Milliseid väärtusi võib skalaarväärtus võtta. Mass ja tihedus

 Vektor- puhtalt matemaatiline mõiste, mida kasutatakse ainult füüsikas või muus rakendusteadused ja mis võimaldab lihtsustada mõne keeruka probleemi lahendamist.
 Vektor− suunatud sirglõik.
Ma tean elementaarne füüsika tuleb opereerida kahe suuruskategooriaga − skalaar ja vektor.
 Skalaar kogused (skalaarid) on suurused, mida iseloomustavad arvväärtus ja allkirjastada. Skalaarid on pikkus − l, mass − m, tee − s, aeg − t, temperatuur − T, elektrilaeng − q, energia − W, koordinaadid jne.
Skalaarväärtustele rakendatakse kõiki algebralisi tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine jne).

 Näide 1.
Määrake süsteemi kogulaeng, mis koosneb selles sisalduvatest laengutest, kui q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC.
Süsteemi täielik tasu
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2-7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 Näide 2.
Sest ruutvõrrand lahke
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 vektor suurused (vektorid) on suurused, mille defineerimiseks on vaja lisaks arvväärtusele märkida ka suund. Vektorid − kiirus v, jõudu F, hoogu lk, pinge elektriväli E, magnetinduktsioon B ja jne.
Vektori arvväärtust (moodulit) tähistatakse tähega ilma vektori sümbolita või on vektor vertikaalsete joonte vahele r = |r|.
Graafiliselt on vektorit kujutatud noolega (joonis 1),

Mille pikkus antud skaalal on võrdne selle mooduliga ja suund langeb kokku vektori suunaga.
Kaks vektorit on võrdsed, kui nende moodulid ja suunad on samad.
Vektorisuurused liidetakse geomeetriliselt (vektorialgebra reegli järgi).
Antud komponentvektorite vektorsumma leidmist nimetatakse vektorite liitmiseks.
Kahe vektori liitmine toimub rööpküliku või kolmnurga reegli järgi. Koguvektor
c = a + b
võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaaliga a ja b. Moodul see
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (joonis 2).


Kui α = 90°, on c = √(a 2 + b 2 ) Pythagorase teoreem.

Sama vektori c saab kolmnurga reegliga, kui vektori lõpust a edasilükkamise vektor b. Sulgev vektor c (ühendab vektori algust a ja vektori lõpp b) on terminite (vektorite komponentide) vektorsumma a ja b).
Saadud vektor leitakse katkendjoone sulgemisena, mille lülideks on koostisosavektorid (joonis 3).


 Näide 3.
Lisage kaks jõudu F 1 \u003d 3 N ja F 2 \u003d 4 N, vektorid F1 ja F2 tehke horisondiga vastavalt nurgad α 1 \u003d 10 ° ja α 2 \u003d 40 °
 F = F 1 + F 2(joonis 4).

Nende kahe jõu liitmise tulemuseks on jõud, mida nimetatakse resultandiks. Vektor F suunatud piki vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaali F1 ja F2, külgedena ja moodul on võrdne selle pikkusega.
Vektori moodul F leida koosinusseadusega
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Kui a
(α 2 − α 1) = 90°, siis F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Nurga see vektor F on härja teljega, leiame valemiga
α \u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctaan((3,0,17 + 4,0,64)/(3,0,98 + 4,0,77)) = arctaan 0,51, α ≈ 0,47 rad.

Vektori a projektsioon teljele Ox (Oy) on skalaarväärtus, mis sõltub vektori suuna vahelisest nurgast α a ja kirved Ox (Oy). (Joonis 5)


Vektorprojektsioonid a Ox ja Oy telgedel ristkülikukujuline süsteem koordinaadid. (Joonis 6)


Et vältida vigu vektori projektsiooni märgi määramisel teljele, on kasulik meeles pidada järgmist reeglit: kui komponendi suund langeb kokku telje suunaga, siis vektori projektsioon sellele. telg on positiivne, aga kui komponendi suund on vastupidine telje suunale, siis on vektori projektsioon negatiivne. (Joonis 7)


Vektori lahutamine on liitmine, milles esimesele vektorile lisatakse vektor, mis on arvuliselt võrdne teisega, vastupidises suunas
a − b = a + (−b) = d(joonis 8).

Olgu see vektorist vajalik a lahutada vektor b, nende erinevus − d. Kahe vektori erinevuse leidmiseks on vaja vektorit a lisa vektor ( −b), see tähendab vektorit d = a − b on vektor, mis on suunatud vektori algusest a vektori lõpu poole ( −b) (joonis 9).

Vektoritele ehitatud rööpkülikul a ja b mõlemad pooled, üks diagonaal c on summa ja muu tähendus d− vektorite erinevused a ja b(joonis 9).
Vektortoode a skalaari kohta k võrdub vektoriga b= k a, mille moodul on k korda suurem kui vektori moodul a, ja suund on sama mis suund a positiivse k korral ja vastupidi negatiivse k korral.

 Näide 4.
Määrake 2 kg massiga keha impulss, mis liigub kiirusega 5 m/s. (Joonis 10)

keha hoog lk= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s ja on suunatud kiirusele v.

 Näide 5.
Laeng q = −7,5 nC asetatakse elektrivälja intensiivsusega E = 400 V/m. Leia laengule mõjuva jõu moodul ja suund.

Tugevus võrdub F= q E. Kuna laeng on negatiivne, on jõuvektor suunatud vektorile vastupidises suunas E. (Joonis 11)


 Jaoskond vektor a skalaariga k võrdub korrutamisega a 1/k võrra.
 Dot toode vektorid a ja b kutsuge skalaariks "c", mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (joonis 12)


 Näide 6.
Leidke konstantse jõu F = 20 N töö, kui nihe S = 7,5 m ning nurk α jõu ja nihke α = 120° vahel.

Jõu töö on definitsiooni järgi punktitoode jõud ja liigutused
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = –150 × 1/2 = –75 J.

 vektorkunst vektorid a ja b kõne vektor c, mis on arvuliselt võrdne vektorite a ja b moodulite korrutisega, korrutatuna nendevahelise nurga siinusega:
c = a × b = ,
c = ab × sinα.
Vektor c risti tasapinnaga, millel vektorid asuvad a ja b, ja selle suund on seotud vektorite suunaga a ja b parempoolne kruvireegel (joonis 13).


 Näide 7.
Määrata magnetvälja asetatud 0,2 m pikkusele juhile, mille induktsioon on 5 T, mõjuv jõud, kui voolutugevus juhis on 10 A ja see moodustab välja suunaga nurga α = 30 °.

Võimendi võimsus
dF = I = Idl × B või F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Kaaluge probleemi lahendamist.
1. Kuidas on suunatud kaks vektorit, mille moodulid on ühesugused ja võrdsed a-ga, kui nende summa moodul on: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?

 Otsus.
a) Kaks vektorit on suunatud piki sama sirget sisse vastasküljed. Nende vektorite summa on võrdne nulliga.

b) Kaks vektorit on suunatud piki sama sirget samas suunas. Nende vektorite summa on 2a.

c) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 120° nurga all. Vektorite summa on võrdne a. Saadud vektor leitakse koosinusteoreemiga:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 ja α = 120°.
d) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 90° nurga all. Summa moodul on
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2,
cosα = 0 ja α = 90°.

e) Kaks vektorit on suunatud üksteise suhtes 60° nurga all. Summa moodul on
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 ja α = 60°.
 Vastus: Vektorite vaheline nurk α on võrdne: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Kui a = a1 + a2 vektorite orientatsioon, mida saab öelda vektorite vastastikuse orientatsiooni kohta a 1 ja a 2, kui: a) a = a 1 + a 2; b) a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 \u003d a 1 - a 2?

 Otsus.
a) Kui vektorite summa leitakse nende vektorite moodulite summana, siis vektorid on suunatud mööda ühte sirgjoont, mis on üksteisega paralleelsed a 1 ||a 2.
b) Kui vektorid on suunatud üksteise suhtes nurga all, siis nende summa leitakse rööpküliku koosinuste seadusega
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 ja α = 90°.
vektorid on üksteisega risti a 1 ⊥ a 2.
c) Seisukord a 1 + a 2 = a 1 - a 2 saab teostada, kui a 2− nullvektor, siis a 1 + a 2 = a 1 .
 Vastused. a) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; sisse) a 2− nullvektor.

3. Keha ühte punkti rakendatakse kaks jõudu, kumbki 1,42 N, üksteise suhtes 60° nurga all. Millise nurga all tuleb keha samale punktile rakendada kumbki 1,75 N suurust jõudu, et nende mõju tasakaalustaks kahe esimese jõu mõju?

Otsus.
Vastavalt ülesande tingimusele tasakaalustavad kaks jõudu 1,75 N kumbki kahte jõudu 1,42 N. See on võimalik, kui jõupaaride tulemuseks olevate vektorite moodulid on võrdsed. Saadud vektor määratakse rööpküliku koosinusteoreemiga. Esimese jõudude paari jaoks:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
vastavalt teisele jõudude paarile
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Võrrandi vasakpoolsete osade võrdsustamine
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Leidke soovitud nurk β vektorite vahel
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Pärast arvutusi,
cosβ = (2,1,422 + 2,1,422.cos60° – 2,1,752)/(2,1,752) = –0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Teine lahendus.
Vaatleme vektorite projektsiooni koordinaatteljele OX (joon.).

Kasutades külgede vahelist suhet sisse täisnurkne kolmnurk, saame
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
kus
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) ja β ≈ 90,7°.

4. Vektor a = 3i − 4j. Milline peab olema skalaarväärtus c, et |c a| = 7,5?
 Otsus.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektori moodul a on võrdne
a 2 = 3 2 + 4 2 ja a = ±5,
siis alates
c.(±5) = 7,5,
leida see
c = ±1,5.

5. Vektorid a 1 ja a 2 päritolust välja tulema ja omama Descartes'i koordinaadid otsad vastavalt (6, 0) ja (1, 4). Leidke vektor a 3 selline, et: a) a 1 + a 2 + a 3= 0; b) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Otsus.
Joonistame vektorid sisse Descartes'i süsteem koordinaadid (joon.)

a) Saadud vektor piki Ox-telge on
a x = 6 + 1 = 7.
Saadud vektor piki Oy telge on
a y = 4 + 0 = 4.
Et vektorite summa oleks võrdne nulliga, on vajalik, et tingimus
a 1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 moodul on võrdne koguvektoriga a1 + a2 kuid suunatud vastupidises suunas. Lõppvektori koordinaat a 3 on võrdne (−7, −4) ja mooduliga
a 3 \u003d √ (7 2 + 4 2) \u003d 8.1.

B) Saadud vektor piki Ox-telge on võrdne
a x = 6 - 1 = 5,
ja saadud vektor mööda Oy telge
a y = 4 – 0 = 4.
Kui tingimus
a 1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 on vektori lõpu koordinaadid a x = -5 ja a y = -4 ning selle moodul on
a 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4.

6. Sõnumitooja sõidab 30 m põhja, 25 m itta, 12 m lõunasse ja tõuseb siis hoones liftiga 36 m kõrgusele.Kuidas on tema läbitud vahemaa L ja nihe S?

 Otsus.
Kujutagem ülesandes kirjeldatud olukorda tasapinnal suvalises mõõtkavas (joon.).

Vektori lõpp OA on koordinaadid 25 m ida suunas, 18 m põhjas ja 36 üles (25; 18; 36). Inimese läbitud tee on
P = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Nihkevektori moodul leitakse valemiga
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2),
kus x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2) \u003d 47,4 (m).
 Vastus: P = 103 m, S = 47,4 m.

7. Nurk α kahe vektori vahel a ja b võrdub 60°. Määrake vektori pikkus c = a + b ja vektorite vaheline nurk β a ja c. Vektorite suurused on a = 3,0 ja b = 2,0.

 Otsus.
Vektori pikkus võrdne summaga vektorid a ja b määrame rööpküliku koosinusteoreemi abil (joon.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Pärast asendamist
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60°) = 4,4.
Nurga β määramiseks kasutame siinusteoreemi jaoks kolmnurk ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samal ajal peaksite seda teadma
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Lihtsa lahendamine trigonomeetriline võrrand, jõuame väljendini
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
seega,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Kontrollime kolmnurga koosinusteoreemi abil:
a 2 + c 2 - 2ac.cosβ = b 2,
kus
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
ja
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arccos ((3 2 + 4,4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
 Vastus: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Probleeme lahendama.
8. Vektorite jaoks a ja b defineeritud näites 7, leidke vektori pikkus d = a − b süstimine γ vahel a ja d.

9. Leia vektori projektsioon a = 4,0i + 7,0j sirgele, mille suund moodustab Ox-teljega nurga α = 30°. Vektor a ja joon asub xOy tasapinnal.

10. Vektor a teeb sirgjoonega AB nurga α = 30°, a = 3,0. Millise nurga all β sirge AB suhtes peaks vektor olema suunatud b(b = √(3)), nii et vektor c = a + b oli paralleelne AB-ga? Leia vektori pikkus c.

11. Antud on kolm vektorit: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. Leia) a+b; b) a+c; sisse) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.

12. Vektoritevaheline nurk a ja b võrdub α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Leia vektorite pikkused c = (a, b)a + b ja d = 2b − a/2.

13. Tõesta, et vektorid a ja b on risti, kui a = (2, 1, -5) ja b = (5, -5, 1).

14. Leidke vektorite vaheline nurk α a ja b, kui a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vektor a teeb Ox-teljega nurga α = 30°, selle vektori projektsioon Oy teljele on a y = 2,0. Vektor b vektoriga risti a ja b = 3,0 (vt joonist).

Vektor c = a + b. Leidke: a) vektorprojektsioonid b Ox ja Oy telgedel; b) väärtus c ja vektori vaheline nurk β c ja telg Ox; Takso); d) (a, c).

 Vastused:
9. a 1 \u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j − 2k; c) 15i − 18j + 9k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. a) b x \u003d -1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Füüsikat õppides on sul suurepäraseid võimalusi jätkake oma haridusteed tehnikaülikool. See eeldab paralleelset teadmiste süvendamist matemaatikas, keemias, keeles ja harvem ka muudes ainetes. Vabariikliku olümpiaadi võitja Egor Savich on lõpetamas Moskva Füüsika ja Tehnoloogia Instituudi ühte osakonda, kus keemia teadmistele esitatakse suuri nõudmisi. Kui vajate abi GIA-s keemias, võtke ühendust spetsialistidega, teile antakse kindlasti kvalifitseeritud ja õigeaegne abi.

 Vaata ka:

Vektori kogus

Vektori kogus- füüsikaline suurus , mis on vektor (1. järgu tensor). Ühelt poolt vastandub see skalaarile (0. järgu tensorid), teiselt poolt tensorkogustele (rangelt võttes 2. või enama järgu tensorid). Seda saab vastandada ka teatud täiesti erineva matemaatilise iseloomuga objektidele.

Enamasti kasutatakse füüsikas mõistet vektor vektori tähistamiseks nn "füüsilises ruumis", s.t. tavalises kolmemõõtmelises ruumis klassikalises füüsikas või neljamõõtmelises aegruumis sisse kaasaegne füüsika(sisse viimane juhtum vektori ja vektori suuruse mõiste kattuvad 4-vektori ja 4-vektorilise suuruse mõistega).

Väljendi "vektorikogus" kasutamine on sellega praktiliselt ammendatud. Mis puutub mõiste "vektor" kasutamisse, siis hoolimata vaikimisi gravitatsioonist sama rakendusala suunas, suurel hulgal juhtudel aga ületab need piirid palju. Selle kohta lisateabe saamiseks vaadake allpool.

Terminite kasutamine vektor ja vektori suurus füüsikas

Üldiselt langeb vektori mõiste füüsikas peaaegu täielikult kokku matemaatika omaga. Siiski on terminoloogiline eripära, mis on seotud sellega, et kaasaegses matemaatikas on see mõiste mõnevõrra liiga abstraktne (seoses füüsika vajadustega).

Matemaatikas tähendab "vektor" ütlemine pigem vektorit üldiselt, s.t. mis tahes suvalise suvalise mõõtme ja olemusega suvalise abstraktse lineaarruumi vektor, mis kui erilist pingutust ei tee, võib tekitada isegi segadust (muidugi mitte niivõrd sisuliselt, kuivõrd kasutusmugavuse mõttes). Kui on vaja konkretiseerida, tuleb matemaatilises stiilis rääkida kas üsna pikalt ("sellise ja sellise ruumi vektor") või pidada silmas seda, mida selgelt kirjeldatud kontekst vihjab.

Füüsikas ei ole aga peaaegu alati tegemist matemaatiliste objektidega (millel on teatud formaalsed omadused) üldiselt, vaid nende teatud spetsiifilises ("füüsilises") sidumises. Arvestades neid konkreetsuse kaalutlusi lühiduse ja mugavuse kaalutlustega, võib mõista, et füüsika terminoloogiline praktika erineb oluliselt matemaatilisest praktikast. Siiski ei lähe see viimasega selgesse vastuolu. Seda on võimalik saavutada mõne lihtsa "nipiga". Esiteks sisaldavad need tava kasutada terminit vaikimisi (kui kontekst pole konkreetselt määratletud). Niisiis mõistetakse füüsikas erinevalt matemaatikast sõna vektorit ilma täiendavate täpsustusteta tavaliselt mitte kui "mis tahes lineaarse ruumi vektorit üldiselt", vaid ennekõike "tavalise füüsilise ruumiga" seotud vektorina ( kolmemõõtmeline ruum klassikaline füüsika või relativistliku füüsika neljamõõtmeline aegruum). Ruumivektorite puhul, mis ei ole otseselt ja otseselt seotud "füüsilise ruumi" või "aegruumiga", kasutage lihtsalt spetsiaalseid nimetusi (mõnikord ka sõna "vektor", kuid täpsustusega). Kui teooriasse tuuakse mingi ruumi vektor, mis ei ole otseselt ja otseselt seotud "füüsilise ruumi" või "aegruumiga" (ja mida on raske koheselt kindlal viisil iseloomustada), kirjeldatakse seda sageli konkreetselt kui "abstraktne vektor".

Kõik sisse öeldud rohkem kui termin "vektor" viitab mõistele "vektori kogus". Vaikimisi tähendab sel juhul seost "tavalise ruumi" või aegruumiga ja abstraktsete elementide kasutamist elementide suhtes vektorruumid pigem seda praktiliselt ei esine, sellist rakendust nähakse kui kõige haruldasemat erandit (kui mitte üldse reservatsiooni).

Füüsikas nimetatakse vektoreid kõige sagedamini ja vektorkoguseid - peaaegu alati - kahe sarnase klassi vektoriteks:

Vektori näited füüsikalised kogused: kiirus, jõud, soojusvoog.

Vektorsuuruste teke

Kuidas on füüsilised "vektorikogused" seotud ruumiga? Esiteks torkab silma see, et vektorkoguste mõõde (selle termini tavapärases kasutuse tähenduses, mida on eespool selgitatud) langeb kokku näiteks sama "füüsilise" (ja "geomeetrilise") ruumi mõõtmega. , ruum on kolmemõõtmeline ja elektrilised vektorväljad on kolmemõõtmelised. Intuitiivselt võib märgata ka seda, et mistahes vektorfüüsikaline suurus, olgu ta kui tahes ebamääraselt seotud tavapärase ruumilaiendiga, omab siiski üsna kindlat suunda just selles tavaruumis.

Selgub aga, et palju enamat on võimalik saavutada, kui kogu füüsika vektorkoguste kogum otse "taandada" kõige lihtsamateks "geomeetrilisteks" vektoriteks, õigemini isegi üheks vektoriks - elementaarnihke vektoriks, kuid see oleks õigem öelda – tuletades need kõik sellest.

Sellel protseduuril on kaks erinevat (kuigi sisuliselt üksteist üksikasjalikult kordavat) teostust klassikalise füüsika kolmemõõtmelise juhtumi ja kaasaegsele füüsikale ühise neljamõõtmelise aegruumi formuleeringu jaoks.

Klassikaline 3D ümbris

Lähtume tavapärasest kolmemõõtmelisest "geomeetrilisest" ruumist, milles me elame ja saame liikuda.

Võtame alg- ja näidisvektoriks lõpmatu väikese nihke vektori. On üsna ilmne, et see on tavaline "geomeetriline" vektor (nagu ka piiratud nihke vektor).

Nüüd pane kohe tähele, et vektori korrutamine skalaariga annab alati uue vektori. Sama võib öelda vektorite summa ja erinevuse kohta. Selles peatükis me ei tee vahet polaar- ja aksiaalvektoritel, seega pange tähele, et kahe vektori ristkorrutis annab ka uue vektori.

Samuti annab uus vektor vektori diferentseerumise skalaari suhtes (kuna selline tuletis on vektorite erinevuse ja skalaari suhte piir). Seda võib edasi öelda kõigi kõrgemate järgude tuletiste kohta. Sama kehtib ka skalaaride (aeg, maht) kaudu integreerimise kohta.

Nüüd pange tähele, et raadiuse vektori põhjal r või elementaarsest nihkest d r, saame kergesti aru, et vektorid on (kuna aeg on skalaar) sellised kinemaatilised suurused nagu

Kiirusest ja kiirendusest, mis on korrutatud skalaariga (massiga), ilmnevad

Kuna nüüd oleme huvitatud ka pseudovektoritest, siis paneme selle tähele

• Lorentzi jõu valemit kasutades seotakse elektrivälja tugevus ja magnetinduktsiooni vektor jõu- ja kiirusvektoritega.

Seda protseduuri jätkates leiame, et kõik meile teadaolevad vektorsuurused on nüüd mitte ainult intuitiivselt, vaid ka formaalselt seotud algse ruumiga. Nimelt kõik need teatud mõttes on selle elemendid, kuna väljendatakse sisuliselt teiste vektorite lineaarsete kombinatsioonidena (skalaarsete teguritega, võib-olla dimensioonilised, kuid skalaarsed ja seetõttu formaalselt üsna legaalsed).

Kaasaegne neljamõõtmeline korpus

Sama protseduuri saab teha alustades neljamõõtmelisest nihkest. Selgub, et kõik 4-vektorilised suurused "tulevad" 4-nihkest, olles seetõttu mõnes mõttes samasugused aegruumi vektorid nagu 4-nihe ise.

Vektorite tüübid seoses füüsikaga

• Polaarne ehk tõene vektor on tavaline vektor.
• Aksiaalvektor (pseudovektor) - tegelikult pole see reaalne vektor, kuid formaalselt ei erine see viimasest peaaegu üldse, välja arvatud see, et koordinaatsüsteemi orientatsiooni muutumisel muudab see suunda vastupidiseks (näiteks kui peegli peegeldus koordinaatsüsteemid). Näited pseudovektoritest: kõik suurused, mis on määratletud kahe polaarse vektori ristkorrutise kaudu.
• Jõudude jaoks on mitu erinevat ekvivalentsusklassi.

Märkmed

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "Vektori kogus" teistes sõnaraamatutes:

vektori suurus- - [Ja.N. Luginski, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moskva, 1999] Elektrotehnika teemad, põhimõisted EN vektorkogus ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

vektori suurus- vektorinis dydis statusas T ala automatika vastavusmenys: angl. vektorkogus; vektoriaalne suurus vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektorkogus, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatikos terminų žodynas

vektori suurus- vektorinis dydis statusas T valdkond fizika vastavusmenys: angl. vektorkogus; vektoriaalne suurus vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektorkogus, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Siinuse (koosinuse) seaduse järgi muutuvate suuruste ja nendevaheliste seoste graafiline esitus, kasutades vektorite suunatud segmente. Vektordiagrammid kasutatakse laialdaselt elektrotehnikas, akustikas, optikas, vibratsiooniteoorias ja nii edasi. ... ... Wikipedia

"tugevus" suunab siia; vaata ka teisi tähendusi. Jõudimensioon LMT−2 SI ühikud ... Wikipedia

See artikkel või jaotis vajab ülevaatamist. Palun täiustage artiklit vastavalt artiklite kirjutamise reeglitele. Füüsiline ... Vikipeedia

See on suurus, mis kogemuse tulemusena võtab ühe paljudest väärtustest ja selle suuruse ühe või teise väärtuse ilmumist enne selle mõõtmist ei saa täpselt ennustada. Ametlik matemaatiline määratlus järgmine: olgu tõenäosuslik ... ... Vikipeedia

Koordinaatide ja aja vektor- ja skalaarfunktsioonid, mis on karakteristikud elektro magnetväli. Vektor P. e. helistas vektori suurus A, rootori k sülem võrdne vektoriga Magnetvälja induktsioonis; rotA V. Skalaar P. e. helistas skalaarväärtus f, ...... Suur entsüklopeediline polütehniline sõnaraamat

Pöörlemist iseloomustav väärtus. jõu mõju, kui see teleris toimib. keha. Eristada M.-ga. keskpunkti (punkti) suhtes ja peamise suhtes. Prl. keskpunkti suhtes O (joonis a) on vektorsuurus, arvuliselt võrdne tootega jõumoodul F sisse ...... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Vektorsuurus, mis iseloomustab punkti kiiruse muutumise kiirust selle arvväärtuse ja suuna järgi. Kell sirgjooneline liikumine punktid, kui selle kiirus υ suureneb (või väheneb) ühtlaselt, arvuliselt V. ajas: ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Füüsika ja matemaatika ei saa hakkama ilma "vektorikoguse" mõisteta. Seda peab tundma ja tunnustama, samuti oskama sellega opereerida. Seda tuleks kindlasti õppida, et mitte segadusse sattuda ja rumalaid vigu mitte teha.

Kuidas eristada skalaarväärtust vektorväärtusest?

Esimesel on alati ainult üks omadus. See on selle numbriline väärtus. Enamik skalaare võib võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Näiteks elektrilaeng, töö või temperatuur. Kuid on mõned skalaarid, mis ei saa olla negatiivsed, näiteks pikkus ja mass.

Vektori kogus, v.a arvväärtus, mida võetakse alati modulo, iseloomustab ka suund. Seetõttu saab seda kujutada graafiliselt, see tähendab noole kujul, mille pikkus on võrdne teatud suunas suunatud väärtuse mooduliga.

Kirjutamisel tähistatakse iga vektori suurust noolemärgiga tähel. Kui a kõnealune arvväärtuse kohta, siis noolt ei kirjutata või võetakse see modulo.

Milliseid toiminguid tehakse kõige sagedamini vektoritega?

Esiteks võrdlus. Need võivad olla võrdsed või mitte. Esimesel juhul on nende moodulid samad. Kuid see pole ainus tingimus. Neil peavad olema ka samad või vastupidised suunad. Esimesel juhul tuleks neile helistada võrdsed vektorid. Teises on nad vastandlikud. Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, ei ole vektorid võrdsed.

Siis tuleb lisa. Seda saab teha kahe reegli järgi: kolmnurk või rööpkülik. Esimene näeb ette ühe vektori edasilükkamise, seejärel teise vektori edasilükkamise. Lisamise tulemus on see, mis tuleb tõmmata esimese algusest teise lõpuni.

Rööpkülikureeglit saab kasutada siis, kui füüsikas on vaja lisada vektorkoguseid. Erinevalt esimesest reeglist tuleks siin need ühest punktist edasi lükata. Seejärel ehitage need rööpkülikuks. Toimingu tulemuseks tuleks lugeda samast punktist tõmmatud rööpküliku diagonaali.

