Dünaamika üldvõrrand. Analüütiline dünaamika

Dünaamika üldvõrrand mis tahes piirangutega süsteemi jaoks (ühendatud d'Alembert-Lagrange'i põhimõttega või mehaanika üldvõrrand):

kus on süsteemi -ndale punktile rakendatav aktiivne jõud; on sideme reaktsiooni tugevus; - punktiinertsjõud; - võimalik liikumine.

Süsteemi tasakaalu korral, kui kõik süsteemi punktide inertsjõud lähevad nulli, läheb see üle võimalike nihkete printsiibile. Seda kasutatakse tavaliselt ideaalsete piirangutega süsteemide jaoks, mille tingimus

Sel juhul on (229) üks järgmistest vormidest:

. (230)

Seega dünaamika üldvõrrandi kohaselt võrdub ideaalsete piirangutega süsteemi mis tahes liikumishetkel kõigi süsteemi punktide aktiivjõudude ja inertsjõudude elementaartööde summa süsteemi mis tahes võimaliku nihke korral nulliga. piirangutega lubatud.

Dünaamika üldvõrrandile võib anda ka teisi samaväärseid vorme. Laiendades vektorite skalaarkorrutist, saab seda väljendada kui

kus on süsteemi -nda punkti koordinaadid. Võttes arvesse, et inertsiaalsete jõudude projektsioonid koordinaattelgedele nende telgede kiirenduste projektsioonide kaudu on väljendatud seostega

dünaamika üldvõrrandile võib anda vormi

Sellel kujul nimetatakse seda dünaamika üldvõrrand analüütilisel kujul.

Dünaamika üldvõrrandi kasutamisel on vaja osata arvutada süsteemi inertsijõudude elementaartööd võimalike nihkete korral. Selleks kasutatakse tavajõudude jaoks saadud vastavaid elementaartöö valemeid. Vaatleme nende rakendamist jäiga keha inertsjõududele selle liikumise teatud juhtudel.

Edasiliikumisega. Sel juhul on kehal kolm vabadusastet ja see saab kehtestatud piirangute tõttu sooritada ainult translatsioonilist liikumist. Ka keha võimalikud liigutused, mis võimaldavad seoseid, on translatiivsed.

Translatsioonilise liikumise inertsjõud taandatakse resultandiks . Keha translatsioonilise võimaliku nihke inertsjõudude elementaarse töö summa kohta saame

kus on keha massikeskme ja mis tahes punkti võimalik nihe, kuna translatsiooniline võimalik nihe on keha kõikide punktide jaoks ühesugune: kiirendused on samad, s.t.

Kui jäik keha pöörleb ümber fikseeritud telje. Kehal on sel juhul üks vabadusaste. See võib pöörata ümber fikseeritud telje. Võimalik nihe, mida võimaldavad kattuvad piirangud, on ka keha pöörlemine läbi elementaarnurga ümber fikseeritud telje.

Inertsjõud, mis on taandatud pöörlemistelje punktini, taandatakse põhivektoriks ja põhimomendiks. Inertsiaalsete jõudude põhivektor rakendatakse fikseeritud punktile ja selle elementaarne töö võimaliku nihkega on null. Inertsjõudude põhimomendi korral tehakse nulliga mittevõrdne elementaarne töö ainult selle projektsiooniga pöörlemisteljele. Seega arvestatud võimaliku nihkega inertsiaalsete jõudude töö summaks on meil

kui nurk on esitatud nurkkiirenduse kaare noole suunas.

tasasel liikumisel. Jäigale kehale seatud piirangud võimaldavad sel juhul ainult võimalikku tasapinnalist nihet. Üldjuhul koosneb see translatsioonilisest võimalikust liikumisest koos poolusega, mille jaoks valime massikeskme, ja pöörlemisest elementaarnurga võrra ümber massikeskpunkti läbiva telje, mis on risti tasapinnaga, millega paralleelselt. keha saab sooritada tasapinnalist liikumist.

Kuna jäiga keha tasapinnalisel liikumisel tekkivaid inertsjõude saab taandada põhivektoriks ja põhimomendiks (kui tugikeskmeks on valitud massikese), siis on jõudude elementaartöö summa. inerts võimaliku tasapinnalise nihke korral taandatakse inertsiaaljõu vektori elementaartööks massikeskme võimaliku nihke kohta ja jõudude peamise inertsmomendi tööks elementaarsel pöörleval liikumisel ümber keskpunkti läbiva telje massist. Sel juhul saab nulliga mitte võrduvat elementaarset tööd teha ainult inertsjõudude põhimomendi projektsiooniga teljele , s.o. . Seega on meil vaadeldaval juhul

Sissejuhatus

Kinemaatikas vaadeldakse lihtsamate mehaaniliste liigutuste tüüpide kirjeldust. Samas ei käsitletud põhjuseid, mis põhjustavad keha asendi muutumist teiste kehade suhtes ning tugiraamistik valitakse konkreetse probleemi lahendamisel mugavuse huvides. Dünaamikas pakuvad huvi ennekõike põhjused, mille tõttu mõned kehad hakkavad teiste kehade suhtes liikuma, samuti tegurid, mis põhjustavad kiirenduse ilmnemist. Kuid rangelt võttes on mehaanika seadustel erinevates võrdlusraamistikes erinev vorm. On kindlaks tehtud, et on selliseid tugiraamistikke, mille puhul seadused ja seaduspärasused tugiraamistiku valikust ei sõltu. Selliseid võrdlussüsteeme nimetatakse inertsiaalsed süsteemid(ISO). Nendes tugisüsteemides sõltub kiirenduse väärtus ainult mõjuvatest jõududest ja ei sõltu tugisüsteemi valikust. Inertsiaalne tugiraamistik on heliotsentriline tugiraamistik, mille päritolu on Päikese keskpunktis. Inertsiaalkaadri suhtes ühtlaselt sirgjooneliselt liikuvad tugikaadrid on samuti inertsiaalsed ja inertsiaalkaadri suhtes kiirendusega liikuvad tugikaadrid on mitteinertsiaalne. Nendel põhjustel on Maa pind rangelt võttes mitteinertsiaalne tugiraam. Paljude probleemide puhul võib Maaga seotud tugiraamistikku pidada hea täpsusega inertsiaalseks.

Dünaamika põhiseadused inertsiaalses ja mitteinertsiaalses

võrdlussüsteemid

Nimetatakse keha võimet säilitada ühtlast sirgjoonelist liikumist või puhata ISO-s keha inerts. Keha inertsi mõõt on kaal. Mass on skalaarsuurus, SI-süsteemis mõõdetakse seda kilogrammides (kg). Interaktsiooni mõõt on suurus nn jõudu. Jõud on vektorsuurus, SI-süsteemis mõõdetakse seda njuutonites (N).

Newtoni esimene seadus. Inertsiaalsetes tugisüsteemides liigub punkt ühtlaselt sirgjooneliselt või on paigal, kui kõigi sellele mõjuvate jõudude summa on null, st:

kus on antud punktile mõjuvad jõud.

Newtoni teine seadus. Inertsiaalsüsteemides liigub keha kiirendusega, kui kõigi talle mõjuvate jõudude summa ei ole võrdne nulliga ning keha massi ja kiirenduse korrutis on võrdne nende jõudude summaga, st:

Newtoni kolmas seadus. Jõud, millega kehad üksteisele mõjuvad, on suuruselt võrdsed ja vastassuunalised, st: .

Jõud kui vastastikmõju mõõdikud sünnivad alati paarikaupa.

Enamiku probleemide edukaks lahendamiseks Newtoni seaduste abil on vaja kinni pidada teatud toimingute jadast (mingisugune algoritm).

Algoritmi põhipunktid.

1. Analüüsige probleemi seisundit ja selgitage välja, milliste kehadega vaadeldav keha suhtleb. Selle põhjal määrake kõnealusele kehale mõjuvate jõudude arv. Oletame, et kehale mõjuvate jõudude arv on . Seejärel teosta skemaatiliselt korrektne joonis, millele ehitada üles kõik kehale mõjuvad jõud.

2. Kasutades ülesande tingimust, määrake kõnealuse keha kiirenduse suund ja kujutage joonisel kiirendusvektorit.

3. Kirjutage vektorkujul Newtoni teine seadus, st:

kus kehale mõjuvad jõud.

4. Valige inertsiaalne tugiraamistik. Joonistage joonisele ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem, mille OX-telg on suunatud piki kiirendusvektorit, OY- ja OZ-teljed on suunatud risti OX-teljega.

5. Kasutades vektorite võrdsuste põhiomadust, kirjutage Newtoni teine seadus vektorite projektsioonidele koordinaattelgedel, st:

6. Kui ülesandes on lisaks jõududele ja kiirendustele vaja määrata ka koordinaadid ja kiirus, siis lisaks Newtoni teisele seadusele on vaja kasutada ka kinemaatilisi liikumisvõrrandeid. Olles kirjutanud võrrandisüsteemi, on vaja pöörata tähelepanu asjaolule, et võrrandite arv on võrdne selles ülesandes tundmatute arvuga.

Vaatleme mitteinertsiaalset tugiraamistikku, mis pöörleb konstantse nurkkiirusega ümber telje, mis liigub translatsiooniliselt inertsiaalraami suhtes kiirusega. Sel juhul on punkti kiirendus inertsiaalkaadris () seotud kiirendusega mitteinertsiaalses kaadris () seosega:

kus on mitteinertsiaalse kaadri kiirendus inertsiaalse kaadri suhtes , mitteinertsiaalse kaadri punkti lineaarkiirus. Viimasest seosest, asendame kiirenduse asemel võrdsusega (1), saame avaldise:

Seda suhet nimetatakse Newtoni teine seadus mitteinertsiaalses tugiraamistikus.

Inertsjõud. Tutvustame tähistust:

1. – translatsiooniline inertsjõud;

2. – Coriolise jõud;

3 – tsentrifugaalne inertsjõud.

Ülesannetes kujutatakse inertsi translatsioonijõudu vektori suhtes mitteinertsiaalse tugiraami () translatsiooniliikumise kiirendusega, inertsi tsentrifugaaljõud - pöörlemiskeskmest piki raadiust (); Coriolise jõu suund määratakse reegliga gimlet vektorite ristkorrutisele .

Rangelt võttes ei ole inertsjõud jõud täies tähenduses, sest Nende puhul ei kehti Newtoni kolmas seadus, s.t. nad ei ole paaris.

Jõud

Gravitatsioonijõud. Universaalse gravitatsiooni jõud tekib kehade ja masside vastastikmõju protsessis ja arvutatakse suhtarvust:

. (4)

Proportsionaalsuskoefitsienti nimetatakse gravitatsioonikonstant. Selle väärtus SI-süsteemis on .

Reaktsioonijõud. Reaktsioonijõud tekivad siis, kui keha suhtleb erinevate struktuuridega, mis piiravad selle asukohta ruumis. Näiteks niidiga riputatud kehale mõjub reaktsioonijõud, mida tavaliselt nimetatakse jõuks pinget. Keerme pingutusjõud on alati suunatud piki niiti. Selle väärtuse arvutamiseks pole valemit. Tavaliselt leitakse selle väärtus kas Newtoni esimesest või teisest seadusest. Reaktsioonijõudude hulka kuuluvad ka jõud, mis mõjuvad osakesele siledal pinnal. Nad kutsuvad teda normaalne reaktsioonijõud, tähistavad . Reaktsioonijõud on alati suunatud vaadeldava pinnaga risti. Kehalt siledale pinnale mõjuvat jõudu nimetatakse normaalrõhu jõud(). Newtoni kolmanda seaduse järgi on reaktsioonijõud suurusjärgus võrdne normaalrõhu jõuga, kuid nende jõudude vektorid on vastassuunalised.

Elastne jõud. Elastsed jõud tekivad kehades, kui kehad on deformeerunud, s.t. kui muudetakse keha kuju või selle mahtu. Kui deformatsioon peatub, kaovad elastsed jõud. Tuleb märkida, et kuigi kehade deformeerumisel tekivad elastsed jõud, ei too deformatsioon alati kaasa elastsusjõudude tekkimist. Elastsed jõud tekivad kehades, mis suudavad pärast välismõju lõppemist oma kuju taastada. Selliseid kehasid ja nende vastavaid deformatsioone nimetatakse elastne. Plastilise deformatsiooni korral ei kao muutused pärast välismõju lõppemist täielikult. Elastsusjõudude avaldumise ilmekaks näiteks võivad olla deformatsioonile alluvates vedrudes tekkivad jõud. Deformeerunud kehades esinevate elastsete deformatsioonide korral on elastsusjõud alati võrdeline deformatsiooni suurusega, st:

, (5)

kus on vedru elastsuse (või jäikuse) koefitsient, vedru deformatsioonivektor.

Seda väidet nimetatakse Hooke'i seadus.

Hõõrdejõud. Kui üks keha liigub mööda teise keha pinda, tekivad jõud, mis seda liikumist takistavad. Selliseid jõude nimetatakse libisevad hõõrdejõud. Staatilise hõõrdejõu suurus võib varieeruda sõltuvalt rakendatavast välisjõust. Välisjõu teatud väärtusel saavutab staatiline hõõrdejõud oma maksimaalse väärtuse. Pärast seda algab keha libisemine. Eksperimentaalselt on kindlaks tehtud, et libisemishõõrdejõud on otseselt võrdeline keha normaalrõhu jõuga pinnal. Newtoni kolmanda seaduse järgi on keha normaalrõhu jõud pinnale alati võrdne reaktsioonijõuga, millega pind ise mõjub liikuvale kehale. Seda silmas pidades on libiseva hõõrdejõu suuruse arvutamise valem järgmine:

, (6)

kus on reaktsioonijõu suurus; libisemishõõrdetegur. Liikuvale kehale mõjuv libisemishõõrdejõud on alati suunatud selle kiiruse vastu, piki kontaktpindu.

Vastupanu jõud. Kehade liikumisel vedelikes ja gaasides tekivad ka hõõrdejõud, kuid need erinevad oluliselt kuivhõõrdejõududest. Neid jõude nimetatakse viskoossed hõõrdejõud, või vastupanujõud. Viskoosse hõõrdumise jõud tekivad ainult kehade suhtelise liikumisega. Vastupanujõud sõltuvad paljudest teguritest, nimelt: kehade suurusest ja kujust, keskkonna omadustest (tihedus, viskoossus), suhtelise liikumise kiirusest. Madalatel kiirustel on takistusjõud otseselt võrdeline keha kiirusega keskkonna suhtes, st:

. (7)

Suurtel kiirustel on takistusjõud võrdeline keha kiiruse ruuduga keskkonna suhtes, st:

, (8)

kus mõned proportsionaalsuse koefitsiendid, nn takistuse koefitsiendid.

Dünaamika põhivõrrand

Materiaalse punkti dünaamika põhivõrrand pole midagi muud kui Newtoni teise seaduse matemaatiline väljend:

. (9)

Inertsiaalses võrdlusraamistikus hõlmab kõigi jõudude summa ainult neid jõude, mis on vastastikmõjude mõõtmed, mitteinertsiaalsetes raamistikes hõlmab jõudude summa inertsjõude.

Matemaatilisest vaatenurgast on seos (9) punkti liikumise diferentsiaalvõrrand vektorkujul. Selle lahendus on materiaalse punkti dünaamika põhiprobleem.

Näited probleemide lahendamisest

Ülesanne number 1. Klaas asetatakse paberilehele. Millise kiirendusega tuleb leht liikuma panna, et see klaasi alt välja tõmmata, kui klaasi ja paberilehe hõõrdetegur on 0,3?

Oletame, et mingi paberilehele mõjuva jõu korral liigub klaas paberilehega koos. Eraldi kujutame massiga klaasile mõjuvaid jõude. Klaasile mõjuvad järgmised kehad: Maa raskusjõuga, paberileht reaktsioonijõuga, paberileht, mille hõõrdejõud on suunatud klaasi kiirusele. Klaasi liikumine on ühtlaselt kiirenenud, seetõttu on kiirendusvektor suunatud piki klaasi kiirust.

Kujutame joonisel klaasi kiirendusvektorit. Kirjutame Newtoni teise seaduse vektori kujul klaasile mõjuvate jõudude jaoks:

Suuname OX-telje piki klaasi kiirendusvektorit ja OY-telge ¾ vertikaalselt ülespoole. Kirjutame Newtoni teise seaduse projektsioonidesse nendele koordinaattelgedele, saame järgmised võrrandid:

(1.1)

Paberilehele mõjuva jõu suurenemisega suureneb hõõrdejõu suurus, millega paberileht klaasile mõjub. Jõu teatud väärtusel saavutab hõõrdejõu suurus oma maksimaalse väärtuse, mis on suuruselt võrdne libiseva hõõrdejõuga. Sellest hetkest alates hakkab klaas paberi pinna suhtes libisema. Hõõrdejõu piirväärtus on seotud klaasile mõjuva reaktsioonijõuga järgmise seosega:

Võrdusest (1.2) väljendame reaktsioonijõu suurust ja seejärel asendame selle viimase seosega, milleks on . Saadud seosest leiame hõõrdejõu väärtuse ja paneme selle võrrandisse (1.1), saame avaldise klaasi maksimaalse kiirenduse määramiseks:

Asendades koguste arvväärtused viimases võrrandis, leiame klaasi maksimaalse kiirenduse väärtuse:

Saadud klaasi kiirenduse väärtus on võrdne paberilehe minimaalse kiirendusega, mille juures saab selle klaasi alt “välja tõmmata”.

Vastus: .

Kujutame kõiki kehale mõjuvaid jõude. Lisaks välisjõule mõjub Maa kehale raskusjõuga, horisontaalsele pinnale reaktsioonijõu ja hõõrdejõuga, mis on suunatud keha kiirusele. Keha liigub ühtlaselt kiirendatult ja seetõttu on selle kiirenduse vektor suunatud piki liikumiskiirust. Joonistame joonisele vektori. Valige koordinaadisüsteem, nagu on näidatud joonisel. Newtoni teise seaduse kirjutame vektorkujul:

Kasutades vektorite võrdsuste põhiomadust, kirjutame üles viimases vektorivõrdsuses sisalduvate vektorite projektsioonide võrrandid:

Kirjutame libisemishõõrdejõu suhte

Võrdusest (2.2) leiame reaktsioonijõu suuruse

Saadud avaldisest asendame reaktsioonijõu suuruse asemel võrdsuse (2.3), saame avaldise

Asendades saadud hõõrdejõu avaldise võrrandiga (2.1), saame keha kiirenduse arvutamiseks valemi:

Viimases valemis asendame SI-süsteemis arvandmed, leiame koormuse liikumise kiirenduse väärtuse:

Vastus: .

Jõu minimaalseks väärtuseks määrame puhkevardale mõjuva hõõrdejõu suuna. Kujutage ette, et jõud on väiksem kui minimaalne jõud, mis on piisav keha rahuolekus hoidmiseks. Sel juhul liigub keha alla ja sellele rakendatav hõõrdejõud suunatakse vertikaalselt ülespoole. Keha peatamiseks peate suurendama rakendatud jõu suurust. Lisaks mõjutab seda keha Maa vertikaalselt allapoole suunatud gravitatsioonijõuga, samuti sein, mille reaktsioonijõud on suunatud horisontaalselt vasakule. Kujutame joonisel kõiki kehale mõjuvaid jõude. Võtame ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi, mille teljed suuname nagu joonisel näidatud. Puhkeseisundis oleva keha jaoks kirjutame Newtoni esimese seaduse vektorkujul:

Leitud vektorivõrdsuse jaoks kirjutame vektorite projektsioonide võrrandid koordinaatide telgedele, saame järgmised võrrandid:

Välisjõu minimaalsel väärtusel saavutab staatilise hõõrdejõu suurus maksimaalse väärtuse, mis on võrdne libiseva hõõrdejõu suurusega:

Võrdusest (3.1) leiame reaktsioonijõu väärtuse ja asendame selle võrrandiga (3.3), saame järgmise hõõrdejõu avaldise:

Asendame hõõrdejõu asemel selle seose parema poole võrrandiga (3.2), saame rakendatava jõu suuruse arvutamise valemi:

Viimasest valemist leiame jõu suuruse:

Vastus: .

Kujutame kõiki õhus vertikaalselt allapoole liikuvale kuulile mõjuvaid jõude. Sellele mõjub Maa gravitatsioonijõuga ja õhk tõmbejõuga. Joonisel kujutame vaadeldavaid jõude. Algsel ajahetkel on kõigi jõudude resultant maksimumväärtusega, kuna kuuli kiirus on null ja ka takistusjõud on null. Sel hetkel on kuuli maksimaalne kiirendus võrdne . Kui pall liigub, suureneb selle liikumise kiirus ja sellest tulenevalt suureneb õhutakistuse jõud. Mingil ajahetkel saavutab tõmbejõud väärtuse, mis on võrdne gravitatsiooni väärtusega. Sellest hetkest alates liigub pall ühtlaselt. Kirjutame Newtoni esimese seaduse vektorkujul kuuli ühtlaseks liikumiseks:

Suuname OY telje vertikaalselt alla. Antud vektori võrdsuse korral kirjutame vektorite projektsioonide jaoks OY teljele:

. (4.1)

Vastupanujõud sõltub palli ristlõike pindalast ja selle kiiruse suurusest järgmiselt:

, (4.2)

kus on proportsionaalsuse koefitsient, mida nimetatakse takistuse koefitsiendiks.

Võrrandid (4.1) ja (4.2) viitavad järgmisele seosele:

. (4.3)

Palli massi väljendame selle tiheduse ja ruumalaga ning ruumala omakorda kuuli raadiusega:

. (4.4)

Sellest avaldisest leiame massi ja asendame selle võrratusega (4.3), saame järgmise võrdsuse:

. (4.5)

Palli ristlõikepindala väljendame selle raadiuse järgi:

Võttes arvesse seost (4.6), on võrdsus (4.5) järgmisel kujul:

Tähistage esimese kuuli raadiusena; kui teise kuuli raadius. Kirjutame esimese ja teise kuuli ühtlase liikumise kiiruste valemid:

Saadud võrranditest leiame kiiruste suhte:

Ülesande olukorrast on kuulide raadiuste suhe võrdne kahega. Seda tingimust kasutades leiame kiiruste suhte:

Vastus: .

Mööda kaldtasandit üles liikuval kehal toimivad väliskehad: a) Maa gravitatsiooniga vertikaalselt allapoole; b) kaldtasapind, mille reaktsioonijõud on suunatud kaldtasandiga risti; c) kaldtasapind, mille hõõrdejõud on suunatud keha liikumisele; d) väliskeha, mille jõud on suunatud ülespoole mööda kaldtasapinda. Nende jõudude toimel liigub keha ühtlaselt kiirendatult kaldtasapinnast ülespoole ja seetõttu on kiirendusvektor suunatud piki keha liikumist. Kujutame joonisel kiirendusvektorit. Kirjutame Newtoni teise seaduse vektorkujul:

Valime ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi, mille OX-telg on suunatud piki keha kiirendust ja OY-telg on risti kaldtasandiga. Kirjutame Newtoni teise seaduse projektsioonidesse nendele koordinaattelgedele, saame järgmised võrrandid:

Libmishõõrdejõud on seotud reaktsioonijõuga järgmise seosega:

Võrdusest (5.2) leiame reaktsioonijõu suuruse ja asendame selle võrrandiga (5.3), meil on hõõrdejõu jaoks järgmine avaldis:

. (5.4)

Asendame võrrandi (5.1) hõõrdejõu asemel võrrandi (5.4) parema poole, saame soovitud jõu suuruse arvutamiseks järgmise võrrandi:

Arvutame jõu suuruse:

Vastus: .

Kujutame kõiki kehadele ja plokkidele mõjuvaid jõude. Mõelge üle ploki visatud niidiga ühendatud kehade liikumise protsessile. Niit on kaalutu ja venimatu, seetõttu on tõmbejõu suurus keerme mis tahes osas sama, s.o. ja .

Kehade liikumine mis tahes ajavahemike jooksul on sama ja seetõttu on nende kehade kiirused ja kiirendused igal ajahetkel samad. Sellest, et plokk pöörleb hõõrdumiseta ja on kaalutu, järeldub, et niidi pingutusjõud mõlemal pool plokki on sama, st: .

See eeldab esimesele ja teisele kehale mõjuva niidi tõmbejõudude võrdsust, s.o. . Kujutame joonisel esimese ja teise keha kiirendusvektorid. Joonistame kaks x-telge. Suuname esimest telge mööda esimese keha kiirendusvektorit, teist - piki teise keha kiirendusvektorit. Kirjutame Newtoni teise seaduse iga keha jaoks projektsioonis nendele koordinaattelgedele:

Arvestades, et , ja väljendades esimesest võrrandist , asendame teise võrrandiga, saame

Viimasest võrdsusest leiame kiirenduse väärtuse:

Võrdusest (1) leiame tõmbejõu suuruse:

Vastus: , .

Väikesele rõngale mõjuvad kaks jõudu, kui see pöörleb ümber ringi: gravitatsioon, mis on suunatud vertikaalselt alla, ja reaktsioonijõud, mis on suunatud rõnga keskpunkti poole. Kujutame neid jõude joonisel ja näitame sellel ka võru trajektoori. Rõnga tsentripetaalne kiirendusvektor asub trajektoori tasapinnal ja on suunatud pöörlemistelje suunas. Näitame pildil. Kirjutame Newtoni teise seaduse vektori kujul pöörleva rõnga jaoks:

Valime ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi, mille OX-telg on suunatud piki tsentripetaalset kiirendust ja OY-telg - vertikaalselt mööda pöörlemistelge ülespoole. Kirjutame Newtoni teise seaduse projektsioonidesse nendele koordinaattelgedele:

Võrdusest (7.2) leiame reaktsioonijõu suuruse ja asendame selle võrrandiga (7.1), saame avaldise:

. (7.3)

Tsentripetaalne kiirendus on seotud pöörlemiskiirusega suhtega: , kus on väikese rõnga pöörlemisraadius. Asendame valemis (7.3) viimase võrrandi parema poole, saame järgmise seose:

. (7.4)

Jooniselt leiame nurga alfa puutuja väärtuse . Seda avaldist arvesse võttes on võrdsus (7.4) järgmine:

Viimasest võrrandist leiame vajaliku kõrguse:

Vastus: .

Kettaga koos pöörlevale kehale mõjuvad kolm jõudu: raskusjõud, reaktsioonijõud ja hõõrdejõud, mis on suunatud pöörlemistelje suunas. Kujutame joonisel kõiki jõude. Näitame sellel joonisel tsentripetaalse kiirenduse vektori suunda. Newtoni teise seaduse kirjutame vektorkujul:

Valime ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi, nagu on näidatud joonisel. Kirjutame Newtoni teise seaduse projektsioonidesse koordinaattelgedele:

; (8.1)

. (8.2)

Kirjutame tsentripetaalse kiirenduse seose:

. (8.3)

Asendame võrdsuse (8.3) parema poole tsentripetaalse kiirenduse asemel võrdsusega (8.1), saame:

. (8.4)

Võrrandist (8.4) on näha, et hõõrdejõu väärtus on otseselt võrdeline pöörlemisraadiusega, mistõttu pöörlemisraadiuse suurenemisel staatiline hõõrdejõud suureneb ja teatud väärtuse korral staatiline hõõrdejõud. hõõrdejõud saavutab maksimaalse väärtuse, mis on võrdne libiseva hõõrdejõuga ().

Võttes arvesse võrdsust (8.2), saame maksimaalse staatilise hõõrdejõu avaldised:

Asendame saadud võrrandi parema poole hõõrdejõu asemel võrdusega (4), saame järgmise seose:

Sellest võrrandist leiame pöörderaadiuse piirväärtuse:

Vastus: .

Tilga lennu ajal mõjutavad seda kaks jõudu: gravitatsioon ja takistus. Kujutame joonisel kõiki jõude. Valime vertikaalselt suunatud telje OY, mille alguspunkt asub Maa pinnal. Kirjutame üles dünaamika põhivõrrandi:

Projekteerides võrdsuse OY teljele, saame seose:

Viimase võrdsuse mõlemad osad jagame ja samaaegselt korrutame mõlema osaga , võttes arvesse, et saame avaldise:

Me jagame selle väljendi mõlemad osad , saame suhte:

Integreerime viimase seose, saame kiiruse sõltuvuse ajast: .

Leiame konstandi algtingimustest ( ), saame kiiruse soovitud sõltuvuse ajast:

Määrake tingimusest maksimaalne kiirus :

Vastus: ; .

Kujutagem joonisel seibile mõjuvaid jõude. Newtoni teise seaduse kirjutame projektsioonidesse telgedele OX, OY ja OZ

Sest , siis kehtib hõõrdejõu kogu seibi trajektoori kohta valem, mis, võttes arvesse OZ-i võrdsust, teisendatakse järgmisele kujule:

Seda seost arvesse võttes saab OX-telje võrdsuse kuju

Projitseerides Newtoni teise seaduse litri trajektoori puutuja kohta vaadeldavas punktis, saame seose:

kus on tangentsiaalse kiirenduse väärtus. Viimaste võrrandite õigeid osi võrreldes järeldame, et .

Kuna ja , võttes arvesse eelmist seost, on meil võrdsus , mille lõimimine toob kaasa avaldise , kus on integratsioonikonstant. Asendage viimases avaldises , saame kiiruse sõltuvuse nurgast:

Konstandi määrame algtingimustest (millal . ) . Seda silmas pidades kirjutame lõpliku sõltuvuse

Kiiruse minimaalne väärtus saavutatakse, kui ja kiirusvektor on suunatud paralleelselt OX-teljega ja selle väärtus on võrdne .

Võimalike liigutuste põhimõte: ideaalsete ühendustega mehaanilise süsteemi tasakaalu saavutamiseks on vajalik ja piisav, et kõigi sellele mõjuvate aktiivjõudude elementaartööde summa mis tahes võimaliku nihke korral oleks võrdne nulliga. või projektsioonides: .

Võimalike nihkete põhimõte annab üldisel kujul tasakaalutingimused mis tahes mehaanilise süsteemi jaoks, annab üldise meetodi staatika probleemide lahendamiseks.

Kui süsteemil on mitu vabadusastet, siis koostatakse võimalike nihkete printsiibi võrrand iga sõltumatu nihke kohta eraldi, s.t. võrrandeid on nii palju, kui palju on süsteemil vabadusastmeid.

Võimalike nihkete põhimõte on mugav selle poolest, et ideaalsete ühendustega süsteemi vaagimisel ei võeta arvesse nende reaktsioone ja on vaja tegutseda ainult aktiivjõududega.

Võimalike liikumiste põhimõte on sõnastatud järgmiselt:

Emale. ideaalsete piirangutega süsteem oli puhkeolekus, on vajalik ja piisav, et süsteemi punktide võimalikel nihketel aktiivjõudude poolt sooritatud elementaartööde summa oleks positiivne

Üldine dünaamika võrrand - kui süsteem liigub ideaalsete ühendustega igal ajahetkel, on kõigi rakendatud aktiivjõudude ja inertsjõudude elementaartööde summa süsteemi mis tahes võimalikul liikumisel võrdne nulliga. Võrrand kasutab võimalike nihkete põhimõtet ja d'Alemberti põhimõtet ning võimaldab koostada diferentsiaalvõrrandid mis tahes mehaanilise süsteemi jaoks. Annab üldise meetodi dünaamikaülesannete lahendamiseks.

