Ruudukujulised väljendid. Ruutvõrrandid

Selles õppetükis uurime murdosa põhiomadust, selgitame välja, millised murrud on üksteisega võrdsed. Õpime murdude vähendamist, määrame, kas murdosa redutseeritakse või mitte, harjutame murdude vähendamist ja saame teada, millal redutseerimist kasutada ja millal mitte.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing eliit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias eeldada consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

See teave on registreeritud kasutajatele kättesaadav

Murru põhiomadus

Kujutage ette sellist olukorda.

Lauas 3 inimese ja 5 õunad. Jaga 5 kolm õuna. Igaüks neist saab $\mathbf(\frac(5)(3))$ õuna.

Ja kõrvallauas 3 inimene ja ka 5 õunad. Iga kord uuesti $\mathbf(\frac(5)(3))$

Samal ajal kõik 10 õunad 6 inimene. Iga $\mathbf(\frac(10)(6))$

Aga see on sama.

$\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))$

Need murrud on samaväärsed.

Saate kahekordistada inimeste arvu ja kahekordistada õunte arvu. Tulemus on sama.

Matemaatikas on see sõnastatud järgmiselt:

Kui murdarvu lugeja ja nimetaja korrutatakse või jagatakse sama arvuga (mitte 0-ga), võrdub uus murdosa algse.

Seda omadust nimetatakse mõnikord " murdosa põhiomadus ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Näiteks tee linnast külla- 14 km.

Kõnnime mööda teed ja määrame kilomeetripostide järgi läbitud vahemaa. Pärast kuue veeru läbimist kuus kilomeetrit saame aru, et oleme läbinud $\mathbf(\frac(6)(14))$ rada.

Aga kui me poste ei näe (võib-olla pole neid paigaldatud), siis saame arvestada tee äärde mööda elektriposte. Nemad 40 tükki kilomeetri kohta. See tähendab, kõike 560 lõpuni välja. Kuus kilomeetrit – $\mathbf(6\cdot40 = 240)$ sammast. See tähendab, et me läbisime 240 alates 560 veerud- $\mathbf(\frac(240)(560))$

$\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))$

Näide 1

Märkige punkt koordinaatidega ( 5; 7 ) peal koordinaattasand XOY. See vastab murdarvule $\mathbf(\frac(5)(7))$

Ühendage lähtepunkt saadud punktiga. Ehitage teine punkt, mille koordinaadid on eelmistest kaks korda suuremad. Millise fraktsiooni sa said? Kas nad on võrdsed?

Lahendus

Koordinaattasandil oleva murdosa saab tähistada punktiga. Murru \(\mathbf(\frac(5)(7))\ joonistamiseks märkige punkt koordinaadiga 5 piki telge Y ja 7 piki telge X. Tõmbame sirge lähtepunktist läbi meie punkti.

Punkt, mis vastab murdarvule $\mathbf(\frac(10)(14))$

Need on samaväärsed: $\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))$

Murrud ja nende taandamine on teine teema, mis algab 5. klassist. Siin moodustub selle tegevuse alus ja seejärel tõmmatakse need oskused niidi abil sisse kõrgem matemaatika. Kui õpilane pole õppinud, võib tal algebraga probleeme tekkida. Seetõttu on parem mõnest reeglist lõplikult aru saada. Ja pidage meeles üht keeldu ja ärge kunagi rikkuge seda.

Murd ja selle vähendamine

Mis see on, teab iga õpilane. Kõik kaks numbrit, mis asuvad horisontaalse riba vahel, tajutakse kohe murdosana. Kuid mitte kõik ei mõista, et iga number võib selleks saada. Kui see on täisarv, saab selle alati jagada ühega, siis saadakse vale murd. Aga sellest pikemalt hiljem.

Algus on alati lihtne. Kõigepealt peate välja mõtlema, kuidas õiget murdosa vähendada. See tähendab, et selline, mille lugeja on nimetajast väiksem. Selleks peate meeles pidama murdosa peamist omadust. See ütleb, et nii lugeja kui ka nimetaja korrutamisel (ja ka jagamisel) sama number osutub samaks kui algne murd.

