algteguriteks leidke nende arvude vähim ühiskordne.

Otsus.

Jagame arvud 441 ja 700 algteguriteks:

Saame 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Nüüd teeme kõigi nende arvude laienemisega seotud tegurite korrutise: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks - see on arv 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Seega LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus:

LCM(441; 700) = 44 100.

LCM-i leidmise reegli, kasutades arvude algteguriteks jaotamist, saab sõnastada veidi teisiti. Kui liidame arvu b laienemisest puuduvad tegurid arvu a lagundamise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvu a ja b vähima ühiskordsega.

Näiteks võtame kõik samad arvud 75 ja 210, nende laiendused algteguriteks on järgmised: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Teguritele 3, 5 ja 5 arvu 75 laiendusest liidame arvu 210 laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2 3 5 5 7 , mille väärtus on LCM(75 , 210) .

Näide.

Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Otsus.

Esmalt saame arvude 84 ja 648 lagunemise algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 84 laiendusest liidame arvu 648 laiendist puuduvad tegurid 2 , 3 , 3 ja 3 , saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7 , mis võrdub 4 536 . Seega on arvude 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.

Vastus:

LCM(84,648)=4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletage meelde vastav teoreem, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.

Teoreem.

Olgu positiivsed täisarvud a 1 , a 2 , …, a k antud, nende arvude vähim ühiskordne m k leitakse järjestikuses arvutuses m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Mõelge selle teoreemi rakendamisele nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.

Näide.

Leidke nelja arvu 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Otsus.

Selles näites a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Kõigepealt leiame m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil gcd(140, 9) , meil on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , seega gcd( 140, 9) = 1 , kust LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . See tähendab, et m 2 = 1 260 .

Nüüd leiame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Arvutame selle läbi gcd(1 260, 54) , mille määrab samuti Eukleidese algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Siis gcd(1 260, 54) = 18, kust LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. See tähendab, m 3 \u003d 3 780.

Vasak leida m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Selleks leiame Eukleidese algoritmi kasutades GCD(3 780, 250): 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Seetõttu gcd(3 780, 250)=10, kust gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . See tähendab, m 4 \u003d 94 500.

Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.

Vastus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Paljudel juhtudel leitakse kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul tuleks järgida järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laienemisest puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid esimese arvu laienemisest. saadud teguritele liidetakse kolmas arv jne.

Vaatleme näidet vähima ühiskordse leidmiseks, kasutades arvude algteguriteks jaotamist.

Näide.

Leidke viie arvu 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.

Otsus.

Esiteks saame nende arvude laiendused algteguriteks: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 algtegurit) ja 143=11 13 .

Nende arvude LCM-i leidmiseks tuleb esimese arvu 84 teguritele (need on 2 , 2 , 3 ja 7 ) lisada teise arvu 6 laiendist puuduvad tegurid. Arvu 6 laiendus ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 laiendamisel olemas. Edasi teguritele 2, 2, 3 ja 7 liidame kolmanda arvu 48 laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 2, saame tegurite 2, 2, 2, 2, 3 ja 7 hulga. Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile faktoreid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13 . Saame korrutise 2 2 2 2 3 7 11 13 , mis võrdub 48 048 .

Alustame kahe või enama arvu vähima ühiskordse uurimisega. Jaotises anname mõiste definitsiooni, vaatleme teoreemi, mis loob seose vähima ühiskordse ja suurima ühisjagaja vahel ning toome näiteid probleemide lahendamisest.

Ühiskordsed – määratlus, näited

Selles teemas huvitavad meid ainult nullist erinevate täisarvude ühiskordsed.

Definitsioon 1

Täisarvude ühiskordne on täisarv, mis on kõigi antud arvude kordne. Tegelikult on see mis tahes täisarv, mille saab jagada mis tahes antud arvuga.

Ühiskordaja määratlus viitab kahele, kolmele või enamale täisarvule.

Näide 1

Vastavalt ülaltoodud arvu 12 määratlusele on ühiskordsed 3 ja 2. Ka arv 12 on arvude 2, 3 ja 4 ühiskordne. Arvud 12 ja -12 on arvude ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ühiskordsed.

Samal ajal on arvude 2 ja 3 ühiskordseks arvud 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , −100 010 004 ja mitmed teised.

Kui võtta arvud, mis jaguvad paari esimese arvuga ja ei jagu teisega, siis sellised arvud ei ole ühiskordsed. Seega ei ole arvude 2 ja 3 puhul arvud 16 , − 27 , 5009 , 27001 ühiskordsed.

0 on mis tahes nullist erinevate täisarvude kogumi ühiskordne.

Kui meenutada jaguvuse omadust vastandarvude suhtes, siis selgub, et mõni täisarv k on nende arvude ühiskordne samamoodi nagu arv - k. See tähendab, et ühised jagajad võivad olla kas positiivsed või negatiivsed.

Kas kõigi numbrite jaoks on võimalik leida LCM-i?

Ühiskordse võib leida mis tahes täisarvu jaoks.

Näide 2

Oletame, et meile antakse k täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. Arv, mille saame arvude korrutamise käigus a 1 a 2 … a k jagatavusomaduse järgi jagatakse see kõigi algses tootes sisalduvate teguritega. See tähendab, et arvude korrutis a 1 , a 2 , … , a k on nende arvude vähim ühiskordne.

Mitu ühiskordset võib neil täisarvudel olla?

Täisarvude rühmal võib olla suur hulk ühiseid kordusi. Tegelikult on nende arv lõpmatu.

Näide 3

Oletame, et meil on mingi arv k . Siis on arvude k · z korrutis, kus z on täisarv, arvude k ja z ühiskordne. Arvestades, et arvude arv on lõpmatu, siis ühiskordajate arv on lõpmatu.

Least Common Multiple (LCM) – määratlus, sümbol ja näited

Tuletage meelde antud arvude hulgast väikseima arvu kontseptsiooni, mida käsitlesime jaotises Täisarvude võrdlus. Seda kontseptsiooni silmas pidades sõnastagem vähima ühiskordaja definitsioon, millel on kõigist ühiskordadest suurim praktiline väärtus.

2. definitsioon

Antud täisarvude vähim ühiskordne on nende arvude vähim positiivne ühiskordne.

Vähim ühiskordne on olemas suvalise arvu antud arvude puhul. Mõiste tähistamiseks teatmekirjanduses kasutatakse kõige sagedamini lühendit NOK. Lühikiri numbrite vähima tavalise kordse jaoks a 1 , a 2 , … , a k näeb välja nagu LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Näide 4

6 ja 7 vähim ühiskordne on 42. Need. LCM(6, 7) = 42. Nelja arvu – 2, 12, 15 ja 3 – vähim ühiskordne on 60. Lühike on LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Mitte kõigi antud arvude rühmade puhul on vähim ühiskordne ilmselge. Sageli tuleb see välja arvutada.

NOC ja NOD vaheline seos

Väikseim ühiskordne ja suurim ühisjagaja on omavahel seotud. Mõistete vahelise seose paneb paika teoreem.

1. teoreem

Kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordne on võrdne arvude a ja b korrutisega, mis on jagatud arvude a ja b suurima ühisjagajaga, st LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Tõestus 1

Oletame, et meil on mingi arv M, mis on arvude a ja b kordne. Kui arv M jagub a-ga, on olemas ka mõni täisarv z , mille alusel võrdsus M = a k. Jaguvuse definitsiooni järgi, kui M on samuti jaguv b, nii siis a k jagatuna b.

Kui võtame kasutusele uue tähise gcd jaoks (a , b) as d, siis saame kasutada võrdusi a = a 1 d ja b = b 1 · d. Sel juhul on mõlemad võrdsused koalgarvud.

Oleme selle juba kindlaks teinud a k jagatuna b. Nüüd saab selle tingimuse kirjutada järgmiselt:
a 1 d k jagatuna b 1 d, mis on samaväärne tingimusega a 1 k jagatuna b 1 jaguvuse omaduste järgi.

Suhteliselt algarvude omaduse järgi, kui a 1 ja b 1 on vastastikku algarvud, a 1 ei jaguga b 1 vaatamata asjaolule, et a 1 k jagatuna b 1, siis b 1 peaks jagama k.

Sel juhul oleks kohane eeldada, et arv on olemas t, milleks k = b 1 t, ja alates b1=b:d, siis k = b: d t.

Nüüd selle asemel k võrdsusse panna M = a k vormi väljendus b: d t. See võimaldab meil jõuda võrdsuseni M = a b: d t. Kell t=1 saame a ja b vähima positiivse ühiskordse , võrdne a b: d, eeldusel, et numbrid a ja b positiivne.

Seega oleme tõestanud, et LCM (a , b) = a b: GCD (a, b).

LCM-i ja GCD vahelise ühenduse loomine võimaldab leida kahe või enama arvu suurima ühisjagaja kaudu vähima ühiskordse.

3. määratlus

Teoreemil on kaks olulist tagajärge:

• kahe arvu vähima ühiskordse kordsed on samad, mis nende kahe arvu ühiskordsed;
• positiivsete koaprimarvude a ja b vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.

Neid kahte fakti pole raske põhjendada. M arvu a ja b mis tahes ühiskordne defineeritakse võrrandiga M = LCM (a, b) t mõne täisarvu t korral. Kuna a ja b on kaasalgarvud, siis gcd (a, b) = 1, seega LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Kolme või enama arvu vähim ühiskordne

Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks peate järjestikku leidma kahe arvu LCM-i.

2. teoreem

Teeskleme seda a 1 , a 2 , … , a k on mõned positiivsed täisarvud. LCM-i arvutamiseks m k need numbrid peame järjestikku arvutama m2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Tõestus 2

Käesolevas teemas käsitletud esimese teoreemi esimene järeldus aitab meil tõestada teise teoreemi õigsust. Põhjendus koostatakse järgmise algoritmi järgi:

• arvude ühiskordsed a 1 ja a 2 langevad kokku nende LCM-i kordsetega, tegelikult langevad nad kokku arvu kordsetega m2;
• arvude ühiskordsed a 1, a 2 ja a 3 m2 ja a 3 m 3;
• arvude ühiskordsed a 1 , a 2 , … , a k langevad kokku arvude ühiskordadega m k - 1 ja a k, langevad seetõttu kokku arvu kordsetega m k;
• tingitud asjaolust, et arvu väikseim positiivne kordne m k on number ise m k, siis arvude vähim ühiskordne a 1 , a 2 , … , a k on an m k.

Seega oleme teoreemi tõestanud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter