Teaduse poolt tõestatud: kuidas lahendada keerulisi probleeme poolunes. Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamine

Elus on hetki, mil teie ette kerkib lootusetuna näiv olukord – või probleem, mille iga lahendus tõotab mitte teie kasuks tulla. Ärge kiirustage oma unistuste elluviimisest loobuma, oma eesmärki saavutama ega paanikasse sattuma. Üks vanaaja tark mees ütles: "Valige mõtlemisaeg – see on jõu allikas." No temaga on raske mitte nõustuda, sest mõistus on võimas relv. Ka kõige keerulisemal probleemil on kümneid lahendusi ja see jääb silmist välja vaid seetõttu, et inimesed on harjunud mõtlema teatud raamides. Keerulise probleemi lahendamiseks on vaja teadvuse ja alateadvuse tööd koordineerida – see avardab teie "horisonti" ja võimaldab näha uusi võimalusi.

Tehnika "100 ideed"

100 Idee tehnika valdamiseks vajate vaid 1-2 tundi vaba aega, mugavat isiklikku nurgakest, kus keegi teid ei sega, samuti paberit ja pliiatsit. Paluge sugulastel ja sõpradel teid “meditatsiooni” ajal mitte kaasata, lülitage telefon välja ja lihtsalt lõõgastuge. Sõnastage ja kirjutage paberilehe ülaossa oma küsimus või dilemma. Nummerdage loend ühest sajani ja alustage ideede genereerimist.

Algul tulevad ideed üksteise järel, kuigi paraku pole need uued – kirjeldad kõiki oma “trumpe”, sealhulgas oskusi, tutvusi, sidemeid, rahalisi ressursse, aega, mille saad probleemi lahendamisele pühendada. Siis tundub ikka uskumatu sada vastust leida ja kui 20-30 punkti juures peatuda, tekib tühi tunne. Teid ootab ees väike tõrge, mis tekib loomulikult siis, kui nõiaringis liikuv teadvus on ammendanud enda käsutuses olevad võimalused ja läbinud kõik, mida ta on isiklikus kogemuses juba kohanud.

Teie alateadvuse teekonna teine ​​faas on veel 40 punkti, kus te kasutate endiselt oma teadvust, kuid teie varjatud jõud hakkavad ärkama ja teie teine ​​tuul avaneb. Selles etapis tekib pilt teie mõtlemisest. Märkad, et sinu ideed hakkavad korduma ning neis leidub igasuguseid klišeesid ja hoiakuid. Sinu eesmärk ei ole neid kõrvale heita, vaid usinalt paberile kirja panna ja miks: just need templid on need raamid, millest ei saa kaugemale minna ja ringi vaadata. See võib olla avalik arvamus, rahulolematus võimudega, enesekindluse puudumine ja mis tahes muud "murrud" teie psüühikas. Samal ajal võid avastada enda varjatud probleeme või hirme, mis ei lase sul edasi liikuda. See etapp nõuab teilt kõige suuremat vastupidavust - pole ju sugugi lihtne esimesed kolmkümmend selgelt teie mugavustsoonis olevat punkti kõrvale heita ja võtta kasutusele uusi, tundmatuid ja seetõttu mõnikord hirmutavaid ideid - see on normaalne, peamine on mitte alla anda. Lisaks aitab see sisemine võitlus vaid edasi liikuda rännaku kolmandasse faasi.

Just viimased 30 punkti avavad sinu ees Pandora laeka, sest number 100 ei valitud juhuslikult. Just see võimaldab teie intuitsioonil täielikult avaneda ja üllatada end ootamatute "ülevaates" - teie ärkava alateadvuse eksprompt, kust ideed ilmuvad ilma igasuguse mõistuse töötlemise ja filtreerimiseta. Olete oma otsingutes juba hüljanud loogika, märgates, kui kandiline see tegelikult on, ja mõistate, et teie mõtteviis on ainult ühes tasapinnas - ja maailm, selgub, on kolmemõõtmeline (aega mitte arvestada). Nüüd, kui mõistus lakkab teile dikteerimast, mis on “võimalik” ja mis “mitte”, paiskub alateadvuse uks lahti. Kergesti saab välja mõelda midagi ebatavalist ja esmapilgul täiesti absurdset. Sulle võib isegi tunduda, et sa ei peaks endale selgelt sobimatut ideed kirja panema, pole selge, millised kujundid sinu peas tekkisid. Rafineerimata teemantideks võivad aga osutuda just imelikud, kohati rumalad fraasid. Pidage meeles, kuidas inimesed pidasid Maad lapikuks ja kartsid selle servalt alla kukkuda ning kuidas kunagi nimetati ideed, et planeet on ümmargune ja pöörleb, ketserluseks. Hullud ideed ei pruugi teile alguses selged olla, kuid tunnete, et neis on midagi – see on õlekõrs, mis ütleb teile õige suuna.

Võib ka juhtuda, et pärast nii paljude ideede väljapanekut mõistate järsku, et see polnud üldse probleem – või nägite ainult jäämäe tippu, nii et peate koostama uue loendi, et vastata täiesti erinevale küsimusele.

Selle tehnikaga töötamisel tuleb järgida veel mõnda reeglit. Esiteks tuleb nimekiri koostada ühe hooga, ilma katkestusteta – muidu jäävad su uinunud geniaalsed ideed igapäevase mõtlemise raskuse all soiku. Töötamise ajal ärge lugege loendit uuesti ja hinnake, kui palju on juba tehtud ja kui palju punkte on jäänud - see hajutab teie tähelepanu ja takistab teie mõtete loomulikku kordumist - ja seetõttu ei lase teil näha oma komistuskive. Häälestage kohe: hindate ja kritiseerite oma ideid pärast kõigi sadade punktide koostamist - ja protsessi ajal peate kõik mõtted kirja panema (lõppude lõpuks pole teil kohustust seda paberit kellelegi näidata, kui sa ei taha). Kui töö on täies hoos, lühendage sõnu, peaasi, et saate siis lugeda, mida mõtlesite. Muidugi võite pliiatsi ja paberi asemel kasutada sülearvutit, kuid pidage meeles: elektromagnetlainete allikas, vähemalt teoreetiliselt, takistab teie ajul, aural ja, kui soovite, tšakratel, ühenduda universaalse meelega – ja üldiselt on see suurepärane funktsioneerimine. Kuid see on isikliku äranägemise järgi.

Tehnika “100 ideed” “maitsvad” boonused ei seisne mitte ainult sügava enesevaatluse ja keerulistele olukordadele originaalsete lahenduste leidmises, vaid ka selles, et sellega saad areneda mitmekülgselt ja planeerida oma tulevikku, leida uusi stiimuleid. eneseareng ja kasvamine endast kõrgemale. Selleks mõelge oma vabal ajal vastuste üle järgmistele (ja mis tahes enda) teemadele:

• Kuidas ennast harida
• Kuidas suhteid parandada
• Kuidas oma elu paremaks muuta
• Kuidas raha teenida
• Kuidas äri parandada
• Kuidas inimesi aidata
• Kuidas suurendada isiklikku efektiivsust
• Kuidas saada tervemaks
• Asjad, mida lükkan homsesse
• Asjad, mida ma kõige paremini oskan
• Asjad, mis mind demotiveerivad
• Omadused, mida soovin endas arendada
• Küsimused, millele pean vastused leidma
• Väärtused, millesse ma usun
• Asjad, mida ma elus hindan
• Elukutsed, milles tahan end proovile panna
• Asjad (inimesed), mis pidurdavad mind eesmärgi saavutamisel
• Asjad, mis mind rõõmustavad
• Järeldused, mida elu on mulle õpetanud
• Asjad, millest lahti saada
• Kohad, mida tahaksin külastada
• Vead, mille ma endale (teistele) andestan
• Võimalusi loovamalt mõelda

Istud restoranis ja lehitsed menüüd. Kõik toidud näevad nii maitsvad välja, et ei teagi, mida valida. Võib-olla tellin need kõik?

Kindlasti olete selliste probleemidega kokku puutunud. Kui mitte toidus, siis milleski muus. Me kulutame tohutult aega ja energiat, et teha valik võrdselt atraktiivsete võimaluste vahel. Kuid teisest küljest ei saa valikud olla samad, sest igaüks neist on omal moel atraktiivne.

Kui olete valiku teinud, seisate uue valiku ees. See on lõputu rida olulisi otsuseid, milleks on hirm teha vale valik. Need kolm meetodit aitavad teil teha paremaid otsuseid kõigil teie elutasanditel.

Loo harjumused, et vältida igapäevaste otsuste tegemist

Asi on selles, et kui teil tekib harjumus lõunaks salatit süüa, ei pea te kohvikus otsustama, mida tellida.

Arendades harjumusi, mis tegelevad selliste lihtsate igapäevatoimingutega, säästate energiat keerukamate ja olulisemate otsuste tegemiseks. Lisaks, kui teil tekib harjumus süüa hommikusöögiks salatit, ei pea te oma tahtejõudu raiskama, et salati asemel mitte süüa midagi rasvast ja praetud.

Kuid see kehtib etteaimatavate juhtumite kohta. Aga ootamatud otsused?

"Kui - siis": meetod ettearvamatute otsuste tegemiseks

Näiteks segab keegi pidevalt teie kõnet ja te pole kindel, kuidas sellele reageerida ja kas üldse reageerida. Kui - siis meetodi järgi otsustate: kui ta katkestab teid veel kaks korda, siis teete talle viisaka märkuse ja kui see ei tööta, siis ebaviisakas vormis.

Need kaks meetodit aitavad teha enamiku igapäevastest otsustest. Aga kui rääkida strateegilise planeerimise küsimustest, nagu kuidas reageerida konkurentide ohule, millistesse toodetesse rohkem investeerida, kuhu eelarvet kärpida, siis nad on jõuetud.

Need on otsused, mis võivad viibida nädala, kuu või isegi aasta, takistades ettevõtte arengut. Nendega ei saa hakkama läbi harjumuse ja kui-siis meetod ei tööta ka siin. Selgeid ja õigeid vastuseid sellistele küsimustele reeglina pole.

Sageli lükkab juhtkond selliste otsuste vastuvõtmisega edasi. Ta kogub infot, kaalub poolt- ja vastuargumente, ootab edasi ja jälgib olukorda, lootes, et ilmub midagi, mis viitab õigele otsusele.

Ja kui eeldame, et õiget vastust pole, kas see aitab kiiresti otsuse langetada?

Kujutage ette, et peate järgmise 15 minuti jooksul tegema otsuse. Ei homme ega järgmisel nädalal, kui kogute piisavalt teavet, ega kuu aja pärast, kui räägite kõigi probleemiga seotud isikutega.

Sul on otsuse tegemiseks aega veerand tundi. Tegutsema.

See on kolmas viis, mis aitab langetada raskeid otsuseid pikaajalise planeerimise osas.

Kasutage aega

Kui olete probleemi uurinud ja leidnud, et selle lahendamise võimalused on võrdselt atraktiivsed, nõustuge sellega, et õiget vastust pole, määrake endale ajalimiit ja valige lihtsalt üks neist. Kui mõne lahenduse testimine nõuab minimaalset investeeringut, valige see ja testige. Aga kui see pole võimalik, siis vali ükskõik milline ja niipea kui võimalik: asjatutele mõtetele kulutatud aega saab paremini kasutada.

Muidugi võite olla eriarvamusel: "Kui ma ootan, võib õige vastus ilmuda." Võib-olla, aga esiteks raiskate väärtuslikku aega, oodates olukorra selgitamist. Teiseks põhjustab ootamine teiste sellega seotud otsuste venitamist ja edasi lükkamist, vähendab tootlikkust ja pidurdab ettevõtte arengut.

Proovi seda kohe. Kui teil on küsimus, mida olete pikka aega edasi lükanud, andke endale kolm minutit ja tehke seda. Kui teil on sarnaseid liiga palju, kirjutage loend ja määrake iga lahenduse jaoks aeg.

Näed, iga tehtud otsusega tunned end veidi paremini, ärevus väheneb, tunned, et liigud edasi.

Niisiis, valite kerge salati. Kas see oli õige valik? Kes teab... Vähemalt sõid ja ei istunud näljasena roogade menüüs.

Teadlased on uurinud ajutegevuse rütme ja tuvastanud selle, mis sobib kõige paremini loominguliseks taipamiseks ja kasulike ideede otsimiseks.

Teadlased on uurinud ajutegevuse rütme ja tuvastanud selle, mis sobib kõige paremini loominguliseks taipamiseks ja kasulike ideede otsimiseks.

Seal on. Magama. Probleeme lahendama. Korda. On tõenäoline, et peale öise une veedate suurema osa ajast erinevate probleemide lahendamisel – eriti tööl.

Mitte et see halb oleks. Paljud maailma parimad ettevõtjad, Sarah Blakelyst Richard Bransonini, võlgnevad oma edu suutlikkusele probleeme (antud juhul rahuldamata tarbijate vajadusi) tuvastada ja lahendusi leida.

Kuid nii tähtis kui probleemide lahendamine meie elus on, on see ikkagi stress ja tundub, et mõned inimesed saavad sellega paremini hakkama kui teised.

Seetõttu saavad need, kes soovivad selles mängus edukamaks saada, proovida midagi uut: unes lahendusi otsima. Sõna otseses mõttes. Seda nimetatakse "Catch Your Theta Rhythm". Ei, see ei puuduta enesehüpnoosi ega meditatsiooni: see on puhas teadus ja see toimib.

Kuid kõigepealt mõistame:

Mis on aju rütmid?

Nagu professor Ned Herrmann selgitab, on see nii rütmid, mis kontrollivad aju elektrilist aktiivsust. Sõltuvalt teie aktiivsuse tasemest eristada saab nelja erinevat rütmi. Loetleme need lainesageduse vähenemise järjekorras.

• Maksimaalse aktiivsuse perioodidel (näiteks olulisel tööintervjuul) töötab teie aju sisse beeta rütm.
• Kui olete lõdvestunud – näiteks olete just lõpetanud suure projekti ja saate lõpuks välja hingata –, lülitub aju sellele alfa rütm.
• Nüüd hüppame edasi: neljandat rütmi tähistatakse tähega "delta" ja on fikseeritud, kui olete sügavas unes.

Kolmas etapp, teeta rütm, jätsime vahele, sest see sobib probleemide lahendamiseks kõige paremini. Herrmann ütleb:

“Inimestel, kes veedavad palju aega rooli taga, tulevad neil teeta-rütmis olles sageli head ideed... See võib juhtuda duši all või vannis ning isegi juukseid raseerides või kammides. See on seisund, kus probleemide lahendamine muutub nii automaatseks, et saate sellest vaimselt lahti võtta. Teetarütmi puhul tundub sageli, et mõtete voolu ei piira mitte miski – ei sisemine tsensuur ega süütunne.

Aju jõuab sellesse seisundisse, sealhulgas uinumisel või ärkamisel, kui balansseerite ärkveloleku ja sügava une vahel. Herrmann selgitab:

"Ärkamise ajal suudab aju teeta rütmi säilitada pikka aega, näiteks 5-15 minutit, ja seda aega saab kasutada eilsete sündmuste või uue päeva tegemiste üle mõtisklemiseks. See periood võib olla väga produktiivne ning tuua kaasa palju sisukaid ja loovaid ideid.

Kas on tõendeid selle toimimise kohta?

Selle hetke tabamine, mil teie aju on valmis teile parimaid ideid andma, on tehnika, mida edukad inimesed on järginud sadu aastaid.

Kunstnikud, kirjanikud ja suured mõtlejad on juba ammu märganud, et need hetked, mil me "noogutame" – ehk just siis, kui ajus valitseb teeta rütm – on parim aeg loominguliste võimete äratamiseks.

Albert Einsteinil ja Thomas Edisonil oli kombeks lahendada keerulisi probleeme poolunes. Kiire, loov meel on loodud probleemide lahendamiseks, mistõttu võib kasvõi põgus järelemõtlemine uue päeva ülesannete üle varahommikul veel selles seisundis (või isegi öösel, kui hakkate magama jääma) tuua. hämmastavaid tulemusi. See, mis töötas Einsteini jaoks, võib teie jaoks töötada – kuigi me ei luba, et sinust saab uue relatiivsusteooria autor.

Kuidas oma teeta rütmi kasutada?

See võtab natuke aega. Kuid kui te seda praktikat regulaarselt kasutate, tekib teil tervislik harjumus, mis viib teie produktiivsuse uuele tasemele. Selleks vajate järgmist.

1. Valige ülesanne

Hommikul, kui olete juba ärkama hakanud, kuid silmad on endiselt suletud ja aju veel pooleldi uinunud, mõelge kõige pakilisemale probleemile või ülesandele, millega täna silmitsi seisate. Võib-olla on selleks keeruline vestlus, olulised läbirääkimised kliendiga, aruande kirjutamine või uue turunduskampaania väljatöötamine. Kuid ükskõik kui palju ülesandeid teie peas hõljub, peate valima ühe ja laskma oma ajul sellega töötada.

Ärge püüdke oma mõtteid kuidagi suunata ega piirata, vaid jälgige, et need antud teemast liiga kaugele ei kalduks. Tõenäoliselt hakkab teie aju alateadlikult lahendust otsima.

Sageli saate selle tulemusena paar kasulikku ideed. Mõnikord – isegi geniaalne taipamine. Tõenäoliselt unustate alguses seda meetodit iga päev kasutada, kuid aja jooksul saab sellest järjekordne harjumus, osa teie hommikustest rituaalidest.

2. Tehke märkmeid

Võib-olla on Theta Rhythmiga probleemide lahendamise kõige masendavam osa see, et unustate need inspireerivad ideed kohe, kui pea padjalt lahkub. Piinate oma aju duši all, püüdes sellest välja tõmmata hiilgavat kolmepunktiplaani, mille just vaimselt visandasite. Seetõttu peaksite oma otsused kirja panema kohe, kui olete piisavalt ärkvel, et oma silmad avada.

Haara oma nutitelefon (peab ikka laeb, eks?) ja salvesta oma mõtted kohe – tekstina või diktofoni. Ära raiska aega. Piirduge märksõnade, kirjelduste ja fraasidega, mis käivitavad teie mälu hiljem, kui olete valmis teavet kasutama.

Täiendav eelis: sinine tuli telefoni ekraanil aitab teil ärgata. Ja kui soovite sama meetodit kasutada õhtul, uinumisprotsessis, on parem kasutada pliiatsit ja paberit - nii ei häiri kunstlik valgus teie und.

3. Analüüsige kogemusi

Pea oma "teeta-mõtete" päevikut – see aitab aja jooksul leida tüüpilisi lahendusi ja nende rakendusvaldkondi. Võite avastada, et see meetod on teie jaoks kõige tõhusam loominguliste probleemide lahendamisel, või võite avastada, et see annab teile eelise inimestega suhtlemisel või planeerimisel. See aitab teil mõista, milliseid ülesandeid tuleks tulevikus teeta-rütmi kasutades lahendada.

Inspiratsioon võib tulla kõikjalt.

Kuid sama kehtib ka takistuste kohta.

Teeta-mõtlemine kasutab aju universaalset võimet probleeme lahendada, et saaksite need lahendused meelde jätta ja neid kasutada. Tihti aitab see mõnest muust takistusest mööda hiilida või ületada lõhet pooliku idee ja tõeliselt kasuliku lahenduse vahel ning miks mitte seda ära kasutada? Selleks ei pea te isegi voodist tõusma! avaldatud

Selles videos analüüsime tervet rida lineaarvõrrandeid, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid ka kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Tooge sarnased terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Muidugi ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, mis $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, st. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulud, kui need on olemas (nagu meie viimases näites);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahendiks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõige lihtsamate ülesannetega.

Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Loomulikult ei tööta see skeem alati, sellel on teatud nüansid ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Pange tähele: me räägime ainult üksikutest terminitest. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mitu sulgu, kuid neid ei korruta mitte millegagi, vaid neil on erinevad märgid ees. Jagame need lahti:

Teostame teise meile juba teadaoleva sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui me ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Selle lihtsa tõsiasja mõistmine aitab vältida rumalaid ja haiget tekitavaid vigu keskkoolis, kui selliseid tegusid peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerukamate võrrandite juurde. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisenduse käigus redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul arvestasime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud transformatsioonid on lõpule viidud, saab sulgu avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allapoole lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran tähelepanu nendele väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele. Sest võrrandite lahendamine on alati elementaarsete teisenduste jada, kus suutmatus lihtsaid toiminguid selgelt ja asjatundlikult sooritada viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad nii lihtsaid võrrandeid uuesti lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Enam ei pea iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutad kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, need aga vastastikku annihileerusid, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga. teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimase näitega tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1-7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt vabaneda murdosadest. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui korrutada mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot neli\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulgu, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Oleme saanud lõpplahenduse, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil on kuskil ruutfunktsioone, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste teisenduste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika paremaks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!

Kuidas õppida lahendama lihtsaid ja keerulisi võrrandeid

Kallid vanemad!

Ilma põhilise matemaatilise ettevalmistuseta on võimatu luua kaasaegse inimese haridust. Koolis on matemaatika paljude seotud erialade tugiaine. Koolijärgses elus muutub täiendõpe tõeliseks vajaduseks, mis eeldab ülekoolilist põhikoolitust, sh matemaatikat.

Põhikoolis ei lajata mitte ainult teadmisi põhiteemadel, vaid areneb loogiline mõtlemine, kujutlusvõime ja ruumilised esitused ning tekib huvi selle aine vastu.

Järjepidevuse põhimõtet järgides keskendume kõige olulisemale teemale, milleks on "Tegevuskomponentide seos liitvõrrandite lahendamisel".

Selle õppetüki abil saate hõlpsalt õppida keerulisi võrrandeid lahendama. Tunnis tutvute üksikasjalikult samm-sammult juhistega keeruliste võrrandite lahendamiseks.

Paljud vanemad on hämmingus küsimusest – kuidas panna lapsed õppima lahendama lihtsaid ja keerulisi võrrandeid. Kui võrrandid on lihtsad - see on ikkagi pool probleemist, kuid on ka keerulisi - näiteks integraalseid. Muide, teadmiseks on olemas ka sellised võrrandid, mille lahendamise eest võitlevad meie planeedi parimad pead ja mille lahendamise eest antakse välja väga märkimisväärseid rahalisi auhindu. Näiteks kui mäletatePerelmanja mitme miljoni suurune väljanõudmata rahaline boonus.

Tuleme aga tagasi algusesse lihtsate matemaatiliste võrrandite juurde ja kordame üle võrrandite tüübid ja komponentide nimetused. Väike soojendus:

_________________________________________________________________________

ÜLES SOOJENEMA

Leidke igast veerust lisanumber:

2) Mis sõna on igas veerus puudu?

3) Ühendage esimese veeru sõnad 2. veeru sõnadega.

"Võrrand" "Võrdsus"

4) Kuidas seletate, mis on "võrdsus"?

5) Ja "võrrand"? Kas see on võrdsus? Mis on selles erilist?

tähtajaline summa

vähendatud erinevus

subtrahendi toode

faktorvõrdsus

dividend

võrrand

Järeldus: võrrand on võrdsus muutujaga, mille väärtus tuleb leida.

_______________________________________________________________________

Soovitan igal rühmal kirjutada võrrand viltpliiatsiga paberile: (tahvlile)

rühm 1 - tundmatu terminiga; rühm 2 - teadmata redutseeritud; rühm 3 - tundmatu alamosaga; rühm 4 - tundmatu jagajaga; rühm 5 - tundmatu jaguga; 6. rühm - tundmatu kordajaga.

1 rühm x + 8 = 15 2 rühm x - 8 = 7 3 rühm 48 – x = 36 4. rühm 540: x = 9 5 rühm x: 15 = 9 6 rühma x * 10 = 360

Üks rühmaliikmetest peaks lugema oma võrrandit matemaatilises keeles ja kommenteerima oma lahendust, st hääldama sooritatava tehte teadaolevate tegevuskomponentidega (algoritm).

Järeldus: oskame algoritmi järgi lahendada igasuguseid lihtsaid võrrandeid, lugeda ja kirjutada sõnasõnalisi avaldisi.

Teen ettepaneku lahendada ülesanne, milles ilmnevad uut tüüpi võrrandid.

Järeldus: Tutvusime võrrandite lahendiga, mille ühes osas on arvuline avaldis, mille väärtus tuleb leida ja saada lihtne võrrand.

________________________________________________________________________

Vaatleme võrrandi teist versiooni, mille lahendus on taandatud lihtsate võrrandite ahela lahendamiseks. Siin on üks liitvõrrandite sissejuhatus.

a + b * c (x - y): 3 2 * d + (m - n) Kas need on rekordvõrrandid? Miks? Kuidas neid toiminguid nimetatakse? Lugege neid ja nimetage viimane tegevus:

Ei. Need ei ole võrrandid, sest võrrand peab sisaldama märki “=”. Väljendid a + b * c - arvu a summa ning arvude b ja c korrutis; (x - y): 3 - arvude x ja y erinevuse jagatis; 2 * d + (m - n) - kahekordistunud arvu d ning arvude m ja n vahe summa.

Soovitan kõigil kirjutada matemaatilises keeles lause:

Arvude x ja 4 ning arvu 3 vahe korrutis on 15.

KOKKUVÕTE: Tekkinud probleemsituatsioon motiveerib püstitama tunni eesmärki: õppida lahendama võrrandeid, milles tundmatu komponent on avaldis. Sellised võrrandid on liitvõrrandid.

__________________________________________________________________________

Või äkki aitavad meid juba uuritud võrranditüübid? (algoritmid)

Milline teadaolevatest võrranditest on meie võrrandiga sarnane? X * a = sisse

VÄGA OLULINE KÜSIMUS: Mis on avaldis vasakul küljel – summa, vahe, korrutis või jagatis?

(x - 4) * 3 = 15 (toode)

Miks? (kuna viimane toiming on korrutamine)

Järeldus:Selliseid võrrandeid pole veel arvesse võetud. Aga me saame otsustada, kas väljendx - 4asetage peale kaart (y - y) ja saate võrrandi, mida saab hõlpsasti lahendada tundmatu komponendi leidmise lihtsa algoritmi abil.

Liitvõrrandite lahendamisel on vaja igal sammul valida tegevus automatiseeritud tasemel, kommenteerides, nimetades tegevuse komponente.

Lihtsustage osa

Mitte ↓ Jah

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (ja)

Järeldus:Erineva taustaga klassides saab seda tööd erinevalt korraldada. Täiustatud klassides saab isegi esmaseks konsolideerimiseks kasutada avaldisi, milles mitte kaks, vaid kolm või enam tegevust, kuid nende lahendamine nõuab iga võrrandit lihtsustava sammuga rohkem samme, kuni saadakse lihtne võrrand. Ja iga kord saate jälgida, kuidas toimingute tundmatu komponent muutub.

_____________________________________________________________________________

KOKKUVÕTE:

Kui tegemist on millegi väga lihtsa, arusaadava asjaga, siis ütleme sageli: "Asi on selge, nagu kaks korda kaks – neli!".

Aga enne kui mõelda sellele, et kaks korda kaks on neli, pidid inimesed õppima palju-palju tuhandeid aastaid.

Vanad kreeklased teadsid paljusid aritmeetika ja geomeetria kooliõpikute reegleid rohkem kui kaks tuhat aastat tagasi.

Kõikjal, kus peate midagi loendama, mõõtma, võrdlema, ei saa te ilma matemaatikata hakkama.

Raske on ette kujutada, kuidas inimesed elaksid, kui nad ei teaks, kuidas lugeda, mõõta, võrrelda. Matemaatika õpetab seda.

Olete täna sukeldunud kooliellu, olnud õpilaste rollis ja soovitan teil, kallid lapsevanemad, oma oskusi skaalal hinnata.

Minu oskused	Kuupäev ja hinne
Tegevuse komponendid.
Tundmatu komponendiga võrrandi koostamine.
Väljendite lugemine ja kirjutamine.
Leidke lihtsas võrrandis võrrandi juur.
Leia võrrandi juur, mille üks osa sisaldab arvavaldist.
Leidke võrrandi juur, milles tegevuse tundmatuks komponendiks on avaldis.