Sellel atribuudil tehtavad jagamistoimingud põhjustavad vähendamist. See tähendab, et selle maksimaalne lihtsustamine. Murdosa saab vähendada seni, kuni joone kohal ja all on ühised tegurid. Kui neid enam ei eksisteeri, on vähendamine võimatu. Ja nad ütlevad, et see murdosa on taandamatu.

kahel viisil

1.Samm-sammult vähendamine. See kasutab äraarvamismeetodit, kui mõlemad arvud jagatakse minimaalse ühisteguriga, mida õpilane märkas. Kui pärast esimest vähendamist on selge, et see pole lõpp, siis jagunemine jätkub. Kuni murdosa muutub taandamatuks.

2. Lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja leidmine. See on kõige ratsionaalsem viis murdude vähendamiseks. See tähendab lugeja ja nimetaja jagamist peamised tegurid. Nende hulgast peate valima kõik ühesugused. Nende korrutis annab suurima ühisteguri, mille võrra murdosa väheneb.

Mõlemad meetodid on samaväärsed. Õpilane on kutsutud neid meisterdama ja kasutama seda, mis talle kõige rohkem meeldis.

Mis siis, kui on olemas tähed ning liitmise ja lahutamise tehted?

Küsimuse esimese osaga on kõik enam-vähem selge. Tähti saab lühendada nagu numbreid. Peaasi, et need toimiksid kordajatena. Kuid teisega on paljudel probleeme.

Oluline meeles pidada! Saate vähendada ainult neid numbreid, mis on tegurid. Kui need on terminid, on see võimatu.

Et mõista, kuidas vähendada väljanägevaid murde algebraline avaldis, peate reegli õppima. Esiteks väljendage lugeja ja nimetaja korrutisena. Siis saate ühiste tegurite olemasolul vähendada. Kordajatena esitamiseks on kasulikud järgmised nipid:

rühmitamine;
sulgudes;
lühendatud korrutusidentiteetide rakendamine.

Veelgi enam, viimane meetod võimaldab kohe saada termineid tegurite kujul. Seetõttu tuleb seda alati kasutada, kui nähtav muster on teada.

Aga see pole veel hirmutav, siis tekivad kraadide ja juurtega ülesanded. See on siis, kui pead koguma julgust ja õppima paar uut reeglit.

Võimu väljendus

Murd. Korrutis lugejas ja nimetajas. On tähti ja numbreid. Ja nad tõstetakse ka võimuks, mis samuti koosneb terminitest või teguritest. On, mida karta.

Selleks, et mõista, kuidas astmetega murde vähendada, peate õppima kahte punkti:

kui eksponendis on summa, siis saab selle lagundada teguriteks, mille astmed on algliikmed;
kui vahe, siis dividendiks ja jagajaks, astme esimene vähendatakse, teine lahutatakse.

Pärast nende sammude sooritamist muutuvad tavalised kordajad nähtavaks. Selliste näidete puhul ei ole vaja kõiki võimsusi arvutada. Piisab lihtsalt kraadide vähendamisest samade näitajate ja alustega.

Selleks, et lõpuks selgeks saada, kuidas võimsustega murde vähendada, on vaja palju harjutada. Pärast mitut sama tüüpi näidet sooritatakse toimingud automaatselt.

Mis siis, kui avaldis sisaldab juurt?

Seda saab ka lühendada. Jällegi järgige reegleid. Pealegi on kõik ülalkirjeldatu tõsi. Üldiselt, kui küsimus on selles, kuidas juurtega murdosa vähendada, siis tuleb jagada.

peal irratsionaalsed väljendid saab ka jagada. See tähendab, et kui lugeja ja nimetaja on samad kordajad juuremärgi alla suletud, siis saab neid ohutult vähendada. See lihtsustab väljendit ja teeb töö tehtud.

Kui pärast redutseerimist jääb irratsionaalsus murdosa rea alla, siis tuleb sellest lahti saada. Teisisõnu, korrutage lugeja ja nimetaja sellega. Kui pärast seda operatsiooni ilmnesid ühised tegurid, tuleb neid uuesti vähendada.

Võib-olla on see kõik, kuidas murdosasid vähendada. Vähe reegleid, kuid üks keeld. Ärge kunagi vähendage tingimusi!

Veebikalkulaator töötab algebraliste murdude vähendamine murdude redutseerimise reegli järgi: algse murdosa asendamine võrdne murdosa, kuid väiksema lugeja ja nimetajaga, st. murdosa lugeja ja nimetaja samaaegne jagamine nende ühise suurimaga ühine jagaja(GCD). Kalkulaator kuvab ka üksikasjalik lahendus, mis aitab teil mõista vähendamise teostamise järjekorda.

Arvestades:

Lahendus:

Murdarvu vähendamise tegemine

vähendamise teostamise võimaluse kontrollimine algebraline murd

1) Murru lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja (GCD) määramine

algebralise murru lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja (gcd) määramine

2) Murru lugeja ja nimetaja vähendamine

algebralise murru lugeja ja nimetaja taandamine

3) Murru täisarvulise osa valimine

algebralise murru täisarvu eraldamine

4) Algebralise murru teisendamine kümnendmurruks

algebralise murru teisendamine kümnend

Abi saidi projekti arendamiseks

Hea saidi külastaja.
Kui te ei leidnud seda, mida otsisite - kirjutage sellest kindlasti kommentaaridesse, mis saidil praegu puudu on. See aitab meil mõista, millises suunas peame edasi liikuma ja peagi saavad ka teised külastajad vajaliku materjali hankida.
Kui sait osutus teile kasulikuks, annetage see sait projektile ainult 2 ₽ ja me teame, et liigume õiges suunas.

Aitäh, et mööda ei läinud!

I. Algebralise murru vähendamise protseduur võrgukalkulaatoriga:

Algebralise murru vähendamiseks sisestage vastavatele väljadele murdu lugeja ja nimetaja väärtused. Kui murd on segatud, siis täida ka murdosa täisarvulisele osale vastav väli. Kui murd on lihtne, jätke täisarvu osa väli tühjaks.
Seadma negatiivne murd, pane murru täisarvu ossa miinusmärk.
Sõltuvalt antud algebralisest murdosast teostatakse automaatselt järgmine toimingute jada:

murru lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja (GCD) määramine;
murdosa lugeja ja nimetaja taandamine gcd võrra;
murdosa täisarvu eraldamine kui lõppmurru lugeja on nimetajast suurem.
lõpliku algebralise murru teisendamine kümnendmurruksümardatuna sajandikuteks.

Vähendamise tulemus võib olla vale murdosa. Sel juhul finaal õige murdosa eraldatakse terve osa ja saadud murd muudetakse õigeks murdarvuks.

II. Viitamiseks:

Murd on arv, mis koosneb ühiku ühest või mitmest osast (murrust). Harilik murd (lihtmurd) kirjutatakse kahe arvuna (murru lugeja ja murru nimetaja), mis on eraldatud horisontaalse ribaga (murruriba), mis tähistab jagamise märki. Murru lugeja on murdarvu riba kohal olev arv. Lugeja näitab, mitu osa tervikust võeti. Murru nimetaja on murdarvu riba all olev arv. Nimetaja näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jagatud. Lihtmurd on murd, millel puudub täisarvuline osa. Lihtmurd võib olla õige või vale. Õige murd on murd, mille lugeja vähem kui nimetaja, seega on õige murd alati väiksem kui üks. Õigete murdude näide: 8/7, 11/19, 16/17. Vale murd on murd, mille lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne, seega on vale murd alati suurem kui üks või sellega võrdne. Näide ebaõiged murded: 7/6, 8/7, 13/13. segamurd – arv, mis sisaldab täisarvu ja õiget murdu ning tähistab selle täisarvu ja õige murdu summat. Mis tahes segafraktsiooni saab teisendada valeks lihtmurd. Näide segafraktsioonid: 1¼, 2½, 4¾.

III. Märge:

Lähteandmete plokk on esile tõstetud kollane , esile tõstetud vahearvutuste plokk sinine värv , rohelisega esile tõstetud lahendusplokk.
Tavaliste või segamurdude liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks kasutage üksikasjaliku lahendusega veebipõhist murdarvutit.

