Lihtsate lineaarvõrrandite lahendus. Keerulisemad võrrandite näited

Võrrand on matemaatiline avaldis, mis on võrrand, mis sisaldab tundmatut. Kui võrdsus kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes lubatud väärtuste puhul, nimetatakse seda identiteediks; Näiteks: seos nagu (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) kehtib kõigi x väärtuste puhul.

Kui võrrand, mis sisaldab tundmatut x-i, kehtib ainult teatud x-i väärtuste puhul, mitte kõigi x-i väärtuste puhul, nagu identiteedi puhul, siis võib olla kasulik määrata need x-i väärtused, mille jaoks võrrand kehtib. Selliseid x väärtusi nimetatakse võrrandi juurteks või lahenditeks. Näiteks arv 5 on võrrandi 2x + 7= 17 juur.

Matemaatika harus, mida nimetatakse võrranditeooriaks, on põhiliseks õppeaineks võrrandite lahendamise meetodid. AT koolikursus algebra võrranditele pööratakse suurt tähelepanu.

Võrrandite uurimise ajalugu ulatub paljude sajandite taha. Kõige kuulsamad matemaatikud, kes aitasid kaasa võrranditeooria väljatöötamisele, olid:

Archimedes (umbes 287-212 eKr) – Vana-Kreeka teadlane, matemaatik ja mehaanik. Ühe probleemi uurimisel, mis vähendab kuni kuupvõrrand, Archimedes selgitas välja tunnuse rolli, mida hiljem hakati nimetama diskrimineerivaks.

François Viet elas 16. sajandil. Ta andis uuringusse suure panuse erinevaid probleeme matemaatika. Eelkõige tutvustas ta võrrandi koefitsientide sõnasõnalist tähistust ja lõi ühenduse ruutvõrrandi juurte vahel.

Leonhard Euler (1707 - 1783) - matemaatik, mehaanik, füüsik ja astronoom. Autor St. 800 artiklit matemaatilise analüüsi kohta, diferentsiaalvõrrandid, geomeetria, arvuteooria, ligikaudsed arvutused, taevamehaanika, matemaatika, optika, ballistika, laevaehitus, muusikateooria jne. Ta avaldas märkimisväärset mõju teaduse arengule. Ta tuletas valemid (Euleri valemid), mis väljendavad trigonomeetrilised funktsioonid muutuja x läbi eksponentsiaalfunktsiooni.

Lagrange Joseph Louis (1736-1813), prantsuse matemaatik ja mehaanik. Ta omab silmapaistvaid teadusuuringuid, sealhulgas uurimusi algebra kohta (võrrandi juurte sümmeetriline funktsioon, diferentsiaalvõrrandid (ainsuse lahendite teooria, konstantide muutmise meetod).

J. Lagrange ja A. Vandermonde – prantsuse matemaatikud. 1771. aastal kasutati esimest korda võrrandisüsteemide lahendamise meetodit (asendusmeetodit).

Gauss Karl Friedrich (1777-1855) – saksa matemaatik. Kirjutas raamatu, mis kirjeldab ringjaotusvõrrandite teooriat (st võrrandid xn - 1 = 0), mis oli paljuski Galois' teooria prototüüp. Välja arvatud levinud meetodid neid võrrandeid lahendades lõi seose nende ja korrapäraste hulknurkade ehitamise vahel. Ta tegi esimest korda pärast Vana-Kreeka teadlasi selles küsimuses olulise sammu edasi, nimelt: ta leidis kõik need n väärtused, mille jaoks tavaline n-nurk saab ehitada kompassi ja joonlauaga. Õppis lisama. Ta järeldas, et võrrandisüsteeme saab omavahel liita, jagada ja korrutada.

O. I. Somov - rikastas matemaatika erinevaid osi oluliste ja arvukate töödega, sealhulgas teatud algebraliste võrrandite teooriaga kõrgemad kraadid.

Galois Evariste (1811-1832), prantsuse matemaatik. Tema põhiteene on ideekogumi sõnastamine, milleni ta jõudis seoses J. Lagrange'i, N. Abeli ​​jt alustatud algebraliste võrrandite lahendatavuse uurimise jätkamisega, mis lõi kõrgemate algebraliste võrrandite teooria. kraadi ühe tundmatuga.

A. V. Pogorelov (1919 - 1981) – tema töös seostatakse geomeetrilisi meetodeid analüüsimeetodid osatuletistega diferentsiaalvõrrandite teooria. Tema töödel oli oluline mõju ka mittelineaarsete diferentsiaalvõrrandite teooriale.

P. Ruffini – itaalia matemaatik. Ta pühendas hulga töid 5. astme võrrandi lahendamatuse tõestamisele, kasutab süstemaatiliselt asenduskogumi suletust.

Hoolimata asjaolust, et teadlased on võrrandeid uurinud pikka aega, ei tea teadus, kuidas ja millal tekkis inimestel vajadus võrrandeid kasutada. Teada on vaid see, et kõige lihtsamate võrrandite lahendamiseni viivad probleemid on inimesed lahendanud inimesteks saamisest saadik. Veel 3-4 tuhat aastat eKr. e. egiptlased ja babüloonlased oskasid võrrandeid lahendada. Nende võrrandite lahendamise reegel ühtib tänapäevase reegliga, kuid pole teada, kuidas nad selleni jõudsid.

AT Iidne Egiptus ja Babüloni, kasutati valeasendi meetodit. Esimese astme võrrandi ühe tundmatuga saab alati taandada kujule ax + b = c, milles a, b, c on täisarvud. Vastavalt reeglitele aritmeetilised tehted kirves \u003d c - b,

Kui b > c, siis c b on negatiivne arv. Negatiivsed arvud olid egiptlastele ja paljudele teistele hilisematele rahvastele tundmatud (võrdväärsetel alustel positiivsed numbrid matemaatikas hakati neid kasutama alles XVII sajandil). Nende probleemide lahendamiseks, mida me nüüd lahendame esimese astme võrranditega, leiutati valepositsiooni meetod. Ahmesi papüüruses on selle meetodiga lahendatud 15 ülesannet. Egiptlastel oli tähistamiseks spetsiaalne märk teadmata kuupäev, mida kuni viimase ajani loeti “kuidas” ja tõlgiti sõnaga “hunnik” (“hunnik” või “tundmatu arv ühikuid”). Nüüd loevad nad natuke vähem ebatäpselt: "ahaa." Ahmesi kasutatud lahendusmeetodit nimetatakse ühe valepositsiooni meetodiks. Seda meetodit kasutades lahendatakse võrrandid kujul ax = b. See meetod seisneb võrrandi mõlema külje jagamises a-ga. Seda kasutasid nii egiptlased kui babüloonlased. Kell erinevad rahvad kasutati kahe valepositsiooni meetodit. Araablased mehhaniseerisid selle meetodi ja saavutasid vormi, milles see läks Euroopa rahvaste õpikutesse, sealhulgas Magnitski aritmeetikasse. Magnitski nimetab lahendusmeetodit "valereegliks" ja kirjutab oma raamatu seda meetodit selgitavas osas:

Zelo bo kavalus on see osa, Nagu saate sellega kõike panna. Mitte ainult see, mis on kodakondsuses, vaid ka kõrgemad teadused kosmoses, isegi on loetletud taevasfääris, Nagu targad, on vaja.

Magnitski luuletuste sisu võib kokku võtta järgmiselt: see aritmeetika osa on väga keeruline. Selle abil saate arvutada mitte ainult seda, mida igapäevases praktikas vaja läheb, vaid see lahendab ka "kõrgemad" küsimused, mis "tarkadele" silmitsi seisavad. Magnitski kasutab "valereeglit" araablaste antud kujul, nimetades seda "kahe vea aritmeetikaks" või "kaalumeetodiks". India matemaatikud esitasid sageli ülesandeid salmis. Lotuse väljakutse:

Vaikse järve kohal, pool mõõtu vee kohal, paistis Lootose värv. Ta kasvas üles üksi ja laineline tuul painutas teda külili ja mitte enam

Lilled vee kohal. Leidis oma kalamehesilma Kaks mõõtu sealt, kust ta üles kasvas. Kui paljude järvede sügavus on siin? Ma esitan teile küsimuse.

Võrrandite tüübid

Lineaarvõrrandid

Lineaarvõrrandid on võrrandid kujul: ax + b = 0, kus a ja b on mingid konstandid. Kui a ei ole võrdne nulliga, on võrrandil üks juur: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Näiteks: lahendage lineaarvõrrand: 4x + 12 = 0.

Lahendus: T. kuni a \u003d 4 ja b = 12, seejärel x \u003d - 12: 4; x = -3.

Kontrollige: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Kuna k 0 = 0, siis -3 on algvõrrandi juur.

Vastus. x = -3

Kui a on null ja b on null, siis on võrrandi ax + b = 0 juur suvaline arv.

Näiteks:

0 = 0. Kuna 0 on 0, siis võrrandi 0x + 0 = 0 juur on suvaline arv.

Kui a on null ja b ei ole null, siis võrrandil ax + b = 0 pole juuri.

Näiteks:

0 \u003d 6. Kuna 0 ei võrdu 6-ga, siis 0x - 6 \u003d 0-l pole juuri.

Lineaarvõrrandisüsteemid.

Lineaarvõrrandisüsteem on süsteem, milles kõik võrrandid on lineaarsed.

Süsteemi lahendamine tähendab kõigi selle lahenduste leidmist.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahendamist saate määrata selle lahenduste arvu.

Olgu võrrandisüsteem antud: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Kui a1 jagatud a2-ga ei võrdu b1 jagatud b2-ga, siis on süsteemil üks kordumatu lahendus.

Kui a1 jagatud a2-ga on võrdne b1 jagatud b2-ga, kuid võrdne c1 jagatud c2-ga, siis pole süsteemil lahendusi.

Kui a1 jagatud a2-ga on võrdne b1 jagatud b2-ga ja võrdne c1 jagatud c2-ga, siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.

Võrrandisüsteemi, millel on vähemalt üks lahend, nimetatakse järjepidevaks.

Liigessüsteemi nimetatakse kindlaks, kui see on olemas lõplik arv lahendused ja määramata, kui selle lahendite hulk on lõpmatu.

Süsteemi, millel pole ühte lahendust, nimetatakse ebajärjekindlaks või ebajärjekindlaks.

Lineaarvõrrandite lahendamise viisid

Lineaarvõrrandite lahendamiseks on mitu võimalust:

1) Valikumeetod. See on kõige rohkem lihtsaim viis. See seisneb selles, et nad valivad kõik lubatud väärtused loenduse järgi tundmatu.

Näiteks:

Lahenda võrrand.

Olgu x = 1. Siis

4 = 6. Kuna 4 ei ole võrdne 6-ga, siis meie eeldus, et x = 1, oli vale.

Olgu x = 2.

6 = 6. Kuna 6 võrdub 6, siis meie eeldus, et x = 2, oli õige.

Vastus: x = 2.

2) Lihtsustamise viis

See meetod seisneb selles, et kõik tundmatut sisaldavad liikmed kantakse vasakule poole ja tuntud paremale poole vastupidine märk, andke sarnased ja jagage võrrandi mõlemad pooled tundmatu koefitsiendiga.

Näiteks:

Lahenda võrrand.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Vastus. x = 5.

3) Graafiline viis.

See seisneb selles, et koostatakse funktsioonide graafik antud võrrand. Kuna lineaarvõrrandis y \u003d 0, on graafik paralleelne y-teljega. Selle võrrandi lahenduseks on graafiku lõikepunkt x-teljega.

Näiteks:

Lahenda võrrand.

Olgu y = 7. Siis y = 2x + 3.

Koostame mõlema võrrandi funktsioonide graafiku:

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise viisid

Seitsmendas klassis õpitakse kolme võrrandisüsteemide lahendamise viisi:

1) Asendusmeetod.

See meetod seisneb selles, et ühes võrrandis väljendatakse üht tundmatut teisega. Saadud avaldis asendatakse teise võrrandiga, mis seejärel muutub võrrandiks ühe tundmatuga, seejärel see lahendatakse. Selle tundmatu saadud väärtus asendatakse algse süsteemi mis tahes võrrandiga ja leitakse teise tundmatu väärtus.

Näiteks.

Lahenda võrrandisüsteem.

5x - 2a - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Asendage saadud avaldis teise võrrandiga:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Asendage saadud väärtus võrrandiga 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Uurimine.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Vastus: x = 1; y = 1.

2) Lisamise viis.

See meetod on see, et kui see süsteem koosneb võrranditest, mis termini haaval liitmisel moodustavad võrrandi ühe tundmatuga, siis selle võrrandi lahendamisel saame ühe tundmatu väärtuse. Selle tundmatu saadud väärtus asendatakse algse süsteemi mis tahes võrrandiga ja leitakse teise tundmatu väärtus.

Näiteks:

Lahenda võrrandisüsteem.

/ 3 a - 2x \u003d 5,

\5x - 3 a \u003d 4.

Lahendame saadud võrrandi.

3x = 9; : (3) x = 3.

Asendame saadud väärtuse võrrandiga 3y - 2x = 5.

3y - 23 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Seega x = 3; y = 3 2/3.

Uurimine.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Vastus. x = 3; y = 3 2/3

3) Graafiline viis.

See meetod põhineb asjaolul, et võrrandite graafikud on kujutatud ühes koordinaatsüsteemis. Kui võrrandi graafikud lõikuvad, siis on selle süsteemi lahenduseks lõikepunkti koordinaadid. Kui võrrandi graafikud on paralleelsed sirged, siis antud süsteemil pole lahendeid. Kui võrrandite graafikud ühinevad üheks sirgeks, siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid.

Näiteks.

Lahenda võrrandisüsteem.

18x + 3a - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3a - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3 a \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Koostame samas koordinaatsüsteemis funktsioonide y \u003d 2x - 5 ja y \u003d 3 - 6x graafikud.

Funktsioonide y \u003d 2x - 5 ja y \u003d 3 - 6x graafikud ristuvad punktis A (1; -3).

Seetõttu on selle võrrandisüsteemi lahenduseks x = 1 ja y = -3.

Uurimine.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Vastus. x = 1; y = -3.

Järeldus

Kõigele eelnevale tuginedes võime järeldada, et võrrandid on vajalikud kaasaegne maailm mitte ainult praktiliste probleemide lahendamiseks, vaid ka teadusliku vahendina. Seetõttu on nii paljud teadlased seda küsimust uurinud ja jätkavad uurimist.

Võrrand, mis esindab ruudukujuline kolmik, nimetatakse tavaliselt ruutvõrrandiks. Algebra seisukohalt kirjeldatakse seda valemiga a*x^2+b*x+c=0. Selles valemis on x leitav tundmatu (seda nimetatakse vabaks muutujaks); a, b ja c on arvulised koefitsiendid. Selle komponentide osas on mitmeid piiranguid: näiteks koefitsient a ei tohiks olla võrdne 0-ga.

Võrrandi lahendamine: diskriminandi mõiste

Tundmatu x väärtus, mille juures ruutvõrrand muutub tõeliseks võrduseks, nimetatakse sellise võrrandi juureks. Ruutvõrrandi lahendamiseks peate esmalt leidma spetsiaalse koefitsiendi väärtuse - diskriminandi, mis näitab vaadeldava võrdsuse juurte arvu. Diskriminant arvutatakse valemiga D=b^2-4ac. Arvutuse tulemus võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

Sel juhul tuleb meeles pidada, et kontseptsioon nõuab, et ainult koefitsient a erineks 0-st rangelt. Seetõttu võib koefitsient b olla võrdne 0-ga ja võrrand ise on sel juhul a*x^2+ c=0. Sellises olukorras tuleks diskriminandi ja juurte arvutamise valemites kasutada koefitsiendi väärtust, mis võrdub 0. Seega arvutatakse sel juhul diskriminant kui D=-4ac.

Võrrandi lahendamine positiivse diskriminandiga

Kui ruutvõrrandi diskriminant osutus positiivseks, võime sellest järeldada, et sellel võrdusel on kaks juurt. Neid juuri saab arvutada järgmise valemi abil: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Seega, et arvutada ruutvõrrandi juurte väärtus positiivne väärtus kasutatud diskrimineerijat teadaolevad väärtused koefitsiendid saadaval . Tänu summa ja erinevuse kasutamisele juurte arvutamise valemis on arvutuste tulemuseks kaks väärtust, mis muudavad kõnealuse võrdsuse õigeks.

Võrrandi lahendamine nulli ja negatiivse diskriminandiga

Kui ruutvõrrandi diskriminant osutus võrdseks 0-ga, võime järeldada, et ütles võrrand on üks juur. Rangelt võttes on selles olukorras võrrandil ikkagi kaks juurt, kuid nulldiskriminandi tõttu on need üksteisega võrdsed. Sel juhul x=-b/2a. Kui arvutuste käigus osutub diskriminandi väärtus negatiivseks, tuleks järeldada, et vaadeldaval ruutvõrrandil pole juuri, st selliseid x väärtusi, mille juures see muutub tõeliseks võrduseks.

Ja nii edasi, on loogiline tutvuda teist tüüpi võrranditega. Järgmised on järjekorras lineaarvõrrandid, mille eesmärgipärane õppimine algab algebratundides 7. klassis.

On selge, et kõigepealt peate selgitama, mis on lineaarvõrrand, andma lineaarvõrrandi definitsiooni, selle koefitsiendid, näitama seda üldine vorm. Seejärel saate aru saada, kui palju lahendusi lineaarvõrrandil on sõltuvalt koefitsientide väärtustest ja kuidas juured leitakse. See võimaldab teil liikuda näidete lahendamise juurde ja seeläbi õpitud teooriat kinnistada. Selles artiklis teeme seda: käsitleme üksikasjalikult kõiki teoreetilisi ja praktilisi punkte, mis puudutavad lineaarvõrrandeid ja nende lahendamist.

Ütleme kohe, et siin käsitleme ainult ühe muutujaga lineaarseid võrrandeid ja eraldi artiklis uurime lahendamise põhimõtteid lineaarvõrrandid kahes muutujas.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on lineaarvõrrand?

Lineaarvõrrandi definitsiooni annab selle tähise vorm. Veelgi enam, erinevates matemaatika ja algebra õpikutes on lineaarvõrrandite definitsioonide sõnastustes mõningaid erinevusi, mis ei mõjuta probleemi olemust.

Näiteks Yu. N. Makarycheva ja teiste algebraõpikus 7. klassile on lineaarvõrrand defineeritud järgmiselt:

Definitsioon.

Tüüpvõrrand kirves=b, kus x on muutuja, a ja b on mõned arvud, kutsutakse ühe muutujaga lineaarvõrrand.

Toome näiteid helilisele definitsioonile vastavate lineaarvõrrandite kohta. Näiteks 5 x=10 on lineaarvõrrand ühe muutujaga x, siin on koefitsient a 5 ja arv b on 10 . Teine näide: −2.3 y=0 on samuti lineaarne võrrand, kuid muutujaga y , kus a=−2.3 ja b=0 . Ja lineaarvõrrandites x=-2 ja -x=3,33 a ei esine selgelt ja on vastavalt 1 ja -1, samas kui esimeses võrrandis b=-2 ja teises - b=3,33 .

Ja aasta varem peeti N. Ya. Vilenkini matemaatikaõpikus ühe tundmatuga lineaarvõrrandeid lisaks võrranditele kujul a x = b ka võrranditeks, mida saab sellesse vormi taandada, kandes termineid ühest. võrrandi osa teiseks vastupidise märgiga, samuti taandades samasuguseid termineid. Selle definitsiooni järgi võrrandid kujul 5 x=2 x+6 jne. on samuti lineaarsed.

A. G. Mordkovichi algebraõpikus 7 klassi kohta on omakorda antud järgmine määratlus:

Definitsioon.

Lineaarvõrrand ühe muutujaga x on võrrand kujul a x+b=0 , kus a ja b on mõned arvud, mida nimetatakse lineaarvõrrandi kordajateks.

Näiteks seda tüüpi lineaarvõrrandid on 2 x−12=0, siin on koefitsient a 2 ja b on −12 ning 0,2 y+4,6=0 koefitsientidega a=0,2 ja b =4,6. Kuid samas on näiteid lineaarvõrranditest, mille kuju on mitte a x+b=0 , vaid a x=b , näiteks 3 x=12 .

Et meil edaspidi lahknevusi ei tekiks, saame ühe muutujaga x ja koefitsientidega a ja b lineaarvõrrandi all aru võrrandist kujul a x+b=0 . Seda tüüpi lineaarvõrrandid näivad olevat kõige õigustatud, kuna lineaarvõrrandid on nii algebralised võrrandid esimene kraad. Ja kõik muud ülaltoodud võrrandid, samuti võrrandid, mida kasutades samaväärsed teisendused taandatakse kujule a x+b=0 , kutsume välja võrrandid, mis taanduvad lineaarseteks võrranditeks. Selle lähenemisviisi korral on võrrand 2 x+6=0 lineaarne võrrand ja 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 jne. on lineaarsed võrrandid.

Kuidas lahendada lineaarvõrrandeid?

Nüüd on aeg välja mõelda, kuidas lahendatakse lineaarvõrrandid a x+b=0. Teisisõnu, on aeg välja selgitada, kas lineaarvõrrandil on juured ja kui on, siis kui palju ja kuidas neid leida.

Lineaarvõrrandi juurte olemasolu sõltub koefitsientide a ja b väärtustest. Sel juhul on lineaarvõrrand a x+b=0

• ainus juur a≠0 juures,
• ei oma juure a=0 ja b≠0 jaoks,
• a=0 ja b=0 juures on lõpmatult palju juuri, sel juhul on mis tahes arv lineaarvõrrandi juur.

Selgitame, kuidas need tulemused saadi.

Teame, et võrrandite lahendamiseks on võimalik algsest võrrandist üle minna samaväärsetele võrranditele ehk samade juurtega võrranditele või nagu algsele, ilma juurteta võrranditele. Selleks saate kasutada järgmisi samaväärseid teisendusi:

• termini ülekandmine võrrandi ühest osast teise vastupidise märgiga,
• ja ka võrrandi mõlema poole korrutamine või jagamine sama nullist erineva arvuga.

Niisiis, lineaarvõrrandis ühega tüüpi muutuja a x+b=0 saame termini b vasakult küljelt nihutada parem pool vastupidise märgiga. Sel juhul on võrrand kujul a x=−b.

Ja siis viitab võrrandi mõlema osa jagamine arvuga a. Kuid on üks asi: arv a võib olla võrdne nulliga, sel juhul on selline jagamine võimatu. Selle probleemi lahendamiseks eeldame esmalt, et arv a erineb nullist, ja käsitleme nulli a juhtumit veidi hiljem eraldi.

Seega, kui a ei ole võrdne nulliga, saame võrrandi a x=−b mõlemad osad jagada a-ga, pärast seda teisendatakse see kujule x=(−b): a , selle tulemuse saab kirjutada kasutades a pidev joon nagu .

Seega on a≠0 korral lineaarvõrrand a·x+b=0 ekvivalentne võrrandiga , millest on näha selle juur.

Lihtne on näidata, et see juur on ainulaadne, see tähendab, et lineaarvõrrandil pole muid juuri. See võimaldab teil teha vastupidist meetodit.

Tähistame juureks x 1 . Oletame, et lineaarvõrrandil on veel üks juur, mida tähistame x 2 ja x 2 ≠ x 1, mis tulenevalt määratlused võrdsed arvud erinevuse kaudu on samaväärne tingimusega x 1 − x 2 ≠0 . Kuna x 1 ja x 2 on lineaarvõrrandi a x+b=0 juured, siis leiavad aset arvulised võrrandid a x 1 +b=0 ja a x 2 +b=0. Nende võrrandite vastavad osad saame lahutada, mida arvuliste võrrandite omadused võimaldavad, saame a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , kust a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 ja siis a (x 1 − x 2)=0 . Ja see võrdsus on võimatu, kuna nii a≠0 kui ka x 1 − x 2 ≠0. Seega oleme jõudnud vastuoluni, mis tõestab lineaarvõrrandi a·x+b=0 juure unikaalsust a≠0 korral.

Seega oleme lahendanud lineaarvõrrandi a x+b=0 koos a≠0 . Selle alajao alguses antud esimene tulemus on põhjendatud. Veel kaks, mis vastavad tingimusele a=0 .

Kui a=0, muutub lineaarvõrrand a·x+b=0 väärtuseks 0·x+b=0 . Sellest võrrandist ja arvude nulliga korrutamise omadusest järeldub, et olenemata sellest, millise arvu me x-iks võtame, saame selle võrrandisse 0 x+b=0 asendades arvulise võrrandi b=0. See võrdsus on tõene, kui b=0 , ja muudel juhtudel, kui b≠0 on see võrdsus väär.

Seetõttu on a=0 ja b=0 korral suvaline arv lineaarvõrrandi a x+b=0 juur, kuna nendel tingimustel annab suvalise arvu asendamine x asemel õige arvulise võrrandi 0=0. Ja a=0 ja b≠0 korral ei ole lineaarvõrrandil a x+b=0 juuri, kuna nendel tingimustel annab suvalise arvu asendamine x asemel vale numbrilise võrrandi b=0.

Ülaltoodud põhjendused võimaldavad moodustada toimingute jada, mis võimaldab lahendada mis tahes lineaarvõrrandi. Niisiis, algoritm lineaarvõrrandi lahendamiseks on:

• Esiteks, kirjutades lineaarse võrrandi, leiame koefitsientide a ja b väärtused.
• Kui a=0 ja b=0 , siis sellel võrrandil on lõpmata palju juuri, nimelt on suvaline arv selle lineaarvõrrandi juur.
• Kui a erineb nullist, siis
• koefitsient b kantakse paremale poole vastupidise märgiga, samas kui lineaarvõrrand teisendatakse kujule a x=-b ,
• mille järel jagatakse saadud võrrandi mõlemad osad nullist erineva arvuga a, mis annab algse lineaarvõrrandi soovitud juure.

Kirjutatud algoritm on ammendav vastus küsimusele, kuidas lahendada lineaarvõrrandeid.

Selle lõigu lõpetuseks tasub öelda, et sarnast algoritmi kasutatakse võrrandite lahendamiseks kujul a x=b. Selle erinevus seisneb selles, et kui a≠0, jagatakse mõlemad võrrandi osad kohe selle arvuga, siin on b juba võrrandi soovitud osas ja seda pole vaja üle kanda.

Vorm a x=b võrrandite lahendamiseks kasutatakse järgmist algoritmi:

• Kui a=0 ja b=0 , siis on võrrandil lõpmatult palju juuri, mis on suvalised arvud.
• Kui a=0 ja b≠0 , siis algsel võrrandil pole juuri.
• Kui a on nullist erinev, jagatakse võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga a, millest leitakse võrrandi ainus juur, mis on võrdne b / a-ga.

Näited lineaarvõrrandite lahendamisest

Liigume edasi praktika juurde. Analüüsime, kuidas rakendatakse lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi. Toome välja tüüpiliste näidete lahendused, mis vastavad erinevaid tähendusi lineaarvõrrandite koefitsiendid.

Näide.

Lahendage lineaarvõrrand 0 x−0=0 .

Lahendus.

Selles lineaarses võrrandis on a=0 ja b=−0, mis on sama, mis b=0 . Seetõttu on sellel võrrandil lõpmata palju juuri, mis tahes arv on selle võrrandi juur.

Vastus:

x on suvaline arv.

Näide.

Kas lineaarvõrrandil 0 x+2,7=0 on lahendused?

Lahendus.

AT sel juhul koefitsient a on võrdne nulliga ja selle lineaarvõrrandi koefitsient b on võrdne 2,7, see tähendab, et see erineb nullist. Seetõttu pole lineaarvõrrandil juuri.

Lineaarvõrrandid. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid pole kõige paremad raske teema koolimatemaatika. Kuid seal on mõned nipid, mis võivad isegi koolitatud õpilast mõistatada. Kas mõtleme selle välja?)

Lineaarvõrrandit määratletakse tavaliselt järgmisel kujul:

kirves + b = 0 kus a ja b- mis tahes numbrid.

2x + 7 = 0. Siin a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 siin a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Siin a = 12, b = 1/2

Pole midagi keerulist, eks? Eriti kui te ei märka sõnu: "kus a ja b on suvalised arvud"... Ja kui märkad, aga hooletult mõtled?) Lõppude lõpuks, kui a=0, b = 0(kõik numbrid on võimalikud?), siis saame naljaka väljendi:

Kuid see pole veel kõik! Kui ütleme, a=0, a b = 5, selgub midagi üsna absurdset:

Mis kurnab ja õõnestab usaldust matemaatika vastu, jah ...) Eriti eksamitel. Aga nendest kummalistest väljenditest tuleb leida ka X! Mida pole üldse olemas. Ja üllataval kombel on seda X-i väga lihtne leida. Õpime, kuidas seda teha. Selles õppetükis.

Kuidas lineaarvõrrandit välimuselt ära tunda? Oleneb mida välimus.) Nipp seisneb selles, et lineaarvõrrandeid ei nimetata ainult vormivõrranditeks kirves + b = 0 , aga ka kõik võrrandid, mis on teisenduste ja lihtsustustega taandatud sellele kujule. Ja kes teab, kas seda vähendatakse või mitte?)

Lineaarvõrrandi saab mõnel juhul selgelt ära tunda. Ütle, et kui meil on võrrand, milles on ainult esimese astme tundmatuid, siis jah arvud. Ja võrrand seda ei tee murrud jagatud teadmata , see on tähtis! Ja jagamine number, või murdosa - see on kõik! Näiteks:

See on lineaarne võrrand. Siin on murrud, kuid ruudus, kuubis jne pole x-e ja nimetajates pole x-i, st. Ei jagamine x-ga. Ja siin on võrrand

ei saa nimetada lineaarseks. Siin on x-id kõik esimesel astmel, kuid on olemas avaldisega jagamine x-ga. Pärast lihtsustusi ja teisendusi saate lineaarvõrrandi, ruutvõrrandi ja kõike, mis teile meeldib.

Selgub, et mõnes keerulises näites on lineaarvõrrandi leidmine võimatu enne, kui olete selle peaaegu lahendanud. See on häiriv. Kuid ülesannetes reeglina ei küsita võrrandi vormi kohta, eks? Ülesannetes on võrrandid järjestatud otsustama. See teeb mind õnnelikuks.)

Lineaarvõrrandite lahendus. Näited.

Kogu lineaarvõrrandite lahendus koosneb võrrandite identsetest teisendustest. Muide, need teisendused (koguni kaks!) on lahenduste aluseks kõik matemaatika võrrandid. Teisisõnu, otsus ükskõik milline Võrrand algab samade teisendustega. Lineaarvõrrandite puhul lõpeb see (lahendus) nendel teisendustel täisväärtusliku vastusega. Mõttekas on jälgida linki, eks?) Pealegi on ka näiteid lineaarvõrrandite lahendamisest.

Alustame kõige lihtsama näitega. Ilma igasuguste lõksudeta. Oletame, et peame lahendama järgmise võrrandi.

x - 3 = 2 - 4x

See on lineaarne võrrand. X-id on kõik esimesel astmel, X-ga jagamist pole. Kuid tegelikult meid ei huvita, mis võrrand on. Peame selle lahendama. Siinne skeem on lihtne. Koguge võrrandi vasakpoolses servas kõik, millel on x-id, paremal kõik, kus pole x-e (arvud).

Selleks peate üle kandma - 4x vasakule poole, märgivahetusega muidugi, aga - 3 - paremale. Muide, see on võrrandite esimene identne teisendus.üllatunud? Niisiis, nad ei järginud linki, kuid asjata ...) Saame:

x + 4x = 2 + 3

Anname sarnaseid, arvestame:

Millest meil puudu on täielik õnn? Jah, et vasakul oleks puhas X! Viis jääb teele. Viiest lahti saada võrrandite teine ​​identne teisendus. Nimelt jagame mõlemad võrrandi osad 5-ga. Saame valmis vastuse:

Elementaarne näide muidugi. See on soojenduseks.) Ei ole väga selge, miks ma siin identseid teisendusi meenutasin? OKEI. Võtame härjal sarvist.) Otsustame midagi muljetavaldavamat.

Näiteks siin on see võrrand:

Kust me alustame? X-ga - vasakule, ilma X-ga - paremale? Võiks nii olla. Väikeste sammudega pikk tee. Ja saate kohe, universaalsel ja võimsal viisil. Kui teie arsenalis pole muidugi identsed võrrandite teisendused.

ma küsin sinult võtmeküsimus: Mis sulle selle võrrandi juures kõige rohkem ei meeldi?

95 inimest 100-st vastavad: fraktsioonid ! Vastus on õige. Nii et laseme neist lahti. Nii et alustame kohe teine ​​identne teisendus. Mida on vaja vasakpoolse murru korrutamiseks, et nimetaja täielikult väheneks? See on õige, 3. Ja paremal? 4-ga. Kuid matemaatika võimaldab meil mõlemat poolt korrutada sama number. Kuidas me välja saame? Korrutame mõlemad pooled 12-ga! Need. peal ühine nimetaja. Siis vähendatakse kolme ja nelja. Ärge unustage, et peate iga osa korrutama täielikult. Esimene samm näeb välja järgmine:

Sulgude laiendamine:

Märge! Lugeja (x+2) Võtsin sulgudesse! Seda seetõttu, et murdude korrutamisel korrutatakse lugeja tervega, täielikult! Ja nüüd saate murde vähendada ja vähendada:

Ülejäänud sulgude avamine:

Mitte näide, vaid puhas nauding!) Nüüd tuletame meelde loitsu madalamad klassid: x-iga - vasakule, ilma x-ga - paremale! Ja rakendage seda teisendust:

Siin on mõned nagu:

Ja jagame mõlemad osad 25-ga, st. rakenda uuesti teist teisendust:

See on kõik. Vastus: X=0,16

Pange tähele: algse segase võrrandi meeldivaks muutmiseks kasutasime kahte (ainult kahte!) identsed teisendused- tõlkimine vasakule-paremale koos märgi muutmise ja võrrandi sama arvuga korrutamise-jagamisega. seda universaalne viis! Me töötame sel viisil ükskõik milline võrrandid! Absoluutselt ükskõik milline. Seetõttu kordan neid identseid teisendusi kogu aeg.)

Nagu näete, on lineaarvõrrandite lahendamise põhimõte lihtne. Võtame võrrandi ja lihtsustame seda identsed teisendused enne vastuse saamist. Peamised probleemid on siin arvutustes, mitte lahenduse põhimõttes.

Aga ... Kõige elementaarsemate lineaarvõrrandite lahendamise protsessis on niisuguseid üllatusi, et need võivad ajada tugevasse stuuporisse...) Õnneks saab selliseid üllatusi olla ainult kaks. Nimetagem neid erijuhtudeks.

Erijuhud lineaarvõrrandite lahendamisel.

Üllatus kõigepealt.

Oletame, et sul on elementaarvõrrand, midagi sellist:

2x+3=5x+5 - 3x -2

Pisut igavledes kanname X-ga üle vasakule, ilma X-ga - paremale ... Märgivahetusega on kõik lõug-chinar ... Saame:

2x-5x+3x=5-2-3

Me usume ja ... oh imet! Saame:

Iseenesest pole see võrdsus taunitav. Null on tõesti null. Aga X on kadunud! Ja me peame vastusesse kirjutama, millega x on võrdne. Muidu lahendus ei loe, jah...) Ummik?

Rahune! Sellistel kahtlastel juhtudel päästavad kõige üldisemad reeglid. Kuidas võrrandeid lahendada? Mida tähendab võrrandi lahendamine? See tähendab, leidke kõik x väärtused, mis esialgse võrrandiga asendamisel annavad meile õige võrdsuse.

Kuid meil on õige võrdsus juba juhtus! 0=0, kus tegelikult?! Jääb üle välja mõelda, milliste x-dega see saadakse. Milliste x väärtustega saab asendada originaal võrrand, kui need x-id ikka kahaneb nulli? Ole nüüd?)

Jah!!! X-e saab asendada ükskõik milline! Mida sa tahad. Vähemalt 5, vähemalt 0,05, vähemalt -220. Need kahanevad ikkagi. Kui te mind ei usu, saate seda kontrollida.) Asendage suvalised x väärtused originaal võrrand ja arvutada. Kogu aeg saadakse puhas tõde: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 ja nii edasi.

Siin on teie vastus: x on suvaline arv.

Vastuse saab kirjutada erinevate matemaatiliste sümbolitega, olemus ei muutu. See on täiesti õige ja täielik vastus.

Teiseks üllatus.

Võtame sama elementaarlineaarvõrrandi ja muudame selles ainult ühte arvu. Selle otsustame:

2x+1=5x+5–3x–2

Pärast samu identseid teisendusi saame midagi intrigeerivat:

Nagu nii. Lahendas lineaarvõrrandi, sai kummalise võrrandi. räägivad matemaatiline keel, saime vale võrdsus. Ja rääkides selge keel, see ei ole tõsi. Märatsema. Kuid sellegipoolest on see jama selleks üsna hea põhjus õige otsus võrrandid.)

Jällegi, me mõtleme alates üldreeglid. Mida x meile algsesse võrrandisse asendades annab õige võrdsus? Jah, mitte ühtegi! Selliseid xe pole olemas. Mida iganes asendate, kõik väheneb, jama jääb alles.)

Siin on teie vastus: lahendusi pole.

See on ka täiesti õige vastus. Matemaatikas tuleb selliseid vastuseid sageli ette.

Nagu nii. Nüüd ma loodan, et X-de kadumine mis tahes (mitte ainult lineaarse) võrrandi lahendamisel ei häiri teid üldse. Asi on tuttav.)

Nüüd, kui oleme käsitlenud kõiki lineaarvõrrandite lõkse, on mõttekas need lahendada.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Selles videos analüüsime tervet rida lineaarvõrrandeid, mis lahendatakse sama algoritmi abil – seepärast nimetatakse neid ka kõige lihtsamateks.

Alustuseks defineerime: mis on lineaarvõrrand ja millist neist tuleks nimetada kõige lihtsamaks?

Lineaarvõrrand on selline, milles on ainult üks muutuja ja ainult esimesel astmel.

Lihtsaim võrrand tähendab konstruktsiooni:

Kõik muud lineaarsed võrrandid taandatakse algoritmi abil kõige lihtsamateks:

1. Avatud sulgud, kui need on olemas;
2. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrdusmärgi ühele küljele ja ilma muutujata terminid teisele poole;
3. Plii nagu terminid võrdusmärgist vasakule ja paremale;
4. Jagage saadud võrrand muutuja $x$ koefitsiendiga.

Muidugi ei aita see algoritm alati. Fakt on see, et mõnikord osutub pärast kõiki neid mahhinatsioone muutuja $x$ koefitsient võrdseks nulliga. Sel juhul on kaks võimalust:

1. Võrrandil pole üldse lahendeid. Näiteks kui saate midagi sellist nagu $0\cdot x=8$, st. vasakul on null ja paremal on nullist erinev arv. Allolevas videos vaatleme mitmeid põhjuseid, miks selline olukord on võimalik.
2. Lahenduseks on kõik numbrid. Ainus juhtum, kui see on võimalik, on siis, kui võrrand on taandatud konstruktsioonile $0\cdot x=0$. On täiesti loogiline, et ükskõik, mis $x$ me asendame, selgub ikkagi “null võrdub nulliga”, st. õige arvuline võrdsus.

Ja nüüd vaatame tegelike probleemide näitel, kuidas see kõik toimib.

Näited võrrandite lahendamisest

Tänapäeval käsitleme lineaarseid võrrandeid ja ainult kõige lihtsamaid. Üldiselt tähendab lineaarvõrrand mis tahes võrdsust, mis sisaldab täpselt ühte muutujat, ja see läheb ainult esimese astmeni.

Sellised konstruktsioonid lahendatakse ligikaudu samal viisil:

1. Kõigepealt peate avama sulgud, kui need on olemas (nagu meie viimane näide);
2. Seejärel tooge sarnased
3. Lõpuks isoleeri muutuja, st. kõik, mis on muutujaga seotud - terminid, milles see sisaldub - kantakse üle ühele poole ja kõik, mis jääb ilma, kandub teisele poole.

Seejärel peate reeglina saadud võrdsuse mõlemale küljele tooma sarnased ja pärast seda jääb üle vaid jagada koefitsiendiga "x" ja saame lõpliku vastuse.

Teoreetiliselt tundub see kena ja lihtne, kuid praktikas võivad isegi kogenud keskkooliõpilased üsna lihtsates lineaarvõrrandites solvavaid vigu teha. Tavaliselt tehakse vigu kas sulgude avamisel või "plusside" ja "miinuste" lugemisel.

Lisaks juhtub, et lineaarvõrrandil pole lahendeid üldse või nii, et lahenduseks on terve arvsirge, s.t. suvaline number. Analüüsime neid peensusi tänases õppetükis. Kuid nagu te juba aru saite, alustame kõigest lihtsaid ülesandeid.

Lihtsate lineaarvõrrandite lahendamise skeem

Alustuseks lubage mul veel kord kirjutada kogu skeem kõige lihtsamate lineaarvõrrandite lahendamiseks:

1. Laiendage sulgusid, kui neid on.
2. Eraldage muutujad, st. kõik, mis sisaldab "x", kantakse ühele poole ja ilma "x"ta - teisele poole.
3. Esitame sarnased terminid.
4. Jagame kõik koefitsiendiga "x".

Muidugi ei tööta see skeem alati, sellel on teatud nüansid ja nipid ning nüüd õpime neid tundma.

Lihtsate lineaarvõrrandite reaalsete näidete lahendamine

Ülesanne nr 1

Esimeses etapis peame avama sulgud. Kuid need pole selles näites, nii et jätame vahele see etapp. Teises etapis peame muutujad isoleerima. Märge: me räägime ainult üksikute terminite kohta. Kirjutame:

Anname sarnased terminid vasakul ja paremal, aga siin on seda juba tehtud. Seetõttu jätkame neljanda sammuga: jagage teguriga:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Siit saime vastuse.

Ülesanne nr 2

Selles ülesandes saame jälgida sulgusid, seega laiendame neid:

Nii vasakul kui ka paremal näeme ligikaudu sama konstruktsiooni, kuid tegutseme algoritmi järgi, s.t. sekvesteeri muutujad:

Siin on mõned nagu:

Millistel juurtel see toimib? Vastus: igale. Seetõttu võime kirjutada, et $x$ on suvaline arv.

Ülesanne nr 3

Kolmas lineaarvõrrand on juba huvitavam:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Siin on mõned sulud, kuid neid ei korruta millegagi, nad lihtsalt seisavad nende ees erinevaid märke. Jagame need lahti:

Teostame teise meile juba teadaoleva sammu:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Arvutame:

Viime läbi viimase sammu - jagame kõik koefitsiendiga "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Asjad, mida lineaarvõrrandite lahendamisel meeles pidada

Kui me ignoreerime liiga lihtsaid ülesandeid, siis tahaksin öelda järgmist:

• Nagu ma eespool ütlesin, ei ole igal lineaarvõrrandil lahendust – mõnikord pole lihtsalt juuri;
• Isegi kui juured on, võib nende sekka null sisse pääseda - selles pole midagi halba.

Null on sama number kui ülejäänud, te ei tohiks seda kuidagi eristada ega eeldada, et kui saate nulli, siis tegite midagi valesti.

Teine omadus on seotud sulgude laiendamisega. Pange tähele: kui nende ees on "miinus", eemaldame selle, kuid sulgudes muudame märgid vastupidine. Ja siis saame selle avada standardsete algoritmide järgi: saame selle, mida nägime ülaltoodud arvutustes.

Sellest aru saades lihtne fakt hoiab teid keskkoolis rumalaid ja haiget tekitavaid vigu tegemast, kui selliseid asju peetakse iseenesestmõistetavaks.

Keeruliste lineaarvõrrandite lahendamine

Liigume edasi keerulised võrrandid. Nüüd muutuvad konstruktsioonid keerulisemaks ja erinevate teisenduste tegemisel tekib ruutfunktsioon. Seda ei tasu aga karta, sest kui autori kavatsuse kohaselt lahendame lineaarvõrrandi, siis teisenduse käigus redutseeritakse tingimata kõik ruutfunktsiooni sisaldavad monomid.

Näide nr 1

Ilmselt on esimene samm sulgude avamine. Teeme seda väga hoolikalt:

Võtame nüüd privaatsuse:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel võrrandil lahendusi, seega kirjutame vastuses järgmiselt:

\[\variety \]

või pole juuri.

Näide nr 2

Teeme samu samme. Esimene samm:

Liigutame kõik muutujaga vasakule ja ilma selleta paremale:

Siin on mõned nagu:

Ilmselgelt pole sellel lineaarsel võrrandil lahendust, seega kirjutame selle järgmiselt:

\[\varnothing\],

või pole juuri.

Lahenduse nüansid

Mõlemad võrrandid on täielikult lahendatud. Nende kahe avaldise näitel veendusime veel kord, et isegi kõige lihtsamates lineaarvõrrandites ei saa kõik olla nii lihtne: neid võib olla kas üks või mitte ükski või lõpmatult palju. Meie puhul arvestasime kahte võrrandit, mõlemas lihtsalt pole juuri.

Kuid juhin teie tähelepanu veel ühele asjaolule: kuidas töötada sulgudega ja kuidas neid avada, kui nende ees on miinusmärk. Mõelge sellele väljendile:

Enne avamist peate kõik korrutama "x-ga". Pange tähele: korrutage iga üksiku terminiga. Sees on kaks terminit - vastavalt kaks terminit ja korrutatakse.

Ja alles pärast seda, kui need esmapilgul elementaarsed, kuid väga olulised ja ohtlikud transformatsioonid on lõpule viidud, saab sulgu avada sellest vaatenurgast, et selle järel on miinusmärk. Jah, jah: alles nüüd, kui teisendused on tehtud, meenub, et sulgude ees on miinusmärk, mis tähendab, et kõik allapoole lihtsalt muudab märke. Samal ajal kaovad klambrid ise ja mis kõige tähtsam, kaob ka eesmine "miinus".

Teeme sama teise võrrandiga:

Pole juhus, et pööran tähelepanu nendele väikestele, pealtnäha tähtsusetutele faktidele. Sest võrrandite lahendamine on alati jada elementaarsed teisendused kus suutmatus selgelt ja asjatundlikult esineda lihtsad sammud viib selleni, et minu juurde tulevad gümnasistid ja õpivad uuesti selliseid lihtsaid võrrandeid lahendama.

Muidugi tuleb päev, mil lihvite need oskused automatiseerimiseks. Enam ei pea iga kord nii palju teisendusi sooritama, kirjutad kõik ühele reale. Kuid õppimise ajal peate iga toimingu eraldi kirjutama.

Veelgi keerukamate lineaarvõrrandite lahendamine

Seda, mida me praegu lahendame, võib vaevalt nimetada kõige lihtsamaks ülesandeks, kuid tähendus jääb samaks.

Ülesanne nr 1

\[\vasak(7x+1 \parem)\vasak(3x-1 \parem)-21((x)^(2))=3\]

Korrutame kõik esimeses osas olevad elemendid:

Teeme retriiti:

Siin on mõned nagu:

Teeme viimase sammu:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Siin on meie lõplik vastus. Ja hoolimata asjaolust, et lahendamise käigus olid meil ruutfunktsiooniga koefitsiendid, need aga vastastikku annihileerusid, mis muudab võrrandi täpselt lineaarseks, mitte ruudukujuliseks.

Ülesanne nr 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Teeme esimese sammu ettevaatlikult: korrutage kõik esimeses sulus olevad elemendid iga teise elemendiga. Kokku tuleks pärast teisendusi saada neli uut terminit:

Ja nüüd tehke hoolikalt iga liikme korrutamine:

Liigutame terminid "x"-ga vasakule ja ilma - paremale:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Siin on sarnased terminid:

Oleme saanud lõpliku vastuse.

Lahenduse nüansid

Kõige olulisem märkus nende kahe võrrandi kohta on järgmine: niipea kui hakkame korrutama sulgusid, milles on rohkem kui liiget, tehakse seda järgmise reegli järgi: võtame esimese liikme esimesest ja korrutame iga elemendiga. teisest; siis võtame esimesest teise elemendi ja korrutame samamoodi iga teise elemendiga. Selle tulemusena saame neli terminit.

Algebralise summa kohta

Viimases näites tahaksin õpilastele meelde tuletada, mis on algebraline summa. Klassikalises matemaatikas peame 1-7 $ all silmas lihtsat konstruktsiooni: lahutame ühest seitse. Algebras peame selle all silmas järgmist: arvule "üks" lisame teise arvu, nimelt "miinus seitse". See algebraline summa erineb tavalisest aritmeetilisest summast.

Niipea, kui kõigi teisenduste, iga liitmise ja korrutamise sooritamisel hakkate nägema ülalkirjeldatutega sarnaseid konstruktsioone, pole polünoomide ja võrranditega töötamisel algebras probleeme.

Kokkuvõtteks vaatame veel paari näidet, mis on veelgi keerukamad kui need, mida just vaatlesime, ja nende lahendamiseks peame oma standardset algoritmi veidi laiendama.

Võrrandite lahendamine murdosaga

Selliste ülesannete lahendamiseks tuleb meie algoritmile lisada veel üks samm. Kuid kõigepealt tuletan meelde meie algoritmi:

1. Avage sulud.
2. Eraldi muutujad.
3. Too sarnased.
4. Jaga teguriga.

Kahjuks pole see suurepärane algoritm kogu oma tõhususe juures täiesti sobiv, kui meie ees on murded. Ja selles, mida me allpool näeme, on mõlemas võrrandis vasakul ja paremal murdosa.

Kuidas sel juhul töötada? Jah, see on väga lihtne! Selleks peate algoritmile lisama veel ühe sammu, mida saab teha nii enne esimest toimingut kui ka pärast seda, nimelt vabaneda murdosadest. Seega on algoritm järgmine:

1. Vabane murdosadest.
2. Avage sulud.
3. Eraldi muutujad.
4. Too sarnased.
5. Jaga teguriga.

Mida tähendab "murdudest vabanemine"? Ja miks on seda võimalik teha nii pärast kui ka enne esimest standardset sammu? Tegelikult on meie puhul kõik murrud nimetaja poolest numbrilised, st. kõikjal on nimetaja vaid arv. Seega, kui korrutada mõlemad võrrandi osad selle arvuga, siis vabaneme murdudest.

Näide nr 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vabaneme selle võrrandi murdudest:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot neli\]

Pange tähele: kõik korrutatakse “neljaga” üks kord, st. see, et teil on kaks sulud, ei tähenda, et peate need kõik korrutama "neljaga". Kirjutame:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nüüd avame selle:

Teostame muutuja eraldamise:

Vähendame sarnaseid termineid:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Saime lõplik otsus, liigume teise võrrandi juurde.

Näide nr 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Siin teostame kõik samad toimingud:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem lahendatud.

See on tegelikult kõik, mida ma täna öelda tahtsin.

Võtmepunktid

Peamised leiud on järgmised:

• Teadma lineaarvõrrandite lahendamise algoritmi.
• Sulgude avamise võimalus.
• Ärge muretsege, kui teil kuskil on ruutfunktsioonid, tõenäoliselt vähendatakse neid edasiste ümberkujundamiste käigus.
• Lineaarvõrrandite juured, isegi kõige lihtsamad, on kolme tüüpi: üks juur, kogu arvurida on juur, juuri pole üldse.

Loodan, et see õppetund aitab teil omandada lihtsa, kuid väga olulise teema kogu matemaatika paremaks mõistmiseks. Kui midagi pole selge, minge saidile, lahendage seal esitatud näited. Püsige lainel, teid ootab veel palju huvitavat!