Kui vektori suurus lahutatakse teisest, siis joonistatakse need uuesti ühest punktist. Ainult tulemuseks on vektor, mis ühtib teise lõpust esimese lõpuni tõmmatud vektoriga.

Milliseid vektoreid füüsikas uuritakse?

Neid on sama palju kui skalaare. Saate lihtsalt meeles pidada, millised vektorkogused füüsikas eksisteerivad. Või teada märke, mille järgi neid saab arvutada. Neile, kes eelistavad esimest varianti, tuleb selline tabel kasuks. See sisaldab peamisi vektori füüsikalisi suurusi.

Nüüd natuke lähemalt mõnest sellisest kogusest.

Esimene väärtus on kiirus

Sellest tasub hakata tooma vektorkoguste näiteid. See on tingitud asjaolust, et seda uuritakse esimeste seas.

Kiirust määratletakse kui keha ruumis liikumise tunnust. See määrab numbrilise väärtuse ja suuna. Seetõttu on kiirus vektorsuurus. Lisaks on tavaks jagada see tüüpideks. Esimene on lineaarne kiirus. See võetakse kasutusele sirgjoonelise kaalumisel ühtlane liikumine. Sel juhul osutub see võrdseks keha läbitud tee ja liikumisaja suhtega.

Sama valemit saab kasutada ka ebaühtlase liikumise korral. Ainult siis on see keskmine. Pealegi peab valitav ajavahemik olema võimalikult lühike. Kui ajavahemik kipub olema null, on kiiruse väärtus juba hetkeline.

Kui arvestada suvalist liikumist, siis siin on kiirus alati vektorsuurus. Lõppude lõpuks tuleb see lagundada komponentideks, mis on suunatud piki iga koordinaatjooni suunavat vektorit. Lisaks on see defineeritud kui raadiusvektori tuletis aja suhtes.

Teine väärtus on tugevus

See määrab teiste kehade või väljade poolt kehale avaldatava löögi intensiivsuse mõõdu. Kuna jõud on vektorsuurus, on sellel tingimata oma moodulväärtus ja suund. Kuna see mõjub kehale, on oluline ka punkt, kuhu jõud rakendatakse. Et saada visuaalne esitus jõuvektorite kohta saate vaadata järgmist tabelit.

Samuti on resultantjõud samuti vektorsuurus. Seda määratletakse kui kõigi kehale mõjuvate toimingute summat mehaanilised jõud. Selle määramiseks on vaja läbi viia liitmine vastavalt kolmnurga reegli põhimõttele. Ainult teil on vaja vektoreid omakorda edasi lükata eelmise lõpust. Tulemuseks on see, mis ühendab esimese alguse viimase lõpuga.

Kolmas suurus on nihe

Liikumise ajal kirjeldab keha teatud joont. Seda nimetatakse trajektooriks. See rida võib olla täiesti erinev. Tema pole tähtsam välimus, ning liikumise algus- ja lõpp-punktid. Need on ühendatud segmendiga, mida nimetatakse nihkeks. See on ka vektorsuurus. Pealegi on see alati suunatud liikumise algusest punktini, kus liikumine peatati. Selle määramine on aktsepteeritud Ladina täht r.

Siin võib tekkida järgmine küsimus: "Kas tee on vektorsuurus?". AT üldine juhtum see väide ei vasta tõele. Tee pikkusega võrdne trajektoor ja sellel pole kindlat suunda. Erandiks on olukord, kus vaadeldakse sirgjoonelist liikumist ühes suunas. Siis langeb nihkevektori moodul väärtuselt kokku teekonnaga ja nende suund osutub samaks. Seega, kui arvestada liikumist mööda sirgjoont ilma liikumissuunda muutmata, võib teekonna lisada vektorkoguste näidete hulka.

Neljas väärtus on kiirendus

See on kiiruse muutumise kiiruse tunnus. Pealegi võib kiirendus olla nii positiivne kui ka negatiivne tähendus. Sirgjoonelise liikumise korral on see suunatud suurema kiiruse suunas. Kui liikumine on poolt kõverjooneline trajektoor, siis selle kiirendusvektor jaotatakse kaheks komponendiks, millest üks on suunatud raadiust mööda kõveruskeskmesse.

Määrake kiirenduse keskmine ja hetkväärtus. Esimest tuleks arvutada kui kiiruse muutuse suhet teatud aja jooksul sellesse aega. Kui vaadeldav ajavahemik kipub nulli, siis räägitakse hetkekiirendusest.

Viies väärtus – hoog

Teisel viisil nimetatakse seda ka liikumise hulgaks. Impulss on vektorsuurus, mis tuleneb asjaolust, et see on otseselt seotud kehale rakendatava kiiruse ja jõuga. Mõlemal on suund ja nad annavad selle impulsile.

Definitsiooni järgi viimane on võrdne tootega kehakaal kiiruse jaoks. Keha impulsi mõistet kasutades saab teada-tuntud Newtoni seaduse teistmoodi kirjutada. Selgub, et impulsi muutus võrdub jõu ja ajaintervalli korrutisega.

Füüsikas oluline roll kehtib impulsi jäävuse seadus, mis ütleb, et suletud kehade süsteemis on selle koguimpulss konstantne.

Oleme väga lühidalt loetlenud, milliseid suurusi (vektorit) füüsika käigus uuritakse.

Ebaelastse löögi probleem

Seisund. Rööbastel on fikseeritud platvorm. Sellele läheneb auto kiirusega 4 m/s. Platvormi ja vaguni massid on vastavalt 10 ja 40 tonni. Auto põrkab vastu platvormi, tekib automaatne sidur. Pärast kokkupõrget on vaja arvutada vaguni-platvormi süsteemi kiirus.

Otsus. Esiteks peate sisestama märge: auto kiirus enne kokkupõrget - v1, auto koos platvormiga pärast haakeseadist - v, auto mass m1, platvorm - m2. Vastavalt ülesande seisukorrale on vaja välja selgitada kiiruse v väärtus.

Selliste ülesannete lahendamise reeglid nõuavad süsteemi skemaatiliselt kujutamist enne ja pärast interaktsiooni. OX telg on mõistlik suunata mööda rööpaid selles suunas, kuhu auto liigub.

Nendel tingimustel võib vagunisüsteemi lugeda suletuks. Selle määrab asjaolu, et välised jõud võib tähelepanuta jätta. Raskusjõud ja toe reaktsioon on tasakaalus ning rööbastele tekkivat hõõrdumist ei võeta arvesse.

Impulsi jäävuse seaduse kohaselt on nende vektori summa enne auto ja platvormi vastasmõju võrdne siduri kogusummaga pärast kokkupõrget. Algul platvorm ei liikunud, nii et selle hoog oli null. Ainult vagun liikus, selle hoog on m1 ja v1 korrutis.

Kuna löök oli mitteelastne, st vagun klammerdus platvormi külge ja seejärel hakkas ühes suunas veerema, siis süsteemi impulss suunda ei muutnud. Kuid selle tähendus on muutunud. Nimelt vaguni massi ja platvormi ning soovitud kiiruse summa korrutis.

Võite kirjutada järgmise võrdsuse: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. See kehtib impulsivektorite projektsiooni kohta valitud teljel. Sellest on lihtne tuletada soovitud kiiruse arvutamiseks vajalik võrdus: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Reeglite kohaselt peaksite massi väärtused teisendama tonnidest kilogrammidesse. Seetõttu tuleks nende valemis asendamisel esmalt teadaolevad väärtused korrutada tuhandega. Lihtsad arvutused annavad arvuks 0,75 m/s.

Vastus. Vaguni kiirus koos platvormiga on 0,75 m/s.

Keha jagamine osadeks

Seisund. Lendava granaadi kiirus on 20 m/s. See laguneb kaheks osaks. Esimese kaal on 1,8 kg. See jätkab liikumist suunas, kuhu granaat lendas kiirusega 50 m/s. Teise killu mass on 1,2 kg. Mis on selle kiirus?

Otsus. Olgu fragmentide massid tähistatud tähtedega m1 ja m2. Nende kiirused on vastavalt v1 ja v2. alguskiirus granaadid v. Ülesandes peate arvutama väärtuse v2.

Selleks, et suurem kild jätkaks liikumist kogu granaadiga samas suunas, peab teine ​​sisse lendama tagakülg. Kui valime telje suunaks selle, millel oli algimpulss, siis pärast pausi lendab suur kild mööda telge ja väike kild vastu telge.

Selles ülesandes on lubatud kasutada impulsi jäävuse seadust, kuna granaadi plahvatus toimub koheselt. Seetõttu, hoolimata tõsiasjast, et granaadile ja selle osadele mõjub gravitatsioon, ei ole tal aega tegutseda ja oma mooduli väärtusega impulsi vektori suunda muuta.

Impulsi vektorväärtuste summa pärast granaadi lõhkemist on võrdne sellele eelnevaga. Kui kirjutame üles keha impulsi jäävuse seaduse projektsioonis OX-teljele, siis näeb see välja järgmine: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Sellest on lihtne soovitud kiirust väljendada. See määratakse valemiga: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Pärast arvväärtuste ja arvutuste asendamist saadakse 25 m / s.

Vastus. Väikese killu kiirus on 25 m/s.

Probleem nurga all pildistamisel

Seisund. Tööriist on paigaldatud platvormile massiga M. Sellest tulistatakse välja mürsk massiga m. See stardib horisondi suhtes nurga α all kiirusega v (antud maapinna suhtes). Pärast lasku on vaja teada saada platvormi kiirus.

Otsus. Selles ülesandes saate kasutada impulsi jäävuse seadust projektsioonis OX-teljele. Kuid ainult juhul, kui väliste resultantjõudude projektsioon on võrdne nulliga.

OX-telje suuna jaoks peate valima külje, kus mürsk lendab, ja paralleelselt horisontaaljoonega. Sel juhul on gravitatsioonijõudude projektsioonid ja toe reaktsioon OX-le võrdsed nulliga.

Probleem lahendatakse aastal üldine vaade, kuna teadaolevate koguste kohta puuduvad konkreetsed andmed. Valem on vastus.

Süsteemi hoog enne lasku oli võrdne nulliga, kuna platvorm ja mürsk olid paigal. Olgu platvormi soovitud kiirus tähistatud ladina tähega u. Seejärel määratakse selle hoog pärast lasku massi ja kiiruse projektsiooni korrutisena. Kuna platvorm veereb tagasi (vastu OX-telje suunda), on impulsi väärtus miinusmärgiga.

Mürsu impulss on selle massi ja kiiruse projektsiooni OX-teljel korrutis. Kuna kiirus on suunatud horisondi suhtes nurga all, on selle projektsioon võrdne kiirusega, mis on korrutatud nurga koosinusega. Sõnasõnalise võrdsuse korral näeb see välja järgmine: 0 = - Mu + mv * cos α. Sellest saadakse lihtsate teisenduste abil vastuse valem: u = (mv * cos α) / M.

Vastus. Platvormi kiirus määratakse valemiga u = (mv * cos α) / M.

Jõeületusprobleem

Seisund. Jõe laius kogu pikkuses on sama ja võrdne l-ga, kaldad on paralleelsed. Teada on veevoolu kiirus jões v1 ja paadi enda kiirus v2. üks). Ületamisel on paadi vöör suunatud rangelt vastaskaldale. Kui kaugele seda allavoolu kantakse? 2). Millise nurga α alla peaks paadi vöör olema suunatud, et see ulatuks lähtepunktiga rangelt risti vastaskaldani? Kui palju aega t selliseks ületamiseks kulub?

Otsus. üks). Paadi täiskiirus on kahe suuruse vektorsumma. Esimene neist on jõe kulg, mis on suunatud piki kallast. Teine on paadi enda kiirus, risti kallastega. Joonisel on kaks sarnased kolmnurgad. Esimese moodustavad jõe laius ja vahemaa, mida paat kannab. Teine on kiirusvektorid.

Nendest tuleneb järgmine kirje: s / l = v1 / v2. Pärast teisendamist saadakse soovitud väärtuse valem: s = l * (v1 / v2).

2). Ülesande selles versioonis on kogukiiruse vektor kallakutega risti. See on võrdne v1 ja v2 vektorite summaga. Nurga siinus, mille võrra oma kiirusvektor peab hälbima, on võrdne moodulite v1 ja v2 suhtega. Reisiaja arvutamiseks peate jagama jõe laiuse arvutatud kogukiirusega. Viimase väärtus arvutatakse Pythagorase teoreemi abil.

v = √(v22 – v12), siis t = l / (√(v22 – v12)).

Vastus. üks). s = l* (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Õppides erinevaid füüsikaharusid, mehaanikat ja tehnikateadused on suurused, mis on täielikult määratud nende arvväärtuste täpsustamisega, täpsemalt, mis määratakse täielikult nende mõõtmise tulemusel saadud arvu abil homogeenne väärtus võtta ühikuna. Selliseid koguseid nimetatakse skalaar ehk lühidalt skalaarid. Skalaarsuurused on näiteks pikkus, pindala, maht, aeg, mass, kehatemperatuur, tihedus, töö, elektriline võimsus jne. Kuna skalaarsuuruse määrab arv (positiivne või negatiivne), saab selle joonistada vastav koordinaatide telg. Näiteks ehitavad nad sageli aja, temperatuuri, pikkuse (tee) ja muu telje.

Lisaks skalaarsetele suurustele on erinevates ülesannetes suurused, mille määramiseks on lisaks arvväärtusele vaja teada ka nende suunda ruumis. Selliseid koguseid nimetatakse vektor. Vektorsuuruste füüsikalised näited on nihe materiaalne punkt ruumis liikumine, selle punkti kiirus ja kiirendus, samuti sellele mõjuv jõud, elektri- või magnetvälja tugevus. Vektorkoguseid kasutatakse näiteks klimatoloogias. Vaatleme lihtsat näidet klimatoloogiast. Kui öelda, et tuul puhub kiirusega 10 m/s, siis võtame kasutusele tuule kiiruse skalaarväärtuse, kui aga öelda, et põhjatuul puhub kiirusega 10 m/s, siis sel juhul on tuule kiirus juba vektorsuurus.

Vektorkogused esitatakse vektorite abil.

Vektorsuuruste geomeetriliseks esitamiseks kasutatakse suunatud segmente, st segmente, millel on ruumis kindel suund. Sel juhul on lõigu pikkus võrdne vektori suuruse arvväärtusega ja selle suund langeb kokku vektori suuruse suunaga. Nimetatakse antud vektori suurust iseloomustavat suunatud segmenti geomeetriline vektor või lihtsalt vektor.

Vektori mõiste mängib olulist rolli nii matemaatikas kui ka paljudes füüsika ja mehaanika valdkondades. Paljusid füüsikalisi suurusi saab esitada vektorite abil ning see esitus aitab väga sageli kaasa valemite ja tulemuste üldistamisele ja lihtsustamisele. Tihti identifitseeritakse vektorsuurused ja neid esindavad vektorid omavahel: näiteks öeldakse, et jõud (või kiirus) on vektor.

Vektoralgebra elemente kasutatakse sellistes distsipliinides nagu: 1) elektrimasinad; 2) automatiseeritud elektriajam; 3) elektrivalgustus ja -kiirgus; 4) hargnemata ahelad vahelduvvoolu; 5) rakendusmehaanika; 6) teoreetiline mehaanika; 7) füüsika; 8) hüdraulika: 9) masinaosad; 10) materjalide tugevus; 11) juhtimine; 12) keemia; 13) kinemaatika; 14) staatika jne.

2. Vektori definitsioon. Joonelõik on määratletud kahe võrdse punktiga - selle otsaga. Kuid võib käsitleda suunatud lõiku, mis on määratletud järjestatud punktide paariga. Nende punktide kohta on teada, milline neist on esimene (algus) ja milline teine ​​(lõpp).

Suunatud segmenti mõistetakse kui järjestatud punktide paari, millest esimest - punkti A - nimetatakse selle alguseks ja teist - B - selle lõpuks.

Siis all vektor lihtsaimal juhul mõistetakse suunatud segmenti ennast, muudel juhtudel aga erinevaid vektoreid erinevad klassid suunatud segmentide ekvivalentsused, mis on määratud mingi spetsiifilise samaväärsuse suhtega. Veelgi enam, samaväärsuse seos võib olla erinev, määrates vektori tüübi (“vaba”, “fikseeritud” jne). Lihtsamalt öeldes käsitletakse samaväärsuse klassi kõiki suunatud segmente täiesti võrdsetena ja igaüks võib võrdselt esindada kogu klassi.

Ruumi lõpmatute väikeste teisenduste uurimisel mängivad vektorid olulist rolli.

Definitsioon 1. Suunatud segmenti (või, mis on sama, järjestatud punktide paari), kutsume välja vektor. Segmendi suund on tavaliselt tähistatud noolega. Kirjutamisel asetatakse vektori tähetähise kohale nool, näiteks: (sel juhul tuleb ette panna vektori algusele vastav täht). Raamatutes trükitakse vektorit tähistavad tähed sageli paksus kirjas, näiteks: a.

Nn nullvektorit, mille algus ja lõpp langevad kokku, nimetatakse ka vektoriteks.

Vektorit, mille algus langeb kokku selle lõpuga, nimetatakse nulliks. Nullvektorit tähistatakse või lihtsalt 0-ga.

Vektori alguse ja lõpu vahelist kaugust nimetatakse vektoriks pikkus(sama hästi kui moodul ja absoluutväärtus). Vektori pikkust tähistatakse | | või | |. Vektori pikkus ehk vektori moodul on vastava suunatud lõigu pikkus: | | = .

Vektoreid nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal sirgel või paralleelsetel joontel, lühidalt, kui on sirge, millega nad on paralleelsed.

Vektoreid nimetatakse koplanaarne, kui on olemas tasapind, millega nad on paralleelsed, saab neid esitada samal tasapinnal asuvate vektoritega. Nullvektorit peetakse mis tahes vektori suhtes kollineaarseks, kuna sellel pole kindlat suunda. Selle pikkus on loomulikult null. Ilmselgelt on mis tahes kaks vektorit tasapinnalised; kuid loomulikult ei ole ruumis kõik kolm vektorit tasapinnalised. Kuna üksteisega paralleelsed vektorid on paralleelsed sama tasapinnaga, siis kollineaarsed vektorid palju rohkem tasapinnaline. Muidugi pole vastupidine: koplanaarsed vektorid ei pruugi olla kollineaarsed. Ülaltoodud tingimuse tõttu on nullvektor kollineaarne mis tahes vektoriga ja samatasandiline mis tahes vektoripaariga, st. kui seas kolm vektorit vähemalt üks null, siis on need tasapinnalised.

2) Sõna "koplanaarne" tähendab sisuliselt: "ühise tasapinna omamine", see tähendab "asub samal tasapinnal". Aga kuna me räägime siin vabadest vektoritest, mida saab suvaliselt (pikkust ja suunda muutmata) üle kanda, siis tuleb sama tasapinnaga paralleelselt kutsuda koplanaarseid vektoreid, sest sel juhul saab neid üle kanda nii, et need osutuvad välja. asuma ühel tasapinnal.

Kõne lühendamiseks lepime kokku ühes mõistes: kui mitu vaba vektorit on paralleelsed sama tasapinnaga, siis ütleme, et need on tasapinnalised. Eelkõige on kaks vektorit alati tasapinnalised; selle kontrollimiseks piisab, kui need samast punktist edasi lükata. Lisaks on selge, et tasapinna suund, milles kaks antud vektorit on paralleelsed, on täielikult määratud, kui need kaks vektorit ei ole üksteisega paralleelsed. Iga tasapinda, millega antud samatasandilised vektorid on paralleelsed, nimetatakse lihtsalt antud vektorite tasapinnaks.

Definitsioon 2. Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui need on kollineaarsed, on sama suuna ja sama pikkusega.

Alati tuleb meeles pidada, et kahe vektori pikkuste võrdsus ei tähenda nende vektorite võrdsust.

Definitsiooni tähenduse järgi on kaks vektorit, mis on eraldi võrdsed kolmandaga, üksteisega võrdsed. Ilmselgelt on kõik nullvektorid üksteisega võrdsed.

Sellest definitsioonist järeldub kohe, et valides mis tahes punkti A", saame konstrueerida (ja ainult ühe) vektori A" B", mis on võrdne mõnega. antud vektor või, nagu öeldakse, liigutage vektor punkti A ".

kommenteerida. Vektorite puhul puuduvad mõisted "suurem kui" või "vähem kui", s.t. nad on võrdsed või mitte.

Nimetatakse vektorit, mille pikkus on võrdne ühega vallaline vektor ja seda tähistatakse e-ga. Ühiku vektor, mille suund langeb kokku vektori a suunaga, nimetatakse ortom vektor ja tähistatakse .

3. Teisest vektori definitsioonist. Pange tähele, et vektorite võrdsuse mõiste erineb oluliselt näiteks arvude võrdsuse mõistest. Iga arv on võrdne ainult iseendaga, teisisõnu võib kahte võrdset arvu igal juhul pidada üheks ja samaks arvuks. Vektoritega, nagu näeme, on olukord erinev: definitsiooni järgi on olemas erinevad, kuid võrdsed vektorid. Kuigi enamikul juhtudel ei pea me neid eristama, võib selguda, et ühel hetkel hakkab meid huvitama vektor , mitte mõni muu samaväärne vektor A"B".

Vektorite võrdsuse kontseptsiooni lihtsustamiseks (ja mõningate sellega seotud raskuste kõrvaldamiseks) tehakse mõnikord vektori määratlust keerulisemaks. Me ei kasuta seda keerulist määratlust, vaid sõnastame selle. Segaduste vältimiseks kirjutame "Vektor" (koos suur algustäht), mis tähistab allpool määratletud mõistet.

3. määratlus. Olgu antud suunatud segment. Nimetatakse kõigi suunatud segmentide hulk, mis on definitsiooni 2 tähenduses võrdsed antud segmendiga Vektor.

Seega määrab iga suunatud segment vektori. On lihtne näha, et kaks suunatud segmenti määratlevad sama vektori siis ja ainult siis, kui need on võrdsed. Vektorite, nagu ka arvude puhul, tähendab võrdsus sama: kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nad on sama vektor.

Ruumi paralleeltõlkes moodustavad punkt ja selle kujutis järjestatud punktide paari ja määratlevad suunatud segmendi ning kõik sellised suunatud segmendid on definitsiooni 2 tähenduses võrdsed. Seetõttu saab ruumi paralleeltõlke identifitseerida Vektor, mis koosneb kõigist nendest suunatud segmentidest.

Alates algkursus Füüsikud teavad hästi, et jõudu saab esindada suunatud segmendiga. Kuid seda ei saa esitada vektoriga, kuna võrdsete suunatud segmentidega esindatud jõud tekitavad üldiselt erinevaid efekte. (Kui elastsele kehale mõjub jõud, siis ei saa seda esindavat suunatud segmenti üle kanda isegi piki sirget, millel see asub.)

See on vaid üks põhjusi, miks koos vektorite, st võrdsete suunatud segmentide komplektidega (või, nagu öeldakse, klassidega), on vaja arvestada ka nende klasside üksikute esindajatega. Nendel asjaoludel muutub 3. definitsiooni rakendamine keerulisemaks. suur hulk reservatsioonid. Peame kinni definitsioonist 1 ja üldise tähenduse järgi on alati selge, kas me räägime täpselt määratletud vektorist või võib selle asemele asendada ükskõik millise sellega võrdväärse vektoriga.

Seoses vektori definitsiooniga tasub selgitada mõne kirjandusest leitud sõna tähendust.

Füüsikas on mitu suuruskategooriat: vektor ja skalaar.

Mis on vektorkogus?

Vektorsuurusel on kaks peamist omadust: suund ja moodul. Kaks vektorit on samad, kui nende mooduli väärtus ja suund on samad. Vektorsuuruse tähistamiseks kasutatakse kõige sagedamini tähti, mille kohal kuvatakse nool. Vektorsuuruse näide on jõud, kiirus või kiirendus.

Vektorsuuruse olemuse mõistmiseks tuleks seda kaaluda geomeetriline punkt nägemus. Vektor on sirglõik, millel on suund. Sellise segmendi pikkus vastab selle mooduli väärtusele. füüsiline eeskuju vektorsuurus on ruumis liikuva materiaalse punkti nihe. Vektorsuurustena kuvatakse ka parameetreid nagu selle punkti kiirendus, kiirus ja sellele mõjuvad jõud, elektromagnetväli.

Kui arvestada vektori suurust olenemata suunast, siis saab sellist lõiku mõõta. Kuid tulemus kuvab ainult väärtuse osalisi omadusi. Selle täielikuks mõõtmiseks tuleks väärtust täiendada muude suunatud segmendi parameetritega.

AT vektoralgebra on kontseptsioon nullvektor. Selle mõiste all mõeldakse punkti. Mis puudutab nullvektori suunda, siis seda peetakse määramatuks. Nullvektorit tähistatakse aritmeetilise nulliga, mis on kirjutatud paksus kirjas.

Kui analüüsime kõike ülaltoodut, võime järeldada, et kõik suunatud segmendid määravad vektorid. Kaks segmenti määratlevad ühe vektori ainult siis, kui need on võrdsed. Vektorite võrdlemisel kehtib sama reegel, mis skalaarsuuruste võrdlemisel. Võrdsus tähendab igas mõttes täielikku vastet.

Mis on skalaarväärtus?

Erinevalt vektorist on skalaarsel suurusel ainult üks parameeter – see on selle numbriline väärtus. Tuleb märkida, et analüüsitud väärtusel võib olla nii positiivne arvväärtus kui ka negatiivne.

Näited hõlmavad massi, pinget, sagedust või temperatuuri. Nende väärtustega saate teha mitmesuguseid aritmeetilised tehted: liitmine, jagamine, lahutamine, korrutamine. Skalaarse suuruse puhul ei ole selline tunnus nagu suund iseloomulik.

Skalaarset suurust mõõdetakse arvväärtusega, nii et seda saab kuvada koordinaatide teljel. Näiteks ehitavad nad sageli läbitud vahemaa, temperatuuri või aja telje.

Peamised erinevused skalaar- ja vektorsuuruste vahel

Ülaltoodud kirjeldustest on näha, et peamine erinevus vektori suuruste ja skalaarsuuruste vahel seisneb nendes omadused. Vektorsuurusel on suund ja moodul, skalaarsuurusel aga ainult arvväärtus. Muidugi saab mõõta vektori suurust, nagu ka skalaarset, kuid selline tunnus ei ole täielik, kuna suunda pole.

Skalaarsuuruse ja vektorsuuruse erinevuse selgemaks esitamiseks tuleks tuua näide. Selleks võtame sellise teadmiste valdkonna nagu klimatoloogia. Kui ütleme, et tuul puhub kiirusega 8 meetrit sekundis, siis võetakse kasutusele skalaarväärtus. Aga, kui öelda, et põhjatuul puhub kiirusega 8 meetrit sekundis, siis me räägime vektori väärtuse kohta.

Vektorid mängivad tohutut rolli kaasaegses matemaatikas, aga ka paljudes mehaanika ja füüsika valdkondades. Enamikku füüsikalisi suurusi saab esitada vektoritena. See võimaldab üldistada ja oluliselt lihtsustada kasutatavaid valemeid ja tulemusi. Sageli identifitseeritakse vektori väärtused ja vektorid üksteisega. Näiteks füüsikas kuuleb, et kiirus või jõud on vektor.