Saame aru, mis on murdosa vähendamine, miks ja kuidas murdosasid vähendada, anname fraktsioonide vähendamise reegli ja näiteid selle kasutamisest.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mis on "fraktsiooni vähendamine"

Vähendage fraktsiooni

Murru vähendamine tähendab selle lugeja ja nimetaja jagamist ühise jagajaga, mis on positiivne ja erinev ühest.

Sellise toimingu tulemusena saadakse uue lugeja ja nimetajaga murd, mis on võrdne algse murruga.

Näiteks võtame harilik murd 6 24 ja lühendage seda. Jagage lugeja ja nimetaja 2-ga, mille tulemuseks on 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . Selles näites oleme vähendanud algset murdosa 2 võrra.

Fraktsioonide redutseerimine taandamatuks vormiks

Eelmises näites vähendasime murdosa 6 24 2 võrra, mille tulemusena saadi murdosa 3 12 . On lihtne näha, et seda osa saab veelgi vähendada. Üldiselt on murdude vähendamise eesmärk saada taandamatu murd. Kuidas teisendada murd taandamatuks vormiks?

Seda saab teha, vähendades lugejat ja nimetajat nende suurima ühise jagaja (GCD) võrra. Siis on suurima ühisjagaja omaduse järgi lugejas ja nimetajas vastastikku algarvud, ja see murd on taandamatu.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Fraktsiooni taandamine taandamatuks vormiks

Murru taandamiseks taandamatuks vormiks peate jagama selle lugeja ja nimetaja nende gcd-ga.

Pöördume tagasi esimesest näitest murru 6 24 juurde ja taandame selle taandamatule kujule. 6 ja 24 suurim ühisjagaja on 6 . Vähendame murdosa:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Murdude vähendamist on mugav kasutada, et mitte töötada suurte numbritega. Üldiselt kehtib matemaatikas väljaütlemata reegel: kui saad mis tahes väljendit lihtsustada, siis pead seda tegema. Murru vähendamise all mõeldakse enamasti selle taandamist taandamatule kujule, mitte ainult taandada lugeja ja nimetaja ühise jagaja abil.

Murdarvu vähendamise reegel

Murdude vähendamiseks piisab, kui meeles pidada reeglit, mis koosneb kahest etapist.

Murdarvu vähendamise reegel

Murdosa vähendamiseks:

Leidke lugeja ja nimetaja gcd.
Jagage lugeja ja nimetaja nende gcd-ga.

Mõelge praktilistele näidetele.

Näide 1. Vähendame murdosa.

Antud murdosa 182 195 . Lühendame seda.

Leidke lugeja ja nimetaja GCD. Selle jaoks sisse sel juhul Parim viis on kasutada Eukleidese algoritmi.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Jagage lugeja ja nimetaja 13-ga. Saame:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Valmis. Saime taandamatu murru, mis on võrdne algmurruga.

Kuidas muidu saate murde vähendada? Mõnel juhul on mugav lugeja ja nimetaja lagundada lihtsateks teguriteks ning seejärel ülemisest ja nimetajast. alumised osad fraktsioonid, et eemaldada kõik levinud tegurid.

Näide 2. Vähendage murdosa

Antud murdosa 360 2940 . Lühendame seda.

Selleks esindame algset murdu kujul:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Vabaneme lugeja ja nimetaja ühistest teguritest, mille tulemusena saame:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Lõpuks kaaluge veel üht võimalust murdarvude vähendamiseks. See on nn järjestikune vähendamine. Seda meetodit kasutades toimub redutseerimine mitmes etapis, millest igas etapis vähendatakse murdosa mõne ilmse ühise jagajaga.

Näide 3. Vähendage murdosa

Vähendame murdosa 2000 4400 .

Kohe on selge, et lugejal ja nimetajal on ühine tegur 100. Vähendame murdosa 100 võrra ja saame:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Saadud tulemust vähendatakse uuesti 2 võrra ja saame taandamatu murdosa:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter