Pideva viivitusega diferentsiaalvõrrandid. Dünaamiliste objektide olekuvõrrandid viivitusega

Ülesanded viivitusega võrrandite jaoks. Vaatleme variatsiooniülesannet, milles juhtseade määrab süsteemi faasitrajektoori Cauchy ülesande abil viivitusega võrrandi jaoks

Kirjanduses nimetatakse selliseid süsteeme sageli samaaegsete võrrandite süsteemideks, mis tähendab, et siin võib ühe võrrandi sõltuv muutuja esineda samaaegselt muutujana (aga juba iseseisvana) ühes või mitmes teises võrrandis. Sel juhul kaotab oma tähenduse traditsiooniline eristamine sõltuvate ja sõltumatute muutujate vahel. Selle asemel tehakse vahet kahte tüüpi muutujatel. Need on esiteks ühiselt sõltuvad muutujad (endogeensed), mille mõju üksteisele tuleb uurida (maatriks A terminis Ay t) ülaltoodud võrrandisüsteemist). Teiseks on eelmääratletud muutujad, mis peaksid esimesi mõjutama, kuid mida need ei mõjuta, on viivitusmuutujad, st. lag (teine ​​liige) ja väljaspool antud võrrandisüsteemi defineeritud eksogeensed muutujad.

Üldist tüüpi viivituste ja ülejäänu enam-vähem kaugeleulatuva spetsifikatsiooniga võrrandite puhul pole aga hinnangute omaduste osas ikka veel piisavalt usaldusväärseid tulemusi. Seega on viivituse üldpolünoomilise kujuga regressioonivõrrandi hinnangutel ainult järjepidevuse omadus ning mahajäävate eksogeensete ja endogeensete muutujatega võrrandite hinnangutel, mis on saadud kolmeastmelise vähimruutude meetodil (esimese- järjestus Markovi jääkautokorrelatsioon) isegi seda omadust ei oma (vt joon. hinnete analüüs aastal).

Seega on maksimaalse stabiilsusastmega kiirete süsteemide sünteesimisel kõigepealt vaja kindlaks määrata bj optimaalsed väärtused, mis tagavad tingimuse (4), ng ja ω, (1=1, n) täitmise, seejärel leidke с/, mille juures (10) ja lõpuks tingimusest (12) antud väärtuse C jaoks valige dj. kommenteerida. Vaadeldud juhtumitest järeldub, et optimaalsete lahenduste struktuurid, st paremäärmuslike juurte reaalsete ja komplekssete konjugeeritud paaride arv, nende kombinatsioon, kordused ja sellest tulenevalt optimaalsete lahenduste hodograafide tüübid X-is tasapind, sõltuvad juhtelemendi mõõtmest m (1.2) ja piisavalt kõrgemate astmete korral n (1.1) ei sõltu n väärtusest endast. Teisisõnu, iga antud m vastab tema enda täpselt määratletud arvule struktuuride optimaalsetest lahendustest uued optimaalsed lahendused. Seetõttu säilib n - > QO korral maksimaalse stabiilsusastmega süsteemide sünteesimise võimalus, optimaalsete lahenduste struktuurid määrab ainult m, mis tähendab, et mis tahes m puhul on optimaalsete lahenduste struktuurid teada ka objektide puhul, millel on viivitus.

Tekib küsimus, kuidas määrata iga näitaja puhul ajavahe väärtust Sobivate ajavahede määramiseks kasutame andmete aegridade korrelatsioonianalüüsi. Ajavahe määramise peamiseks kriteeriumiks on ristkorrelatsioonikoefitsiendi suurim väärtus näitajate aegridade puhul, mille mõju inflatsioonimäärale on erinev. Selle tulemusena saab võrrand järgmise kuju

Lisaks võimaldab S. d.-meetod ühendada ühe mudeli raames arvukad vood (füüsiline. kontroll ja teave) ning kapitaliinvesteeringute ja neid vooge koguvate vahendite käsutamise tasemed baastasemega. kapitali, sündimuse ja suremuse määrad erinevates vanuserühmades koos elanikkonna vanuselise struktuuriga jne -rykh sobivad üsna lihtsaks stabiilsuse eksperimentaalseks uuringuks, olenevalt mudeli enda parameetritest ja struktuurist.

Reegleid saab rühmitada ka muude kriteeriumide järgi. Näiteks vastavalt rahapoliitika instrumendile (vahetuskurss, intressimäär või rahaagregaat) vastavalt välismajandussuhete olemasolule (avatud või suletud majandus) vastavalt majandusmuutujate prognoosi kaasamisele reegli võrrandisse ( tulevased ja kohandatavad reeglid) vastavalt viivituse suurusele (viivitusega või ilma) jne.

Mudel, võttes arvesse mürsu lennuaega ja tule ülekandmise viivitust, võimaldab võtta arvesse viivitusi vaenlase raketirünnaku varajase hoiatamise süsteemis ja selle tuumaraketi kosmoseseire süsteemis. jõud. See mudel on määratletud võrranditega

Pideva viivitusega plokk BPZ-2M on loodud analoogarvutusseadmetes funktsioonide reprodutseerimiseks viiteargumendiga ja seda saab kasutada aine transportimise või energiaülekandega seotud protsesside elektrilisel modelleerimisel keerukate mitme võimsusega objektide võrrandite lähendamiseks. esimest ja teist järku võrrandite abil viivitusega.

Otsustusfunktsioonid on käitumisjoone sõnastus, mis määrab, kuidas saadaolev teave tasemete kohta viib praeguste voolukiiruste väärtustega seotud otsuste valikuni. Lahendusfunktsioon võib esineda lihtsa võrrandi kujul, mis määrab materjalivoo lihtsaima reaktsiooni ühe või kahe taseme olekutele (näiteks transpordisüsteemi toimivust saab sageli adekvaatselt väljendada transiidil olevate kaupade arvuga , mis on tase ja konstant – transpordiaja keskmine viivitus) . Teisest küljest võib otsustusfunktsioon olla pikk ja läbimõeldud arvutuste ahel, mis viiakse läbi, võttes arvesse mitmete lisatingimuste muutusi.

Praegu pole täiesti selge, milline tegur on Baikali ränivetikate puudumise peamiseks põhjuseks külmadel perioodidel. [Grachev et al., 1997] peetakse määravaks mägiliustike tööst tingitud vee suurenenud hägusust, [Gavshin jt, 1998] peamiseks on erosiooni tuhmumisest tingitud räni kontsentratsiooni langus. Baikali jõgikonnas. Mudeli (2.6.7) modifikatsioon, kus esimene võrrand kirjeldab räni kontsentratsiooni dünaamikat ja teine ​​- suspensiooni settimise dünaamikat, võimaldab meil pakkuda välja lähenemisviisi, mille abil tuvastada, milline neist kahest tegurist on peamine. On selge, et tohutu veemassi tõttu reageerib Baikali elustik kliimamuutustele mõningase hilinemisega võrreldes järve valgala taimekoosluste reaktsiooniga. Seetõttu peab diatomisignaal jääma palünoloogilisest signaalist maha. Kui ränikivide kadumise peamiseks põhjuseks külmadel perioodidel on räni kontsentratsiooni vähenemine, siis sellised viivitused soojenemisele reageerimisel peaksid olema suuremad kui jahtumise viivitused. Kui ränivetiku supressiooni peamiseks teguriks on liustike põhjustatud hägusus, peaks jahtumise reaktsioonide viivitus olema ligikaudu sama või isegi suurem kui soojenemisel.

Viimane võrrand, nagu lugeja võib märgata, kirjeldab kõige lihtsama isereguleeruva mehhanismi käitumist proportsionaalse viivitusega. Lisas A on esitatud plokkskeem, mis näitab

Protseduur PERRON97 määrab sel juhul katkestuskuupäevaks 1999 07, kui katkestuskuupäeva valik on tehtud miinimumi järgi - ühikujuure kriteeriumi statistika ta=i, üle võetud kõik võimalikud katkestuspunktid. Samal ajal on ta= = - 3,341, mis on üle 5% kriitilisest tasemest - 5,59 ja ühikjuure hüpoteesi ei lükata tagasi. Võrrandite paremal küljel sisalduvate erinevuste suurimaks viivituseks valitakse GS protseduuri rakendamise raames 10% olulisuse tasemega mudeli vähendamiseks 12.

SISSEJUHATUS

Vene Föderatsiooni haridusministeerium

Rahvusvaheline hariduskonsortsium "Open Education"

Moskva Riiklik Majandus-, Statistika- ja Informaatikaülikool

ANO "Euraasia avatud instituut"

E. A. Gevorkyan

Viivituse diferentsiaalvõrrandid

Õpik Juhend distsipliini õppimiseks

Distsipliini ülesannete kogu Distsipliini õppekava

Moskva 2004

Gevorkyan E.A. DIFFERENTSIAALVÕRDENDID HILINE ARGUMENTIGA: Õpik, distsipliini uurimise juhend, distsipliini ülesannete kogu, distsipliini õppekava / Moskva Riiklik Majandus-, Statistika- ja Informaatikaülikool - M .: 2004. - 79 lk.

Gevorkyan E.A., 2004

Moskva Riiklik Majandus-, Statistika- ja Informaatikaülikool, 2004

Õpetus
Sissejuhatus ................................................... . ................................................ .. ..............................
1.1 Diferentsiaalvõrrandite klassifitseerimine
hälbiv argument. Esialgse probleemi avaldus ................................................... ................... .
1.2 Diferentsiaalvõrrandid aeglustatud argumendiga. Sammu meetod. ........
1.3 Eraldatavaga diferentsiaalvõrrandid
muutujad ja mahajäänud argumendiga ................................................ ..............................................
1.4 Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid aeglustatud argumendiga...................................
1.5 Bernoulli diferentsiaalvõrrandid aeglustunud argumendiga. ...............
1.6 Diferentsiaalvõrrandid summaarsetes diferentsiaalides
hilinenud vaidlusega ................................................... ................................................................ .................. .
II PEATÜKK. Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite perioodilised lahendid
hilinenud vaidlusega ................................................... ................................................................ .................. .
2.1. Lineaarsete homogeensete diferentsiaalvõrrandite perioodilised lahendid
konstantsete koefitsientide ja mahajäänud argumendiga ................................................... ....
2.2. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaali perioodilised lahendused
..................
2.3. Fourier' seeria keeruline vorm ................................................ ............................................................ ...
2.4. Lineaarse ebahomogeense perioodilise lahenduse leidmine
konstantsete koefitsientidega ja aeglustunud diferentsiaalvõrrandid
argument, laiendades võrrandi paremat poolt Fourier' reas ................................................ .............................. .
III PEATÜKK. Ligikaudsed meetodid diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks
hilinenud vaidlusega ................................................... ................................................................ .................. .
3.1. Tundmatu funktsiooni ligikaudne laiendusmeetod
viivitatud argumendiga viivitusastmete kaupa................................................ ..............................
3.2. Ligikaudne Poincaré meetod. ................................................... ................................
IV PEATÜKK. Viivituse diferentsiaalvõrrandid,
ilmneb mõne majandusprobleemi lahenduses
võttes arvesse ajavahet ................................................... .................................................. ..............................

4.1. Koletski majandustsükkel. Diferentsiaalvõrrand

koos muudatust kirjeldav lõpuargument

sularahakapital .................................................. ................................................................ ........................
4.2. Iseloomulik võrrand. Tõeline juhtum
tunnusvõrrandi juured .................................................. .................................................. ....
4.3. Karaktervõrrandi keeruliste juurte juhtum........................................ .........
4.4. viivituse diferentsiaalvõrrand,
(tarbimine võrdeliselt rahvatuluga) ................................................ ......................
4.5. viivituse diferentsiaalvõrrand,
rahvatulu dünaamika kirjeldamine mahajäämustega mudelites
(tarbimine kasvab plahvatuslikult koos kasvutempoga)................................................ ...........................
Kirjandus................................................ ................................................... ......................

Distsipliini uurimise juhend
2. Põhiteemade loetelu ................................................... ................................................... .. ......
2.1. Teema 1. Põhimõisted ja definitsioonid. Klassifikatsioon
hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrandid.
Viivituse diferentsiaalvõrrandid. ................................................
2.2. Teema 2. Algprobleemi avaldus. Lahenduse etapi meetod
diferentsiaalvõrrandid aeglase argumendiga. Näited.................................
2.3. Teema 3. Eraldatavaga diferentsiaalvõrrandid
muutujad ja viivitatud argumentidega. Näited. ................................................... .
2.4. Teema 4. Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid
2.5. Teema 5. Bernoulli diferentsiaalvõrrandid
hilinenud argumendiga. Näited. ................................................... ..............................
2.6. Teema 6. Diferentsiaalvõrrandid summaarsetes diferentsiaalides
hilinenud argumendiga. Vajalikud ja piisavad tingimused. Näited............
2.7. Teema 7. Lineaarse homogeense diferentsiaali perioodilised lahendused
konstantsete koefitsientide ja aeglustunud argumendiga võrrandid.
2.8. Teema 8. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaali perioodilised lahendused
konstantsete koefitsientide ja aeglustunud argumendiga võrrandid.
Näited. ................................................... ................................................ .. ................................
2.9. Teema 9. Fourier' rea kompleksvorm. Eraajakirja leidmine
lineaarsete mittehomogeensete võrrandite lahendused konstantsete koefitsientidega ja koos
aeglustunud argument, laiendades võrrandi paremat poolt Fourier' jadaks.
Näited. ................................................... ................................................ .. ................................
2.10. Teema 10. Diferentsiaalvõrrandite ligikaudne lahendamine koos
viivitatud argument meetod funktsiooni dekomponeerimiseks viivitusest
viivitusastmete järgi. Näited .................................................. ......................................
2.11. Teema 11. Ligikaudne Poincare'i meetod perioodilisuse leidmiseks
kvaasilineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendused väikese parameetriga ja
hilinenud argumendiga. Näited. ................................................... ..............................

2.12. Teema 12. Koletski majandustsükkel. Diferentsiaalvõrrand

koos funktsiooni K(t) mahajäänud argument, mis näitab sularaha laoseisu

põhikapital ajal t ................................................... ................................................... ...
2.13. Teema 13. Vastava tunnusvõrrandi analüüs
funktsiooni K(t) diferentsiaalvõrrand. ................................................... ............
2.14. Teema 14. Karaktervõrrandi komplekslahenduste juhtum
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Teema 15. Funktsiooni y(t) diferentsiaalvõrrand, mis näitab
tarbimisfunktsioon on kujul c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ), kus α on konstantne kiirus
toodangu kogunemine .................................................. .............................................................. ............
2.16. Teema 16. Funktsiooni y(t) diferentsiaalvõrrand, mis näitab
rahvatulu kapitaliinvesteeringute mahajäämusega mudelites eeldusel, et
tarbijafunktsioon on kujul c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ........................... ...................................
Distsipliini ülesannete kogu ................................................ .. ..................................................
Õppekava erialade kaupa ................................................ ................................................................ ....

Õpetus

SISSEJUHATUS

Sissejuhatus

See õpetus on pühendatud diferentsiaalvõrrandite integreerimise meetodite tutvustamisele pidurdunud argumentidega, mis ilmnevad teatud tehnilistes ja majanduslikes probleemides.

Ülaltoodud võrrandid kirjeldavad tavaliselt mis tahes protsesse, millel on järelmõju (protsessid viivitusega, ajalise viivitusega). Näiteks kui uuritavas protsessis sõltub meid huvipakkuva koguse väärtus ajahetkel t väärtusest x ajahetkel t-τ, kus τ on ajavahe (y(t)=f). Või kui suuruse y väärtus ajahetkel t sõltub sama suuruse väärtusest ajahetkel

vähem t-τ (y(t)=f).

Hilinenud argumendiga diferentsiaalvõrranditega kirjeldatud protsesse leidub nii loodus- kui ka majandusteadustes. Viimase puhul on selle põhjuseks nii ajaline viivitus enamikus sotsiaalse tootmistsükli lülides kui ka investeerimisviivitused (periood objektide projekteerimise algusest täisvõimsusel kasutuselevõtuni), demograafilised viivitused ( ajavahemik sünnist kuni tööealiseks saamiseni ja tööle asumiseni pärast kooli lõpetamist).

Ajavahe arvestamine tehniliste ja majanduslike probleemide lahendamisel on oluline, kuna viivituse olemasolu võib oluliselt mõjutada saadud lahenduste olemust (näiteks teatud tingimustel võib see kaasa tuua lahenduste ebastabiilsuse).

Koos VÄLJAjääv ARGUMENT

I PEATÜKK. Diferentsiaalvõrrandite lahendamise etappide meetod

koos lõpuargument

1.1. Diferentsiaalvõrrandite klassifitseerimine hälbiva argumendiga. Esialgse probleemi avaldus

Definitsioon 1 . Hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrandeid nimetatakse diferentsiaalvõrranditeks, milles tundmatu funktsioon X(t) sisestatakse argumendi erinevate väärtuste jaoks.

X(t) = f ( t, x (t), x ) ,

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )],
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = f t, x (t ), x (t), x (t/2), x(t/2).

(t)]

Definitsioon 2. Aeglase argumendiga diferentsiaalvõrrand on hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrand, milles tundmatu funktsiooni kõrgeimat järku tuletis esineb argumendi samade väärtuste juures ja see argument ei ole väiksem kui kõik argumendid. võrrandisse kaasatud tundmatu funktsioon ja selle tuletised.

Pange tähele, et vastavalt 2. definitsioonile on võrrandid (1) ja (3) tingimustel τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 aeglustunud argumendiga võrrandid, võrrand (2) on võrrand.

mahajäänud argumendiga, kui τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, on võrrand (4) mahajäänud argumendiga võrrand, kuna t ≥ 0.

Definitsioon 3. Juhtargumendiga diferentsiaalvõrrand on hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrand, milles tundmatu funktsiooni kõrgeimat järku tuletis esineb argumendi samade väärtuste juures ja see argument ei ole suurem kui ülejäänud argumendi osa. võrrandisse kaasatud tundmatu funktsiooni argumendid ja selle tuletised.

Juhtargumendiga diferentsiaalvõrrandite näited:

X(t)=

X(t)=

X(t)=

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ),

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )],

f t , x (t ), x . (t ), x [ t + τ (t )] , x . [t + τ

(t)] .

ma DIFFERENTSIAALVÕRDENDITE LAHENDAMISE SAMME MEETOD

Koos VÄLJAjääv ARGUMENT

Definitsioon 4. Hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrandeid, mis ei ole pidurdunud või juhtiva argumendiga võrrandid, nimetatakse neutraalset tüüpi diferentsiaalvõrranditeks.

Näited diferentsiaalvõrranditest neutraalse tüüpi hälbiva argumendiga:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Pange tähele, et sarnast klassifikatsiooni kasutatakse ka hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrandisüsteemide puhul, asendades sõna "funktsioon" sõnaga "vektorfunktsioon".

Mõelge kõige lihtsamale diferentsiaalvõrrandile kõrvalekalduva argumendiga:

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ )],

kus τ ≥ 0 ja t − τ ≥ 0 (tegelikult käsitleme diferentsiaalvõrrandit aeglustunud argumendiga). Põhiline lähteülesanne võrrandi (10) lahendamisel on järgmine: määrata võrrandi (10) pidev lahend X (t) juhul, kui t > t 0 (t 0 -

fikseeritud aeg) tingimusel, et X (t ) = ϕ 0 (t ), kui t 0 − τ ≤ t ≤ t 0, kus ϕ 0 (t ) on antud pidev algfunktsioon. Lõigu [ t 0 − τ, t 0 ] nimetatakse alghulgaks, t 0 algpunktiks. Eeldatakse, et X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (joonis 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t0 + τ		0 + τ
Kui viivitus τ		võrrandis (10) sõltub ajast t		(τ = τ (t )) , siis algustäht

Ülesanne on sõnastatud järgmiselt: leida lahendus võrrandile (10) t > t 0 korral, kui algfunktsioon X (t ) = ϕ 0 t on teada t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 korral.

Näide. Leia võrrandile lahendus.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t)]
kui t > t 0 = 0, kui algfunktsioon X (t ) = ϕ 0 (t ) korral (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

ma DIFFERENTSIAALVÕRDENDITE LAHENDAMISE SAMME MEETOD

Koos VÄLJAjääv ARGUMENT

Näide. Leia võrrandile lahendus

	X (t) = f [ t, x (t) , x (t / 2 )]			kell (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1, kui algfunktsioon X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t=1			t=1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Pange tähele, et algfunktsioon määratakse või leitakse tavaliselt katseliselt (peamiselt tehniliste probleemide korral).

1.2. Viivituse diferentsiaalvõrrandid. Sammu meetod

Mõelge diferentsiaalvõrrandile aeglustunud argumendiga.

On vaja leida lahendus võrrandile (13) t ≥ t 0 korral.

Võrrandi (13) lahenduse leidmiseks t ≥ t 0 puhul kasutame astmelist meetodit (järjestikuse integreerimise meetod).

Astmemeetodi olemus seisneb selles, et esmalt leiame võrrandi (13) lahendi t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ korral, seejärel t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ korral jne. Samas märgime näiteks, et kuna piirkonnas t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ muutub argument t − τ vahemikus t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0, siis võrrandis

(13) selles piirkonnas võime x (t − τ ) asemel võtta algfunktsiooni ϕ 0 (t − τ ) . Siis

saame, et võrrandi (13) lahendi leidmiseks piirkonnas t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ vaja uuesti
õmble tavaline diferentsiaalvõrrand viivitamata kujul:
	[t, x(t) , ϕ 0 (t − τ )],
X(t) = f
t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ korral	algtingimusega X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (vt joonis 1).
	sellele algülesandele lahenduse leidmine kujul X (t) = ϕ 1 (t) ,	saame postitada-

lahendada lahenduse leidmise ülesanne lõigul t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ jne.

Nii et meil on:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x (t) , ϕ
kell t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ )],
t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ korral,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1 (t 0 + τ ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ )],
t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ korral,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ )],
kui t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ i (t ) on	vaadeldava initsiaali lahendus		ülesanded segmendis
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

ma DIFFERENTSIAALVÕRDENDITE LAHENDAMISE SAMME MEETOD

Koos VÄLJAjääv ARGUMENT

See sammude meetod diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks aeglustunud argumendiga (13) võimaldab meil määrata lahenduse X (t) mõnel t muutumise lõplikul intervallil.

Näide 1. Kasutades sammude meetodit, leidke lahendus esimest järku diferentsiaalvõrrandile aeglustunud argumendiga

	(t) = 6 X (t − 1 )
piirkonnas 1 ≤ t ≤ 3, kui algfunktsioon 0 ≤ t ≤ 1 korral on kujul X (t ) = ϕ 0 (t ) = t .
Otsus. Kõigepealt leiame võrrandi (19) lahendi piirkonnas 1 ≤ t ≤ 2 . Selle jaoks sisse
(19) asendame X (t − 1) väärtusega ϕ 0 (t − 1), st
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
ja võtta arvesse X (1) = ϕ 0 (1) = t |
Seega piirkonnas 1 ≤ t ≤ 2 saame tavalise diferentsiaalvõrrandi kujul
	(t ) = 6 (t − 1 )
või dx(t)	6 (t-1) .
Lahendades selle, võttes arvesse (20), saame võrrandi (19) lahendi 1 ≤ t ≤ 2 korral kujul
X (t) = 3 t 2 - 6 t + 4 = 3 (t - 1 ) 2 + 1.
Lahenduse leidmiseks võrrandis (19) piirkonnas 2 ≤ t ≤ 3 asendame X (t − 1) väärtusega
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Siis saame tavalise		diferentsiaal
võrrand:
	(t ) = 6[ 3 (t - 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
mille lahendusel on vorm (joonis 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Viivitusega süsteemid erinevad varem vaadeldud süsteemidest selle poolest, et nende ühes või mitmes lingis on väljundväärtuse muutumise alguse ajas (pärast sisendi muutmise algust) väärtuse võrra viivitus. t, mida nimetatakse viivitusajaks, ja see viivitusaeg jääb konstantseks kõigis järgnevates protsessides.

Näiteks kui linki kirjeldab võrrand

(esimest järku perioodiline link), siis saab vastava lingi võrrand viivitusega kuju

(esimese tellimuse perioodiline link viivitusega). Seda tüüpi võrrandit nimetatakse võrrandiks aeglustunud argumendiga,

Seejärel kirjutatakse võrrand (6.31) tavaliseks

muutub järsult nullist üheks (joon. 6.20,

seistes lingi võrrandi paremal küljel,

). Üldjuhul, nagu (6.31) puhul, võib mis tahes viivitusega lingi dünaamika võrrandi jagada kaheks:

mis vastab viitega lingi tingimuslikule lagunemisele (joon. 6.21, a) kaheks: sama järku ja samade koefitsientidega tavaline link ja sellele eelnev viiteelement (joonis 6.21.6).

tähendab metalli liikumise aega rullidelt paksusmõõturile. Kahes viimases näites nimetatakse m väärtust transpordi viivituseks.

Esimesel lähenemisel saab süsteemi lülidesse kuuluvaid torustikke või pikki elektriliine iseloomustada teatud viivitusväärtusega t.

näidatud joonisel fig. 6.22, b, siis võib seda linki ligikaudu kirjeldada kui esimest järku perioodilist linki viivitusega (6.31), võttes katsekõveralt m, r ja k väärtused (joonis 6.22, b).

Pange tähele ka seda, et sama eksperimentaalne kõver vastavalt joonisel fig. 6.22, in võib tõlgendada ka kui tavalise teist järku perioodilise seose ajakarakteristikut võrrandiga

ja k saab arvutada antud lingi kohta §-s 4.5 kirjutatud suhtarvudest, mõne katsekõvera mõõtmise põhjal või muul viisil.

funktsioon (6.36) erineb vähe viivitusega lingi ülekandefunktsioonist (6.35).

Mis tahes viivitusega lineaarse lingi võrrand (6.33) kirjutatakse nüüd kujule

Viivitusega lineaarse lingi ülekandefunktsioon on

näidatakse vastava tavalise lingi viivituseta edastusfunktsiooni.

- lingi sageduse ülekandefunktsiooni moodul ja faas viivitamata.

Seega saame järgmise reegli.

Mis tahes viivitusega lingi amplituudfaasi karakteristiku koostamiseks peate võtma vastava tavalise lingi karakteristiku ja nihutama selle iga punkti piki ringi päripäeva nurga võrra, kus w on võnkesageduse väärtus karakteristiku antud punkt (joon. 6.23, a).

alguspunkt jääb muutumatuks ja karakteristiku lõpp keerleb asümptootiliselt ümber alguspunkti (kui operaatoripolünoomi B aste on väiksem polünoomi C omast).

Eespool öeldi, et joonisel fig. 6.22b saab sageli kirjeldada sama lähendusastmega nii võrrandite (6.31) kui ka (6.34) abil. Valemite (6.31) ja (6.34) amplituudi-faasi karakteristikud on näidatud joonisel fig. 6.23, a ja b vastavalt. Põhiline erinevus esimese vahel seisneb selles, et sellel on lõikepunkt D teljega (/. Kui võrrelda mõlemaid omadusi omavahel ja reaalse lingi eksperimentaalse amplituud-faasi karakteristikuga, tuleb arvestada mitte ainult kõvera kuju, aga ka sagedusmärkide ω jaotuse olemust mööda teda.

Avatud süsteemi ülekandefunktsioon viivituseta.

Suletud süsteemi iseloomulik võrrand, nagu on näidatud peatükis. 5-l on vorm

Võrrandil võib olla lõpmatu arv juuri.

Konstrueeritud avatud ahela amplituud-faasikarakteristiku kuju, kuid sageduse ülekandefunktsioon muutub oluliselt

pealegi toimub süsteemi avamine teatud reegli järgi, mis on toodud allpool.

Selle tulemusena selgub, et esimest ja teist järku viivitusega lineaarsete süsteemide stabiilsuse jaoks ei piisa enam ainult koefitsientide positiivsusest ning viivitusega kolmandat ja kõrgemat järku süsteemide stabiilsuskriteeriumid. Vyshnegradsky, Routh ja Hurwitz ei ole kohaldatavad.

Allpool käsitleme stabiilsuse määramist ainult Nyquisti kriteeriumi järgi, kuna selle kasutamine selle laulu jaoks osutub kõige lihtsamaks.

1 Amplituud-faasikarakteristiku konstrueerimine ja stabiilsuse uurimine Nyquisti kriteeriumi järgi on kõige parem, kui avatud ahelaga süsteemi ülekandefunktsioon on esitatud kujul (6.38). Selle saamiseks on vaja süsteem korralikult avada.

Joonisel fig. 6.24, a, avamist saab teha mis tahes põhiahelas, näiteks nagu näidatud. Siis saab avatud süsteemi ülekandefunktsiooniks see, mis vormilt ühtib (6.41).

Joonisel fig. 6.24, b, põhiahela avamine annab avaldise

avatud ahela funktsioonid, mis pole edasiseks uurimiseks mugavad:

Lõpuks joonisel fig. 6.24, c, kui süsteem avatakse näidatud kohas, saame avaldise, mis langeb kokku ka (6.41):

Sagedusülekande funktsiooni (6.41) saab esitada kui

Seetõttu esitades avaldise (6.41) kujul

Erikursus

Võrrandite klassifitseerimine hälbiva argumendiga. Viivitusega diferentsiaalvõrrandite peamine algprobleem.

Järjestikuse integreerimise meetod. Võrrandilahenduste viivitusega silumise põhimõte.

Tihendatud kaardistamise põhimõte. Olemasolu ja kordumatuse teoreem põhilise algülesande lahendamiseks mitme koondunud viivitusega võrrandi jaoks. Olemasolu ja kordumatuse teoreem põhilise lähteülesande lahendamiseks hajutatud viivitusega võrrandisüsteemi jaoks.

Põhilise algprobleemi lahenduste pidev sõltuvus parameetritest ja algfunktsioonidest.

Hilinemisega võrrandite lahendite eripärad. Lahenduse jätkamise võimalus. Liiguta alguspunkti. Teoreemid piisavate tingimuste kohta intervallide kleepimiseks. Teoreem piisavate tingimuste kohta lahenduste mittelokaalseks laiendatavuseks.

Lineaarse viivitusega lineaarse süsteemi üldlahendusvalemi tuletamine.

Stabiilsuse viivitusega võrrandite uurimine. D-vaheseinte meetod.

Funktsionaalide meetodi rakendamine stabiilsuse uurimiseks. N. N. Krasovskii teoreemid stabiilsuse vajalike ja piisavate tingimuste kohta. Funktsionaalide konstrueerimise näited.

Ljapunovi funktsioonide meetodi rakendamine stabiilsuse uurimiseks. Razumihhini teoreemid hilinemisega võrrandite lahendite stabiilsuse ja asümptootilise stabiilsuse kohta. Näited Ljapunovi funktsioonide konstrueerimisest.

Viivitusega programmi juhtelementide ehitamine täieliku ja mittetäieliku teabega süsteemides. V. I. Zubovi teoreemid. Kapitaliinvesteeringute jaotuse probleem majandusharude lõikes.

Programmi optimaalsete juhtelementide konstrueerimine lineaarsetel ja mittelineaarsetel juhtudel. Pontrjagini maksimumprintsiip.

