Algebraliste polünoomide arvutamisel kasutame arvutuste lihtsustamiseks lühendatud korrutusvalemid . Selliseid valemeid on kokku seitse. Neid kõiki tuleb peast teada.

Samuti tuleb meeles pidada, et valemites võivad a ja b asemel olla nii arvud kui ka muud algebralised polünoomid.

Ruudude erinevus

Kahe arvu ruutude vahe on võrdne nende arvude ja nende summa erinevuse korrutisega.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

summa ruut

Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine ​​pluss teise arvu ruut.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Pange tähele, et selle vähendatud korrutamisvalemiga on seda lihtne teha leida suurte arvude ruudud ilma kalkulaatorit või pikka korrutamist kasutamata. Selgitame näitega:

Leidke 112 2 .

Lagundame 112 arvude summaks, mille ruudud me hästi mäletame.2
112 = 100 + 1

Kirjutame sulgudesse arvude summa ja paneme sulgude kohale ruudu.
112 2 = (100 + 12) 2

Kasutame summa ruudu valemit:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Pidage meeles, et ruutsumma valem kehtib ka kõigi algebraliste polünoomide puhul.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Hoiatus!!!

(a + b) 2 ei ole võrdne a 2 + b 2

Vahe ruut

Kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Samuti tasub meeles pidada väga kasulikku teisendust:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Ülaltoodud valemit tõestatakse lihtsalt sulgude laiendamisega:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

summa kuup

Kahe arvu summa kuup võrdub esimese arvu kuubikuga pluss kolm korda esimese arvu ruut ja teine ​​pluss kolm korda esimese numbri korrutis, teise ruut pluss teise kuup.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Selle "kohutava" välimusega valemi mäletamine on üsna lihtne.

Õppige, et 3 on esimene.

Kahe keskel oleva polünoomi koefitsiendid on 3.

ATpidage meeles, et mis tahes arv nullastmeni on 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). On hästi näha, et valemis on astme a vähenemine ja astme b tõus. Saate seda kontrollida:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Hoiatus!!!

(a + b) 3 ei ole võrdne a 3 + b 3

erinevuse kuubik

Kahe arvu erinevuse kuup on võrdne esimese arvu kuubiga, millest on lahutatud esimese arvu ja teise numbri kolm korda ruut pluss kolm korda esimese arvu ja teise arvu ruudu korrutis miinus teise kuup .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Seda valemit mäletatakse kui eelmist, kuid ainult märkide "+" ja "-" vaheldumist arvesse võttes. 3 esimesele liikmele eelneb "+" (matemaatika reeglite järgi me seda ei kirjuta). See tähendab, et järgmisele liikmele eelneb "-", seejärel jälle "+" jne.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

kuubikute summa ( Mitte segi ajada summa kuubikuga!)

Kuubikute summa võrdub kahe arvu summa ja erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Kuubikute summa on kahe sulu korrutis.

Esimene sulg on kahe arvu summa.

Teine sulg on arvude erinevuse mittetäielik ruut. Erinevuse mittetäielikku ruutu nimetatakse avaldiseks:

A 2 - ab + b 2
See ruut on mittetäielik, kuna keskel on topeltkorrutise asemel tavaline arvude korrutis.

Kuubiku erinevus (mitte segi ajada erinevuse kuubikuga!!!)

Kuubikute vahe on võrdne kahe arvu erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Olge tähemärkide kirjutamisel ettevaatlik.Tuleb meeles pidada, et kõiki ülaltoodud valemeid kasutatakse ka paremalt vasakule.

Lihtne viis lühendatud korrutusvalemite meeldejätmiseks või... Pascali kolmnurk.

Kas lühendatud korrutamise valemeid on raske meeles pidada? Juhtumit on lihtne aidata. Peate lihtsalt meeles pidama, kuidas kujutatakse sellist lihtsat asja nagu Pascali kolmnurk. Siis jätad need valemid alati ja kõikjal meelde või õigemini ära jäta meelde, vaid taastad.

Mis on Pascali kolmnurk? See kolmnurk koosneb koefitsientidest, mis lisavad vormi binoomi mis tahes astme laiendamist polünoomiks.

Jaotame selle näiteks:

Selles kirjes on lihtne meeles pidada, et alguses on esimese numbri kuup ja lõpus teise numbri kuup. Aga seda, mis seal keskel on, on raske meenutada. Ja isegi see, et igal järgmisel ametiajal ühe teguri aste kogu aeg väheneb, teise aga suureneb - seda on kerge märgata ja meelde jätta, kordajaid ja märke (pluss või miinus?) on raskem meeles pidada.

Niisiis, kõigepealt koefitsiendid. Sa ei pea neid pähe õppima! Märkmiku servadele joonistame kiiresti Pascali kolmnurga ja siin nad on - koefitsiendid, juba meie ees. Alustame joonistamist kolmega, üks üleval, kaks alla, paremale ja vasakule - jah, juba saadakse kolmnurk:

Esimene rida ühega on null. Siis tuleb esimene, teine, kolmas ja nii edasi. Teise rea saamiseks peate servi uuesti lisama ja keskele kirjutama üles arv, mis saadi kahe numbri lisamisel selle kohale:

Kirjutame kolmanda rea: jälle mööda ühiku servi ja jällegi, et saada järgmine arv uuele reale, lisage selle kohal olevad numbrid eelmisele reale:

Nagu arvata võis, saame igale reale koefitsiendid binoomarvu polünoomiks lagunemisest:

Noh, märke on veelgi lihtsam meeles pidada: esimene on sama, mis laiendatud binoomil (paneme välja summa, mis tähendab pluss, vahe, mis tähendab miinust) ja siis märgid vahelduvad!

See on nii kasulik asi – Pascali kolmnurk. Nautige!

Vähendatud korrutamise valemeid või reegleid kasutatakse aritmeetikas ja täpsemalt algebras, et kiirendada suurte algebraavaldiste arvutamist. Valemid ise on tuletatud algebra olemasolevatest reeglitest mitme polünoomi korrutamiseks.

Nende valemite kasutamine annab üsna kiire lahenduse erinevatele matemaatikaülesannetele ning aitab ka avaldisi lihtsustada. Algebraliste teisenduste reeglid lubavad teha mõningaid manipulatsioone avaldistega, mille järel saad avaldise võrdsuse vasakul poolel, mis on paremal pool või teisendada võrrandi paremat poolt (avaldise saamiseks vasak pool pärast võrdusmärki).

Mäluga lühendatud korrutamiseks kasutatavaid valemeid on mugav teada, kuna neid kasutatakse sageli ülesannete ja võrrandite lahendamisel. Selle loendi peamised valemid ja nende nimed on loetletud allpool.

summa ruut

Summa ruudu arvutamiseks tuleb leida summa, mis koosneb esimese liikme ruudust, esimese ja teise liikme kahekordsest korrutisest ning teise liikme ruudust. Avaldise kujul kirjutatakse see reegel järgmiselt: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Vahe ruut

Vahe ruudu arvutamiseks peate arvutama summa, mis koosneb esimese arvu ruudust, esimese arvu kahekordsest korrutisest teisega (võetud vastupidise märgiga) ja teise numbri ruudust. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Ruudude erinevus

Kahe arvu ruudu erinevuse valem võrdub nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

summa kuup

Kahe liikme summa kuubi arvutamiseks peate arvutama summa, mis koosneb esimese liikme kuubist, esimese ja teise liikme ruudu kolmekordsest korrutisest, esimese liikme ja teise liikme kolmikkorrutisest ruudus ja teise liikme kuup. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Kuubikute summa

Valemi järgi võrdub see nende liikmete summa ja nende erinevuse mittetäieliku ruudu korrutisega. Avaldise kujul näeb see reegel välja järgmine: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Näide. On vaja arvutada kujundi maht, mis moodustub kahe kuubi lisamisel. Teada on vaid nende külgede suurused.

Kui külgede väärtused on väikesed, on arvutusi lihtne teha.

Kui külgede pikkused on väljendatud tülikate numbritega, on sel juhul lihtsam rakendada valemit "Kuupide summa", mis lihtsustab arvutusi oluliselt.

erinevuse kuubik

Kuubiku erinevuse avaldis kõlab järgmiselt: esimese liikme kolmanda astme summana kolmekordistatakse esimese liikme ruudu negatiivne korrutis teisega, kolmekordistatakse esimese liikme korrutis teise liikme ruuduga. , ja teise liikme negatiivne kuup. Matemaatilise avaldise kujul näeb erinevuse kuup välja järgmine: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Kuubikute erinevus

Kuubikute erinevuse valem erineb kuubikute summast vaid ühe märgi võrra. Seega on kuubikute erinevus valem, mis võrdub nende arvude erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga. Matemaatilise avaldise kujul näeb kuubikute erinevus välja selline: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Näide. Tuleb välja arvutada joonise maht, mis jääb alles pärast kollase mahukuju, mis on ühtlasi kuup, lahutamist sinise kuubi mahust. Teada on vaid väikese ja suure kuubi külje suurus.

Kui külgede väärtused on väikesed, on arvutused üsna lihtsad. Ja kui külgede pikkused on väljendatud märkimisväärsetes numbrites, siis tasub kasutada valemit pealkirjaga "Kuubikute erinevus" (või "Erinevuskuubik"), mis lihtsustab arvutusi oluliselt.

Praktikas kasutatakse väga sageli lühendatud väljendivalemeid, mistõttu on soovitatav need kõik pähe õppida. Kuni selle hetkeni teenime truult, mida soovitame välja printida ja kogu aeg silme ees hoida:

Esimesed neli valemit koostatud lühendatud korrutusvalemite tabelist võimaldavad teil kahe avaldise summa või erinevuse ruut- ja kuubikuks teha. Viies on kahe avaldise vahe ja summa lühiajaliseks korrutamiseks. Ja kuuendat ja seitsmendat valemit kasutatakse kahe avaldise a ja b summa korrutamiseks nende erinevuse mittetäieliku ruuduga (nii nimetatakse avaldist vormis a 2 −a b + b 2) ja kahe avaldise erinevusega. a ja b vastavalt nende summa mittetäieliku ruudu võrra (a 2 + a b+b 2 ).

Eraldi tasub märkida, et iga võrdus tabelis on identiteet. See seletab, miks lühendatud korrutusvalemeid nimetatakse ka lühendatud korrutusidentiteetideks.

Näidete lahendamisel, eriti kui toimub polünoomi faktoriseerimine, kasutatakse FSU-d sageli kujul, mille vasak ja parem osa on ümber paigutatud:

Tabeli kolmel viimasel identiteedil on oma nimed. Nimetatakse valemit a 2 −b 2 =(a−b) (a+b). ruutude erinevuse valem, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 -a b+b 2) - kuubikute summa valem, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - kuubiku erinevuse valem. Pange tähele, et me ei nimetanud vastavaid valemeid koos ümberkorraldatud osadega eelmisest FSU tabelist.

Täiendavad valemid

Ei tee paha, kui lisada lühendatud korrutusvalemite tabelisse veel paar identiteeti.

Lühendatud korrutusvalemite (FSU) ulatus ja näited

Lühendatud korrutamisvalemite (FSU) põhieesmärk on seletatav nende nimega, see tähendab, et see seisneb avaldiste lühikeses korrutamises. Kuid FSO ulatus on palju laiem ega piirdu lühikese korrutamisega. Loetleme peamised suunad.

Kahtlemata leiti taandatud korrutusvalemi keskne rakendus avaldiste identsete teisenduste sooritamisel. Kõige sagedamini kasutatakse neid valemeid protsessis väljendite lihtsustused.

Näide.

Lihtsusta avaldist 9·y−(1+3·y) 2 .

Otsus.

Selles avaldises võib ruudustamist teostada lühendatult 9 a−(1+3 a) 2 =9 a−(1 2 +2 1 3 a+(3 a) 2). Jääb vaid avada sulud ja anda sarnased terminid: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y-1-6 y-9 y 2 =3 y-1-9 y 2.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all peetakse silmas andmeid, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutavad isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Kui see on vajalik - vastavalt seadusele, kohtukorraldusele, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riigiasutuste taotluste alusel - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Eelmises tunnis käsitlesime faktoriseerimist. Õppisime kahte meetodit: ühisteguri sulgudest välja võtmine ja rühmitamine. Selles õpetuses on järgmine võimas meetod: lühendatud korrutusvalemid. Lühidalt - FSU.

Lühendatud korrutusvalemid (summa ja vahe ruut, summa ja vahe kuup, ruutude vahe, kuubikute summa ja vahe) on hädavajalikud kõigis matemaatika harudes. Neid kasutatakse avaldiste lihtsustamisel, võrrandite lahendamisel, polünoomide korrutamisel, murdude vähendamisel, integraalide lahendamisel jne. jne. Ühesõnaga, nendega tegelemiseks on põhjust. Saate aru, kust need tulevad, miks neid vaja on, kuidas neid meeles pidada ja kuidas neid rakendada.

Kas me saame aru?)

Kust tulevad lühendatud korrutusvalemid?

Võrdused 6 ja 7 ei ole kirjutatud väga tavapärasel viisil. Nagu vastupidi. See on meelega.) Igasugune võrdsus toimib nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Sellise kirje puhul on selgem, kust FSO pärineb.

Need on võetud korrutamisest.) Näiteks:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

See on kõik, ei mingeid teaduslikke nippe. Me lihtsalt korrutame sulud ja anname sarnased. Nii see selgub kõik lühendatud korrutusvalemid. lühendatud korrutamine on sellepärast, et valemites endis sulgude korrutamist ja sarnaste taandamist pole. Vähendatud.) Tulemus antakse kohe.

FSU peab teadma peast. Ilma esimese kolmeta ei saa te unistada kolmikust, ilma ülejäänuteta - umbes neljast viiega.)

Miks me vajame lühendatud korrutusvalemeid?

Nende valemite õppimiseks või isegi meeldejätmiseks on kaks põhjust. Esimene - valmis vastus masinas vähendab dramaatiliselt vigade arvu. Kuid see pole peamine põhjus. Ja siin on teine...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.