Matemaatiline punkt on mahukas. Kriitiline punkt (matemaatika)

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt punkti. Tasapinna punktide kogum

Punkt- abstraktne objekt ruumis, millel puuduvad mõõdetavad omadused (nullmõõtmeline objekt). Mõte on matemaatika üks põhimõisteid.

Punkt eukleidilises geomeetrias

Euclid määratles punkti kui "osadeta objekti". Eukleidilise geomeetria kaasaegses aksiomaatikas on punkt esmane mõiste, mille annab ainult selle omaduste loetelu - aksioomid.

Valitud koordinaatsüsteemis saab kahemõõtmelise Eukleidilise ruumi mis tahes punkti esitada järjestatud paarina ( x; y) reaalarvud. Samamoodi, punkt n-mõõtmelist eukleidilist ruumi (nagu ka vektorit või afiinset ruumi) saab esitada koretisena ( a 1 , a 2 , … , a n) alates n numbrid.

Lingid

punkt(inglise keeles) PlanetMathi veebisaidil.
Weisstein, Eric W. Punkt Wolfram MathWorldi veebisaidil.

point on:

punktipunkt nimisõna, hästi., kasutada Sageli Morfoloogia: (ei) mida? punktid, mida? punkt, (näed mida? punkt, kuidas? punkt, millest? asja kohta; pl. mida? punktid, (ei) mida? punktid, mida? punktid, (näed mida? punktid, kuidas? punktid, millest? punktide kohta 1. Punkt- see on väike ümmargune täpp, millegi terava või kirjaga puudutamise jälg.

Punktmuster. | Torkepunkt. | Linna kaardil tähistab väike täpp ja ümbersõidutee olemasolust võib vaid oletada.

2. Punkt- see on midagi väga väikest, mis on kauguse või muude põhjuste tõttu halvasti nähtav.

Punkt silmapiiril. | Kui pall taeva lääneosas horisondile lähenes, hakkas selle suurus aeglaselt vähenema, kuni muutus täpiks.

3. Punkt- kirjavahemärk, mis asetatakse lause lõppu või sõnade lühendamisel.

Pane punkt. | Ärge unustage panna lause lõppu punkti

4. Matemaatikas, geomeetrias ja füüsikas punkt on ühik, millel on positsioon ruumis, joonelõigu piir.

Matemaatika punkt.

5. punkt nimetage teatud koht ruumis, maapinnal või millegi pinnal.

paigutuspunkt. | Valupunkt.

6. punkt nimetage koht, kus midagi asub või teostatakse, teatud sõlm süsteemis või mis tahes punktide võrgus.

Igal väljalaskeaval peab olema oma märk.

7. punkt nad nimetavad millegi arengupiiriks, teatud arengutaset või hetke.

Kõrgeim punkt. | punkt arengus. | Asjade seis on jõudnud kriitilisse punkti. | See on inimese vaimse jõu kõrgeim avaldumispunkt.

8. punkt nimetatakse temperatuuripiiriks, mille juures toimub aine muundumine ühest agregatsiooniseisundist teise.

Keemispunkt. | Külmumispunkt. | Sulamispunkt. | Mida kõrgem on kõrgus, seda madalam on vee keemistemperatuur.

9. Semikoolon (;) nimetatakse kirjavahemärgiks, mida kasutatakse liitlause tavaliste iseseisvamate osade eraldamiseks.

Inglise keeles kasutatakse peaaegu samu kirjavahemärke, mis vene keeles: punkt, koma, semikoolon, mõttekriips, apostroof, sulud, ellips, küsi- ja hüüumärgid, sidekriips.

10. Kui nad räägivad vaatepunktist, tähendab kellegi arvamust teatud probleemi kohta, pilku asjadele.

Vähem populaarne on praegu teine seisukoht, mis on varem peaaegu üldiselt tunnustatud. | Seda seisukohta ei jaga täna keegi.

11. Kui öeldakse, et inimestel on kokkupuutepunktid nii et neil on ühised huvid.

Võib-olla leiame ühise keele.

12. Kui midagi öeldakse punktist punktini, mis tähendab absoluutselt täpset vastet.

Punkt punktini kohas, kus see oli märgitud, oli kohvivärvi auto.

13. Kui inimese kohta öeldakse jõudis punktini, mis tähendab, et ta on jõudnud mõne negatiivse omaduse avaldumise äärmuslikule piirile.

Oleme punktini jõudnud! Sa ei saa enam nii elada! | Sa ei saa talle öelda, et salateenistused on tema targa juhtimisel jõudnud punkti.

14. Kui keegi paneb lõpu mõnes äris tähendab see, et ta lõpetab selle.

Seejärel naasis ta emigratsioonilt kodumaale, Venemaale, Nõukogude Liitu ja see tegi lõpu kõikidele tema otsingutele ja mõtetele.

15. Kui keegi punkti "ja"(või üle i), mis tähendab, et ta viib asja loogilise lõpuni, ei jäta midagi ütlemata.

Tähistame i-d. Ma ei teadnud teie algatusest midagi.

16. Kui keegi tabab ühte punkti, mis tähendab, et ta koondas kõik oma jõud ühe eesmärgi saavutamisele.

Sellepärast on tema pildid nii erinevad; ta tabab alati ühe punkti, laskmata end kunagi teisejärgulistest detailidest meelitada. | Ta saab väga hästi aru, mis on tema äri ülesanne, ja tabab sihikindlalt ühte punkti.

17. Kui keegi tabas kohale, mis tähendab, et ta ütles või tegi täpselt seda, mida vaja, arvas ära.

Päris esimene kiri, mis konkursi järgmisse vooru jõudis, üllatas toimetusi meeldivalt – ühes loetletud variandis tabas meie lugeja kohe märki!

punkt adj.

Akupressur.

Vene keele seletav sõnaraamat Dmitriev. D.V. Dmitrijev. 2003. aasta.

Punkt

Punkt Võib tähendada:

Vikisõnaraamatus on artikkel "punkt"

Punkt on abstraktne objekt ruumis, millel ei ole peale koordinaatide mingeid mõõdetavaid tunnuseid.
Punkt on diakriitiline märk, mille saab asetada tähe kohale, alla või keskele.
Punkt - kauguse mõõtühik vene ja inglise mõõtesüsteemides.
Punkt on üks kümnendkoha eraldaja esitusviisidest.
Dot (võrgutehnoloogiad) - juurdomeeni määramine globaalse võrgu domeenide hierarhias.
Tochka - elektroonika- ja meelelahutuspoodide kett
Tochka - grupi "Leningrad" album
Point - Vene film 2006, mis põhineb Grigori Rjažski samanimelisel lool
Dot on räppar Steni teine stuudioalbum.
Tochka on divisjoni raketisüsteem.
Tochka - Krasnojarski noorte ja subkultuuri ajakiri.
Tochka on klubi ja kontserdipaik Moskvas.
Punkt on üks morsekoodi märkidest.
Asi on lahingukohustuse kohas.
Punkt (töötlemine) - töötlemise, treimise, teritamise protsess.
POINT – teabe- ja analüütiline saade NTV-s.
Tochka on 2012. aastal asutatud Norilski linnast pärit rokkbänd.

Toponüüm

Kasahstan

Punkt- kuni 1992. aastani Ida-Kasahstani piirkonna Ulani rajoonis asuva Bayash Utepovi küla nimi.

Venemaa

Tochka on küla Vologda oblastis Šeksninski rajoonis.
Tochka on küla Novgorodi oblastis Volotovski rajoonis.
Tochka on küla Penza oblastis Lopatinski rajoonis.

Kas saate anda definitsiooni sellistele mõistetele nagu punkt ja joon?

Meie koolides ja ülikoolides neid määratlusi ei olnud, kuigi need on minu arvates võtmetähtsusega (ma ei tea, kuidas see teistes riikides on). Võime defineerida neid mõisteid kui "edukas ja ebaõnnestunud" ning mõelda, kas see on mõtlemise arendamiseks kasulik.

Maadleja

Kummaline, aga meile anti punkti määratlus. See on ruumis asuv abstraktne objekt (kokkulepe), millel pole mõõtmeid. See on esimene asi, mis meile koolis pähe löödi – punktil pole mõõtmeid, see on "nulldimensiooniline" objekt. Tingimuslik mõiste, nagu kõik muu geomeetrias.

Sirged jooned on veelgi keerulisemad. Esiteks on see rida. Teiseks on see teatud viisil ruumis paiknevate punktide kogum. Lihtsaimas määratluses on see sirge, mis on määratletud kahe punktiga, mida see läbib.

Medivh

Punkt on mingi abstraktne objekt. Punktil on koordinaadid, kuid mitte massi ega mõõtmeid. Geomeetrias algab kõik täpselt punktist, see on kõigi teiste kujundite algus. (Muide, ka kirjas, ilma punktita pole sõna algust). Sirge on kahe punkti vaheline kaugus.

Leonid Kutny

Saate määratleda kõike ja kõike. Kuid tekib küsimus: kas see määratlus "töötab" konkreetses teaduses? Selle põhjal, mis meil on, pole mõtet defineerida punkti, sirget ja tasapinda. Mulle väga meeldisid Arturi märkused, lisan, et punktil on palju omadusi: sellel pole pikkust, laiust, kõrgust, massi ja kaalu jne. Kuid punkti peamine omadus on see, et see näitab selgelt punkti asukohta. objekt, objekt tasapinnal, ruumis. Sellepärast ongi punkti vaja!Aga, tark lugeja ütleb, et siis saab raamatut, tooli, käekella ja muid asju punktina võtta. Täiesti õigus! Seetõttu pole mõtet punkti määratleda. Lugupidamisega L.A. Kutniy

Sirge on üks geomeetria põhimõisteid.

Punkt on paljudes keeltes kirjas kirjavahemärk.

Samuti on punkt üks morsekoodi sümbolitest

Nii palju definitsioone :D

Punkti, sirge, tasandi definitsioonid andsin mina juba 20. sajandi 80ndate lõpus ja 90ndate alguses. annan lingi:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328-leheküljelises köites kirjeldatakse nende mõistete kognitiivset olemust täiesti uues aspektis, mis on seletatud reaalse füüsilise maailmapildi ja mina eksisteerimise tunnetuse alusel, mis tähendab, et "mina" on olemas nagu universum. ise, kuhu ma kuulun, on olemas.

Kõike selles töös kirjutatut kinnitavad inimkonna teadmised loodusest ja selle omadustest, mis on ammu avastatud ja mida praegu veel uuritakse. Matemaatika on muutunud nii raskesti mõistetavaks ja otstarbekaks, et rakendada selle abstraktseid kujundeid tehnoloogiliste läbimurrete praktikas. Olles paljastanud alused, mis on alusprintsiibid, on isegi põhikooliõpilasele võimalik selgitada Universumi olemasolu tagamaid. Lugege ja tulge tõele lähemale. Julge, maailm, milles me eksisteerime, avaneb teie ees uues valguses.

Kas matemaatikas, geomeetrias on "punkti" mõiste definitsioon.

Mihhail Levin

"defineerimata mõiste" on definitsioon?

Tegelikult on just mõistete määramatus see, mis võimaldab matemaatikat erinevatele objektidele rakendada.

Matemaatik võib isegi öelda "punkti all pean silmas Eukleidilist tasapinda, tasapinna all - Eukleidilist punkti" - kontrollige kõiki aksioome ja hankige uus geomeetria või uued teoreemid.

Asi on selles, et termini A defineerimiseks peate kasutama terminit B. B defineerimiseks vajate terminit C. Ja nii edasi lõpmatuseni. Ja selleks, et sellest lõpmatusest päästetud, tuleb leppida mõne terminiga ilma definitsioonideta ja teiste definitsioonid nende peale üles ehitada. ©

Grigory Piven

Matemaatikas on Piven Grigory A punkt ruumiosa, mis on abstraktselt (peegeldatud) võetud minimaalse pikkusega lõiguks, mis on võrdne 1-ga ja mida kasutatakse ruumi teiste osade mõõtmiseks. Seetõttu valib inimene mugavuse, produktiivse mõõtmisprotsessi jaoks punkti skaala: 1mm, 1cm, 1m, 1km, 1a. e., 1 St. aastal. jne.

MKOOST SANATOORIUMI KOOL - INTERNAATIKA

Punkt ja geomeetrilised kujundid.

Teadustöö matemaatikas.

Lõpetanud: Anatoli Vassiljev, 3. klassi õpilane

Tööjuht:

Dubovaja Natalja Leonidovna,

Algkooli õpetaja.

Tommot, 2013

Lühiülevaade. ................................................... ...................2
Annotatsioon. ................................................... ................................3
Uurimisartikkel. ................................................... ......................6
Järeldus.................................................. ................................................7

Bibliograafia.

Lühiülevaade.

Ettekandes käsitletakse punkti ja geomeetrilisi kujundeid: joont, kiirt, lõiku, nurka, kolmnurka, nelinurka, ringi ja ringjoont, aga ka punkti rolli nende kujundite koostamisel ja ehitamisel.

Annotatsioon.

Uuringu eesmärk:saada teada, mida mõeldakse punkti mõistete all ja millest koosnevad geomeetrilised kujundid: sirge, kiir, nurk, nelinurk, kolmnurk, ring.