Võrrandisüsteemi stabiliseerimine pidevate viivitustega juhtimisega. Muutuva viivituse mõju jäiga keha üheteljelisele stabiliseerimisele.

KIRJANDUS

1. Žabko A.P., Zubov N.V., Prasolov A.V. Järelmõjuga süsteemide uurimise meetodid. L., 1984. Dep. VINITI, nr 2103-84.
2. Zubov V.I. Aeglase argumendiga lineaarsete statsionaarsete süsteemide teooriast // Izv. ülikoolid. Ser. matemaatika. 1958. nr 6.
3. Zubov V.I. Loengud kontrolliteooriast. Moskva: Nauka, 1975.
4. Krasovski N. N. Mõned liikumise stabiilsuse teooria probleemid. M., 1959
5. Malkin I.G. Liikumise stabiilsuse teooria.
6. Myshkis A.D. Aeglase argumendiga diferentsiaalvõrrandite üldteooria // Uspekhi Mat. Teadused. 1949. V.4, nr 5.
7. Prasolov A.V. Dünaamiliste protsesside analüütilised ja numbrilised uuringud. Peterburi: Peterburi Riikliku Ülikooli kirjastus, 1995.
8. Prasolov A.V. Dünaamika matemaatilised mudelid majanduses. Peterburi: Peterburi kirjastus. Majandus- ja Rahandusülikool, 2000.
9. Chizhova O. N. Aeglase argumendiga diferentsiaalvõrrandisüsteemide lahenduste konstrueerimine ja stabiilsus. L., 1988. Dep. aastal VINITI, nr 8896-B88.
10. Chizhova O. N. Jäiga keha stabiliseerimine lineaarset viivitust arvesse võttes // Peterburi Riikliku Ülikooli bülletään. Ser.1. 1995. 4. number, nr 22.
11. Chizhova O. N. Muutuva viivitusega võrrandite mittelokaalsest laiendamisest // Mehaanika ja juhtimisprotsesside küsimused. Probleem. 18. – Peterburi: Peterburi Riikliku Ülikooli kirjastus, 2000.
12. Elsgolts L.E., Norkin S.B. Sissejuhatus hälbiva argumendiga diferentsiaalvõrrandite teooriasse. M., 1971.

Viivitusega lineaarsed süsteemid on sellised automaatsed süsteemid, mis omavad üldiselt sama struktuuri kui tavalistel lineaarsetel süsteemidel (II jagu), mis erinevad viimastest selle poolest, et neil on ühes või mitmes lingis viivitus lülituse alguse ajas. väljundkoguse muutus (pärast sisendi muutmise algust) väärtuse võrra, mida nimetatakse viivitusajaks, ja see viivitusaeg jääb muutumatuks kogu järgneva protsessi jooksul.

Näiteks kui tavalist lineaarset linki kirjeldatakse võrrandiga

(esimest järku perioodiline link), siis on vastava viivitusega lineaarse lingi võrrand kujul

(esimese tellimuse perioodiline link viivitusega). Seda tüüpi võrrandeid nimetatakse aeglustunud argumendiga võrranditeks või diferentsiaal-diferentsiaalvõrranditeks.

Tähistage Seejärel kirjutatakse võrrand (14.2) tavalisel kujul:

Seega, kui sisendväärtus muutub järsult nullist üheks (joonis 14.1, a), siis lingivõrrandi paremal pool oleva väärtuse muutust kujutatakse joonisel fig. 14.1b (hüppa sekund hiljem). Kasutades nüüd võrrandile (14.3) rakendatud tavalise aperioodilise lingi mööduvat vastust, saame väljundväärtuse muutuse graafiku kujul joonisel fig. 14.1, c. See on esimest järku aperioodilise lingi mööduv reaktsioon viivitusega (selle aperioodilise "inertsiaalse" omaduse määrab ajakonstandi T ja viivituse määrab väärtus

Lineaarne link viivitusega. Üldjuhul, nagu (14.2) puhul, võib iga viivitusega lineaarse lingi dünaamika võrrandi olla

jagada kaheks:

mis vastab viivitusega lineaarse lingi (joon. 14.2, a) tingimuslikule lagunemisele kaheks: sama järku ja samade koefitsientidega tavaline lineaarlüli ja sellele eelnev viiteelement (joon. 14.2, b).

Mis tahes viivitusega lingi ajalise iseloomustus on seetõttu sama, mis vastaval tavalisel lingil, kuid ainult nihutatakse piki ajatelge paremale võrra .

"Puhta" viivituslingi näide on akustiline sideliin - heli edastamise aeg). Teised näited on lintkonveieriga liikuva aine automaatse doseerimise süsteem - lint teatud piirkonnas liikumise aeg), samuti valtsmetalli paksuse reguleerimise süsteem, kus see tähendab metalli liikumise aega. rullidest paksusmõõturini

Kahes viimases näites nimetatakse kogust transpordi hilinemiseks.

Süsteemi lülides sisalduvaid torustikke või pikki elektriliine võib esimeses lähenduses iseloomustada teatud hilinemisega (nende kohta vt täpsemalt § 14.2).

Lingi viivituse väärtust saab määrata katseliselt, eemaldades ajakarakteristiku. Näiteks kui lingi sisendile rakendatakse teatud väärtust ühikuna, saadakse väljundis joonisel 1 näidatud eksperimentaalne kõver. 14.3, b, siis võib seda linki ligikaudu kirjeldada kui esimest järku perioodilist linki koos viivitusega (14.2), võttes väärtused katsekõveralt (joonis 14.3, b).

Pange tähele ka seda, et sama eksperimentaalne kõver vastavalt joonisel fig. 14.3, c võib tõlgendada ka kui ajakarakteristikut tavalisele teist järku perioodilisele seosele võrrandiga

pealegi ning k on arvutatav antud lingi kohta §-s 4.5 kirjutatud seostest, mõne katsekõvera mõõtmise järgi või muul viisil.

Nii et ajakarakteristiku seisukohast saab reaalset seost, mida ligikaudu kirjeldab esimest järku võrrand koos aeglustunud argumendiga (14.2), sageli sama lähendusastmega kirjeldada teist järku tavalise diferentsiaalvõrrandiga. (14,5). Et otsustada, milline neist võrranditest sobib antud kõige paremini

tegelik link, võib võrrelda ka nende amplituud-faasi karakteristikuid lingi eksperimentaalselt võetud amplituud-faasi karakteristikuga, mis väljendab selle dünaamilisi omadusi sundvibratsiooni ajal. Allpool vaadeldakse viivitusega linkide amplituudfaasi karakteristikuid.

Võrrandite kirjutamise ühtsuse huvides esindame viivituselemendi teist seost (14.4) operaatori kujul. Laiendades selle paremat külge Taylori seerias, saame

või varem aktsepteeritud sümboolse operaatori tähises

See avaldis langeb kokku funktsiooni kujutiste viiteteoreemi valemiga (tabel 7.2). Seega saame puhta viivituslingi jaoks ülekandefunktsiooni kujul

Pange tähele, et mõnel juhul saab suure hulga väikeste ajakonstantide olemasolu juhtimissüsteemis arvesse võtta konstantse viivituse kujul, mis on võrdne nende ajakonstantide summaga. Tõepoolest, olgu süsteemis esimest järku jadaühendatud aperioodilised lingid, mille ülekandekoefitsient on võrdne ühiku ja iga ajakonstandi väärtusega. Siis saadakse ülekandefunktsioon

Kui siis limiidi sisse saame . Juba ülekandefunktsioon (14.8) erineb vähe viivitusega lingi ülekandefunktsioonist (14.6).

Mis tahes viivitusega lineaarse lingi võrrand (14.4) kirjutatakse nüüd kujule

Viivitusega lineaarse lingi ülekandefunktsioon on

kus tähistab vastava tavalise lineaarse lingi ülekandefunktsiooni viivitamata.

Sageduse ülekandefunktsioon saadakse (14.10) asendamise teel

kus on lingi sageduse ülekandefunktsiooni moodul ja faas viivitamata. Seega saame järgmise reegli.

Mis tahes viivitusega lineaarse lingi amplituudi-faasi karakteristiku koostamiseks peate võtma vastava tavalise lineaarse lingi karakteristiku ja nihutama selle iga punkti piki ringi päripäeva nurga võrra , kus on võnkesageduse väärtus karakteristiku antud punkt (joon. 14.4, a).

Kuna amplituudfaasi karakteristiku alguses ja lõpus jääb algpunkt muutumatuks ja karakteristiku lõpp keerdub asümptootiliselt alguspunkti (kui operaatori polünoomi aste on polünoomist väiksem

Eespool öeldi, et joonisel fig. 14.3, b saab sageli kirjeldada sama lähendusastmega nii võrrandite (14.2) kui ka (14.5) abil. Valemite (14.2) ja (14.5) amplituudi-faasi karakteristikud on näidatud joonisel fig. 14.4, a ja vastavalt. Esimese põhimõtteline erinevus seisneb selles, et sellel on teljega lõikepunkt D

Võrreldes mõlemat karakteristikku omavahel ja reaalse lüli eksperimentaalse amplituud-faasi karakteristikuga, tuleb arvestada mitte ainult kõvera kujuga, vaid ka sagedusmärkide o jaotuse olemusega mööda seda.

Lineaarne süsteem viivitusega.

Olgu üheahelalisel või mitmeahelalisel automaatsel süsteemil oma linkide seas üks viivitusega link. Siis on selle lingi võrrandil vorm (14.9). Kui selliseid linke on mitu, siis võivad neil olla erinevad viiteväärtused. Kõik peatükis 5 tuletatud automaatjuhtimissüsteemide võrrandite ja ülekandefunktsioonide üldvalemid jäävad kehtima kõigi viivitusega lineaarsete süsteemide puhul, kui ainult ülekandefunktsioonide väärtused asendatakse nendesse valemitesse kujul ( 14.10).

Näiteks jadaühendatud linkide avatud vooluahela korral, mille hulgas on vastavalt kaks viivitusega linki, on avatud süsteemi ülekandefunktsioon kujul

kus on avatud vooluahela ülekandefunktsioon ilma viivitust arvesse võtmata, mis on võrdne järjestikku ühendatud linkide ülekandefunktsioonide korrutisega.

Seega on järjestikku ühendatud linkide avatud ahela dünaamika uurimisel ebaoluline, kas kogu viivitus koondub ühte lülisse või jaotub erinevatele linkidele. Mitmeahelaliste ahelate puhul saadakse keerulisemad seosed.

Kui on olemas seos negatiivse tagasisidega, millel on viivitus, siis kirjeldatakse seda võrranditega;