Esimest järku kõige lihtsamad diferentsiaalvõrrandid on näited. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Haridusasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

ESIMESE JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRADID

Loengu kokkuvõte raamatupidamise üliõpilastele

kirjavahetusõppe vorm (NISPO)

Gorki, 2013

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldised ja erilahendused

Erinevate nähtuste uurimisel ei ole sageli võimalik leida seadust, mis seostaks otseselt sõltumatut muutujat soovitud funktsiooniga, küll aga on võimalik luua seos soovitud funktsiooni ja selle tuletiste vahel.

Nimetatakse seost, mis ühendab sõltumatut muutujat, soovitud funktsiooni ja selle tuletisi diferentsiaalvõrrand :

Siin x on sõltumatu muutuja, y on soovitud funktsioon,
on soovitud funktsiooni tuletised. Sel juhul eeldab seos (1) vähemalt ühe tuletise olemasolu.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrrandi kõrgeima tuletise järjekord.

Mõelge diferentsiaalvõrrandile

. (2)

Kuna see võrrand sisaldab ainult esimest järku tuletist, siis seda nimetatakse on esimest järku diferentsiaalvõrrand.

Kui võrrandit (2) saab tuletise suhtes lahendada ja kirjutada kui

, (3)

siis nimetatakse sellist võrrandit normaalkujul esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

Paljudel juhtudel on otstarbekas kaaluda vormi võrrandit

mida nimetatakse esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis on kirjutatud diferentsiaalkujul.

Sest
, siis võrrandi (3) saab kirjutada kujul
või
, kus saab lugeda
ja
. See tähendab, et võrrand (3) on teisendatud võrrandiks (4).

Kirjutame võrrandi (4) vormile
. Siis
,
,
, kus saab lugeda
, st. saadakse võrrand kujul (3). Seega on võrrandid (3) ja (4) samaväärsed.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega (2) või (3) kutsutakse välja mis tahes funktsioon
, mis selle võrrandiga (2) või (3) asendades muudab selle identiteediks:

või
.

Diferentsiaalvõrrandi kõigi lahendite leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni ja lahendusgraafik
nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks integraalkõver see võrrand.

Kui diferentsiaalvõrrandi lahend saadakse kaudsel kujul
, siis nimetatakse seda lahutamatu antud diferentsiaalvõrrand.

Üldine lahendus esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi funktsioonide perekond
, olenevalt suvalisest konstandist FROM, millest igaüks on antud diferentsiaalvõrrandi lahend suvalise konstandi mis tahes lubatud väärtuse jaoks FROM. Seega on diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendeid.

Eraldi otsus Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse lahendit, mis saadakse suvalise konstandi konkreetse väärtuse üldlahendusvalemist FROM, kaasa arvatud
.

Cauchy probleem ja selle geomeetriline tõlgendus

Võrrandil (2) on lõpmatu arv lahendeid. Sellest komplektist ühe lahenduse väljatoomiseks, mida nimetatakse konkreetseks lahenduseks, tuleb täpsustada mõned lisatingimused.

Nimetatakse ülesannet leida võrrandile (2) antud tingimustel konkreetne lahendus Cauchy probleem . See probleem on diferentsiaalvõrrandite teoorias üks olulisemaid.

Cauchy probleem on sõnastatud järgmiselt: kõigi võrrandi (2) lahendite hulgast leida selline lahendus
, milles funktsioon
võtab etteantud arvväärtuse kui sõltumatu muutuja x võtab etteantud arvväärtuse , st.

,
, (5)

kus D on funktsiooni domeen
.

Tähendus helistas funktsiooni algväärtus , a – sõltumatu muutuja algväärtus . Nimetatakse tingimus (5). esialgne seisund või Kahjulik seisund .

Geomeetrilisest vaatenurgast saab Cauchy probleemi diferentsiaalvõrrandi (2) jaoks formuleerida järgmiselt: võrrandi (2) integraalkõverate hulgast vali see, mis läbib antud punkti
.

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Üks lihtsamaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe on esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis ei sisalda soovitud funktsiooni:

. (6)

Arvestades seda
, kirjutame võrrandi kujul
või
. Integreerides viimase võrrandi mõlemad pooled, saame:
või

. (7)

Seega (7) on võrrandi (6) üldlahend.

Näide 1 . Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend
.

Lahendus . Kirjutame võrrandi vormile
või
. Integreerime saadud võrrandi mõlemad osad:
,
. Paneme lõpuks kirja
.

Näide 2 . Leia võrrandile lahendus
tingimusel
.

Lahendus . Leiame võrrandi üldlahenduse:
,
,
,
. Tingimuste järgi
,
. Asendage üldlahenduses:
või
. Asendame suvalise konstandi leitud väärtuse üldlahenduse valemis:
. See on diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab antud tingimusele.

Võrrand

(8)

helistas esimest järku diferentsiaalvõrrand, mis ei sisalda sõltumatut muutujat . Kirjutame selle vormi
või
. Integreerime viimase võrrandi mõlemad osad:
või
- võrrandi (8) üldlahend.

Näide . Leidke võrrandile üldine lahendus
.

Lahendus . Kirjutame selle võrrandi järgmisel kujul:
või
. Siis
,
,
,
. Sellel viisil,
on selle võrrandi üldlahend.

Tüüpvõrrand

(9)

integreeritud, kasutades muutujate eraldamist. Selleks kirjutame võrrandi vormile
, ja siis, kasutades korrutamise ja jagamise tehteid, viime selle sellisele kujule, et üks osa sisaldab ainult funktsiooni X ja diferentsiaal dx, ja teises osas - funktsioon juures ja diferentsiaal dy. Selleks tuleb võrrandi mõlemad pooled korrutada dx ja jagaga
. Selle tulemusena saame võrrandi

, (10)

milles muutujad X ja juures eraldatud. Integreerime võrrandi (10) mõlemad osad:
. Saadud seos on võrrandi (9) üldintegraal.

Näide 3 . Integreeri võrrand
.

Lahendus . Teisendage võrrand ja eraldage muutujad:
,
. Integreerime:
,
või on selle võrrandi üldine integraal.
.

Olgu võrrand antud kujul

Sellist võrrandit nimetatakse eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrand sümmeetrilisel kujul.

Muutujate eraldamiseks tuleb võrrandi mõlemad pooled jagada
:

. (12)

Saadud võrrandit nimetatakse eraldatud diferentsiaalvõrrand . Integreerime võrrandi (12):

.(13)

Seos (13) on diferentsiaalvõrrandi (11) üldine integraal.

Näide 4 . Integreerige diferentsiaalvõrrand.

Lahendus . Kirjutame võrrandi vormile

ja jagage mõlemad osad
,
. Saadud võrrand:
on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime selle:

,
,

,
. Viimane võrdus on antud diferentsiaalvõrrandi üldine integraal.

Näide 5 . Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus
, mis vastab tingimusele
.

Lahendus . Arvestades seda
, kirjutame võrrandi kujul
või
. Eraldame muutujad:
. Integreerime selle võrrandi:
,
,
. Saadud seos on selle võrrandi üldine integraal. Tingimuste järgi
. Asendage üldintegraaliga ja leidke FROM:
,FROM=1. Siis väljend
on antud diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis on kirjutatud konkreetse integraalina.

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Võrrand

(14)

helistas esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand . tundmatu funktsioon
ja selle tuletis sisestavad sellesse võrrandisse lineaarselt ning funktsioonid
ja
pidev.

Kui a
, siis võrrand

(15)

helistas lineaarne homogeenne . Kui a
, siis nimetatakse võrrandit (14). lineaarne ebahomogeenne .

Võrrandile (14) lahenduse leidmiseks kasutatakse tavaliselt asendusmeetod (Bernoulli) , mille olemus on järgmine.

Võrrandi (14) lahendust otsitakse kahe funktsiooni korrutise kujul

, (16)

kus
ja
- mõned pidevad funktsioonid. Asendaja
ja tuletis
võrrandisse (14):

Funktsioon v valitakse nii, et tingimus
. Siis
. Seega on võrrandile (14) lahenduse leidmiseks vaja lahendada diferentsiaalvõrrandi süsteem

Süsteemi esimene võrrand on lineaarne homogeenne võrrand ja seda saab lahendada muutujate eraldamise meetodil:
,
,
,
,
. Funktsioonina
võib võtta ühe homogeenvõrrandi konkreetsetest lahenditest, st. juures FROM=1:
. Asendage süsteemi teise võrrandiga:
või
.Siis
. Seega on esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahend kujul
.

Näide 6 . lahendage võrrand
.

Lahendus . Otsime võrrandi lahendust kujul
. Siis
. Asendage võrrand:

või
. Funktsioon v valida nii, et võrdsus
. Siis
. Esimese neist võrranditest lahendame muutujate eraldamise meetodil:
,
,
,
,. Funktsioon v Asendage teise võrrandiga:
,
,
,
. Selle võrrandi üldine lahendus on
.

Küsimused teadmiste enesekontrolliks

Mis on diferentsiaalvõrrand?

Mis on diferentsiaalvõrrandi järjekord?

Millist diferentsiaalvõrrandit nimetatakse esimest järku diferentsiaalvõrrandiks?

Kuidas kirjutatakse esimest järku diferentsiaalvõrrand diferentsiaalkujul?

Mis on diferentsiaalvõrrandi lahendus?

Mis on integraalkõver?

Mis on esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend?

Mis on diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus?

Kuidas sõnastatakse Cauchy ülesanne esimest järku diferentsiaalvõrrandi jaoks?

Mis on Cauchy probleemi geomeetriline tõlgendus?

Kuidas kirjutatakse sümmeetrilisel kujul eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand?

Millist võrrandit nimetatakse esimest järku lineaarseks diferentsiaalvõrrandiks?

Millist meetodit saab kasutada esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks ja mis on selle meetodi olemus?

Ülesanded iseseisvaks tööks

Lahendage eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandeid:

a)
; b)
;

sisse)
; G)
.

2. Lahendage esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid:

a)
; b)
; sisse)
;

G)
; e)
.

Kas tuletise suhtes juba lahendatud või saab neid lahendada tuletise suhtes .

Intervalli tüüpi diferentsiaalvõrrandite üldlahendus X, mis on antud, saab leida, võttes selle võrdsuse mõlema poole integraali.

Hangi .

Kui vaatame määramata integraali omadusi, leiame soovitud üldlahenduse:

y = F(x) + C,

kus F(x)- funktsiooni üks antiderivaate f(x) vahel X, a FROM on suvaline konstant.

Pange tähele, et enamiku ülesannete puhul on intervall Xära näita. See tähendab, et lahendus tuleb leida igaühe jaoks. x, mille jaoks ja soovitud funktsioon y, ja algne võrrand on mõistlik.

Kui teil on vaja arvutada diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimusele y(x0) = y0, siis pärast üldintegraali arvutamist y = F(x) + C, on ikkagi vaja määrata konstandi väärtus C=C0 kasutades algseisundit. See tähendab, et konstant C=C0 võrrandist määratud F(x 0) + C = y 0, ja diferentsiaalvõrrandi soovitud konkreetne lahendus on järgmisel kujul:

y = F(x) + C0.

Kaaluge näidet:

Leidke diferentsiaalvõrrandi üldlahend, kontrollige tulemuse õigsust. Leiame sellele võrrandile konkreetse lahenduse, mis rahuldaks algtingimust .

Lahendus:

Pärast antud diferentsiaalvõrrandi integreerimist saame:

.

Me võtame selle integraali osade kaupa integreerimise meetodil:

See., on diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Kontrollime, kas tulemus on õige. Selleks asendame antud võrrandiga leitud lahenduse:

.

See tähendab, kell algne võrrand muutub identiteediks:

seetõttu määrati diferentsiaalvõrrandi üldlahend õigesti.

Meie leitud lahendus on argumendi iga reaalväärtuse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus x.

Jääb välja arvutada konkreetne ODE lahendus, mis rahuldaks algtingimust. Teisisõnu on vaja arvutada konstandi väärtus FROM, mille korral võrdsus on tõene:

.

.

Siis asendamine C = 2 ODE üldlahendisse saame diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse, mis rahuldab algtingimust:

.

Tavaline diferentsiaalvõrrand saab tuletise suhtes lahendada, jagades võrrandi 2 osa arvuga f(x). See teisendus on samaväärne, kui f(x) ei lähe ühegi puhul nulli x diferentsiaalvõrrandi integreerimise intervallist X.

Olukorrad on tõenäolised, kui mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X funktsioonid f(x) ja g(x) keerake samal ajal nulli. Sarnaste väärtuste jaoks x diferentsiaalvõrrandi üldlahend on mis tahes funktsioon y, mis on neis määratletud, sest .

Kui mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud juhul pole ODE-l lahendusi.

Kõigile teistele x intervallist X teisendatud võrrandist määratakse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Vaatame näiteid:

Näide 1

Leiame ODE üldise lahenduse: .

Lahendus.

Põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal on selge, et naturaallogaritmi funktsioon on määratletud argumendi mittenegatiivsete väärtuste jaoks, seega avaldise domeen log(x+3) on vaheaeg x > -3 . Seega on antud diferentsiaalvõrrand mõttekas x > -3 . Nende argumendi väärtustega avaldis x + 3 ei kao, seega saab ODE lahendada tuletise suhtes, jagades 2 osa arvuga x + 3.

Saame .

Järgmisena integreerime saadud diferentsiaalvõrrandi, mis on lahendatud tuletise suhtes: . Selle integraali võtmiseks kasutame diferentsiaali märgi alla liitmise meetodit.

Tavaline diferentsiaalvõrrand nimetatakse võrrandiks, mis ühendab sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles sisalduva tuletise kõrgeima järg.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on võrrandid, mis seostavad sõltumatuid muutujaid, nende muutujate tundmatut funktsiooni ja selle osalisi tuletisi samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse mõttes sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjestus ei pea selgesõnaliselt sisaldama funktsiooni, kõik selle tuletised algusest kuni n järk ja sõltumatu muutuja. See ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada mõne järgu tuletisi, funktsiooni, sõltumatut muutujat.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmanda ja teise järgu tuletised, samuti funktsioonid; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab selgesõnaliselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega kutsutakse mis tahes funktsiooni y = f(x), asendades selle võrrandiga, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1 Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletise järgi. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat jaoks, s.o.

Seda see on antud diferentsiaalvõrrandi lahendus . muutumas selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Diferentsiaalvõrrandi lahendus näites 1 on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse selle lahendust, milles suvalistele konstantidele määratakse konkreetsed arvväärtused.

Näide 2 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad osad nii palju kordi, et diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrdne.

,

.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrand.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendame suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja saame

.

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Väärtused ja asendatakse võrrandi üldlahendusega ja leitakse suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on lahendus Cauchy probleemile.

Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne näite 1 diferentsiaalvõrrandi jaoks tingimusel .

Lahendus. Asendame üldlahendusse algtingimuse väärtused y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame Cauchy ülesande lahenduse antud esimest järku diferentsiaalvõrrandile:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine eeldab häid oskusi integreerida ja tuletisi võtta, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et mõlemad pooled saab kohe integreerida.

.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmisega (asendamine). Lase siis.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda kompleksfunktsiooni eristamise reeglite järgi, kuna x ja seal on keeruline funktsioon ("õun" - ruutjuure eraldamine või, mis on sama - "üks sekund" astmeni tõstmine ja "hakkliha" - väljend ise juure all):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

.

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg- ehk koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada teadmised proportsioonide kohta, mis pole koolipingist ununenud (samas on kellelgi nii). See on järgmine näide.

Artikli sisu

DIFERENTSIVÕRDED. Paljud füüsikalised seadused, mis alluvad teatud nähtustele, on kirjutatud matemaatilise võrrandi kujul, mis väljendab teatud seost teatud suuruste vahel. Sageli räägime ajas muutuvate väärtuste vahelisest seosest, näiteks sõltub auto kiirusest mootori kasutegur, mida mõõdetakse vahemaaga, mille auto suudab ühe liitri kütusega läbida. Vastav võrrand sisaldab ühte või mitut funktsiooni ja nende tuletisi ning seda nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks. (Kauguse muutumise kiiruse ajas määrab kiirus; seetõttu on kiirus vahemaa tuletis; samamoodi on kiirendus kiiruse tuletis, kuna kiirendus määrab kiiruse muutumise kiiruse ajas.) Diferentsiaalvõrrandite tähtsus matemaatika ja eriti selle rakenduste jaoks on seletatav asjaoluga, et paljude füüsikaliste ja tehniliste probleemide uurimine taandub selliste võrrandite lahendamisele. Diferentsiaalvõrrandid mängivad olulist rolli teistes teadustes, näiteks bioloogias, majanduses ja elektrotehnikas; õigupoolest tekivad need kõikjal, kus on vajadus nähtuste kvantitatiivse (numbrilise) kirjeldamise järele (nii kaua kui ümbritsev maailm ajas muutub ja tingimused ühest kohast teise muutuvad).

Näited.

Järgmised näited annavad parema ülevaate sellest, kuidas erinevaid probleeme diferentsiaalvõrrandite kaudu formuleeritakse.

1) Mõnede radioaktiivsete ainete lagunemise seadus on see, et lagunemiskiirus on võrdeline selle aine olemasoleva kogusega. Kui a x on aine hulk antud ajahetkel t, siis saab selle seaduse kirjutada järgmiselt:

kus dx/dt on lagunemiskiirus ja k on mingi antud ainet iseloomustav positiivne konstant. (Paremal küljel olev miinusmärk näitab seda x väheneb aja jooksul; plussmärk, mis on alati viidatud, kui märki pole selgesõnaliselt öeldud, tähendaks seda x suureneb aja jooksul.)

2) Anumas on algselt 10 kg soola lahustatuna 100 m 3 vees. Kui puhas vesi valatakse mahutisse kiirusega 1 m 3 minutis ja segatakse ühtlaselt lahusega ning saadud lahus voolab anumast välja sama kiirusega, siis kui palju soola mahutis igal juhul on. järgnev ajahetk? Kui a x- soola kogus (kg) anumas hetkel t, siis igal ajal t 1 m 3 konteineris olevat lahust sisaldab x/100 kg soola; seega soola kogus väheneb kiirusega x/100 kg/min või

3) Lase mass kehale m vedru otsa riputatud, toimib taastav jõud võrdeliselt vedru pingega. Lase x- keha tasakaaluasendist kõrvalekaldumise suurus. Seejärel vastavalt Newtoni teisele seadusele, mis ütleb, et kiirendus (teine ​​tuletis x ajas, tähistatud d 2 x/dt 2) proportsionaalselt tugevusega:

Parem pool on miinusmärgiga, sest taastav jõud vähendab vedru pikenemist.

4) Keha jahtumise seadus ütleb, et soojushulk kehas väheneb võrdeliselt keha ja keskkonna temperatuuride erinevusega. Kui tass kohvi, mis on kuumutatud temperatuurini 90 ° C, on ruumis, mille temperatuur on 20 ° C, siis

kus T– kohvi temperatuur hetkel t.

5) Blefuscu osariigi välisminister väidab, et Lilliputi vastu võetud relvastusprogramm sunnib tema riiki suurendama sõjalisi kulutusi nii palju kui võimalik. Samasuguseid avaldusi teeb ka Lilliputi välisminister. Tekkinud olukorda (selle kõige lihtsamas tõlgenduses) saab täpselt kirjeldada kahe diferentsiaalvõrrandiga. Lase x ja y- Lilliputi ja Blefuscu relvastamise kulud. Eeldades, et Lilliputia suurendab oma kulutusi relvastusele proportsionaalselt Blefuscu relvastuskulutuste kasvumääraga ja vastupidi, saame:

kus liikmed on kirves ja - kõrval kirjeldada iga riigi sõjalisi kulutusi, k ja l on positiivsed konstandid. (Selle probleemi sõnastas esmakordselt sel viisil 1939. aastal L. Richardson.)

Peale ülesande kirjutamist diferentsiaalvõrrandite keeles tuleks püüda neid lahendada, s.t. leida suurused, mille muutumismäärad sisalduvad võrrandites. Mõnikord leitakse lahendused selgesõnaliste valemite kujul, kuid sagedamini saab neid esitada ainult ligikaudsel kujul või saada nende kohta kvalitatiivset teavet. Sageli on raske kindlaks teha, kas lahendus on üldse olemas, rääkimata selle leidmisest. Diferentsiaalvõrrandite teooria oluliseks osaks on nn "eksistentsi teoreemid", mis tõestavad lahenduse olemasolu üht või teist tüüpi diferentsiaalvõrrandi jaoks.

Füüsikalise probleemi algne matemaatiline sõnastus sisaldab tavaliselt lihtsustavaid eeldusi; nende mõistlikkuse kriteeriumiks võib olla matemaatilise lahenduse kooskõla aste olemasolevate vaatlustega.

Diferentsiaalvõrrandite lahendused.

Näiteks diferentsiaalvõrrand dy/dx = x/y, ei rahulda mitte arvu, vaid funktsiooni, antud juhul nii, et selle graafikul on mis tahes punktis, näiteks punktis koordinaatidega (2,3), puutuja, mille kalle on võrdne koordinaatide suhtega ( meie näites 2/3). Seda on lihtne kontrollida, kui on konstrueeritud suur hulk punkte ja igast eraldatakse lühike vastava kaldega segment. Lahenduseks on funktsioon, mille graafik puudutab iga selle punkti vastaval lõigul. Kui punkte ja segmente on piisavalt, saame ligikaudselt visandada otsustuskõverate kulgu (joonis 1 on näidatud kolm sellist kõverat). Iga punkti läbib täpselt üks lahenduskõver y Nr 0. Iga üksiklahendit nimetatakse diferentsiaalvõrrandi konkreetseks lahendiks; kui on võimalik leida valem, mis sisaldab kõiki konkreetseid lahendusi (välja arvatud mõned erilahendused), siis ütleme, et on saadud üldlahend. Konkreetne lahendus on üks funktsioon, samas kui üldine lahendus on terve nende perekond. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab kas selle konkreetse või üldise lahenduse leidmist. Meie näites on üldlahendusel vorm y 2 – x 2 = c, kus c- mis tahes arv; punkti (1,1) läbival konkreetsel lahendusel on vorm y = x ja saadakse siis, kui c= 0; punkti (2.1) läbival konkreetsel lahendusel on vorm y 2 – x 2 = 3. Tingimust, mis nõuab lahenduskõvera läbimist näiteks punktist (2,1), nimetatakse algtingimuseks (kuna see määrab lahenduskõvera alguspunkti).

Võib näidata, et näites (1) on üldlahendusel vorm x = ce –kt, kus c- konstant, mida saab määrata näiteks aine koguse näitamisega at t= 0. Näite (2) võrrand on näite (1) võrrandi erijuhtum, mis vastab k= 1/100. Esialgne seisund x= 10 kl t= 0 annab konkreetse lahenduse x = 10e –t/100 . Näite (4) võrrandil on üldlahend T = 70 + ce –kt ja konkreetne lahendus 70 + 130 – kt; väärtuse määramiseks k, on vaja täiendavaid andmeid.

Diferentsiaalvõrrand dy/dx = x/y nimetatakse esimest järku võrrandiks, kuna see sisaldab esimest tuletist (diferentsiaalvõrrandi järguks on tavaks pidada selles sisalduva kõrgeima tuletise järjekorda). Enamiku (kuigi mitte kõigi) esimest tüüpi diferentsiaalvõrrandite puhul, mis praktikas tekivad, läbib iga punkti ainult üks lahenduskõver.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on mitut olulist tüüpi, mida saab lahendada ainult elementaarfunktsioone sisaldavate valemite kujul - astmed, eksponendid, logaritmid, siinused ja koosinused jne. Need võrrandid hõlmavad järgmist.

Eraldatavate muutujatega võrrandid.

Vormi võrrandid dy/dx = f(x)/g(y) saab lahendada, kirjutades selle diferentsiaalidesse g(y)dy = f(x)dx ja mõlema osa integreerimine. Halvimal juhul saab lahendust esitada tuntud funktsioonide integraalidena. Näiteks võrrandi puhul dy/dx = x/y meil on f(x) = x, g(y) = y. Kirjutades selle vormi ydy = xdx ja integreerides saame y 2 = x 2 + c. Eraldatavate muutujatega võrrandid sisaldavad võrrandeid näidetest (1), (2), (4) (neid saab lahendada ülalkirjeldatud meetodiga).

Võrrandid summaarsetes diferentsiaalides.

Kui diferentsiaalvõrrandil on vorm dy/dx = M(x,y)/N(x,y), kus M ja N on kaks antud funktsiooni, saab seda esitada kui M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Kui vasak pool on mõne funktsiooni diferentsiaal F(x,y), siis saab diferentsiaalvõrrandi kirjutada kujul dF(x,y) = 0, mis on võrdne võrrandiga F(x,y) = konst. Seega on võrrandi-lahenduse kõverad funktsiooni "konstantse taseme jooned" või võrranditele vastavate punktide asukoht. F(x,y) = c. Võrrand ydy = xdx(joonis 1) - eraldatavate muutujatega ja see on sama - kogudiferentsiaalides: viimase kontrollimiseks kirjutame selle kujul ydy – xdx= 0, st. d(y 2 – x 2) = 0. Funktsioon F(x,y) on sel juhul võrdne (1/2)( y 2 – x 2); mõned selle konstantse taseme jooned on näidatud joonisel fig. üks.

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid on "esimese astme" võrrandid - tundmatu funktsioon ja selle tuletised sisalduvad sellistes võrrandites ainult esimeses astmes. Seega on esimest järku lineaarsel diferentsiaalvõrrandil vorm dy/dx + lk(x) = q(x), kus lk(x) ja q(x) funktsioonid sõltuvad ainult sellest x. Selle lahenduse saab alati kirjutada tuntud funktsioonide integraalide abil. Paljud muud tüüpi esimest järku diferentsiaalvõrrandid lahendatakse spetsiaalsete tehnikate abil.

Kõrgema järgu võrrandid.

Paljud diferentsiaalvõrrandid, millega füüsikud tegelevad, on teist järku võrrandid (st võrrandid, mis sisaldavad teist tuletist). Selline on näiteks lihtne harmoonilise liikumise võrrand näitest (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Üldiselt võiks eeldada, et teist järku võrrandil on konkreetsed lahendused, mis vastavad kahele tingimusele; Näiteks võib nõuda, et lahenduskõver läbiks antud punkti antud suunas. Juhtudel, kui diferentsiaalvõrrand sisaldab mõnda parameetrit (arv, mille väärtus sõltub asjaoludest), on nõutavat tüüpi lahendused olemas ainult selle parameetri teatud väärtuste jaoks. Näiteks kaaluge võrrandit md 2 x/dt 2 = –kx ja me nõuame seda y(0) = y(1) = 0. Funktsioon yє 0 on kindlasti lahendus, kuid kui on täisarvu kordne lk, st. k = m 2 n 2 lk 2, kus n on täisarv ja tegelikult on ainult sel juhul ka teisi lahendusi, nimelt: y= patt npx. Parameetrite väärtusi, mille jaoks võrrandil on erilahendused, nimetatakse iseloomulikeks või omaväärtusteks; neil on paljude ülesannete täitmisel oluline roll.

Lihtsa harmoonilise liikumise võrrand illustreerib olulist võrrandite klassi, nimelt konstantsete koefitsientidega lineaarseid diferentsiaalvõrrandeid. Üldisem näide (ka teist järku) on võrrand

kus a ja b on antud konstandid, f(x) on antud funktsioon. Selliseid võrrandeid saab lahendada mitmel viisil, näiteks kasutades Laplace'i integraalteisendust. Sama võib öelda konstantsete koefitsientidega kõrgema järgu lineaarsete võrrandite kohta. Olulist rolli mängivad ka muutuvate koefitsientidega lineaarvõrrandid.

Mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid.

Võrrandeid, mis sisaldavad esimesest kõrgemaid või mõnel keerulisemal viisil tundmatuid funktsioone ja nende tuletisi, nimetatakse mittelineaarseteks. Viimastel aastatel on need üha enam tähelepanu äratanud. Asi on selles, et füüsikalised võrrandid on tavaliselt lineaarsed ainult esimeses lähenduses; edasine ja täpsem uurimine eeldab reeglina mittelineaarsete võrrandite kasutamist. Lisaks on paljud probleemid oma olemuselt mittelineaarsed. Kuna mittelineaarsete võrrandite lahendid on sageli väga keerulised ja lihtsate valemitega raskesti esitatavad, siis on oluline osa kaasaegsest teooriast pühendatud nende käitumise kvalitatiivsele analüüsile, s.t. meetodite väljatöötamine, mis võimaldavad ilma võrrandeid lahendamata öelda midagi olulist lahenduste olemuse kohta tervikuna: näiteks, et need kõik on piiratud või perioodilised või sõltuvad teatud viisil koefitsiendid.

Diferentsiaalvõrrandite ligikaudseid lahendusi võib leida numbriliselt, kuid see võtab palju aega. Kiirete arvutite tulekuga on see aeg oluliselt vähenenud, mis on avanud uusi võimalusi paljude probleemide arvuliseks lahendamiseks, mida varem selline lahendus ei võimaldanud.

Olemasoluteoreemid.

Eksisteerimise teoreem on teoreem, mis väidab, et teatud tingimustel on antud diferentsiaalvõrrandil lahendus. On diferentsiaalvõrrandeid, millel pole lahendeid või millel on oodatust rohkem lahendusi. Olemasoluteoreemi eesmärk on veenda meid, et antud võrrandil on lahend, ja kõige sagedamini tagada, et sellel on täpselt üks nõutavat tüüpi lahend. Näiteks võrrand, mille oleme juba täitnud dy/dx = –2y millel on täpselt üks lahendus, mis läbib tasapinna iga punkti ( x,y) ja kuna oleme ühe sellise lahenduse juba leidnud, oleme selle võrrandi täielikult lahendanud. Teisest küljest võrrand ( dy/dx) 2 = 1 – y 2-l on palju lahendusi. Nende hulgas on otsesed y = 1, y= –1 ja kõverad y= sin( x + c). Lahendus võib koosneda nende sirgete ja kõverate mitmest segmendist, mis lähevad kokkupuutepunktides üksteise sisse (joonis 2).

Osalised diferentsiaalvõrrandid.

Tavaline diferentsiaalvõrrand on väide ühe muutuja tundmatu funktsiooni tuletise kohta. Osaline diferentsiaalvõrrand sisaldab kahe või enama muutuja funktsiooni ja selle funktsiooni tuletisi vähemalt kahes erinevas muutujas.

Füüsikas on selliste võrrandite näideteks Laplace'i võrrand

X , y) ringi sees, kui väärtused u on antud piirava ringi igas punktis. Kuna füüsikas on rohkem kui ühe muutujaga seotud probleemid pigem reegel kui erand, on lihtne ette kujutada, kui lai on osadiferentsiaalvõrrandite teooria teema.

Mõnes füüsikaülesandes ei saa protsessi kirjeldavate suuruste vahel otsest seost luua. Kuid on võimalus saada võrdsus, mis sisaldab uuritavate funktsioonide tuletisi. Nii tekivad diferentsiaalvõrrandid ja vajadus neid lahendada, et leida tundmatu funktsioon.

See artikkel on mõeldud neile, kes seisavad silmitsi diferentsiaalvõrrandi lahendamise probleemiga, milles tundmatu funktsioon on ühe muutuja funktsioon. Teooria on üles ehitatud nii, et diferentsiaalvõrranditest nullist arusaamisega saate oma tööd teha.

Iga diferentsiaalvõrrandi tüüp on seotud lahendusmeetodiga, mis sisaldab üksikasjalikke selgitusi ja tüüpiliste näidete ja probleemide lahendusi. Peate lihtsalt määrama oma probleemi diferentsiaalvõrrandi tüübi, leidma sarnase analüüsitud näite ja tegema sarnaseid toiminguid.

Diferentsiaalvõrrandite edukaks lahendamiseks on teil vaja ka oskust leida erinevate funktsioonide antiderivaatide komplekte (määramata integraale). Vajadusel soovitame vaadata jaotist.

Esmalt vaatleme esimest järku tavaliste diferentsiaalvõrrandite tüüpe, mida saab tuletise suhtes lahendada, seejärel liigume edasi teist järku ODE-de juurde, seejärel peatume kõrgemat järku võrranditel ja lõpetame diferentsiaalvõrrandisüsteemidega.

Tuletage meelde, et kui y on argumendi x funktsioon.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid.

Vormi esimest järku lihtsaimad diferentsiaalvõrrandid .

Paneme kirja mitu näidet sellisest DE-st .

Diferentsiaalvõrrandid saab tuletise suhtes lahendada, jagades võrdsuse mõlemad pooled f(x)-ga . Sel juhul jõuame võrrandini , mis on samaväärne algse võrrandiga f(x) ≠ 0 korral. Selliste ODE-de näited on .

Kui argumendis x on väärtused, mille puhul funktsioonid f(x) ja g(x) kaovad samaaegselt, ilmuvad lisalahendused. Võrrandi lisalahendused antud x on mis tahes funktsioonid, mis on määratud nende argumendi väärtuste jaoks. Selliste diferentsiaalvõrrandite näited on .

Teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega.

Konstantsete koefitsientidega LODE on väga levinud diferentsiaalvõrrandi tüüp. Nende lahendus pole eriti keeruline. Esiteks leitakse iseloomuliku võrrandi juured . Erinevate p ja q puhul on võimalik kolm juhtumit: karakteristiku võrrandi juured võivad olla reaalsed ja erinevad, reaalsed ja kokku langevad või kompleksne konjugaat. Olenevalt tunnusvõrrandi juurte väärtustest kirjutatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahend järgmiselt , või , või vastavalt.

Näiteks vaatleme konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarset homogeenset diferentsiaalvõrrandit. Tema iseloomuliku võrrandi juured on k 1 = -3 ja k 2 = 0. Juured on reaalsed ja erinevad, seetõttu on konstantsete koefitsientidega LDE üldine lahendus


Lineaarsed mittehomogeensed konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandid.

Konstantsete koefitsientidega y teist järku LIDE üldlahendust otsitakse vastava LODE üldlahenduse summana ja algse mittehomogeense võrrandi konkreetne lahendus, st . Eelmine lõik on pühendatud konstantsete koefitsientidega homogeense diferentsiaalvõrrandi üldise lahenduse leidmisele. Ja konkreetne lahendus määratakse kas funktsiooni f (x) teatud vormi määramatute koefitsientide meetodiga, mis asub algse võrrandi paremal küljel, või suvaliste konstantide muutmise meetodiga.

Näitena konstantsete koefitsientidega teist järku LIDE-dest esitame


Teooria mõistmiseks ja näidete üksikasjalike lahendustega tutvumiseks pakume teile lehel teist järku lineaarseid mittehomogeenseid konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandeid.

Lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid (LODE) ja teist järku lineaarsed mittehomogeensed diferentsiaalvõrrandid (LNDE).

Seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite erijuhtumid on konstantsete koefitsientidega LODE ja LODE.

LODE üldlahendit teatud intervallil kujutab selle võrrandi kahe lineaarselt sõltumatu erilahenduse y 1 ja y 2 lineaarne kombinatsioon, see tähendab, .

Peamine raskus seisneb just seda tüüpi diferentsiaalvõrrandi lineaarselt sõltumatute osalahenduste leidmises. Tavaliselt valitakse konkreetsed lahendused järgmiste lineaarselt sõltumatute funktsioonide süsteemide hulgast:


Siiski ei esitata alati konkreetseid lahendusi sellisel kujul.

LODU näide on .

LIDE üldlahendust otsitakse kujul , kus on vastava LODE üldlahend ja see on algse diferentsiaalvõrrandi erilahend. Me just rääkisime leidmisest, kuid seda saab määrata suvaliste konstantide muutmise meetodil.

LNDE näide on .

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid.

Diferentsiaalvõrrandid, mis võimaldavad järjekorra vähendamist.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord , mis ei sisalda soovitud funktsiooni ja selle tuletisi kuni k-1 järku, saab taandada n-k-ks, asendades .

Sel juhul taandub algne diferentsiaalvõrrand väärtuseks . Pärast selle lahenduse p(x) leidmist jääb üle pöörduda tagasi asendusse ja määrata tundmatu funktsioon y .

Näiteks diferentsiaalvõrrand pärast seda, kui asendus muutub eraldatavaks võrrandiks ja selle järjekorda vähendatakse kolmandalt esimesele.