Matemaatilise pendli valemi koguenergia. Harmoonilised vibratsioonid

Definitsioon

Matemaatiline pendel- see on füüsilise pendli erijuhtum, mille mass on ühes punktis.

Tavaliselt loetakse matemaatiliseks pendliks väikest suure massiga kuuli (materjalitera), mis on riputatud pikale venimatule niidile (vedrustus). See on idealiseeritud süsteem, mis võngub gravitatsiooni mõjul. Ainult nurkade suurusjärgus 50-100 on matemaatiline pendel harmooniline ostsillaator, see tähendab, et see teostab harmoonilisi võnkumisi.

Uurides pikal ketil oleva lühtri kiikumist, uuris Galileo matemaatilise pendli omadusi. Ta mõistis, et antud süsteemi võnkeperiood ei sõltu amplituudist väikeste läbipaindenurkade juures.

Matemaatilise pendli võnkeperioodi valem

Laske pendli riputuspunkt fikseerida. Pendelkeermel riputatud koormus liigub mööda ringjoont (joonis 1(a)) kiirendusega ja sellele mõjub mingi taastav jõud ($\overline(F)$). See jõud muutub koormuse liikumisel. Selle tulemusena muutub liikumise arvutamine keeruliseks. Tutvustame mõningaid lihtsustusi. Lase pendel võnkuda mitte tasapinnal, vaid kirjeldab koonust (joonis 1 (b)). Koormus liigub sel juhul ringikujuliselt. Meile huvipakkuv võnkumiste periood langeb kokku koormuse koonilise liikumise perioodiga. Koonilise pendli pöördeperiood ümber ümbermõõdu on võrdne ajaga, mille raskus kulub ühele pöördele ümbermõõtu:

kus $L$ on ümbermõõt; $v$ - lasti liikumise kiirus. Kui keerme kõrvalekalde nurgad vertikaalist on väikesed (väikesed võnkeamplituudid), siis eeldatakse, et taastav jõud ($F_1$) on suunatud piki koormuse poolt kirjeldatava ringi raadiust. Siis on see jõud võrdne tsentripetaaljõuga:

Vaatleme sarnaseid kolmnurki: AOB ja DBC (joonis 1 (b)).

Võrdsustame avaldiste (2) ja (3) õiged osad, väljendame koormuse liikumiskiirust:

\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]

Asendame saadud kiiruse valemiga (1), saame:

\ \

Valemist (5) näeme, et matemaatilise pendli periood sõltub ainult tema vedrustuse pikkusest (kaugusest vedrustuspunktist koormuse raskuskeskmeni) ja vabalangemise kiirendusest. Matemaatilise pendli perioodi valemit (5) nimetatakse Huygensi valemiks, see on täidetud, kui pendli riputuspunkt ei liigu.

Kasutades matemaatilise pendli võnkeperioodi sõltuvust vabalangemise kiirendusest, määratakse selle kiirenduse väärtus. Selleks mõõta pendli pikkus, arvestades suurt hulka võnkumisi, leida periood $T$, seejärel arvutada vabalangemise kiirendus.

Näited probleemidest koos lahendusega

Näide 1

Harjutus. Nagu teate, sõltub vabalangemise kiirenduse suurus laiuskraadist. Kui suur on vabalangemise kiirendus Moskva laiuskraadil, kui matemaatilise pendli pikkusega $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m võnkeperiood on T=1 c?\textit()

Otsus.Ülesande lahendamise aluseks võtame matemaatilise pendli perioodi valemi:

Väljendame (1.1) vaba langemise kiirendust:

Arvutame soovitud kiirenduse:

Vastus.$g=9,81\frac(m)(s^2)$

Näide 2

Harjutus. Mis on matemaatilise pendli võnkeperiood, kui selle vedrustuspunkt liigub vertikaalselt allapoole 1) püsiva kiirusega? 2) kiirendusega $a$? Selle pendli keerme pikkus on $l.$

Otsus. Teeme joonise.

1) Matemaatilise pendli periood, mille riputuspunkt liigub ühtlaselt, on võrdne fikseeritud riputuspunktiga pendli perioodiga:

2) Pendli ripppunkti kiirenemist võib käsitleda kui lisajõu tekkimist, mis võrdub $F=ma$, mis on suunatud kiirendusele. See tähendab, et kui kiirendus on suunatud ülespoole, siis lisajõud on suunatud alla, mis tähendab, et see lisandub raskusjõule ($mg$). Kui vedrustuspunkt liigub allapoole kiirendusega, lahutatakse lisajõud raskusjõust.

Matemaatilise pendli periood, mis võngub ja mille vedrustuspunkt liigub kiirendusega, leiame järgmiselt:

Vastus. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$

(lat. amplituud- suurusjärk) - see on võnkuva keha suurim kõrvalekalle tasakaaluasendist.

Pendli puhul on see maksimaalne vahemaa, mille jooksul pall oma tasakaaluasendist liigub (joonis allpool). Väikese amplituudiga võnkumiste puhul võib seda kaugust võtta kaare pikkuseks 01 või 02, samuti nende segmentide pikkusteks.

Võnkumise amplituudi mõõdetakse pikkusühikutes – meetrites, sentimeetrites jne. Võnkegraafikul on amplituud defineeritud kui sinusoidse kõvera maksimaalne (moodul) ordinaat (vt joonist allpool).

Võnkeperiood.

Võnkeperiood- see on väikseim ajavahemik, mille järel süsteem võnkeid tehes naaseb uuesti samasse olekusse, milles ta oli suvaliselt valitud algsel ajahetkel.

Teisisõnu, võnkeperiood ( T) on aeg, mille jooksul toimub üks täielik võnkumine. Näiteks alloleval joonisel on see aeg, mis kulub pendli raskuse liikumiseks kõige parempoolsemast punktist läbi tasakaalupunkti O kõige vasakpoolsemasse punkti ja läbi punkti tagasi O jälle paremale äärmisele.

Seetõttu läbib keha kogu võnkeperioodi jooksul tee, mis on võrdne nelja amplituudiga. Võnkeperioodi mõõdetakse ajaühikutes – sekundites, minutites jne. Võnkeperioodi saab määrata üldtuntud võnkegraafikult (vt allolevat joonist).

Mõiste "võnkeperiood" rangelt võttes kehtib ainult siis, kui võnkesuuruse väärtused on teatud aja möödudes täpselt korduvad, see tähendab harmooniliste võnkumiste puhul. Seda mõistet rakendatakse aga ka ligikaudu korduvate suuruste puhul, näiteks jaoks summutatud võnkumised.

Võnkesagedus.

Võnkesagedus on võnkumiste arv ajaühikus, näiteks 1 s.

Sageduse SI ühikut nimetatakse hertsi(Hz) saksa füüsiku G. Hertzi (1857-1894) auks. Kui võnkesagedus ( v) on võrdne 1 Hz, siis see tähendab, et iga sekundi kohta tehakse üks võnkumine. Võnkumiste sagedus ja periood on seotud suhetega:

Võnkumisteoorias kasutatakse ka mõistet tsükliline, või ringsagedus ω . See on seotud normaalse sagedusega v ja võnkeperiood T suhted:

.

Tsükliline sagedus on võnkumiste arv per 2π sekundit.

Ümber telje pöörleva keha konkreetse näitena vaadelge pendlite liikumist.

Füüsiline pendel on jäik keha, millel on horisontaalne pöörlemistelg, mille ümber ta raskuse mõjul võngub (joonis 119).

Pendli asend on täielikult määratud selle tasakaaluasendist kõrvalekaldumise nurga järgi ja seetõttu piisab pendli liikumisseaduse määramiseks selle nurga sõltuvuse leidmisest ajast.

Tüüpvõrrand:

nimetatakse pendli liikumisvõrrandiks (seaduseks). See sõltub algtingimustest, st nurgast ja nurkkiirusest.

Füüsikalise pendli piirjuhtum on matemaatiline pendel, mis kujutab (nagu varem mainitud – 2. peatükk, § 3) materiaalset punkti, mis on ühendatud horisontaalteljega, mille ümber see pöörleb jäiga kaalutu varda abil (joonis 120). Materiaalse punkti kaugust pöörlemisteljest nimetatakse matemaatilise pendli pikkuseks.

Füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite liikumisvõrrandid

Valime koordinaattelgede süsteemi nii, et xy-tasand läbib keha C raskuskeskme ja langeb kokku pendli pöördetasandiga, nagu on näidatud joonisel (joonis 119). Suuname joonise tasapinnaga risti oleva telje meile. Seejärel kirjutame eelmise jaotise tulemuste põhjal füüsilise pendli liikumisvõrrandi kujul:

kus tähistab pendli inertsimomenti oma pöörlemistelje suhtes ja

Seetõttu võite kirjutada:

Pendlile mõjuv aktiivne jõud on selle kaal, mille moment kaalutõusu telje suhtes on:

kus on kaugus pendli pöörlemisteljest selle massikeskmeni C.

Seetõttu jõuame järgmise füüsilise pendli liikumisvõrrandini:

Kuna matemaatiline pendel on füüsikalise pendli erijuht, siis ülalpool kirjutatud diferentsiaalvõrrand kehtib ka matemaatilise pendli puhul. Kui matemaatilise pendli pikkus on võrdne ja selle kaal, siis on tema inertsmoment pöörlemistelje suhtes võrdne

Kuna matemaatilise pendli raskuskeskme kaugus teljest on võrdne matemaatilise pendli lõpliku liikumise diferentsiaalvõrrandiga, saab kirjutada järgmiselt:

Füüsilise pendli vähendatud pikkus

Võrreldes võrrandeid (16.8) ja (16.9), võime järeldada, et kui füüsikalise ja matemaatilise pendli parameetrid on omavahel seotud

siis on füüsikalise ja matemaatilise pendli liikumisseadused samad (samadel algtingimustel).

Viimane seos näitab pikkust, mis peab olema matemaatilisel pendlil, et liikuda samamoodi nagu vastav füüsiline pendel. Seda pikkust nimetatakse füüsilise pendli vähendatud pikkuseks. Selle mõiste tähendus seisneb selles, et füüsikalise pendli liikumise uurimist saab asendada matemaatilise pendli liikumise uurimisega, mis on kõige lihtsam mehaaniline skeem.

Pendli liikumisvõrrandi esimene integraal

Füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite liikumisvõrrandid on ühesuguse kujuga, seetõttu on nende liikumisvõrrandiks

Kuna ainuke jõud, mida selles võrrandis arvesse võetakse, on potentsiaalsesse jõuvälja kuuluv gravitatsioonijõud, siis kehtib mehaanilise energia jäävuse seadus.

Viimase saab lihtsa nipiga, selleks piisab võrrandi (16.10) korrutamisest

Selle võrrandi integreerimisel saame

Määrates algtingimustest integreerimiskonstandi C, leiame

Viimase võrrandi lahendamine, mille saame

See seos on diferentsiaalvõrrandi (16.10) esimene integraal.

Füüsikaliste ja matemaatiliste pendlite toetusreaktsioonide määramine

Liikumisvõrrandite esimene integraal võimaldab määrata pendlite toetusreaktsioone. Nagu eelmises lõigus märgitud, määratakse tugede reaktsioonid võrranditest (16.5). Füüsikalise pendli korral on aktiivjõu komponendid piki koordinaattelgesid ja selle momendid telgede suhtes:

Massikeskme koordinaadid määratakse valemitega:

Seejärel võetakse tugede reaktsioonide määramise võrrandid järgmisel kujul:

Vastavalt ülesande tingimustele peavad olema teada keha tsentrifugaalsed inertsmomendid ja tugede vaheline kaugus. Nurkkiirendus ja nurkkiirus w määratakse võrrandite (16.9) ja (16.4) abil järgmisel kujul:

Seega määravad võrrandid (16.12) täielikult ära füüsikalise pendli toetusreaktsioonide komponendid.

Võrrandid (16.12) lihtsustuvad veelgi, kui arvestada matemaatilist pendlit. Tõepoolest, kuna matemaatilise pendli materiaalne punkt asub tasapinnal, siis Lisaks, kuna üks punkt on fikseeritud, muutuvad võrrandid (16.12) võrranditeks kujul:

Võrranditest (16.13) võrrandit (16.9) kasutades järeldub, et toe reaktsioon on suunatud piki keerme I (joon. 120). Viimane on ilmne tulemus. Seetõttu projitseerides võrduste komponendid (16.13) keerme suunale, leiame võrrandi vormi toe reaktsiooni määramiseks (joon. 120):

Asendades siin väärtuse ja võttes arvesse, et kirjutame:

Viimane seos määrab matemaatilise pendli dünaamilise reaktsiooni. Pange tähele, et selle staatiline reaktsioon on

Pendli liikumise olemuse kvalitatiivne uurimine

Pendli liikumisvõrrandi esimene integraal võimaldab meil läbi viia selle liikumise olemuse kvalitatiivse uuringu. Nimelt kirjutame selle integraali (16.11) kujul:

Liikumise ajal peab radikaalne väljend olema kas positiivne või mõnes punktis kaduma. Oletame, et algtingimused on sellised, et

Sel juhul ei kao radikaalne väljend kuhugi. Järelikult liigub pendel liikumisel läbi kõik nurga väärtused ja pendli nurkkiirus on sama märgiga, mille määrab algse nurkkiiruse suund või nurk kas suurendab kõiki nurga väärtusi. aega või väheneb kogu aeg, st pendel hakkab pöörlema ​​ühel küljel.

Liikumissuunad vastavad ühele või teisele märgile avaldises (16.11). Sellise liikumise teostamise vajalik tingimus on algse nurkkiiruse olemasolu, kuna ebavõrdsusest (16.14) on selge, et kui siis pole pendli sellise liikumise saavutamine ühegi esialgse kõrvalekalde nurga korral võimalik.

Nüüd olgu algtingimused sellised, et

Sel juhul on kaks sellist nurga väärtust, mille juures radikaalavaldis kaob. Olgu need vastavad võrdsusega määratletud nurkadele

Ja see jääb kuskil muutuste vahemikku 0 kuni . Lisaks on ilmne, et millal

radikaalavaldis (16.11) on positiivne ja kui see on suvaliselt väike, on see negatiivne.

Seega, kui pendel liigub, muutub selle nurk vahemikus:

Kell , pendli nurkkiirus kaob ja nurk hakkab vähenema . Sel juhul muutub avaldises (16.11) olev nurkkiiruse märk või radikaali ees olev märk. Kui see saavutab väärtuse, kaob pendli nurkkiirus uuesti ja nurk hakkab uuesti suurenema väärtuseni

Seega pendel hakkab võnkuma

Pendli võnke amplituud

Kui pendel võngub, nimetatakse selle vertikaalist kõrvalekaldumise maksimaalset väärtust võnkeamplituudiks. See on võrdne, millega määratakse võrdsusest

Nagu viimasest valemist järeldub, sõltub võnkeamplituud pendli põhiomaduste algandmetest või selle vähendatud pikkusest.

Konkreetsel juhul, kui pendel kaldub tasakaaluasendist kõrvale ja vabastatakse ilma algkiiruseta, on see võrdne , seega ei sõltu amplituud vähendatud pikkusest.

Pendli liikumisvõrrand lõplikul kujul

Olgu pendli algkiirus võrdne nulliga, siis on selle liikumisvõrrandi esimene integraal:

Selle võrrandi integreerimisel leiame

Aega loeme pendli asendist, mis vastab siis

Teisendame integrandi valemi abil:

Siis saame:

Saadud integraali nimetatakse esimest tüüpi elliptiliseks integraaliks. Seda ei saa väljendada piiratud arvu elementaarfunktsioonide kaudu.

Elliptilise integraali (16.15) inversioon selle ülemise piiri suhtes kujutab endast pendli liikumisvõrrandit:

See on hästi uuritud Jacobi elliptiline funktsioon.

Pendli periood

Pendli ühe täieliku võnkumise aega nimetatakse selle võnkeperioodiks. Tähistame seda kui T. Kuna pendli liikumise aeg asendist asendisse on sama, mis liikumise aeg, siis T määratakse valemiga:

Muutujate muutmise teeme seadistustega

Kui muudate vahemikus 0 kuni , muutub see vahemikust 0 kuni . Edasi,

ja seega

Viimast integraali nimetatakse esimest tüüpi täielikuks elliptiliseks integraaliks (selle väärtused on toodud spetsiaalsetes tabelites).

At , integrand kipub ühtsus ja .

Pendli väikeste võnkumiste ligikaudsed valemid

Juhul, kui pendli võnkumiste amplituud on väike (praktiliselt ei tohiks see ületada 20°), võime panna

Seejärel saab pendli liikumise diferentsiaalvõrrandi kuju:

Mis on võnkeperiood? Mis see suurus on, mis füüsikaline tähendus sellel on ja kuidas seda arvutada? Selles artiklis käsitleme neid küsimusi, vaatleme erinevaid valemeid, mille abil saab võnkeperioodi arvutada, ja saame ka teada, milline seos on selliste füüsikaliste suuruste vahel nagu keha / süsteemi võnkumiste periood ja sagedus.

Definitsioon ja füüsiline tähendus

Võnkeperiood on selline ajavahemik, mille jooksul keha või süsteem teeb ühe võnkumise (tingimata täieliku). Paralleelselt võime märkida parameetri, mille juures võib võnkumist lugeda lõpetatuks. Sellise seisundi roll on keha tagasipöördumine algsesse olekusse (algkoordinaadile). Analoogia funktsiooni perioodiga on väga hästi välja toodud. Muide, on ekslik arvata, et see toimub eranditult tavalises ja kõrgemas matemaatikas. Nagu teate, on need kaks teadust lahutamatult seotud. Ja funktsioonide perioodi võib kohata mitte ainult trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel, vaid ka erinevates füüsikaharudes, nimelt räägime mehaanikast, optikast ja muust. Võnkeperioodi ülekandmisel matemaatikast füüsikasse tuleb selle all mõista lihtsalt füüsikalist suurust (ja mitte funktsiooni), millel on otsene sõltuvus aja möödumisest.

Millised on kõikumised?

Võnkumised jagunevad harmoonilisteks ja anharmoonilisteks, samuti perioodilisteks ja mitteperioodilisteks. Loogiline oleks eeldada, et harmooniliste võnkumiste puhul tekivad need mingi harmoonilise funktsiooni järgi. See võib olla siinus või koosinus. Sel juhul võivad juhtumis osutuda ka surve-venituse ja suurenemise-vähenemise koefitsiendid. Samuti summutatakse vibratsiooni. See tähendab, et kui süsteemile mõjub teatud jõud, mis järk-järgult "aeglustab" võnkumisi endid. Sel juhul periood lüheneb, samas kui võnkumiste sagedus alati suureneb. Lihtsaim katse pendli abil demonstreerib sellist füüsilist aksioomi väga hästi. See võib olla nii vedrutüüpi kui ka matemaatiline. Vahet pole. Muide, võnkeperiood sellistes süsteemides määratakse erinevate valemitega. Aga sellest pikemalt hiljem. Nüüd toome näiteid.

Pendlitega töötamise kogemus

Võid enne võtta mis tahes pendli, vahet pole. Füüsikaseadused on füüsikaseadused, et neid austatakse igal juhul. Aga miskipärast on matemaatiline pendel mulle rohkem meeltmööda. Kui keegi ei tea, mis see on: see on kera pikendamatul niidil, mis on kinnitatud jalgade külge kinnitatud horisontaalse riba külge (või elemendid, mis täidavad oma rolli - hoida süsteemi tasakaalus). Pall on kõige parem võtta metallist, et kogemus oleks selgem.

Seega, kui võtate sellise süsteemi tasakaalust välja, rakendate pallile jõudu (teisisõnu suruge seda), siis hakkab pall teatud trajektoori järgides niidil kõikuma. Aja jooksul võite märgata, et trajektoor, mida mööda pall läbib, väheneb. Samal ajal hakkab pall aina kiiremini edasi-tagasi vurama. See näitab, et võnkesagedus suureneb. Kuid aeg, mis kulub palli algsesse asendisse naasmiseks, väheneb. Kuid ühe täieliku võnkumise aega, nagu varem teada saime, nimetatakse perioodiks. Kui üks väärtus väheneb ja teine ​​suureneb, siis räägitakse pöördproportsionaalsusest. Nii jõudsimegi esimese hetkeni, mille alusel koostatakse valemid võnkeperioodi määramiseks. Kui võtame katsetamiseks vedrupendli, siis seal järgitakse seadust veidi teisel kujul. Selleks, et see oleks kõige selgemalt esindatud, panime süsteemi liikuma vertikaaltasandil. Et asi selgem oleks, tasus esmalt öelda, mis on vedrupendel. Nimest selgub, et selle disainis peab olema vedru. Ja tõepoolest on. Jällegi on meil tugedel horisontaaltasapind, mille külge riputatakse teatud pikkuse ja jäikusega vedru. Sellele omakorda riputatakse raskus. See võib olla silinder, kuubik või mõni muu kujund. See võib olla isegi mõni kolmanda osapoole üksus. Igal juhul, kui süsteem viiakse tasakaalust välja, hakkab see tegema summutatud võnkumisi. Sageduse suurenemine on kõige selgemalt nähtav vertikaaltasandil, ilma kõrvalekaldeta. Selle kogemuse põhjal saate lõpetada.

Seega saime nende käigus teada, et võnkumiste periood ja sagedus on kaks füüsilist suurust, millel on pöördvõrdeline seos.

Koguste ja mõõtmete määramine

Tavaliselt tähistatakse võnkeperioodi ladina tähega T. Palju harvemini võib seda tähistada erinevalt. Sagedus on tähistatud tähega µ (“Mu”). Nagu me alguses ütlesime, pole periood midagi muud kui aeg, mille jooksul toimub süsteemis täielik võnkumine. Siis on perioodi mõõde sekund. Ja kuna periood ja sagedus on pöördvõrdelised, jagatakse sagedusmõõde ühik sekundiga. Ülesannete kirjes näeb kõik välja selline: T (s), µ (1/s).

Matemaatilise pendli valem. Ülesanne nr 1

Nagu ka katsete puhul, otsustasin kõigepealt tegeleda matemaatilise pendliga. Valemi tuletamist me üksikasjalikult ei käsitle, kuna sellist ülesannet algselt ei seatud. Jah, ja järeldus ise on tülikas. Aga tutvume valemitega ise, uurime, milliseid koguseid need sisaldavad. Seega on matemaatilise pendli võnkeperioodi valem järgmine:

Kus l on niidi pikkus, n \u003d 3,14 ja g on raskuskiirendus (9,8 m / s ^ 2). Valem ei tohiks tekitada raskusi. Seetõttu asume ilma lisaküsimusteta kohe lahendama matemaatilise pendli võnkeperioodi määramise probleemi. 10 grammi kaaluv metallkuul on riputatud 20 sentimeetri pikkuse venimatu niidi külge. Arvutage süsteemi võnkeperiood, võttes selle matemaatilise pendli jaoks. Lahendus on väga lihtne. Nagu kõigi füüsikaülesannete puhul, tuleb seda võimalikult palju lihtsustada, jättes kõrvale tarbetud sõnad. Need on konteksti kaasatud selleks, et otsustav segadusse ajada, kuid tegelikult pole neil absoluutselt mingit kaalu. Enamikul juhtudel muidugi. Siin on võimalik hetk “pikenematu niidiga” välistada. See fraas ei tohiks põhjustada uimasust. Ja kuna meil on matemaatiline pendel, siis ei peaks meid huvitama koormuse mass. See tähendab, et sõnad 10 grammi kohta on mõeldud ka lihtsalt õpilase segadusse ajamiseks. Kuid me teame, et valemis pole massi, nii et saame puhta südametunnistusega lahenduse juurde minna. Niisiis, võtame valemi ja lihtsalt asendame sellega väärtused, kuna on vaja kindlaks määrata süsteemi periood. Kuna lisatingimusi ei täpsustatud, ümardame väärtused 3. kümnendkohani, nagu tavaliselt. Väärtused korrutades ja jagades saame, et võnkeperioodiks on 0,886 sekundit. Probleem lahendatud.

Vedrupendli valem. Ülesanne nr 2

Pendli valemitel on ühine osa, nimelt 2p. See väärtus esineb korraga kahes valemis, kuid need erinevad juuravaldises. Kui vedrupendli perioodi puudutavas ülesandes on märgitud koormuse mass, siis selle kasutamisel pole võimalik arvutusi vältida, nagu matemaatilise pendli puhul. Kuid te ei tohiks karta. Selline näeb välja kevadpendli perioodivalem:

Selles on m vedrule riputatud koormuse mass, k on vedru jäikuse koefitsient. Ülesandes saab esitada koefitsiendi väärtuse. Aga kui te matemaatilise pendli valemis ei saa tegelikult selgeks - lõppude lõpuks on 4 väärtusest 2 konstandid -, siis lisatakse siia kolmas parameeter, mis võib muutuda. Ja väljundis on meil 3 muutujat: võnkumiste periood (sagedus), vedru jäikuse koefitsient, rippuva koormuse mass. Ülesanne võib olla orienteeritud nende parameetrite leidmisele. Perioodi uuesti otsimine oleks liiga lihtne, nii et muudame natuke tingimust. Leidke vedru jäikus, kui täispöörete aeg on 4 sekundit ja vedrupendli kaal on 200 grammi.

Iga füüsilise probleemi lahendamiseks oleks hea kõigepealt teha joonis ja kirjutada valemid. Nad on siin pool võitu. Pärast valemi kirjutamist on vaja väljendada jäikuse koefitsienti. See asub meie juure all, seega paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu. Murdust vabanemiseks korrutage osad k-ga. Nüüd jätame võrrandi vasakule poolele ainult koefitsiendi, st jagame osad T^2-ga. Põhimõtteliselt võiks probleem olla veidi keerulisem, kui panna paika mitte periood numbrites, vaid sagedus. Igal juhul arvutamisel ja ümardamisel (leppisime kokku ümardades 3. komakohani) selgub, et k = 0,157 N/m.

Vabavõnkumiste periood. Vaba perioodi valem

Vabavõnkumiste perioodi valemi all mõistetakse neid valemeid, mida uurisime kahes eelnevalt antud ülesandes. Need moodustavad ka vabavõnkumiste võrrandi, kuid seal räägime nihketest ja koordinaatidest ning see küsimus kuulub teise artikli juurde.

1) Enne ülesande vastuvõtmist kirjuta üles sellega seotud valem.

2) Lihtsamad ülesanded ei nõua jooniseid, kuid erandjuhtudel tuleb need ära teha.

3) Püüdke võimalusel vabaneda juurtest ja nimetajatest. Võrrand, mis on kirjutatud reale, millel pole nimetajat, on palju mugavam ja lihtsamini lahendatav.

Füüsikalise pendli võnkeperiood sõltub paljudest asjaoludest: keha suurusest ja kujust, raskuskeskme ja vedrustuspunkti vahelisest kaugusest ning kehamassi jaotusest selle punkti suhtes; seetõttu on rippuva keha perioodi arvutamine üsna keeruline ülesanne. Matemaatilise pendli puhul on olukord lihtsam. Selliste pendlite vaatluste põhjal saab kindlaks teha järgmised lihtsad seadused.

1. Kui pendli sama pikkuse säilitamisel (kaugus vedrustuspunktist koormuse raskuskeskmeni) riputatakse erinevaid koormusi, siis on võnkeperiood sama, kuigi koormuste massid erinevad suuresti. Matemaatilise pendli periood ei sõltu koormuse massist.

2. Kui pendli käivitamisel painutatakse see läbi erinevate (kuid mitte liiga suurte) nurkade, siis see võngub sama perioodiga, kuigi erineva amplituudiga. Kuni amplituudid pole liiga suured, on võnked oma kujul piisavalt lähedased harmoonilisele (§ 5) ja matemaatilise pendli periood ei sõltu võnkumiste amplituudist. Seda omadust nimetatakse isokronismiks (kreeka sõnadest "isos" - võrdne, "chronos" - aeg).

Selle fakti tuvastas esmakordselt 1655. aastal Galileo väidetavalt järgmistel asjaoludel. Galileo jälgis Pisa katedraalis lühtri õõtsumist pikal ketil, mida süütamisel lükati. Talituse käigus hoovõtete amplituud järk-järgult hääbus (§ 11), st võnkumiste amplituud vähenes, kuid periood jäi samaks. Galileo kasutas aja indikaatorina enda pulssi.

Nüüd tuletame matemaatilise pendli võnkeperioodi valemi.

Riis. 16. Pendli võnkumised tasapinnal (a) ja liikumine piki koonust (b)

Pendli kõikumisel liigub koorem kiirendatult mööda kaaret (joon. 16, a) taastava jõu toimel, mis liikumise ajal muutub. Keha liikumise arvutamine mittekonstantse jõu mõjul on üsna keeruline. Seetõttu toimime lihtsuse huvides järgmiselt.

Paneme pendli mitte ühes tasapinnas võnkuma, vaid kirjeldame koonust nii, et koormus liiguks ringikujuliselt (joon. 16, b). Seda liikumist on võimalik saada kahe sõltumatu võnku lisamisega: üks on endiselt joonise tasapinnas ja teine ​​risti. Ilmselgelt on mõlema tasapinnalise võnkumise perioodid samad, kuna ükski võnketasand ei erine teistest. Järelikult on keerulise liikumise periood - pendli pöörlemine piki koonust - sama, mis vesitasandi pöörde periood. Seda järeldust saab hõlpsasti illustreerida otsese kogemusega, võttes kaks identset pendlit ja käske ühel neist kõikuda tasapinnas ja teisel pöörlema ​​mööda koonust.

Kuid "koonilise" pendli pöördeperiood võrdub koormuse poolt kirjeldatud ringi pikkusega, jagatud kiirusega:

Kui vertikaalist kõrvalekaldumise nurk on väike (väikesed amplituudid), siis võime eeldada, et taastav jõud on suunatud piki ringi raadiust, st võrdub tsentripetaaljõuga:

Teisest küljest tuleneb kolmnurkade sarnasusest, et . Alates , siis siit

Võrdledes mõlemad avaldised üksteisega, saame ringluse kiiruse

Lõpuks, asendades selle perioodiavaldisega, leiame

Seega sõltub matemaatilise pendli periood ainult vabalangemise kiirendusest ja pendli pikkusest, st kaugusest vedrustuspunktist koormuse raskuskeskmeni. Saadud valemist järeldub, et pendli periood ei sõltu pendli massist ja amplituudist (eeldusel, et see on piisavalt väike). Teisisõnu, me saime arvutamise teel need põhiseadused, mis olid varem vaatluste põhjal paika pandud.

Kuid meie teoreetiline tuletus annab meile rohkem: see võimaldab meil luua kvantitatiivse seose pendli perioodi, selle pikkuse ja vabalangemise kiirenduse vahel. Matemaatilise pendli periood on võrdeline pendli pikkuse ja raskuskiirenduse suhte ruutjuurega. Proportsionaalsuskoefitsient on .

Väga täpne viis selle kiirenduse määramiseks põhineb pendli perioodi sõltuvusel vabalangemise kiirendusest. Mõõtes pendli pikkust ja määrates perioodi suure hulga võnkumiste põhjal, saame arvutada saadud valemi abil. Seda meetodit kasutatakse praktikas laialdaselt.

Teatavasti (vt I köide, §53) sõltub vabalangemise kiirendus koha geograafilisest laiuskraadist (poolusel ja ekvaatoril). Teatud võrdluspendli pöördeperioodi vaatlused võimaldavad uurida vaba langemise kiirenduse jaotust laiuskraadidel. See meetod on nii täpne, et selle abil on võimalik tuvastada veelgi peenemaid tähenduserinevusi maapinnal. Selgub, et isegi samal paralleelil on väärtused maapinna erinevates punktides erinevad. Need gravitatsioonikiirenduse jaotumise anomaaliad on seotud maakoore ebaühtlase tihedusega. Neid kasutatakse tiheduse jaotuse uurimiseks, eelkõige maakoore paksuses mis tahes mineraalide esinemise tuvastamiseks. Ulatuslikud gravimeetrilised muudatused, mis võimaldasid hinnata tihedate masside esinemist, viidi NSV Liidus läbi nn Kurski magnetanomaalia piirkonnas (vt II köide, § 130) Nõukogude füüsiku Pjotr ​​Petrovitši juhendamisel. Lazarev. Koos Maa magnetvälja anomaaliate andmetega võimaldasid need gravimeetrilised andmed kindlaks teha raua masside esinemise jaotuse, mis määravad Kurski magnet- ja gravitatsioonianomaaliad.