Selles videos vaatame kogu komplekti. lineaarvõrrandid, mis on lahendatud sama algoritmiga – sellepärast nimetatakse neid kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Plii nagu terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Muidugi ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, mis $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, st. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulgud, kui need on olemas (nagu meie viimane näide);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahenduseks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõigest lihtsad ülesanded.

Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Muidugi ei tööta see skeem alati, sellel on teatud nüansid ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, seega jätame selle sammu vahele. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Märge: me räägime ainult üksikute terminite kohta. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, kuid seda on siin juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mõned sulud, kuid neid ei korruta millegagi, nad lihtsalt seisavad nende ees erinevaid märke. Jagame need lahti:

Teostame teise meile juba teadaoleva sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui me ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt hoiab teid keskkoolis rumalaid ja haiget tekitavaid vigu tegemast, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerulised võrrandid. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste sooritamisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisenduse käigus redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul arvestasime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud transformatsioonid on lõpule viidud, saab sulgu avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allpool lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran tähelepanu nendele väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele. Sest võrrandite lahendamine on alati jada elementaarsed teisendused kus suutmatus selgelt ja asjatundlikult esineda lihtsad sammud viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad uuesti selliseid lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Enam ei pea iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutad kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, need aga vastastikku annihileerusid, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga. teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimases näites tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1-7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulgud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt murdudest vabanemiseks. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulgud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui korrutada mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulgu, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Saime lõplik otsus, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil kuskil on ruutfunktsioonid, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste ümberkujundamiste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika paremaks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!

Selle matemaatilise programmiga saate lahendada kahe lineaarvõrrandi süsteemi kahega muutuv meetod asendus- ja liitmismeetod.

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid ka juhatab üksikasjalik lahendus koos lahendusetappide selgitustega kahel viisil: asendusmeetodil ja liitmismeetodil.

See programm võib olla abiks keskkooliõpilastele valmistumisel kontrolli töö ja eksamid, enne eksamit teadmiste kontrollimisel vanemad kontrollivad paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatika või algebra? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjaliku lahendusega.

Seega saate oma oma koolitus ja/või nende väljaõpe nooremad vennad või õed, samal ajal kui haridustase lahendatavate ülesannete vallas tõuseb.

Võrrandite sisestamise reeglid

Muutujana võib toimida mis tahes ladina täht.
Näiteks: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Võrrandite sisestamisel võite kasutada sulgusid. Sel juhul on võrrandid esmalt lihtsustatud. Võrrandid pärast lihtsustusi peavad olema lineaarsed, st. kujul ax+by+c=0 elementide järjekorra täpsusega.
Näiteks: 6x+1 = 5(x+y)+2

Võrrandites saate kasutada mitte ainult täisarve, vaid ka murdarvud kümnend- ja harilike murdudena.

Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Täis- ja murdosa kümnendmurrud saab eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks: 2,1n + 3,5m = 55

Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.
Nimetaja ei saa olla negatiivne.
Kui sisenete numbriline murd Lugeja eraldatakse nimetajast jagamismärgiga: /
terve osa fraktsioonist ampersandiga eraldatud: &

Näited.
-1 ja 2/3 a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Lahenda võrrandisüsteem

Leiti, et mõned selle ülesande lahendamiseks vajalikud skriptid ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Teie brauseris on JavaScript keelatud.
Lahenduse ilmumiseks peab JavaScript olema lubatud.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on järjekorras.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saad sellest kirjutada Tagasisidevormi .
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine. Asendusmeetod

Toimingute jada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel asendusmeetodiga:
1) väljendab süsteemi mõnest võrrandist üht muutujat teise võrrandi kaudu;
2) asendada saadud avaldis selle muutuja asemel mõnes teises süsteemi võrrandis;

$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(massiivi) \right. $$

Avaldame esimesest võrrandist y kuni x: y = 7-3x. Asendades teise võrrandi y asemel avaldise 7-3x, saame süsteemi:
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(massiivi) \right. $$

Lihtne on näidata, et esimesel ja teisel süsteemil on samad lahendused. Teises süsteemis sisaldab teine ​​võrrand ainult ühte muutujat. Lahendame selle võrrandi:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Paremnool -5x+14-6x=3 \Paremnool -11x=-11 \Paremnool x=1 $$

Asendades võrrandis y=7-3x numbri x asemel arvu 1, leiame y vastava väärtuse:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Paremnool y=4 $$

Paar (1;4) - süsteemi lahendus

Nimetatakse kahe muutuja võrrandisüsteeme, millel on samad lahendid samaväärne. Samaväärseteks peetakse ka süsteeme, millel pole lahendusi.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine liitmise teel

Kaaluge teist võimalust lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks - liitmismeetodit. Süsteeme sel viisil lahendades, samuti asendusmeetodil lahendades läheme antud süsteemist üle teise sellega samaväärsesse süsteemi, milles üks võrranditest sisaldab ainult ühte muutujat.

