Vedrupendli potentsiaalse energia graafik. Vaba vibratsioon

1. Elastsusjõu mõju kehale, mis on võrdeline keha x nihkega tasakaaluasendist ja on alati suunatud sellesse asendisse.

2. Võnkuva keha inerts, mille tõttu ta ei peatu tasakaaluasendis (kui elastsusjõud kaob), vaid jätkab liikumist samas suunas.

Tsüklilise sageduse avaldis on järgmine:

kus w on tsükliline sagedus, k on vedru jäikus, m on mass.

See valem näitab, et vabade võnkumiste sagedus ei sõltu algtingimustest ja on täielikult määratud võnkesüsteemi enda omadustega - in sel juhul jäikus k ja mass m.

See väljend määratleb vaba võnkumise periood vedru pendel.

Töö lõpp -

See teema kuulub:

Sõidukiirus keskmine maakiirus hetkekiirus/sõidukiirus

Kinemaatika tik punktide osa kinemaatika õppimisest matemaatiline kirjeldus materiaalsete punktide liikumine kinemaatika põhiülesanne on .. mehaanika põhiülesanne on määrata keha asend igal ajahetkel .. mehaaniline liikumine See on keha asukoha muutumine ruumis aja jooksul teiste kehade suhtes.

Kui vajate lisamaterjal sellel teemal või te ei leidnud seda, mida otsisite, soovitame kasutada otsingut meie tööde andmebaasis:

Mida me teeme saadud materjaliga:

Kui see materjal osutus teile kasulikuks, saate selle sotsiaalvõrgustikes oma lehele salvestada:

säutsuma

Kõik selle jaotise teemad:

Elastse laine energia
energiavoo tiheduse vektor füüsiline väli; arvuliselt võrdne energiaga

Maxwelli seadus molekulide jaotumisest soojusliikumise kiiruste järgi
Maxwelli seadust kirjeldab mingi funktsioon f(v), mida nimetatakse molekulide kiirusjaotusfunktsiooniks. Kui jagada molekulide kiiruste vahemik väikesteks intervallideks, mis on võrdsed dv-ga, siis

Kuumus
Kuumus on üks kahest teadaolevast kaasaegne loodusteadus, energiaülekande viisid – korratu liikumise ülekandumise mõõt. Ülekantud energiahulka nimetatakse soojushulgaks.

Soojusmasinad ja külmutusmasinad. Carnot' tsükkel
Carnot' tsükkel on ideaalne termodünaamiline tsükkel. soojusmootor Carnot töötab

Tere päevast!

Kõik on üsna lihtne. Nüüd võin öelda mõned liitsõnad, aga siis püüan selgitada nende tähendust. Esitamise lihtsuse huvides räägime ühemõõtmelisest juhtumist, kõike saab hõlpsasti üldistada paljude vabadusastmete puhul.

Niisiis, peamine ülesanne mehaanika --- leida keha koordinaadi sõltuvus ajast, ehk siis tegelikult leida mingi funktsioon, mis seob iga ajahetkega mingi koordinaadi väärtuse. Me kirjeldame mis tahes liikumist kasutades Newtoni teist seadust. See seadus hõlmab kiirendust, mis on keha koordinaadi teine ​​tuletis aja suhtes, ja jõudu, mis tavaliselt sõltub koordinaadist endast. Samuti võib jõud sõltuda keha kiirusest, see tähendab koordinaadi esimesest tuletisest aja suhtes. Seega koos matemaatiline punkt Newtoni teine ​​seadus kujutab endast teatud seost koordinaadi, selle esimese ja teise tuletise vahel. Sellist seost nimetatakse matemaatikas diferentsiaalvõrrandiks. Sellises võrrandis sisalduv kõrgeim tuletis on teine. Matemaatika ütleb, et sellise võrrandi lahendus, st üldine vorm funktsioon, mis meie seost rahuldab, sõltub kahest suvalisest konstandist, mida võrrandist ei saa määrata. Need suvalised konstandid määratakse igal üksikjuhul eraldi, näiteks nn algtingimuste abil. See tähendab, et selleks, et täpselt mõista, kuidas keha liigub, peate teadma mitte ainult seda, millised jõud sellele mõjuvad, vaid ka seda, mis on selle algkoordinaat ja kiirus. Lahenduses valitakse kaks suvalist konstanti nii, et meie poolt saadud funktsioon ja selle tuletis (ehk kiirus) esialgne hetk aeg andis väärtused.

See on absoluutselt üldine olukord. Pidage meeles, kui me räägime keha liikumisest pidev kiirendus, liikumise täpseks seadmiseks vajame täpselt kahte numbrit, algkoordinaati ja algkiirust.

Sama kehtib ka võnkumise kohta. Konkreetse pendli (st antud loomuliku sagedusega pendli) võnkumine määratakse samuti kahe arvuga. Tavaliselt kirjutatakse Newtoni teisest seadusest saadud pendlivõrrandi lahend kujul .

Siin mängivad nad lihtsalt suvaliste konstantide rolli, mis tuleb määrata algtingimustest. Arvutame kiiruse: . Andke meile sellest teada null hetk aja järgi olid pendli koordinaat ja kiirus võrdsed ja . Olles lahendanud tavavõrrandisüsteemi, võib leida konkreetsed avaldised ja läbi ja jaoks.

Ma ei anna vastust üldine juhtum kui soovite, saate seda hõlpsalt ise teha. Räägin ainult konkreetsetest juhtumitest. Olgu näiteks teada, et null ajahetkel on keha tasakaalus (st ) ja selle kiirus on võrdne tema maksimaalse väärtusega (st ). Siis saame oma konkreetse juhtumi jaoks, et võrrandisüsteem on järgmisel kujul: . Esimesest võrrandist on kohe selge, et (muidugi, esimene võrrand rahuldab ka tingimust , aga siis osutub meie lahendus nulliks, aga see meile ei sobi). Teine võtab siis kuju: , kust . Seega oleme leidnud mõlema konstandi jaoks avaldised. Selle tulemusena on meil: Samal ajal selgub kiirendamiseks. Kui nüüd tähistada amplituudi tuttavama avaldisega, saame tuttavamad valemid.

Vaatleme veel ühte näidet. Laske nüüd lastil olla äärmuslik positsioon st selle kiirus on null. Eeldame, et see kaldus kõrvale negatiivne pool telg, see tähendab, et selle koordinaat on . Seejärel võrrandid jaoks esialgsed tingimused võta vorm: teisest võrrandist. Esimesest: . Seega on koordinaadil: (teine ​​võrdsus, kasutades redutseerimisvalemit). Kiiruse jaoks: . Kiirendamiseks:.

Konkreetsed valemid sõltuvad algandmetest. Siinuste ja koosinuste perioodilisuse arvestamine, kasutades erinevad valemid heidab, saate valemitest märke eemaldada, faase lisada jne.

Mis puutub ülesande valemisse, siis sagedust pole, kuna selle konkreetne väärtus on asendatud:

Kehad, mis mõjuvad elastsele jõule, mille potentsiaalne energia on võrdeline keha tasakaaluasendist nihke ruuduga:

kus k on vedru jäikus.

Vaba mehaanilise vibratsiooni korral muutuvad kineetiline ja potentsiaalne energia perioodiliselt. Keha maksimaalsel kõrvalekaldel tasakaaluasendist kaob selle kiirus ja seega ka kineetiline energia. Selles asendis saavutab võnkuva keha potentsiaalne energia maksimaalse väärtuse. Horisontaalselt asetseva vedru koormuse korral on potentsiaalne energia vedru elastsete deformatsioonide energia.

Kui liikuv keha läbib tasakaaluasendi, on selle kiirus maksimaalne. Sel hetkel on sellel maksimaalne kineetiline ja minimaalne potentsiaalne energia. Suurendama kineetiline energia tekib vähenemise tõttu potentsiaalne energia. Edasise liikumisega hakkab potentsiaalne energia suurenema kineetilise energia vähenemise tõttu jne.

Seega toimub harmooniliste võnkumiste ajal kineetilise energia perioodiline muundumine potentsiaalseks energiaks ja vastupidi.

Kui võnkesüsteemis pole hõõrdumist, siis summaarne mehaaniline energia jääb vabade vibratsioonide ajal muutumatuks.

Kevadkoormuse jaoks:

Keha võnkuva liikumise alustamine toimub nupu Start abil. Stopp-nupp võimaldab teil protsessi igal ajal peatada.

Näitab graafiliselt potentsiaalsete ja kineetilise energia suhet võnkumiste ajal igal ajal. Pange tähele, et sumbumise puudumisel koguenergia võnkesüsteemi osa jääb muutumatuks, potentsiaalne energia saavutab maksimumi keha maksimaalsel kõrvalekaldel tasakaaluasendist ja kineetiline energia võtab maksimaalne väärtus kui keha läbib tasakaaluasendi.

Vedrupendel on materiaalne massipunkt, mis on jäikusega kinnitatud absoluutselt elastse kaalutu vedru külge. . On kaks lihtsamat juhtumit: horisontaalne (joon. 15, a) ja vertikaalne (joonis 15, b) pendlid.

a) Horisontaalne pendel(joonis 15a). Lasti ümberpaigutamisel
tasakaalust väljas summa järgi mõjub sellele horisontaalsuunas. elastse jõu taastamine
(Hooke'i seadus).

Eeldatakse, et horisontaalne tugi, millel koorem libiseb
vibratsiooni ajal on see täiesti sile (ilma hõõrdumiseta).

b) vertikaalne pendel(joon.15, b). Sel juhul iseloomustab tasakaaluasendit tingimus:

kus - suurusjärk elastsusjõud koormusele mõjuv
kui vedru on staatiliselt venitatud gravitatsiooni mõjul
.

a

Joonis 15. Vedrupendel: a- horisontaalne ja b- vertikaalne

Kui vedru on venitatud ja koormus vabastatud, hakkab see vertikaalselt võnkuma. Kui nihe mingil ajahetkel on
, siis kirjutatakse elastsusjõud nüüd kujul
.

Mõlemal vaadeldaval juhul teostab vedrupendel harmoonilisi võnkumisi perioodiga

(27)

ja tsükliline sagedus

. (28)

Vedrupendli vaatlemise näitel võime järeldada, et harmoonilised võnkumised on liikumine, mille põhjustab jõud, mis suureneb võrdeliselt nihkega. . Sellel viisil, kui taastav jõud näeb välja nagu Hooke'i seadus
(ta sai nimekvaasielastne jõud ), siis peab süsteem teostama harmoonilisi võnkumisi. Tasakaaluasendi läbimise hetkel kehale taastav jõud ei mõju, küll aga jätab keha inertsist tasakaaluasendi vahele ja taastav jõud muudab suunda vastupidiseks.

Matemaatiline pendel

Joonis 16. Matemaatiline pendel

Matemaatiline pendel on idealiseeritud süsteem materiaalse punkti kujul, mis on riputatud kaaluta, pikendamatu pikkusega niidi külge , mis teeb gravitatsiooni mõjul väikseid võnkumisi (joon. 16).

Sellise pendli võnkumised väikeste paindenurkade korral
(mitte üle 5º) võib pidada harmooniliseks ja tsüklilist sagedust matemaatiline pendel:

, (29)

ja periood:

. (30)

2.3. Keha energia harmooniliste vibratsioonide ajal

Algtõuke ajal võnkesüsteemile antav energia muundub perioodiliselt: deformeerunud vedru potentsiaalne energia muundub liikuva koormuse kineetiliseks energiaks ja vastupidi.

Laske vedrupendlil algfaasiga harmoonilisi võnkumisi sooritada
, st.
(joon.17).

Joonis 17. Mehaanilise energia jäävuse seadus

kui vedrupendel võngub

Koormuse maksimaalsel kõrvalekaldel tasakaaluasendist pendli mehaaniline koguenergia (jäikusega deformeerunud vedru energia ) on võrdne
. Tasakaaluasendi läbimisel (
) vedru potentsiaalne energia võrdub nulliga ja võnkesüsteemi kogu mehaaniline energia määratakse
.

Joonisel 18 on näidatud kineetilise, potentsiaalse ja koguenergia sõltuvused juhtudel, kui harmoonilisi võnkumisi kirjeldatakse siinuse (katkendjoon) või koosinuse (pidevjoon) trigonomeetriliste funktsioonidega.

Joonis 18. Kineetika ajast sõltuvuse graafikud

ja potentsiaalne energia harmooniliste võnkumiste jaoks

Graafikutelt (joonis 18) järeldub, et kineetilise ja potentsiaalse energia muutumise sagedus on kaks korda suurem omasagedusest harmoonilised vibratsioonid.

(1.7.1)

Kui kuul nihutatakse tasakaaluasendist kauguse x võrra, siis võrdub vedru pikenemine väärtusega Δl 0 + x. Seejärel saab saadud jõud väärtuseks:

Võttes arvesse tasakaalutingimust (1.7.1), saame:

Miinusmärk näitab, et nihe ja jõud on vastassuunalised.

Elastsusjõul f on järgmised omadused:

1. See on võrdeline kuuli nihkega tasakaaluasendist;
2. See on alati suunatud tasakaaluasendisse.

Süsteemi nihke x teavitamiseks on vaja teha tööd elastsusjõu vastu:

See töö käib süsteemi potentsiaalse energia reservi loomiseks:

Elastse jõu mõjul liigub pall tasakaaluasendi poole üha suurema kiirusega. Seetõttu süsteemi potentsiaalne energia väheneb, kuid kineetiline energia suureneb (jätame vedru massi tähelepanuta). Olles jõudnud tasakaaluasendisse, jätkab pall liikumist inertsist. See on aeglane liikumine ja peatub, kui kineetiline energia muudetakse täielikult potentsiaaliks. Seejärel jätkub sama protsess, kui pall sisse liigub vastupidine suund. Kui süsteemis pole hõõrdumist, võngub pall lõputult.

Newtoni teise seaduse võrrand on sel juhul järgmine:

Teisendame võrrandi järgmiselt:

Tutvustame tähistust, saame lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrand teine ​​järjekord:

Otsese asendamise teel on seda lihtne kontrollida ühine otsus võrrandil (1.7.8) on järgmine kuju:

kus a on amplituud ja φ on võnke algfaas - konstandid. Seetõttu on vedrupendli võnkumine harmooniline (joon. 1.7.2).

Riis. 1.7.2. harmooniline võnkumine

Koosinuse perioodilisuse tõttu korduvad võnkesüsteemi erinevad seisundid teatud aja (võnkeperioodi) T järel, mille jooksul võnke faas saab juurdekasvu 2π. Perioodi saate arvutada võrrandi abil:

kust järgmine:

Võnkumiste arvu ajaühikus nimetatakse sageduseks:

Sagedusühik on sellise võnke sagedus, mille periood on 1 s. Seda seadet nimetatakse 1 Hz.

Alates (1.7.11) järeldub, et:

Seetõttu on ω 0 2π sekundi jooksul tehtud võnkumiste arv. Väärtust ω 0 nimetatakse ringikujuliseks või tsükliliseks sageduseks. Kasutades (1.7.12) ja (1.7.13), kirjutame:

Eristades () aja järgi, saame palli kiiruse avaldise:

(1.7.15) järeldub, et ka kiirus muutub harmoonilise seaduse järgi ja on faasinihkest ees ½π võrra. Diferentseerides (1.7.15) saame kiirenduse:

1.7.2. Matemaatiline pendel

Matemaatiline pendel nimetatakse idealiseeritud süsteemiks, mis koosneb laiendamatust kaalutu niit millele on riputatud keha, mille kogu mass on koondunud ühte punkti.

Pendli kõrvalekallet tasakaaluasendist iseloomustab keerme ja vertikaaliga moodustatud nurk φ (joon. 1.7.3).

Riis. 1.7.3. Matemaatiline pendel

Kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale, pöördemoment, mis kipub pendlit tagasi viima tasakaaluasendisse:

Kirjutame pendli dünaamika võrrandi pöörlev liikumine, arvestades, et selle inertsimoment on võrdne ml 2:

Selle võrrandi saab viia järgmisele kujule:

Piirdudes väikeste kõikumistega sinφ ≈ φ ja tutvustades tähistust:

võrrandit (1.7.19) saab esitada järgmiselt:

mis vormilt ühtib vedrupendli võnkevõrrandiga. Seetõttu on selle lahendus harmooniline võnkumine:

Punktist (1.7.20) järeldub, et matemaatilise pendli tsükliline võnkesagedus sõltub selle pikkusest ja kiirendusest vabalangus. Kasutades võnkeperioodi () ja (1.7.20) valemit, saame teadaoleva seose:

1.7.3. füüsiline pendel

Füüsikalist pendlit nimetatakse tahke võimeline ümber võnkuma fikseeritud punkt, mis ei lange kokku inertskeskmega. Tasakaaluasendis on pendli C inertskese C samal vertikaalil oleva ripppunkti O all (joonis 1.7.4).

Riis. 1.7.4. füüsiline pendel

Kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale nurga φ võrra, tekib pöördemoment, mis kipub pendli tagasi tasakaaluasendisse viima:

kus m on pendli mass, l on kaugus riputuspunkti ja pendli inertskeskme vahel.

Kirjutame pendli pöörlemise dünaamika võrrandi, võttes arvesse, et inertsimoment on võrdne I-ga:

Väikeste kõikumiste korral sinφ ≈ φ. Seejärel tutvustame tähistust:

mis kattub vormilt ka vedrupendli võnkevõrrandiga. Võrranditest (1.7.27) ja (1.7.26) järeldub, et väikeste kõrvalekallete korral füüsiline pendel tasakaaluasendist sooritab harmoonilist võnkumist, mille sagedus sõltub pendli massist, inertsmomendist ning pöörlemistelje ja inertskeskme vahelisest kaugusest. Kasutades (1.7.26), saate arvutada võnkeperioodi:

Võrreldes valemeid (1.7.28) ja () saame matemaatilise pendli pikkusega:

on sama võnkeperioodiga kui vaadeldaval füüsilisel pendlil. Kogust (1.7.29) kutsutakse vähendatud pikkus füüsiline pendel. Seetõttu on füüsikalise pendli vähendatud pikkus sellise matemaatilise pendli pikkus, mille võnkeperiood on võrdne antud füüsikalise pendli võnkeperioodiga.

Vedrustuspunkti ja inertskeskmega ühendava sirge punkti, mis asub pöörlemisteljest vähendatud pikkuse kaugusel, nimetatakse kiigekeskus füüsiline pendel. Steineri teoreemi kohaselt on füüsikalise pendli inertsmoment:

kus I 0 on inertsimoment inertskeskme suhtes. Asendades (1.7.30) väärtusega (1.7.29), saame:

Seetõttu on vähendatud pikkus alati suurem kui kaugus vedrustuspunkti ja pendli inertskeskme vahel, nii et vedrustuspunkt ja pöördekese asuvad piki erinevad küljed inertsi keskpunktist.

1.7.4. Harmooniliste vibratsioonide energia

Harmoonilise võnke ajal toimub võnkekeha kineetilise energia E k ja potentsiaalse energia E p perioodiline vastastikune teisenemine kvaasielastse jõu toimel. Nendest energiatest liidetakse võnkesüsteemi koguenergia E:

Kirjutame viimase väljendi

Kuid k \u003d mω 2, seega saame võnkuva keha koguenergia avaldise

Seega on harmoonilise võnke koguenergia konstantne ja võrdeline võnke amplituudi ja ringsageduse ruuduga.

1.7.5. summutatud vibratsioonid .

Harmooniliste võnkumiste uurimisel võetakse arvesse hõõrde- ja takistusjõude, mis esinevad tõelised süsteemid. Nende jõudude toime muudab oluliselt liikumise olemust, võnkumine muutub hääbuv.

Kui süsteemis mõjuvad lisaks kvaasielastsele jõule ka keskkonna takistusjõud (hõõrdejõud), siis saab Newtoni teise seaduse kirjutada järgmiselt:

kus r on hõõrdetegur, mis iseloomustab keskkonna liikumist takistavaid omadusi. Asendame (1.7.34b) tekstiga (1.7.34a):

Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel 1.7.5 tahke kõverana 1 ja katkendjoon 2 näitab amplituudi muutust:

Väga väikese hõõrdumise korral on summutatud võnkeperiood lähedane summutamata perioodile vaba võnkumine(1.7.35.b)

Võnkumise amplituudi vähenemise kiirus määratakse summutusfaktor: mida suurem β, seda tugevam on söötme aeglustav toime ja seda kiiremini amplituud väheneb. Praktikas iseloomustatakse sageli sumbumise astet logaritmilise summutuse vähenemine, mis tähendab selle all väärtust, mis on võrdne naturaallogaritm kahe järjestikuse võnkeamplituudi suhe, mis on eraldatud võnkeperioodiga võrdse ajaintervalliga:

;

Seetõttu on summutusfaktor ja logaritmiline dekrement sumbumisi ühendab üsna lihtne sõltuvus:

Tugeva summutamise korral on valemist (1.7.37) näha, et võnkeperiood on mõtteline suurus. Liikumist sel juhul juba nimetatakse perioodiline. Aperioodilise liikumise graafik on näidatud joonisel fig. 1.7.6. Pidev ja summutatud võnkumised helistas oma või tasuta. Need tekivad esialgse nihke tõttu või algkiirus ja tehakse äraolekul välismõju algselt salvestatud energiast.

1.7.6. Sunnitud vibratsioonid. Resonants .

sunnitud võnkumised on need, mis tekivad süsteemis osalusel väline jõud, mis varieerub vastavalt perioodilisele seadusele.

Oletame, et edasi materiaalne punkt lisaks kvaasielastsele jõule ja hõõrdejõule mõjub väline liikumapanev jõud

,

kus F 0 - amplituud; ω - edasiviiva jõu võnkumiste ringsagedus. Koostame diferentsiaalvõrrandi (Newtoni teine ​​seadus):

,

Sundvõnkumise amplituud (1.7.39) on otseselt võrdeline liikumapaneva jõu amplituudiga ja sellel on kompleksne sõltuvus keskkonna sumbumisteguril ning loomulike ja sundvõnkumiste ringsagedustel. Kui süsteemi jaoks on antud ω 0 ja β, siis amplituud sunnitud vibratsioonid on mõnel maksimaalne väärtus teatud sagedus sunnijõud kutsutakse kõlama.

Nimetatakse nähtust ennast - maksimaalse amplituudi saavutamist antud ω 0 ja β korral resonants.

Riis. 1.7.7. Resonants

Takistuse puudumisel on sundvõnkumiste amplituud resonantsil lõpmatult suur. Sel juhul alates ω res = ω 0, st. resonants ilma summutamiseta süsteemis tekib siis, kui liikumapaneva jõu sagedus langeb kokku omavõnkumiste sagedusega. Sundvõnkumiste amplituudi graafiline sõltuvus liikumapaneva jõu ringsagedusest erinevaid tähendusi sumbumiskoefitsient on näidatud joonisel fig. 5.

Mehaaniline resonants võib olla nii kasulik kui ka kahjulik. Resonantsi kahjulik mõju tuleneb peamiselt hävingust, mida see võib põhjustada. Niisiis, tehnoloogias, võttes arvesse erinevaid vibratsioone, on vaja ette näha võimalikud sündmused resonantstingimustes, vastasel juhul võib tekkida hävitus ja katastroof. Kehadel on tavaliselt mitu loomulikku vibratsioonisagedust ja vastavalt ka mitu resonantssagedust.

Kui inimese siseorganite sumbumiskoefitsient poleks suur, siis nendes elundites välisvibratsiooni mõjul tekkinud resonantsnähtused või helilained, võib viia traagiliste tagajärgedeni: elundite rebend, sidemete kahjustus jne. Mõõdukate välismõjude korral selliseid nähtusi praktiliselt ei täheldata, kuna bioloogiliste süsteemide sumbumiskoefitsient on üsna suur. Sellest hoolimata on resonantsnähtused väliste mõjude all mehaanilised vibratsioonid ajal toimuma siseorganid. Ilmselt on see infrahelivõnkumiste ja -vibratsiooni inimkehale avaldatava negatiivse mõju üks põhjusi.

1.7.7. Isevõnkumised

On ka selliseid võnkesüsteeme, mis ise reguleerivad raisatud energia perioodilist täiendamist ja võivad seetõttu pikka aega kõikuda.

Nimetatakse summutamata võnkumisi, mis eksisteerivad igas süsteemis muutuva välismõju puudumisel isevõnkumised ja süsteemid ise isevõnkuv.

Isevõnkumiste amplituud ja sagedus sõltuvad omadustest isevõnkuvas süsteemis endas, erinevalt sundvõnkumisest ei ole need välismõjude poolt määratud.

Paljudel juhtudel saab isevõnkuvaid süsteeme kujutada kolme põhielemendiga (joonis 1.7.8): 1) tegelik võnkesüsteem; 2) energiaallikas; 3) tegeliku võnkesüsteemi energiavarustuse regulaator. Võnkesüsteem kanalite kaupa tagasisidet(joonis 6) mõjutab regulaatorit, teavitades regulaatorit selle süsteemi olekust.

Klassikaline näide mehaanilisest isevõnkuvast süsteemist on käekell, milles pendel või tasakaal on võnkesüsteem, vedru või tõstetud raskus on energiaallikas ja ankur on allikast tuleva energiavarustuse regulaator. võnkesüsteemile.

Palju bioloogilised süsteemid(süda, kopsud jne) on isevõnkuvad. Elektromagnetilise isevõnkuva süsteemi tüüpiline näide on isevõnkuvate võnkumiste generaatorid.

1.7.8. Vibratsioonide lisamine ühes suunas

Mõelge kahe samasuunalise ja sama sagedusega harmoonilise võnku lisamisele:

x 1 \u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 = 2 cos (ω 0 t + α 2).

Harmoonilise võnke saab määrata vektori abil, mille pikkus võrdub võnkumiste amplituudiga ja suund moodustab mingi teljega nurga, mis on võrdne võnkumiste algfaasiga. Kui see vektor pöörleb koos nurkkiirusω 0 , siis muutub selle projektsioon valitud teljel harmoonilise seaduse järgi. Sellest lähtuvalt valime mingi telje X ja esitame võnkumised vektorite a 1 ja a 2 abil (joonis 1.7.9).

Jooniselt 1.7.6 järeldub, et

.

Skeeme, kus võnkumisi kujutatakse graafiliselt vektoritena tasapinnal, nimetatakse vektordiagrammideks.

See tuleneb valemist 1.7.40. Et kui mõlema võnke faaside erinevus on võrdne nulliga, on tekkiva võnke amplituud võrdne lisandunud võnkumiste amplituudide summaga. Kui lisandunud võnkumiste faaside erinevus on võrdne , siis on tekkiva võnkumise amplituud võrdne . Kui lisatud võnkumiste sagedused ei ole samad, siis nendele võnkudele vastavad vektorid pöörlevad erineva kiirusega. Sel juhul pulseerib saadud vektor suurusjärgus ja pöörleb ebakonstantse kiirusega. Järelikult ei saa liitmise tulemusena mitte harmooniline võnkumine, vaid kompleksne võnkeprotsess.

1.7.9. lööb

Mõelge kahe samasuunalise, sageduselt veidi erineva harmoonilise võnke liitmisele. Olgu ühe sagedus ω ja teise sagedus ω + ∆ω ja ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \u003d a cos ωt, x 2 \u003d a cos (ω + ∆ω) t.

Lisades need avaldised ja kasutades koosinuste summa valemit, saame:

Võnkumisi (1.7.41) võib pidada harmooniliseks võnkumiseks sagedusega ω, mille amplituud varieerub vastavalt seadusele . See funktsioon on perioodiline sagedusega, mis on kaks korda suurem kui moodulmärgi all oleva avaldise sagedus, st. sagedusega ∆ω. Seega on amplituudi pulsatsioonide sagedus, mida nimetatakse löögisageduseks, võrdne lisandunud võnkumiste sageduste erinevusega.

1.7.10. Vastastikku risti asetsevate vibratsioonide lisamine (Lissajouse joonised)

Kui materiaalne punkt võngub nii piki x-telge kui ka piki y-telge, siis see liigub mööda mingit kõverjoonelist trajektoori. Olgu võnkesagedus sama ja esimese võnke algfaas võrdne nulliga, siis kirjutame võnkevõrrandid kujul:

Võrrand (1.7.43) on ellipsi võrrand, mille teljed on suvaliselt orienteeritud x ja y koordinaattelgede suhtes. Ellipsi orientatsioon ja selle pooltelgede suurus sõltuvad amplituudidest a ja b ning faaside erinevusest α. Vaatleme mõningaid erijuhtumeid:

(m=0, ±1, ±2, …). Sel juhul on võrrandil vorm

See on ellipsi võrrand, mille teljed langevad kokku koordinaatide telgedega ja mille poolteljed on võrdsed amplituudidega (joonis 1.7.12). Kui amplituudid on võrdsed, muutub ellips ringiks.

Joon.1.7.12

Kui vastastikku risti asetsevate võnkumiste sagedused erinevad väikese ∆ω võrra, võib neid käsitleda sama sagedusega, kuid aeglaselt muutuva faasierinevuse võnkumistena. Sel juhul saab võnkevõrrandid üles kirjutada

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

ja avaldist ∆ωt+α käsitletakse faasierinevusena, mis muutub ajas aeglaselt vastavalt lineaarsele seadusele. Saadud liikumine järgib sel juhul aeglaselt muutuvat kõverat, mis omandab järjestikku vormi, mis vastab kõikidele faasierinevuse väärtustele vahemikus -π kuni +π.

Kui vastastikku risti asetsevate võnkumiste sagedused ei ole samad, siis on tekkiva liikumise trajektoor üsna keerukate kõverate kuju, nn. Lissajouslikud kujud. Olgu näiteks lisatud võnkumiste sagedused seotud 1-ga : 2 ja faaside erinevus π/2. Siis on võnkevõrranditel kuju

x=a cos ωt, y=b cos.

Kui piki x-telge õnnestub punktil liikuda ühest äärmisest asendist teise, siis mööda y-telge, väljudes nullasendist, õnnestub jõuda ühte äärmusse, siis teise ja tagasi pöörduda. Kõvera vaade on näidatud joonisel fig. 1.7.13. Sama sagedussuhtega, kuid nulliga võrdne faaside erinevusega kõver on näidatud joonisel 1.7.14. Lisatud võnkumiste sageduste suhe on pöördvõrdeline Lissajous'i kujundite ja koordinaattelgedega paralleelsete sirgjoonte lõikepunktide arvu suhtega. Seetõttu saab Lissajouse kujundite ilmumise järgi määrata lisatud võnkumiste või tundmatu sageduse sageduste suhte. Kui üks sagedustest on teada.

Joon.1.7.13

Joon.1.7.14

Mida lähemal ühtsusele võnkesageduste suhet väljendav ratsionaalne murdosa, seda keerulisemad on sellest tulenevad Lissajouse arvud.

1.7.11. Laine levik elastses keskkonnas

Kui elastse (tahke vedel või gaasilise) keskkonna suvalises kohas ergastatakse selle osakeste vibratsioone, siis osakeste vastasmõju tõttu levib see vibratsioon keskkonnas osakeselt osakesele teatud kiirusega υ. nimetatakse võnke ruumis levimise protsessi Laine.

Meediumi osakesed, milles laine levib, ei ole laine poolt translatsioonilises liikumises kaasatud, nad võnguvad ainult oma tasakaaluasendi ümber.

Olenevalt osakeste võnkesuundadest laine levimissuuna suhtes on olemas pikisuunaline ja põiki lained. Pikisuunalises laines võnkuvad keskkonna osakesed mööda laine levikut. Ristlaines võnguvad keskkonna osakesed suundades, mis on laine levimise suunaga risti. Elastsed põiklained võivad tekkida ainult nihkekindlusega keskkonnas. Seetõttu võivad vedelas ja gaasilises keskkonnas tekkida ainult pikisuunalised lained. Tahkes keskkonnas on võimalik nii piki- kui põiklainete esinemine.

Joonisel fig. 1.7.12 näitab osakeste liikumist levimisel põiklaine keskkonnas. Numbrid 1, 2 jne tähistavad osakesi, mis jäävad üksteisest maha vahemaa võrra, mis on võrdne (¼ υT), st. laine läbitud vahemaa võrra veerandi osakeste tekitatud võnkeperioodist. Nulliks võetud ajal jõudis piki telge vasakult paremale leviv laine osakese 1-ni, mille tulemusena hakkas osake tasakaaluasendist ülespoole liikuma, lohistades endaga kaasa ka järgmisi osakesi. Veerandi perioodi möödudes jõuab osake 1 osakese 2 kõrgeimasse tasakaaluasendisse. Veel ühe neljandiku perioodi möödudes läbib esimene osa tasakaaluasendist, liikudes suunaga ülevalt alla, teine ​​osake jõuab kõige ülemisse. asendis ja kolmas osake hakkab tasakaaluasendist ülespoole liikuma. Ajahetkel, mis on võrdne T-ga, lõpetab esimene osake kogu võnketsükli ja on samas liikumisseisundis kui algushetk. Laine ajaks T, olles läbinud tee (υT), jõuab osakese 5.

Joonisel fig. 1.7.13 näitab osakeste liikumist levimisel pikilaine keskkonnas. Kõiki kaalutlusi, mis puudutavad osakeste käitumist põiklaines, saab rakendada ka sellel juhul, kui nihked üles ja alla asendatakse nihkega paremale ja vasakule.

Jooniselt on näha, et pikilaine levimisel keskkonnas tekivad vahelduvad kondensatsioonid ja osakeste harvendamine (kondensatsioonikohad on joonisel punktiirjoonega ümbritsetud), liikudes laine levimise suunas. kiirusega υ.

Riis. 1.7.15

Riis. 1.7.16

Joonisel fig. 1.7.15 ja 1.7.16 näitavad osakeste võnkumisi, mille positsioonid ja tasakaalud asuvad teljel x. Tegelikkuses ei võngu piki telge ainult osakesed x, vaid teatud ruumalasse suletud osakeste kogum. Levides võnkumiste allikatest, katab laineprotsess üha enam ruumiosasid, punktide asukohta, kuhu võnkumised jõuavad ajaks t, nimetatakse nn. lainefront(või lainefront). Lainefront on pind, mis eraldab juba laineprotsessis osalenud ruumiosa piirkonnast, kus võnkumisi pole veel tekkinud.

Samas faasis võnkuvate punktide lookust nimetatakse laine pind . Lainepinda saab tõmmata läbi mis tahes punkti laineprotsessiga kaetud ruumis. Järelikult on lainepindu lõpmatu arv, samas kui lainefront on igal ajal ainult üks. Lainepinnad jäävad paigale (läbivad samas faasis võnkuvate osakeste tasakaaluasendit ). Lainefront on pidevas liikumises.

Lainepinnad võivad olla mis tahes kujuga. Lihtsamal juhul on need tasapinna või kera kujuga. Sellest lähtuvalt nimetatakse lainet nendel juhtudel tasaseks või sfääriliseks. Tasapinnal lainel on lainepinnad üksteisega paralleelsete tasandite kogum, sfäärilisel lainel - kontsentriliste sfääride kogum.

Riis. 1.7.17

Laske tasapinnal lainel levida piki telge x. Siis on sfääri kõik punktid, mille positsioonid, tasakaalupunktid on ühesuguse koordinaadiga x(aga koordinaatide väärtuste erinevus y ja z), võnkuma samas faasis.

Joonisel fig. 1.7.17 näitab kõverat, mis annab nihke ξ erinevatega punktide tasakaaluasendist x mingil ajahetkel. Seda joonist ei tohiks võtta laine nähtava kujutisena. Joonisel on kujutatud funktsioonide graafik ξ (x, t) mõne jaoks fikseeritud punkt ajas t. Sellist graafikut saab ehitada nii piki- kui põiklainete jaoks.

Vahemaa λ, mis levib lühikese laine ajal, mis on võrdne keskkonna osakeste võnkeperioodiga, nimetatakse lainepikkus. See on ilmne

kus υ on laine kiirus, T on võnkeperiood. Lainepikkust võib defineerida ka kui kaugust keskkonna lähimate punktide vahel, mis võnkuvad faasierinevusega 2π (vt joonis 1.7.14)

Asendades suhtes (1.7.45) T kuni 1/ν (ν on võnkesagedus), saame

Selle valemi võib jõuda ka järgmistest kaalutlustest. Ühe sekundi jooksul sooritab laineallikas ν võnkumist, tekitades keskkonnas iga võnke ajal ühe laine "harja" ja ühe "süvendi". Selleks ajaks, kui allikas lõpetab ν - e võnke, on esimesel "harjal" aega läbida tee υ. Järelikult peavad laine ν "harjad" ja "süvendid" mahtuma pikkusesse υ.

1.7.12. Tasapinnalise laine võrrand

Lainevõrrand on avaldis, mis annab võnkuva osakese nihke selle koordinaatide funktsioonina x, y, z ja aeg t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(tähendab osakese tasakaaluasendi koordinaate). See funktsioon peab olema aja suhtes perioodiline t , ja koordinaatide suhtes x, y, z. . Perioodilisus ajas tuleneb asjaolust, et punktid eraldusid üksteisest kaugel λ , kõikuvad samamoodi.

Leidke funktsiooni tüüp ξ tasapinnalise laine puhul, eeldades, et võnkumised on harmoonilised. Lihtsustamise mõttes suuname koordinaatteljed nii, et telg x ühtib laine levimise suunaga. Siis on lainepinnad teljega risti x ja kuna lainepinna kõik punktid võnguvad võrdselt, siis nihe ξ sõltub ainult sellest x ja t:

ξ = ξ (x, t) .

Joon.1.7.18

Olgu tasapinnal asuvate punktide võnkumised x = 0 (joonis 1.7.18), omama vormi

Leiame suvalisele väärtusele vastava tasandi punktide võnkumise tüübi x . Lennukist kaugele minema x=0 selle tasapinnani võtab laine aega ( υ on laine levimise kiirus). Järelikult tasapinnas lebavate osakeste võnkumised x , jääb aja jooksul maha τ tasapinnas olevate osakeste vibratsioonist x = 0 , st. hakkab välja nägema

Niisiis, tasapinnalise laine võrrand(piki- ja põikisuunaline), levib telje suunas x , järgnevalt:

See avaldis määratleb seose aja t vahel ja see koht x , milles faasil on fikseeritud väärtus. Saadud dx/dt väärtus annab kiiruse, millega antud faasiväärtus liigub. Avaldist (1.7.48) eristades saame

Kahanemise suunas leviva laine võrrand x :

Valemi (1.7.53) tuletamisel eeldasime, et võnkeamplituud ei sõltu x . Tasapinnalise laine puhul täheldatakse seda siis, kui keskkond ei neela laineenergiat. Energiat neelavas keskkonnas levides kahaneb laine intensiivsus võnkeallikast kaugenedes järk-järgult – täheldatakse laine sumbumist. Kogemused näitavad, et homogeenses keskkonnas toimub selline sumbumine vastavalt eksponentsiaalseadusele:

Vastavalt tasapinnalise laine võrrand, võttes arvesse summutamist, on järgmisel kujul:

(1.7.54)

(a 0 on amplituud tasandi x = 0 punktides).