Klassi varustus: loengukonspektid.

Hindamiskriteeriumid

Töökäsk

1. harjutus.

Loe 9. loeng

2. ülesanne.

9. loeng

määramatu integraal sellest funktsioonist:

10 .

( dx)" = d ( dx)=f(x) dx

20. Funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal võrdub selle funktsiooniga pluss suvalise konstandiga:

30. Määramatu integraali märgist saab välja võtta konstantse teguri.

40. Funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne funktsioonide liikmete määramatute integraalide algebralise summaga:

50. Kui a on konstant, siis valem kehtib

Vaadake dokumendi sisu
"Integratsioonitehnika Otsene integratsioon"

Praktiline töö№ 7

Teema: Integratsioonitehnika. Otsene integratsioon

Eesmärgid:

uurige määramata integraali arvutamise valemeid ja reegleid

õppida lahendama näiteid otseseks lõimimiseks

Klassi varustus: loengukonspektid.

Hindamiskriteeriumid

hinne "5" määratakse töö kõigi ülesannete korrektseks täitmiseks

1. ülesande täitmise ja ülesande 2 mis tahes kümne näite õige lahenduse eest antakse hinne "4".

1. ülesande täitmise ja 2. ülesande seitsme näite õige lahenduse eest antakse hinne "3".

Töökäsk

1. harjutus.

Loe 9. loeng

Loengute abil vasta küsimustele ja kirjuta vastused vihikusse:

1. Milliseid määramatu integraali omadusi sa tead?

2. Kirjutage välja peamistes integreerimisvalemites

3. Millised juhtumid on otsese integreerimisega võimalikud?

2. ülesanne.

Lahendage näiteid ise lahendamiseks

9. loeng

Teema “Määramatu integraal. Otsene integratsioon»

Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) antituletiseks, kui F "(x) = f(x).

Igal pideval funktsioonil f(x) on lõpmatu hulk antiderivaate, mis erinevad üksteisest konstantse liikme võrra.

Funktsiooni f(x) kõigi antiderivaatide summa üldavaldist F(x) + C nimetatakse määramatu integraal sellest funktsioonist:

dx \u003d F (x) + C, kui d (F (x) + C) \u003d dx

Määramata integraali põhiomadused

1 0 .Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga ja diferentsiaal sellest võrdub integrandiga:

( dx)" = d ( dx)=f(x) dx

2 0 . Funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal võrdub selle funktsiooniga pluss suvalise konstandiga:

3 0 . Määramatu integraali märgist saab konstantse teguri välja võtta.

4 0 .Funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne funktsioonide liikmete määramatute integraalide algebralise summaga:

+dx

5 0 . Kui a on konstant, siis valem kehtib

Põhilised integreerimisvalemid (tabeliintegraalid)

4.

5.

7.

9.=-ctgx+C

12. = arcsin + C

Valemite (3), (10) rakendamisel. (11) absoluutväärtuse märk kirjutatakse ainult juhtudel, kui logaritmi märgi all olev avaldis võib olla negatiivse väärtusega.

Iga valemit on lihtne kontrollida. Parema poole diferentseerimise tulemusena saadakse integrand.

Otsene integratsioon.

Otsene integreerimine põhineb integraalide tabeli otsesel kasutamisel. Siin on järgmised juhtumid.

1) see integraal leitakse otse vastava tabeliintegraali abil;

2) pärast omaduste 3 0 ja 4 0 rakendamist taandatakse see integraal üheks või mitmeks tabeliintegraaliks;

3) pärast elementaarseid identseid teisendusi üle integrandi ja rakendades omadusi 3 0 ja 4 0, taandatakse see integraal üheks või mitmeks tabeliintegraaliks.

Näited.

Tuginedes omadusele 3 0, võetakse integraalmärgist välja konstanttegur 5 ja valemi 1 abil saame

Otsus. Kasutades omadust 3 0 ja valemit 2, saame

6

Otsus. Kasutades omadusi 3 0 ja 4 0 ning valemeid 1 ja 2, saame

X + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C

Integreerimiskonstant C on võrdne kolme integreerimiskonstandi algebralise summaga, kuna igal integraalil on oma suvaline konstant (C 1 - C 2 + C 3 \u003d C)

Otsus. Iga termini ruut ja integreerimine on meil olemas

Kasutades trigonomeetrilist valemit 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx - x + C

Otsus. Lahutades ja liites integrandi lugejas oleva arvu 9, saame

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Näited ise lahendamiseks

Integraalide arvutamine otsese integratsiooni abil:

Õpilaste teadmiste kontroll:

kontrollida praktilist tööd;

Nõuded praktilise töö kujundamisele:

Praktiliste tööde jaoks tuleb ülesanne täita vihikusse.

Esitage töö pärast tundi

Otsese integreerimise meetod põhineb integrandi teisendamisel, määramatu integraali omaduste rakendamisel ja integrandi taandamisel tabelikujuliseks.

Näiteks:

Uurimine

Uurimine

2. Asendusmeetod (muutuv asendus)

See meetod põhineb uue muutuja kasutuselevõtul. Teeme integraalis asendused:

;

Seetõttu saame:

Näiteks:

1)

Eksam:

2)

Uurimine(määramata integraali atribuudi nr 2 alusel):

Integreerimine osade kaupa

Las olla u ja v on eristatavad funktsioonid. Avastame nende funktsioonide korrutise erinevuse:

,

kus

Integreerime saadud avaldise:

Näiteks:

Uurimine(määramata integraali atribuudi nr 1 alusel):

2)

Meie otsustame

Uurimine(määramata integraali atribuudi nr 1 alusel):

PRAKTILINE OSA

Kodulahenduse ülesanded

Leidke integraal:

a) ; e) ;

sisse) ; h)

G) ; ja)

e) ; kuni)

a) ; e) ;

sisse) ; h) ;

e) ; kuni) .

a) ; sisse) ; e)

b) ; G) ; e)

Praktilistes tundides lahendatavad ülesanded:

I. Otsese integreerimise meetod

a) ; g);

b) ; h) ;

sisse) ; ja)

G) ; kuni)

e) ; m)

II. Asendusmeetod (muutuv asendus)

G) ; kuni) ;

e) ; l);

III. Osade kaupa integreerimise meetod

TEEMA nr 4

KINDLAKS INTEGRAALNE

Matemaatilistes arvutustes on sageli vaja leida antiderivatiivfunktsiooni juurdekasv, kui selle argument muutub etteantud piirides. Selline probleem tuleb lahendada erinevate kujundite pindalade ja ruumalade arvutamisel, funktsiooni keskmise väärtuse määramisel, muutuva jõu töö arvutamisel. Neid ülesandeid saab lahendada vastavate kindlate integraalide arvutamisega.

Tunni eesmärk:

1. Õppige arvutama kindlat integraali kasutades Newtoni-Leibnizi valemit.

2. Oskab rakendada kindla integraali mõistet rakendusülesannete lahendamisel.

TEOREETILINE OSA

KINDLAKS INTEGRAALI MÕISTE JA SELLE GEOMEETRILINE TÄHEND

Mõelge kõverjoonelise trapetsi pindala leidmise probleemile.

Olgu antud mingi funktsioon y=f(x), mille graafik on näidatud joonisel.

Joonis 1. Kindla integraali geomeetriline tähendus.

teljel 0x valige punktid “a" ja "sisse" ja taastada nendest ristid kõveraga ristumiskohani. Joonis, mis on piiratud kõvera, perpendikulaaride ja teljega 0x nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks. Jagame intervalli mitmeks väikeseks segmendiks. Valime suvalise segmendi. Täiendame sellele lõigule vastava kõverjoonelise trapetsi ristkülikuks. Sellise ristküliku pindala on määratletud järgmiselt:

Seejärel võrdub kõigi intervalli lõpetatud ristkülikute pindala:

;

Kui iga segment on piisavalt väike ja kipub nulli, siis kaldub ristkülikute kogupindala kõverjoonelise trapetsi pindalale:

;

Seega taandatakse kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamise probleem summa piiri määramiseks.

Integraalsumma on argumendi juurdekasvu korrutiste summa funktsiooni väärtusega f(x) võetud teatud ajavahemiku punktis, mille jooksul argument muutub. Matemaatiliselt viib integraalsumma piiri leidmise probleem, kui sõltumatu muutuja juurdekasv kaldub nulli, kindla integraali mõisteni.

Funktsioon f(x ) mingi intervall alates x=a enne x=v on integreeritav, kui on olemas arv, millele integraalsumma kaldub as Dх®0 . Sel juhul number J helistas kindel integraal funktsioonid f(x) intervallis:

;

kus ] a, sisse[ on integratsiooni valdkond,

a on integratsiooni alumine piir,

sisse on integratsiooni ülempiir.

Seega on geomeetria seisukohalt kindel integraal joonise pindala, mis on piiratud funktsiooni graafikuga teatud intervallis] a, sisse [ ja x-telg.

Selles teemas räägime üksikasjalikult ebamäärase integraali omadustest ja integraalide endi leidmisest nimetatud omaduste abil. Töötame ka määramata integraalide tabeliga. Siin toodud materjal on jätk teemale "Määramatu integraal. Algus". Ausalt öeldes leidub testides harva integraale, mida saab võtta tüüpiliste tabelite ja (või) lihtsate omaduste abil. Neid omadusi saab võrrelda tähestikuga, mille tundmine ja mõistmine on vajalik, et mõista integraalide lahendamise mehhanismi teistes teemades. Sageli kutsutakse integreerimiseks integraalide ja määramatu integraali omaduste tabeleid otsene integratsioon.

Milleni ma juhin: funktsioonid muutuvad, kuid tuletise leidmise valem jääb muutumatuks, erinevalt integraalist, mille jaoks on juba loetletud kaks meetodit.

Lähme edasi. Tuletise $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ leidmiseks sama kehtib ka valem $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, millesse tuleb asendada $u=x^(-\frac(1)(2))$, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$. Aga et leida integraal $\int x^(-\frac(1)(2) )\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ nõuab uut meetodit – Tšebõševi asendusi.

Ja lõpuks: funktsiooni $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ tuletise leidmiseks valem $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ on jällegi rakendatav, milles asendame $\sin x$ ja $\frac(1)(x)$ asemel $u$ ja $v$, samas kui $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ ei ole sisse võetud. Täpsemalt, seda ei väljendata lõpliku arvu elementaarfunktsioonide kaudu.

Kokkuvõtteks: kus tuletise leidmiseks oli vaja ühte valemit, siis integraali jaoks oli vaja nelja valemit (ja see ei ole piir) ning viimasel juhul keeldus integraali leidmisest üldse. Muutsime funktsiooni – oli vaja uut integreerimismeetodit. Siit on meil teatmeteostes mitmeleheküljelised tabelid. Üldise meetodi (sobib "käsitsi" lahendamiseks) puudumine toob kaasa konkreetsete meetodite rohkuse, mis on rakendatavad ainult nende enda, äärmiselt piiratud funktsioonide klassi integreerimiseks (edaspidistes teemades käsitleme neid meetodeid üksikasjalikult). Kuigi ma ei saa jätta märkimata Rischi algoritmi olemasolu (soovitan lugeda kirjeldust Vikipeediast), sobib see ainult määramata integraalide programmiliseks töötlemiseks.

Küsimus nr 3

Aga kui neid omadusi on nii palju, siis kuidas õppida integraale võtma? Tuletisinstrumentidega oli lihtsam!

Seni on inimesel vaid üks võimalus: lahendada võimalikult palju näiteid erinevate lõimimismeetodite abil, et uue ebamäärase integraali ilmnemisel saaks oma kogemuse põhjal valida sellele lahendusmeetodi. Ma saan aru, et vastus ei ole kuigi julgustav, aga muud teed ei saa.

Määramata integraali omadused

Kinnistu nr 1

Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga, s.o. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

See omadus on üsna loomulik, sest integraal ja tuletis on vastastikku pöördtehted. Näiteks $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ ja nii edasi.

Kinnistu nr 2

Selle funktsiooniga on võrdne mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal, s.t. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

Tavaliselt tajutakse seda omadust mõnevõrra keerulisena, kuna näib, et integraali all pole "midagi". Selle vältimiseks saab määratud omaduse kirjutada järgmiselt: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Selle atribuudi kasutamise näide: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ või, kui soovite, järgmisel kujul: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Kinnistu nr 3

Integraalmärgist võib välja võtta konstantse teguri, s.t. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (oletame, et $a\neq 0$).

Vara on üsna lihtne ja võib-olla ei vaja kommentaare. Näited: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Kinnistu nr 4

Kahe funktsiooni summa (erinevuse) integraal on võrdne nende funktsioonide integraalide summaga (erinevus):

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Näited: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

Standardtestides kasutatakse tavaliselt omadusi nr 3 ja nr 4, seega peatume neil lähemalt.

Näide nr 3

Otsige üles $\int 3 e^x dx$.

Kasutame kinnistut nr 3 ja võtame välja konstandi, s.o. arv $3$, integraalmärgi jaoks: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Nüüd avame integraalide tabeli ja asendades $u=x$ valemiga nr 4 saame: $\int e^x dx=e^x+C$. See tähendab, et $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Arvan, et lugejal tekib kohe küsimus, seega sõnastan selle küsimuse eraldi:

Küsimus nr 4

Kui $\int e^x dx=e^x+C$, siis $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) = 3e^x+3C$! Miks kirjutati $3e^x+3C$ asemel lihtsalt $3e^x+C$?

Küsimus on täiesti mõistlik. Asi on selles, et integraalkonstanti (st sama arvu $C$) saab esitada mis tahes avaldisena: peaasi, et see avaldis "läbi jookseks" kogu reaalarvude komplekti, s.t. $-\infty$ muudeti väärtuseks $+\infty$. Näiteks kui $-\infty≤ C ≤ +\infty$, siis $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, nii et konstanti $C$ saab esitada kujul $\frac( C)(3)$. Võime kirjutada, et $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ ja siis $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Nagu näete, pole siin vastuolu, kuid integraalkonstandi kuju muutmisel tuleb olla ettevaatlik. Näiteks kui esindate konstanti $C$ kujul $C^2$, oleks see viga. Asi on selles, et $C^2 ≥ 0$, st. $C^2$ ei muutu $-\infty$-st $+\infty$-ks, ei "jookse" läbi kõigist reaalarvudest. Samamoodi oleks viga esitada konstanti kujul $\sin C$, sest $-1≤ \sin C ≤ 1$, st. $\sin C$ ei "läbi" kõiki reaaltelje väärtusi. Edaspidi me seda teemat konkreetselt ei käsitle, vaid kirjutame lihtsalt iga määramatu integraali jaoks konstantse $C$.

Näide nr 4

Otsige üles $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Kasutame kinnisvara number 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Nüüd võtame integraalide märkidest välja konstandid (arvud):

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Järgmisena töötame iga saadud integraaliga eraldi. Esimene integraal, s.o. $\int \sin x dx$, on lihtne leida integraalide tabelist nr 5 all. Asendades $u=x$ valemis nr 5, saame: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Teise integraali $\int\frac(dx)(x^2+9)$ leidmiseks tuleb rakendada integraalide tabelist valem nr 11. Asendades selle $u=x$ ja $a=3$, saame: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x )( 3)+C$.

Ja lõpuks, et leida $\int x^3dx$, kasutame tabelist valemit nr 1, asendades sellega $u=x$ ja $\alpha=3$: $\int x^3dx=\frac( x^(3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Leitakse kõik avaldises $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ sisalduvad integraalid. Jääb vaid need asendada:

$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Probleem lahendatud, vastus on: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Lubage mul lisada sellele probleemile üks väike märkus:

Lihtsalt väike märkus

Võib-olla pole seda lisamist kellelgi vaja, kuid siiski mainin, et $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Need. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9) $.

Vaatame näidet, milles kasutame irratsionaalsuste (teisisõnu juurte) interkalatsiooniks integraalide tabelist valemit nr 1.

Näide nr 5

Otsige üles $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Alustuseks teeme samad toimingud nagu näites nr 3, nimelt: lahutame integraali kaheks ja võtame integraalide märkide hulgast välja konstandid:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Kuna $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, siis $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Selle integraali leidmiseks rakendame valemit nr 1, asendades sellega $u=x$ ja $\alpha=\frac(4)(7)$: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Saate valikuliselt esitada $\sqrt(x^(11))$ kujul $x\cdot\sqrt(x^(4))$, kuid see pole vajalik.

Pöördume nüüd teise integraali juurde, s.o. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Kuna $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, siis saab vaadeldavat integraali esitada järgmisel kujul: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$. Saadud integraali leidmiseks rakendame integraalide tabelist valemit nr 1, asendades sellega $u=x$ ja $\alpha=-\frac(6)(11)$: $\int x^(-\ frac(6)(11))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x^ (\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Saadud tulemused asendades saame vastuse:

$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^() 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Vastus: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Ja lõpuks võtame integraali, mis kuulub integraalide tabeli valemi nr 9 alla. Näide 6, mille juurde nüüd pöördume, saab lahendada ka teisiti, kuid sellest tuleb juttu järgmistes teemades. Praegu jääme tabeli kohaldamise raamidesse.

Näide nr 6

Otsige üles $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Alustuseks teeme sama toimingu nagu enne: võtame integraalimärgist välja konstandi (arv $12$):

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Saadud integraal $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ on juba lähedal tabeliintegraalile $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (integraalide tabeli valem nr 9). Meie integraali erinevus seisneb selles, et enne $x^2$ juure all on koefitsient $7$, mida tabeliintegraal ei luba. Seetõttu peate sellest seitsmest vabanema, nihutades selle juurmärgist kaugemale:

$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Kui võrrelda tabeliintegraali $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ ja $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2)) $ saab selgeks, et neil on sama struktuur. Ainult integraalis $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ on $u$ asemel $x$ ja $a^2$ asemel $\frac (15)(7)$. Noh, kui $a^2=\frac(15)(7)$, siis $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $u=x$ ja $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ asendamine valemis $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, saame järgmise tulemuse:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Kui võtta arvesse, et $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, siis saab tulemuse ümber kirjutada ilma "kolme jututa" murrud:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Probleem lahendatud, vastus käes.

Vastus: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Näide nr 7

Otsige üles $\int\tg^2xdx$.

Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimiseks on olemas meetodid. Sel juhul saate aga hakkama lihtsate trigonomeetriliste valemite tundmisega. Kuna $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, siis $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ paremal)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Arvestades $\sin^2x=1-\cos^2x$, saame:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Seega $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Laiendades saadud integraali integraalide summaks ja rakendades tabelvalemeid, saame:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Vastus: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Kuna nüüd räägime ainult määramatust integraalist, jätame lühiduse huvides välja mõiste "määramatu".

Integraalide arvutamise (või, nagu öeldakse, funktsioonide integreerimise) õppimiseks peate esmalt õppima integraalide tabeli:

Tabel 1. Integraalide tabel

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2b. (a=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Lisaks on teil vaja antud funktsiooni tuletise arvutamise võimalust, mis tähendab, et peate meeles pidama diferentseerimisreegleid ja peamiste elementaarfunktsioonide tuletiste tabelit:

Tabel 2. Tuletisinstrumentide ja diferentseerimisreeglite tabel:

6.a .

(patt ja) = cos ja  ja (cos u) = – patt ja ja

Ja me vajame ka võimet leida funktsiooni diferentsiaali. Tuletame meelde, et funktsiooni diferentsiaal
leida valemi järgi
, st. funktsiooni diferentsiaal on võrdne selle funktsiooni tuletise ja selle argumendi diferentsiaali korrutisega. Kasulik on meeles pidada järgmisi teadaolevaid seoseid:

Tabel 3. Diferentsiaalide tabel

1. (b= Konst) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Konst) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Lisaks saate neid valemeid kasutada, lugedes neid nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule.

Vaatleme järjestikku kolme põhimeetodit integraali arvutamiseks. Esimest nimetatakse otsese integratsiooni meetod. See põhineb määramata integraali omaduste kasutamisel ja sisaldab kahte peamist tehnikat: integraali laiendamine algebraliseks summaks lihtsam ja diferentsiaali märgi alla toomine ja neid meetodeid saab kasutada nii iseseisvalt kui ka kombineeritult.

AGA) Kaaluge algebralise summa lagunemine- see tehnika hõlmab integrandi identsete teisenduste ja määramata integraali lineaarsusomaduste kasutamist:
ja.

Näide 1 Otsi integraalid:

a)
; b)
;

sisse)
G)

e)
.

Otsus.

a)Teisendame integrandi, jagades liikme terminiga lugeja nimetajaga:

Siin kasutatakse kraadi omadust:
.

b) Esiteks teisendame murdosa lugeja, seejärel jagame lugeja nimetaja liikmega liikmega:

Siin kasutatakse ka kraadide omadust:
.

Siin on kasutatud kinnisvara:
,
.

.

Siin kasutatakse tabeli 1 valemeid 2 ja 5.

Näide 2 Otsi integraalid:

a)
; b)
;

sisse)
G)

e)
.

Otsus.

a)Teisendame integrandi trigonomeetrilise identiteedi abil:

.

Siin on taas kasutatud lugeja terminite kaupa jagamist nimetajaga ning tabeli 1 valemeid 8 ja 9.

b) Teisendame samamoodi identiteedi abil
:

.

c) Esmalt jagame lugeja nimetajaga liikme kaupa ja võtame integraalimärgist välja konstandid, seejärel kasutame trigonomeetrilist identiteeti
:

d) Rakendage kraadi alandamise valemit:

,

e) Kasutades trigonomeetrilisi identiteete, teisendame:

B) Mõelge integreerimistehnikale, mida nimetatakse p lahutamine diferentsiaali märgi all. See tehnika põhineb määramata integraali muutumatusel omadusel:

kui
, siis mis tahes diferentseeruva funktsiooni jaoks ja=ja(X) leiab aset:
.

See omadus võimaldab oluliselt laiendada lihtsamate integraalide tabelit, kuna selle omaduse tõttu ei kehti tabelis 1 toodud valemid mitte ainult sõltumatu muutuja puhul ja, aga ka juhul, kui ja on mõne teise muutuja diferentseeruv funktsioon.

Näiteks,
, aga ka
, ja
, ja
.

Või
ja
, ja
.

Meetodi olemus on eraldada teatud funktsiooni diferentsiaal antud integrandis nii, et see eristatav diferentsiaal koos ülejäänud avaldisega moodustaks selle funktsiooni jaoks tabelivalemi. Vajadusel saab selliseks teisendamiseks sobivalt lisada konstandid. Näiteks:

(viimases näites kirjutatakse ln(3 + x 2) ln|3 + asemel x 2 | , kuna avaldis 3 + x 2 on alati positiivne).

Näide 3 Otsi integraalid:

a)
; b)
; sisse)
;

G)
; e)
; e)
;

g)
; h)
.

Otsus.

a).

Siin on kasutatud tabeli 1 valemeid 2a, 5a ja 7a, millest viimased kaks saadakse lihtsalt diferentsiaalmärgiga asendamisel:

Integreerige vaatefunktsioonid
esineb väga sageli keerukamate funktsioonide integraalide arvutamisel. Et ülalkirjeldatud samme iga kord mitte korrata, soovitame meeles pidada tabelis 1 toodud vastavad valemid.

.

Siin kasutatakse tabeli 1 valemit 3.

c) Samamoodi, võttes arvesse, et , teisendame:

.

Siin kasutatakse tabelis 1 toodud valemit 2.

G)

.

e) ;

e)

.

g);

h)

.

Näide 4 Otsi integraalid:

a)
b)

sisse)
.

Otsus.

a) Teisendame:

Siin kasutatakse ka tabeli 1 valemit 3.

b) Kasutage redutseerimisvalemit
:

Siin kasutatakse tabeli 1 valemeid 2a ja 7a.

Siin kasutatakse koos tabeli 1 valemitega 2 ja 8 ka tabeli 3 valemeid:
,
.

Näide 5 Otsi integraalid:

a)
; b)

sisse)
; G)
.

Otsus.

a) töö
funktsiooni diferentsiaali saab täiendada (vt tabeli 3 valemeid 4 ja 5).
, kus a ja b- mis tahes konstandid,
. Tõepoolest, kus
.

Siis on meil:

.

b) Kasutades tabeli 3 valemit 6, saame
, sama hästi kui
, mis tähendab, et esinemine toote integrandis
tähendab vihjet: diferentsiaalmärgi alla tuleb lisada avaldis
. Seetõttu saame

c) Nagu punktis b, toode
saab täiendada funktsiooni diferentsiaaliga
. Siis saame:

.

d) Esiteks kasutame integraali lineaarsuse omadusi:

Näide 6 Otsi integraalid:

a)
; b)
;

sisse)
; G)
.

Otsus.

a)Arvestades seda
(tabeli 3 valem 9), teisendame:

b) Kasutades tabeli 3 valemit 12, saame

c) Võttes arvesse tabeli 3 valemit 11, teisendame

d) Kasutades tabeli 3 valemit 16, saame:

.

Näide 7 Otsi integraalid:

a)
; b)
;

sisse)
; G)
.

Otsus.

a)Kõigil selles näites esitatud integraalidel on ühine tunnus: integrand sisaldab ruudukujulist trinoomi. Seetõttu põhineb nende integraalide arvutamise meetod samal teisendusel - selle ruudu kolmiku täisruudu valimisel.

.

b)

.

sisse)

G)

Diferentsiaali märgi all olev summeerimismeetod on üldisema integraali arvutamise meetodi, mida nimetatakse asendusmeetodiks või muutuja muutuseks, suuline rakendamine. Tõepoolest, iga kord, valides tabeli 1 sobiva valemi funktsioonile, mis saadi selle diferentsiaalmärgi alla viimise tulemusel, asendasime vaimselt tähega ja funktsioon diferentsiaalmärgi all. Seega, kui integreerimine diferentsiaali märgi alla summeerimisega väga hästi ei õnnestu, saate muutuja muutmise otse teha. Sellest lähemalt järgmises lõigus.