Kõverjoonelise liikumise määratlus ja valemid. Tunni kokkuvõte "Sirgjooneline ja kõverjooneline liikumine

See teema keskendub keerukamale liikumise tüübile − KURVILINE. Kui lihtne on ära arvata kõverjooneline on liikumine, mille trajektooriks on kõverjoon. Ja kuna see liikumine on keerulisem kui sirgjooneline, siis pole selle kirjeldamiseks enam piisavalt füüsikalisi suurusi, mis olid loetletud eelmises peatükis.

Kõverjoonelise liikumise matemaatiliseks kirjeldamiseks on 2 suuruste rühma: lineaarne ja nurk.

LINEAARSED VÄÄRTUSED.

1. liigub. Jaotises 1.1 me kontseptsiooni erinevust ei täpsustanud

Joonis 1.3 teed (kaugused) ja nihke mõiste,

sest sirgjoonelisel liikumisel need

erinevused ei mängi põhirolli ja

Need väärtused on tähistatud sama tähega

ulguma S. Kui aga käsitletakse kõverjoonelist liikumist,

see küsimus vajab selgitamist. Mis on siis tee

(või vahemaa)? - See on trajektoori pikkus

liikumine. See tähendab, kui jälgite trajektoori

keha liikumine ja mõõtmine (meetrites, kilomeetrites jne), saate väärtuse, mida nimetatakse teekonnaks (või vahemaaks) S(vt joonis 1.3). Seega on tee skalaarväärtus, mida iseloomustab ainult arv.

Joon.1.4 Ja nihe on lühim vahemaa

tee alguspunkt ja tee lõpp-punkt. Ja sellepärast

liikumisel on algusest peale range suund

Lõpuni on see vektorsuurus

ja seda ei iseloomusta mitte ainult arvväärtus, vaid ka

suunas (joon.1.3). Lihtne on arvata, et kui

keha liigub mööda suletud rada, siis kuni

kui see naaseb oma algasendisse, on nihe võrdne nulliga (vt joonis 1.4).

2 . Liini kiirus. Punktis 1.1 andsime selle suuruse määratluse ja see jääb kehtima, kuigi toona me ei täpsustanud, et see kiirus on lineaarne. Mis on lineaarkiiruse vektori suund? Pöördume joonise 1.5 juurde. Siin on fragment

keha kõverjooneline trajektoor. Igasugune kõverjoon on ühendus erinevate ringide kaare vahel. Joonisel 1.5 on neist ainult kaks: ring (O 1, r 1) ja ring (O 2, r 2). Keha mööda selle ringi kaare läbimise hetkel muutub selle keskpunkt ajutiseks pöörlemiskeskuseks, mille raadius on võrdne selle ringi raadiusega.

Vektorit, mis on tõmmatud pöörlemiskeskmest punktini, kus keha hetkel asub, nimetatakse raadiusvektoriks. Joonisel 1.5 on raadiusvektorid kujutatud vektoritega ja . Sellel joonisel on näidatud ka lineaarkiiruse vektorid: lineaarkiiruse vektor on alati suunatud liikumissuunalise trajektoori suhtes tangentsiaalselt. Seetõttu on vektori ja raadiusvektori vaheline nurk, mis on tõmmatud trajektoori antud punkti, alati 90°. Kui keha liigub püsiva lineaarkiirusega, siis vektori moodul ei muutu, samas kui selle suund muutub kogu aeg sõltuvalt trajektoori kujust. Joonisel 1.5 kujutatud juhul toimub liikumine muutuva lineaarkiirusega, seega muutub vektori moodul. Kuid kuna vektori suund muutub kõverjoonelise liikumise ajal alati, järeldub sellest väga oluline järeldus:

Kõverjoonelisel liikumisel on alati kiirendus! (Isegi kui liikumine toimub konstantse lineaarkiirusega.) Pealegi nimetame antud juhul kõnealust kiirendust edaspidi lineaarseks kiirenduseks.

3 . Lineaarne kiirendus. Tuletan meelde, et kiirendus tekib siis, kui kiirus muutub. Vastavalt sellele ilmneb lineaarkiirendus lineaarkiiruse muutumise korral. Ja lineaarne kiirus kõverjoonelise liikumise ajal võib muuta nii moodulit kui ka suunda. Seega jagatakse täislineaarne kiirendus kaheks komponendiks, millest üks mõjutab vektori suunda ja teine selle moodulit. Arvestage neid kiirendusi (joonis 1.6). Sellel joonisel

riis. 1.6

keha liigub mööda ringikujulist rada, mille pöörlemiskese on punktis O.

Kiirendust, mis muudab vektori suunda, nimetatakse normaalne ja on tähistatud. Seda nimetatakse normaalseks, kuna see on suunatud puutujaga risti (tavaliselt), st. mööda raadiust pöörde keskmesse . Seda nimetatakse ka tsentripetaalseks kiirenduseks.

Kiirendust, mis muudab vektori moodulit, nimetatakse tangentsiaalne ja on tähistatud. See asub puutujal ja võib olla suunatud nii vektori suunas kui ka sellele vastupidises suunas. :

Kui liini kiirus suureneb, siis > 0 ja nende vektorid on kaassuunalised;

Kui liini kiirus siis väheneb< 0 и их вектора противоположно

suunatud.

Seega moodustavad need kaks kiirendust üksteisega alati täisnurga (90º) ja on kogu lineaarkiirenduse komponendid, s.o. lineaarne kogukiirendus on normaal- ja tangentsiaalse kiirenduse vektorsumma:

Märgin, et antud juhul räägime vektori summast, aga mitte mingil juhul skalaarsummast. Arvväärtuse leidmiseks, teades ja , on vaja kasutada Pythagorase teoreemi (kolmnurga hüpotenuusi ruut on arvuliselt võrdne selle kolmnurga jalgade ruutude summaga):

(1.8).

See tähendab:

(1.9).

Milliste valemite järgi arvutada ja arvestada veidi hiljem.

NURKVÄÄRTUSED.

1 . Pöörlemisnurk φ . Kõverjoonelisel liikumisel ei liigu keha mitte ainult mingit rada ja sooritab liikumist, vaid ka pöörleb läbi teatud nurga (vt joonis 1.7 (a)). Seetõttu võetakse sellise liikumise kirjeldamiseks kasutusele suurus, mida nimetatakse pöördenurgaks, mida tähistatakse kreeka tähega φ (loe "fi"). SI-süsteemis mõõdetakse pöördenurka radiaanides (tähistatud "rad"). Tuletan meelde, et üks täispööre võrdub 2π radiaaniga ja arv π on konstant: π ≈ 3,14. joonisel fig. 1.7 (a) näitab keha trajektoori mööda raadiusega ringi r mille keskpunkt on punktis O. Pöördenurk ise on nurk keha raadiusvektorite vahel mõnel ajahetkel.

2 . Nurkkiirus ω – see on väärtus, mis näitab pöördenurga muutumist ajaühiku kohta. (ω - kreeka täht, loe "omega".) Joonisel fig. 1.7 (b) näitab materjali punkti asukohta, mis liigub mööda ringikujulist rada, mille kese on punktis O, teatud ajavahemike järel Δt . Kui nurgad, mille kaudu keha nende intervallide jooksul pöörleb, on samad, siis on nurkkiirus konstantne ja seda liikumist võib lugeda ühtlaseks. Ja kui pöördenurgad on erinevad, siis on liikumine ebaühtlane. Ja kuna nurkkiirus näitab, mitu radiaani

keha pöördus ühe sekundiga, siis on selle mõõtühikuks radiaan sekundis

(tähistatud " rad/s »).

riis. 1.7

a). b). Δt

Δt

O φ O Δt

3 . Nurkkiirendus ε on väärtus, mis näitab, kuidas see ajaühikus muutub. Ja kuna nurkkiirendusest ε ilmub nurkkiiruse muutumisel ω , siis võime järeldada, et nurkkiirendus tekib ainult ebaühtlase kõverjoonelise liikumise korral. Nurkkiirenduse ühik on " rad/s 2 ” (radiaan sekundi ruudus).

Seega saab tabelit 1.1 täiendada veel kolme väärtusega:

Tabel 1.2

№	füüsiline kogus	koguse määramine	koguse tähistus	üksus
1.	tee	on vahemaa, mille keha läbib liikumise ajal	S	m (meeter)
2.	kiirust	on vahemaa, mille keha läbib ajaühikus (nt 1 sekund)	υ	m/s (meeter sekundis)
3.	kiirendus	on hulk, mille võrra keha kiirus ajaühikus muutub	a	m/s 2 (meeter sekundis ruudus)
4.	aega		t	s (teine)
5.	pöördenurk	on nurk, mille kaudu keha kõverjoonelise liikumise käigus pöörleb	φ	rad (radiaan)
6.	nurkkiirus	on nurk, mille keha ajaühikus (näiteks 1 sekundi jooksul) pöörab.	ω	rad/s (radiaani sekundis)
7.	nurkkiirendus	on suurus, mille võrra nurkkiirus muutub ajaühikus	ε	rad/s 2 (radiaan sekundi ruudus)

Nüüd saate otse minna igat tüüpi kõverjoonelise liikumise kaalumisele ja neid on ainult kolm.

Selle tunni abil saate iseseisvalt uurida teemat „Sirgjooneline ja kõverjooneline liikumine. Keha liikumine ringjoonel konstantse moodulkiirusega. Esiteks iseloomustame sirgjoonelist ja kõverjoonelist liikumist, võttes arvesse, kuidas seda tüüpi liikumiste puhul on kiirusvektor ja kehale rakendatav jõud seotud. Järgmisena käsitleme erijuhtumit, kui keha liigub mööda ringi konstantse moodulkiirusega.

Eelmises tunnis käsitlesime universaalse gravitatsiooni seadusega seotud küsimusi. Tänase tunni teema on selle seadusega tihedalt seotud, käsitleme keha ühtlast liikumist ringis.

Varem me ütlesime seda liikumine - see on keha asukoha muutumine ruumis teiste kehade suhtes aja jooksul. Liikumist ja liikumissuunda iseloomustab muuhulgas kiirus. Kiiruse muutumine ja liikumise tüüp ise on seotud jõu toimega. Kui kehale mõjub jõud, muudab keha oma kiirust.

Kui jõud on suunatud paralleelselt keha liikumisega, siis selline liikumine on otsekohene(joonis 1).

Riis. 1. Sirgjooneline liikumine

kõverjooneline selline liikumine toimub siis, kui keha kiirus ja sellele kehale rakendatav jõud on suunatud üksteise suhtes teatud nurga all (joonis 2). Sel juhul muudab kiirus oma suunda.

Riis. 2. Kurviline liikumine

Niisiis, kl sirgjooneline liikumine kiirusvektor on suunatud kehale mõjuva jõuga samas suunas. AGA kõverjooneline liikumine on selline liikumine, kui kiirusvektor ja kehale rakendatav jõud asetsevad üksteise suhtes mingi nurga all.

Vaatleme kõverjoonelise liikumise erijuhtu, kui keha liigub ringjoonel absoluutväärtuses konstantse kiirusega. Kui keha liigub ringis püsiva kiirusega, muutub ainult kiiruse suund. Modulo see jääb konstantseks, kuid kiiruse suund muutub. Selline kiiruse muutus toob kaasa kiirenduse olemasolu kehas, mida nimetatakse tsentripetaalne.

Riis. 6. Liikumine mööda kõverat rada

Kui keha liikumise trajektoor on kõver, saab seda kujutada liikumiste kogumina piki ringikaare, nagu on näidatud joonisel fig. 6.

Joonisel fig. 7 näitab, kuidas muutub kiirusvektori suund. Kiirus sellise liikumise ajal on suunatud tangentsiaalselt ringile, mille kaaret mööda keha liigub. Seega muutub selle suund pidevalt. Isegi kui mooduli kiirus jääb konstantseks, põhjustab kiiruse muutus kiirenduse:

Sel juhul kiirendus suunatakse ringi keskpunkti poole. Seetõttu nimetatakse seda tsentripetaalseks.

Miks on tsentripetaalne kiirendus suunatud tsentri poole?

Tuletage meelde, et kui keha liigub mööda kõverat rada, on selle kiirus tangentsiaalne. Kiirus on vektorsuurus. Vektoril on arvväärtus ja suund. Keha liikumise kiirus muudab pidevalt oma suunda. See tähendab, et erinevalt sirgjoonelisest ühtlasest liikumisest ei ole kiiruste erinevus erinevatel ajahetkedel võrdne nulliga ().

Seega on meil teatud aja jooksul kiiruse muutus. Seos on kiirendus. Jõuame järeldusele, et isegi kui kiirus absoluutväärtuses ei muutu, on ringjoonel ühtlast liikumist sooritaval kehal kiirendus.

Kuhu see kiirendus on suunatud? Kaaluge joonist fig. 3. Mõni keha liigub kõverjooneliselt (kaares). Keha kiirus punktides 1 ja 2 on tangentsiaalne. Keha liigub ühtlaselt, st kiiruste moodulid on võrdsed: , kuid kiiruste suunad ei lange kokku.

Riis. 3. Keha liikumine ringis

Lahutage kiirusest ja saage vektor . Selleks tuleb ühendada mõlema vektori algused. Paralleelselt viime vektori vektori algusesse. Ehitame kolmnurga. Kolmnurga kolmas külg on kiiruse erinevuse vektor (joonis 4).

Riis. 4. Kiiruse erinevuse vektor

Vektor on suunatud ringi suunas.

Vaatleme kolmnurka, mille moodustavad kiirusvektorid ja erinevuse vektor (joonis 5).

Riis. 5. Kiirusvektoritega moodustatud kolmnurk

See kolmnurk on võrdhaarne (kiirusmoodulid on võrdsed). Seega on nurgad aluses võrdsed. Kirjutame kolmnurga nurkade summa võrrandi:

Uurige, kuhu on suunatud kiirendus trajektoori antud punktis. Selleks hakkame punkti 2 punktile 1 lähemale tooma. Sellise piiramatu hoolsusega kipub nurk olema 0 ja nurk kuni. Kiirusemuutuse vektori ja kiirusvektori enda vaheline nurk on . Kiirus on suunatud tangentsiaalselt ja kiiruse muutumise vektor on suunatud ringi keskpunkti poole. See tähendab, et ka kiirendus on suunatud ringi keskpunkti poole. Seetõttu nimetatakse seda kiirendust tsentripetaalne.

Kuidas leida tsentripetaalset kiirendust?

Mõelge trajektoorile, mida mööda keha liigub. Sel juhul on tegemist ringikaarega (joonis 8).

Riis. 8. Keha liikumine ringis

Joonisel on kaks kolmnurka: kolmnurk, mille moodustavad kiirused, ja kolmnurk, mille moodustavad raadiused ja nihke vektor. Kui punktid 1 ja 2 on väga lähedal, on nihkevektor sama, mis teevektor. Mõlemad kolmnurgad on võrdhaarsed, millel on samad tipunurgad. Seega on kolmnurgad sarnased. See tähendab, et kolmnurkade vastavad küljed on samas suhtes:

Nihe võrdub kiiruse ja aja korrutisega: . Selle valemi asendamisel saate tsentripetaalse kiirenduse jaoks järgmise avaldise:

Nurkkiirus tähistatakse kreeka tähega omega (ω), see näitab, millise nurga all keha ajaühikus pöörleb (joon. 9). See on kaare suurus kraadides, mille keha mõne aja jooksul läbib.

Riis. 9. Nurkkiirus

Pange tähele, et kui jäik keha pöörleb, on selle keha mis tahes punkti nurkkiirus konstantne. Punkt on pöörlemiskeskmele lähemal või kaugemal - see ei oma tähtsust, see tähendab, et see ei sõltu raadiusest.

Mõõtühikuks on sel juhul kas kraadid sekundis () või radiaanid sekundis (). Sageli ei kirjutata sõna "radiaan", vaid lihtsalt kirjutatakse. Näiteks leiame, milline on Maa nurkkiirus. Maa teeb täistiiru ühe tunniga ja sel juhul võib öelda, et nurkkiirus on võrdne:

Pöörake tähelepanu ka nurk- ja lineaarkiiruste vahelisele suhtele:

Lineaarkiirus on otseselt võrdeline raadiusega. Mida suurem on raadius, seda suurem on lineaarkiirus. Seega, liikudes pöörlemiskeskmest eemale, suurendame oma lineaarkiirust.

Tuleb märkida, et ringjoonel konstantsel kiirusel liikumine on liikumise erijuht. Samas võib ringliikumine olla ka ebaühtlane. Kiirus võib muutuda mitte ainult suunas ja jääda samaks absoluutväärtuses, vaid muutuda ka oma väärtuses, st lisaks suuna muutmisele toimub ka kiirusmooduli muutus. Sel juhul räägime nn kiirendatud ringliikumisest.

Mis on radiaan?

Nurkade mõõtmiseks on kaks ühikut: kraadid ja radiaanid. Füüsikas on reeglina peamine nurga radiaanmõõt.

Ehitame kesknurga , mis tugineb pikkusega kaarele.

Kiiruse ja kiirenduse mõisted on loomulikult üldistatud juhul, kui materiaalne punkt liigub mööda kõverjooneline trajektoor. Liikuva punkti asukoha trajektooril annab raadiusvektor r mingist kindlast punktist siia punkti tõmmatud O, näiteks päritolu (joonis 1.2). Lase hetkel t materiaalne punkt on paigas M raadiusvektoriga r = r (t). Mõne aja pärast D t, liigub see asendisse M 1 raadiusega - vektor r 1 = r (t+ D t). Raadius - materiaalse punkti vektor saab juurdekasvu, mille määrab geomeetriline erinevus D r = r 1 - r . Keskmine kiirus aja jooksul D t nimetatakse koguseks

Keskmise kiiruse suund V kolmap tikud vektori D suunaga r .

Keskmine kiiruspiirang punktis D t® 0, st raadiuse tuletis - vektor r aja järgi

(1.9)

helistas tõsi või vahetu materjali punkti kiirus. Vektor V suunatud tangentsiaalselt liikuva punkti trajektoorile.

kiirendus a nimetatakse vektoriks, mis on võrdne kiirusvektori esimese tuletisega V ehk raadiuse teine tuletis – vektor r aja järgi:

(1.10)

(1.11)

Pange tähele järgmist formaalset analoogiat kiiruse ja kiirenduse vahel. Suvalisest fikseeritud punktist O 1 joonistame kiirusvektori V liikuv punkt igal võimalikul ajal (joon. 1.3).

Vektori lõpp V helistas kiiruspunkt. Kiiruspunktide asukoht on kõver, mida nimetatakse kiirushodograaf. Kui materiaalne punkt kirjeldab trajektoori, liigub sellele vastav kiiruspunkt piki hodograafi.

Riis. 1.2 erineb joonisest fig. 1.3 ainult nimetuste järgi. Raadius – vektor r asendatakse kiirusvektoriga V , materiaalne punkt - kiiruspunktini, trajektoor - hodograafini. Matemaatilised tehted vektoriga r kiiruse leidmisel ja üle vektori V kiirenduse leidmisel on täiesti identsed.

Kiirus V suunatud piki puutujat. Niisiis kiirendusa suunatakse tangentsiaalselt kiirushodograafile. Võib öelda, et kiirendus on kiirpunkti liikumise kiirus piki hodograafi. Seega

Sõltuvalt trajektoori kujust jagatakse liikumine sirgjooneliseks ja kõverjooneliseks. Reaalses maailmas tegeleme kõige sagedamini kõverjoonelise liikumisega, kui trajektooriks on kõverjoon. Selliseks liikumiseks on näiteks horisondi suhtes nurga all paisatud keha trajektoor, Maa liikumine ümber Päikese, planeetide liikumine, kella osuti ots sihverplaadil jne.

Joonis 1. Trajektoor ja nihe kõverjoonelisel liikumisel

Definitsioon

Kurviline liikumine on liikumine, mille trajektooriks on kõverjoon (näiteks ring, ellips, hüperbool, parabool). Mööda kõverjoonelist trajektoori liikudes on nihkevektor $\overrightarrow(s)$ suunatud piki kõõlu (joonis 1) ja l on trajektoori pikkus. Keha hetkekiirus (ehk keha kiirus trajektoori antud punktis) on suunatud tangentsiaalselt sellesse trajektoori punkti, kus liikuv keha parasjagu asub (joonis 2).

Joonis 2. Hetkekiirus kõverjoonelise liikumise ajal

Mugavam on aga järgmine lähenemine. Seda liikumist võite ette kujutada kombinatsioonina mitmest liigutusest mööda ringikaare (vt joonis 4.). Selliseid vaheseinu on vähem kui eelmisel juhul, lisaks on liikumine mööda ringi ise kõverjooneline.

Joonis 4. Kõverjoonelise liikumise jagamine liikumisteks piki ringikaare

Järeldus

Kõverajoonelise liikumise kirjeldamiseks tuleb õppida kirjeldama liikumist mööda ringjoont ja seejärel kujutama suvalist liikumist liikumiste kogumina mööda ringjooni.

Materiaalse punkti kõverjoonelise liikumise uurimise ülesanne on koostada kinemaatiline võrrand, mis kirjeldab seda liikumist ja võimaldab vastavalt etteantud algtingimustele määrata kõik selle liikumise omadused.