Koostamise järjekord:

a) igale kehale rakenduvad sellele mõjuvad kindlaksmääratud jõud ning tinglikult rakenduvad ka inertsjõudude paaride jõud ja momendid;

b) teavitama süsteemi võimalikest liikumistest;

c) koostab võimalike nihkete printsiibi võrrandid, pidades süsteemi tasakaalus olevaks.

Tuleb märkida, et dünaamika üldvõrrandit saab rakendada ka mitteideaalsete sidemetega süsteemide puhul, ainult sel juhul peavad mitteideaalsete sidemete reaktsioonid, nagu näiteks hõõrdejõud või veerehõõrdemoment. liigitada aktiivseteks jõududeks.

Tööd nii aktiiv- kui ka inertsjõudude võimaliku nihke kohta otsitakse samamoodi nagu elementaartööd tegeliku nihke kohta:

Võimalik jõutöö: .

Võimalik hetketöö (jõudude paar): .

Mehaanilise süsteemi üldistatud koordinaadid on mis tahes mõõtmetega sõltumatud parameetrid q 1 , q 2 , …, q S, mis määravad igal ajal üheselt süsteemi asukoha.

Üldistatud koordinaatide arv on S - mehaanilise süsteemi vabadusastmete arv. Süsteemi iga ν-nda punkti asukohta, see tähendab selle raadiusvektorit, saab üldjuhul alati väljendada üldistatud koordinaatide funktsioonina:

Dünaamika üldvõrrand üldistatud koordinaatides näeb välja nagu S võrrandite süsteem järgmiselt:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

siin on üldistatud koordinaadile vastav üldistatud jõud:

(26)

a on üldistatud koordinaadile vastav inertsjõud:

Süsteemi sõltumatute võimalike nihkete arvu nimetatakse selle süsteemi vabadusastmete arvuks. Näiteks. pall tasapinnal võib liikuda igas suunas, kuid mis tahes võimaliku liikumise võib saada kahe liikumise geomeetrilise summana piki kahte vastastikku risti asetsevat telge. Vabal jäigal kehal on 6 vabadusastet.

Üldised jõud. Iga üldistatud koordinaadi jaoks saab arvutada vastava üldistatud jõu Qk.

Arvutus tehakse selle reegli järgi.

Üldise jõu määramiseks Qk mis vastab üldistatud koordinaadile q k, peate sellele koordinaadile andma sammu (koordinaati selle võrra suurendama), jättes kõik teised koordinaadid muutmata, arvutama kõigi punktide vastavatel nihetel süsteemile rakendatud jõudude töö summa ja jagama selle juurdekasvuga koordinaadist:

(7)

kus on nihe i- muutmise teel saadud süsteemi punkt k-th üldistatud koordinaat.

Üldine jõud määratakse elementaarse töö abil. Seetõttu saab seda jõudu arvutada erinevalt:

Ja kuna koordinaatide suurenemise tõttu toimub raadiuse vektori juurdekasv, ülejäänud koordinaadid ja aeg ei muutu t, võib suhet määratleda osalise tuletisena. Siis

kus punktide koordinaadid on üldistatud koordinaatide funktsioonid (5).

Kui süsteem on konservatiivne, see tähendab, et liikumine toimub potentsiaalsete väljajõudude toimel, mille projektsioonid on , kus , ja punktide koordinaadid on üldistatud koordinaatide funktsioonid, siis

Konservatiivse süsteemi üldistatud jõud on potentsiaalse energia osaline tuletis vastava üldistatud miinusmärgiga koordinaadi suhtes.

Loomulikult tuleks selle üldistatud jõu arvutamisel potentsiaalne energia määratleda üldiste koordinaatide funktsioonina

P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Märkused.

Esiteks. Üldistatud reaktsioonijõudude arvutamisel ei võeta ideaalseid sidemeid arvesse.

Teiseks. Üldistatud jõu mõõde sõltub üldistatud koordinaadi mõõtmest.

2. tüüpi Lagrange'i võrrandid on tuletatud dünaamika üldvõrrandist üldistatud koordinaatides. Võrrandite arv vastab vabadusastmete arvule:

(28)

2. tüüpi Lagrange'i võrrandi koostamiseks valitakse üldistatud koordinaadid ja leitakse üldistatud kiirused . Leitakse süsteemi kineetiline energia, mis on üldistatud kiiruste funktsioon , ja mõnel juhul ka üldistatud koordinaadid. Teostatakse kineetilise energia diferentseerimise operatsioonid, mis on ette nähtud Lagrange'i võrrandite vasakpoolsete külgede poolt Saadud avaldised võrdsustatakse üldistatud jõududega, mille puhul kasutatakse lisaks valemitele (26) sageli ka järgmist, kui probleemide lahendamine:

(29)

Valemi parema külje lugejas - kõigi aktiivsete jõudude elementaartöö summa süsteemi võimalikul nihkel, mis vastab i-nda üldistatud koordinaadi variatsioonile - . Selle võimaliku nihke korral ei muutu kõik muud üldistatud koordinaadid. Saadud võrrandid on mehaanilise süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid S vabadusastmed.

Dünaamika üldvõrrand mis tahes piirangutega süsteemi jaoks (ühendatud d'Alembert-Lagrange'i põhimõttega või mehaanika üldvõrrand):

kus on süsteemi -ndale punktile rakendatav aktiivne jõud; on sideme reaktsiooni tugevus; - punktiinertsjõud; - võimalik liikumine.

Sel juhul on (229) üks järgmistest vormidest:

. (230)

Dünaamika üldvõrrandile võib anda ka teisi samaväärseid vorme. Laiendades vektorite skalaarkorrutist, saab seda väljendada kui

kus on süsteemi -nda punkti koordinaadid. Võttes arvesse, et inertsiaalsete jõudude projektsioonid koordinaattelgedele nende telgede kiirenduste projektsioonide kaudu on väljendatud seostega

dünaamika üldvõrrandile võib anda vormi

Sellel kujul nimetatakse seda dünaamika üldvõrrand analüütilisel kujul.

Translatsioonilise liikumise inertsjõud taandatakse resultandiks . Keha translatsioonilise võimaliku nihke inertsjõudude elementaarse töö summa kohta saame

kus on keha massikeskme ja mis tahes punkti võimalik nihe, kuna translatsiooniline võimalik nihe on keha kõikide punktide jaoks ühesugune: kiirendused on samad, s.t.

kui nurk on esitatud nurkkiirenduse kaare noole suunas.

Võimalike nihkete põhimõte annab üldise meetodi staatikaprobleemide lahendamiseks. Teisest küljest võimaldab d'Alemberti põhimõte dünaamika probleemide lahendamisel kasutada staatika meetodeid. Seetõttu saame neid kahte põhimõtet samaaegselt rakendades saada üldise meetodi dünaamika probleemide lahendamiseks.

Mõelge materiaalsete punktide süsteemile, millel on ideaalsed ühendused. Kui süsteemi kõikidele punktidele, välja arvatud neile mõjuvad aktiivjõud ja sidemete reaktsioonid, liidame vastavad inertsjõud, siis d'Alemberti põhimõtte kohaselt on saadud jõudude süsteem tasakaalus. . Seejärel, rakendades nendele jõududele võimalike nihkete põhimõtet, saame

Kuid tingimuse (98) viimane summa on võrdne nulliga ja lõpuks on see:

Saadud tulemusest tuleneb järgmine d'Alembert-Lagrange'i põhimõte: kui ideaalsete piirangutega mehaaniline süsteem liigub igal ajahetkel, siis kõigi rakendatud aktiivjõudude ja inertsjõudude elementaartööde summa süsteemi mis tahes võimaliku nihke korral. olema võrdne nulliga.

Seda põhimõtet väljendavat võrrandit (102) nimetatakse dünaamika üldvõrrandiks. Analüütilises vormis on võrrandil (102) vorm

Võrrandid (102) või (103) võimaldavad koostada mehaanilise süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandeid.

Kui antud juhul on süsteem mõne tahke keha kogum, siis võrrandite koostamiseks on vaja igale kehale mõjuvatele aktiivjõududele liita jõud, mis rakendub mis tahes keskpunktis, mis on võrdne inertsijõudude peavektoriga, ja paar, mille moment on võrdne selle keskpunkti suhtes tekkivate inertsjõudude peamomendiga (või ühega neist suurustest, vt § 134), ning seejärel rakendage võimalike nihkete põhimõtet.

Ülesanne 173. Tsentrifugaalregulaatoris, mis pöörleb ühtlaselt ümber vertikaaltelje nurkkiirusega co (joonis 362), on iga kuuli kaal ja võrdne siduri massiga Q. Jättes tähelepanuta varraste kaalu, määrata nurk a, kui

Otsus. Lisame aktiivsetele jõududele inertsi tsentrifugaaljõud (siduri inertsjõud on ilmselt võrdne nulliga) ja koostame dünaamika üldvõrrandi kujul (103). Seejärel, arvutades kõigi koordinaattelgede jõudude projektsioonid, saame

Jõudude rakenduspunktide koordinaadid on võrdsed:

Neid väljendeid eristades leiame:

Asendades kõik leitud väärtused võrrandisse (a), saame

Seega lõpuks

Kuna pallid kalduvad kõrvale, kui . Suurenedes nurga a suureneb, kaldudes 90 ° juures

Ülesanne 174. Joonisel fig. 363, rakendatakse hammasrattale, mille kaal ja inertsiraadius on ümber oma telje, pöörlev mehhanism M. Määrake ülestõstetud koormuse 3 kiirendus massi Q järgi, jättes tähelepanuta trossi raskuse ja telgede hõõrdumise. Trummel, millele köis on keritud, on jäigalt kinnitatud teise hammasratta külge; nende kogumass on , ja inertsiraadius pöörlemistelje suhtes Hammasrataste raadiused on võrdsed vastavalt ja trumli raadiusega.

Otsus. Kujutame süsteemile mõjuvat aktiivjõudu Q ja pöördemomenti M (jõud ei tee tööd); lisame neile koormuse inertsjõu ja paarid momentidega ja millele taandatakse pöörlevate kehade inertsjõud (vt § 134).