väike. Kuna koos font-size:14.0pt">~ (vt ), siis ~ .

Seda arvestades saame:

nii et seeria läheb lahku.

D) font-size:14.0pt">,

seega seeria läheb lahku.

Seisund on an vajalik, aga mitte piisavalt seeria konvergentsi tingimus: on rida seeriaid, mille jaoks, kuid mis siiski erinevad.

Näide 3 Uurige seeria font-size:14.0pt"> lähenemist Otsus. Märka seda https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , st vajalik konvergentsitingimus on täidetud. osaline summa

vasakule>

- üks kord

nii font-size:14.0pt">, mis tähendab, et seeria on määratluse järgi erinev.

Piisavad tingimused märgipositiivsete ridade konvergentsi jaoks

Las olla . Siis sarifont-size:14.0pt"> Võrdlusmärk

Las olla ja on märgipositiivsed seeriad. Kui ebavõrdsus on kõigi jaoks rahuldatud, siis seeriate konvergents tuleneb ridade lähenemisest ja ridade lahknemisest

See märk jääb kehtima, kui ebavõrdsus https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, kuid ainult alates mõnest arvust . Seda saab tõlgendada järgmiselt: kui suurem jada koondub, siis koondub väiksem jada seda enam, kui väiksem jada lahkneb, siis lahkneb ka suurem.

Näide 4 Uurige ridade konvergentsi 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Otsus.

A) Pange tähele, et font-size:14.0pt"> kõigi jaoks . Ühise terminiga sari

B) Võrrelge rida reaga ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> lahkneb, seega lahkneb ka seeria.

Vaatamata võrdluskriteeriumi sõnastuse lihtsusele on praktikas mugavam järgmine teoreem, mis on selle tagajärg.

Võrdluse piirmärk

Las olla https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – positiivne seeria. Kui see on olemas lõplik ja nullist erinev limiit , siis mõlemad read ja

lähenevad samal ajal või lahknevad samal ajal.

Andmetega võrdlemiseks kasutatav seeriana vormi seeria . Sellist sarja nimetatakse Dirichleti lähedal. Näidetes 3 ja 4 näidati, et Dirichlet' seeria koos ja lahkneb. Praegu saab-

öelda, et rida on font-size:14.0pt"> .

Kui , siis rida helistas harmooniline. Harmooniliste jada lahkneb.

Näide 5 Konvergentsiridade uuriminekasutades piirmäärade võrdluskriteeriumi, kui

Otsus. a) Kuna piisavalt suure https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src="> ja

~ siis ~ font-size:14.0pt">võrdlus antud harmooniliste seeriatega font-size:14.0pt">, st .

font-size:14.0pt"> Kuna piirang on lõplik ja nullist erinev ning harmooniliste jada lahkneb, siis ka see jada lahkneb.

B) Piisavalt suure https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31" jaoks src=">.gif" width="132" height="64 src="> on seeria tavaline liige, millega seda võrrelda:

Font-size:14.0pt">Seeria läheneb ( Dirichleti rida fondi suurusega:16.0pt">), seega ka see seeria läheneb.

AT) , nii ääretult väike font-size:14.0pt"> saate

asendada väärtusega, mis on samaväärne sellega(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> koos font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G )

;

.

Selliseid summasid nimetatakse lõputud read ja nende tingimused on seeria tingimused. (Ellips tähendab, et terminite arv on lõpmatu.) Keeruliste matemaatiliste ülesannete lahendusi saab harva esitada valemite abil täpsel kujul. Kuid enamikul juhtudel saab need lahendused kirjutada seeriatena. Pärast sellise lahenduse leidmist võimaldavad seeriateooria meetodid hinnata, mitu liiget reast konkreetsete arvutuste jaoks võtta või kuidas vastus kõige mugavamal kujul kirjutada. Arvridade kõrval saame käsitleda nn. funktsionaalsed read, mille terminid on funktsioonid . Paljusid funktsioone saab esitada funktsiooniseeriate abil. Arv- ja funktsionaalridade uurimine on arvutuse oluline osa.

Näidetes (1) ja (2) on suhteliselt lihtne ära arvata, millise seaduse järgi järjestikused terminid moodustuvad. Rea liikmete moodustamise seadus võib olla palju vähem ilmne. Näiteks seeria (3) puhul selgub, kas see seeria on kirjutatud järgmisel kujul:

Lähenevad read.

Kuna rea ​​lõputu arvu terminite liitmine on füüsiliselt võimatu, tuleb kindlaks teha, mida täpselt tuleks mõista lõpmatu rea summa. Võib ette kujutada, et neid liitmise ja lahutamise tehteid tehakse järjestikku, üksteise järel, näiteks arvutis. Kui saadud summad (osasummad) lähenevad teatud arvule järjest lähemale, siis on seda arvu mõistlik nimetada lõpmatu rea summaks. Seega võib lõpmatu jada summat määratleda osasummade jada piirina. Veelgi enam, sellist seeriat nimetatakse koonduvaks.

Seeriate (3) summa leidmine pole keeruline, kui märkate, et teisendatud jada (4) saab kirjutada järgmiselt

Seeriate (5) järjestikused osasummad on

jne.; näete, et osasummad kipuvad olema 1. Seega see jada läheneb ja selle summa on 1.

Lõpmatute jadate näitena vaadelge lõpmatuid kümnendmurde. Niisiis, 0,353535... on lõpmatu korduv kümnendmurd, mis on kompaktne viis seeria kirjutamiseks

Järjestikuste liikmete moodustamise seadus on siin selge. Samamoodi tähendab 3.14159265...

kuid seeria järgnevate liikmete moodustamise seadus pole siin ilmne: numbrid moodustavad arvu kümnendlaiendi lk, ja raske on kohe öelda, mis on näiteks 100 000. number, kuigi teoreetiliselt saab seda arvu välja arvutada.

Lahknevad read.

Öeldakse, et lõpmatu jada, mis ei koondu, lahkneb (sellist jada nimetatakse lahknev). Näiteks rida

lahkneb, kuna selle osasummad on 1/2, 1, 1 1/2 , 2,.... Need summad ei kipu piirmääraks ühelegi arvule, kuna seeriast piisavalt liikmeid võttes saame teha osalise summa, ükskõik kui suur. Rida

ka lahkneb, kuid erineval põhjusel: selle seeria osasummad muutuvad vaheldumisi 1-ks, seejärel 0-ks ega kipu piirini.

Summeerimine.

