Mis on teise järjekorra tavaline hetk. Algsed ja kesksed hetked

3.4. Juhusliku suuruse hetked.

Eespool tutvusime SW ammendavate omadustega: jaotusfunktsioon ja jaotusrida - diskreetse SW jaoks, jaotusfunktsioon ja tõenäosustihedus - pideva SW jaoks. Need omadused, mis on teabesisu poolest paarikaupa samaväärsed, on funktsioonid ja kirjeldada SW-d täielikult tõenäosuslikust vaatenurgast. Paljudes praktilistes olukordades on aga juhusliku suuruse ammendav iseloomustamine kas võimatu või vajalik. Sageli piisab ühe või mitme täpsustamisest numbriline parameetrid, mis mingil määral kirjeldavad jaotuse põhijooni ja mõnikord on ammendavate karakteristikute leidmine, ehkki soovitav, matemaatiliselt liiga keeruline ning arvuliste parameetritega opereerides piirdume ligikaudse, kuid lihtsama kirjeldusega. Määratud arvparameetrid kutsutakse välja numbrilised omadused juhuslik suurus ning mängivad olulist rolli tõenäosusteooria rakendustes erinevates teadus- ja tehnikavaldkondades, hõlbustades probleemide lahendamist ning võimaldades esitada lahenduse tulemusi lihtsal ja visuaalsel kujul.

Kõige sagedamini kasutatavad numbrilised karakteristikud võib jagada kahte tüüpi: hetked ja asendi omadused. Momente on mitut tüüpi, millest kaks kõige sagedamini kasutatavat on: esmane ja keskne. Muud tüüpi hetked, näiteks absoluutsed hetked, faktoriaalsed hetked, me ei arvesta. Vältimaks integraali üldistuse – nn Stieltjesi integraali – kasutamist, anname pidevate ja diskreetsete SW-de jaoks momentide definitsioonid eraldi.

Definitsioonid. 1. Algushetkk-ndat järku diskreetne SW nimetatakse koguseks

kus f(x) on antud SW tõenäosustihedus.

3. Keskne hetkk-ndat järku diskreetne SW nimetatakse koguseks

Juhul, kui korraga on vaatluse all mitu TS-d, on arusaamatuste vältimiseks mugav märkida hetke kuuluvus; teeme seda, märkides sulgudes näiteks vastava CB nimetuse, jne. Seda tähistust ei tohiks segi ajada funktsiooni tähistusega ja sulgudes olevat tähte funktsiooni argumendiga. Võrdluste (3.4.1 - 3.4.4) paremal pool olevad summad ja integraalid võivad olenevalt väärtusest läheneda või lahkneda k ja konkreetne jaotus. Esimesel juhul ütlevad nad seda ei eksisteeri või lahkneb, teises - see hetk eksisteerib või läheneb. Kui diskreetsel SW-l on lõplik arv lõplikke väärtusi ( N lõplik), siis kõik selle lõpliku järjekorra hetked k olemas. Lõpmatus N, alustades mõnest k ja kõrgemate tellimuste korral ei pruugi diskreetsed SW-momendid (samaaegselt algsed ja kesksed) eksisteerida. Pideva SW momendid, nagu definitsioonidest näha, on väljendatud valede integraalidega, mis võivad alates mõnest k ja kõrgemate tellimuste jaoks (nii esialgsete kui ka kesksete). Nulljärku hetked lähenevad alati.

Vaatleme üksikasjalikumalt esmalt esialgseid ja seejärel keskseid hetki. Matemaatilisest vaatenurgast alghetk k järjekord on "kaalutud keskmine" k-SW väärtuste astmed; diskreetse RV puhul on kaalud väärtuste tõenäosused, pideva RV puhul on kaalufunktsiooniks tõenäosustihedus. Sedalaadi toiminguid kasutatakse laialdaselt mehaanikas masside jaotuse kirjeldamiseks (staatilised momendid, inertsimomendid jne); sellega seoses esile kerkivaid analoogiaid käsitletakse allpool.

Esialgsete hetkede paremaks mõistmiseks käsitleme neid eraldi k. Tõenäosusteoorias on kõige olulisemad madalama järgu hetked, st väikeste jaoks k, seega tuleks kaaluda väärtuste kasvavas järjekorras k. Nulljärku alghetk on võrdne

1 , diskreetse SW jaoks;

=1 , pideva SW jaoks,

need. mis tahes SW jaoks on see võrdne sama väärtusega - üks ja seetõttu ei sisalda see teavet SW statistiliste omaduste kohta.

Esimest järku algusmoment (või esimene algmoment) on võrdne

Diskreetse CB jaoks;

, pideva SW jaoks.

See hetk on mis tahes SW kõige olulisem arvnäitaja mitmel omavahel seotud põhjusel. Esiteks, Tšebõševi teoreemi (vt jaotis 7.4) kohaselt kipub SW-l tehtud piiramatu arvu katsete korral vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (teatud mõttes) kogema. Teiseks, pideva SW korral on see arvuliselt võrdne X-kõveraga moodustatud kõverjoonelise trapetsi raskuskeskme koordinaat f(x) (sarnane omadus kehtib ka diskreetse SW kohta), nii et seda momenti võiks nimetada "jaotuse raskuskeskmeks". Kolmandaks, sellel momendil on märkimisväärsed matemaatilised omadused, mis selguvad eelkõige kursuse käigus, mistõttu on selle väärtus kaasatud kesksete momentide avaldistesse (vt (3.4.3) ja (3.4.4)).

Selle hetke olulisus tõenäosusteooria teoreetiliste ja praktiliste probleemide jaoks ning selle märkimisväärsed matemaatilised omadused on viinud selleni, et lisaks tähistusele ja nimetusele "esimene algushetk" kasutatakse kirjanduses ka muid tähistusi ja nimetusi, mis on rohkem või vähem mugav ja kajastavad nimetatud omadusi. Levinumad nimed on: oodatud väärtus, tähendab ja märge: m, M[X], . Kõige sagedamini kasutame mõistet "ootus" ja tähistust m; kui RV-sid on mitu, kasutame alamindeksit, mis näitab näiteks matemaatilise ootuse kuuluvust, m x , m y jne.

Teist järku algmoment (või teine ​​algmoment) on võrdne

Diskreetse CB jaoks;

, pideva SW jaoks;

mõnikord nimetatakse seda juhusliku suuruse keskmine ruut ja tähistatud M.

Kolmanda järku algmoment (või kolmas algmoment) on võrdne

Diskreetse CB jaoks;

, pideva SW jaoks

mõnikord nimetatakse seda juhusliku suuruse keskmine kuup ja tähistatud M[X 3 ].

Algsete hetkede loetlemist pole mõtet jätkata. Peatugem korra hetkede olulisel tõlgendusel k>1. Las koos SW-ga X on ka SW Y, ja Y=X k (k=2, 3, ...). See võrdsus tähendab, et juhuslikud suurused X ja Y on deterministlikult seotud selles mõttes, et kui SW X omandab väärtuse x, SV Y omandab väärtuse y=x k(Hiljem käsitletakse sellist CV-ühendust lähemalt). Seejärel vastavalt punktidele (3.4.1) ja (3.4.2)

=m y , k=2, 3, ...,

st. k-SW algmoment on võrdne matemaatilise ootusega kselle juhusliku suuruse astmest. Näiteks juhusliku kuubi serva pikkuse kolmas algmoment on võrdne kuubi eeldatava mahuga. Võimalus mõista hetki mingisuguse matemaatilise ootusena on matemaatilise ootuse mõiste tähtsuse teine ​​tahk.

Liigume edasi keskpunktide juurde. Kuna, nagu allpool veidi selgub, väljenduvad kesksed momendid unikaalselt algushetkedes ja vastupidi, siis tekib küsimus, milleks on keskseid hetki üldse vaja ja miks algushetkedest ei piisa. Mõelge SW-le X(pidev või diskreetne) ja teine ​​RV Y, mis on seotud esimesega Y=X+a, kus a 0 on mittejuhuslik reaalarv. Iga väärtus x juhuslik muutuja X vastab väärtusele y=x+a juhuslik muutuja Y, sellest ka SW jaotus Y on sama kujuga (väljendatud jaotuse hulknurgaga diskreetsel juhul või tõenäosustihedusega pideval juhul) kui CV jaotus X, kuid nihutatud piki x-telge võrra a. Seetõttu on SW algushetked Y erineb SW vastavatest hetkedest X. Näiteks, nagu seda on lihtne näha, m y =m x +a(kõrgemat järku hetked on seotud keerukamate suhetega). Seega oleme selle kindlaks teinud algmomendid ei ole jaotuse kui terviku nihke all muutumatud. Sama tulemuse saame, kui nihutame mitte jaotust, vaid x-telje algust horisontaalselt väärtuse võrra - a, st. samaväärne järeldus kehtib ka: algmomendid ei ole invariantsed x-telje alguspunkti horisontaalse nihke suhtes.

See puudus on vaba kesksetest momentidest, mis on mõeldud kirjeldama jaotuste omadusi, mis ei sõltu nende nihkest tervikuna. Tõepoolest, nagu on näha punktidest (3.4.3) ja (3.4.4), kui jaotust tervikuna nihutatakse väärtuse võrra a, või mis on sama, nihutades abstsisstelje algust - võrra - a, kõik väärtused x, muutub samade tõenäosuste (diskreetsel juhul) või sama tõenäosuse tiheduse korral (pideval juhul) võrra a, kuid ka väärtus muutub m, nii et võrduste paremal küljel olevate sulgude väärtused ei muutu. Seega keskmomendid on muutumatud jaotuse kui terviku nihke suhtes või, mis on sama, abstsisstelje alguse nihke suhtes piki horisontaali. Need hetked said nime "keskne" neil aegadel, mil esimest algushetke nimetati "keskuseks". Kasulik on märkida, et SW keskne hetk X võib mõista SW vastava algusmomendina X 0 võrdub

X 0 =X-m x .

SW X 0 kutsutakse tsentreeritud(seoses SV-ga X) ja selleni viiv tehte, st selle matemaatilise ootuse lahutamine juhuslikust suurusest, nimetatakse tsentreerimine. Nagu hiljem näeme, on see kontseptsioon ja see toiming kasulikud kogu kursuse vältel. Pange tähele, et tellimuse keskne hetk k>1 võib pidada matemaatiliseks ootuseks (keskmine) k tsentreeritud CB aste: .

Vaatleme eraldi madalamate tellimuste keskseid momente. Nulljärku keskmoment on võrdne

, diskreetse SW jaoks;

, pideva SW jaoks;

st mis tahes SW jaoks ja ei kanna teavet selle SW statistiliste omaduste kohta.

Esimest järku keskmoment (või esimene keskmoment) on

diskreetse SW jaoks;

pideva SW jaoks; st mis tahes SW jaoks ja ei kanna teavet selle SW statistiliste omaduste kohta.

Teist järku keskmoment (või teist keskmomenti) on

, diskreetse SW jaoks;

, pideva SW jaoks.

Nagu allpool selgub, on see punkt tõenäosusteoorias üks olulisemaid, kuna seda kasutatakse SW väärtuste leviku (või hajumise) mõõdu tunnusena, seetõttu nimetatakse seda sageli ka nn. dispersioon ja tähistatud D X. Pange tähele, et seda võib mõista tsentreeritud SW keskmise ruuduna.

Kolmanda järku keskmoment (kolmas keskmoment) on võrdne

Vaatleme jaotusseadusega antud diskreetset juhuslikku muutujat:

Oodatud väärtus võrdub:

Näeme, et see on palju enamat. Seda saab seletada asjaoluga, et väärtus x= -150, mis erineb palju ülejäänud väärtustest, kasvas ruudustamisel järsult; selle väärtuse tõenäosus on väike (0,02). Seega üleminek alates M(X) juurde M(X2) võimaldas paremini arvesse võtta selliste juhusliku suuruse selliste väärtuste mõju matemaatilistele ootustele, mis on absoluutväärtuses suured, kuid nende esinemise tõenäosus on väike. Muidugi, kui kogusel oli mitu suurt ja ebatõenäolist väärtust, siis üleminek kogusele x2 ja veelgi enam väärtustele , jne, võimaldaks veelgi rohkem nende suurte, kuid vähetõenäoliselt võimalike väärtuste "rolli tugevdada". Seetõttu osutub sobivaks arvestada juhusliku muutuja positiivse täisarvu võimsuse matemaatilist ootust, mitte ainult diskreetset, vaid ka pidevat.

Definitsioon 6.10. Juhusliku muutuja järgu alghetk on väärtuse matemaatiline ootus:

Eriti:

Neid punkte kasutades saab dispersiooni arvutamise valemi kirjutada erinevalt

Lisaks juhusliku suuruse momentidele on soovitatav arvesse võtta ka hälbemomente.

Definitsioon 6.11. Juhusliku suuruse järgu keskseks momendiks on väärtuse matemaatiline ootus.

(6.23)

Eriti,

Alg- ja keskmomenti ühendavaid seoseid on lihtne tuletada. Seega, kui võrrelda (6.22) ja (6.24), saame:

Järgmiste seoste tõestamine pole keeruline:

Sarnaselt:

Kõrgemate tellimuste hetki kasutatakse harva. Keskmomentide määramisel kasutatakse juhusliku suuruse kõrvalekaldeid selle matemaatilisest ootusest (keskmest). Seetõttu nimetatakse hetki keskne.

Algmomentide määramisel kasutatakse ka juhusliku suuruse hälbeid, kuid mitte matemaatilisest ootusest, vaid punktist, mille abstsiss võrdub nulliga, mis on lähtepunkt. Seetõttu nimetatakse hetki esialgne.

Pideva juhusliku suuruse korral arvutatakse järgu algmoment valemiga:

(6.27)

Pideva juhusliku suuruse järgu keskmoment arvutatakse järgmise valemiga:

(6.28)

Oletame, et juhusliku suuruse jaotus on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline. Siis on kõik paaritu järjestusega keskmomendid võrdsed nulliga. Seda saab seletada asjaoluga, et koguse iga positiivse väärtuse korral X-M(X) on olemas (jaotuse sümmeetria tõttu M(X)) selle suuruse negatiivne väärtus, mis on võrdne sellega absoluutväärtuses ja nende tõenäosused on samad.

Kui paaritu järjekorra keskmoment ei ole võrdne nulliga, siis see näitab jaotuse asümmeetriat ja mida suurem on moment, seda suurem on asümmeetria. Seetõttu on jaotuse asümmeetria tunnuseks kõige mõistlikum võtta mõni paaritu keskmoment. Kuna esimest järku keskmoment on alati võrdne nulliga, on soovitav kasutada selleks kolmanda järgu keskmomenti.

Definitsioon 6.12. Asümmeetria koefitsient on väärtus:

Kui asümmeetria koefitsient on negatiivne, näitab see suurt mõju negatiivsete kõrvalekallete suurusele. Sel juhul jaotuskõver (joonis 6.1 a) rohkem kui varikatus vasakul. Kui koefitsient on positiivne, mis tähendab, et ülekaalus on positiivsete hälvete mõju, siis on jaotuskõver paremal pool laugem.

Nagu teada, iseloomustab teine ​​keskne moment (dispersioon) juhusliku suuruse väärtuste hajumist selle matemaatilise ootuse ümber. Kui see hetk mõne juhusliku suuruse jaoks on piisavalt suur, s.t. dispersioon on suur, siis on vastav jaotuskõver laugem kui teist järku väiksema momendiga juhusliku suuruse jaotuskõver. Kuid hetk ei saa seda eesmärki täita, sest iga jaotuse jaoks .

Sel juhul kasutatakse neljanda järjekorra keskmomenti.

Definitsioon 6.13. Kurtosis on väärtus:

Looduses levinuima normaaljaotuse seaduse puhul on suhe . Seetõttu on valemiga (6.28) antud kurtoos selle jaotuse võrdlemiseks normaaljaotusega (joonis 6.1). b).

Alg- ja keskmomente kasutatakse juhuslike suuruste erinevate omaduste iseloomustamiseks.

Algushetkk-tellida juhuslik suurus X on selle muutuja k-nda astme matemaatiline ootus:

α K \u003d M.

Diskreetse juhusliku suuruse jaoks

C

X \u003d X - M [X]

Tsentreeritud juhuslik suurus on juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest:

Leppigem kokku eristama tsentreeritud r.v. 0 ülaosas.

Keskne hetkS- järjekorras nimetatakse tsentreeritud juhusliku suuruse S-nda astme matemaatiliseks ootuseks

 S \u003d M [(X - m x) S ].

Diskreetse juhusliku suuruse jaoks

 S = (x i – m x) S p i .

Pideva juhusliku suuruse jaoks

.

Juhuslike muutujate hetkeomadused

esimest järku algmoment võrdub matemaatilise ootusega (definitsiooni järgi):

α 1 \u003d M \u003d m x.

esimest järku keskmoment on alati võrdne nulliga (tõestame selle diskreetse r.v. näitel):

 1 \u003d M [(X - m x) 1 ] \u003d (x i – m x) p i = x i p i - m x p i = m x –m x p i \u003d m x -m x \u003d 0.

teist järku keskne moment iseloomustab juhusliku suuruse levikut selle matemaatilise ootuse ümber.

Teist järku keskmomenti nimetatakse dispersioon koos. sisse. ja tähistatakse D[X] või D x-ga

Dispersioonil on juhusliku suuruse ruudu mõõde.

Standardhälveσ x \u003d √D x.

σ x - nagu ka D x iseloomustab juhusliku suuruse levikut selle matemaatilise ootuse ümber, kuid sellel on juhusliku suuruse mõõde.

teine ​​algmoment α 2 iseloomustab juhusliku suuruse levimisastet selle matemaatilise ootuse ümber, samuti juhusliku suuruse nihet reaalteljel

Seos esimese ja teise algmomendi ja dispersiooni vahel (pideva pöörete näitel):

kolmas keskne moment iseloomustab juhusliku suuruse levimisastet ümber matemaatilise ootuse, samuti juhusliku suuruse jaotuse asümmeetria astet.

f(x keskm.) > f(-x keskm.)

Sümmeetriliste jaotusseaduste korral m 3 = 0.

Ainult asümmeetria astme iseloomustamiseks kasutatakse nn asümmeetriakordajat.

Sümmeetrilise jaotuse korral Sk = 0

neljas keskne moment iseloomustab juhusliku suuruse levimisastet ümber matemaatilise ootuse, samuti jaotusseaduse haripunkti astet.

Juhusliku suuruse jaotuse iseloomustamisel on eriti olulised arvulised karakteristikud, mida nimetatakse alg- ja keskmomentideks.

Algushetk k- järjekorras a k(X) juhuslik muutuja X k selle suuruse võimsus, s.o.

a k(X) = M(X k) (6.8)

Valemil (6.8) on erinevate juhuslike suuruste matemaatilise ootuse definitsiooni tõttu oma kuju, nimelt lõpliku väärtuste hulgaga diskreetse juhusliku muutuja jaoks

pideva juhusliku muutuja jaoks

, (6.10)

kus f(x) on juhusliku suuruse jaotustihedus X.

Valemis (6.10) olev vale integraal muutub lõpliku intervalli jooksul kindlaks integraaliks, kui pideva juhusliku suuruse väärtused on ainult selles intervallis.

Üks eelnevalt tutvustatud numbrilistest tunnustest - matemaatiline ootus - pole midagi muud kui esimese järgu algushetk või, nagu öeldakse, esimene alghetk:

M(X) = α 1 (X).

Eelmises alapeatükis tutvustati tsentreeritud juhusliku suuruse mõistet HM(X). Kui seda suurust pidada peamiseks, siis võib sellele ka algmomente leida. Väärtuse enda pärast X neid hetki nimetatakse keskseteks.

Keskpunkt k- järjekorras µk(X) juhuslik muutuja X nimetatakse ootuseks k tsentreeritud juhusliku suuruse aste, st.

µk(X) = M[(HM(X))k] (6.11)

Ehk siis keskne hetk k-ndas järjekord on matemaatiline ootus k kõrvalekalde aste.

keskne hetk k- lõpliku väärtuste hulgaga diskreetse juhusliku muutuja järjekord leitakse valemiga:

, (6.12)

pideva juhusliku suuruse jaoks vastavalt valemile:

(6.13)

Edaspidi, kui saab selgeks, millisest juhuslikust suurusest me räägime, ei kirjuta me seda alg- ja keskmomendi tähistusse, s.o. selle asemel a k(X) ja µk(X) me lihtsalt kirjutame a k ja µk .

Ilmselgelt on esimest järku keskmoment võrdne nulliga, kuna see pole midagi muud kui kõrvalekalde matemaatiline ootus, mis on võrdne nulliga vastavalt eelnevalt tõestatud, s.t. .

On lihtne mõista, et juhusliku suuruse teist järku keskmoment X langeb kokku sama juhusliku suuruse dispersiooniga, s.t.

Lisaks on alg- ja keskmomentide kohta järgmised valemid:

Niisiis iseloomustavad esimese ja teise järgu momendid (matemaatiline ootus ja dispersioon) jaotuse kõige olulisemaid tunnuseid: selle asukohta ja väärtuste leviku astet. Kõrgemat järku hetked võimaldavad distributsiooni üksikasjalikumalt kirjeldada. Näitame seda.

Oletame, et juhusliku suuruse jaotus on selle matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline. Siis on kõik paaritu järjestusega keskmomendid, kui need on olemas, võrdsed nulliga. Seda seletatakse asjaoluga, et jaotuse sümmeetria tõttu on suuruse iga positiivse väärtuse korral X − M(X) on sellega absoluutväärtuses võrdne negatiivne väärtus, samas kui nende väärtuste tõenäosused on võrdsed. Järelikult koosneb valemis (6.12) olev summa mitmest absoluutväärtuselt võrdsest, kuid märgiliselt erinevast liikmepaarist, mis summeerimisel üksteist tühistavad. Seega kogu summa, s.o. diskreetse juhusliku suuruse mis tahes paaritu järgu keskmoment on võrdne nulliga. Samamoodi on pideva juhusliku suuruse mis tahes paaritu järgu keskmoment võrdne nulliga paaritu funktsiooni sümmeetriliste piiride integraalina.

On loomulik eeldada, et kui paaritu järjekorra keskmoment erineb nullist, ei ole jaotus ise oma matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline. Sel juhul, mida rohkem erineb keskmoment nullist, seda suurem on asümmeetria jaotuses. Võtame asümmeetria tunnuseks väikseima paaritu järjekorra keskmomendi. Kuna esimest järku keskmoment on mistahes jaotustega juhuslike muutujate puhul võrdne nulliga, on parem kasutada selleks kolmandat järku keskmomenti. Sellel hetkel on aga juhusliku suuruse kuubi mõõde. Sellest puudusest vabanemiseks ja dimensioonita juhuslikule suurusele üleminekuks jagatakse keskmomendi väärtus standardhälbe kuubiga.

Asümmeetria koefitsient A s või lihtsalt asümmeetria on kolmanda järgu keskmomendi ja standardhälbe kuubi suhe, s.o.

Mõnikord nimetatakse asümmeetriat "viltuseks" ja seda tähistatakse S k, mis tuleb ingliskeelsest sõnast skew – "kaldus".

Kui asümmeetriakordaja on negatiivne, mõjutavad selle väärtust tugevalt negatiivsed liikmed (hälbed) ja jaotus on vasakpoolne asümmeetria, ja jaotuse graafik (kõver) on matemaatilisest ootusest vasakul tasapinnalisem. Kui koefitsient on positiivne, siis õige asümmeetria, ja kõver on matemaatilisest ootusest paremal pool laugem (joonis 6.1).

Nagu näidati, iseloomustab teine ​​keskne moment juhusliku suuruse väärtuste levikut selle matemaatilise ootuse ümber, st. dispersioon. Kui sellel momendil on suur arvväärtus, siis sellel juhuslikul muutujal on suur väärtuste hajumine ja vastav jaotuskõver on lamedama kujuga kui kõver, mille teise keskmomendi väärtus on väiksem. Seetõttu iseloomustab teine ​​keskne moment teatud määral "tasapinnalist" või "terava" jaotuskõverat. See funktsioon pole aga kuigi mugav. Teist järku keskmomendi mõõde on võrdne juhusliku suuruse mõõtme ruuduga. Kui proovime saada dimensioonita väärtust, jagades momendi väärtuse standardhälbe ruuduga, siis mis tahes juhusliku muutuja puhul saame: . Seega ei saa see koefitsient olla mingi juhusliku suuruse jaotuse tunnus. See on kõigi distributsioonide puhul sama. Sel juhul saab kasutada neljandat järku keskmomenti.

kurtosis E k nimetatakse valemiga määratud väärtuseks

(6.15)

Kurtoosi kasutatakse peamiselt pidevate juhuslike muutujate jaoks ja seda kasutatakse jaotuskõvera niinimetatud "järsuse" iseloomustamiseks või muul viisil, nagu juba mainitud, "tasapinnalise" või "terava" jaotuskõvera iseloomustamiseks. Normaaljaotuskõverat peetakse võrdlusjaotuskõveraks (sellest tuleb üksikasjalikult juttu järgmises peatükis). Tavalise seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse korral toimub võrdsus. Seetõttu on valemiga (6.15) antud kurtoos selle jaotuse võrdlemiseks normaaljaotusega, milles kurtoos on võrdne nulliga.

Kui mõne juhusliku suuruse korral saadakse positiivne kurtoos, on selle väärtuse jaotuskõver tavalisest jaotuskõverast kõrgem. Kui kurtoos on negatiivne, on kõver normaaljaotuse kõverast laugem (joonis 6.2).

Pöördume nüüd diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate spetsiifiliste jaotusseaduste tüüpide juurde.

Nimetatakse jaotuse keskmomente, mille arvutamisel võetakse algväärtuseks variantide kõrvalekalle antud jada aritmeetilisest keskmisest.

1. Arvutage esimese järjekorra keskmoment valemi järgi:

2. Arvutage teise järku keskmoment valemi järgi:

kus on intervallide keskkoha väärtus;

See on kaalutud keskmine;

Fi on väärtuste arv.

3. Arvutage kolmanda järku keskmoment valemi järgi:

kus on intervallide keskkoha väärtus; on kaalutud keskmine; - väärtuste fi-arv.

4. Arvutage neljanda järku keskmoment valemi järgi:

kus on intervallide keskkoha väärtus; on kaalutud keskmine; - väärtuste fi-arv.

Tabeli 3.2 arvutus

Tabeli 3.4 arvutus

1. Arvutage valemi (7.1) järgi esimese järku keskmoment:

2. Arvutage teise järku keskmoment valemi (7.2) järgi:

3. Arvutage valemi (7.3) järgi kolmanda järku keskmoment:

4. Arvutage neljanda järku keskmoment valemi (7.4) järgi:

Tabeli 3.6 arvutus

1. Arvutage valemi (7.1) järgi esimese järku keskmoment:

2. Arvutage teise järku keskmoment valemi (7.2) järgi:

3. Arvutage valemi (7.3) järgi kolmanda järku keskmoment:

4. Arvutage neljanda järku keskmoment valemi (7.4) järgi:

Arvutatakse 1,2,3,4 tellimuse hetked kolmele ülesandele. Kus kaldsuse arvutamiseks on vaja kolmandat järku momenti ja kurtoosi arvutamiseks neljandat järku momenti.

JAOTUSE ASÜMMETRIA ARVUTAMINE

Statistilises praktikas on erinevaid jaotusi. Jaotuskõveraid on järgmist tüüpi:

unimodaalsed kõverad: sümmeetrilised, mõõdukalt asümmeetrilised ja äärmiselt asümmeetrilised;

mitme tipu kõverad.

Homogeenseid populatsioone iseloomustavad reeglina unimodaalsed jaotused. Multitipp näitab uuritava populatsiooni heterogeensust. Kahe või enama tipu ilmumine tingib vajaduse andmete ümber rühmitada, et eraldada homogeensemad rühmad.

Jaotuse üldise olemuse väljaselgitamine hõlmab selle homogeensuse hindamist, samuti asümmeetria ja kurtoosi näitajate arvutamist. Sümmeetriliste jaotuste korral on kahe jaotuskeskuse mõlemal küljel võrdse vahega paikneva variandi sagedused üksteisega võrdsed. Selliste jaotuste jaoks arvutatud keskmine, moodus ja mediaan on samuti võrdsed.

Mitme erineva mõõtühikuga jaotuse asümmeetria võrdlevas uuringus arvutatakse suhteline asümmeetria indeks ():

kus on kaalutud keskmine; Mo-mood; - ruutkeskmise kaalutud dispersioon; Mina-mediaan.

Selle väärtus võib olla positiivne või negatiivne. Esimesel juhul räägime parempoolsest asümmeetriast ja teisel vasakpoolsest.

Parempoolse asümmeetriaga Mo>Me>x. Kõige laialdasemalt kasutatav (asümmeetria indikaatorina) on kolmanda järgu keskmomendi suhe selle seeria standardhälbesse kuubis:

kus on kolmanda järgu keskmoment; on standardhälve kuubik.

Selle indikaatori kasutamine võimaldab mitte ainult määrata asümmeetria suurust, vaid ka kontrollida selle esinemist üldpopulatsioonis. Üldiselt aktsepteeritakse, et kaldsust üle 0,5 (olenemata märgist) peetakse oluliseks; kui see on väiksem kui 0,25, siis on see ebaoluline.

Olulisuse hindamine põhineb keskmisel ruutveal, kaldsuse koefitsiendil (), mis sõltub vaatluste arvust (n) ja arvutatakse järgmise valemiga:

kus n on vaatluste arv.

Sel juhul on asümmeetria märkimisväärne ja tunnuse jaotus üldpopulatsioonis on asümmeetriline. Vastasel juhul on asümmeetria tähtsusetu ja selle olemasolu võib põhjustada juhuslikud asjaolud.

Tabeli 3.2 arvutus Rahvastiku rühmitamine keskmise kuupalga järgi, hõõruda.

Vasakpoolne, märkimisväärne asümmeetria.

Tabeli 3.4 arvutus Kaupluste rühmitamine jaemüügikäibe järgi, miljonit rubla

1. Määratlege asümmeetriad valemiga (7.5):

Parempoolne, märkimisväärne asümmeetria.

Tabeli 3.6 arvutus Transpordiorganisatsioonide rühmitamine ühistranspordi kaubakäibe järgi (mln.t.km)

1. Määratlege asümmeetriad valemiga (7.5):

Parempoolne, kerge asümmeetria.

KURTUSE JAOTUSE ARVUTUS

Sümmeetriliste jaotuste korral saab kurtoosi indikaatori () arvutada:

kus on neljanda järku keskmoment; - standardhälve neljandas astmes.

Tabeli 3.2 arvutus Rahvastiku rühmitamine keskmise kuupalga järgi, hõõruda.

Tabeli 3.4 arvutus Kaupluste rühmitamine jaemüügikäibe järgi, miljonit rubla

Arvutage kurtoosi indikaator valemi (7.7) abil

Tippjaotus.

Tabeli 3.6 arvutus Transpordiorganisatsioonide rühmitamine ühistranspordi kaubakäibe järgi (mln.t.km)

Arvutage kurtoosi indikaator valemi (7.7) abil

Tasapinnaline jaotus.

RAHVIKKU HOMOGEENSUSE HINDAMINE

Tabeli 3.2 ühtlusskoor Rahvastiku rühmitamine keskmise kuupalga järgi, hõõruda.

Tuleb märkida, et kuigi asümmeetria ja kurtoosi näitajad iseloomustavad otseselt ainult tunnuse jaotusvormi uuritavas populatsioonis, ei ole nende määratlus ainult kirjeldav. Sageli annavad asümmeetria ja kurtoos teatud viiteid sotsiaal-majanduslike nähtuste edasiseks uurimiseks. Saadud tulemus viitab olulise ja negatiivse olemuselt asümmeetria olemasolule, tuleb märkida, et asümmeetria on vasakukäeline. Lisaks on elanikkonnal lamedapealne jaotus.

Tabeli 3.4 ühtlusskoor Kaupluste rühmitamine jaemüügikäibe järgi, miljonit rubla

Saadud tulemus viitab olulise ja positiivse olemuse asümmeetria olemasolule, tuleb märkida, et asümmeetria on paremakäeline. Ja ka komplektil on terava tipujaotus.

Tabeli 3.6 ühtlusskoor Transpordiorganisatsioonide rühmitamine ühistranspordi kaubakäibe järgi (mln.t.km)

Saadud tulemus viitab väikese ja positiivse olemuselt asümmeetria olemasolule, tuleb märkida, et asümmeetria on paremakäeline. Lisaks on elanikkonnal lameda tipuga jaotus.