Kui vektorid on risti. Antud vektoriga risti oleva vektori leidmine, näited ja lahendused

Juhend

Kui algvektor on joonisel kujutatud ristkülikukujulises kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis ja samasse kohta on vaja ehitada risti, siis lähtu vektorite perpendikulaarsuse definitsioonist tasapinnal. Selles öeldakse, et sellise suunatud segmentide paari vaheline nurk peab olema 90°. Selliseid vektoreid on võimalik konstrueerida lõpmatu arv. Nii et joonistage ükskõik milline mugav asukoht algvektoriga risti olev tasapind, eraldage sellel segment, võrdne pikkusega antud järjestatud punktipaar ja määrata selle üks otstest alguseks risti vektor. Tehke seda nurganurga ja joonlauaga.

Kui algvektor on antud kahemõõtmeliste koordinaatidega ā = (X₁;Y₁), siis lähtume sellest, et risti vektorite paari skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. See tähendab, et peate valima soovitud vektorile ō = (X₂,Y₂) sellised koordinaadid, mille korral on täidetud võrdus (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Seda saab teha järgmiselt: valige X2-koordinaadi jaoks mis tahes nullist erinev väärtus ja arvutage Y2-koordinaat valemiga Y2 = -(X1*X2)/Y1. Näiteks vektori ā = (15;5) korral on vektor ō, millel on abstsiss, võrdne ühega, ja ordinaat võrdub -(15*1)/5 = -3, st. ō = (1;-3).

Kolmemõõtmelise ja mistahes muu ortogonaalse koordinaatsüsteemi puhul kehtib sama vajalik ja piisav vektorite perpendikulaarsuse tingimus – nende skalaarkorrutis peab olema võrdne nulliga. Seega, kui algne suunatud segment on antud koordinaatidega ā = (X₁,Y₁,Z₁), siis sellega risti oleva järjestatud punktide paari ō = (X₂,Y₂,Z₂) jaoks vali sellised koordinaadid, mis vastavad tingimusele (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Lihtsaim viis on määrata X2 ja Y2 üksikud väärtused ning arvutada Z₂ lihtsustatud võrrandist Z₂ = -1*(X1*1 + Y1*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Näiteks vektori ā = (3,5,4) puhul on see järgmine kuju: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Seejärel võtke abstsiss ja ordinaat risti vektor ühtsusena ja on sel juhul võrdne -(3+5)/4 = -2.

Allikad:

• leida vektor, kui see on risti

Perpendikulaarseid nimetatakse vektor, mille vaheline nurk on 90º. Perpendikulaarsed vektorid ehitatakse joonistustööriistade abil. Kui nende koordinaadid on teada, saate kontrollida või leida vektorite risti analüüsimeetodid.

Sa vajad

• - kraadiklaas;
• - kompass;
• - joonlaud.

Juhend

Ehitage vektor, mis on antud vektoriga risti. Selleks taastage punktis, mis on vektori algus, sellega risti. Seda saab teha kraadiklaasiga, jättes kõrvale 90º nurga. Kui kraadiklaasi pole, tehke see kompassiga.

Määrake see vektori alguspunktiks. Joonistage suvalise raadiusega ring. Seejärel ehitage kaks, mille keskpunkt on punktides, kus esimene ring lõikub joonega, millel vektor asub. Nende ringide raadiused peavad olema üksteisega võrdsed ja suuremad kui esimene konstrueeritud ring. Ringide lõikepunktides konstrueerige sirge, mis on algvektoriga risti selle alguspunktis, ja pange sellel kõrvale vektor, mis on risti antud vektoriga.

See artikkel paljastab kahe vektori perpendikulaarsuse tähenduse tasapinnal kolmemõõtmelises ruumis ja ühe või terve vektori paariga risti oleva vektori koordinaatide leidmise. Teema on rakendatav sirgete ja tasandite võrranditega seotud ülesannete lahendamisel.

Vaatleme kahe vektori perpendikulaarsuse vajalikku ja piisavat tingimust, lahendame antud vektoriga risti oleva vektori leidmise meetodil, puudutame kahe vektori suhtes risti oleva vektori leidmise olukorda.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vajalik ja piisav tingimus, et kaks vektorit oleksid risti

Rakendame reeglit risti vektorite kohta tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis.

Definitsioon 1

Arvestades kahe nullist erineva vektori vahelise nurga väärtust 90 ° (π 2 radiaani) nimetatakse risti.

Mida see tähendab ja millistes olukordades on nende perpendikulaarsust vaja teada?

Perpendikulaarsuse määramine on võimalik joonise abil. Vektorit joonistades tasapinnale etteantud punktidest, saab geomeetriliselt mõõta nende vahelist nurka. Vektorite perpendikulaarsus, kui see on kindlaks tehtud, ei ole täiesti täpne. Seetõttu ei võimalda need ülesanded enamasti seda protraktoriga teha seda meetodit rakendatav ainult siis, kui vektoritest pole midagi muud teada.

Enamikul juhtudel on kahe nullist erineva vektori perpendikulaarsuse tõestamine tasapinnal või ruumis tehtud kasutades vajalik ja piisav tingimus kahe vektori perpendikulaarsuse jaoks.

1. teoreem

Skalaarkorrutis kaks nullist erinevat vektorit a → ja b →, mis on võrdsed nulliga, et täita võrdsust a → , nende perpendikulaarsuse jaoks piisab b → = 0.

Tõestus 1

Olgu antud vektorid a → ja b → risti, siis tõestame võrdsuse a ⇀ , b → = 0 .

Alates määratlusest vektorite punktkorrutis me teame, et see on võrdne antud vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutis. Tingimuse järgi on a → ja b → risti ja seetõttu on definitsiooni põhjal nende vaheline nurk 90 °. Siis on meil a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Tõestuse teine ​​osa

Tingimusel, kui a ⇀ , b → = 0 tõestavad a → ja b → perpendikulaarsust.

Tegelikult on tõend eelmisega võrreldes vastupidine. On teada, et a → ja b → on nullist erinevad, seega võrrandist a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ leiame koosinuse. Siis saame cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Kuna koosinus on null, võime järeldada, et vektorite a → ja b → nurk a → , b → ^ on 90 ° . Definitsiooni järgi on see vajalik ja piisav omadus.

Perpendikulaarne tingimus koordinaattasandil

Peatükk punktkorrutis koordinaatides näitab ebavõrdsust (a → , b →) = a x b x + a y b y , mis kehtib vektoritele koordinaatidega a → = (a x , a y) ja b → = (b x , b y) , tasapinnal ja (a → , b → ) = a x b x + a y b y ruumivektoritele a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z). Vajalik ja piisav tingimus, et kaks vektorit oleksid risti koordinaattasand on kujul a x b x + a y b y = 0 , for kolmemõõtmeline ruum a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Rakendame seda praktikas ja vaatame näiteid.

Näide 1

Kontrollige kahe vektori perpendikulaarsuse omadust a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Otsus

Selle probleemi lahendamiseks peate leidma skalaarkorrutise. Kui tingimuse järgi on see võrdne nulliga, siis on need risti.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud vektorid on tasapinnaga risti.

Vastus: jah, antud vektorid a → ja b → on risti.

Näide 2

Antud koordinaatvektorid i → , j → , k → . Kontrollige, kas vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → võivad olla risti.

Otsus

Selleks, et meeles pidada, kuidas vektori koordinaadid määratakse, peate lugema artiklit selle kohta vektori koordinaadid sisse ristkülikukujuline süsteem koordinaadid. Seega saame, et antud vektoritel i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → on vastavad koordinaadid (1, - 1, 0) ja (1, 2, 2) . Asendaja arvväärtusi ja saame: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Avaldis ei ole null, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0, mis tähendab, et vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → ei ole risti, kuna tingimus ei ole täidetud.

Vastus: ei, vektorid i → - j → ja i → + 2 j → + 2 k → ei ole risti.

Näide 3

Antud vektorid a → = (1 , 0 , - 2) ja b → = (λ , 5 , 1) . Leia väärtus λ, mille korral antud vektorid on risti.