Konvergentse jada summa leidmine (antud täpsusega) selle tingimuste järjestikuse summeerimise teel, kuigi teoreetiliselt võimalik, on seda praktiliselt raske rakendada. Näiteks rida

koondub ja selle summa kümnendkoha täpsusega on 1,6449340668, kuid selle täpsusega arvutamiseks oleks vaja võtta u. 20 miljardit liiget. Sellised seeriad võetakse tavaliselt kokku nii, et esmalt transformeeritakse need erinevate tehnikate abil. Sel juhul kasutatakse algebralisi või arvutusmeetodeid; Näiteks võib näidata, et seeria (8) summa on võrdne lk 2 /6.

Märge.

Lõpmatute seeriatega töötamisel on kasulik kasutada mugavat tähistust. Näiteks võib seeria (8) lõppsumma kirjutada järgmiselt

See kirje näitab, et n järjestikku 1, 2, 3, 4 ja 5 ning tulemused liidetakse:

Sarnaselt saab seeriat (4) kirjutada kui

kus sümbol Ґ näitab, et tegemist on lõpmatu seeriaga, mitte selle lõpliku osaga. Sümbolit S (sigma) nimetatakse liitmismärgiks.

Lõpmatu geomeetriline progressioon.

Saime seeria (4) liita, kuna selle osasummade jaoks oli lihtne valem. Samamoodi võib leida seeriate (2) summa või üldiselt

kui r võtab väärtused vahemikus –1 ja 1. Sel juhul on seeria (9) summa võrdne 1/(1 – r); muude väärtuste jaoks r seeria (9) lahkneb.

Võite mõelda perioodilistele kümnendkohtadele nagu 0,353535... kui veel üks viis lõputu geomeetrilise progressiooni kirjutamiseks.

Seda väljendit saab kirjutada ka kui

kus seeria (9) koos r= 0,01; seetõttu on seeria (10) summa võrdne

Samamoodi saab mis tahes perioodilist kümnendmurdu esitada hariliku murruna.

Ühinemise märgid.

Üldjuhul ei ole lõpmatu jada osasummade jaoks lihtsat valemit, seetõttu kasutatakse ridade konvergentsi või lahknemise tuvastamiseks spetsiaalseid meetodeid. Näiteks kui rea kõik liikmed on positiivsed, siis saab näidata, et seeria koondub, kui ükski selle liige ei ületa teise rea vastavat liiget, mis teadaolevalt koondub. Aktsepteeritud tähistuses võib selle kirjutada järgmiselt: kui a n i 0 ja koondub, siis koondub, kui 0 j b n Ј a n. Näiteks kuna seeria (4) koondub ja

siis võime järeldada, et ka seeria (8) läheneb. Võrdlus on peamine meetod paljude ridade konvergentsi kindlakstegemiseks, võrreldes neid kõige lihtsamate koonduvate ridadega. Mõnikord kasutatakse erilisemaid lähenemiskriteeriume (neid võib leida seeriateooria kirjandusest.) Siin on veel paar näidet positiivsete terminitega koonduvatest ridadest:

Võrdlust saab kasutada ka seeria lahknevuse kindlakstegemiseks. Kui jada lahkneb, siis lahkneb ka seeria, kui 0 J b n Ј a n.

Erinevate seeriate näideteks on seeriad

ja eriti alates harmooniline seeria

Selle seeria lahknemist saab kontrollida järgmiste osasummade loendamisega:

jne. Seega osasummad, mis lõpevad sõnadega 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j, ületavad lahkneva jada (6) osasummasid ja seetõttu peab jada (14) lahknema.

Absoluutne ja tingimuslik lähenemine.

Selliste joonte jaoks nagu

võrdlusmeetod ei ole rakendatav, kuna selle seeria terminitel on erinevad märgid. Kui kõik ridade (15) liikmed oleksid positiivsed, saaksime seeria (3), mis teatavasti koonduvad. Võib näidata, et see tähendab ka ridade (15) lähenemist. Kui seeria negatiivsete liikmete märke vastupidisteks muutes saab selle muuta konvergentseks, siis öeldakse, et algseeria ühtlustub absoluutselt.

Vahelduv harmooniline jada (1) ei ole absoluutselt konvergentne, kuna seeria (14), mis koosneb samadest, kuid ainult positiivsetest terminitest, ei koondu. Kuid vahelduvate ridade spetsiaalsete konvergentsikriteeriumide abil saab näidata, et seeria (1) tegelikult läheneb. Nimetatakse koonduvat jada, mis ei koondu absoluutselt tinglikult koonduvad.

Tehted ridadega.

Konvergentse jada definitsiooni põhjal on lihtne näidata, et selle konvergentsi ei rikuta, kustutades või määrates sellele lõpliku arvu termineid, samuti korrutades või jagades kõik seeria liikmed sama arvuga ( loomulikult on 0-ga jagamine välistatud). Absoluutselt koonduva jada tingimuste mis tahes ümberkorraldamisel ei rikuta selle lähenemist ja summa ei muutu. Näiteks kuna seeria (2) summa on 1, on seeria summa

on samuti võrdne 1-ga, kuna see seeria saadakse seeriast (2), vahetades naabertermineid (1. liige teisega jne). Absoluutselt koonduva seeria liikmete järjestust saate meelevaldselt muuta, kui kõik algseeria liikmed on uues seerias olemas. Teisest küljest võib tingimuslikult koonduva jada tingimuste ümberkorraldamine muuta selle summat ja isegi muuta selle lahknevaks. Pealegi saab tinglikult koonduva jada tingimusi alati ümber korraldada nii, et see läheneb mis tahes ettemääratud summale.

Kaks koonduvat seeriat S a n ja S b n saab liita (või lahutada) termini haaval, nii et uute seeriate summa (mis ka koondub) liidetakse meie tähistuses esialgsete seeriate summadele

Lisatingimustel, näiteks kui mõlemad seeriad koonduvad absoluutselt, saab neid omavahel korrutada, nagu tehakse lõplike summade puhul, ja saadud topeltread ( vaata allpool) läheneb algseeria summade korrutisele.

Summeeritavus.

Hoolimata asjaolust, et meie määratlus lõpmatu rea konvergentsi kohta tundub loomulik, pole see ainus võimalik. Lõpmatu jada summat saab määrata ka muul viisil. Vaatleme näiteks seeriat (7), mida saab kompaktselt kirjutada kui

Nagu me juba ütlesime, võtavad selle osasummad vaheldumisi väärtusi 1 ja 0 ning seetõttu seeriad ei lähene. Aga kui moodustame selle osasummadest vaheldumisi paaripõhised keskmised (praegune keskmine), st. Kui arvutame esmalt esimese ja teise osasumma keskmise, seejärel teise ja kolmanda, kolmanda ja neljanda jne keskmise, siis on iga selline keskmine võrdne 1/2-ga ja seega paaripõhiste keskmiste piir. samuti olema võrdne 1/2-ga. Sel juhul öeldakse, et seeria on määratud meetodil liidetav ja selle summa võrdub 1/2-ga. Välja on pakutud palju liitmise meetodeid, mis võimaldavad omistada summasid üsna suurtele lahknevate ridade klassidele ja seega kasutada arvutustes mõnda lahknevat rida. Enamikul eesmärkidel on summeerimismeetod kasulik, kuid ainult siis, kui see annab koonduvale seeriale selle lõpliku summa.

Keeruliste terminitega sari.

Seni oleme vaikimisi eeldanud, et tegemist on ainult reaalarvudega, kuid kompleksarvudega jadadele kehtivad kõik definitsioonid ja teoreemid (v.a see, et tinglikult koonduvate jadade liikmeid ümber paigutades saadavad summad ei saa võtta suvalisi väärtusi).

funktsionaalsed read.

Nagu me juba märkisime, võivad lõpmatu jada liikmed olla mitte ainult numbrid, vaid ka funktsioonid, näiteks

Sellise jada summa on ka funktsioon, mille väärtus igas punktis saadakse selles punktis arvutatud osasummade piiriks. Joonisel fig. 1 näitab mitme osasumma ja rea ​​summa graafikuid (koos x, varieerub vahemikus 0 kuni 1); s n(x) tähendab esimese summat n liikmed. Jada summa on funktsioon, mis võrdub 1-ga 0 J juures x x = 1. Funktsionaalread võivad samade väärtuste korral koonduda x ja ei nõustu teistega; meie näites koondub seeria –1J x x.

Funktsionaalrea summat saab mõista erinevalt. Mõnel juhul on olulisem teada, et osasummad on (ühes või teises mõttes) lähedased mõnele funktsioonile kogu intervallil ( a, b) kui tõestada ridade lähenemist või lahknemist üksikutes punktides. Näiteks osalise summa tähistamine n- järjekord läbi s n(x), ütleme, et seeria läheneb keskmises ruudus summale s(x), kui

Seeria võib keskmises ruudus läheneda isegi siis, kui see ei koondu üheski punktis. Funktsionaalrea konvergentsi definitsioone on ka teisi.

Mõned funktsionaalsed seeriad on nimetatud nendes sisalduvate funktsioonide järgi. Näitena võime tuua astmeread ja nende summad:

Esimene neist seeriatest ühtib kõigi jaoks x. Teine rida koondub | x| r x r x| Ј 1 kui r> 0 (välja arvatud siis, kui r on mittenegatiivne täisarv; viimasel juhul lõpeb seeria pärast lõplikku arvu termineid). Valemit (17) nimetatakse suvalise astme binoomlaiendiks.

Dirichlet sari.

Dirichlet seeriad on funktsionaalsed seeriad kujul S (1/ a n x), kus numbrid a n piiramatult suureneda; Dirichleti seeria näide on Riemanni zeta funktsioon

Dirichlet-seeriaid kasutatakse sageli arvuteoorias.

trigonomeetrilised seeriad.

See on trigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate funktsionaalsete seeriate nimi; Harmooniliste analüüsis kasutatavate eritüüpi trigonomeetrilisi jadaid nimetatakse Fourier' jadadeks. Fourier' seeria näide on seeria

F( x), millel on järgmine omadus: kui võtta seeria (18) konkreetne osasumma, näiteks selle kolme esimese liikme summa, siis vahe f(x) ja see osasumma, mis on arvutatud mõne väärtuse jaoks x, on kõigi väärtuste puhul väike x 0 lähedal. Teisisõnu, kuigi me ei saa funktsiooni head lähendust saavutada f(x) mis tahes konkreetses punktis x, kaugel nullist, võttes isegi väga palju seeria termineid, kuid x 0 lähedal, vaid mõned selle liikmed annavad väga hea lähenduse. Selliseid ridu nimetatakse asümptootiline. Numbrilistes arvutustes on asümptootilised jadad tavaliselt kasulikumad kui koonduvad jadad, kuna need annavad väikese arvu terminite abil üsna hea lähenduse. Asümptootilisi seeriaid kasutatakse laialdaselt tõenäosusteoorias ja matemaatilises füüsikas.

Topeltrida.

Mõnikord tuleb kahemõõtmelised arvumassiivid kokku võtta

Saame ridade kaupa summeerida ja seejärel ridade summad liita. Üldiselt ei ole meil erilist põhjust eelistada ridu veergudele, kuid kui summeerida enne veergude üle, võib tulemus olla erinev. Näiteks kaaluge kahekordset rida

Siin koondub iga rida summale, mis on võrdne 0-ga ja seetõttu on ka ridade summade summa võrdne nulliga. Teisest küljest on esimese veeru liikmete summa 1 ja kõigi teiste veergude summa on 0, seega on veergude summade summa 1. Ainsad "mugavad" koonduvad topeltread on absoluutselt koonduvad topeltread : neid saab summeerida nii ridade või veergude kaupa kui ka muul viisil ja summa on alati sama. Topeltridade tingimuslikul konvergentsil puudub loomulik määratlus.

Põhimääratlused.

Definitsioon. Nimetatakse lõpmatu arvujada liikmete summat numbriline seeria.

Samas numbrid
nimetatakse sarja liikmeteks ja u n on sarja tavaline liige.

Definitsioon. Summad
,n = 1, 2, … helistas eraõiguslikud (osalised) summad rida.

Seega on võimalik arvestada seeriate osasummade jadasid S 1 , S 2 , …, S n , …

Definitsioon. Rida
helistas koonduvad kui selle osasummade jada läheneb. Konvergentsete ridade summa on selle osasummade jada piir.

Definitsioon. Kui jada osasummade jada lahkneb, s.o. millel pole piirangut või on lõpmatu piir, siis nimetatakse seeriat lahknev ja talle pole määratud summat.

rea omadused.

1) Kui muudate, loobute või lisate reas lõpliku arvu termineid, seeriate lähenemist või lahknemist ei rikuta.

2) Vaatleme kahte rida
ja
, kus C on konstantne arv.

Teoreem. Kui rida
koondub ja selle summa onS, siis rida
samuti koondub ja selle summa on CS. (C  0)

3) Kaaluge kahte rida
ja
.summa või erinevus neid ridu nimetatakse ridadeks
, kus elemendid saadakse samade arvudega algelementide liitmise (lahutamise) tulemusena.

Teoreem. Kui read
ja
koonduvad ja nende summad on vastavalt võrdsed.Sja , siis rida
samuti koondub ja selle summa on võrdneS +  .

Kahe koonduva jada erinevusest saab samuti koonduv jada.

Konvergentse ja lahkneva jada summast saab lahknev jada.

Kahe lahkneva rea ​​summa kohta on võimatu teha üldist väidet.

Seeriate uurimisel lahendatakse peamiselt kaks ülesannet: konvergentsi uurimine ja ridade summa leidmine.

Cauchy kriteerium.

(vajalikud ja piisavad tingimused ridade koondumiseks)

Selleks, et jada
oli konvergentne, on vajalik ja piisav, et mis tahes
oli numberN, mis kln > Nja mis taheslk> 0, kus p on täisarv, kehtiks järgmine ebavõrdsus:

.

Tõestus. (vaja)

Las olla
, siis mis tahes numbri jaoks
on selline arv N, et ebavõrdsus

teostatakse n>N jaoks. Kui n>N ja mis tahes täisarv p>0, kehtib ka ebavõrdsus
. Arvestades mõlemat ebavõrdsust, saame:

Vajadus on tõestatud. Me ei arvesta piisavuse tõestusega.

Sõnastame seeria jaoks Cauchy kriteeriumi.

Selleks, et number
oli konvergentne vajalik ja piisav, et mis tahes
oli numberNselline, et kln> Nja mis taheslk>0 rahuldaks ebavõrdsust

.

Praktikas pole aga Cauchy kriteeriumi otsene kasutamine kuigi mugav. Seetõttu kasutatakse reeglina lihtsamaid lähenemiskriteeriume:

1) Kui rida
koondub, on vajalik, et ühine termin u n graviteeritud nulli poole. Sellest tingimusest aga ei piisa. Võime vaid öelda, et kui üldmõiste ei kipu nulli, siis seeriad lähevad täpselt lahku. Näiteks nn harmoonilised seeriad on lahknev, kuigi selle ühine termin kipub olema null.

Näide. Uurige seeria konvergentsi

Otsime üles
- vajalik konvergentsi kriteerium ei ole täidetud, mis tähendab, et jada lahkneb.

2) Kui jada läheneb, siis on selle osasummade jada piiratud.

Sellest funktsioonist aga ei piisa.

Näiteks seeria 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… lahkneb, kuna selle osasummade jada lahkneb seetõttu, et

Sel juhul on aga osasummade jada piiratud, sest
iga n.

Mittenegatiivsete terminitega sari.

Konstantse märgiga seeriate uurimisel piirdume mittenegatiivsete terminitega seeriate käsitlemisega, kuna kui lihtsalt korrutada -1-ga, saab neid seeriaid kasutada negatiivsete terminitega seeriate saamiseks.

Teoreem. Seeriate lähendamiseks
mittenegatiivsete terminitega on vajalik ja piisav, et ridade osasummad oleksid piiratud.

Mittenegatiivsete terminitega seeriate võrdlusmärk.

Olgu kaks rida
ja
juures u n , v n  0 .

Teoreem. Kui a u n  v n iga n, siis seeriate konvergentsist
järgib seeria konvergentsi
, ja seeriate lahknemisest
järgib seeria lahknemist
.

Tõestus. Tähistage S n ja  n seeriate osalised summad
ja
. Sest teoreemi järgi jada
koondub, siis on selle osasummad piiratud, st kõigi jaoks n n  M, kus M on mingi arv. Aga kuna u n  v n, siis S n   n siis seeria osasummad
on samuti piiratud ja sellest piisab lähenemiseks.

Näide. Konvergentsiridade uurimine

Sest
ja harmoonilised seeriad lahkneb, siis seeria lahkneb
.

Näide.

Sest
, ja rida
koondub (kahaneva geomeetrilise progressioonina), seejärel jada
koondub ka.

Kasutatakse ka järgmist lähenemiskriteeriumi:

Teoreem. Kui a
ja seal on piir
, kushon nullist erinev arv, siis seeria
ja
konvergentsi seisukohalt samamoodi käituma.

d'Alemberti märk.

(Jean Leron d'Alembert (1717–1783) – prantsuse matemaatik)

Kui seeria jaoks
positiivsete terminite korral on arvq<1, что для всех достаточно больших nebavõrdsus

siis sari
koondub, kui see on kõigi jaoks piisavalt suurntingimus

siis sari
lahkneb.

D'Alemberti piirav märk.

Piirav d'Alemberti test on ülaltoodud d'Alemberti testi tagajärg.

Kui on piir
, siis kl < 1 ряд сходится, а при  > 1 – lahkneb. Kui a = 1, siis ei saa konvergentsi küsimusele vastata.

Näide. Määrake seeria konvergents .

Järeldus: seeria läheneb.

Näide. Määrake seeria konvergents

Järeldus: seeria läheneb.

Cauchy märk. (radikaalne omadus)

Kui seeria jaoks
mittenegatiivsete terminitega on olemas arvq<1, что для всех достаточно больших nebavõrdsus

,

siis sari
koondub, kui see on kõigi jaoks piisavalt suurnebavõrdsus

siis sari
lahkneb.

Tagajärg. Kui on piir
, siis kell <1 ряд сходится, а при >1 rida läheb lahku.

Näide. Määrake seeria konvergents
.

Järeldus: seeria läheneb.

Näide. Määrake seeria konvergents
.

Need. Cauchy kriteerium ei vasta küsimusele seeria konvergentsi kohta. Kontrollime vajalike konvergentsitingimuste täitmist. Nagu eespool mainitud, kui seeria koondub, siis seeria ühine liige kipub nulli.

,

seega ei ole konvergentsi vajalik tingimus täidetud, mis tähendab, et jada lahkneb.

Integraalne Cauchy test.

Kui a (x) on pidev positiivne funktsioon, mis intervallil väheneb ja
siis integraalid
ja
käituvad konvergentsi osas samamoodi.

Muutuvad read.

Vahelduvad read.

Vahelduva seeria võib kirjutada järgmiselt:

kus

Leibnizi märk.

Kui vahelduv seeria absoluutväärtusedu i vähenema
ja tavaline termin kipub olema null
, siis seeria läheneb.

Jadade absoluutne ja tingimuslik lähenemine.

Mõelge mõnele vahelduvale seeriale (suvaliste märkide tingimustega).

(1)

ja seeria, mis koosneb seeria tingimuste absoluutväärtustest (1):

(2)

Teoreem. Seeriate (2) lähenemine tähendab ridade (1) lähenemist.

Tõestus. Seeria (2) on mittenegatiivsete terminite kõrval. Kui jada (2) läheneb, siis Cauchy kriteeriumi järgi on iga >0 jaoks arv N, nii et n>N ja mis tahes täisarvu p>0 korral on järgmine ebavõrdsus tõene:

Absoluutväärtuste omaduse järgi:

See tähendab, et Cauchy kriteeriumi kohaselt tähendab seeriate (2) lähenemine ridade (1) lähenemist.

Definitsioon. Rida
helistas absoluutselt konvergentne kui seeria läheneb
.

Ilmselgelt langevad konvergentsi ja absoluutse lähenemise mõisted konstantse märgi seeriate puhul kokku.

Definitsioon. Rida
helistas tinglikult koonduvad, kui see läheneb, ja seeria
lahkneb.

d'Alemberti ja Cauchy testid vahelduvate seeriate jaoks.

Las olla
- vahelduvad seeriad.

d'Alemberti märk. Kui on piir
, siis kell <1 ряд
on absoluutselt konvergentne ja kui >

Cauchy märk. Kui on piir
, siis kell <1 ряд
on absoluutselt konvergentne ja kui >1, on seeria lahknev. Kui =1, siis märk ei anna vastust seeria konvergentsi kohta.

Absoluutselt koonduvate ridade omadused.

1) Teoreem. Seeria absoluutseks lähenemiseks
on vajalik ja piisav, et seda saab esitada kahe mittenegatiivsete terminitega koonduva rea ​​erinevusena.

Tagajärg. Tinglikult koonduv jada on kahe lahkneva jada erinevus, mille mittenegatiivsed liikmed kipuvad olema nulli.

2) Konvergentses reas säilitab seeria tingimuste igasugune rühmitamine, mis ei muuda nende järjekorda, rea konvergentsi ja suurust.

3) Kui jada koondub absoluutselt, siis sellest mistahes terminite permutatsiooniga saadud jada koondub samuti absoluutselt ja on sama summaga.

Tinglikult koonduva jada tingimusi ümber paigutades saab tinglikult koonduva jada, millel on mis tahes ettemääratud summa, ja isegi lahkneva jada.

4) Teoreem. Absoluutselt koonduva jada liikmete mis tahes rühmitamisega (sel juhul võib rühmade arv olla nii lõplik kui ka lõpmatu ja liikmete arv rühmas võib olla kas lõplik või lõpmatu) saadakse koonduv jada, summa millest võrdub algseeria summaga.

5) Kui read ja koonduvad absoluutselt ja nende summad on vastavalt võrdsed. S ja , siis seeria, mis koosneb vormi kõigist korrutistest
mis tahes järjekorras võetuna läheneb ka absoluutselt ja selle summa on võrdne S - korrutatud seeriate summade korrutis.

Kui aga tinglikult koonduvaid jadasid korrutada, võib tulemuseks olla lahknev jada.

Funktsionaalsed järjestused.

Definitsioon. Kui seeria liikmed ei ole numbrid, vaid funktsioonid alates X, siis on seeria nn funktsionaalne.

Funktsionaalridade konvergentsi uurimine on keerulisem kui arvridade uurimine. Sama funktsionaalne seeria võib muutuja samade väärtuste korral X lähenevad ja teistes - lahknevad. Seetõttu taandatakse funktsionaalsete ridade lähenemise küsimus muutuja nende väärtuste määramisele. X mille jaoks seeria koondub.

Selliste väärtuste komplekti nimetatakse lähenemispiirkond.

Kuna iga jada konvergentsi piirkonda kuuluva funktsiooni piir on teatud arv, siis on funktsionaaljada piiriks teatud funktsioon:

Definitsioon. Järjekord ( f n (x) } koondub funktsioneerima f(x) lõigul , kui suvalise arvu >0 ja mis tahes punkti korral X vaadeldavast lõigust on olemas arv N = N(, x), nii et ebavõrdsus

teostatakse n>N jaoks.

Valitud väärtuse >0 korral vastab lõigu iga punkt oma numbrile ja seetõttu on lõigu kõikidele punktidele vastav lõpmatu arv arve. Kui valite kõigist nendest arvudest suurima, sobib see arv segmendi kõigi punktide jaoks, st. on kõigi punktide jaoks ühine.

Definitsioon. Järjekord ( f n (x) } koondub ühtlaselt funktsioneerima f(x) intervallil, kui suvalise arvu >0 korral on arv N = N(), nii et ebavõrdsus

sooritatakse n>N jaoks lõigu kõigi punktide jaoks.

Näide. Mõelge järjestusele

See jada koondub kogu arvteljel funktsioonile f(x)=0 , sest

Joonistame selle järjestuse:

sinx

Nagu näha, kui arv kasvab n jadagraafik läheneb teljele X.

funktsionaalsed read.

Definitsioon. Privaatsed (osalised) summad funktsionaalne vahemik
funktsioone nimetatakse

Definitsioon. Funktsionaalne vahemik
helistas koonduvad punktis ( x=x 0 ), kui selle osasummade jada selles punktis läheneb. Järjestuse piirang
helistas summa rida
punktis X 0 .

Definitsioon. Kõigi väärtuste kogum X, mille jaoks seeria koondub
helistas lähenemispiirkond rida.

Definitsioon. Rida
helistas ühtlaselt koonduvad lõigul, kui selle jada osasummade jada koondub sellele lõigule ühtlaselt.

Teoreem. (Cauchy-kriteerium rea ühtlaseks konvergentsiks)

Seeriate ühtseks koondumiseks
vajalik ja piisav mis tahes arvu jaoks >0 oli selline numberN( ), mis kelln> Nja mis tahes terviklk>0 ebavõrdsus

kehtiks kõigi x jaoks segmendis [a, b].

Teoreem. (Weierstrassi ühtne lähenemiskriteerium)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) – saksa matemaatik)

Rida
koondub ühtlaselt ja absoluutselt segmendile [a, b], kui selle sama lõigu liikmete moodulid ei ületa positiivsete liikmetega koonduva arvrea vastavaid liikmeid:

need. on ebavõrdsus:

.

Nad ütlevad ka, et antud juhul funktsionaalne seeria
majoriseeritud numbriline seeria
.

Näide. Konvergentsiridade uurimine
.

Nagu
alati on see ilmselge
.

On teada, et üldine harmooniline seeria koondub, kui =3>1, siis vastavalt Weierstrassi testile koondub uuritav jada ühtlaselt ja pealegi mis tahes intervalliga.

Näide. Konvergentsiridade uurimine .

Lõigul [-1,1] ebavõrdsus
need. Weierstrassi testi järgi lähenevad uuritavad jadad sellele lõigule ja lahknevad intervallidel (-, -1)  (1, ).

Ühtlaselt koonduvate ridade omadused.

1) Teoreem rea summa pidevuse kohta.

Kui sarja liikmed
- pidev intervallil [a, b] funktsiooni ja seeria koondub ühtlaselt, siis selle summaS(x) on pidev funktsioon intervallil [a, b].

2) Teoreem seeria terminite kaupa integreerimise kohta.

Ühtlaselt koonduv intervallil [a, b] pidevate terminitega seeriaid saab sellel lõigul termini haaval integreerida, s.t. jada, mis koosneb selle liikmete integraalidest vahemikus [a, b] , läheneb selle lõigu jada summa integraalile.

3) Teoreem seeria terminite kaupa eristamise kohta.

Kui sarja liikmed
koondumine segmendile [a, b] on pidevad funktsioonid pidevate tuletistega ja nendest tuletistest koosnev jada
koondub sellel intervallil ühtlaselt, siis koondub ka antud jada ühtlaselt ja seda saab termini kaupa eristada.

Põhineb asjaolul, et ridade summa on muutuja mingi funktsioon X, saate teha funktsiooni esitamise toimingu seeriana (funktsiooni laiendamine jadaks), mida kasutatakse laialdaselt integreerimisel, diferentseerimisel ja muudel funktsioonidega tehtavatel toimingutel.

Praktikas kasutatakse sageli funktsioonide laiendamist astmereas.

Jõuseeria.

Definitsioon. võimsus järgmine nimetatakse sarjaks

.

Astumusridade konvergentsi uurimiseks on mugav kasutada d'Alemberti testi.

Näide. Konvergentsiridade uurimine

Kasutame d'Alemberti märki:

.

Leiame, et see seeria läheneb
ja lahkneb kell
.

Nüüd defineerime konvergentsi piiripunktides 1 ja –1.

Kui x = 1:
Seeria läheneb Leibnizi testi järgi (vt joonis 1). Leibnizi märk.).

Kui x = -1:
seeria lahkneb (harmooniline jada).

Abeli ​​teoreemid.

(Niels Henrik Abel (1802-1829) – Norra matemaatik)

Teoreem. Kui jõuseeria
koondub kellx = x 1 , siis see läheneb ja pealegi absoluutselt kõigi jaoks
.

Tõestus. Teoreemi tingimuse järgi, kuna seeria tingimused on piiratud, siis

kus k on mingi konstantne arv. Järgmine ebavõrdsus on tõsi:

Sellest ebavõrdsusest on näha, et x< x 1 meie seeria liikmete arvväärtused on väiksemad (igal juhul mitte rohkem) kui ülalpool kirjutatud ebavõrdsuse paremal küljel olevad seeria vastavad liikmed, mis moodustavad geomeetrilise progressiooni. Selle progressi nimetaja teoreemi tingimusel on väiksem kui üks, seega on see progressioon koonduv jada.

Seetõttu järeldame võrdlustesti põhjal, et seeria
koondub, mis tähendab seeriat
ühtlustub absoluutselt.

Seega, kui võimsusseeria
koondub ühes punktis X 1 , siis koondub see absoluutselt pikkusega 2 intervalli mis tahes punktis keskendunud punktile X = 0.

Tagajärg. Kui kell x = x 1 seeria lahkneb, siis lahkneb see kõigi jaoks
.

Seega on iga astmerea jaoks olemas positiivne arv R, nii et kõigi jaoks X selline, et
seeria läheneb absoluutselt ja kõigi jaoks
rida läheb lahku. Sel juhul kutsutakse numbrit R lähenemisraadius. Intervalli (-R, R) nimetatakse konvergentsi intervall.

Pange tähele, et see intervall võib olla nii ühelt kui kahelt poolt suletud ja mitte suletud.

Lähenemisraadiuse saab leida järgmise valemi abil:

Näide. Leidke seeria lähenemisala

Lähenemisraadiuse leidmine
.

Seetõttu läheneb see seeria mis tahes väärtuse korral X. Selle seeria ühine termin kipub olema null.

Teoreem. Kui jõuseeria
läheneb positiivsele väärtusele x=x 1 , siis koondub see ühtlaselt mis tahes intervalli sees
.

Toimingud võimsussarjadega.

Teekannu read. Lahendusnäited

Kõik ellujäänud on oodatud teisele aastale! Selles õppetükis või õigemini õppetundide seerias õpime ridade haldamist. Teema pole eriti keeruline, kuid selle valdamiseks on teil vaja teadmisi esimesest kursusest, eelkõige peate mõistma mis on piir ja suutma leida kõige lihtsamad piirid. Samas pole midagi, selgituste käigus annan vastavad lingid vajalikele õppetundidele. Mõne lugeja jaoks võib matemaatiliste seeriate, lahendusmeetodite, märkide, teoreemide teema tunduda omapärane ja isegi pretensioonikas absurdne. Sel juhul ei pea te palju "laadima", aktsepteerime fakte nii, nagu need on, ja lihtsalt õpime lahendama tüüpilisi tavalisi ülesandeid.

1) Teekannu read, ja samovaridele kohe rahul :)

Teema ülikiireks ettevalmistamiseks on pdf formaadis kiirkursus, mille abil on tõesti võimalik praktikat "tõsta" vaid päevaga.

Arvjada mõiste

Üldiselt numbriseeria võib kirjutada nii:
Siin:
- summa matemaatiline ikoon;
– sarja ühine termin(pidage meeles seda lihtsat terminit);
- muutuja - "loendur". Kirje tähendab, et summeerimine toimub 1-st "pluss lõpmatuseni", see tähendab, et kõigepealt on meil, siis, siis ja nii edasi - lõpmatuseni. Muutuja või kasutatakse mõnikord muutuja asemel. Summeerimine ei pruugi alata ühest, mõnel juhul võib see alata nullist, kahest või ükskõik millisest naturaalarv.

Vastavalt muutujale "loendur" saab iga seeriat üksikasjalikult värvida:
– ja nii edasi lõpmatuseni.

Tingimused - See NUMBRID, mida nimetatakse liikmed rida. Kui need kõik ei ole negatiivsed (suurem kui null või sellega võrdne), siis sellist seeriat nimetatakse positiivne arvurida.

Näide 1

Muide, see on juba "lahing" ülesanne - praktikas on üsna sageli vaja salvestada mitu sarja liiget.

Esiteks, siis:
Siis, siis:
Siis, siis:

Protsessi võib jätkata lõputult, kuid vastavalt tingimusele oli vaja kirjutada seeria kolm esimest terminit, seega paneme vastuse kirja:

Pange tähele põhimõttelist erinevust numbrijada,
milles mõisteid ei summeerita, vaid neid käsitletakse sellisena.

Näide 2

Kirjutage seeria kolm esimest terminit

See on näide ise lahendamiseks, vastus on tunni lõpus.

Isegi näiliselt keerulise seeria puhul pole keeruline seda laiendatud kujul kirjeldada:

Näide 3

Kirjutage seeria kolm esimest terminit

Tegelikult täidetakse ülesannet suuliselt: vaimselt asendaja sarja üldnimetuses kõigepealt , siis ja . Lõpuks:

Jäta vastus nii parem on mitte lihtsustada seeria saadud tingimusi, st ei järgi toimingud: , , . Miks? Vastus vormis õpetajal palju lihtsam ja mugavam kontrollida.

Mõnikord on vastupidi

Näide 4

Siin pole selget lahendusalgoritmi. pead lihtsalt mustrit nägema.
Sel juhul:

Kontrollimiseks saab saadud seeriat laiendatud kujul “tagasi värvida”.

Kuid näide on iseseisva lahenduse jaoks pisut keerulisem:

Näide 5

Kirjutage summa ahendatud kujul rea ühise liikmega

Kontrollige uuesti, kirjutades seeria laiendatud kujul

Arvridade konvergents

Teema üks peamisi eesmärke on rea konvergentsi uurimine. Sel juhul on võimalikud kaks juhtumit:

1) Ridalahkneb. See tähendab, et lõpmatu summa võrdub lõpmatusega: kas summad üldiselt ei eksisteeri, nagu näiteks sarjas
(muide, siin on näide negatiivsete terminitega seeriast). Hea näide lahknevast numbriseeriast tuli tunni alguses: . Siin on üsna ilmne, et seeria iga järgmine liige on seega suurem kui eelmine ja sellest tulenevalt ka seeria lahkneb. Veel triviaalsem näide: .

2) Ridakoondub. See tähendab, et lõpmatu summa on võrdne mõnega lõplik number: . Palun: See seeria läheneb ja selle summa on null. Mõttekam näide on lõpmatult väheneb geomeetriline progressioon, meile teada juba kooliajast: . Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga: , kus on progressiooni esimene liige ja selle alus, mis reeglina kirjutatakse järgmiselt õige fraktsioonid. Sel juhul: , . Seega: Saadakse lõplik arv, mis tähendab, et jada koondub, mida oli vaja tõestada.

Kuid valdaval enamusel juhtudel leidke seeriate summa ei ole nii lihtne ja seetõttu kasutatakse praktikas seeriate konvergentsi uurimiseks spetsiaalseid märke, mis on teoreetiliselt tõestatud.

Sarja lähenemise kohta on mitmeid märke: vajalik kriteerium seeria konvergentsi jaoks, võrdluskriteeriumid, d'Alemberti kriteerium, Cauchy kriteeriumid, Leibnizi märk ja mõned muud märgid. Millal millist märki rakendada? See sõltub sarja üldterminist, piltlikult öeldes - sarja "täidisest". Ja varsti paneme kõik riiulitele.

! Edasiseks õppimiseks on vaja aru hästi, mis on piir ja on hea, kui vormi määramatust saab paljastada. Materjali kordamiseks või uurimiseks vaadake artiklit Piirid. Lahendusnäited.

Vajalik kriteerium ridade konvergentsi jaoks

Kui seeria läheneb, kipub selle ühine liige olema null: .

Üldjuhul vastupidine ei kehti, st kui , siis võib seeria nii läheneda kui ka lahkneda. Ja nii kasutatakse seda märki õigustamiseks lahknemine rida:

Kui seeria ühine termin nulli ei lähe, siis seeria läheb lahku

Või lühidalt: kui , siis seeria läheb lahku. Eelkõige on võimalik olukord, kus limiiti pole üldse olemas, nagu näiteks piir. Siin nad kohe põhjendasid ühe seeria lahknemist :)

Kuid palju sagedamini on lahkneva jada piir võrdne lõpmatusega, samas kui "x" asemel toimib see "dünaamilise" muutujana. Värskendame oma teadmisi: piiranguid "x"-ga nimetatakse funktsioonide piiranguteks ja piiranguid muutujaga "en" - numbriliste jadade piirideks. Ilmne erinevus seisneb selles, et muutuja "en" võtab diskreetseid (katkestavaid) looduslikke väärtusi: 1, 2, 3 jne. Kuid see asjaolu ei mõjuta piirmäärade lahendamise meetodeid ja määramatuste avalikustamise meetodeid.

Tõestame, et esimese näite seeriad lahknevad.
Sarja tavaline liige:

Järeldus: rida lahkneb

Vajalikku funktsiooni kasutatakse sageli reaalsetes praktilistes ülesannetes:

Näide 6

Meil on lugejas ja nimetajas polünoomid. See, kes luges hoolikalt läbi ja mõistis artiklis ebakindluse avaldamise meetodit Piirid. Lahendusnäited, sai sellest kindlasti kinni kui lugeja ja nimetaja suurimad astmed võrdne, siis on piir lõplik number .

Jagage lugeja ja nimetaja arvuga

Õppesari lahkneb, kuna ridade konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud.

Näide 7

Uurige seeriat lähenemise suhtes

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus

Niisiis, kui meile antakse MIS TAHES numbriseeria, eelkõige kontrollime (mõtteliselt või mustandi järgi): kas selle ühine termin kipub nulli? Kui see ei püüa, koostame näidete nr 6, 7 eeskujul lahenduse ja anname vastuse, et seeria lahkneb.

Milliseid näiliselt lahknevaid seeriaid oleme kaalunud? Kohe on selge, et read meeldivad või lähevad lahku. Näidete nr 6 ja 7 seeriad on samuti erinevad: kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja lugeja kõrgeim aste on suurem või võrdne nimetaja kõrgeima astmega. Kõigil neil juhtudel kasutame näidete lahendamisel ja kujundamisel vajalikku ridade konvergentsi kriteeriumi.

Miks seda märki nimetatakse vajalik? Mõistke kõige loomulikumal viisil: selleks, et seeria läheks kokku, vajalik nii et selle ühine termin kipub olema null. Ja kõik oleks hästi, aga see mitte piisavalt. Teisisõnu, kui seeria ühine liige kipub olema null, EI TÄHENDAN see, et seeria läheneb- see võib nii läheneda kui ka lahkneda!

Tutvuge:

Seda rida nimetatakse harmooniline seeria. Palun pea meeles! Numbrisarjade hulgas on ta primabaleriin. Täpsemalt baleriin =)

Seda on lihtne näha , AGA. Matemaatilise analüüsi teoorias on tõestatud, et harmooniliste jada lahkneb.

Peaksite meeles pidama ka üldistatud harmooniliste seeria kontseptsiooni:

1) See rida lahkneb aadressil . Näiteks seeriad lahknevad, , .
2) See rida koondub aadressil . Näiteks sari , , . Rõhutan veel kord, et peaaegu kõigi praktiliste ülesannete puhul pole meile üldse oluline, milline on näiteks seeria summa, oluline on selle lähenemise fakt.

Need on elementaarsed faktid jadateooriast, mis on juba tõestatud ja mõne praktilise näite lahendamisel võib julgelt viidata näiteks seeriate lahknemisele või jada konvergentsile.

Üldiselt on vaadeldav materjal väga sarnane ebaõigete integraalide uurimine, ja neil, kes on seda teemat uurinud, on see lihtsam. No neile, kes pole õppinud, on topelt lihtsam :)

Niisiis, mida teha, kui seeria ühine termin LÄHEB nulli? Sellistel juhtudel peate näidete lahendamiseks kasutama teisi, piisav lähenemise / lahknemise märgid:

Positiivsete arvuseeriade võrdluskriteeriumid

Juhin teie tähelepanu et siin räägime ainult positiivsetest arvridadest (mitte-negatiivsete liikmetega).

Võrdlusmärke on kaks, ühte neist ma lihtsalt nimetan võrdluse märk, teine ​​- piirav võrdlusmärk.

Kõigepealt kaaluge võrdlusmärk või õigemini selle esimene osa:

Mõelge kahele positiivsele numbrilisele seeriale ja . Kui on teada, et rida on koondub, ja alates mõnest numbrist , kehtib ebavõrdsus, seejärel seeria koondub ka.

Teisisõnu: Suuremate terminitega ridade lähenemine tähendab väiksemate terminitega ridade lähenemist. Praktikas on ebavõrdsus sageli täidetud kõigi järgmiste väärtuste puhul:

Näide 8

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Esiteks kontrollime(vaimselt või eelnõu järgi) hukkamine:
, mis tähendab, et “vähese verega maha saada” polnud võimalik.

Vaatame üldistatud harmooniliste ridade "paketti" ja keskendudes kõrgeimale astmele, leiame sarnase jada: Teooriast on teada, et see koondub.

Kõigi naturaalarvude puhul kehtib ilmne ebavõrdsus:

ja suuremad nimetajad vastavad väiksematele murdudele:
, mis tähendab, et võrdluskriteeriumi järgi on uuritav seeria koondub koos kõrval .

Kui teil on kahtlusi, võib ebavõrdsuse alati üksikasjalikult maalida! Kirjutame üles mitme arvu "en" konstrueeritud võrratuse:
Kui siis
Kui siis
Kui siis
Kui siis
….
ja nüüd on täiesti selge, et ebavõrdsus kehtib kõigi naturaalarvude kohta "en".

Analüüsime võrdluskriteeriumi ja lahendatud näidet mitteformaalsest vaatenurgast. Siiski, miks sari läheneb? Siin on põhjus. Kui seeria läheneb, siis on sellel mõned lõplik summa: . Ja kuna kõik sarja liikmed väiksem rea vastavad liikmed, siis on känd selge, et ridade summa ei saa olla suurem kui arv , ja veelgi enam, ei saa olla võrdne lõpmatusega!

Samamoodi saame tõestada "sarnaste" seeriate lähenemist: , , jne.

! Märge et kõigil juhtudel on meil nimetajates “plussid”. Vähemalt ühe miinuse olemasolu võib kaalutava kasutamise tõsiselt raskendada võrdlusfunktsioon. Näiteks kui jada võrreldakse samamoodi koonduva jadaga (esimeste liikmete jaoks kirjutada mitu ebavõrdsust), siis tingimus ei täitu üldse! Siin saate kõrvale hiilida ja valida võrdluseks mõne muu koonduva seeria, näiteks , kuid see toob kaasa tarbetuid broneeringuid ja muid tarbetuid raskusi. Seetõttu on seeriate konvergentsi tõestamiseks palju lihtsam kasutada marginaalne võrdluskriteerium(vt järgmist lõiku).

Näide 9

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Ja selles näites soovitan teil ise mõelda võrdlusfunktsiooni teine ​​osa:

Kui on teada, et rida on lahkneb ja alustades mõnest numbrist (sageli algusest peale) ebavõrdsus kehtib, siis seeria samuti lahkneb.

Teisisõnu: Väiksemate terminitega ridade lahknemine tähendab suuremate terminitega seeriate lahknemist.

Mida tuleks teha?
Uuritavat jada on vaja võrrelda lahkneva harmoonilise jadaga. Parema mõistmise huvides konstrueerige mõned konkreetsed ebavõrdsused ja veenduge, et ebavõrdsus on tõsi.

Lahendus ja näidiskujundus tunni lõpus.

Nagu juba märgitud, kasutatakse praktikas just vaadeldud võrdlusfunktsiooni harva. Numbriseeria tõeline "tööhobune" on marginaalne võrdluskriteerium, ja kasutussageduse osas ainult d'Alemberti märk.

Arvuliselt positiivsete seeriate võrdluse piirmärk

Mõelge kahele positiivsele numbrilisele seeriale ja . Kui nende ridade ühisliikmete suhte piir on võrdne lõplik nullist erinev arv: , siis mõlemad seeriad koonduvad või lahknevad samal ajal.

Millal kasutatakse piirmäärade võrdluskriteeriumi? Võrdluse piirmärki kasutatakse siis, kui seeria “täidis” on polünoomid. Kas üks polünoom nimetajas või polünoomid nii lugejas kui ka nimetajas. Soovi korral võivad polünoomid olla juurte all.

Tegeleme sarjadega, mille puhul eelmine võrdlusmärk takerdus.

Näide 10

Uurige seeriat lähenemise suhtes

Võrrelge seda seeriat koonduvate seeriatega. Võrdluseks kasutame piirtesti. On teada, et seeria läheneb. Kui suudame näidata, et see nii on lõplik nullist erinev number, tõestatakse, et seeriad ka koonduvad.

Saadakse lõplik nullist erinev arv, mis tähendab, et uuritav seeria koondub koos kõrval .

Miks valiti võrdluseks sari? Kui oleksime valinud üldistatud harmooniliste jadate “klipist” mõne muu seeria, poleks meil limiit õnnestunud lõplik nullist erinev numbrid (võite katsetada).

Märge: kui kasutame marginaalset võrdlusfunktsiooni, ebaoluline, millises järjekorras ühisliikmete seost koostada, võiks vaadeldavas näites seose joonistada vastupidiselt: - see ei muudaks asja olemust.