C 8 30 murdratsionaalvõrrandid. Murdratsionaalvõrrandid

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Tutvustame ülaltoodud võrrandit §-s 7. Esiteks tuletame meelde, mis on ratsionaalne avaldis. See on algebraline avaldis, mis koosneb arvudest ja muutujast x, kasutades liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja astendajate tehteid naturaalastendajaga.

Kui r(x) on ratsionaalne avaldis, siis võrrandit r(x) = 0 nimetatakse ratsionaalvõrrandiks.

Praktikas on aga mugavam kasutada mõiste "ratsionaalvõrrand" mõnevõrra laiemat tõlgendust: see on võrrand kujul h(x) = q(x), kus h(x) ja q(x) on ratsionaalsed väljendid.

Seni ei suutnud me lahendada ühtegi ratsionaalset võrrandit, vaid ainult sellist, mis erinevate teisenduste ja arutluskäikude tulemusena taandus lineaarvõrrand. Nüüd on meie võimalused palju suuremad: suudame lahendada ratsionaalse võrrandi, mis taandub mitte ainult lineaarseks
mu, vaid ka ruutvõrrandile.

Tuletage meelde, kuidas me varem ratsionaalseid võrrandeid lahendasime, ja proovige sõnastada lahendusalgoritm.

Näide 1 lahendage võrrand

Lahendus. Kirjutame võrrandi ümber kujul

Sel juhul kasutame, nagu tavaliselt, tõsiasja, et võrrandid A \u003d B ja A - B \u003d 0 väljendavad sama suhet A ja B vahel. See võimaldas meil üle kanda termini võrrandi vasakusse serva vastupidine märk.

Teeme võrrandi vasaku poole teisendused. Meil on

Tuletage meelde võrdõiguslikkuse tingimusi fraktsioonid null: siis ja ainult siis, kui kaks seost on samaaegselt täidetud:

1) murru lugeja on null (a = 0); 2) murdosa nimetaja erineb nullist).
Võrreldes võrrandi (1) vasakul poolel oleva murru lugeja nulliga, saame

Jääb üle kontrollida teise ülalmainitud tingimuse täitmist. Suhe tähendab võrrandi (1) jaoks, et . Väärtused x 1 = 2 ja x 2 = 0,6 vastavad näidatud seostele ja toimivad seetõttu võrrandi (1) juurtena ja samal ajal antud võrrandi juurtena.

1) Teisendame võrrandi vormiks

2) Teeme selle võrrandi vasaku poole teisendused:

(samaaegselt muutis lugeja märke ja
murrud).
Seega saab antud võrrand kuju

3) Lahenda võrrand x 2 - 6x + 8 = 0. Leia

4) Leitud väärtuste jaoks kontrollige seisukorda . Number 4 vastab sellele tingimusele, kuid number 2 mitte. Seega 4 on antud võrrandi juur ja 2 on kõrvaline juur.
Vastus: 4.

2. Ratsionaalvõrrandite lahendamine uue muutuja sisseviimisega

Uue muutuja sisseviimise meetod on teile tuttav, oleme seda kasutanud rohkem kui korra. Näitame näidetega, kuidas seda kasutatakse ratsionaalvõrrandite lahendamisel.

Näide 3 Lahendage võrrand x 4 + x 2 - 20 = 0.

Lahendus. Tutvustame uut muutujat y \u003d x 2. Kuna x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, siis saab antud võrrandi ümber kirjutada kujul

y 2 + y - 20 = 0.

See on ruutvõrrand, mille juured leiame teadaolevat kasutades valemid; saame y 1 = 4, y 2 = - 5.
Kuid y \u003d x 2, mis tähendab, et probleem on taandatud kahe võrrandi lahendamiseks:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Esimesest võrrandist leiame, et teisel võrrandil pole juuri.
Vastus: .
Võrrandit kujul ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 nimetatakse kahekvadraadiliseks võrrandiks ("bi" - kaks, s.t. "kaks ruut" võrrand). Äsja lahendatud võrrand oli täpselt bikvadraatne. Iga bikvadraatvõrrand lahendatakse samamoodi nagu näite 3 võrrand: sisestatakse uus muutuja y \u003d x 2, saadud ruutvõrrand lahendatakse muutuja y suhtes ja tagastatakse seejärel muutujale x.

Näide 4 lahendage võrrand

Lahendus. Pange tähele, et sama avaldis x 2 + 3x esineb siin kaks korda. Seega on mõttekas kasutusele võtta uus muutuja y = x 2 + Zx. See võimaldab võrrandi lihtsamal ja meeldivamal kujul ümber kirjutada (mis tegelikult ongi uue muutuv- ja salvestamine on lihtsam
, ja võrrandi struktuur muutub selgemaks):

Ja nüüd kasutame ratsionaalse võrrandi lahendamiseks algoritmi.

1) Liigutame kõik võrrandi liikmed ühte ossa:

= 0
2) Teisendame võrrandi vasaku poole

Niisiis, oleme teisendanud antud võrrandi vormiks

3) Võrrandist - 7y 2 + 29y -4 = 0 leiame (oleme juba päris palju ruutvõrrandi lahendanud, nii et ilmselt ei tasu õpikus alati üksikasjalikke arvutusi anda).

4) Kontrollime leitud juuri kasutades tingimust 5 (y - 3) (y + 1). Mõlemad juured vastavad sellele tingimusele.
Seega on uue muutuja y ruutvõrrand lahendatud:
Kuna y \u003d x 2 + Zx ja y, nagu oleme kindlaks teinud, võtab kaks väärtust: 4 ja, - peame ikkagi lahendama kaks võrrandit: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Esimese võrrandi juurteks on numbrid 1 ja -4, teise võrrandi juurteks on arvud

Vaadeldavates näidetes oli uue muutuja sisseviimise meetod, nagu matemaatikud armastavad öelda, olukorrale adekvaatne ehk vastas sellele hästi. Miks? Jah, sest sama avaldist kohtas võrrandikirjes selgelt mitu korda ja seda avaldist oli mõistlik tähistada uue tähega. Kuid see pole alati nii, mõnikord "ilmub" uus muutuja alles teisenduste käigus. Täpselt nii juhtub järgmises näites.

Näide 5 lahendage võrrand
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lahendus. Meil on
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Seega saab antud võrrandi vormi ümber kirjutada

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Nüüd on "ilmunud" uus muutuja: y = x 2 - Zx.

Selle abil saab võrrandi ümber kirjutada kujul y (y + 2) \u003d 24 ja seejärel y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Selle võrrandi juurteks on numbrid 4 ja -6.

Naastes algse muutuja x juurde, saame kaks võrrandit x 2 - Zx \u003d 4 ja x 2 - Zx \u003d - 6. Esimesest võrrandist leiame x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; teisel võrrandil pole juuri.

Vastus: 4, - 1.

Tunni sisu tunni kokkuvõte tugiraam õppetund esitlus kiirendusmeetodid interaktiivsed tehnoloogiad Harjuta ülesanded ja harjutused enesekontrolli töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö arutelu küsimused retoorilised küsimused õpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, huumoriskeemid, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid kiibid uudishimulikele petulehtedele õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikusõpiku killu uuendamine innovatsiooni elementide tunnis vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid kalenderplaan aastaks aruteluprogrammi metoodilised soovitused Integreeritud õppetunnid

Lihtsamalt öeldes on need võrrandid, milles nimetajas on vähemalt üks muutuja.

Näiteks:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Näide mitte murdarvulised ratsionaalvõrrandid:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kuidas lahendatakse murdarvulised ratsionaalvõrrandid?

Peamine asi, mida murdosa ratsionaalvõrrandite puhul meeles pidada, on see, et peate neisse kirjutama. Ja pärast juurte leidmist kontrollige kindlasti nende vastuvõetavust. Vastasel juhul võivad ilmneda kõrvalised juured ja kogu lahendust peetakse ebaõigeks.

Murdratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm:

Kirjutage välja ja "lahendage" ODZ.

Korrutage võrrandis iga liige ühise nimetajaga ja vähendage saadud murde. Nimetajad kaovad.

Kirjutage võrrand ilma sulgusid avamata.

Lahendage saadud võrrand.

Kontrollige leitud juuri ODZ-ga.

Vastuseks kirjutage üles juured, mis 7. sammus testi läbisid.

Ärge jätke algoritmi meelde, 3-5 lahendatud võrrandit - ja see jääb iseenesest meelde.

Näide . Lahenda murdartsionaalvõrrand \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Lahendus:

Vastus: \(3\).

Näide . Leidke murruratsionaalvõrrandi \(=0\) juured

Lahendus:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kirjutame üles ja "lahendame" ODZ-i. Laiendage \(x^2+7x+10\) valemisse: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Õnneks oleme \(x_1\) ja \(x_2\) juba leidnud.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ilmselgelt on murdude ühisnimetaja: \((x+2)(x+5)\). Korrutame sellega kogu võrrandi.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Vähendame murde
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Sulgude avamine
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Anname sarnased tingimused
\(2x^2+9x-5=0\)		Võrrandi juurte leidmine
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Üks juurtest ei mahu ODZ alla, nii et vastuseks kirjutame üles ainult teise juure.

Vastus: \(\frac(1)(2)\).

Jätkame juttu võrrandite lahendus. Selles artiklis keskendume sellele ratsionaalsed võrrandid ja ühe muutujaga ratsionaalsete võrrandite lahendamise põhimõtted. Kõigepealt selgitame välja, milliseid võrrandeid nimetatakse ratsionaalseteks, defineerime täisarvulised ratsionaalvõrrandid ja murdarvulised ratsionaalvõrrandid ning toome näiteid. Edasi hangime ratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmid ja loomulikult kaalume tüüpnäidete lahendusi koos kõigi vajalike selgitustega.

Leheküljel navigeerimine.

Tuginedes kõlanud definitsioonidele, toome mitu näidet ratsionaalsetest võrranditest. Näiteks x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , on kõik ratsionaalsed võrrandid.

Näidatud näidetest on näha, et ratsionaalvõrrandid ja ka muud tüüpi võrrandid võivad olla kas ühe muutujaga või kahe, kolme jne võrrandid. muutujad. Järgmistes lõikudes räägime ratsionaalvõrrandite lahendamisest ühes muutujas. Kahe muutujaga võrrandite lahendamine ja nende suur hulk väärib erilist tähelepanu.

Lisaks ratsionaalsete võrrandite jagamisele tundmatute muutujate arvuga jagatakse need ka täis- ja murdosadeks. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Ratsionaalvõrrandit nimetatakse terve, kui selle vasak ja parem osa on täisarvulised ratsionaalsed avaldised.

Definitsioon.

Kui ratsionaalvõrrandi vähemalt üks osa on murdavaldis, siis sellist võrrandit nimetatakse murdosaliselt ratsionaalne(või murdosa ratsionaalne).

On selge, et täisarvu võrrandid ei sisalda muutujaga jagamist, vastupidi, murdarvulised ratsionaalvõrrandid sisaldavad tingimata jagamist muutujaga (või muutujaga nimetajaga). Seega 3 x+2=0 ja (x+y) (3 x 2 -1)+x=-y+0,5 on terved ratsionaalvõrrandid, nende mõlemad osad on täisarvulised avaldised. A ja x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 on näited murdratsionaalvõrranditest.

Selle lõigu lõpetuseks pöörame tähelepanu asjaolule, et selleks hetkeks tuntud lineaarvõrrandid ja ruutvõrrandid on terved ratsionaalvõrrandid.

Täisarvu võrrandite lahendamine

Üks peamisi lähenemisviise tervete võrrandite lahendamisel on nende taandamine ekvivalentideks algebralised võrrandid. Seda saab alati teha, sooritades võrrandi järgmised samaväärsed teisendused:

• esiteks kantakse algse täisarvu võrrandi parempoolsest küljest avaldis vastupidise märgiga vasakule poole, et saada paremal küljel null;
• pärast seda võrrandi vasakul küljel saadud standardvorm.

Tulemuseks on algebraline võrrand, mis on võrdne algse kogu võrrandiga. Nii et kõige lihtsamatel juhtudel taandatakse tervete võrrandite lahendus lineaar- või ruutvõrrandite lahenduseks ja üldjuhul n-astme algebralise võrrandi lahenduseks. Selguse huvides analüüsime näite lahendust.

Näide.

Leidke kogu võrrandi juured 3 (x+1) (x-3)=x (2 x-1)-3.

Lahendus.

Taandagem kogu selle võrrandi lahend samaväärse algebralise võrrandi lahendiks. Selleks viime esiteks avaldise paremalt küljelt vasakule, mille tulemusena jõuame võrrandini 3 (x+1) (x-3)-x (2 x-1)+3=0. Ja teiseks teisendame vasakpoolsel küljel moodustatud avaldise standardvormi polünoomiks, tehes selleks vajaliku: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2-9 x+3 x-9-2 x 2 +x+3=x 2-5 x-6. Seega taandatakse algse täisarvu võrrandi lahend ruutvõrrandi x 2 −5·x−6=0 lahendiks.

Arvutage selle diskriminant D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, see on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt, mille leiame ruutvõrrandi juurte valemiga:

Et olla täiesti kindel, teeme ära võrrandi leitud juurte kontrollimine. Kõigepealt kontrollime juurt 6, asendame selle muutuja x asemel algses täisarvu võrrandis: 3 (6+1) (6-3)=6 (2 6-1)-3, mis on sama, 63=63 . See on kehtiv arvvõrrand, nii et x=6 on tõepoolest võrrandi juur. Nüüd kontrollime juurt −1 , meil on 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, kust, 0=0 . Kui x=−1, muutus ka algvõrrand tõeliseks arvuliseks võrrandiks, seetõttu on x=−1 ka võrrandi juur.

Vastus:

6 , −1 .

Siinkohal tuleb ka märkida, et mõiste "tervikvõrrandi võimsus" on seotud kogu võrrandi esitamisega algebralise võrrandi kujul. Anname vastava määratluse:

Definitsioon.

Kogu võrrandi aste nimetada sellega ekvivalentse algebralise võrrandi astmeks.

Selle määratluse kohaselt on kogu eelmise näite võrrandil teine ​​aste.

Sellega võiks lõpetada tervete ratsionaalsete võrrandite lahendamisega, kui mitte ühe, aga .... Teatavasti on teisest kõrgema astme algebravõrrandite lahendamine seotud oluliste raskustega ja neljandast kõrgema astme võrrandite puhul puuduvad juurte üldvalemid üldse. Seetõttu tuleb kolmanda, neljanda ja kõrgema astme võrrandite lahendamiseks sageli kasutada muid lahendusviise.

Sellistel juhtudel võib mõnikord läheneda kogu ratsionaalvõrrandite lahendamisele faktoriseerimise meetod. Samal ajal järgitakse järgmist algoritmi:

• esmalt püüavad nad, et võrrandi paremal küljel oleks null, selleks kannavad nad avaldise kogu võrrandi paremalt küljelt vasakule;
• seejärel esitatakse vasakpoolsel küljel olev avaldis mitme teguri korrutisena, mis võimaldab minna mitme lihtsama võrrandi komplekti.

Ülaltoodud algoritm kogu võrrandi lahendamiseks faktoriseerimise kaudu nõuab üksikasjalikku selgitust näite abil.

Näide.

Lahendage kogu võrrand (x 2 -1) (x 2 -10 x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

Lahendus.

Esiteks, nagu tavaliselt, viime avaldise võrrandi paremalt küljelt vasakule, unustamata märki muuta, saame (x 2 -1) (x 2 -10 x+13) - 2 x (x 2 -10 x+13) = 0 . Siin on üsna ilmne, et saadud võrrandi vasakut poolt ei ole soovitatav teisendada standardkuju polünoomiks, kuna see annab vormi neljanda astme algebralise võrrandi x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, mille lahendus on keeruline.

Teisest küljest on ilmne, et x 2 −10·x+13 võib leida saadud võrrandi vasakult küljelt, esitades sellega seda korrutisena. Meil on (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x -1)=0. Saadud võrrand on võrdne algse tervikvõrrandiga ja selle võib omakorda asendada kahe ruutvõrrandi hulgaga x 2 −10·x+13=0 ja x 2 −2·x−1=0 . Nende juurte leidmine tuntud juurvalemite abil läbi diskriminandi pole keeruline, juured on võrdsed. Need on algse võrrandi soovitud juured.

Vastus:

See on kasulik ka tervete ratsionaalvõrrandite lahendamisel. meetod uue muutuja sisestamiseks. Mõnel juhul võimaldab see minna üle võrranditele, mille aste on madalam algse täisarvu võrrandi astmest.

Näide.

Leidke ratsionaalse võrrandi tegelikud juured (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Lahendus.

Kogu selle ratsionaalse võrrandi taandamine algebraliseks võrrandiks ei ole pehmelt öeldes kuigi hea mõte, kuna sel juhul jõuame vajaduseni lahendada neljanda astme võrrand, millel pole ratsionaalseid juuri. Seetõttu peate otsima teist lahendust.

Siin on hästi näha, et saab kasutusele võtta uue muutuja y ja asendada sellega avaldis x 2 +3 x. Selline asendus viib meid kogu võrrandini (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , mis pärast avaldise −2 (y−4) ülekandmist vasakule ja sellele järgnevat moodustunud avaldise teisendamist seal taandab võrrandiks y 2 +4 y+3=0 . Selle võrrandi y=−1 ja y=−3 juured on kergesti leitavad, näiteks saab neid leida Vieta teoreemi pöördteoreemi põhjal.

Liigume nüüd uue muutuja sisseviimise meetodi teise osa juurde, st pöördasenduse tegemise juurde. Pärast pöördasenduse sooritamist saame kaks võrrandit x 2 +3 x=−1 ja x 2 +3 x=−3 , mille saab ümber kirjutada x 2 +3 x+1=0 ja x 2 +3 x+3 =0. Ruutvõrrandi juurte valemi järgi leiame esimese võrrandi juured. Ja teisel ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kuna selle diskriminant on negatiivne (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Vastus:

Üldiselt, kui tegemist on tervete kõrge astme võrranditega, peame alati olema valmis nende lahendamiseks otsima ebastandardset meetodit või tehistehnikat.

Murdratsionaalvõrrandite lahendus

Esiteks on kasulik mõista, kuidas lahendada murdosaliselt ratsionaalseid võrrandeid kujul , kus p(x) ja q(x) on ratsionaalsed täisarvulised avaldised. Ja siis näitame, kuidas taandada ülejäänud murdratsionaalvõrrandite lahend näidatud kujuga võrrandite lahendiks.

Üks võrrandi lahendamise lähenemisviisidest põhineb järgmisel väitel: arvuline murd u / v, kus v on nullist erinev arv (muidu kohtame , mis pole defineeritud), on null siis ja ainult siis, kui selle lugeja on null, siis on siis ja ainult siis, kui u=0 . Selle väite kohaselt taandatakse võrrandi lahend kahe tingimuse p(x)=0 ja q(x)≠0 täitmiseks.

See järeldus on kooskõlas järgmisega murdratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm. Vormi murdratsionaalvõrrandi lahendamiseks

• lahendada kogu ratsionaalvõrrand p(x)=0 ;
• ja kontrollige, kas iga leitud juure tingimus q(x)≠0 on täidetud, while
• kui see on tõene, siis see juur on algvõrrandi juur;
• kui ei, siis see juur on kõrvaline, st see ei ole algvõrrandi juur.

Analüüsime näidet häälelise algoritmi kasutamisest murdratsionaalvõrrandi lahendamisel.

Näide.

Leia võrrandi juured.

Lahendus.

See on murdarvuliselt ratsionaalne võrrand kujul , kus p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0 .

Seda tüüpi murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi järgi peame esmalt lahendama võrrandi 3·x−2=0 . See on lineaarvõrrand, mille juur on x=2/3.

Jääb üle kontrollida selle juure olemasolu, st kontrollida, kas see vastab tingimusele 5·x 2 −2≠0 . Asendame avaldisesse 5 x 2 −2 x asemel arvu 2/3, saame . Tingimus on täidetud, seega on x=2/3 algvõrrandi juur.

Vastus:

2/3 .

Murdratsionaalvõrrandi lahendusele saab läheneda veidi teisest positsioonist. See võrrand on ekvivalentne kogu võrrandiga p(x)=0 algse võrrandi muutujal x. See tähendab, et saate seda jälgida murdratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm :

• lahendage võrrand p(x)=0 ;
• leida ODZ muutuja x ;
• võtke lubatud väärtuste piirkonda kuuluvad juured - need on algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi soovitud juured.

Näiteks lahendame selle algoritmi abil murdarvulise ratsionaalvõrrandi.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Esmalt lahendame ruutvõrrandi x 2 −2·x−11=0 . Selle juured saab arvutada paarissekundilise koefitsiendi juurvalemi abil D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12 ja .

Teiseks leiame algse võrrandi muutuja x ODZ. See koosneb kõigist arvudest, mille puhul x 2 +3 x≠0 , mis on sama x (x+3)≠0 , kust x≠0 , x≠−3 .

Jääb üle kontrollida, kas esimesel etapil leitud juured on ODZ-s kaasatud. Ilmselgelt jah. Seetõttu on algsel fraktsionaalselt ratsionaalsel võrrandil kaks juurt.

Vastus:

Pange tähele, et see lähenemine on kasulikum kui esimene, kui ODZ on kergesti leitav, ja eriti kasulik on see siis, kui võrrandi p(x)=0 juured on irratsionaalsed, näiteks , või ratsionaalsed, kuid üsna suure väärtusega. lugeja ja/või nimetaja, näiteks 127/1101 ja -31/59 . See on tingitud asjaolust, et sellistel juhtudel nõuab tingimuse q (x) ≠0 kontrollimine märkimisväärseid arvutuslikke jõupingutusi ja kõrvaliste juurte väljajätmine ODZ-st on lihtsam.

Muudel juhtudel on võrrandi lahendamisel, eriti kui võrrandi p(x)=0 juured on täisarvud, soodsam kasutada ülaltoodud algoritmidest esimest. See tähendab, et on soovitatav kohe leida kogu võrrandi p(x)=0 juured ja seejärel kontrollida, kas tingimus q(x)≠0 on nende jaoks täidetud, mitte leida ODZ-d ja seejärel võrrand lahendada. p(x)=0 sellel ODZ-l. See on tingitud asjaolust, et sellistel juhtudel on tavaliselt lihtsam kontrollida kui ODZ-i leida.

Mõelge sätestatud nüansside illustreerimiseks kahe näite lahendusele.

Näide.

Leia võrrandi juured.

Lahendus.

Kõigepealt leiame kogu võrrandi juured (2 x-1) (x-6) (x 2-5 x+14) (x+1)=0, mis on koostatud murru lugeja abil. Selle võrrandi vasak pool on korrutis ja parem külg on null, seetõttu on see võrrand võrdne faktorijaotusega võrrandite lahendamise meetodi kohaselt nelja võrrandi hulgaga 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0, x+1=0. Kolm neist võrranditest on lineaarsed ja üks ruutväärtus, saame need lahendada. Esimesest võrrandist leiame x=1/2, teisest - x=6, kolmandast - x=7, x=−2, neljandast - x=−1.

Leitud juurte abil on neid üsna lihtne kontrollida, et näha, kas algse võrrandi vasakpoolsel poolel oleva murru nimetaja ei kao, ja ODZ-d pole nii lihtne määrata, kuna see peab lahendama viienda astme algebraline võrrand. Seetõttu keeldume juurte kontrollimise kasuks ODZ-i leidmisest. Selleks asendame need avaldises muutuja x asemel kordamööda x 5 –15 x 4 +57 x 3 –13 x 2 +26 x+112, mis saadakse pärast asendamist ja võrrelge neid nulliga: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2) + 112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(-2) 5 -15 (-2) 4 +57 (-2) 3 -13 (-2) 2 + 26 (-2)+112=-720≠0 ;
(-1) 5 -15 (-1) 4 +57 (-1) 3 -13 (-1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Seega on 1/2, 6 ja −2 algse murdratsionaalvõrrandi soovitud juured ning 7 ja −1 on kõrvalised juured.

Vastus:

1/2 , 6 , −2 .

Näide.

Leia murdosa ratsionaalvõrrandi juured.

Lahendus.

Kõigepealt leiame võrrandi juured (5x2 −7x−1)(x−2)=0. See võrrand on võrdne kahe võrrandi hulgaga: ruut 5·x 2 −7·x−1=0 ja lineaarne x−2=0 . Ruutvõrrandi juurte valemi järgi leiame kaks juurt ja teisest võrrandist saame x=2.

Kontrollida, kas nimetaja x leitud väärtuste juures ei kao, on üsna ebameeldiv. Ja muutuja x vastuvõetavate väärtuste vahemiku määramine algses võrrandis on üsna lihtne. Seetõttu tegutseme ODZ-i kaudu.

Meie puhul koosneb algse murdratsionaalvõrrandi muutuja x ODZ kõigist arvudest, välja arvatud need, mille puhul on täidetud tingimus x 2 +5·x−14=0. Selle ruutvõrrandi juured on x=−7 ja x=2, millest järeldame ODZ kohta: see koosneb kõigist x-idest, nii et .

Jääb üle kontrollida, kas leitud juured ja x=2 kuuluvad lubatud väärtuste piirkonda. Juured – kuuluvad, järelikult on need algvõrrandi juured ja x=2 ei kuulu, seega on tegemist kõrvalise juurega.

Vastus:

Samuti on kasulik peatuda eraldi juhtudel, kui arv on kuju murdartsionaalvõrrandis lugejas, st kui p (x) on esindatud mõne arvuga. Kus

• kui see arv erineb nullist, siis võrrandil pole juuri, kuna murd on null siis ja ainult siis, kui selle lugeja on null;
• kui see arv on null, on võrrandi juur suvaline arv ODZ-st.

Näide.

Lahendus.

Kuna võrrandi vasakul poolel oleva murru lugejas on nullist erinev arv, ei saa ühegi x korral selle murru väärtus olla võrdne nulliga. Seetõttu pole sellel võrrandil juuri.

Vastus:

pole juuri.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi vasakpoolses servas oleva murru lugeja on null, seega on selle murru väärtus null iga x jaoks, mille puhul see on mõttekas. Teisisõnu, selle võrrandi lahendus on mis tahes x väärtus selle muutuja DPV-st.

Jääb kindlaks määrata see vastuvõetavate väärtuste vahemik. See sisaldab kõiki selliseid väärtusi x, mille puhul x 4 +5 x 3 ≠0. Võrrandi x 4 +5 x 3 \u003d 0 lahendid on 0 ja -5, kuna see võrrand on võrdne võrrandiga x 3 (x + 5) \u003d 0 ja see omakorda on samaväärne kombinatsiooniga kahest võrrandist x 3 \u003d 0 ja x +5=0 , kust need juured on nähtavad. Seetõttu on soovitud vastuvõetavate väärtuste vahemik suvaline x, välja arvatud x=0 ja x=−5.

Seega on murdratsionaalvõrrandil lõpmatult palju lahendeid, mis on mis tahes arvud, välja arvatud null ja miinus viis.

Vastus:

Lõpuks on aeg rääkida suvaliste murdarvuliste ratsionaalvõrrandite lahendamisest. Neid saab kirjutada kujul r(x)=s(x) , kus r(x) ja s(x) on ratsionaalsed avaldised ja vähemalt üks neist on murdosa. Tulevikku vaadates ütleme, et nende lahendus taandub meile juba tuttava kujuga võrrandite lahendamisele.

Teada on, et liikme ülekandmine võrrandi ühest osast teise vastupidise märgiga annab ekvivalentse võrrandi, seega on võrrand r(x)=s(x) samaväärne võrrandiga r(x)−s (x) = 0.

Teame ka, et selle avaldisega võib olla identselt võrdne ükskõik milline. Seega saame alati teisendada võrrandi r(x)−s(x)=0 vasakul küljel oleva ratsionaalse avaldise vormi identselt võrdseks ratsionaalseks murruks.

Seega liigume algsest murdratsionaalvõrrandist r(x)=s(x) võrrandile ja selle lahendus, nagu eespool selgus, taandub võrrandi p(x)=0 lahendamiseks.

Kuid siin on vaja arvestada asjaoluga, et kui asendada r(x)−s(x)=0 -ga ja seejärel p(x)=0-ga, võib muutuja x lubatud väärtuste vahemik laieneda. .

Seetõttu ei pruugi algne võrrand r(x)=s(x) ja võrrand p(x)=0 , milleni jõudsime, olla samaväärsed ja võrrandi p(x)=0 lahendamisel saame juured mis on algse võrrandi kõrvalised juured r(x)=s(x) . Vastuse kõrvalisi juuri on võimalik tuvastada ja mitte kaasata, kas kontrollides või kontrollides nende kuuluvust algvõrrandi ODZ-sse.

Teeme selle teabe kokkuvõtlikult artiklis murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamise algoritm r(x)=s(x). Murdratsionaalvõrrandi r(x)=s(x) lahendamiseks tuleb

• Parempoolse nulli saamiseks liigutage avaldist paremalt küljelt vastupidise märgiga.
• Tehke toiminguid võrrandi vasakpoolses servas olevate murdude ja polünoomidega, muutes selle seeläbi vormi ratsionaalseks murdeks.
• Lahendage võrrand p(x)=0 .
• Kõrvaliste juurte tuvastamine ja välistamine, mida tehakse, asendades need algsesse võrrandisse või kontrollides nende kuuluvust algvõrrandi ODZ-sse.

Suurema selguse huvides näitame kogu murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise ahelat:
.

Käime läbi mitme näite lahendused koos lahenduse detailse selgitusega, et antud infoplokk selgust saada.

Näide.

Lahendage murdarvuline ratsionaalvõrrand.

Lahendus.

Toimime vastavalt äsja saadud lahendusalgoritmile. Ja kõigepealt viime võrrandi paremalt küljelt vasakule, mille tulemusena liigume võrrandisse .

Teises etapis peame teisendama saadud võrrandi vasakul küljel oleva murdarvulise ratsionaalavaldise murdarvuks. Selleks teostame ratsionaalsete murdude taandamise ühiseks nimetajaks ja lihtsustame saadud avaldist: . Nii et jõuame võrrandini.

Järgmises etapis peame lahendama võrrandi −2·x−1=0 . Leidke x=−1/2 .

Jääb üle kontrollida, kas leitud arv −1/2 on algse võrrandi kõrvaline juur. Selleks saate kontrollida või leida algse võrrandi ODZ muutuja x. Näitame mõlemat lähenemist.

Alustame kontrolliga. Asendame algsesse võrrandisse muutuja x asemel arvu −1/2, saame , mis on sama, −1=−1. Asendus annab õige arvulise võrdsuse, seetõttu on x=−1/2 algvõrrandi juur.

Nüüd näitame, kuidas algoritmi viimane samm läbi ODZ-i sooritatakse. Algvõrrandi lubatud väärtuste vahemik on kõigi arvude hulk, välja arvatud -1 ja 0 (x=-1 ja x=0 korral murrude nimetajad kaovad). Eelmises etapis leitud juur x=−1/2 kuulub ODZ-sse, seega on x=−1/2 algse võrrandi juur.

Vastus:

−1/2 .

Vaatleme teist näidet.

Näide.

Leia võrrandi juured.

Lahendus.

Peame lahendama murdarvuliselt ratsionaalse võrrandi, käime läbi kõik algoritmi etapid.

Esiteks viime termini paremalt küljelt vasakule, saame .

Teiseks teisendame vasakul pool moodustatud avaldise: . Selle tulemusena jõuame võrrandini x=0 .

Selle juur on ilmne - see on null.

Neljandas etapis tuleb veel välja selgitada, kas leitud juur ei ole algse murdratsionaalvõrrandi jaoks väline. Kui see asendatakse algsesse võrrandisse, saadakse avaldis. Ilmselgelt pole sellel mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sellest järeldame, et 0 on kõrvaline juur. Seetõttu pole algsel võrrandil juuri.

7 , mis viib võrrandini . Sellest võime järeldada, et avaldis vasaku poole nimetajas peab olema võrdne paremalt poolt, see tähendab . Nüüd lahutame kolmiku mõlemast osast: . Analoogia põhjal, kust ja edasi.

Kontroll näitab, et mõlemad leitud juured on algse murdratsionaalvõrrandi juured.

Vastus:

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2009. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Täisarvuline avaldis on matemaatiline avaldis, mis koosneb arvudest ja literaalsetest muutujatest, kasutades liitmise, lahutamise ja korrutamise toiminguid. Täisarvud hõlmavad ka avaldisi, mis sisaldavad jagamist mõne muu arvuga kui null.

Murdarvulise ratsionaalse avaldise mõiste

Murdravaldis on matemaatiline avaldis, mis lisaks arvude ja literaalsete muutujatega tehtavatele liitmis-, lahutamis- ja korrutamisoperatsioonidele, samuti arvuga, mis ei võrdu nulliga, sisaldab ka jagamist literaalsete muutujatega avaldisteks.

Ratsionaalväljendid on kõik täis- ja murdavaldised. Ratsionaalvõrrandid on võrrandid, mille vasak ja parem pool on ratsionaalsed avaldised. Kui ratsionaalses võrrandis on vasak ja parem osa täisarvulised avaldised, siis sellist ratsionaalset võrrandit nimetatakse täisarvuks.

Kui ratsionaalvõrrandis on vasak või parem osa murdosa avaldised, siis sellist ratsionaalset võrrandit nimetatakse murdosaliseks.

Näited murdosa ratsionaalsetest avaldistest

1,x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Murdratsionaalvõrrandi lahendamise skeem

1. Leia kõigi võrrandisse kuuluvate murdude ühisnimetaja.

2. Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga.

3. Lahendage saadud koguvõrrand.

4. Kontrollige juuri ja välistage need, mis muudavad ühise nimetaja nulliks.

Kuna me lahendame murdarvulisi ratsionaalvõrrandeid, on murdude nimetajates muutujad. Seega on need ühises nimetajas. Ja algoritmi teises lõigus korrutame ühise nimetajaga, siis võivad ilmneda kõrvalised juured. Mille korral on ühisnimetaja võrdne nulliga, mis tähendab, et sellega korrutamine on mõttetu. Seetõttu kontrollige lõpus kindlasti saadud juuri.

Kaaluge näidet:

Lahendage murdarvuline ratsionaalvõrrand: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Peame kinni üldisest skeemist: kõigepealt leiame kõigi murdude ühise nimetaja. Saame x*(x-5).

Korrutage iga murdosa ühise nimetajaga ja kirjutage saadud koguvõrrand.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Lihtsustame saadud võrrandit. Saame:

x^2+3*x + x-5 - x -5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Saime lihtsa taandatud ruutvõrrandi. Lahendame selle mistahes tuntud meetoditega, saame juurteks x=-2 ja x=5.

Nüüd kontrollime saadud lahendusi:

Asendame ühisnimetajas arvud -2 ja 5. Kui x=-2, ühisnimetaja x*(x-5) ei kao, -2*(-2-5)=14. Seega on arv -2 algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi juur.

Kui x=5, muutub ühisnimetaja x*(x-5) nulliks. Seetõttu ei ole see arv algse murdarvulise ratsionaalvõrrandi juur, kuna toimub jagamine nulliga.