Otsus

Kasutame kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust ruumis ruudu kuju, siis saame

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Vastus: vektorid on risti väärtusega λ = 2.

On juhtumeid, kus perpendikulaarsuse küsimus on võimatu isegi vajalikul ja piisaval tingimusel. Teadaolevate andmetega kolmnurga kolme külje kohta kahel vektoril on võimalik leida nurk vektorite vahel ja kontrollige seda.

Näide 4

Antud on kolmnurk A B C külgedega A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm. Kontrollige vektorite A B → ja A C → risti.

Otsus

Kui vektorid A B → ja A C → on risti, loetakse kolmnurk A B C ristkülikukujuliseks. Seejärel rakendame Pythagorase teoreemi, kus BC on kolmnurga hüpotenuus. Võrdsus B C 2 = A B 2 + A C 2 peab olema täidetud. Sellest järeldub, et 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Seega on A B ja A C kolmnurga A B C jalad, seega on A B → ja A C → risti.

Oluline on õppida, kuidas leida antud vektoriga risti oleva vektori koordinaate. See on võimalik nii tasapinnal kui ka ruumis eeldusel, et vektorid on risti.

Antud vektoriga risti oleva vektori leidmine tasapinnal.

Nullist erineval vektoril a → võib tasandis olla lõpmatu arv risti vektoreid. Esitame selle koordinaatide sirgel.

Antud on nullist erinev vektor a → , mis asub sirgel a. Siis saab antud b → , mis asub mistahes sirgega a risti asetseval sirgel, risti ja a → . Kui vektor j → või mõni vektor λ j → on risti vektoriga i → λ on võrdne mis tahes tegelik arv välja arvatud null, siis a → = (a x , a y) risti oleva vektori b → koordinaatide leidmine taandub lõpmatuks lahendite hulgaks. Kuid on vaja leida a → = (a x , a y) risti oleva vektori koordinaadid. Selleks on vaja üles kirjutada vektorite perpendikulaarsuse tingimus järgmisel kujul a x · b x + a y · b y = 0 . Meil on b x ja b y , mis on risti vektori soovitud koordinaadid. Kui a x ≠ 0, on b y väärtus nullist erinev ja b x arvutatakse võrratuse a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x põhjal. Kui a x = 0 ja a y ≠ 0, omistame b x-le mis tahes väärtuse, mis ei ole null, ja b y leitakse avaldisest b y = - a x · b x a y .

Näide 5

Antud vektor koordinaatidega a → = (- 2 , 2) . Leia vektor, mis on antud vektoriga risti.

Otsus

Tähistame soovitud vektorit b → (b x , b y) . Selle koordinaadid leiate tingimusest, et vektorid a → ja b → on risti. Siis saame: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Määra b y = 1 ja asenda: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Seega saame valemist b x = - 2 - 2 = 1 2 . Seega on vektor b → = (1 2 , 1) vektoriga a → risti.

Vastus: b → = (1 2 , 1) .

Kui tõstatada küsimus kolmemõõtmelisest ruumist, lahendatakse probleem sama põhimõtte järgi. Kell antud vektor a → = (a x , a y , a z) on olemas lõpmatu hulk risti vektorid. Parandab selle koordinaadil kolmemõõtmeline tasapind. Antud a → lamades joonel a . Tasand, mis on risti sirgjoonega a, on tähistatud α-ga. Sel juhul on iga nullist erinev vektor b → tasapinnast α risti a → .

Vaja on leida koordinaadid b → risti nullist erineva vektoriga a → = (a x , a y , a z) .

Olgu b → antud koordinaatidega b x , b y ja b z . Nende leidmiseks on vaja rakendada kahe vektori perpendikulaarsuse tingimuse definitsiooni. Võrdsus a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 peab kehtima. Tingimusest a → - nullist erinev, mis tähendab, et ühe koordinaadi väärtus ei ole nulliga võrdne. Oletame, et a x ≠ 0, (a y ≠ 0 või a z ≠ 0). Seetõttu on meil õigus selle koordinaadiga jagada kogu võrratus a x b x + a y b y + a z b z = 0, saame avaldise b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Koordinaatidele b y ja b x omistame suvalise väärtuse, arvutame väärtuse b x, lähtudes valemist, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Soovitud risti vektori väärtus on a → = (a x , a y , a z) .

Vaatame tõestust näitega.

Näide 6

Antud vektor koordinaatidega a → = (1 , 2 , 3)  . Leia vektor, mis on antud vektoriga risti.

Otsus

Tähistame soovitud vektorit b → = (b x , b y , b z) . Tingimusel, et vektorid on risti, peab skalaarkorrutis olema võrdne nulliga.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Kui väärtus b y = 1, b z = 1, siis b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = -5. Sellest järeldub, et vektori b → (- 5 , 1 , 1) koordinaadid . Vektor b → on üks antud vektoriga risti.

Vastus: b → = (- 5, 1, 1) .

Kahe etteantud vektoriga risti oleva vektori koordinaatide leidmine

Peate leidma vektori koordinaadid kolmemõõtmelises ruumis. See on risti mittekollineaarsete vektoritega a → (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Tingimusel, et vektorid a → ja b → on kollineaarsed, piisab ülesandes a → või b → vektori leidmisest.

Lahendamisel kasutatakse vektorite vektorkorrutise mõistet.

Vektorite ristkorrutis a → ja b → on vektor, mis on samaaegselt risti nii a → kui ka b → . Selle ülesande lahendamiseks kasutatakse vektorkorrutist a → × b →. Kolmemõõtmelise ruumi jaoks on see kujul a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Analüüsime vektorkorrutist üksikasjalikumalt ülesande näitel.

Näide 7

Vektorid b → = (0 , 2 , 3) ​​ja a → = (2 , 1 , 0) on antud. Otsige samaaegselt mis tahes andmetega risti oleva vektori koordinaadid.

Otsus

Lahendamiseks tuleb leida vektorite ristkorrutis. (Tuleb viidata lõikele maatriksdeterminantide arvutused vektori leidmiseks). Saame:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Vastus: (3 , - 6 , 4) - vektori koordinaadid, mis on samaaegselt risti antud a → ja b → .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Vektorite perpendikulaarsuse tingimus

Vektorid on risti siis ja ainult siis, kui nende punktkorrutis on null.

Antud on kaks vektorit a(xa;ya) ja b(xb;yb). Need vektorid on risti, kui avaldis xaxb + yayb = 0.

Vektorid on paralleelsed, kui nende ristkorrutis on null

Tasapinna sirgjoone võrrand. Põhiülesanded tasapinnal sirgel.

Suvalise tasapinna sirge saab anda esimest järku võrrandiga Ax + Vy + C = 0 ning konstandid A, B ei ole samal ajal võrdsed nulliga, s.t. A2 + B2  0. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldvõrrand otse. Olenevalt väärtustest konstant A, B ja C on võimalikud järgmised erijuhud: - C = 0, A  0, B  0 - joon läbib alguspunkti - A = 0, B  0, C  0 ( Autor

C \u003d 0) - sirgjoon on paralleelne Ox teljega - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - sirgjoon on paralleelne Oy teljega - B \u003d C \u003d 0, A  0 - sirge ühtib Oy teljega - A \u003d C \u003d 0, B  0 - sirge langeb kokku Ox teljega Sirge võrrandit saab esitada erinevaid vorme sõltuvalt mis tahes esialgsetest tingimustest.

Kui vähemalt üks koefitsientidest A, B, C ur-i Ax+By+C=0 on 0, ur-e
helistas mittetäielik. Sirge võrrandi vormi järgi saab hinnata selle asukohta
kuradi ohh. Võimalikud juhtumid:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) vastab sellele võrrandile, mis tähendab sirget
läbib päritolu
2 A=0 L: Wu+C=0 – tavaline v-r n=(0,B) on siit OX-teljega risti
sellest järeldub, et joon on paralleelne x-teljega
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - normaalne v-r n \u003d (A, 0) on siit OY-teljega risti
sellest järeldub, et joon on paralleelne y-teljega
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B = 0, C = 0 L: Ax = 0 (x = 0 (L = OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ei läbi alguspunkti ja lõikub
mõlemad teljed.

