Projekteerime punkti AGA ortogonaalselt mõlemal projektsioonitasandil:

AA1_|_ P1;AA1^P1 =A1;

AA 2 _|_ P 2, AA 2 ^ P 2 \u003d A 2;

Projektsioonikiired AA 1 ja AA 2 vastastikku risti ja luua ruumis väljaulatuva tasapinna AA 1 AA 2, eendite mõlema küljega risti. See tasapind lõikub projektsioonitasanditega piki punkti projektsioone läbivaid sirgeid AGA.

Tasapinnalise joonise saamiseks sobitame horisontaalse projektsioonitasapinna P 1 frontaaltasandi P 2 pöörlemisega ümber telje P 2 / P 1 (joonis 61, a). Siis on punkti mõlemad projektsioonid samal sirgel, mis on risti teljega P 2 /P 1. Otse A 1 A 2, horisontaalse ühendamine A 1 ja eesmine A 2 nimetatakse punktprojektsiooniks vertikaalne sideliin.

Saadud tasapinnalist joonist nimetatakse keeruline joonistamine. See on objekti kujutis mitmel kombineeritud tasapinnal. Kompleksjoonist, mis koosneb kahest üksteisega ühendatud ristprojektsioonist, nimetatakse kaheprojektsiooniliseks. Sellel joonisel asetsevad punkti horisontaal- ja esiprojektsioon alati samal vertikaalsel ühendusjoonel.

Punkti kaks omavahel ühendatud ortogonaalprojektsiooni määravad üheselt selle asukoha projektsioonitasandite suhtes. Kui määrame punkti asukoha a nende tasapindade suhtes (joonis 61, b) selle kõrgus h (AA 1 = h) ja sügavus f(AA 2 =f ), siis need mitme joonise väärtused eksisteerivad vertikaalse ühendusjoone segmentidena. See asjaolu teeb lihtsaks joonise rekonstrueerimise, st punkti asukoha määramise joonise järgi projektsioontasandite suhtes. Selleks piisab, kui joonise punktis A 2 taastada joonise tasapinnaga risti (arvestades seda frontaalseks) pikkusega, mis on võrdne sügavusega. f. Selle risti ots määrab punkti asukoha AGA joonise tasapinna suhtes.

60.gif

Pilt:

61.gif

Pilt:

7. Enesekontrolli küsimused

ENESEKONTROLLIKÜSIMUSED

4. Kuidas nimetatakse kaugust, mis määrab punkti asukoha projektsioonide tasandi suhtes P 1, P 2?

7. Kuidas ehitada punkti lisaprojektsioon tasapinnal P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1, P 5 _|_ P 4 ?

9. Kuidas koostada punkti kompleksjoonist selle koordinaatide järgi?

33. Punkti kolme projektsiooniga kompleksjoonise elemendid

§ 33. Punkti kolmeprojektsioonilise kompleksjoonise elemendid

Geomeetrilise keha asukoha määramiseks ruumis ja nende kujutiste kohta lisateabe saamiseks võib osutuda vajalikuks ehitada kolmas projektsioon. Seejärel asetatakse kolmas projektsioonitasand vaatlejast paremale samaaegselt horisontaalse projektsioonitasandiga risti P 1 ja projektsioonide P 2 esitasapind (joonis 62, a). Esiosa P 2 ristumiskoha tulemusena ja profiil P 3 projektsioonitasandid saame uue telje P 2 / P 3 , mis paikneb kompleksjoonisel paralleelselt vertikaalse sideliiniga A 1 A 2(Joonis 62, b). Kolmanda punkti projektsioon AGA- profiil - osutub ühendatuks eesmise projektsiooniga A 2 uus sideliin, mida nimetatakse horisontaalseks

Riis. 62

Noa. Punkti esi- ja profiilprojektsioon asuvad alati samal horisontaalsel sideliinil. Ja A 1 A 2 _|_ A 2 A 1 ja A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3.

Punkti asukohta ruumis iseloomustab sel juhul selle laiuskraad- kaugus sellest projektsioonide P 3 profiiltasapinnani, mida tähistame tähega R.

Saadud punkti kompleksjoonist nimetatakse kolme projektsiooniga.

Kolme projektsiooniga joonisel punkti sügavus AA 2 projitseeritakse moonutusteta tasapinnale P 1 ja P 2 (joonis 62, a). See asjaolu võimaldab meil konstrueerida punkti kolmanda – frontaalprojektsiooni AGA piki selle horisontaalset A 1 ja eesmine A 2 väljaulatuvad osad (joonis 62, sisse). Selleks peate punkti esiprojektsiooni kaudu joonistama horisontaalse sidejoone A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Seejärel tõmmake ükskõik kuhu joonisele projektsioonide telg П 2 / П 3 _|_ A 2 A 3, mõõta horisontaaltasandil asuva punkti sügavust f projektsiooniväli ja asetage see kõrvale mööda horisontaalset sidejoont projektsioonide teljest P 2 /P 3 . Hankige profiiliprojektsioon A 3 punktid AGA.