Toimingute jada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel liitmismeetodiga:
1) korrutage süsteemi võrrandid liikme kaupa, valides tegurid nii, et ühe muutuja koefitsiendid muutuvad vastupidised numbrid;
2) liita termini haaval süsteemi võrrandite vasak ja parem osa;
3) lahendab saadud võrrandi ühe muutujaga;
4) leida teise muutuja vastav väärtus.

Näide. Lahendame võrrandisüsteemi:
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(massiivi) \right. $$

Selle süsteemi võrrandites on y koefitsiendid vastandarvud. Liites termini haaval võrrandi vasak ja parem osa, saame võrrandi ühe muutujaga 3x=33. Asendame süsteemi ühe võrrandi, näiteks esimese võrrandiga 3x=33. Tutvume süsteemiga
$$ \left\( \begin(massiiv)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(massiivi) \right. $$

Võrrandist 3x=33 leiame, et x=11. Asendades selle x väärtuse võrrandis \(x-3y=38 \), saame võrrandi muutujaga y: \(11-3y=38 \). Lahendame selle võrrandi:
\(-3y=27 \Paremnool y=-9 \)

Seega leidsime võrrandisüsteemi lahenduse, lisades: \(x=11; y=-9 \) või \((11; -9) \)

Kasutades ära asjaolu, et süsteemi võrrandites on y koefitsiendid vastandarvud, taandasime selle lahendi lahenduseks samaväärne süsteem(summeerides iga algse sim-teema võrrandi mõlemad osad), milles üks võrranditest sisaldab ainult ühte muutujat.

Raamatud (õpikud) Ühtse riigieksami ja OGE testide kokkuvõtted võrgus Mängud, mõistatused Funktsioonide graafik Vene keele õigekirjasõnastik Noorte slängi sõnastik Vene koolide kataloog Venemaa keskkoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Venemaa ülikoolide kataloog Ülesannete loetelu

Lineaarvõrrandid on üsna kahjutu ja arusaadav teema. koolimatemaatika. Kuid kummalisel kombel on lineaarvõrrandite lahendamisel vigade arv vaid veidi väiksem kui teistes teemades - ruutvõrrandid, logaritmid, trigonomeetria ja teised. Enamiku vigade põhjused on võrrandite banaalsed identsed teisendused. Esiteks on see segadus märkides terminite ülekandmisel võrrandi ühest osast teise, samuti vead murdude ja murdosa koefitsiendid. Jah Jah! Lineaarvõrrandites esinevad ka murded! Ümberringi. Veidi madalamal analüüsime ka selliseid kurja võrrandeid.)

Ärme tõmbame kassil sabast kinni ja hakkame aru saama, eks? Siis loeme ja saame aru.)

Mis on lineaarvõrrand? Näited.

Tavaliselt on lineaarvõrrandil järgmine vorm:

kirves + b = 0,

Kus a ja b on suvalised arvud. Mida iganes: täisarv, murdosa, negatiivne, irratsionaalne – igaüks võib olla!

Näiteks:

7x + 1 = 0 (siin a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (siin a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (siin a = 1/2, b = -1,1)

Üldiselt saate aru, ma loodan.) Kõik on lihtne, nagu muinasjutus. Esialgu ... Ja kui tähelepanelikult vaadata ühine rekord ax + b = 0 lähemalt, aga veidi läbimõeldud? Sest a ja b mingeid numbreid! Ja kui meil on näiteks a = 0 ja b = 0 (võib võtta mis tahes arvu!), siis mida me saame?

0 = 0

Kuid see pole veel kõik lõbus! Ja kui näiteks a = 0, b = -10? Siis selgub üsna jama:

0 = 10.

Mis on väga-väga tüütu ja õõnestab higi ja verega võidetud usaldust matemaatika vastu... Eriti kontrolltöödel ja eksamitel. Aga nendest arusaamatutest ja kummalistest võrdustest tuleb leida ka X! Mida pole üldse olemas! Ja siin võivad isegi hästi ettevalmistatud õpilased mõnikord langeda, nagu öeldakse, stuuporisse ... Aga ärge muretsege! AT see õppetund kaalume ka kõiki selliseid üllatusi. Ja sellistest võrdustest leiab kindlasti ka x.) Pealegi otsitakse just seda x-i väga-väga lihtsalt. Jah Jah! Üllatav, kuid tõsi.)

Olgu, see on arusaadav. Kuid kuidas saate ülesande välimuse järgi teada, et meil on lineaarne võrrand, mitte mõni muu? Kahjuks pole kaugeltki alati võimalik võrrandi tüüpi ära tunda ainult välimuse järgi. Asi on selles, et lineaarseteks ei nimetata mitte ainult võrrandeid kujul ax + b = 0, vaid ka kõiki muid võrrandeid, mis identsete teisendustega ühel või teisel viisil taandatakse sellele kujule. Kuidas sa tead, kas see sobib või mitte? Kuni näite peaaegu ära lahendate – peaaegu mitte midagi. See on häiriv. Kuid teatud tüüpi võrrandite puhul on võimalik ühe kiire pilguga kohe kindlalt öelda, kas see on lineaarne või mitte.

Selleks pöördume uuesti poole üldine struktuur mis tahes lineaarvõrrand:

kirves + b = 0

Pange tähele, et lineaarvõrrandis alati on ainult muutuja x esimesel astmel ja mõned numbrid! Ja see ongi kõik! Mitte midagi muud. Samas pole x-i ruudus, kuubis, juure all, logaritmi all ja muud eksootikat. Ja (mis kõige tähtsam!) ilma murdudeta mille nimetajates on x! Aga murrud, mille nimetajates või jagamises on numbrid numbri kohta- lihtsalt!

Näiteks:

See on lineaarne võrrand. Võrrand sisaldab ainult x-i esimese astmeni ja numbreid. Ja rohkem X-i pole kõrged kraadid- ruudus, kuubis ja nii edasi. Jah, siin on murrud, aga samas istuvad need murdude nimetajates ainult numbrid. Nimelt kaks ja kolm. Teisisõnu ei ole jagamine x-ga.

Ja siin on võrrand

Seda ei saa enam nimetada lineaarseks, kuigi ka siin on esimese astmeni ainult arvud ja x-id. Muuhulgas on olemas ka murded mille nimetajates on x. Ja pärast lihtsustusi ja teisendusi võib selline võrrand muutuda ükskõik milleks: lineaarne ja ruudukujuline - igaüks.

Kuidas lahendada lineaarvõrrandeid? Näited.

Kuidas siis lineaarvõrrandeid lahendada? Lugege edasi ja olge üllatunud.) Kogu lineaarvõrrandite lahendus põhineb vaid kahel põhiasjal. Loetleme need.

1) elementaarsete toimingute ja matemaatikareeglite kogum.

See on sulgude, avasulgude, murdudega töötamine, negatiivsete arvudega töötamine, korrutustabel ja nii edasi. Need teadmised ja oskused on vajalikud mitte ainult lineaarvõrrandite lahendamiseks, vaid kogu matemaatika jaoks üldiselt. Ja kui see on probleem, pidage meeles juunioride klassid. Muidu on sul raske...

2)

Neid on ainult kaks. Jah Jah! Veelgi enam, need väga lihtsad identsed teisendused on aluseks mitte ainult lineaarsete, vaid üldiselt kõigi matemaatikavõrrandite lahendamisele! Ühesõnaga mis tahes muu võrrandi lahendus - ruut-, logaritmi-, trigonomeetriline, irratsionaalne jne. - reeglina algab nende väga põhiliste teisendustega. Kuid täpselt lineaarsete võrrandite lahendamine lõpeb tegelikult nendega (teisendustega). Valmis vastus.) Nii et ärge olge laisk ja jalutage lingil.) Lisaks analüüsitakse seal üksikasjalikult ka lineaarvõrrandeid.

Noh, ma arvan, et on aeg alustada näidete analüüsiga.

Alustuseks kaaluge soojendusena mõnda elementaarset. Ilma igasuguste murdude ja muude kellade ja viledeta. Näiteks see võrrand:

x - 2 \u003d 4 - 5x

See on klassikaline lineaarvõrrand. Kõik x-id on maksimaalsed esimese astmeni ja x-ga jagamist pole kuskil. Lahendusskeem sellistes võrrandites on alati ühesugune ja õudusele lihtne: kõik x-ga terminid tuleb koguda vasakule ja kõik ilma x-ita terminid (s.o numbrid) tuleb koguda paremale. Nii et alustame kogumist.

Selleks käivitame esimese identse teisenduse. Peame liikuma -5x vasakule ja -2, et liikuda paremale. Märgivahetusega muidugi.) Nii et kanname üle:

x + 5x = 4 + 2

Noh. Pool võitlust on tehtud: x-id kogutakse hunnikusse, ka numbrid. Nüüd anname sarnased vasakule ja loeme paremale. Saame:

6x = 6

Millest meil praegu puudu on? täielik õnn? Jah, et vasakule jääks puhas X! Ja kuus segab. Kuidas sellest lahti saada? Nüüd alustame teist identset teisendust - jagame võrrandi mõlemad pooled 6-ga. Ja - voilaa! Vastus on valmis.)

x = 1

Muidugi on näide üsna primitiivne. To üldine idee püüda. Noh, teeme midagi sisulisemat. Näiteks kaaluge järgmist võrrandit:

Analüüsime seda üksikasjalikult.) See on samuti lineaarne võrrand, kuigi tundub, et siin on murde. Aga murdudes on kahega jagamine ja kolmega jagamine, aga x-iga avaldisega jagamist pole! Nii et me otsustame. Kasutades kõiki samu identseid teisendusi, jah.)

Mida me kõigepealt teeme? X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale? Põhimõtteliselt on see võimalik ja nii. Lennake Sotši läbi Vladivostoki.) Või võite valida lühima tee, kasutades kohe universaalset ja võimsat meetodit. Muidugi, kui teate identseid teisendusi.)

Alustuseks küsin võtmeküsimus: Mis teile selle võrrandi juures kõige rohkem tähelepanu pöörab ja mis teile ei meeldi? 99 inimest 100-st ütleb: murrud! Ja neil on õigus.) Nii et kõigepealt vabaneme neist. Ohutu võrrandi enda jaoks.) Nii et alustame kohe sellest teine ​​identne teisendus- korrutamisest. Millega tuleks vasak pool korrutada, et nimetaja ohutult väheneks? Täpselt nii, topelt. Ja parem pool? Kolmele! Aga ... Matemaatika on kapriisne daam. Teate, ta nõuab ainult mõlema osa korrutamist sama numbri eest! Korrutage iga osa oma numbriga - see ei tööta ... Mida me teeme? Midagi... Otsige kompromissi. Meie soovide rahuldamiseks (murdudest vabanemiseks) ja matemaatika mitte solvamiseks.) Ja korrutame mõlemad osad kuuega!) See tähendab, et ühine nimetaja kõik võrrandi murrud. Siis ühe hoobiga vähendatakse kahte ja kolme!)

Siin me korrutame. Terve vasak pool ja terve parem pool täielikult! Seetõttu kasutame sulgusid. See protseduur näeb välja selline:

Nüüd avame need sulud:

Nüüd, esindades 6 kui 6/1, korrutage kuus iga vasak- ja parempoolse murruga. See on tavaline murdude korrutamine, kuid olgu nii, kirjutan üksikasjalikult:

Ja siin - tähelepanu! Võtsin lugeja (x-3) sulgudesse! Seda seetõttu, et murdude korrutamisel korrutatakse lugeja tervikuna, täielikult ja täielikult! Ja avaldisega x-3 on vaja töötada nagu ühe kindla konstruktsiooniga. Aga kui kirjutate lugeja nii:

6x - 3,

Kuid meil on kõik korras ja me peame selle lõpuni viima. Mida edasi teha? Kas avada sulud vasakpoolses lugejas? Mitte mingil juhul! Sina ja mina korrutasime mõlemad osad 6-ga, et murdosadest lahti saada, mitte aga avasulgudega aurusauna võtta. peal see etapp me vajame vähendada meie murde. Sügava rahulolutundega vähendame kõiki nimetajaid ja saame võrrandi ilma murdudeta joonlauas:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

Ja nüüd saab ülejäänud sulud avada:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Võrrand läheb aina paremaks ja paremaks! Nüüd meenutame taas esimest identset teisendust. Kivist näoga kordame loitsu alates madalamad klassid: x-iga - vasakule, ilma x-ga - paremale. Ja rakendage seda teisendust:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Anname sarnased vasakule ja loeme paremale:

13x = 39

Jääb mõlemad osad jagada 13-ga. See tähendab, et rakendage uuesti teist teisendust. Jagame ja saame vastuse:

x = 3

Töö on tehtud. Nagu näete, sisse antud võrrand esimest teisendust (terminite tõlget) pidime rakendama üks kord ja teist kaks korda: lahenduse alguses kasutasime korrutamist (6-ga), et murdudest vabaneda, ja lahenduse lõpus jagamist (poolt 13) vabaneda koefitsiendist x ees. Ja mis tahes (jah, mis tahes!) lineaarvõrrandi lahendus koosneb nende samade teisenduste kombinatsioonist ühes või teises jadas. Kust täpselt alustada, sõltub konkreetsest võrrandist. Kusagil on tulusam alustada ülekandega ja kuskil (nagu selles näites) - korrutamisest (või jagamisest).

Töötame lihtsast keerukani. Mõelge nüüd Frank tinale. Hunniku murdude ja sulgudega. Ja ma ütlen teile, kuidas mitte üle pingutada.)

Näiteks siin on võrrand:

Vaatame hetke võrrandit, oleme kohkunud, kuid siiski võtame end kokku! Peamine probleem on, kust alustada? Paremal küljel saate lisada murde. Sulgudes olevaid murde saab lahutada. Saate mõlemad osad millegagi korrutada. Või jagada... Mis siis veel võimalik on? Vastus: kõik on võimalik! Matemaatika ei keela ühtegi loetletud tegevust. Ja ükskõik millise toimingute ja teisenduste jada valite, on vastus alati sama – õige. Muidugi välja arvatud juhul, kui te mingil etapil oma transformatsioonide identiteeti ei riku ega tee seeläbi vigu ...

Ja selleks, et mitte teha vigu, on selliste uhkete näidete puhul nagu käesolev, alati kõige kasulikum seda hinnata välimus ja mõtle oma mõtetes: mida saab näites teha nii, et maksimaalselt lihtsustada seda ühe sammuga?

Siin me oletame. Vasakul on nimetajates kuued. Mulle isiklikult need ei meeldi, aga neid on väga lihtne eemaldada. Lubage mul korrutada võrrandi mõlemad pooled 6-ga! Siis vähenevad vasakpoolsed kuued turvaliselt, sulgudes olevad murded ei kao veel kuhugi. No pole suurt midagi. Nendega tegeleme veidi hiljem.) Paremal aga vähenevad nimetajad 2 ja 3. Just selle toiminguga (6-ga korrutamine) saavutame ühe sammuga maksimaalsed lihtsustused!

Pärast korrutamist muutub kogu meie kurjuse võrrand selliseks:

Kui te ei saa täpselt aru, kuidas see võrrand välja kukkus, siis ei saanud te eelmise näite analüüsist hästi aru. Ja ma muide proovisin ...

Nii et avame selle:

Nüüd oleks kõige loogilisem samm isoleerida vasakpoolsed murded ja saata 5x paremale poole. Samal ajal anname paremal küljel sarnased. Saame:

Juba palju parem. Nüüd on vasak pool end korrutamiseks ette valmistanud. Mida tuleks korrutada vasaku poolega, et nii viis kui ka neli kohe väheneksid? Kell 20! Kuid meil on võrrandi mõlemal poolel ka varjuküljed. Seetõttu on kõige mugavam korrutada võrrandi mõlemad pooled mitte 20-ga, vaid -20-ga. Siis kaovad ühe hoobiga miinused ja murrud.

Siin korrutame:

Neile, kes sellest sammust ikka aru ei saa, tähendab see, et probleeme pole võrrandites. Probleemid on keskmes! Meenutame jälle kuldne reegel sulgude laiendus:

Kui arv korrutatakse mõne sulgudes oleva avaldisega, tuleb see arv järjestikku korrutada selle avaldise iga liikmega. Pealegi, kui arv on positiivne, säilivad avaldiste märgid pärast laiendamist. Kui need on negatiivsed, on need vastupidised:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Miinused kadusid peale mõlema osa -20-ga korrutamist. Ja nüüd korrutame vasakpoolsed sulud murdosadega üsna iseendaga positiivne arv 20. Seetõttu säilivad nende sulgude avamisel kõik märgid, mis nende sees olid. Aga kust tulid murdude lugejate sulud, selgitasin üksikasjalikult juba eelmises näites.

Ja nüüd saate murde vähendada:

4 (3-5x)-5 (3x-2) = 20

Laiendage ülejäänud sulud. Jällegi avame õigesti. Esimesed sulud korrutatakse positiivse arvuga 4 ja seetõttu säilivad kõik märgid nende avamisel. Kuid teised sulud korrutatakse negatiivne arv on -5 ja seetõttu on kõik märgid vastupidised:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

On jäänud tühjad kohad. Kui x on vasakul, ilma x-i paremal:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

See on peaaegu kõik. Vasakul on vaja puhast X-i ja number -35 jääb teele. Seega jagame mõlemad osad (-35-ga). Tuletan teile meelde, et teine ​​identiteedi teisendus võimaldab meil mõlemat osa korrutada ja jagada mida iganes number. Kaasa arvatud negatiivne.) Kui ainult mitte nulli! Jagage julgelt ja saate vastuse:

X = 2/35

Seekord osutus X murdosaks. See on korras. Selline näide.)

Nagu näeme, on lineaarvõrrandite (ka kõige keerulisemate) lahendamise põhimõte üsna lihtne: võtame algse võrrandi ja identsete teisendustega lihtsustame seda järjestikku kuni vastuseni. Põhitõdedega muidugi! Peamised probleemid on siin just põhitõdede mittejärgimises (ütleme, et sulgude ees on miinus ja nad unustasid avamisel märke muuta), samuti banaalses aritmeetikas. Nii et ärge jätke põhitõdesid tähelepanuta! Need on kogu ülejäänud matemaatika alus!

Mõned nipid lineaarvõrrandite lahendamisel. Või erilistel puhkudel.

Kõik oleks midagi. Samas ... Lineaarvõrrandite hulgas on ka selliseid naljakaid pärleid, mis nende lahendamise käigus võivad nad tugevasse stuuporisse ajada. Isegi suurepärane õpilane.)

Näiteks siin on kahjutu välimusega võrrand:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Haigutades ja veidi igavledes, kogume kõik X-id vasakule ja kõik numbrid paremale:

7x-4x-3x = 5-2-3

Anname sarnased, kaalume ja saame:

0 = 0

See on kõik! Välja antud primerchik fookus! Iseenesest see võrdsus vastuväiteid ei tekita: null on tõepoolest võrdne nulliga. Aga X on kadunud! Jäljetult! Ja me peame vastusesse kirjutama, mida võrdub x-ga . Muidu otsust ei arvestata, jah.) Mida teha?

Ei mingit paanikat! Sellistel mittestandardsetel juhtudel kõige rohkem üldmõisteid ja matemaatika põhimõtted. Mis on võrrand? Kuidas võrrandeid lahendada? Mida tähendab võrrandi lahendamine?

Võrrandi lahendamine tähendab leidmist kõik muutuja x väärtused, mis asendamisel originaal võrrand annab meile õige võrdsuse (identiteedi)!

Kuid meil on õige võrdsus juba tehtud! 0=0, õigemini mitte kuskil!) Jääb oletada, milliste x-de juures me selle võrdsuse saame. Milliste x-idega saab asendada originaal võrrand, kui asendamisel nad kõik ikka kahaneb nulli? Kas sa pole sellest veel aru saanud?

Jah, muidugi! X-e saab asendada ükskõik milline!!! Absoluutselt ükskõik milline. Mida iganes soovite, pange need sisse. Vähemalt 1, vähemalt -23, vähemalt 2,7 - mida iganes! Neid ikka vähendatakse ja selle tulemusena jääb puhas tõde alles. Proovige seda, asendage see ja vaadake ise.)

Siin on teie vastus:

x on suvaline arv.

Teaduslikus vormingus on see võrdsus kirjutatud järgmiselt:

See kirje kõlab järgmiselt: "X on mis tahes reaalarv."

Või mõnel muul kujul, vahedega:

Korraldage nii, nagu soovite. See on õige ja täielik vastus!

Ja nüüd ma muudan ainult ühte numbrit meie algses võrrandis. Lahendame nüüd selle võrrandi:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Teisaldame tingimused uuesti, loendame ja saame:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Ja kuidas teile see nali meeldib? Oli tavaline lineaarvõrrand, kuid oli arusaamatu võrdsus

0 = 1…

räägivad teaduskeel, saime vale võrdsus. Kuid vene keeles pole see tõsi. Jama. Jama.) Sest null ei võrdu ühega!

Ja nüüd jälle mõtleme, millise x-i algsesse võrrandisse asendamine annab õige võrdsus? Milline? Aga mitte ühtegi! Mis iganes X-i asendate, kõik väheneb ja seal on jama.)

Siin on vastus: lahendusi pole.

Matemaatilises tähistuses koostatakse selline vastus järgmiselt:

See ütleb: "X kuulub tühja hulka."

Ka matemaatikas on sellised vastused üsna levinud: mitte alati ei ole ühelgi võrrandil põhimõttelisi juuri. Mõnel võrrandil ei pruugi juured üldse olla. Üleüldse.

Siin on kaks üllatust. Loodan, et nüüd ei aja X-ide järsk kadumine võrrandis teid igaveseks segadusse. Juhtum on üsna tuttav.)

Ja siis kuulen loogilist küsimust: kas need on OGE-s või USE-s? Eksamil iseenesest ülesandena - ei. Liiga lihtne. Kuid OGE-s või tekstiprobleemides - lihtsalt! Nii et nüüd - treenime ja otsustame:

Vastused (segaduses): -2; -üks; mis tahes number; 2; lahendusi pole; 7/13.

Kõik õnnestus? Hästi! Teil on eksamil head võimalused.

Midagi ei sobi? Hm... Kurbus muidugi. Nii et kuskil on lüngad. Kas põhitõdes või identsed teisendused. Või on asi banaalses tähelepanematuses. Lugege õppetund uuesti läbi. Sest see pole teema, milleta matemaatikas nii lihtsalt hakkama saaks...

Edu! Ta naeratab sulle kindlasti, usu mind!)

Lineaarvõrrand on algebraline võrrand, mille polünoomide koguaste on võrdne ühega. Lineaarvõrrandite lahendamine - osa kooli õppekava, ja mitte kõige raskem. Mõnel on aga selle teema läbimisel raskusi. Loodame lugeda antud materjal, jäävad kõik teie jaoks raskused minevikku. Niisiis, mõtleme selle välja. kuidas lahendada lineaarvõrrandeid.

Üldine vorm

Lineaarvõrrand on esitatud järgmiselt:

• ax + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud.

Kuigi a ja b võivad olla suvalised arvud, mõjutavad nende väärtused võrrandi lahendite arvu. Lahendusel on mitu erijuhtu:

• Kui a=b=0, on võrrandil lõpmatu hulk otsused;
• Kui a=0, b≠0, pole võrrandil lahendust;
• Kui a≠0, b=0, on võrrandil lahendus: x = 0.

Juhul, kui mõlemal numbril on nr nullväärtused, tuleb muutuja lõpliku avaldise tuletamiseks võrrand lahendada.

Kuidas otsustada?

Lineaarvõrrandi lahendamine tähendab leidmist, millega muutuja võrdub. Kuidas seda teha? Jah, see on väga lihtne – kasutades lihtsaid algebralisi tehteid ja järgides ülekande reegleid. Kui võrrand ilmus teie ees üldisel kujul, siis on teil õnne, peate vaid:

1. Liigutage b võrrandist paremale poole, unustamata muuta märki (ülekandereegel!), Seega tuleks avaldisest kujul ax + b = 0 saada avaldis kujul ax = -b.
2. Rakendage reeglit: ühe teguri (x - meie puhul) leidmiseks peate jagama toote (meie puhul -b) teise teguriga (meie puhul a - meie puhul). Seega tuleks saada vormi avaldis: x \u003d -b / a.

See on kõik – lahendus on leitud!

Vaatame nüüd konkreetset näidet:

1. 2x + 4 = 0 - ülekanne b võrdne sel juhul 4, parem pool
2. 2x = -4 - jagage b a-ga (ärge unustage miinusmärki)
3. x=-4/2=-2

See on kõik! Meie lahendus: x = -2.

Nagu näete, on ühe muutujaga lineaarvõrrandi lahenduse leidmine üsna lihtne, kuid kõik on nii lihtne, kui meil on õnn täita võrrand üldkujul. Enamasti on enne võrrandi lahendamist kahes ülalkirjeldatud etapis vaja viia ka olemasolev avaldis üldkujule. Samas pole see ka hirmutav ülesanne. Vaatame mõningaid erijuhtumeid näidete varal.

Erijuhtude lahendamine

Kõigepealt vaatame artikli alguses kirjeldatud juhtumeid ja selgitame, mida tähendab lõpmatu arv lahendusi ja lahenduste puudumine.

• Kui a=b=0, näeb võrrand välja selline: 0x + 0 = 0. Esimese sammu sooritades saame: 0x = 0. Mida see jama tähendab, hüüate sa! Lõppude lõpuks, ükskõik millise arvu nulliga korrutate, saate alati nulli! Õige! Seetõttu ütlevad nad, et võrrandil on lõpmatu arv lahendusi - ükskõik millise arvu te võtate, on võrdsus tõene, 0x \u003d 0 või 0 \u003d 0.
• Kui a=0, b≠0, näeb võrrand välja selline: 0x + 3 = 0. Teostame esimese sammu, saame 0x = -3. Jälle jama! On ilmne, et see võrdsus ei saa kunagi tõeks! Sellepärast öeldakse, et võrrandil pole lahendusi.
• Kui a≠0, b=0, näeb võrrand välja selline: 3x + 0 = 0. Esimese sammuna saame: 3x = 0. Mis on lahendus? See on lihtne, x = 0.

Raskused tõlkimisel

Kirjeldatud konkreetsed juhtumid ei ole kõik, millega lineaarvõrrandid meid üllatada võivad. Mõnikord on võrrandit esmapilgul üldiselt raske tuvastada. Võtame näite:

• 12x - 14 = 2x + 6

Kas see on lineaarne võrrand? Aga kuidas on nulliga paremal küljel? Me ei kiirusta järeldustega, vaid tegutseme - kanname kõik võrrandi komponendid üle vasak pool. Saame:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Nüüd lahutades sarnasest sarnase, saame:

• 10x - 20 = 0

Õppinud? Kõigi aegade kõige lineaarsem võrrand! Mille lahendus: x = 20/10 = 2.

Mis siis, kui meil on see näide:

• 12 ((x + 2)/3) + x) = 12 (1–3x/4)

Jah, see on ka lineaarne võrrand, ainult tuleb teha rohkem teisendusi. Laiendame esmalt sulgusid:

1. (12 (x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4 (x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nüüd teostage ülekanne:
4. 25x - 4 = 0 - jääb üle leida lahendus juba teadaoleva skeemi järgi:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Nagu näete, on kõik lahendatud, peamine on mitte muretseda, vaid tegutseda. Pidage meeles, et kui teie võrrand sisaldab ainult esimese astme muutujaid ja numbreid, on see lineaarne võrrand, mille saab taandada üldkujule ja lahendada, hoolimata sellest, kuidas see algselt välja näeb. Loodame, et kõik läheb teie jaoks korda! Edu!

Võrrandisüsteeme kasutatakse laialdaselt majandustööstus juures matemaatiline modelleerimine erinevaid protsesse. Näiteks juhtimise ja tootmise planeerimise probleemide lahendamisel, logistikateedid ( transpordi ülesanne) või seadmete paigutust.

Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatika valdkonnas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.

Lineaarvõrrandisüsteem on termin kahe või enama mitme muutujaga võrrandi jaoks, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.

Lineaarne võrrand

Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine selle graafiku joonistamise teel näeb välja nagu sirgjoon, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.

Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid

Lihtsaimad on näited kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteemidest.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.

Lahenda võrrandisüsteem - see tähendab selliste väärtuste (x, y) leidmist, mille puhul süsteem muutub tõeliseks võrduseks, või tuvastada, et x ja y sobivad väärtused puuduvad.

Punktide koordinaatidena kirjutatud väärtuste paari (x, y) nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.

Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.

Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid parem osa mis on võrdne nulliga. Kui "võrdusmärgi" järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, ei ole selline süsteem homogeenne.

Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.

Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata kattuma tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla meelevaldselt palju.

Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks

Üldist analüütilist lahendusviisi pole sarnased süsteemid, põhinevad kõik meetodid numbrilised lahendused. AT koolikursus matemaatika, sellised meetodid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafiline ja maatriks meetod, lahendus Gaussi meetodil.

Lahendusmeetodite õpetamise põhiülesanne on õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja leidma optimaalne algoritm lahendused iga näite jaoks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi rakendamise põhimõtete mõistmine.

Programmi 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine Põhikoolüsna lihtne ja üksikasjalikult lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil uuritakse põhjalikumalt kõrgkoolide esimestel kursustel.

Süsteemide lahendamine asendusmeetodil

Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise kaudu. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutuja kujule. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis

Toome näite 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemist asendusmeetodil:

Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Otsus see näide ei tekita raskusi ja võimaldab saada Y väärtuse Viimase sammuna tuleb kontrollida saadud väärtusi.

Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, on ka asenduslahendus ebapraktiline.

Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:

Lahendus algebralise liitmise abil

Süsteemidele lahenduse otsimisel liitmismeetodil, termini kaupa liitmist ja võrrandite korrutamist erinevaid numbreid. Matemaatiliste tehete lõppeesmärk on ühe muutujaga võrrand.

Rakenduste jaoks seda meetodit see nõuab harjutamist ja jälgimist. Lineaarvõrrandisüsteemi ei ole lihtne lahendada liitmismeetodi abil, mille muutujate arv on 3 või rohkem. Algebraline liitmine on kasulik, kui võrrandid sisaldavad murde ja kümnendarvu.

Lahenduse toimimise algoritm:

1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled mõne arvuga. Tulemusena aritmeetiline tehe muutuja üks koefitsientidest peab saama võrdseks 1-ga.
2. Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
3. Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.

Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega

Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteemil on vaja lahendus leida mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.

Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu suhtes ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.

Näites on näha, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardiks ruudukujuline kolmik. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.

Diskriminandi väärtus on vaja leida poolt tuntud valem: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitud diskriminant, b, a, c on polünoomi kordajad. AT toodud näide a=1, b=16, c=39, seega D=100. Kui diskrimineerija Üle nulli, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant on väiksem kui null, siis on ainult üks lahend: x= -b / 2*a.

Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodil.

Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks

Sobib 3 võrrandiga süsteemidele. Meetod on edasiarendamine koordinaatide telg iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikud. Kurvide ja tahte lõikepunktide koordinaadid on ühine lahendus süsteemid.

Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatleme mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.

Nagu näitest näha, konstrueeriti igale reale kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.

Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.

Järgmine näide tuleb leida graafiline lahendus lineaarvõrrandisüsteemid: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.

Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.

Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati ei saa öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graafik.

Maatriks ja selle sordid

Maatriksite jaoks kasutatakse lühend lineaarvõrrandisüsteemid. Tabelit nimetatakse maatriksiks. eriline liik täidetud numbritega. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.

Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriks – vektor on maatriks ühest veerust lõpmatuga võimalik number read. Maatriksit, mille ühikud on piki ühte diagonaali ja muid nullelemente, nimetatakse identiteediks.

Pöördmaatriks on selline maatriks, millega korrutades muutub algne maatriks ühikmaatriksiks, eksisteerib selline maatriks ainult algse ruutmaatriksi jaoks.

Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks

Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksi arvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.

Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole võrdne nulliga. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.

Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.

Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.

Pöördmaatriksi leidmise võimalused

Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 - pöördmaatriks, ja |K| - maatriksdeterminant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.

Determinant on kaks-kaks maatriksi jaoks kergesti arvutatav, elemendid on vaja vaid diagonaalselt üksteisega korrutada. Valiku "kolm korda kolm" jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et elementide veeru- ja reanumbrid tootes ei korduks.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil

Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab vähendada tülikaid tähistusi süsteemide lahendamisel suur kogus muutujad ja võrrandid.

Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.

Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil

AT kõrgem matemaatika Gaussi meetodit uuritakse koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduse leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse leidmiseks süsteemi muutujad paljude lineaarvõrranditega.

Gaussi meetod on väga sarnane lahendustele, mis kasutavad asendusi ja algebraline liitmine aga süsteemsem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide jaoks. Meetodi eesmärk on viia süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. Algebraliste teisenduste ja asendustega leitakse süsteemi ühest võrrandist ühe muutuja väärtus. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga ning 3 ja 4 - vastavalt 3 ja 4 muutujaga.

Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.

7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi lahenduse näidet järgmiselt:

Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendus võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.

Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.

Gaussi meetodit on õpilastel raske mõista Keskkool, kuid see on üks huvitavamaid viise programmis osalevate laste leidlikkuse arendamiseks süvaõpe matemaatika ja füüsika tundides.

Arvutuste salvestamise hõlbustamiseks on tavaks teha järgmist.

Võrrandikoefitsiendid ja vabaliikmed kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast küljest. Rooma numbrid tähistavad võrrandite numbreid süsteemis.

Esiteks kirjutavad nad üles maatriksi, millega töötada, seejärel kõik ühe reaga tehtud toimingud. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja jätkake vajalike algebraliste toimingute sooritamist, kuni tulemus on saavutatud.

Selle tulemusel tuleks saada maatriks, milles üks diagonaalidest on 1 ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühele kujule. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlema poole arvudega.

See märkimine on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.

Mis tahes lahendusmeetodi tasuta rakendamine nõuab hoolt ja teatud kogemusi. Kõiki meetodeid ei rakendata. Mõned lahenduste leidmise viisid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga õppimise eesmärgil.