Võrrand otse" lennukis läbides kaks antud punktid ja:

Tasapindadevaheline nurk.

Determinantide arvutamine

Determinantide arvutamine põhineb nende teadaolevatel omadustel, mis kehtivad kõigi järkude determinantide kohta. Need omadused on:

1. Kui korraldate determinandi kaks rida (või kaks veergu), muudab determinandi märki.

2. Kui determinandi kahe veeru (või kahe rea) vastavad elemendid on võrdsed või võrdelised, siis on determinant võrdne nulliga.

3. Determinandi väärtus ei muutu, kui ridu ja veerge vahetatakse, säilitades nende järjestuse.

4. Kui mis tahes rea (või veeru) kõigil elementidel on ühine tegur, siis saab selle determinandi märgist välja võtta.

5. Determinandi väärtus ei muutu, kui ühe rea (või veeru) elementidele lisatakse teise rea (või veeru) vastavad elemendid, korrutades sama arvuga.

Maatriks ja tegevus nende peal

Maatriks- matemaatiline objekt, mis on kirjutatud ristkülikukujulise arvude (või ringelementide) tabeli kujul ja võimaldab selle ja teiste sarnaste objektide vahel algebralisi tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine jne). Tavaliselt esitatakse maatriksid kahemõõtmeliste (ristkülikukujuliste) tabelitega. Mõnikord võetakse arvesse mitmemõõtmelisi või mitteristkülikukujulisi maatrikseid.

Tavaliselt tähistatakse maatriksit suur algustäht Ladina tähestik ja eraldage sulgudega "(...)" (seal on ka valik nurksulud"[…]" või topeltsirged "||…||").

Maatriksi moodustavad numbrid (maatriksi elemendid) on sageli tähistatud sama tähega, mis maatriks ise, kuid väiketähtedega (näiteks a11 on maatriksi A element).

Maatriksi igal elemendil on 2 alaindeksit (aij) – esimene "i" tähistab selle rea numbrit, milles element asub, ja teine ​​"j" on veeru number. Nad ütlevad "mõõtmemaatriks", mis tähendab, et maatriksil on m rida ja n veergu. Alati samas maatriksis

Maatrikstehted

Olgu aij maatriksi A elemendid ja bij maatriksi B elemendid.

Lineaarsed operatsioonid:

Maatriksi A korrutamine arvuga λ (tähistus: λA) seisneb maatriksi B koostamises, mille elemendid saadakse maatriksi A iga elemendi korrutamisel selle arvuga, st maatriksi B iga element on võrdne juurde

Maatriksite A + B liitmine on maatriksi C leidmise tehe, mille kõik elemendid on võrdsed maatriksite A ja B kõigi vastavate elementide paarikaupa summaga, st maatriksi C iga element on võrdne

Maatriksite A − B lahutamine on defineeritud sarnaselt liitmisele, see on maatriksi C leidmise tehe, mille elemendid

Liitmine ja lahutamine on lubatud ainult sama suurusega maatriksite puhul.

On olemas nullmaatriks Θ selline, et selle liitmine teisele maatriksile A ei muuda A-d, s.t.

Kõik nullmaatriksi elemendid on võrdsed nulliga.

Mittelineaarsed operatsioonid:

Maatrikskorrutamine (tähis: AB, harvemini korrutusmärgiga) on tehe maatriksi C arvutamiseks, mille elemendid on võrdsed esimese teguri vastava rea ​​elementide korrutistega ja veeruga. teine.cij = ∑ aikbkj k

Esimesel kordajal peab olema sama palju veerge, kui on ridu teises. Kui maatriksil A on mõõde B - , siis nende korrutise AB = C mõõde on. Maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne.

Maatrikskorrutis on assotsiatiivne. Ainult ruutmaatriksiid saab tõsta astmeni.

Maatriksi transpositsioon (sümbol: AT) on toiming, mille käigus maatriksit peegeldub piki põhidiagonaali, st.

Kui A on suurusmaatriks, siis AT on suurusmaatriks

Tuletis keeruline funktsioon

Kompleksfunktsioon on kujul: F(x) = f(g(x)), st. on funktsiooni funktsioon. Näiteks y = sin2x, y = ln(x2+2x) jne.

Kui punktis x on funktsioon g (x) tuletis g "(x) ja punktis u \u003d g (x) on funktsioonil f (u) tuletis f" (u), siis tuletis kompleksfunktsioon f (g (x)) punktis x on olemas ja võrdub f"(u)g"(x).

Tuletis kaudne funktsioon

Paljudes ülesannetes on funktsioon y(x) määratud kaudselt. Näiteks allolevate funktsioonide jaoks

sõltuvust y(x) on võimatu selgesõnaliselt saada.

Implitsiitse funktsiooni tuletise y "(x) arvutamise algoritm on järgmine:

Esiteks peate diferentseerima võrrandi mõlemad pooled x-i suhtes, eeldades, et y on x-i diferentseeruv funktsioon ja kasutades kompleksfunktsiooni tuletise arvutamise reeglit;

Lahendage saadud võrrand tuletise y "(x" suhtes).

Vaatame illustreerimiseks mõnda näidet.

Eristage võrrandiga antud funktsioon y(x).

Eristage võrrandi mõlemad pooled muutuja x suhtes:

mis viib tulemuseni

Lapitali reegel

L'Hopitali reegel. Olgu f-tioonil f(x) ja g(x) ümbrikus. t-ki x0 pr-nye f’ ja g’, välistades just selle t-ku x0 võimaluse. Olgu lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0, nii et f(x)/g(x) x®x0 korral annab 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), kui see langeb kokku funktsiooni lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim suhte piiriga (x®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Funktsiooni monotoonsuse kriteerium, millel on intervalli tuletis) Olgu funktsioon pidev edasi

(a,b) ja sellel on igas punktis tuletis f"(x). Siis

1)f suureneb (a,b) võrra siis ja ainult siis

2) väheneb punktis (a,b) siis ja ainult siis

2. (Piisav seisukord funktsiooni range monotoonsus, millel on intervalli tuletis) Olgu funktsioon on pidev punktis (a,b) ja tal on tuletis f"(x) igas punktis. Siis

1) kui siis f on rangelt kasvav punktis (a,b);

2) kui siis f on (a,b) rangelt kahanev.

Vastupidine ei ole üldiselt tõsi. Rangelt monotoonse funktsiooni tuletis võib kaduda. Punktide hulk, mille tuletis ei ole võrdne nulliga, peab aga intervallil (a,b) olema tihe. Täpsemalt, see toimub.

3. (Intervalli tuletist omava funktsiooni range monotoonsuse kriteerium) Olgu ja tuletis f"(x) on defineeritud kõikjal intervallis. Siis f suureneb rangelt intervallil (a,b) siis ja ainult siis, kui on täidetud järgmised kaks tingimust:

Vektorite skalaarkorrutis. Nurk vektorite vahel. Vektorite paralleelsuse või perpendikulaarsuse tingimus.

Vektorite skalaarkorrutis on nende pikkuste ja nendevahelise nurga koosinus korrutis:

Täpselt samamoodi nagu planimeetrias, tõestatakse järgmised väited:

Kahe nullist erineva vektori skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis, kui need vektorid on risti.

Vektori punktruut ehk iseenda ja iseenda punktkorrutis on võrdne selle pikkuse ruuduga.

Kahe vektori skalaarkorrutist, mis on antud nende koordinaatidega, saab arvutada valemiga

Vektorid on risti siis ja ainult siis, kui nende punktkorrutis on null. Näide. Arvestades kaks vektorit ja . Need vektorid on risti, kui avaldis x1x2 + y1y2 = 0. Nullist erineva vektorite vaheline nurk on nurk nende joonte vahel, mille jaoks need vektorid on juhikuteks. Nurka mis tahes vektori ja nullvektori vahel loetakse definitsiooni järgi võrdseks nulliga. Kui vektorite vaheline nurk on 90°, siis nimetatakse selliseid vektoreid risti. Vektorite vahelist nurka tähistatakse järgmiselt: