Vaatleme esmalt jäika keha, mis pöörleb nurkkiirusega ümber fikseeritud telje OZ ω (joon.5.6). Jagame keha elementaarseteks massideks. Elementaarmassi joonkiirus on , kus on selle kaugus pöörlemisteljest. Kineetiline energia i- et elementaarmass on võrdne

.

Kogu keha kineetiline energia koosneb selle osade kineetilisest energiast, seega

.

Arvestades, et selle seose paremal küljel olev summa tähistab keha inertsimomenti pöörlemistelje suhtes, saame lõpuks

. (5.30)

Pöörleva keha kineetilise energia valemid (5.30) on sarnased keha translatsioonilise liikumise kineetilise energia vastavate valemitega. Need saadakse viimastest formaalse asendamise teel .

Üldjuhul võib jäiga keha liikumist kujutada liikumiste summana - translatsiooniline kiirusega, mis on võrdne keha massikeskme kiirusega, ja pöörlemine nurkkiirusega ümber keha läbiva hetketelje. massikese. Sel juhul võtab keha kineetilise energia avaldis kuju

.

Leiame nüüd jäiga keha pöörlemisel välisjõudude momendi poolt tehtud töö. Väliste jõudude elementaarne töö ajas dt on võrdne keha kineetilise energia muutusega

Võttes diferentsiaali pöörleva liikumise kineetilisest energiast, leiame selle juurdekasvu

.

Vastavalt pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandile

Neid seoseid arvesse võttes taandame elementaartöö avaldise vormile

kus on tekkiva välisjõudude momendi projektsioon pöörlemistelje suunale OZ, on keha pöördenurk vaadeldaval ajavahemikul.

Integreerides (5.31) saame pöörlevale kehale mõjuvate välisjõudude töö valemi

Kui , siis on valem lihtsustatud

Seega määrab välisjõudude töö jäiga keha pöörlemisel ümber fikseeritud telje nende jõudude momendi projektsiooni toimega antud teljel.

Güroskoop

Güroskoop on kiiresti pöörlev sümmeetriline keha, mille pöörlemistelg võib ruumis oma suunda muuta. Et güroskoobi telg saaks ruumis vabalt pöörlema ​​panna, asetatakse güroskoop nn kardaanvedrustusse (joon. 5.13). Güroskoopi hooratas pöörleb sisemises rõngakujulises puuris ümber selle raskuskeset läbiva telje C 1 C 2. Sisemine puur võib omakorda pöörata välimises puuris ümber telje B 1 B 2, mis on risti C 1 C 2 -ga. Lõpuks saab välimine ratas vabalt pöörelda tugede laagrites ümber telje A 1 A 2, mis on risti telgedega C 1 C 2 ja B 1 B 2. Kõik kolm telge ristuvad mingis fikseeritud punktis O, mida nimetatakse vedrustuse keskpunktiks või güroskoobi tugipunktiks. Kardaanis oleval güroskoopil on kolm vabadusastet ja seetõttu saab see teha mis tahes pöördeid kardaani keskkoha ümber. Kui güroskoobi vedrustuskese langeb kokku selle raskuskeskmega, siis on kõigi güroskoobi osade raskusmoment vedrustuse keskpunkti suhtes võrdne nulliga. Sellist güroskoopi nimetatakse tasakaalustatud.

Vaatleme nüüd güroskoobi kõige olulisemaid omadusi, mis on leidnud sellele laialdast rakendust erinevates valdkondades.

1) Jätkusuutlikkus.

Tasakaalustatud güroskoopiraami mis tahes pöörlemisel jääb selle pöörlemistelg labori tugiraami suhtes samaks. See on tingitud asjaolust, et kõigi välisjõudude moment, mis on võrdne hõõrdejõudude momendiga, on väga väike ega põhjusta praktiliselt güroskoobi nurkimpulsi muutust, s.t.

Kuna nurkmoment on suunatud piki güroskoobi pöörlemistelge, peab selle orientatsioon jääma muutumatuks.

Kui välisjõud mõjub lühiajaliselt, siis on nurkimpulsi juurdekasvu määrav integraal väike

. (5.34)

See tähendab, et isegi suurte jõudude lühiajalisel mõjul muutub tasakaalustatud güroskoopi liikumine vähe. Güroskoop peab justkui vastu kõikidele katsetele muuta oma nurkimpulsi suurust ja suunda. Sellega on seotud tähelepanuväärne stabiilsus, mille güroskoobi liikumine omandab pärast selle kiiret pöörlemist. Seda güroskoobi omadust kasutatakse laialdaselt õhusõidukite, laevade, rakettide ja muude sõidukite liikumise automaatseks juhtimiseks.

Kui aga güroskoobile mõjuvad pikemat aega konstantse suunaga välisjõudude moment, seatakse güroskoobi telg lõpuks välisjõudude momendi suunas. Seda nähtust kasutatakse gürokompassis. See seade on güroskoop, mille telg võib vabalt horisontaaltasandil pöörata. Maa igapäevase pöörlemise ja tsentrifugaaljõudude momendi mõju tõttu pöörleb güroskoobi telg nii, et ja vaheline nurk muutub minimaalseks (joon. 5.14). See vastab güroskoobi telje asukohale meridiaanitasandil.

2). Güroskoopiline efekt.