Õppeobjekt:punkt ja geomeetriliste kujundite määratlused: joon, kiir, nurk, nelinurk, kolmnurk, ring.

Õppeaine:punkt ja geomeetrilised kujundid: sirgjoon, kiir, nurk, nelinurk, kolmnurk, ring.

Uurimistöö hüpotees:punkt - ainus geomeetriline kujund ja kõik ülejäänud koosneb paljudest punktidest.

Uurimise eesmärgid:

õppematerjalid teemal: “Punkt ja geomeetrilised kujundid: sirge, kiir, nurk, nelinurk, kolmnurk, ring.”;
leida punkti, sirge, nelinurga, kolmnurga, nurga, kiire, ringi definitsioonid;
esitada oma analüüs ja mõtisklused teema kohta;
esitada selle uurimistöö põhjal ettekanne.

Uurimismeetodid:kirjanduse uurimine, töö sõnaraamatutega, uurimuse analüüs, järeldus.

Uurimisartikkel.

Matemaatika tekkis iidsetel aegadel inimeste praktilistest vajadustest. Matemaatika antiikaja üle ei vaidle keegi, kuid selle kohta, mis inimesi seda tegema ajendas, on teine arvamus. Tema sõnul panid matemaatika, aga ka luule, maalikunsti, muusika, teatri ja kunsti laiemalt ellu inimese vaimsed vajadused, tema, võib-olla veel täielikult teadvustamata, teadmiste- ja iluiha.

Kas olete kunagi mõelnud, mis on punkt ja millest koosnevad geomeetrilised kujundid?

Esmapilgul on siin kõik selge: punkt on punkt, sirge on sirge, mis siin võiks olla arusaamatut? Noh, ikkagi, kuidas seda selgitada kellelegi, kes seda üldse ei tea ja pealegi mõistab kõike väga sõna-sõnalt? Kas see on nii lihtne? Tuleb välja, et üldse mitte!

Töötundides, kui õppisime isotiiditehnikat, oli mul eeldus, et kõik geomeetrilised kujundid koosnevad punktidest. Just sellele teemale otsustasin oma uurimistöö pühendada.

"Ma tean, et ma ei tea midagi," ütles Sokrates ja püüdis vestluskaaslasega dialoogi kaudu välja selgitada, mida ta täpselt teab. Seetõttu otsustasin kõigepealt uurida, mida ma geomeetriliste kujundite kohta tean.

Niisiis, vaatame geomeetriliste kujundite definitsioone, mida minu uurimistöö teema osutab.

Punkt - see on märk, puudutuse jälg, süst millegi teravaga; väike ümar täpp, täpp; midagi väga väikest, vaevu nähtavat. Punkt on geomeetriline põhikuju

rida- see on palju punkte. Kui geomeetria konstrueerimise aluseks on ruumipunktide vahelise kauguse mõiste, siis sirget saab defineerida kui joont, mida mööda kahe punkti vaheline kaugus on kõige lühem. Otsene - on sirge, mis paikneb kõigi selle punktide suhtes võrdselt. Mõiste "joon" pärineb ladinakeelsest sõnast linum - "linane, linane niit".

_________________________________________________

Ray on osa sirgest, mis koosneb selle sirge kõigist punktidest, mis asuvad antud punkti ühel küljel.

Joonelõik on sirge osa, mis koosneb kõigist selle sirge punktidest, mis asuvad sellel kahe antud punkti vahel.

süstimine- see on kujund, mis koosneb nurga tipupunktist ja kahest erinevast sellest punktist laskuvast pooljoonest ehk nurga külgedest.

Nelinurk- see on joonis, mis koosneb neljast punktist ja neljast segmendist, mis ühendavad neid järjestikku.

Kolmnurk - kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu ühel sirgel ja on ühendatud segmentidega.

Ring -

Ring on kujund, mis koosneb kõigist antud punktist võrdsel kaugusel asuvatest punktidest. Suletud joon ümber ringi.

KOKKUVÕTE.

Mõisteid punkt ja sirgjoon leidub meie elus kõikjal ja igal pool. Näiteks kui vaadata vene keelt, siis punkt on täislauset eraldav kirjavahemärk (.). Ka vene keeles on sellised kirjavahemärgid nagu semikoolon, koolon, ellips.

Füüsikas on punkt suuruse konkreetne väärtus.

Geograafias käsitletakse punkti kui konkreetset kohta ruumis.

Bioloogias on see taimede kasvupunkt.

Keemias - külmumistemperatuur, keemistemperatuur, sulamistemperatuur.

Muusikas on täpp märk, mis on noodikirja üks põhielemente.

Matemaatikas on punkt geomeetriline põhikuju; kahe sirge lõikekoht, sirglõigu piir, kiire algus jne.

Mis tahes kujundi ehitamiseks vajame punkti. Sirge definitsiooni põhjalJOON ON PALJU PUNKTID, ja definitsioonidest teame, et iga kujund on ehitatud punkti ja sirge abil, seetõttu koosnevad kõik kujundid punktidest.

Meie elus on täpp süstimismärk, väike täpike.

Minu uurimistöö viib järeldusele, et punkt on ainus geomeetriline kujund. Kõik algab punktist ja lõpeb sellega ning pole veel teada, milline avamine see alguseks saab.

Kirjandus:

1 .Aksenova M.D. Entsüklopeedia lastele. T.11. - Matemaatika, M .: Avanta +, 1999. Lk 575.

2 .Atanasyan L.S., geomeetria, 7-9: õpik haridusasutustele / 12. väljaanne. - M.: Valgustus, 2002. Lk. 5, 146, 177,178.

3. Atanasyan L.S., geomeetria, 10-11: õpik haridusasutustele / 15. väljaanne, lisa. - M.: Haridus, 2006. Lk.5-7.

4 .Vinogradov I.M., matemaatiline entsüklopeedia / M.: Nõukogude entsüklopeedia. lk 410, 722.

5 .Jevgenjeva A.P. Vene keele sõnaraamat. - M.: Valgustus, 1984.

6 .Kabardin O.F. Füüsika: võrdlusmaterjalid. - M.: Haridus, 1991.

7 .Kramer G. Statistika matemaatilised meetodid, tlk inglise keelest, 2. tr., M., 1975. a.

8 .Lapatukhin M.S. Vene keele kooli seletav sõnaraamat. - M.: Haridus, 1981.

9 .Prohhorov A.M. Suur entsüklopeediline sõnastik. - M.: Haridus, 1998.

10. Prokhorov Yu.V. Matemaatiline entsüklopeediline sõnaraamat. - M.: Haridus, 1998.

11 .Savin A.P. Noore matemaatiku entsüklopeediline sõnaraamat. - M.: Pedagoogika, 1985, lk.69.

12 .Sharygin I.F. visuaalne geomeetria. - M.: Haridus, 1995.

Kriitilise punkti kontseptsiooni saab üldistada diferentseeruvate ja suvaliste kollektorite diferentseeritavate vastenduste korral f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\kuni M^(m)). Sel juhul on kriitilise punkti määratlus see, et kaardistuse Jacobi maatriksi auaste f (\displaystyle f) see on väiksem kui maksimaalne võimalik väärtus, mis on võrdne .

Funktsioonide ja kaardistuste kriitilised punktid mängivad olulist rolli matemaatika valdkondades, nagu diferentsiaalvõrrandid, variatsioonide arvutamine, stabiilsusteooria, aga ka mehaanika ja füüsika. Sujuva kaardistamise kriitiliste punktide uurimine on katastroofiteooria üks põhiküsimusi. Kriitilise punkti mõiste on üldistatud ka lõpmatumõõtmelistel funktsiooniruumidel defineeritud funktsionaalide puhul. Selliste funktsionaalide kriitiliste punktide leidmine on variatsioonide arvutamise oluline osa. Funktsionaalide (mis omakorda on funktsioonid) kriitilisi punkte nimetatakse äärmuslased.

Ametlik määratlus

kriitiline(või eriline või statsionaarne) pidevalt diferentseeruva kaardistuse punkt f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) nimetatakse punkti, kus selle kaardistuse diferentsiaal f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) on an degenereerunud vastavate puutujaruumide lineaarne teisendus T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) ja T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), st teisenduskujutise mõõde f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) väiksem min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). Koordinaatide tähises jaoks n = m (\displaystyle n=m) see tähendab, et jakobi on kaardistamise jacobi maatriksi determinant f (\displaystyle f), mis koosneb kõigist osatuletistest ∂ f j ∂ x i (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- kaob ühel hetkel. Ruumid ja R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m)) selles määratluses võib asendada sortidega N n (\displaystyle N^(n)) ja M m (\displaystyle M^(m)) samad mõõdud.

Sardi teoreem

Kriitilises punktis kuvatavat väärtust nimetatakse selleks kriitiline. Sardi teoreemi kohaselt mis tahes piisavalt sujuva kaardistamise kriitiliste väärtuste kogum f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) on null Lebesgue'i mõõt (kuigi kriitilisi punkte võib olla suvaline arv, näiteks identse kaardistuse jaoks on iga punkt kriitiline).

Pidevad järjestuse kaardistused

Kui punkti läheduses x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) pidevalt diferentseeruva kaardistuse auaste f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) on võrdne sama arvuga r (\displaystyle r), siis selle punkti läheduses x 0 (\displaystyle x_(0)) Keskpunktis on kohalikud koordinaadid x 0 (\displaystyle x_(0)), ja selle pildi naabruses - punktid y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- on olemas kohalikud koordinaadid (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) keskendunud f (\displaystyle f) on antud suhetega:

Y 1 = x 1, …, y r = x r, y r + 1 = 0, …, y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)

Eelkõige siis, kui r = n = m (\kuvastiil r=n=m), siis on olemas kohalikud koordinaadid (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) keskendunud x 0 (\displaystyle x_(0)) ja kohalikud koordinaadid (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) keskendunud y 0 (\displaystyle y_(0)), mida nad kuvavad f (\displaystyle f) on identne.

Toimub m = 1

Juhul, kui see määratlus tähendab, et gradient ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) kaob sel hetkel.

Oletame, et funktsioon f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) selle siledusklass on vähemalt C 3 (\displaystyle C^(3)). Funktsiooni kriitiline punkt f helistas mitte-mandunud, kui see sisaldab hessi keelt | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) nullist erinev. Mittedegenereerunud kriitilise punkti läheduses on koordinaadid, milles funktsioon toimib f on ruutnormaalkujuga (Morse'i lemma).

Morse lemma loomulik üldistus degenereerunud kriitiliste punktide jaoks on Toujroni teoreem: funktsiooni degenereerunud kriitilise punkti naabruses f, diferentseeruv lõpmatu arv kordi () piiratud kordsusega µ (\displaystyle \mu ) on olemas koordinaatsüsteem, milles sujuv funktsioon on astmepolünoomi kujul μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(nagu P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1) (x)) võib võtta funktsiooni Taylori polünoomi f (x) (\displaystyle f(x)) algsete koordinaatide punktis) .

Kell m = 1 (\displaystyle m = 1) on mõttekas küsida funktsiooni maksimumi ja miinimumi kohta. Matemaatilise analüüsi üldtuntud väite kohaselt on pidevalt diferentseeruv funktsioon f (\displaystyle f), määratletud kogu ruumis R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) või oma avatud alamhulgas, võib saavutada kohaliku maksimumi (miinimum) ainult kriitilistes punktides ja kui punkt on mittedegenereerunud, siis maatriks (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2))) \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) peab olema selles negatiivselt (positiivselt) kindel. Viimane on ka piisav tingimus lokaalseks maksimumiks (vastavalt miinimumiks) .

Toimub n = m = 2

Millal n=m=2 meil on kaardistus f tasapind tasapinnale (või kahemõõtmeline kollektor teisele kahemõõtmelisele kollektorile). Oletame, et ekraan f diferentseeruv lõpmatu arv kordi ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). Sel juhul tüüpilised kaardistamise kriitilised punktid f on need, milles Jacobi maatriksi determinant on võrdne nulliga, kuid selle järk on võrdne 1-ga ja seega ka kaardistamise diferentsiaal f on sellistes punktides ühemõõtmeline tuum. Teine tüüpilisuse tingimus on see, et pöördkujutise tasapinnal vaadeldava punkti läheduses moodustab kriitiliste punktide hulk korrapärase kõvera. S ja peaaegu kõigis kõvera punktides S tuum ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) ei puuduta S, samas kui punktid, kus see nii ei ole, on isoleeritud ja nende puutuja on esimest järku. Esimest tüüpi kriitilisi punkte nimetatakse kortsupunktid ja teist tüüpi kogunemispunktid. Voldid ja voltimised on ainsad tasapinnalise kaardistamise singulaarsuse tüübid, mis on väikeste häiringute suhtes stabiilsed: väikese häire korral liiguvad voltimis- ja voltimispunktid koos kõvera deformatsiooniga vaid veidi. S, kuid ei kao, ei mandu ega lagune muudeks singulaarsusteks.

Vaata ka: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

Matemaatikas on kaks ja pool aastatuhandet kasutatud dimensioonita punkti abstraktsiooni, mis ei ole vastuolus mitte ainult terve mõistusega, vaid ka teadmistega meid ümbritseva maailma kohta, mis on saadud sellistest teadustest nagu füüsika, keemia, kvantmehaanika ja informaatika.

Erinevalt teistest abstraktsioonidest ei idealiseeri dimensioonita matemaatilise punkti abstraktsioon tegelikkust, lihtsustades selle tunnetust, vaid moonutab seda teadlikult, andes sellele vastupidise tähenduse, mis eelkõige muudab kõrgema mõõtmega ruumide mõistmise ja uurimise põhimõtteliselt võimatuks!

Dimensioonita punkti abstraktsiooni kasutamist matemaatikas võib võrrelda nullväärtusega baasvaluuta kasutamisega majandusarvutustes. Õnneks majandus sellele ei mõelnud.

Tõestagem mõõtmeteta punkti abstraktsiooni absurdsust.

Teoreem. Matemaatiline punkt on mahukas.

Tõestus.

Alates matemaatikast

Punkti_suurus = 0,

Lõpliku (mittenull) pikkusega segmendi jaoks on meil olemas

Segmendi_suurus = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

Lõigu saadud nullsuurus selle moodustavate punktide jadana on vastuolus lõigu pikkuse lõplikkuse tingimusega. Lisaks on nullpunkti suurus absurdne selle poolest, et nullide summa ei sõltu liikmete arvust, st "null" punktide arv segmendis ei mõjuta lõigu suurust.

Seetõttu on algne eeldus matemaatilise punkti nulli suuruse kohta VALE.

Seega võib väita, et matemaatilise punkti suurus on nullist erinev (lõplik). Kuna punkt ei kuulu mitte ainult lõigu, vaid ka ruumi, milles segment asub, on sellel ruumi mõõde, st matemaatiline punkt on mahuline. Q.E.D.

Tagajärg.

Ülaltoodud tõestus, mis on teostatud lasteaia noorema rühma matemaatilise aparatuuri kaasamisel, inspireerib uhkust preestrite ja "kõigi teaduste kuninganna" poolehoidjate piiritu tarkuse üle, kes suutsid aastatuhandeid kanda ja säilitada. järglased oma algsel kujul inimkonna ürgse pettekujutelma.

Arvustused

Kallis Aleksander! Ma pole matemaatikas tugev, aga äkki SINA oskad öelda, kus ja kelle poolt on märgitud, et punkt võrdub nulliga? Teine asi on see, et sellel on lõpmata väike väärtus, kuni kokkuleppeni, kuid mitte üldse null. Seega võib iga segmenti lugeda nulliks, kuna on veel üks segment, mis sisaldab jämedalt öeldes lõpmatu arvu algsegmente. Võib-olla ei tohiks me matemaatikat ja füüsikat segamini ajada. Matemaatika on olemise teadus, füüsika on olemasolev. Lugupidamisega.

Mainisin Achilleust kaks korda üksikasjalikult ja mitu korda möödaminnes:
"Miks Achilleus kilpkonnale järele ei jõua"
"Achilleus ja kilpkonn – paradoks kuubis"

Võib-olla on Zenoni paradoksi üks lahendus see, et ruum on diskreetne ja aeg on pidev. Ta pidas teie jaoks võimalikuks, et mõlemad on diskreetsed. Keha võib mõnda aega ruumis viibida. Kuid see ei saa olla samal ajal erinevates kohtades. See kõik on muidugi amatöörlikkus, nagu kogu meie dialoog. Lugupidamisega.
Muide, kui punkt on 3D, siis millised on selle mõõtmed?

Aja diskreetsus tuleneb näiteks apooriast "Nool". "Üheaegselt erinevates kohtades viibimine" saab olla ainult elektron füüsikutele, kes põhimõtteliselt ei mõista ega aktsepteeri ei eetri ega 4-mõõtmelise ruumi struktuuri. Muid näiteid selle nähtuse kohta ma ei tea. Ma ei näe meie vestluses mingit "amatörismi". Vastupidi, kõik on äärmiselt lihtne: punkt on kas mõõtmeteta või omab suurust; järjepidevus ja lõpmatus kas eksisteerivad või ei ole. Kolmandat ei anta – kas TÕENE või VALE! Matemaatika põhialused on kahjuks üles ehitatud valedele dogmadele, mis võeti vastu teadmatusest 2500 aastat tagasi.

Punkti suurus sõltub lahendatava ülesande seisukorrast ja nõutavast täpsusest. Näiteks kui kella jaoks kavandatakse hammasratast, saab täpsust piirata aatomi suurusega, st kaheksa kümnendkohaga. Aatom ise on siin matemaatilise punkti füüsikaline analoog. Kuskil võib vaja minna 16-tähemärgilist täpsust; siis hakkab punkti rolli täitma eetriosake. Pange tähele, et jutt väidetavalt "lõpmatust" täpsusest muutub praktikas pööraseks jaburaks või pehmelt öeldes absurdiks.

Ma ei saa siiani aru: kas point on olemas? Kui see eksisteerib objektiivselt, järelikult on sellel teatud füüsiline väärtus, kui ta eksisteerib subjektiivselt, meie mõistuse abstraktsiooni kujul, siis on sellel matemaatiline väärtus. Nullil pole MIDAGI, seda pole olemas, see on abstraktne Olematuse määratlus matemaatikas või tühjus füüsikas. Punkt ei eksisteeri iseenesest väljaspool suhet. Niipea, kui ilmub teine punkt, ilmub segment - Midagi jne. Seda teemat saab lõputult arendada. Koos uv.

Mulle tundus, et tõin hea näite, aga ilmselt mitte piisavalt üksikasjalik. Objektiivselt on maailm, mida teadus tunneb ja praegu tunneb see peamiselt matemaatiliste meetoditega. Matemaatika tunneb maailma matemaatilisi mudeleid luues. Nende mudelite koostamiseks kasutatakse põhilisi matemaatilisi abstraktsioone, nagu punkt, joon, pidevus, lõpmatus. Need abstraktsioonid on põhilised, kuna neid ei ole enam võimalik edasi jagada ja lihtsustada. Kõik põhiabstraktsioonid võivad olla objektiivse reaalsusega piisavad (tõene) või mitte (vale). Kõik ülaltoodud abstraktsioonid on esialgu valed, kuna need on vastuolus viimaste teadmistega reaalse maailma kohta. Seetõttu takistavad need abstraktsioonid tegeliku maailma õiget mõistmist. Sellega võiks kuidagi leppida, kui teadus uuris kolmemõõtmelist maailma. Dimensioonita punkti ja pidevuse abstraktsioonid muudavad aga kõik kõrgema dimensiooniga maailmad põhimõtteliselt tundmatuks!

Universumi telliskivi – punkt – ei saa olla tühimik. Kõik teavad, et tühjusest ei tule midagi. Füüsikud, kuulutades eetrit olematuks, täitsid maailma tühjusega. Usun, et matemaatika oma tühja punktiga ajas nad selle lolluse juurde. Ma ei räägi 4D-st kõrgema mõõtmega maailmade aatomitest-punktidest. Niisiis, iga dimensiooni puhul mängib jagamatu (tinglikult) matemaatilise punkti rolli selle maailma (ruumi, mateeria) (tinglikult) jagamatu aatom. 3D jaoks - füüsiline aatom, 4D jaoks - eetriosake, 5D jaoks - astraaatom, 6D jaoks - mentaalne aatom jne. Lugupidamisega

Niisiis, kas universumi tellisel on absoluutväärtus? Ja mida see teie arvates eeterlikus või mentaalses maailmas esindab. Ma kardan küsida maailmade endi kohta. Huviga...

Eetriosakesed (need pole aatomid!) on elektron-positroni paarid, milles osakesed ise pöörlevad üksteise suhtes valguse kiirusel. See selgitab täielikult kõigi nukleonide ehitust, elektromagnetiliste võnkumiste levikut ja kõiki nn füüsilise vaakumi mõjusid. Mõtteaatomi ehitus on kellelegi teadmata. On ainult tõendeid selle kohta, et KÕIK kõrgeimad maailmad on materiaalsed, st neil on oma aatomid. Kuni absoluudi asjani. Sa oled siiski irooniline. Kas ussiaugud ja suured plahvatused tunduvad teile usutavamad?

Mis siin irooniat on, lihtsalt niisuguse infolaviini peale veidi jahmunud. Mina, erinevalt sinust, ei ole professionaal ja mul on raske ruumide viie- või kuuemõõtmelisuse kohta midagi öelda. Ma olen kõigest meie pika kannatuse pärast... Niipalju kui ma aru saan, olete te materiaalse järjepidevuse vastu ja asi on selles, et teil on tõesti olemasolev "demokraatlik" aatom. "Universumi telliskivi". Võib-olla olin tähelepanematu, kuid siiski ärge kartke korrata, milline on selle struktuur, füüsikalised parameetrid, mõõtmed jne.
Ja vasta ka, kas üksus eksisteerib iseenesest, kui selline, väljaspool mingeid suhteid? Aitäh.