Leia normaalse diferentsiaalvõrrandisüsteemi üldlahend. Kuidas lahendada diferentsiaalvõrrandi süsteemi operatiivmeetodi abil? Konstantsete koefitsientidega sooda lahendamise üldmeetod

Otsustasime selle osa pühendada diferentsiaalvõrrandisüsteemide lahendamisele kõige lihtsamal kujul d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , milles a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 on mõned reaalarvud. Selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks on kõige tõhusam integreerimismeetod. Vaatleme ka selle teema näidislahendust.

Diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahenduseks saab funktsioonide paar x (t) ja y (t) , mis on võimeline muutma süsteemi mõlemad võrrandid identiteediks.

Vaatleme diferentsiaalvõrrandisüsteemi d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 integreerimise meetodit. Avaldame x süsteemi 2. võrrandist, et välistada tundmatu funktsioon x (t) 1. võrrandist:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Eristagem 2. võrrandit suhtes t ja lahendage selle võrrand d x d t jaoks:

d 2 d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Nüüd asendame eelmiste arvutuste tulemuse süsteemi 1. võrrandiga:

d x d t = a 1 x + b 1 a + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 d t 2 - b 2 d d t = a 1 a 2 d d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ dt2 (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Seega elimineerisime tundmatu funktsiooni x (t) ja saime konstantsete koefitsientidega 2. järku lineaarse ebahomogeense DE. Leiame selle võrrandi y (t) lahendi ja asendame selle süsteemi 2. võrrandiga. Otsime üles x(t). Eeldame, et see lõpetab võrrandisüsteemi lahendamise.

Näide 1

Leia lahendus diferentsiaalvõrrandi süsteemile d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Otsus

Alustame süsteemi esimese võrrandiga. Lahendame selle x suhtes:

x = d y d t - 2 y + 3

Nüüd teeme süsteemi 2. võrrandi diferentseerimise, mille järel lahendame selle d x d t suhtes:

Arvutuste käigus saadud tulemuse saame asendada DE süsteemi 1. võrrandiga:

d x d t = x - 1 d 2 a d t 2 - 2 d y d t = d d t - 2 a + 3 - 1 d 2 a d t 2 - 3 d y d t + 2 a = 2

Teisenduste tulemusena oleme saanud 2. järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi konstantsete koefitsientidega d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Kui leiame selle üldlahenduse, saame funktsiooni y(t).

Vastava LODE y 0 üldlahenduse leiame, arvutades välja karakteristliku võrrandi k 2 - 3 k + 2 = 0 juured:

D \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

Saadud juured on kehtivad ja erinevad. Sellega seoses on LODE üldlahend kujul y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Nüüd leiame lineaarse ebahomogeense DE y ~ konkreetse lahenduse:

d 2 a d t 2 - 3 d d t + 2 a = 2

Võrrandi parem pool on nullkraadiga polünoom. See tähendab, et me otsime konkreetset lahendit kujul y ~ = A , kus A on määramatu koefitsient.

Määramatu koefitsiendi saame määrata võrrandist d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Seega y ~ = 1 ja y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Leidsime ühe tundmatu funktsiooni.

Nüüd asendame leitud funktsiooni DE süsteemi 2. võrrandiga ja lahendame uue võrrandi x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Seega arvutasime välja teise tundmatu funktsiooni x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Vastus: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Paljusid diferentsiaalvõrrandisüsteeme, nii homogeenseid kui ka ebahomogeenseid, saab ühe tundmatu funktsiooni suhtes taandada üheks võrrandiks. Näitame meetodit näidetega.

Näide 3.1. Lahendage süsteem

Otsus. 1) Erinevus suhtes t esimene võrrand ning teise ja kolmanda võrrandi kasutamine asendamiseks ja , leiame

Saadud võrrand on diferentseeruv suhtes uuesti

1) Loome süsteemi

Süsteemi kahe esimese võrrandi põhjal väljendame muutujaid ja läbi
:

Asendame leitud väljendid ja süsteemi kolmandasse võrrandisse

Niisiis, funktsiooni leidmiseks
saadi konstantsete koefitsientidega kolmandat järku diferentsiaalvõrrand

.

2) Integreerime viimase võrrandi standardmeetodil: koostame tunnusvõrrandi
, leidke selle juured
ja koostage üldlahendus eksponentide lineaarse kombinatsiooni kujul, võttes arvesse ühe juurte paljusust:.

3) Järgmisena leiate kaks ülejäänud funktsiooni
ja
, eristame kaks korda saadud funktsiooni

Süsteemi funktsioonide vahelisi ühendusi (3.1) kasutades taastame ülejäänud tundmatud

.

Vastus. ,
,.

Võib selguda, et kõik teadaolevad funktsioonid peale ühe jäetakse kolmandat järku süsteemist välja ka pärast ühekordset eristamist. Sel juhul on diferentsiaalvõrrandi järjekord selle leidmiseks väiksem kui tundmatute funktsioonide arv algses süsteemis.

Näide 3.2. Integreerige süsteem

(3.2)

Otsus. 1) Erinevus suhtes esimene võrrand, leiame

Muutujad välja arvatud ja võrranditest

suhtes on meil teist järku võrrand

(3.3)

2) Süsteemi (3.2) esimesest võrrandist saame

(3.4)

Asendades süsteemi (3.2) kolmandasse võrrandisse leitud avaldised (3.3) ja (3.4) ja , saame funktsiooni määramiseks esimest järku diferentsiaalvõrrandi

Integreerides selle ebahomogeense võrrandi konstantsete esimest järku koefitsientidega, leiame
Kasutades (3.4), leiame funktsiooni

Vastus.
,,
.

Ülesanne 3.1. Lahendage homogeensed süsteemid taandades üheks diferentsiaalvõrrandiks.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Konstantsete koefitsientidega lineaarsete homogeensete diferentsiaalvõrrandisüsteemide lahendamine fundamentaalse lahendussüsteemi leidmise teel

Lineaarsete homogeensete diferentsiaalvõrrandite süsteemi üldlahenduse võib leida süsteemi põhilahenduste lineaarse kombinatsioonina. Konstantsete koefitsientidega süsteemide puhul saab põhimõtteliste lahenduste leidmiseks kasutada lineaaralgebra meetodeid.

Näide 3.3. Lahendage süsteem

(3.5)

Otsus. 1) Kirjutage süsteem ümber maatriksi kujul

. (3.6)

2) Otsime süsteemi fundamentaalset lahendust vektori kujul
. Asendusfunktsioonid
(3.6) ja vähendades võrra , saame

, (3.7)

see on number peab olema maatriksi omaväärtus
, ja vektor vastav omavektor.

3) Lineaaralgebra käigust on teada, et süsteemil (3.7) on mittetriviaalne lahend, kui selle determinant on võrdne nulliga

,

st. Siit leiame omaväärtused
.

4) Leia vastavad omavektorid. Esimese väärtuse asendamine (3.7).
, saame süsteemi esimese omavektori leidmiseks

Siit saame seose tundmatute vahel
. Meile piisab ühe mittetriviaalse lahenduse valimisest. Eeldusel
, siis
, see tähendab vektorit on omaväärtuse omaväärtus
, ja funktsiooni vektor
antud diferentsiaalvõrrandisüsteemi (3.5) fundamentaalne lahendus. Samamoodi teise juure asendamisel
punktis (3.7) on meil teise omavektori maatriksvõrrand
. Kust saame selle komponentide vahelise ühenduse
. Seega on meil teine ​​põhimõtteline lahendus

.

5) Süsteemi (3.5) üldlahendus konstrueeritakse kahe saadud põhilahenduse lineaarse kombinatsioonina

või koordinaatide kujul

.

Vastus.

.

Ülesanne 3.2. Lahendage süsteeme, leides lahenduste põhisüsteemi.

Maatrikstähistus konstantsete koefitsientidega tavaliste diferentsiaalvõrrandisüsteemi (SODE) jaoks

Lineaarne homogeenne SODE konstantsete koefitsientidega $\left\(\begin(massiivi)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(massiivi)\right.$,

kus $y_(1) \left(x\right),\; y_(2) \left(x\right),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- sõltumatu muutuja $x$ soovitud funktsioonid, koefitsiendid $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- esitame antud reaalarvud maatriksmärgistuses:

1. soovitud funktsioonide maatriks $Y=\left(\begin(massiivi)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(massiivi)\right)$;
2. tuletatud otsustusmaatriks $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(massiivi)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(massiivi)\right)$;
3. SODE koefitsiendi maatriks $A=\left(\begin(massiivi)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(massiivi)\right)$.

Nüüd saab maatriksi korrutamise reegli alusel selle SODE kirjutada maatriksvõrrandina $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Konstantsete koefitsientidega SODE-de lahendamise üldmeetod

Olgu siin mõne arvu maatriks $\alpha =\left(\begin(massiiv)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) \end(massiivi)\right)$.

SODE lahendus on leitud järgmisel kujul: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Maatriksi kujul: $Y=\left(\begin(massiivi)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(massiiv )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(massiivi)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(massiivi)\right)$.

Siit saame:

Nüüd saab selle SODE maatriksvõrrandi anda kujul:

Saadud võrrandit saab esitada järgmiselt:

Viimane võrrand näitab, et vektor $\alpha $ teisendatakse maatriksi $A$ abil temaga paralleelseks vektoriks $k\cdot \alpha $. See tähendab, et vektor $\alpha $ on omaväärtusele $k$ vastava maatriksi $A$ omavektor.

Arvu $k$ saab määrata võrrandist $\left|\begin(massiivi)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(massiivi)\right|=0$.

Seda võrrandit nimetatakse iseloomulikuks.

Olgu kõik tunnusvõrrandi juured $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ erinevad. Iga $k_(i)$ väärtuse jaoks alates $\left(\begin(massiiv)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(massiivi)\right)\cdot \left(\begin(massiivi)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(massiivi)\right)=0$ väärtuste maatriks saab defineerida $\left(\begin(massiivi)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(massiivi)\right)$.

Üks selle maatriksi väärtustest valitakse meelevaldselt.

Lõpuks kirjutatakse selle süsteemi lahendus maatriks kujul järgmiselt:

$\left(\begin(massiivi)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(massiivi)\right)=\ vasak(\begin(massiiv)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right))) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) \end(massiivi)\right)\cdot \left(\begin(massiivi)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(massiivi)\right)$,

kus $C_(i) $ on suvalised konstandid.

Ülesanne

Lahendage süsteem $\left\(\begin(massiiv)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(massiivi)\right.$.

Kirjutage süsteemimaatriks: $A=\left(\begin(massiivi)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(massiivi)\right)$.

Maatriksi kujul kirjutatakse see SODE järgmiselt: $\left(\begin(massiivi)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (massiivi)\right)=\left(\begin(massiivi)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(massiivi)\right)\cdot \left( \begin( massiiv)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(massiivi)\right)$.

Saame iseloomuliku võrrandi:

$\left|\begin(massiivi)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(massiivi)\right|=0$, st $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.

Karakteristiku võrrandi juured: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Koostame süsteemi $\left(\begin(massiivi)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right))) \end(massiivi)\right)$ $k_(1) =1$ jaoks:

\[\left(\begin(massiiv)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(massiivi)\right)\cdot \ vasak(\begin(massiivi)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (massiivi)\right)=0,\]

st $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0 $.

Kui panna $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, saame $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Koostame süsteemi $\left(\begin(massiivi)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right))) \end(massiivi)\right)$ $k_(2) =9$ jaoks:

\[\left(\begin(massiivi)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(massiivi)\right)\cdot \ vasak(\begin(massiivi)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (massiivi)\right)=0, \]

st $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0 $.

Kui panna $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, saame $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

SODE lahenduse saame maatriksi kujul:

\[\left(\begin(massiivi)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(massiivi)\right)=\left(\begin(massiivi)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(massiivi)\right)\cdot \left(\begin(massiivi)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(massiivi)\right).\]

Tavalisel kujul on SODE lahendus järgmine: $\left\(\begin(massiiv)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (massiivi )\right.$.

Võrrandid.

Sissejuhatus.

Paljudes matemaatika, füüsika ja tehnoloogia probleemides on vaja määratleda mitu funktsiooni, mis on omavahel seotud mitme diferentsiaalvõrrandiga.

Selleks on vaja, et üldiselt oleks sama arv võrrandeid. Kui igaüks neist võrranditest on diferentsiaal, see tähendab, et sellel on seos, mis ühendab tundmatuid funktsioone ja nende tuletisi, siis öeldakse diferentsiaalvõrrandi süsteemi kohta.

1. Normaalne esimest järku diferentsiaalvõrrandi süsteem. Cauchy probleem.

Definitsioon. Diferentsiaalvõrrandi süsteem on võrrandite kogum, mis sisaldab mitut tundmatut funktsiooni ja nende tuletisi ning iga võrrand sisaldab vähemalt ühte tuletist.

Diferentsiaalvõrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks, kui tundmatud funktsioonid ja nende tuletised sisenevad igasse võrrandisse ainult esimesel astmel.

Lineaarsüsteemi nimetatakse normaalne, kui see on lubatud kõigi tuletisinstrumentide puhul

Tavalises süsteemis ei sisalda võrrandite parempoolsed küljed soovitud funktsioonide tuletisi.

Otsus diferentsiaalvõrrandite süsteemi nimetatakse funktsioonide kogumiks https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> diferentsiaalvõrrandisüsteemi algtingimused.

Sageli kirjutatakse algtingimused vormile

Üldlahendus (integraal ) Diferentsiaalvõrrandi süsteemi nimetatakse hulgaks « n» sõltumatu muutuja funktsioonid x ja « n» suvalised konstandid C1 , C2 , …, Cn:

..……………………..

mis rahuldavad kõik selle süsteemi võrrandid.

Antud algtingimustele vastava süsteemi konkreetse lahenduse saamiseks võtaks https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> antud väärtused .

Cauchy ülesanne normaalse diferentsiaalvõrrandi süsteemi jaoks on kirjutatud järgmiselt

Olemasolu ja kordumatuse teoreem Cauchy ülesande lahendamiseks.

Normaalse diferentsiaalvõrrandisüsteemi (1) jaoks formuleeritakse Cauchy teoreem lahenduse olemasolu ja kordumatuse kohta järgmiselt:

Teoreem. Olgu süsteemi (1) võrrandite parempoolsed osad, st funktsioonid , (i=1,2,…, n) on pidevad mõne domeeni kõigis muutujates D ja selles on pidevad osatuletised https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24">, mis kuuluvad piirkonda D, on ainult üks süsteemilahendus (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Normaalsüsteemi lahendamine eliminatsioonimeetodil.

Tavalise diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahendamiseks kasutatakse tundmatute elimineerimise meetodit ehk Cauchy meetodit.

Olgu tavaline süsteem antud

Eristada suhtes X süsteemi esimene võrrand

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> nende avaldised võrrandisüsteemist (1), saame

Diferentseerime saadud võrrandi ja jätkates sarnaselt eelmisega, leiame

Nii et saime süsteemi

(2)

Alates esimesest n-1 võrrandid, mille me määratleme y2 , y3 , … , yn , väljendades neid läbi

Ja

(3)

Asendades need avaldised viimase võrrandiga (2), saame võrrandid n-nda et määrata y1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Viimase väljendi eristamine n-1 aeg, leia tuletised

funktsioonina . Asendades need funktsioonid võrranditeks (4), defineerime y2 , y3 , … , yn .

Seega saime süsteemi (1) üldlahenduse

(6)

Et leida süsteemile (1) konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele

võrrandist (6) on vaja leida suvaliste konstantide vastavad väärtused С1 , С2 , … , Сn .

Näide.

Leidke võrrandisüsteemi üldlahendus:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

uute tundmatute funktsioonide jaoks.

Järeldus.

Diferentsiaalvõrrandisüsteeme kohtab selliste protsesside uurimisel, mille kirjeldamiseks ühest funktsioonist ei piisa. Näiteks vektori väljajoonte leidmiseks on vaja lahendada diferentsiaalvõrrandi süsteem. Kõverjoonelise liikumise dünaamika ülesannete lahendamine viib kolmest diferentsiaalvõrrandist koosneva süsteemini, milles tundmatuteks funktsioonideks on liikuva punkti projektsioonid koordinaatide telgedel ja sõltumatuks muutujaks on aeg. Hiljem saate teada, et elektromagnetilise sidestuse kahe elektriahela elektrotehniliste ülesannete lahendamiseks on vaja lahendada kahe diferentsiaalvõrrandi süsteem. Selliste näidete arvu saab hõlpsasti suurendada.

Põhimõisted ja definitsioonid Punktide dünaamika lihtsaim ülesanne viib diferentsiaalvõrrandisüsteemini: on antud materiaalsele punktile mõjuvad jõud; leida liikumisseadus, st leida funktsioonid x = x(t), y = y(t), z = z(t), mis väljendavad liikuva punkti koordinaatide sõltuvust ajast. Sel juhul saadav süsteem on üldiselt kujul Siin x, y, z on liikuva punkti koordinaadid, t on aeg, f, g, h on nende argumentide teadaolevad funktsioonid. Vormi (1) süsteemi nimetatakse kanooniliseks. Pöördudes argumendi t m tundmatu funktsiooniga m diferentsiaalvõrrandi süsteemi üldjuhule, nimetame kõrgemate tuletiste suhtes lahendatud vormiga süsteemi kanooniliseks. Esimest järku võrrandisüsteemi, mis on lahendatud soovitud funktsioonide tuletiste suhtes, nimetatakse normaalseks. Kui võtta uute abifunktsioonidena, siis saab üldkanoonilise süsteemi (2) asendada ekvivalentse võrranditest koosneva normaalsüsteemiga. Seetõttu piisab, kui kaaluda ainult tavalisi süsteeme. Näiteks üks võrrand on kanoonilise süsteemi erijuhtum. Seadistades ^ = y, saame algse võrrandi toimel Selle tulemusena saame normaalse võrrandisüsteemi DIFERENTSIAALVÕRDENDITE SÜSTEEMID Integreerimismeetodid Elimineerimismeetodid Integreeritavate kombinatsioonide meetod Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid Põhimaatriks Konstantide variatsiooni meetod Konstantsete koefitsientidega lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid Maatriksmeetod, mis on ekvivalentne algvõrrandiga. Definitsioon 1. Normaalsüsteemi (3) lahend argumendi t muutuse intervallil (a, b) on mis tahes n funktsiooni süsteem, mis on diferentseeruv intervallil, mis teisendab süsteemi (3) võrrandid identsusteks t suhtes intervallil (a, b) Süsteemi (3) Cauchy ülesanne on sõnastatud järgmiselt: leidke süsteemile lahendus (4), mis rahuldab t = muutuste mõõtmete domeeni D algtingimusi. muutujad t, X\, x 2, ..., xn. Kui on olemas naabrus ft trahv, milles funktsioonid ft on argumentide hulgas pidevad ja neil on muutujate X1, x2, suhtes piiratud osatuletised. .., xn, siis on t muutuse intervall kuni - L0, millel on normaalsüsteemi (3) unikaalne lahendus, mis rahuldab algtingimusi Definitsioon 2. Suvaliste konstantide n funktsioonide süsteem, mis sõltub tun nimetatakse normaalse üldlahendiks süsteem (3) mõnes Cauchy ülesande lahenduse olemasolu ja kordumatuse domeenis П, kui 1) mis tahes lubatud väärtuste korral muudab funktsioonide süsteem (6) võrrandid (3) identiteetideks, 2) domeenis П funktsioonid (6) lahendavad mis tahes Cauchy probleemi. Konstantide konkreetsete väärtuste jaoks üldisest saadud lahendusi nimetatakse erilahendusteks. Selguse huvides pöördume kahe võrrandi normaalsüsteemi poole. Väärtuste süsteemi t> X\, x2 vaatleme kolmemõõtmelise ruumi punkti ristkülikukujuliste Descartes'i koordinaatidena, mida nimetatakse Otx\x2 koordinaatide süsteemiks. Süsteemi (7) lahendus, mis võtab väärtused t - to, määrab ruumis teatud punkti läbiva sirge) - seda joont nimetatakse normaalse süsteemi (7) integraalkõveraks. Süsteemi (7) Ko-shi ülesanne saab järgmise geomeetrilise formuleeringu: leidke muutujate ruumist t > X\, x2 integraalkõver, mis läbib antud punkti Mo(to,x1,x2) (joonis 1) . 1. teoreem määrab kindlaks sellise kõvera olemasolu ja kordumatuse. Normaalsüsteemile (7) ja selle lahendile võib anda ka järgmise tõlgenduse: parameetrina käsitleme sõltumatut muutujat t ja x\Ox2 tasapinnal oleva kõvera parameetriliste võrranditena süsteemi lahendust. Seda muutujate X\X2 tasandit nimetatakse faasitasandiks. Faasitasandil kujutatakse lahendust (süsteemi (7) 0, mis t = t0 korral saab algväärtused x°(, x2, punkti läbiv kõver AB). Seda kõverat nimetatakse trajektooriks. süsteemi (faasitrajektoor).Süsteemi (7) trajektoor on projektsioon 2. Diferentsiaalvõrrandisüsteemide integreerimise meetodid 2.1. Eliminatsioonimeetod Üheks integreerimismeetodiks on eliminatsioonimeetod. lahendatakse kõrgeima tuletise suhtes, Uute funktsioonide sisseviimisel võrrand järgmise normaalse n võrrandisüsteemiga: asendame selle ühe n-ndat järku võrrandit, mis on ekvivalentne normaalsüsteemiga (1) See on diferentsiaalvõrrandisüsteemide integreerimise elimineerimismeetodi aluseks. . Seda tehakse nii. Olgu meil normaalne diferentsiaalvõrrandi süsteem. Diferentseerime võrranditest (2) esimest t suhtes. Meil on toote paremal küljel asendamine või lühidalt, võrrand (3) on jällegi diferentseeritav t suhtes. Võttes arvesse süsteemi (2), saame või Protsessi jätkates leiame Oletame, et determinant (funktsioonide süsteemi jakobilane on vaadeldavate väärtuste puhul nullist erinev, siis võrrandisüsteem, mis koosneb süsteemi esimesest võrrandist () 2) ja võrrandid on lahendatavad tundmatute suhtes, väljendatakse läbi Leitud avaldiste sisestamise võrrandisse saame ühe n-ndat järku võrrandi. Juba selle konstrueerimismeetodist järeldub, et kui) süsteemile on lahendused. (2), siis on funktsioon X\(t) võrrandi (5) lahendus. Vastupidi, olgu võrrandi (5) lahend. Diferentseerides seda lahendust t suhtes, arvutame välja ja asendame leitud väärtused teadaolevate funktsioonidena Eeldusel, et seda süsteemi saab lahendada xn suhtes t funktsioonina. Võib näidata, et sel viisil konstrueeritud funktsioonide süsteem moodustab lahenduse diferentsiaalvõrrandisüsteemile (2). Näide. Süsteemi on vaja integreerida. Süsteemi esimest võrrandit eristades saame teise võrrandi abil teise järgu lineaarse diferentsiaalvõrrandi konstantsete koefitsientidega ühe tundmatu funktsiooniga. Selle üldlahendusel on vorm Süsteemi esimese võrrandi alusel leiame funktsiooni. Leitud funktsioonid x(t), y(t), nagu on lihtne kontrollida, mis tahes С| ja C2 vastavad antud süsteemile. Funktsioone saab esitada kujul, millest on näha, et süsteemi (6) integraalkõverad on spiraalsed sirged, mille samm on ühise teljega x = y = 0, mis on ühtlasi integraalkõver (joon. 3) . Elimineerides parameetri valemites (7), saame võrrandi nii, et antud süsteemi faasitrajektoorideks on alguspunktis tsentreeritud ringid - spiraaljoonte projektsioonid tasapinnale A = 0 korral koosneb faasitrajektoor ühest punktist, nimetatakse süsteemi puhkepunktiks. ". Võib selguda, et funktsioone ei saa väljendada. Siis n-ndat järku võrrandeid, mis on samaväärsed algse süsteemiga, me ei saa. Siin on lihtne näide. Võrrandisüsteemi ei saa asendada x\ või x2 samaväärse teist järku võrrandiga. See süsteem koosneb esimest järku võrrandite paarist, millest igaüks on iseseisvalt integreeritud, mis annab integreeritavate kombinatsioonide meetodi. Diferentsiaalvõrrandi dXi tavaliste süsteemide integreerimine toimub mõnikord integreeritavate kombinatsioonide meetodil. Integreeritav kombinatsioon on diferentsiaalvõrrand, mis on valemi (8) tagajärg, kuid on juba kergesti integreeritav. Näide. Süsteemi integreerimine DIFERENTSIAALVÕRRADITE SÜSTEEMID Integreerimise meetodid Eliminatsiooni meetod Integreeritavate kombinatsioonide meetodid Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid Fundamentaalne maatriks Konstantide variatsiooni meetod Konstantsete koefitsientidega lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid Maatriksmeetod 4 Liides liikmed, leiame need võrrandid integreeritav kombinatsioon: teine ​​integreeritav kombinatsioon: kust Leidsime kaks lõplikku võrrandit, millest on lihtne määrata süsteemi üldlahend: Üks integreeritav kombinatsioon võimaldab saada ühe võrrandi, mis seob sõltumatu muutuja t ja tundmatuid funktsioone. Sellist lõplikku võrrandit nimetatakse süsteemi (8) esimeseks integraaliks. Teisisõnu: diferentsiaalvõrrandisüsteemi (8) esimene integraal on diferentseeruv funktsioon, mis ei ole identselt konstantne, kuid säilitab konstantse väärtuse selle süsteemi mis tahes integraalkõveral. Kui süsteemist (8) leitakse n esimest integraali ja need kõik on sõltumatud, st funktsioonide süsteemi Jacobi skeem on nullist erinev: Diferentsiaalvõrrandi süsteemi nimetatakse lineaarseks, kui see on lineaarne tundmatute funktsioonide ja nende tuletiste suhtes. sisaldub võrrandis. n esimest järku lineaarvõrrandi süsteemil, mis on kirjutatud normaalkujul, on vorm või maatrikskujul teoreem 2. Kui kõik funktsioonid on intervallil pidevad, siis iga punkti piisavalt väikeses naabruses xn) kus), on täidetud olemasoluteoreemi tingimused ja Cauchii ülesande lahenduse kordumatus, seetõttu läbib iga sellist punkti süsteemi (1) kordumatu integraalkõver. Tõepoolest, sel juhul on süsteemi (1) parempoolsed küljed pidevad argumentide hulgas t)x\,x2)..., xn ja nende osatuletised suhtes, on piiratud, kuna need tuletised on võrdsed intervallil pidevate koefitsientidega Toome sisse lineaarse operaatori Siis kirjutatakse süsteem ( 2) kujule Kui maatriks F on null, siis intervallil (a, 6) nimetatakse süsteemi (2) lineaarseks homogeenseks ja on kujul. Esitame mõned teoreemid, mis määravad lineaarsete süsteemide lahenduste omadused. Teoreem 3. Kui X(t) on lineaarse homogeense süsteemi lahendus, kus c on suvaline konstant, on sama süsteemi lahend. Teoreem 4. Homogeense lineaarse võrrandisüsteemi kahe lahendi summa on sama süsteemi lahend. Tagajärg. Suvaliste konstantsete koefitsientidega c lineaarne kombinatsioon lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandisüsteemi lahenditest on sama süsteemi lahendus. Teoreem 5. Kui X(t) on lineaarse ebahomogeense süsteemi lahend - vastava homogeense süsteemi lahend, siis on summa mittehomogeense süsteemi lahend Tõepoolest, tingimuse järgi, Kasutades operaatori aditiivsuse omadust, saame See tähendab, et summa on mittehomogeense võrrandisüsteemi lahendus Definitsioon. Vektoreid, kus nimetatakse intervallist lineaarselt sõltuvateks, kui on olemas sellised konstantsed arvud, et , ja vähemalt üks arvudest a ei ole võrdne nulliga. Kui identsus (5) kehtib ainult siis, kui vektorid on lineaarselt sõltumatud punktides (a, b). Pange tähele, et üks vektori identiteet (5) on samaväärne n identiteediga: . Determinanti nimetatakse vektorite süsteemi Wronsky determinandiks. Definitsioon. Olgu meil lineaarne homogeenne süsteem, kus on elementidega maatriks Intervallist lineaarselt sõltumatu lineaarse homogeense süsteemi (6) n lahendist koosnevat süsteemi nimetatakse fundamentaalseks. Teoreem 6. Lõigul a b pidevate koefitsientide a-ij(t) lineaarse homogeense süsteemi (6) intervalli põhilahenduste süsteemi Wronsky determinant W(t) on vahemikus (a) kõigis punktides nullist erinev. , 6). Teoreem 7 (lineaarse homogeense süsteemi üldlahenduse struktuuri kohta). Intervallil pidevate koefitsientidega lineaarse homogeense süsteemi valdkonna üldlahendus on süsteemi (6) n lahendi lineaarne kombinatsioon, mis on intervallist a lineaarselt sõltumatud: suvalised konstantsed arvud). Näide. Süsteemil on, nagu seda on lihtne kontrollida, Eshi lahenduste lahendid lineaarselt sõltumatud, kuna Wronsky determinant erineb nullist: "Süsteemi üldlahendil on kuju või need on suvalised konstandid). 3.1. Põhimaatriks Ruutmaatriks, mille veerud on süsteemi (6) lineaarselt sõltumatud lahendid, on lihtne kontrollida, kas põhimaatriks rahuldab maatriksvõrrandit Kui X(t) on süsteemi (6) põhimaatriks, siis on süsteemi üldlahend. saab esitada konstantse veerumaatriksina suvaliste elementidega. , Maatriksit nimetatakse Cauchy maatriksiks. Selle abil saab süsteemi (6) lahendit esitada järgmiselt: Lause 8 (üldlahenduse struktuuri kohta lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi süsteemi).Üldlahend lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandisüsteemi valdkonnas pidevate koefitsientidega intervallil ja paremal pool fi (t) on võrdne üldlahenduse summaga. vastav homogeenne süsteem ja mõni konkreetne mittehomogeense süsteemi lahendus X(t) (2): 3.2. Konstantide variatsiooni meetod Kui lineaarse homogeense süsteemi (6) üldlahend on teada, siis konstantide variatsiooni meetodil (Lagrange'i meetod) võib leida ebahomogeense süsteemi konkreetse lahenduse. Olgu olemas homogeense süsteemi (6) üldlahend, siis dXk ja lahendid on lineaarselt sõltumatud. Otsime mittehomogeense süsteemi konkreetset lahendust, kus t on tundmatud funktsioonid. Diferentseerimine, meil on Asendamine, saame Kuna definitsiooni jaoks saame süsteemi või laiendatud kujul, süsteem (10) on lineaarne algebraline süsteem 4(0 > mille determinant on Wronsky determinant W(t) See determinant erineb igal pool intervallil nullist, nii et süsteemil) on ainulaadne lahendus, kus MO on tuntud pidevad funktsioonid. Viimaseid seoseid integreerides leiame Nende väärtuste asendamisel leiame süsteemi (2) konkreetse lahenduse: Kokku integreeritakse selline süsteem, taandades selle üheks kõrgemat järku võrrandiks ja see võrrand on samuti lineaarne konstantsed koefitsiendid.Teine tõhus meetod konstantsete koefitsientidega süsteemide integreerimiseks on Laplace'i teisendusmeetod. Vaatleme ka Euleri meetodit konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandi lineaarsete homogeensete süsteemide integreerimiseks. See koosneb järgmisest: Euleri meetodi süsteem (3) lineaarne homogeenne x algebraline võrrand n tundmatuga an omab mittetriviaalset lahendit, on vajalik ja piisav, et selle determinant oleks võrdne nulliga: Võrrandit (4) nimetatakse tunnuseks. Selle vasakul küljel on polünoom A suhtes astmega n. Sellest võrrandist määratakse need A väärtused, mille jaoks süsteemil (3) on mittetriviaalsed lahendid a\. Kui kõik tunnusvõrrandi juured (4) on erinevad, siis asendades need omakorda süsteemiga (3), leiame neile selle süsteemi mittetriviaalsed lahendid ja seetõttu leiame algse diferentsiaalvõrrandisüsteemi (1) n lahendit ) kujul, kus teine ​​indeks näitab lahenduse numbrit ja esimene indeks näitab tundmatu funktsiooni numbrit. Sel viisil konstrueeritud lineaarse homogeense süsteemi (1) n osalahendit moodustavad, nagu võib kontrollida, selle süsteemi põhilahenduste süsteemi. Järelikult on homogeense diferentsiaalvõrrandisüsteemi (1) üldlahend kujul - suvalised konstandid. Juhtu, kui tunnusvõrrandil on mitu juurt, ei võeta arvesse. M Otsime lahendust kujul Iseloomulik võrrand Süsteem (3) 01.02 määramiseks näeb välja selline: Asendades saame siit Siit, Eeldades, et leiame seega Selle süsteemi üldlahendus: DIFERENTSIAALVÕRRADITE SÜSTEEMID Integreerimismeetodid Eliminatsioonimeetod Integreeritavad kombinatsioonid meetod Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid Fundamentaalmaatriks Variatsioonimeetodi konstandid Konstantsete koefitsientidega lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid Maatriksmeetod Kirjeldame ka maatriksmeetodit homogeense süsteemi integreerimiseks (1). Kirjutame süsteemi (1) konstantsete reaalelementidega a,j maatriksina. Tuletagem meelde mõningaid mõisteid lineaaralgebrast. Vektorit g F O nimetatakse maatriksi A omavektoriks, kui arvu A nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks, mis vastab omavektorile g, ja see on karakteristiku võrrandi juur, kus I on identsusmaatriks. Eeldame, et maatriksi A kõik omaväärtused An on erinevad. Sel juhul on omavektorid lineaarselt sõltumatud ja on olemas n x n-maatriks T, mis taandab maatriksi A diagonaalkujuks, st nii, et maatriksi T veerud on omavektorite koordinaadid. Tutvustame ka järgmist. mõisted. Olgu B(t) n x n-maatriks, mille elemendid 6,;(0 on hulgal defineeritud argumendi t funktsioonid. Maatriksit B(f) nimetatakse pidevaks punktis Π, kui kõik selle elemendid 6, j(f) on pidevad Q-l Maatriksit B(*) nimetatakse diferentseeruvaks Π-l, kui selle maatriksi kõik elemendid on Q-l diferentseeruvad. Sel juhul on ^p-maatriksi B(*) tuletis maatriks, mille elemendid on maatriksi B(*) -vastavate elementide tuletised veerg-vektor Võttes arvesse maatriksalgebra reegleid, kontrollime otsese kontrolliga, et valemi kehtivus on kujul, kus on omavektorid-veerud maatriksi suvalised konstantsed arvud. Tutvustame uut tundmatu veeru vektorit valemiga, kus T on maatriks, mis taandab maatriksi A diagonaalkujule. et T 1 AT \u003d A, jõuame süsteemi. Saime n sõltumatu võrrandi süsteemi, mida saab hõlpsasti integreerida: (12) Siin on suvalised konstantsed arvud. Tuues sisse ühikulised n-mõõtmelised veeruvektorid, saab lahenduse esitada järgmiselt. Kuna maatriksi T veerud on maatriksi omavektorid, maatriksi A omavektorid. Seega, asendades (13) väärtusega (11), saame valemi ( 10): Seega, kui maatriksil A diferentsiaalvõrrandisüsteemil (7) on erinevad omaväärtused, siis selle süsteemi üldise lahenduse saamiseks: 1) leiame algebralise võrrandi 2 juurtena maatriksi omaväärtused " leiame kõik omavektorid 3) kirjutame valemiga (10 ) välja diferentsiaalvõrrandisüsteemi (7) üldlahenduse. Näide 2. Süsteemi lahendamine Maatriksmeetod 4 Süsteemi maatriks A on kujul 1) Koostage tunnusvõrrand Karakteristikavõrrandi juured. 2) Leiame omavektorid Kui A = 4 saame süsteemi, kus = 0|2, nii et Samamoodi A = 1 korral leiame I 3) Valemi (10) abil saame diferentsiaalvõrrandisüsteemi üldlahenduse Iseloomuliku võrrandi juured võivad olla reaalsed ja keerulised. Kuna eeldades, et süsteemi (7) koefitsiendid ay on reaalsed, on karakteristikul võrrandil reaalsed koefitsiendid. Seetõttu on sellel koos kompleksjuurega A ka juur \*, kompleksne konjugaat A-ga. On lihtne näidata, et kui g on omaväärtusele A vastav omavektor, siis on ka A* omaväärtus, mis vastab omavektorile g*, kompleks konjugeeritud g-ga. Kompleksi A korral on süsteemi (7) taioKe lahendus kompleksne. Selle lahenduse reaal- ja mõtteline osa on süsteemi (7) lahendid. Omaväärtus A* vastab reaallahenduste paarile. sama paar mis omaväärtuse A puhul. Seega vastab komplekssete konjugeeritud omaväärtuste paar A, A* diferentsiaalvõrrandisüsteemi (7) reaallahenduste paarile. Olgu tegelikud omaväärtused, komplekssed omaväärtused. Siis on süsteemi (7) mis tahes reaalne lahendus selline, kus c on suvalised konstandid. Näide 3. Lahendage süsteem -4 Süsteemi maatriks 1) Süsteemi tunnusvõrrand Selle juured Maatriksi omavektorid 3) Süsteemi lahendus, kus on suvalised komplekskonstandid. Leiame süsteemi reaalsed lahendused. Euleri valemit kasutades saame Seetõttu on süsteemi mis tahes reaalne lahendus suvaliste reaalarvude kujul. Harjutused Süsteemide integreerimine elimineerimismeetodi abil: Süsteemide integreerimine mitteteatavate kombinatsioonide meetodil: Süsteemide integreerimine maatriksmeetodi abil: Vastused