Kui pöörlevale güroskoopile rakendatakse jõudu ja, kaldudes seda pöörlema ​​ümber pöörlemisteljega risti oleva telje, siis pöörleb see ümber kolmanda telje, mis on risti kahe esimesega (joonis 5.15). Seda güroskoobi ebatavalist käitumist nimetatakse güroskoopiliseks efektiks. Seda seletatakse asjaoluga, et jõudude paari moment on suunatud piki O 1 O 1 telge ja vektori muutumine väärtuse võrra ajas on sama suunaga. Selle tulemusena hakkab uus vektor pöörlema ​​ümber O 2 O 2 telje. Seega vastab güroskoobi näiliselt ebaloomulik käitumine täielikult pöörleva liikumise dünaamika seadustele

3). Güroskoop pretsessioon.

Güroskoobi pretsessioon on selle telje kooniline liikumine. See tekib siis, kui välisjõudude moment, mille suurus jääb muutumatuks, pöörleb samaaegselt güroskoopi teljega, moodustades sellega kogu aeg täisnurga. Presessiooni demonstreerimiseks võib kasutada kiiresse pöörlemisse viidud pikendatud teljega jalgrattaratast (joonis 5.16).

Kui ratas on riputatud telje pikendatud otsa külge, hakkab selle telg oma raskuse mõjul ümber vertikaaltelje pretsesseerima. Kiiresti pöörlev ülaosa võib olla ka pretsessiooni demonstreerimiseks.

Uurige välja güroskoobi pretsessiooni põhjused. Vaatleme tasakaalustamata güroskoopi, mille telg võib vabalt pöörlema ​​ümber teatud punkti O (joon. 5.16). Güroskoobile rakendatav gravitatsioonimoment on suuruselt võrdne

kus on güroskoobi mass, on kaugus punktist O güroskoobi massikeskmesse, on nurk, mille moodustab güroskoobi telg vertikaaliga. Vektor on suunatud risti güroskoopi telge läbiva vertikaaltasapinnaga.

Selle hetke toimel saab güroskoobi nurkimpulss (selle algus asetseb punktis O) ajas juurdekasvu ja güroskoobi telge läbiv vertikaaltasand pöördub nurga võrra. Vektor on alati risti, seega, ilma suurust muutmata, muutub vektor ainult suunda. Sel juhul on mõne aja pärast vektorite suhteline asukoht ja sama, mis alghetkel. Selle tulemusena pöörleb güroskoobi telg pidevalt ümber vertikaali, kirjeldades koonust. Seda liikumist nimetatakse pretsessiooniks.

Määrame pretsessiooni nurkkiiruse. Vastavalt joonisele 5.16 on koonuse telge ja güroskoobi telge läbiva tasapinna pöördenurk võrdne

kus on güroskoobi nurkimment ja selle juurdekasv ajas.

Jagades , võttes arvesse ülaltoodud seoseid ja teisendusi, saame pretsessiooni nurkkiiruse

. (5.35)

Tehnoloogias kasutatavate güroskoopide puhul on pretsessiooni nurkkiirus miljoneid kordi väiksem güroskoobi pöörlemiskiirusest.

Kokkuvõtteks märgime, et pretsessiooni nähtust täheldatakse ka aatomites elektronide orbitaalliikumise tõttu.

Näited dünaamika seaduste rakendamisest

Pöörlemisel

1. Vaatleme mõningaid näiteid nurkimpulsi jäävuse seadusest, mida saab rakendada Žukovski pingi abil. Kõige lihtsamal juhul on Žukovski pink kettakujuline platvorm (tool), mis saab kuullaagritel vabalt pöörlema ​​ümber vertikaaltelje (joon. 5.17). Demonstreerija istub või seisab pingil, misjärel see viiakse pöörlevale liikumisele. Kuna laagrite kasutamisest tulenevad hõõrdejõud on väga väikesed, ei saa pingist ja demonstraatorist koosneva süsteemi nurkimment pöörlemistelje suhtes ajas muutuda, kui süsteem omaette jätta. . Kui demonstreerija hoiab käes raskeid hantleid ja sirutab käed külgedele, siis ta suurendab süsteemi inertsimomenti ja seetõttu peab pöörlemise nurkkiirus vähenema, et nurkimment jääks muutumatuks.

Nurkmomendi jäävuse seaduse järgi koostame selle juhtumi jaoks võrrandi

kus on inimese ja pingi inertsimoment ning hantlite inertsimoment esimeses ja teises asendis ning on süsteemi nurkkiirused.

Süsteemi pöörlemise nurkkiirus hantlite küljele kasvatamisel on võrdne

.

Inimese hantlite liigutamisel tehtavat tööd saab määrata süsteemi kineetilise energia muutumise kaudu

2. Teeme veel ühe katse Žukovski pingiga. Demonstreerija istub või seisab pingil ja talle antakse kiiresti pöörlev vertikaalse teljega ratas (joonis 5.18). Seejärel keerab demonstrant rooli 180 0 . Sel juhul kandub ratta nurkmomendi muutus täielikult üle pingile ja demonstraatorile. Selle tulemusena hakkab pink koos demonstraatoriga pöörlema ​​nurkkiirusega, mis on määratud nurkimpulsi jäävuse seaduse alusel.

Süsteemi nurkimpulss algseisundis määratakse ainult ratta nurkmomendiga ja on võrdne

kus on ratta inertsimoment, on selle pöörlemise nurkkiirus.

Pärast ratta pööramist 180 0 nurga all määrab süsteemi impulsi momendi juba inimesega pingi ja ratta impulsi momentide summa. Võttes arvesse asjaolu, et ratta impulsi vektor on muutnud oma suunda vastupidiseks ja selle projektsioon vertikaalteljel on muutunud negatiivseks, saame

,

kus on "mees-platvorm" süsteemi inertsimoment, on pingi pöörlemise nurkkiirus koos inimesega.

Nurkmomendi jäävuse seaduse järgi

ja .

Selle tulemusena leiame pingi pöörlemiskiiruse

3. Õhuke varda mass m ja pikkus l pöörleb nurkkiirusega ω=10 s -1 horisontaaltasandil ümber varda keskosa läbiva vertikaaltelje. Jätkates samal tasapinnal pöörlemist, liigub varras nii, et pöörlemistelg läbib nüüd varda otsa. Leia nurkkiirus teisel juhul.

Selle ülesande puhul, kuna muutub varda massi jaotus pöörlemistelje suhtes, muutub ka varda inertsimoment. Kooskõlas isoleeritud süsteemi nurkimpulsi jäävuse seadusega on meil

Siin - varda inertsimoment varda keskosa läbiva telje suhtes; - varda inertsimoment selle otsa läbiva telje suhtes, mis leitakse Steineri teoreemi järgi.

Asendades need avaldised nurkimpulsi jäävuse seadusega, saame

,

.

4. Varda pikkus L=1,5 m ja kaal m 1=10 kg on ülemises otsas hingedega. Kuul tabab massiga varda keskpunkti m2=10 g, lendab horisontaalselt kiirusega =500 m/s ja jääb ridva külge kinni. Millise nurga all varras pärast kokkupõrget kõrvale kaldub?

Kujutame ette joonisel fig. 5.19. interakteeruvate kehade süsteem "varras-kuul". Välisjõudude (raskusjõu, teljereaktsiooni) momendid löögi hetkel on nulliga, seega saame kasutada nurkimpulsi jäävuse seadust

Süsteemi nurkimment enne kokkupõrget on võrdne kuuli nurkimpulssiga vedrustuspunkti suhtes

Süsteemi nurkimment pärast mitteelastset lööki määratakse valemiga

,

kus on varda inertsimoment vedrustuspunkti suhtes, on kuuli inertsimoment, on varda nurkkiirus kuuliga vahetult pärast lööki.

Lahendades saadud võrrandi pärast asendamist, leiame

.

Kasutame nüüd mehaanilise energia jäävuse seadust. Võrdlustame varda kineetilise energia pärast kuuli tabamust oma potentsiaalse energiaga tõusu kõrgeimas punktis:

,

kus on antud süsteemi massikeskme kõrgus.

Pärast vajalike muudatuste tegemist saame

Varda läbipaindenurk on suhtega seotud väärtusega

.

Pärast arvutuste tegemist saame =0,1p=18 0 .

5. Määrake Atwoodi masina kehade kiirendus ja keerme pinge, eeldades, et (joon. 5.20). Ploki inertsmoment pöörlemistelje suhtes on ma, ploki raadius r. Ignoreeri niidi massi.

Paigutame kõik koormustele ja plokile mõjuvad jõud ning koostame neile dünaamika võrrandid

Kui keerme libisemist mööda plokki ei toimu, on lineaar- ja nurkkiirendus seotud seosega

Lahendades need võrrandid, saame

Siis leiame T 1 ja T 2 .

6. Oberbecki risti rihmarattale (joon. 5.21) on kinnitatud niit, millele koormatakse massi. M= 0,5 kg. Määrake, kui kaua kulub koorma kõrguselt kukkumiseks h=1 m alumisse asendisse. Rihmaratta raadius r\u003d 3 cm. Neli raskust m= 250g igaüks vahemaa tagant R= 30 cm oma teljest. Jäta tähelepanuta risti enda ja rihmaratta inertsimoment võrreldes raskuste inertsmomendiga.

Pöörlemise kineetiline energia

Loeng 3. Jäiga keha dünaamika

Loengu kava

3.1. Võimu hetk.

3.2. Pöörleva liikumise põhivõrrandid. Inertsimoment.

3.3. Pöörlemise kineetiline energia.

3.4. impulsi hetk. Nurkmomendi jäävuse seadus.

3.5. Translatsiooni- ja pöörleva liikumise vaheline analoogia.

Võimu hetk

Vaatleme jäiga keha liikumist ümber fikseeritud telje. Olgu jäigal kehal fikseeritud pöörlemistelg ОО ( joon.3.1) ja sellele rakendatakse meelevaldset jõudu.

Riis. 3.1

Jagame jõu kaheks jõu komponendiks, jõud asub pöörlemistasandil ja jõud on paralleelne pöörlemisteljega. Seejärel jagame jõu kaheks komponendiks: – mõjub piki raadiusvektorit ja – sellega risti.

Mitte ükski kehale rakendatav jõud ei hakka seda pöörama. Sunnib ja tekitab survet laagritele, kuid ära pööra seda.

Jõud võib või ei pruugi viia keha tasakaalust välja, olenevalt sellest, kuhu raadiusvektorisse see rakendub. Seetõttu võetakse kasutusele telje suhtes avalduva jõumomendi mõiste. Jõu hetk pöörlemistelje suhtes nimetatakse raadiusvektori ja jõu vektorkorrutiseks.

Vektor on suunatud piki pöörlemistelge ja see määratakse ristkorrutise reegli või parempoolse kruvi reegli või ristkorrutise reegliga.

Jõumomendi moodul

kus α on nurk vektorite ja .

Jooniselt 3.1. see on selge .

r0- lühim kaugus pöörlemisteljelt jõu toimejooneni ja seda nimetatakse jõu õlaks. Siis saab kirjutada jõumomendi

M = F r 0 . (3.3)

Jooniselt fig. 3.1.

kus F on vektori projektsioon suunale, mis on risti vektori raadiuse vektoriga. Sel juhul on jõumoment

. (3.4)

Kui kehale mõjub mitu jõudu, siis on tekkiv jõumoment võrdne üksikute jõudude momentide vektorsummaga, kuid kuna kõik momendid on suunatud piki telge, saab need asendada algebralise summaga. Momenti loetakse positiivseks, kui see pöörab keha päripäeva, ja negatiivseks, kui vastupäeva. Kui kõik jõudude momendid on võrdsed nulliga (), on keha tasakaalus.

Jõumomendi kontseptsiooni saab demonstreerida "kapriisse mähise" abil. Niidirulli tõmmatakse niidi vabast otsast ( riis. 3.2).

Riis. 3.2

Sõltuvalt keerme pinge suunast veereb mähis ühes või teises suunas. Kui tõmbad viltu α , siis jõumoment telje suhtes O(joonisega risti) pöörab mähist vastupäeva ja see veereb tagasi. Pingutuse korral nurga all β pöördemoment on vastupäeva ja mähis veereb edasi.

Tasakaalutingimust () kasutades saate kujundada lihtsaid mehhanisme, mis on jõu "muundurid", st. Rakendades vähem jõudu, saate tõsta ja liigutada erineva raskusega koormaid. Sellel põhimõttel põhinevad hoovad, kärud, mitmesugused ehituses laialdaselt kasutatavad klotsid. Tasakaalutingimuse täitmiseks ehituskraanates, et kompenseerida koorma massist põhjustatud jõumomenti, on alati olemas vastukaalude süsteem, mis tekitab vastupidise märgiga jõumomendi.

3.2. Põhiline pöörlemisvõrrand
liikumine. Inertsimoment

Mõelge absoluutselt jäigale kehale, mis pöörleb ümber fikseeritud telje OO(joon.3.3). Jagame selle keha mõtteliselt elementideks massiga Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Pöörlemise ajal kirjeldavad need elemendid raadiusega ringe r1,r2 , …,rn. Jõud mõjutavad iga elementi F1,F2 , …,F n. Keha pöörlemine ümber telje OO tekib jõudude kogumomendi mõjul M.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

kus M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Newtoni teise seaduse järgi iga jõud F, mis toimib elemendile massiga D m, põhjustab antud elemendi kiirenduse a, st.

F i = D m i a i (3.5)

Asendades vastavad väärtused (3.4), saame

Riis. 3.3

Lineaarnurkkiirenduse vahelise seose tundmine ε () ja et nurkiirendus on kõigi elementide puhul sama, näeb valem (3.6) välja selline

M = (3.7)

=ma (3.8)

ma on keha inertsimoment fikseeritud telje suhtes.

Siis me saame

M = I ε (3.9)

Või vektorkujul

(3.10)

See võrrand on pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand. See on vormilt sarnane Newtoni seaduse võrrandiga II. Alates (3.10) on inertsimoment

Seega on antud keha inertsmoment jõumomendi ja sellest põhjustatud nurkkiirenduse suhe. (3.11) põhjal on näha, et inertsmoment on keha inertsuse mõõt pöörleva liikumise suhtes. Inertsmoment mängib translatsioonilises liikumises sama rolli kui mass. SI ühik [ ma] = kg m 2. Valemist (3.7) järeldub, et inertsimoment iseloomustab kehaosakeste masside jaotust pöörlemistelje suhtes.

Seega on piki raadiusega r ringi liikuva elemendi massiga ∆m inertsimoment võrdne

I = r2 D m (3.12)

I= (3.13)

Pideva massijaotuse korral saab summa asendada integraaliga

I= ∫ r 2 dm (3.14)

kus integreerimine toimub kogu kehamassi ulatuses.

See näitab, et keha inertsmoment sõltub massist ja selle jaotusest pöörlemistelje suhtes. Seda saab katseliselt demonstreerida joon.3.4).

Riis. 3.4

Kaks ümmargust silindrit, millest üks on õõnes (näiteks metall), teine ​​sama pikkuse, raadiuse ja massiga täispuit (puit), hakkavad korraga alla veerema. Suure inertsmomendiga õõnes silinder jääb tahkest maha.

Inertsimomendi saate arvutada, kui teate massi m ja selle jaotus pöörlemistelje suhtes. Lihtsaim juhtum on rõngas, kui kõik massi elemendid paiknevad pöörlemisteljest võrdselt ( riis. 3.5):

I= (3.15)

Riis. 3.5

Andkem avaldised erinevate sümmeetriliste kehade massiga inertsimomentide kohta m.

1. Inertsimoment rõngad, õõnes õhukese seinaga silinder umbes sümmeetriateljega kokku langeva pöörlemistelje ümber.

, (3.16)

r on rõnga või silindri raadius

2. Tahke silindri ja ketta puhul inertsimoment sümmeetriatelje suhtes

(3.17)

3. Kuuli inertsimoment keskpunkti läbiva telje suhtes

(3.18)

r- kuuli raadius

4. Peenikese pika varda inertsimoment l vardaga risti oleva ja selle keskosa läbiva telje suhtes

(3.19)

l- varda pikkus.

Kui pöörlemistelg ei läbi massikeset, siis keha inertsmoment selle telje suhtes määratakse Steineri teoreemiga.

(3.20)

Selle teoreemi kohaselt on inertsimoment suvalise telje suhtes О'O' ( ) on võrdne inertsmomendiga keha massikeskpunkti läbiva paralleeltelje suhtes ( ) pluss kehamassi korrutis vahemaa ruuduga a telgede vahel ( riis. 3.6).

Riis. 3.6

Pöörlemise kineetiline energia

Vaatleme absoluutselt jäiga keha pöörlemist ümber fikseeritud telje OO nurkkiirusega ω (riis. 3.7). Jagame jäiga keha pooleks n elementaarmassid ∆ m i. Iga massi element pöörleb raadiusega ringil r i lineaarse kiirusega (). Kineetiline energia on üksikute elementide kineetiliste energiate summa.

(3.21)

Riis. 3.7

Tuletage meelde (3.13), et on inertsimoment OO-telje suhtes.

Seega pöörleva keha kineetiline energia

E k \u003d (3.22)

Oleme arvestanud ümber fikseeritud telje pöörlemise kineetilist energiat. Kui keha osaleb kahes liikumises: translatsioonilises ja pöörlevas liikumises, siis on keha kineetiline energia translatsioonilise liikumise kineetilise energia ja pöörlemise kineetilise energia summa.

Näiteks massipall m rullimine; palli massikese liigub kiirusega edasi u (riis. 3.8).

Riis. 3.8

Palli kogu kineetiline energia on võrdne

(3.23)

3.4. impulsi hetk. looduskaitseseadus
nurkmoment

Füüsikaline suurus, mis võrdub inertsmomendi korrutisega ma nurkkiirusele ω , nimetatakse nurkmomendiks (impulssmoment) L pöörlemistelje ümber.

– nurkimpulss on vektorsuurus ja kattub suunalt nurkkiiruse suunaga.

Diferentseerides võrrandi (3.24) aja suhtes saame

kus, M on välisjõudude summaarne moment. Isoleeritud süsteemis puudub välisjõudude moment ( M=0) ja

« Füüsika – 10. klass

Miks uisutaja venib mööda pöörlemistelge, et suurendada pöörlemise nurkkiirust.
Kas helikopter peaks pöörlema, kui selle propeller pöörleb?

Esitatud küsimused viitavad sellele, et kui kehale ei mõju välised jõud või nende mõju kompenseeritakse ja üks kehaosa hakkab pöörlema ​​ühes suunas, siis teine ​​osa peab pöörlema ​​teises suunas, nagu ka siis, kui kehast väljutatakse kütust. rakett, rakett ise liigub vastassuunas.

impulsi hetk.

Kui vaadelda pöörlevat ketast, siis selgub, et ketta koguimpulss on null, kuna ükskõik milline kehaosake vastab absoluutväärtuses võrdse kiirusega, kuid vastupidises suunas liikuvale osakesele (joonis 6.9).

Kuid ketas liigub, kõigi osakeste pöörlemise nurkkiirus on sama. Siiski on selge, et mida kaugemal on osake pöörlemisteljest, seda suurem on tema impulss. Seetõttu on pöörleva liikumise jaoks vaja kasutusele võtta veel üks impulsiga sarnane tunnus - nurkimpulss.

Ringis liikuva osakese nurkimpulss on osakese impulsi ja temast pöörlemistelje kauguse korrutis (joon. 6.10):

Lineaar- ja nurkkiirused on seotud v = ωr, siis

Kõik jäiga aine punktid liiguvad fikseeritud pöörlemistelje suhtes sama nurkkiirusega. Jäika keha võib kujutada materiaalsete punktide kogumina.

Jäiga keha nurkimpulss on võrdne inertsmomendi ja pöörlemise nurkkiiruse korrutisega:

Nurkmoment on vektorsuurus, valemi (6.3) järgi on nurkimpulss suunatud samamoodi nagu nurkkiirus.

Impulsiivsel kujul pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand.

Keha nurkiirendus võrdub nurkkiiruse muutusega, mis on jagatud ajaintervalliga, mille jooksul see muutus toimus: Asendage see avaldis pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandiga seega I(ω 2 - ω 1) = MΔt või IΔω = MΔt.

Seega

∆L = M∆t. (6.4)

Nurkmomendi muutus võrdub kehale või süsteemile mõjuvate jõudude summaarse momendi ja nende jõudude toimeaja korrutisega.

Nurkmomendi jäävuse seadus:

Kui kehale või fikseeritud pöörlemisteljega kehade süsteemile mõjuvate jõudude summaarne moment on võrdne nulliga, siis on ka nurkimpulsi muutus võrdne nulliga, st süsteemi nurkimpulss jääb konstantseks.

∆L=0, L=konst.

Süsteemi impulsi muutus on võrdne süsteemile mõjuvate jõudude summaarse impulsiga.

Pöörlev uisutaja sirutab oma käed külgedele, suurendades seeläbi inertsimomenti, et vähendada pöörlemise nurkkiirust.

Nurkmomendi jäävuse seadust saab demonstreerida järgmise katsega, mida nimetatakse "katseks Žukovski pingiga". Inimene seisab pingil, mille keskpunkti läbib vertikaalne pöörlemistelg. Mees hoiab käes hantleid. Kui pink on pandud pöörlema, saab inimene pöörlemiskiirust muuta, surudes hantlid rinnale või langetades käed ning seejärel laiali ajades. Käed laiali ajades suurendab ta inertsimomenti ja pöörlemise nurkkiirus väheneb (joonis 6.11, a), käsi langetades vähendab inertsimomenti ja pingi pöörlemise nurkkiirus suureneb (joonis 6.11, a). 6.11, b).

Inimene saab pingi pöörlema ​​panna ka mööda selle serva kõndides. Sel juhul pöörleb pink vastupidises suunas, kuna kogu nurkimment peab jääma võrdseks nulliga.

Güroskoopideks nimetatavate seadmete tööpõhimõte põhineb nurkimpulsi jäävuse seadusel. Güroskoopi peamine omadus on pöörlemistelje suuna säilimine, kui sellele teljele välisjõud ei mõju. 19. sajandil güroskoope kasutasid navigaatorid merel navigeerimiseks.

Pöörleva jäiga keha kineetiline energia.

Pöörleva tahke keha kineetiline energia on võrdne tema üksikute osakeste kineetiliste energiate summaga. Jagagem keha väikesteks elementideks, millest igaüht võib pidada materiaalseks punktiks. Siis võrdub keha kineetiline energia nende materiaalsete punktide kineetiliste energiate summaga, millest see koosneb:

Keha kõigi punktide pöörlemise nurkkiirus on sama, seega

Sulgudes olev väärtus, nagu me juba teame, on jäiga keha inertsimoment. Lõpuks on fikseeritud pöörlemisteljega jäiga keha kineetilise energia valem selline

Jäiga keha liikumise üldisel juhul, kui pöörlemistelg on vaba, on selle kineetiline energia võrdne translatsiooni- ja pöörlemisliikumise energiate summaga. Seega on konstantsel kiirusel mööda teed veereva ratta, mille mass on koondunud veljesse, kineetiline energia

Tabelis võrreldakse materjali punkti translatsioonilise liikumise mehaanika valemeid sarnaste jäiga keha pöörlemisliikumise valemitega.

Ülesanded

1. Määrake, mitu korda on efektiivmass suurem 4000 tonnise massiga rongi gravitatsioonimassist, kui rataste mass moodustab 15% rongi massist. Käsitleme rattaid 1,02 m läbimõõduga ketastena Kuidas muutub vastus, kui rataste läbimõõt on poole väiksem?

2. Määrake kiirendus, millega rattapaar massiga 1200 kg veereb mäest alla, mille kalle on 0,08. Võtke rattad ketasteks. Veeretakistuse koefitsient 0,004. Määrake rataste haardumisjõud rööbastele.

3. Määrake kiirendus, millega rattapaar massiga 1400 kg veereb üles mäest, mille kalle on 0,05. Tõmbekoefitsient 0,002. Milline peaks olema nakketegur, et rattad ei libiseks. Võtke rattad ketasteks.

4. Määrata kiirendus, millega 40 tonni kaaluv vagun veereb 0,020 kaldega mäest alla, kui sellel on kaheksa ratast kaaluga 1200 kg ja läbimõõt 1,02 m Määrata rataste haardumisjõud rööbastele. Tõmbekoefitsient 0,003.

5. Määrata piduriklotside survejõud rehvidele, kui 4000 tonni kaaluv rong aeglustab 0,3 m/s 2 kiirendusega. Ühe rattapaari inertsmoment on 600 kg m 2, telgede arv 400, ploki libisemishõõrdetegur 0,18, veeretakistustegur 0,004.

6. Määrata 60-tonnise massiga neljateljelisele vagunile mõjuv pidurdusjõud sorteerimisväljaku piduriklotsil, kui kiirus vähenes 30 m rajal 2 m/s-lt 1,5 m/s-le. Ühe rattapaari inertsmoment on 500 kg m 2 .

7. Veduri spidomeeter näitas ühe minuti jooksul rongi kiiruse tõusu 10 m/s pealt 60 m/s. Tõenäoliselt oli eesmise rattapaari libisemine. Määrake elektrimootori armatuurile mõjuvate jõudude moment. Rattapaari inertsmoment 600 kg m 2, ankrud 120 kg m 2. Ülekandearv käik 4.2. Rööbastele avaldatav survejõud on 200 kN, rataste libisemise hõõrdetegur piki siini on 0,10.

11. ROOTORI KINEETILINE ENERGIA

LIIKUMISED

Tuletame pöörleva liikumise kineetilise energia valemi. Laske kehal nurkkiirusega pöörelda ω fikseeritud telje ümber. Iga väike kehaosake sooritab translatsioonilise liikumise ringjoonel kiirusega , kus r i - kaugus pöörlemisteljest, orbiidi raadius. Osakese kineetiline energia massid m i on võrdne . Osakeste süsteemi kogu kineetiline energia on võrdne nende kineetilise energia summaga. Summeerime kehaosakeste kineetilise energia valemid ja võtame välja nurkkiiruse poole ruudu summa märgi, mis on kõigil osakestel sama, . Osakeste masside ja nende pöörlemistelje kauguste ruutude korrutis on keha inertsmoment pöörlemistelje suhtes . Niisiis, ümber fikseeritud telje pöörleva keha kineetiline energia võrdub poolega keha inertsmomendi telje ümber ja pöörlemise nurkkiiruse ruudu korrutusest:

Pöörlevad kehad võivad salvestada mehaanilist energiat. Selliseid kehasid nimetatakse hooratasteks. Tavaliselt on need revolutsiooni kehad. Hoorataste kasutamine pottsepakettas on tuntud juba antiikajast. Sisepõlemismootorites annab kolb löögi ajal mehaanilise energia hoorattale, mis seejärel teostab järgmise kolme tsükli jooksul tööd mootori võlli pöörlemisel. Stampides ja pressides veab hooratast suhteliselt väikese võimsusega elektrimootor, akumuleerib mehaanilist energiat peaaegu täispöördeks ja annab lühikese löögihetkega selle stantsimise tööle.

Pöörlevaid hoorattaid üritatakse kasutada arvukalt sõidukite juhtimiseks: autod, bussid. Neid nimetatakse mahomobiilideks, güroskoopideks. Selliseid eksperimentaalseid masinaid loodi palju. Perspektiivne oleks elektrirongide pidurdamisel energia salvestamiseks kasutada hoorattaid, et järgneval kiirendamisel kasutada kogunenud energiat. Hooratta energiasalvestit kasutatakse teatavasti New Yorgi metroorongides.

Määrame kindlaks ümber fikseeritud telje pöörleva jäiga keha kineetilise energia. Jagame selle keha n materiaalseks punktiks. Iga punkt liigub lineaarkiirusega υ i =ωr i, siis punkti kineetiline energia

või

Pöörleva jäiga keha kogu kineetiline energia on võrdne kõigi selle materiaalsete punktide kineetiliste energiate summaga:

(3.22)

(J - keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes)

Kui kõigi punktide trajektoorid asetsevad paralleelsetel tasapindadel (nagu silinder, mis veereb kaldtasapinnast alla, liigub iga punkt oma tasapinnal joon.), on see tasane liikumine. Vastavalt Euleri põhimõttele saab tasapinnalist liikumist alati lõpmatul hulgal translatsiooni- ja pöörlemisliikumiseks lagundada. Kui pall kukub või libiseb mööda kaldtasapinda, liigub see ainult edasi; kui pall veereb, siis see ka pöörleb.

Kui keha sooritab translatsiooni- ja pöörlemisliigutusi samal ajal, siis on tema kogu kineetiline energia võrdne

(3.23)

Translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kineetilise energia valemite võrdlusest on näha, et pöörleva liikumise inertsi mõõt on keha inertsimoment.

§ 3.6 Välisjõudude töö jäiga keha pöörlemisel

Jäiga keha pöörlemisel selle potentsiaalne energia ei muutu, seetõttu on välisjõudude elementaarne töö võrdne keha kineetilise energia juurdekasvuga:

dA = dE või

Arvestades, et Jβ = M, ωdr = dφ, on keha α lõpliku nurga φ juures võrdub

(3.25)

Kui jäik keha pöörleb ümber fikseeritud telje, määrab välisjõudude töö nende jõudude momendi mõju antud telje ümber. Kui jõudude moment telje ümber on võrdne nulliga, siis need jõud tööd ei tekita.

Näited probleemide lahendamisest

Näide 2.1. hooratta massm=5kg ja raadiusr= 0,2 m pöörleb sagedusega ümber horisontaalteljeν 0 =720 min -1 ja peatub pidurdamiselt=20 s. Leidke enne peatumist pidurdusmoment ja pöörete arv.

Pidurdusmomendi määramiseks rakendame pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit

kus I=mr 2 on ketta inertsimoment; Δω \u003d ω - ω 0 ja ω \u003d 0 on lõplik nurkkiirus, ω 0 \u003d 2πν 0 on esialgne. M on kettale mõjuvate jõudude pidurdusmoment.

Teades kõiki koguseid, on võimalik määrata pidurdusmoment

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Pöörleva liikumise kinemaatikast saab ketta pöörlemise nurga kuni peatumiseni määrata valemiga

(3)

kus β on nurkiirendus.

Vastavalt ülesande tingimusele: ω = ω 0 - βΔt, kuna ω=0, ω 0 = βΔt

Seejärel saab avaldise (2) kirjutada järgmiselt:

Näide 2.2. Kaks sama raadiuse ja massiga ketaste kujul olevat hooratast keerutati kuni pöörlemiskiirusenin= 480 p/min ja jäeti endale. Laagrite võllide hõõrdejõudude mõjul peatus esimene pärast sedat\u003d 80 s ja teine ​​tegigiN= 240 pööret peatamiseks. Millises hoorattas oli võllide hõõrdejõudude moment laagritel suurem ja mitu korda.

Pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandi abil leiame esimese hooratta okaste jõudude momendi M 1

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

kus Δt on hõõrdejõudude momendi mõjuaeg, I \u003d mr 2 - hooratta inertsimoment, ω 1 \u003d 2πν ja ω 2 \u003d 0 on hooratta alg- ja lõppnurkkiirused

Siis

Teise hooratta hõõrdejõudude momenti M 2 väljendatakse hõõrdejõudude töö A ja selle kineetilise energia muutuse ΔE k seose kaudu:

kus Δφ = 2πN on pöördenurk, N on hooratta pöörete arv.

Siis kuhu

O suhe saab olema

Teise hooratta hõõrdemoment on 1,33 korda suurem.

Näide 2.3. Homogeense tahke ketta mass m, koormuste massid m 1 ja m 2 (joon.15). Silindri teljel ei esine keerme libisemist ja hõõrdumist. Leidke masside kiirendus ja keerme pingete suheliikumise protsessis.

Keerme libisemist ei toimu, mistõttu kui m 1 ja m 2 teevad translatsioonilise liikumise, siis silinder pöörleb ümber punkti O läbiva telje. Eeldame täpsuse huvides, et m 2 > m 1.

Seejärel langetatakse koormus m 2 ja silinder pöörleb päripäeva. Kirjutame üles süsteemi kuuluvate kehade liikumisvõrrandid

Esimesed kaks võrrandit on kirjutatud kehade massiga m 1 ja m 2 jaoks, mis sooritavad translatsioonilist liikumist, ja kolmas võrrand on mõeldud pöörleva silindri jaoks. Kolmandas võrrandis on vasakul silindrile mõjuvate jõudude summaarne moment (jõumoment T 1 võetakse miinusmärgiga, kuna jõud T 1 kipub silindrit vastupäeva pöörama). Paremal on I silindri inertsimoment telje O suhtes, mis on võrdne

kus R on silindri raadius; β on silindri nurkkiirendus.

Kuna niit ei libise,
. Võttes arvesse I ja β avaldisi, saame:

Süsteemi võrrandid liites jõuame võrrandini

Siit leiame kiirenduse a lasti

Saadud võrrandist on näha, et niidi pinged on samad, st. =1, kui silindri mass on palju väiksem kui raskuste mass.

Näide 2.4. Õõneskuuli massiga m = 0,5 kg on välimine raadius R = 0,08 m ja sisemine raadius r = 0,06 m. Pall pöörleb ümber selle keskpunkti läbiva telje. Teatud hetkel hakkab kuulile mõjuma jõud, mille tulemusena muutub kuuli pöördenurk vastavalt seadusele
. Määrake rakendatud jõu hetk.

Ülesande lahendame kasutades pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit
. Peamine raskus seisneb õõneskuuli inertsmomendi määramises ja nurkkiirendus β leitakse kui
. Õõneskuuli inertsimoment I on võrdne raadiusega R kuuli ja raadiusega r kuuli inertsimomentide vahega:

kus ρ on kuuli materjali tihedus. Leiame tiheduse, teades õõnsa palli massi

Siit määrame palli materjali tiheduse

Jõumomendi M jaoks saame järgmise avaldise:

Näide 2.5. Õhuke varras massiga 300 g ja pikkusega 50 cm pöörleb nurkkiirusega 10 s -1 horisontaaltasandil ümber varda keskosa läbiva vertikaaltelje. Leia nurkkiirus, kui varras liigub samal tasapinnal pöörlemise ajal nii, et pöörlemistelg läbib varda otsa.

Kasutame nurkimpulsi jäävuse seadust

(1)

(J i - varda inertsimoment pöörlemistelje suhtes).

Isoleeritud kehade süsteemi korral jääb impulsimomendi vektorsumma konstantseks. Tulenevalt asjaolust, et varda massi jaotus pöörlemistelje suhtes muutub, muutub ka varda inertsimoment vastavalt punktile (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2. (2)

On teada, et varda inertsimoment massikeskpunkti läbiva ja vardaga risti oleva telje suhtes on võrdne

J 0 \u003d mℓ 2/12. (3)

Steineri teoreemi järgi

J = J 0 + m a 2

(J on varda inertsimoment suvalise pöörlemistelje suhtes; J 0 on inertsimoment massikeskpunkti läbiva paralleeltelje suhtes; a- kaugus massikeskmest valitud pöörlemisteljeni).

Leiame inertsimomendi telje suhtes, mis läbib selle otsa ja on vardaga risti:

J 2 \u003d J 0 +m a 2, J2 = mℓ2/12 +m(l/2) 2 = mℓ2/3. (4)

Asendame valemid (3) ja (4) valemiga (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = m ℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5 s -1

Näide 2.6 . massimeesm= 60 kg, seisab platvormi serval massiga M = 120 kg, pöörleb inertsiga ümber fikseeritud vertikaaltelje sagedusega ν 1 =12 min -1 , läheb selle keskele. Arvestades platvormi ümmarguse homogeense kettana ja inimest punktmassina, määrake, millise sagedusega ν 2 platvorm hakkab seejärel pöörlema.

Arvestades: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Leidma: v 1

Otsus: Vastavalt probleemi seisukorrale pöörleb platvorm koos inimesega inertsist, s.o. kõigi pöörlevale süsteemile rakendatavate jõudude tulemuseks olev moment on null. Seetõttu on "platvormimehe" süsteemi jaoks impulsi jäävuse seadus täidetud

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

kus
- süsteemi inertsmoment, kui inimene seisab platvormi serval (arvestasime, et platvormi inertsmoment on võrdne (R on raadius p
platvorm), inimese inertsimoment platvormi serval on mR 2).

- süsteemi inertsimoment, kui inimene seisab platvormi keskel (arvestasime, et platvormi keskel seisva inimese moment on võrdne nulliga). Nurkkiirus ω 1 = 2π ν 1 ja ω 1 = 2π ν 2 .

Asendades kirjutatud avaldised valemiga (1), saame

kust soovitud pöörlemiskiirus

Vastus: v 2 =24 min -1.