Seega on kompleksjoonisel, mis koosneb punkti kolmest ortogonaalsest projektsioonist, kaks projektsiooni samal sideliinil; sideliinid on risti vastavate projektsioonitelgedega; punkti kaks projektsiooni määravad täielikult ära selle kolmanda projektsiooni asukoha.

Tuleb märkida, et keerulistel joonistel ei ole projektsioonitasandid reeglina piiratud ja nende asukoht määratakse telgedega (joonis 62, c). Juhtudel, kui probleemi tingimused seda ei nõua

Selgub, et punktide projektsioone saab anda ilma telgesid kujutamata (joon. 63, a, b). Sellist süsteemi nimetatakse alusetuks. Sideliinid saab tõmmata ka vahega (joon. 63, b).

62.gif

Pilt:

63.gif

Pilt:

34. Punkti asukoht ruumilise nurga ruumis

§ 34. Punkti asukoht ruumilise nurga ruumis

Punktide projektsioonide asukoht kompleksjoonisel oleneb punkti asukohast ruumilise nurga ruumis. Vaatleme mõnda juhtumit:

• punkt asub ruumis (vt joon. 62). Sel juhul on sellel sügavus, kõrgus ja laius;
• punkt asub projektsioonitasandil P 1- sellel puudub kõrgus, P 2 - sügavus puudub, Pz - laius puudub;
• punkt asub projektsioonide teljel, P 2 / P 1 ei oma sügavust ja kõrgust, P 2 / P 3 - ei oma sügavust ja laiust ning P 1 / P 3 ei oma kõrgust ja laiust.

35. Võistlevad punktid

§ 35. Võistlevad punktid

Kaks ruumipunkti võivad paikneda erineval viisil. Konkreetsel juhul võivad need paikneda nii, et nende projektsioonid mingil projektsioonitasandil langevad kokku. Selliseid punkte nimetatakse võistlev. Joonisel fig. 64, a on antud punktide kompleksjoonis AGA ja AT. Need asuvad nii, et nende projektsioonid langevad tasapinnal kokku P 1 [A 1 \u003d= B 1]. Selliseid punkte nimetatakse horisontaalselt konkureerivad. Kui punktide projektsioonid A ja B lennukis kokku langevad

P 2(Joonis 64, b) neid kutsutakse esiotsa konkurentsivõimeline. Ja kui punktide projektsioonid AGA ja AT langevad tasapinnal P 3 [A 3 \u003d= B 3] (joon. 64, c), neid nimetatakse profiil konkurentsivõimeline.

Võistlevad punktid määravad nähtavuse joonisel. Horisontaalselt konkureerivates punktides on näha suurema kõrgusega punktid, eesmises konkureerivates punktides – suurema sügavusega ning profiiliga võistlevates – suurema laiuskraadiga punktides.

64.gif

Pilt:

36. Projektsioontasandite asendamine

§ 36. Projektsioonitasandite vahetus

Punkti kolme projektsiooniga joonise omadused võimaldavad selle horisontaal- ja frontaalprojektsiooni kasutades ehitada kolmandiku teistele etteantud projektsioonitasanditele.

Joonisel fig. 65 a näitab punkti AGA ja selle projektsioonid - horisontaalsed A 1 ja eesmine A 2. Vastavalt probleemi tingimustele on vaja vahetada tasapinnad П 2 . Määrame uue projektsioonitasandi P 4 ja asetame selle risti P 1. Lennukite ristumiskohas P 1 ja P 4 saame uue telje P 1 / P 4 . Uue punkti projektsioon A 4 asub aadressil punkti läbiv sideliin A 1 ja risti teljega P 1 / P 4 .

Alates uuest lennukist P 4 asendab frontaalprojektsioonitasandit P 2, punkti kõrgus AGA kujutatud võrdselt täissuuruses ja tasapinnal P 2 ja tasapinnal P 4 .

See asjaolu võimaldab meil määrata projektsiooni asukoha A 4, tasandite süsteemis P 1 _|_ P 4(Joonis 65, b) keerulisel joonisel. Selleks piisab punkti kõrguse mõõtmisest asendatud tasapinnal

sti projektsioon P 2, pange see uuele projektsiooniteljelt uuele sideliinile - ja punkti uuele projektsioonile A 4 ehitatakse.

Kui horisontaalse projektsioonitasapinna asemel võetakse kasutusele uus projektsioontasapind, st P 4 _ | _ P 2 (joonis 66, a), siis uues tasandite süsteemis on punkti uus projektsioon frontaalprojektsiooniga samal sideliinil ja A 2 A 4 _|_. Sel juhul on punkti sügavus tasapinnal sama P 1, ja lennukis P 4. Selle põhjal nad ehitavad A 4(Joonis 66, b) sideliinil A 2 A 4 sellisel kaugusel uuest teljest P 1 / P 4 mille juures A 1 asub teljest P 2 /P 1.

Nagu juba märgitud, on uute täiendavate projektsioonide ehitamine alati seotud konkreetsete ülesannetega. Edaspidi kaalutakse mitmeid projektsioonitasandite asendamise meetodil lahendatud meetrika- ja asendiülesandeid. Ülesannetes, kus ühe lisatasandi kasutuselevõtt ei anna soovitud tulemust, võetakse kasutusele teine ​​lisatasapind, mida tähistatakse P 5-ga. See asetatakse risti juba sisestatud tasapinnaga P 4 (joon. 67, a), st P 5 P 4 ja tootma konstruktsiooni, mis sarnaneb eelnevalt käsitletuga. Nüüd mõõdetakse kaugusi asendatud teisel põhiprojektsioonitasandil (joonis 67, b pinnal P 1) ja asetada need uuele sideliinile A 4 A 5, uuest projektsiooniteljest P 5 /P 4 . Uues tasandite süsteemis P 4 P 5 saadakse uus kahe projektsiooniga joonis, mis koosneb ortogonaalprojektsioonidest A 4 ja A 5 , sideliiniga ühendatud

Punkti konstrueerimisel antud koordinaatide järgi tuleb meeles pidada, et vastavalt joonise reeglitele on mõõtkava piki telge Oh väheneb sisse 2 korda võrreldes skaalaga piki telge OU ja Oz.

1. Ehituspunktid: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3

a) tavaliselt ehitavad nad esiteks punkti projektsiooni tasapinnale Ohu. Märgi punkte x A =2 ja y A=1 ja tõmmake läbi nende telgedega paralleelsed sirgjooned Oh ja OU. Nende ristumispunktil on koordinaadid (2;1; 0) punkt ehitatud A 1 (2;1; 0.)

A(2; 1; 3)

0 y A=1

x A =2 juures

A 1 (2; 1; 0) 0 y A=1juures

X x A \u003d 2 A 1 (2; 1; 0)

X

b) punktist kaugemal A 1 (2; 1; 0) taastada tasapinnaga risti Ohu (tõmmake teljega paralleelne joon Oz ) ja asetage sellele segment, mis võrdub kolmega: z A = 3.

2. Ehituspunktid: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1

z

y B = -2

B(3; -2; 1) O juures

B 1 (3;-2) x B \u003d 3

X

3. Ehitage punkt C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)

X A \u003d -2; Y A = 1; Z A = 3

x C \u003d - 2 C 1 (-2; 1; 0)

y A = 1 a

4.Dani kuubik. A ... D 1, mille serv on 1 . Päritolu on sama, mis punkt AT, ribid VA, Pühap ja BB 1 langevad kokku koordinaattelgede positiivsete kiirtega. Nimetage kuubi kõigi teiste tippude koordinaadid. Arvutage kuubi diagonaal.

z

AB = BC = BB 1 BD 1 = =

B1 (0; 0; 1) C1 (0; 1; 1) = =

A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)

В(0;0;0) С(0;1;0)

A(1;0;0) D(1;1;0)

5. Joonistage punktid A(1;1;-1) ja B(1; -1; 1). Kas lõik lõikub koordinaatteljega? koordinaattasand? Kas sirglõik läbib alguspunkti? Leidke ristumispunktide koordinaadid, kui need on olemas. z Punktid asuvad tasapinnal, mis on teljega risti Oh.

Lõik lõikub teljega Oh ja lennuk tere punktis

B(1; -1; 1)

0(0;0;0)

С(1;0;0)

A(1;1;-1)

6. Leidke kahe punkti vaheline kaugus: A(1;2;3) ja B(-1;1;1).

a)AB = = = =3

b)С(3;4;0) ja D(3;-1;2).

CD = = =

Ruumis võetakse lõigu keskkoha koordinaatide määramiseks kasutusele kolmas koordinaat.

B (x B; y B; z B)

Koos( ; ; )

A(x A; y A; z A)

7.Leia koordinaadid Koos segmentide keskpunktid: a)AB, kui A(3; - 2; - 7), B(11; - 8; 5),

x M = = 7; y M = = -5; z M = = -1; C(7; - 5; - 1)

8. Punktide koordinaadid A(x; y; z). Kirjutage punktide koordinaadid, mis on antud punktiga sümmeetrilised:

a) koordinaattasandid

b) koordinaatjooned

sisse) päritolu

a) Kui punkt A 1 sümmeetriline antud koordinaattasandi suhtes tere siis vahe sisse
punktide koordinaadid on ainult koordinaadi märgis z: A1 (x; y; -z).

punkt A 2 oh, siis A2 (x; -y; z).

punkt A 3 sümmeetriline antud tasandi suhtes Ouz, siis A2 (-x; y; z).

b) Kui punkt A 4 sümmeetriline antud koordinaatjoone suhtes Oh, siis vahe sisse
punktide koordinaadid on ainult koordinaatide märkides juures ja z: A4 (x; -y; -z).

punkt A 5 OU, siis A5 (-x; y; -z).

punkt A 6 sümmeetriline antud sirgjoone suhtes Oz, siis A6 (-x; -y; z).

sisse) Kui punkt A 7 on lähtekoha suhtes antud sümmeetriline, siis A6 (-x; -y; -z).

KOORDINAATIDE TEINE

Üleminekut ühest koordinaatsüsteemist teise nimetatakse koordinaatsüsteemi teisendus.

Me kaalume kaks teisendusjuhtu koordinaatsüsteemid ja tuletada valemid tasandi suvalise punkti koordinaatide vahelise sõltuvuse kohta erinevates koordinaatsüsteemides. (Koordinaadisüsteemi teisendamise tehnika on sarnane graafikute teisendamisega).

1.Paralleelne ülekanne. Sel juhul muutub koordinaatide alguspunkt, samas kui telgede suund ja skaala jäävad muutumatuks.

Kui koordinaatide alguspunkt läheb punkti 0 1 koordinaatidega 0 1 (x 0; y 0), siis asja juurde M(x; y) seos süsteemi koordinaatide vahel x0a ja x 0 0a 0 väljendatakse valemitega:

x \u003d x 0 + x "

y = y 0 + y"

Saadud valemid võimaldavad leida teadaolevate uute koordinaatide hulgast vanu koordinaate. X" ja kell" ja vastupidi.

y M(x; y) M(x"; y")

0 1 (x 0; y 0), x "

x 0 x"

2.Koordinaatide telgede pööramine. Sel juhul pööratakse mõlemat telge sama nurga all, samas kui alguspunkt ja skaala jäävad muutumatuks.

M(x; y)

y 1 x 1

Punktide koordinaadid M vanas süsteemis M(x; y) ja M(x"; y") - uues. Siis on mõlema süsteemi polaarraadius sama ja polaarnurgad on vastavalt võrdsed + ja , kus - polaarnurk uues koordinaatsüsteemis.

Vastavalt polaarkoordinaatidelt ristkülikukujulistele koordinaatidele ülemineku valemitele on meil:

x = rcos( + ) x = rcos cos - rsin patt

y = rsin( + ) y = rcos patt + rsin cos

Aga rcos = x" ja rsin = y", Sellepärast

x \u003d x " cos - y "patt

y \u003d x "patt + y" cos

Vastake järgmistele küsimustele kirjalikult:

1. Mis on tasapinna ristkülikukujuline koordinaatsüsteem? kosmoses?
2. Mis on rakendustelg? Ordinaat? Abstsiss?
3. Mis on koordinaattelgede ühikvektorite tähistus?
4. Mis on ort?
5. Kuidas arvutatakse ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis lõigu pikkus selle otste koordinaatidega?
6. Kuidas arvutatakse lõigu keskkoha koordinaadid selle otste koordinaatide järgi?
7. Mis on polaarkoordinaatide süsteem?
8. Milline on punkti koordinaatide suhe ristkülikukujulises ja polaarkoordinaadisüsteemis?

Täitke ülesanded:

1. Kui kaugel koordinaattasanditest on punkt A(1; -2; 3)

2. Kui kaugel on punkt A(1; -2; 3) koordinaatjoontest a)OU; b) OU; sisse)Oz;

3. Millise tingimuse rahuldavad ruumipunktide koordinaadid, mis on võrdselt kaugel?

a) kahelt koordinaattasandilt Ohu ja Оуz; AB

b) kõigilt kolmelt koordinaattasandilt

4. Leidke punkti koordinaadid M segmendi keskel AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) ja nimetage punkt sümmeetriliselt punktiga M, suhteliselt a) teljed Oh

b) teljed OU

sisse) teljed Oz.

5. Antud punkt B(4; - 3; - 4). Leia koordinaattelgedel ja koordinaattasanditel punktist langetatud ristide aluste koordinaadid.

6.Sillal OU leida punkt, mis on kahest punktist võrdsel kaugusel A(1; 2; - 1) ja B(-2; 3; 1).

7. Korter Ohz leida kolmest punktist võrdsel kaugusel asuv punkt A(2; 1; 0); B(-1; 2; 3) ja C(0;3;1).

8. Leia kolmnurga külgede pikkused ABC ja selle piirkond , kui tipu koordinaadid : A (-2; 0; 1), B (8; -4; 9), C (-1; 2; 3).

9. Leidke punktide projektsioonide koordinaadid A(2; -3; 5); In (3;-5; ); WITH(- ; - ; - ).

10. Punkte antakse A(1; -1; 0) ja B(-3; -1; 2). Arvutage kaugus lähtepunktist antud punktideni.

VEKTORID RUUMIS. PÕHIMÕISTED

Kõik suurused, millega füüsikas, tehnikas, igapäevaelus tegeletakse, jagunevad kahte rühma. Esimesi iseloomustab täielikult nende arvväärtus: temperatuur, pikkus, mass, pindala, töö. Selliseid koguseid nimetatakse skalaar.

Muud suurused, nagu jõud, kiirus, nihe, kiirendus jne. ei määra mitte ainult nende arvväärtus, vaid ka suund. Neid koguseid nimetatakse vektor, või vektorid. Vektorsuurus on geomeetriliselt kujutatud vektorina.

Vektor-see on suunatud sirge segment, st. segment, millel on
määratud pikkus ja suund.

Punkt on üks geomeetria põhimõisteid. Tänapäeva matemaatikas nimetatakse punkte erineva iseloomuga elemente, mis moodustavad ruume, näiteks Eukleidilises ruumis on punkt järjestatud n arvust koosnev hulk.

Kirjeldavas geomeetrias saab punkti asukoha ruumis määrata selle koordinaatide järgi. Tähelepanuväärne on see, et punkti kaugust projektsioonitasapinnast iseloomustav koordinaat on teljega sama nimega, mida selle projektsioonitasandi moodustamisel ei esine. Niisiis mõõdetakse punkti eemaldamist P 2-st y-koordinaadiga ja projektsioonide P 2 frontaaltasapind moodustub telgede OX ja OZ lõikepunktist.

Seega iseloomustavad punkti iga kolme projektsiooni kaks koordinaati, nende nimetus vastab telgede nimedele, mis moodustavad vastava projektsioonitasandi: horisontaalne - A 1 (X A; Y A); eesmine - A 2 (X A; Z A); profiil - A 3 (Y A; Z A).

Koordinaatide tõlkimine projektsioonide vahel toimub sideliinide abil. Seega edastatakse projektsioonitasandite süsteemis П 1 П 2 frontaal- ja horisontaalprojektsioonide jaoks ühine koordinaat x vertikaalse sideliini А 2 А 1 kaudu, mis on risti OX-teljega.

Nende kahe projektsiooni järgi saate koostada punkti projektsioone kas koordinaatide abil või graafiliselt. Graafiliselt koostatakse profiilprojektsioon Z-parameetri tõlkimisel frontaalprojektsioonist tõmmatud horisontaalse ühendusjoonega ja Y-parameeter kantakse horisontaalprojektsioonist, kasutades joonise konstantset sirgjoont - poolitatud telje nurga poolitaja. : Y 1 OY 3 , millel OY 1-ga risti olevast horisontaalprojektsioonist tõmmatud horisontaalne ühendusjoon murdub täisnurga all. Samal ajal moodustub koordinaatide alguspunktis ruut, mille külg on võrdne originaali Y-koordinaadiga, mis tagab Y-koordinaadi ülekande horisontaal- ja profiilprojektsiooni vahel. Tabelis. Joonistel 3.1 ja 3.2 on toodud punkti A koordinaatide järgi konstrueerimise üldalgoritmid kolmest projektsioonitasandist P 1 P 2 P 3 koosneva süsteemi ruumimudelis ja kompleksjoonisel.

Tabel 3.1

Algoritm punkti visuaalse kujutise koostamiseks koordinaatide järgi
Sõnavorm	Graafiline vorm
1. Pange kõrvale punkti A vastavad koordinaadid telgedel X, Y, Ζ. Saate punktid A x , A y , A z
2. Horisontaalne projektsioon A 1 asub punktidest A x ja A y paralleelselt tõmmatud sideliinide ristumiskohas X- ja Y-teljega.
3. Frontaalprojektsioon A 2 asub punktidest A x ja A z lähtuvate sideliinide ristumiskohas, mis on tõmmatud paralleelselt telgedega X ja z
4. Profiiliprojektsioon A 3 asub punktidest A y ja A z lähtuvate sideliinide ristumiskohas, mis on tõmmatud paralleelselt telgedega Y ja z
5. Punkt A asub punktidest A 1, A 2 ja A 3 tõmmatud sideliinide ristumiskohas

Juhend

Koostage kolm koordinaattasapinda, et saada võrdluspunkt punktis O. Joonisel on projektsioonitasandid kolme telje kujul – ox, oy ja oz, oz-telg on suunatud üles, oy-telg paremale. Viimase x-telje ehitamiseks jagage y- ja z-telgede vaheline nurk pooleks (kui joonistate puuris olevale paberilehele, siis lihtsalt joonistage see telg).

Pange tähele, et kui punkti A koordinaadid on kirjutatud kolmeks sulgudes (a, b, c), siis esimene arv a on x-tasandilt, teine ​​b y-lt, kolmas c z-lt. Kõigepealt võtke esimene koordinaat a ja märkige see x-teljele, vasakule ja alla, kui a on positiivne, paremale ja üles, kui see on negatiivne. Nimetage saadud täht B.

Seejärel joonistage viimane arv c z-teljel ülespoole, kui see on positiivne, ja z-teljele alla, kui see on negatiivne. Mark sai punkt täht D.

Saadud punktidest joonistage soovitud punkti projektsioonid tasapindadele. See tähendab, et punktis B tõmmake kaks sirget, mis on paralleelsed telgedega oy ja oz, punktis C tõmmake sirgjooned paralleelselt telgedega ox ja oz, punktis D - sirged, mis on paralleelsed telgedega ox ja oz.

Kui punkti üks koordinaatidest on võrdne nulliga, asub punkt ühel projektsioonitasanditest. Sel juhul märgi lihtsalt teadaolevad koordinaadid tasapinnale ja leia punkt nende projektsioonide ristumiskohad. Olge punktide joonistamisel ettevaatlik koordinaadid(a, 0, c) ja (a, b, 0), ärge unustage, et projektsioon x-teljele on 45⁰ nurga all.

Seotud videod

Allikad:

• ehitada koordinaatide järgi

Vihje 2: kuidas kontrollida, et punktid ei asuks samal joonel

Põhineb omadusi kirjeldaval aksioomil otse: mis iganes joon on, on olemas punktid kuulumine ja mittekuulumine. Seetõttu on üsna loogiline, et mitte kõik punktid lamab ühe peal otse read.

Sa vajad

• - pliiats;
• - joonlaud;
• - pliiats;
• - märkmik;
• - kalkulaator.

Juhend

Juhul, kui (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) on väiksem kui null, asub punkt K joone kohal või sellest vasakul. Teisisõnu, ainult siis, kui selline võrrand nagu (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 on tõene, punktid A, B ja K asuvad samal kohal otse.

Muudel juhtudel ainult kaks punktid(A ja B), mis vastavalt ülesandele lamavad otse, kuulub sellele: joon ei läbi kolmandat punkti (punkt K).

Kaaluge teist liikmelisuse võimalust punktid Märkus: seekord peate kontrollima, kas punkt C(x,y) kuulub lõigu lõpp-punktidega B(x1,y1) ja A(x2,y2), mis on osa otse z.

Kirjeldage vaadeldava lõigu punkte võrrandiga pOB+(1-p)OА=z, eeldusel, et 0≤p≤1. OB ja OA on vektorid. Kui on arv p, mis on suurem või võrdne 0-ga, kuid väiksem või võrdne 1-ga, siis pOB + (1-p) OA \u003d C ja punkt C asub lõigul AB. Vastasel juhul antud punkt sellesse segmenti ei kuulu.

Kirjutage üles võrdus pOB+(1-p)OА=С koordinaatide kaupa: px1+(1-p)x2=x ja py1+(1-p)y2=y.

Leidke arv p esimesest ja asendage selle väärtus teise võrrandiga. Kui võrdsus vastab tingimustele 0≤p≤1, siis punkt C kuulub lõiku AB.

Märge

Veenduge, et teie arvutused on õiged!

Abistavad nõuanded

Et leida k - sirgjoone kalle, on vaja (y2 - y1) / (x2 - x1).

Allikad:

• Algoritm punkti kuuluvuse kontrollimiseks hulknurgale. Kiirte jälgimise meetod 2019. aastal

Kolmemõõtmeline ruum koosneb kolmest põhimõistest, mida õpid järk-järgult kooli õppekavas: punkt, joon, tasapind. Mõne matemaatiliste suurustega töötamise käigus võib tekkida vajadus neid elemente kombineerida, näiteks punktist ja sirgest ruumilise tasapinna koostamiseks.

Juhend

Et mõista ruumis tasandite konstrueerimise algoritmi, pöörake tähelepanu mõnele tasandi või tasandite omadusi kirjeldavatele aksioomidele. Esiteks: läbi kolme punkti, mis ei asu ühel sirgel, läbib tasapind ja ainult üks. Seetõttu on tasapinna konstrueerimiseks vaja ainult kolme punkti, mis vastavad positsiooni aksioomile.

Teiseks: sirgjoon läbib mis tahes kahte punkti ja ainult ühte. Vastavalt sellele on võimalik konstrueerida tasapind läbi sirge ja punkti, mis sellel ei asu. Kui vastupidiselt: mis tahes sirgel on vähemalt kaks punkti, mida see läbib, kui on teada veel üks punkt, siis mitte sellel sirgel, saab läbi nende kolme punkti ehitada sirge, nagu esimeses lõigus. Selle sirge iga punkt kuulub tasapinnale.

Kolmandaks: tasapind läbib kahte ristuvat sirget ja ainult ühte. Lõikuvad sirged võivad moodustada ainult ühe ühise punkti. Ruumis olles on neil lõpmatu arv ühiseid punkte ja seetõttu moodustavad nad ühe sirge. Kui teate kahte sirget, millel on lõikepunkt, saate konstrueerida maksimaalselt ühe neid sirgeid läbiva tasapinna.

Neljandaks: kahe paralleelse joone kaudu on võimalik joonistada tasapind ja ainult üks. Seega, kui teate, et jooned on paralleelsed, saate joonistada nende kaudu tasapinna.

Viiendaks, läbi sirgjoone saab tõmmata lõpmatu arvu tasapindu. Kõiki neid tasapindu võib käsitleda kui ühe tasandi pöörlemist antud sirge ümber või kui lõpmatu arvu tasapindu, millel on üks lõikejoon.

Niisiis, saate ehitada tasapinna, kui on leitud kõik elemendid, mis määravad selle asukoha ruumis: kolm punkti, mis ei asu sirgel, sirge ja punkt, mis ei kuulu sirgele, kaks lõikuvat või kaks paralleelset sirget.

Seotud videod

Kas teadsite, et inimkeha on minielektrijaam? Igaüks meist toodab väikese koguse elektrit. Seda nii liikumisel kui ka puhkeolekus – siis tekib elektrienergia siseorganites, millest üks on süda.

Üks meditsiinilistest uuringutest, mille abil saab määrata südame seisundit, on EKG. Kardioloog teeb elektrokardiogrammi, et selgitada välja, kus see rinnus paikneb, kuidas töötavad kodad, klapid ja vatsakesed, nende kuju ja kas esineb funktsionaalseid muutusi. Üks olulisemaid EKG näitajaid on südame elektrilise telje suund.

Mis on südame telg ja kuidas seda leida?

Südametelge (nagu ka maa telge) ei saa näha ega puudutada. See määratakse ainult elektrokardiograafi abil, sest see fikseerib südame elektrilise aktiivsuse. Kui südamelihase rakud pingestuvad ja lõdvestuvad, moodustavad nad kuuletudes närvisüsteemist tulevatele impulssidele elektrivälja, mille keskmeks on EOS (südame elektriline telg).

Kuid kui vaatate anatoomilist atlast, saate tõmmata vertikaalse joone, mis jagab südame kaheks võrdseks osaks - umbes nii asub südame telg. Sellest võime järeldada, et EOS langeb kokku nn anatoomilise teljega. Muidugi on iga inimene individuaalne, seetõttu võib elektritelg erinevatel inimestel paikneda erinevalt (näiteks kui lähtume südame-statistilisest väärtusest, siis kõhnal inimesel asub EOS vertikaalselt, rasvunul horisontaalselt inimene).

Millal muudab südame telg asendit?

Pärast EKG tegemist ja EOS asukoha väljaselgitamist saab kardioloog öelda, kuidas rinnus, kas müokard on terve (südameline), kuidas liiguvad närviimpulsid südame erinevatesse osadesse.

Kui elektrokardiogramm näitab, et elektriline telg on paremale või vasakule, näitab see arstile kõiki patoloogilisi protsesse. Paremale kõrvalekaldumine võib põhjustada kahtlusi südame vales asendis (selle nihkumine võib olla kaasasündinud või tekkida aordi laienemise, neoplasmide ja muude patoloogiate tõttu). Lisaks on EOS-i kõrvalekalle märk eluohtlikest seisunditest: dekstrokardia, His-kimbu blokaad, müokardiinfarkt (selle eesmine sein).

Kui EOS on oluliselt kaldu vasakule, võib see olla kardiomüopaatia, mõne südameosa hüpertroofia, apikaalse infarkti või kaasasündinud väärarengu tunnuseks.

Paljud südamehaigused võivad praegu olla asümptomaatilised. Seetõttu on nii oluline perioodiliselt läbida arstlik läbivaatus, mille üks komponente on EKG. Lõppude lõpuks on haigust lihtsam ennetada. Ja südamehaigused on kohustuslikud, sest need on otsene oht elule.

Kestus: 1 õppetund (45 minutit).
Klass: 6. klass
Tehnoloogia:

• multimeedia esitlus Microsoft Office PowerPoint, sülearvuti;
• interaktiivse tahvli kasutamine;
• Microsoft Office Wordi ja Microsoft Office Exceli abil loodud õpilaste jaotusleht.

annotatsioon:
Teema "Koordinaadid" teemaplaneeringus on ette nähtud 6 tundi. See on neljas tund teemal "Koordinaadid". Õpilased on tunni ajal juba tutvunud mõistega "koordinaattasand" ja punkti konstrueerimise reeglitega. Teadmiste värskendamine toimub frontaalküsitluse vormis. Kordustundides kaasatakse kõik õpilased erinevatesse tegevustesse. Sel juhul kasutatakse kõiki materjali tajumise ja reprodutseerimise kanaleid.
Teooria omastamist kontrollitakse ka suulise töö käigus (ülesanne on lahendada ristsõna, millises veerandis punkt asub). Tugevatele õpilastele on ette nähtud lisaülesanded.
Tunnis kasutatakse multimeediumiseadmeid ja interaktiivset tahvlit esitluste ja ülesannete demonstreerimiseks Microsoft Office PowerPointis ja Notebookis. Testülesannete ja jaotusmaterjalide koostamiseks kasutati: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word.
Interaktiivse tahvli kasutamine avardab materjali esitamise võimalusi. Märkmiku programmis saavad õpilased iseseisvalt objekte õigesse kohta teisaldada. Microsoft Office PowerPointi programmis on võimalik määrata objektide liikumist, seega on silmadele füüsiline minut ette nähtud.

Õppetunnis kasutatakse:

• kodutööde kontrollimine;
• eesmine töö;
• õpilaste individuaalne töö;
• õpilase aruande esitlus;
• suuliste ja kirjalike harjutuste sooritamine;
• õpilaste tööd interaktiivse tahvliga;
• iseseisev töö.

Tunni ülevaade.

Sihtmärk: kinnistada märgitud punktide koordinaatide leidmise oskusi ja ehitada punkte etteantud koordinaatide järgi.
Tunni eesmärgid:
hariv:

• õpilaste teadmiste ja oskuste üldistamine teemal "Koordinaatide tasand";
• õpilaste teadmiste ja oskuste vahekontroll;

arendamine:

• õpilaste suhtlemispädevuse arendamine;
• õpilaste arvutioskuste arendamine;
• loogilise mõtlemise arendamine;
• õpilaste ainehuvi arendamine läbi ebatraditsiooniliste õppevormide;
• matemaatilise kirjaoskuse arendamine, õpilaste silmaring;
• õpiku ja lisakirjandusega iseseisva töö oskuse arendamine;
• õpilaste esteetiliste tunnete arendamine;

hariv:

• distsipliini kasvatamine töökorralduses klassiruumis;
• tunnetusliku tegevuse, vastutustunde, suhtlemiskultuuri kasvatamine;
• täpsusharidus konstruktsioonide teostamisel.

Tundide ajal.

• Aja organiseerimine.

Õpilaste tervitamine Tunni teema ja eesmärgi sõnum. Klassi tunniks valmisoleku kontrollimine. Ülesanne püstitatakse: korrata, üldistada, süstematiseerida teadmisi väljakuulutatud teemal.

2. Teadmiste aktualiseerimine.

Sõnaline loendamine.
1) Individuaalne töö: kaartidel töötavad mitu inimest.

2) Töötage klassiga: arvutage näiteid ja koostage sõna. Tabel interaktiivse tahvli ekraanil, tähed sisestatakse tabelisse elektroonilise markeriga interaktiivselt tahvlilt.

Õpilased lähevad kordamööda tahvli juurde ja kirjutavad tähti. Selgub sõna "Prometheus". Üks õpilastest, kes on eelnevalt ettekande koostanud, räägib, mida see sõna tähendab. (Vana-Kreeka astronoom Claudius Ptolemaios, kes kasutas laius- ja pikkuskraade koordinaatidena juba 2. sajandil.)

Esitöö.

Ülesanne “Lahenda ristsõna” aitab teil meelde jätta põhimõisted teemal “Koordinaatide tasand”.
Õpetaja näitab interaktiivse tahvli ekraanil ristsõna ja kutsub õpilasi seda lahendama. Õpilased kasutavad elektroonilisi markereid sõnade kirjutamiseks ristsõnasse.
1. Kaks koordinaatjoont moodustavad koordinaadi ....
2. Koordinaatsirged on koordinaadid ....
3. Milline nurk moodustub koordinaatjoonte ristumiskohas?
4. Kuidas nimetatakse arvupaari, mis määrab punkti asukoha tasapinnal?
5. Mis on esimese numbri nimi?
6. Mis on teise numbri nimi?
7. Mis on segmendi nimi 0 kuni 1?
8. Mitu osa on koordinaattasand jagatud koordinaatjoontega?

3. Oskuste ja vilumuste kinnistamine geomeetrilise kujundi koostamiseks vastavalt selle tippude etteantud koordinaatidele.

Geomeetriliste kujundite konstrueerimine. Töötage õpikuga vihikutes.

• Nr 1054a „Ehitage kolmnurk, kui on teada selle tippude koordinaadid: A (0; -3), B (6: 2), C (5: 2). Määrake nende punktide koordinaadid, kus kolmnurga küljed ristuvad x-teljega.
• Koostage nelinurk ABCD, kui A(-3;1), B(1;1), C(1;-2),D(-3;-2). Määrake nelinurga tüüp. Leidke diagonaalide lõikepunkti koordinaadid.

4. Füüsiline harjutus silmadele.

Slaidil peaksid õpilased jälgima oma silmadega objekti liikumist. Füüsilise minuti lõpus esitatakse küsimus silmade liikumise tulemusena saadud geomeetriliste kujundite kohta.

5. Kontroll oskuse üle ehitada koordinaattasandile punkte vastavalt etteantud koordinaatidele.

Iseseisev töö. Kunstnike konkurss.
Slaidile kirjutatakse punktide koordinaadid. Igale õpilasele trükitakse ka kaardid. Kui märgite punktid koordinaattasandile õigesti ja ühendate need järjestikku, saate pildi. Iga õpilane täidab ülesande iseseisvalt. Peale töö valmimist avaneb ekraanile õige joonis. Iga õpilane saab iseseisva töö eest hinnangu.

6. Kodutöö.

• nr 1054b, nr 1057a.
• Loovülesanne: joonistage punktide kaupa koordinaattasandile joonis ja kirjutage üles nende punktide koordinaadid.

7. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Küsimused õpilastele:

• Mis on koordinaattasand?
• Mis nimed on koordinaattelgedel OX ja OY?
• Mis nurk moodustub koordinaatsirgete lõikumisel?
• Kuidas nimetatakse arvupaari, mis määrab punkti asukoha tasapinnal?
• Mis on esimese numbri nimi?
• Mis on teise numbri nimi?

Kirjandus ja ressursid:

• G.V. Dorofejev, S. B. Suvorova, I. F. Šarõgin “Matemaatika. 6cl”
• Matemaatika. 6. klass: tunniplaanid (vastavalt G.V. Dorofejevi ja teiste õpikule)
• http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm