Leidke sõlm ja sõlm kolmest. Arvude nod ja nok – mitme arvu suurim ühisjagaja ja väikseim ühiskordne

Alustame kahe või enama arvu vähima ühiskordse uurimisega. Jaotises anname mõiste definitsiooni, vaatleme teoreemi, mis loob seose vähima ühiskordse ja suurima ühisjagaja vahel ning toome näiteid probleemide lahendamisest.

Ühiskordsed – määratlus, näited

Selles teemas huvitavad meid ainult nullist erinevate täisarvude ühiskordsed.

Definitsioon 1

Täisarvude ühiskordne on täisarv, mis on kõigi antud arvude kordne. Tegelikult on see mis tahes täisarv, mille saab jagada mis tahes antud arvuga.

Ühiskordaja määratlus viitab kahele, kolmele või enamale täisarvule.

Näide 1

Vastavalt ülaltoodud arvu 12 määratlusele on ühiskordsed 3 ja 2. Ka arv 12 on arvude 2, 3 ja 4 ühiskordne. Arvud 12 ja -12 on arvude ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ühiskordsed.

Samal ajal on arvude 2 ja 3 ühiskordne arv 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 ja terve rida mingeid teisi.

Kui võtta arvud, mis jaguvad paari esimese arvuga ja ei jagu teisega, siis sellised arvud ei ole ühiskordsed. Seega ei ole arvude 2 ja 3 puhul arvud 16 , − 27 , 5009 , 27001 ühiskordsed.

0 on mis tahes nullist erinevate täisarvude kogumi ühiskordne.

Kui meenutada jaguvuse omadust suhtes vastupidised numbrid, siis selgub, et mõni täisarv k on nende arvude ühiskordne samamoodi nagu arv-k. See tähendab, et ühised jagajad võivad olla kas positiivsed või negatiivsed.

Kas kõigi numbrite jaoks on võimalik leida LCM-i?

Ühiskordse võib leida mis tahes täisarvu jaoks.

Näide 2

Oletame, et meile antakse k täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. Arv, mille saame arvude korrutamise käigus a 1 a 2 … a k jagatavusomaduse järgi jagatakse see kõigi algses tootes sisalduvate teguritega. See tähendab, et arvude korrutis a 1 , a 2 , … , a k on nende arvude vähim ühiskordne.

Mitu ühiskordset võib neil täisarvudel olla?

Täisarvude rühmal võib olla suur hulkühiskordsed. Tegelikult on nende arv lõpmatu.

Näide 3

Oletame, et meil on mingi arv k . Siis on arvude k · z korrutis, kus z on täisarv, arvude k ja z ühiskordne. Arvestades, et arvude arv on lõpmatu, siis ühiskordajate arv on lõpmatu.

Least Common Multiple (LCM) – määratlus, sümbol ja näited

Meenutagem kontseptsiooni väikseim number alates antud komplekt arvud, mida arutasime jaotises Täisarvude võrdlus. Seda kontseptsiooni silmas pidades sõnastagem vähima ühiskordaja definitsioon, millel on kõigist ühiskordadest suurim praktiline väärtus.

2. definitsioon

Antud täisarvude vähim ühiskordne on nende arvude vähim positiivne ühiskordne.

Vähim ühiskordne on olemas suvalise arvu antud arvude puhul. Mõiste tähistamiseks teatmekirjanduses kasutatakse kõige sagedamini lühendit NOK. Lühike sissekanne arvude vähim ühiskordne a 1 , a 2 , … , a k näeb välja nagu LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Näide 4

6 ja 7 vähim ühiskordne on 42. Need. LCM(6, 7) = 42. Nelja arvu – 2, 12, 15 ja 3 – vähim ühiskordne on 60. Lühike on LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 .

Mitte kõigi antud arvude rühmade puhul on vähim ühiskordne ilmselge. Sageli tuleb see välja arvutada.

NOC ja NOD vaheline seos

Kõige vähem levinud ja suurim ühine jagaja omavahel seotud. Mõistete vahelise seose paneb paika teoreem.

1. teoreem

Kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordne on võrdne arvu a ja b korrutisega, mis on jagatud arvude a ja b suurima ühisjagajaga, st LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Tõestus 1

Oletame, et meil on mingi arv M, mis on arvude a ja b kordne. Kui arv M jagub a-ga, on olemas ka mõni täisarv z , mille alusel võrdsus M = a k. Jaguvuse definitsiooni järgi, kui M on samuti jaguv b, nii siis a k jagatuna b.

Kui võtame kasutusele uue tähise gcd jaoks (a , b) as d, siis saame kasutada võrdusi a = a 1 d ja b = b 1 · d. Sel juhul on mõlemad võrdsused koalgarvud.

Oleme selle juba kindlaks teinud a k jagatuna b. Nüüd saab selle tingimuse kirjutada järgmiselt:
a 1 d k jagatuna b 1 d, mis on samaväärne tingimusega a 1 k jagatuna b 1 jaguvuse omaduste järgi.

Vastavalt vara vastastikusele algarvud, kui a 1 ja b 1 on vastastikku algarvud, a 1 ei jaguga b 1 vaatamata asjaolule, et a 1 k jagatuna b 1, siis b 1 peaks jagama k.

Sel juhul oleks kohane eeldada, et arv on olemas t, milleks k = b 1 t, ja alates b1=b:d, siis k = b: d t.

Nüüd selle asemel k võrdsusse panna M = a k vormi väljendus b: d t. See võimaldab meil jõuda võrdsuseni M = a b: d t. Kell t=1 saame a ja b vähima positiivse ühiskordse , võrdne a b: d, eeldusel, et numbrid a ja b positiivne.

Seega oleme tõestanud, et LCM (a , b) = a b: GCD (a, b).

LCM-i ja GCD vahelise ühenduse loomine võimaldab leida kahe või enama arvu suurima ühisjagaja kaudu vähima ühiskordse.

3. määratlus

Teoreemil on kaks olulist tagajärge:

kahe arvu vähima ühiskordse kordsed on samad, mis nende kahe arvu ühiskordsed;
positiivsete koaprimarvude a ja b vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.

Neid kahte fakti pole raske põhjendada. M arvu a ja b mis tahes ühiskordne defineeritakse võrrandiga M = LCM (a, b) t mõne täisarvu t korral. Kuna a ja b on kaasalgarvud, siis gcd (a, b) = 1, seega LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Kolme või enama arvu vähim ühiskordne

Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks peate järjestikku leidma kahe arvu LCM-i.

2. teoreem

Teeskleme seda a 1 , a 2 , … , a k on mõned täisarvud positiivsed numbrid. LCM-i arvutamiseks m k need numbrid peame järjestikku arvutama m2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Tõestus 2

Käesolevas teemas käsitletud esimese teoreemi esimene järeldus aitab meil tõestada teise teoreemi õigsust. Põhjendus koostatakse järgmise algoritmi järgi:

arvude ühiskordsed a 1 ja a 2 langevad kokku nende LCM-i kordsetega, tegelikult langevad nad kokku arvu kordsetega m2;
arvude ühiskordsed a 1, a 2 ja a 3 m2 ja a 3 m 3;
arvude ühiskordsed a 1 , a 2 , … , a k langevad kokku arvude ühiskordadega m k - 1 ja a k, langevad seetõttu kokku arvu kordsetega m k;
tingitud asjaolust, et arvu väikseim positiivne kordne m k on number ise m k, siis arvude vähim ühiskordne a 1 , a 2 , … , a k on an m k.

Seega oleme teoreemi tõestanud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Naturaalarvude vähima ühiskordse (LCM) ja suurima ühisjagaja (GCD) leidmine.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Kirjutame välja neist arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendusest puuduva teguri 5. Saame: 2*2*3*5*5=300. Leitud NOC, st. see summa = 300. Ärge unustage dimensiooni ja kirjutage vastus:
Vastus: Ema annab igaüks 300 rubla.

GCD määratlus: Suurim ühine jagaja (GCD) naturaalarvud a ja sisse nimeta suurim naturaalarv c, millele ja a, ja b jagatud ilma jäägita. Need. c on väikseim naturaalarv, mille korral ja a ja b on mitmekordsed.

Meeldetuletus: Naturaalarvude määratlemisel on kaks lähenemisviisi

numbrid, mida kasutatakse: üksuste loetlemisel (numeratsioonil) (esimene, teine, kolmas, ...); - koolides, tavaliselt.
märkides esemete arvu (pole pokemon - null, üks pokemon, kaks pokemonit, ...).

Negatiivsed ja mittetäisarvud (ratsionaal-, reaal-, ...) arvud ei ole loomulikud. Mõned autorid lisavad naturaalarvude hulka nulli, teised mitte. Kõikide naturaalarvude hulk on tavaliselt tähistatud sümboliga N

Meeldetuletus: Naturaalarvu jagaja a helista numbrile b, mille a jagatud ilma jäägita. Naturaalarvu mitmekordne b nimetatakse naturaalarvuks a, mis on jagatud b jäljetult. Kui number b- arvujagaja a, siis a mitmekordne b. Näide: 2 on 4 jagaja ja 4 on 2 kordne. 3 on 12 jagaja ja 12 on 3 kordne.
Meeldetuletus: Naturaalarve nimetatakse algarvuks, kui nad jaguvad ilma jäägita ainult iseendaga ja 1-ga. Kaasargumendid on arvud, millel on ainult üks ühisjagaja, mis on võrdne 1-ga.

GCD leidmise määramine üldine juhtum: GCD (suurim ühine jagaja) leidmiseks Vaja on mitut naturaalarvu:
1) Jagage need osadeks peamised tegurid. (Selleks võib olla väga abiks algarvu diagramm.)
2) Kirjutage üles tegurid, mis sisalduvad ühe neist laiendamisel.
3) Kustutage need, mis ülejäänud numbrite laiendusse ei kuulu.
4) Korrutage lõikes 3 saadud tegurid).

Ülesanne 2 (NOK): Uueks aastaks ostis Kolja Puzatov linna 48 hamstrit ja 36 kohvikannu. Fekla Dormidontova kui klassi ausaim tüdruk sai ülesande jagada see vara võimalikult paljudeks õpetajatele mõeldud kinkekomplektideks. Mis on komplektide arv? Mis on komplektide koostis?

Näide 2.1. GCD leidmise probleemi lahendamine. GCD leidmine valiku järgi.
Otsus: Kõik numbrid 48 ja 36 peavad jaguma kingituste arvuga.
1) Kirjutage välja jagajad 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Kirjutage välja jagajad 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Valige suurim ühisjagaja. Op-la-la! Leitud, see on 12-osaliste komplektide arv.
3) Jagage 48 12-ga, saame 4, jagage 36 12-ga, saame 3. Ärge unustage mõõdet ja kirjutage vastus:
Vastus: saate 12 komplekti 4 hamstrit ja igas komplektis 3 kohvikannu.

Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale, mis pärineb artiklist pealkirjaga LCM - vähim ühiskordaja, definitsioon, näited, seos LCM-i ja GCD vahel. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, ja Erilist tähelepanu Vaatame näiteid. Esmalt näitame, kuidas arvutatakse kahe arvu LCM nende arvude GCD järgi. Järgmisena kaaluge vähima ühiskordse leidmist arvude algteguriteks faktorina. Pärast seda keskendume kolme ja LCM-i leidmisele rohkem numbreid ja pöörake tähelepanu ka negatiivsete arvude LCM-i arvutamisele.

Leheküljel navigeerimine.

Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine läbi gcd

Üks viis vähima ühiskordse leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhtel. Olemasolev seos LCM-i ja GCD vahel võimaldab teadaoleva suurima ühisjagaja kaudu arvutada kahe positiivse täisarvu väikseima ühiskordaja. Vastaval valemil on vorm LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Vaadake näiteid LCM-i leidmiseks ülaltoodud valemi järgi.

Näide.

Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.

Otsus.

Selles näites a=126, b=70. Kasutame valemiga väljendatud seost LCM-i ja GCD vahel LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). See tähendab, et kõigepealt peame leidma arvude 70 ja 126 suurima ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi järgi arvutada nende arvude LCM-i.

Leia gcd(126, 70), kasutades Eukleidese algoritmi: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , seega gcd(126, 70)=14 .

Nüüd leiame nõutava vähima ühiskordse: LCM (126, 70) = 126 70: GCM (126, 70) = 126 70:14=630 .

Vastus:

LCM(126,70)=630.

Näide.

Mis on LCM(68, 34)?

Otsus.

Nagu 68 jagub võrdselt 34-ga, siis gcd(68, 34)=34 . Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Vastus:

LCM(68,34)=68.

Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a.

LCM-i leidmine arvude algfaktoriteks arvutamise teel

Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui teeme nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille järel jätame sellest korrutisest välja kõik levinud algtegurid, mis esinevad nende arvude laiendustes, siis on saadud korrutis võrdne nende arvude vähima ühiskordsega.

Väljakuulutatud reegel LCM-i leidmiseks tuleneb võrdsusest LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. Omakorda gcd(a, b) on võrdne tootega kõik algtegurid, mis esinevad samaaegselt arvude a ja b laiendustes (mida kirjeldatakse jaotises GCD leidmine, kasutades arvude algteguriteks lagundamist).

Võtame näite. Anname teada, et 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Koostage nende laienduste kõigi tegurite korrutis: 2 3 3 5 5 5 7 . Nüüd jätame sellest tootest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemisel (sellised tegurid on 3 ja 5), siis saab korrutis kuju 2 3 5 5 7 . Selle korrutise väärtus on võrdne arvude 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Näide.

Pärast arvude 441 ja 700 arvestamist algteguriteks leidke nende arvude vähim ühiskordne.

Otsus.

Jagame arvud 441 ja 700 algteguriteks:

Saame 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Nüüd teeme kõigi nende arvude laienemisega seotud tegurite korrutise: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks - see on arv 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Seega LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus:

LCM(441; 700) = 44 100.

LCM-i leidmise reegli, kasutades arvude algteguriteks jaotamist, saab sõnastada veidi teisiti. Kui liidame arvu b laienemisest puuduvad tegurid arvu a lagundamise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvu a ja b vähima ühiskordsega.

Näiteks võtame kõik samad arvud 75 ja 210, nende laiendused algteguriteks on järgmised: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Teguritele 3, 5 ja 5 arvu 75 laiendusest liidame arvu 210 laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2 3 5 5 7 , mille väärtus on LCM(75 , 210) .

Näide.

Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Otsus.

Esmalt saame arvude 84 ja 648 lagunemise algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 84 laiendusest liidame arvu 648 laiendist puuduvad tegurid 2 , 3 , 3 ja 3 , saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7 , mis võrdub 4 536 . Seega on arvude 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.

Vastus:

LCM(84,648)=4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletage meelde vastav teoreem, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.

Teoreem.

Olgu positiivsed täisarvud a 1 , a 2 , …, a k antud, nende arvude vähim ühiskordne m k leitakse järjestikuses arvutuses m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Mõelge selle teoreemi rakendamisele nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.

Näide.

Leidke nelja arvu 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Otsus.

Selles näites a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Kõigepealt leiame m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil gcd(140, 9) , meil on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4, seega gcd( 140, 9) = 1 , kust LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . See tähendab, et m 2 = 1 260 .

Nüüd leiame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Arvutame selle läbi gcd(1 260, 54) , mille määrab samuti Eukleidese algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Siis gcd(1 260, 54) = 18, kust LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. See tähendab, m 3 \u003d 3 780.

Vasak leida m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Selleks leiame Eukleidese algoritmi kasutades GCD(3 780, 250): 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Seetõttu gcd(3 780, 250)=10, kust gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . See tähendab, m 4 \u003d 94 500.

Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.

Vastus:

LCM(140; 9; 54; 250) = 94 500.

Paljudel juhtudel leitakse kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul tuleks järgida järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laienemisest puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid esimese arvu laienemisest. saadud teguritele liidetakse kolmas arv jne.

Vaatleme näidet vähima ühiskordse leidmiseks, kasutades arvude algteguriteks jaotamist.

Näide.

Leidke viie arvu 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.

Otsus.

Esiteks saame nende arvude laiendused algteguriteks: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 algtegurit) ja 143=11 13 .

Nende arvude LCM-i leidmiseks tuleb esimese arvu 84 teguritele (need on 2 , 2 , 3 ja 7 ) lisada teise arvu 6 laiendist puuduvad tegurid. Arvu 6 laiendus ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 laiendamisel olemas. Edasi teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 liidame kolmanda arvu 48 laiendist puuduvad tegurid 2 ja 2 , saame tegurite 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 hulga . Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile faktoreid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13 . Saame korrutise 2 2 2 2 3 7 11 13 , mis võrdub 48 048 .

Mõelge kolmele võimalusele vähima ühiskordse leidmiseks.

Faktooringuga leidmine

Esimene võimalus on leida vähim ühiskordne, arvutades antud arvud algteguriteks.

Oletame, et peame leidma arvude 99, 30 ja 28 LCM-i. Selleks jagame kõik need arvud algteguriteks:

Soovitud arvu jagumiseks 99, 30 ja 28-ga on vajalik ja piisav, et see hõlmaks kõiki nende jagajate algtegureid. Selleks peame võtma kõik nende arvude algtegurid suurima esinemisastmeni ja korrutama need kokku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Seega LCM (99, 30, 28) = 13 860. Ükski teine arv, mis on väiksem kui 13 860, ei jagu ühtlaselt 99, 30 või 28-ga.

Antud arvude vähima ühiskordse leidmiseks peate need jagama algteguriteks, seejärel võtma iga algteguri suurima eksponendiga, millega see esineb, ja korrutama need tegurid omavahel.

Kuna koalgarvudel ei ole ühiseid algtegureid, on nende vähim ühiskordne võrdne nende arvude korrutisega. Näiteks kolm arvu: 20, 49 ja 33 on algarvud. Niisiis

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Sama tuleks teha ka erinevate algarvude vähima ühise kordse otsimisel. Näiteks LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Valiku järgi leidmine

Teine võimalus on leida sobitamise teel vähim ühiskordne.

Näide 1. Kui suurim antud arvudest jagub võrdselt teiste antud arvudega, siis nende arvude LCM on võrdne neist suuremaga. Näiteks antud neli arvu: 60, 30, 10 ja 6. Igaüks neist jagub 60-ga, seega:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Muudel juhtudel kasutatakse vähima ühiskordse leidmiseks järgmist protseduuri:

Määrake antud arvude hulgast suurim arv.
Järgmisena leidke arvud, mis on kordsed suurim arv, korrutades selle arvuga täisarvud kasvavas järjekorras ja kontrollides, kas ülejäänud antud arvud jaguvad saadud korrutisega.

Näide 2. Antud on kolm arvu 24, 3 ja 18. Määrake neist suurim – see on arv 24. Järgmiseks leidke arvud, mis on 24 kordsed, kontrollides, kas igaüks neist jagub 18 ja 3-ga:

24 1 = 24 jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.

24 2 = 48 - jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.

24 3 \u003d 72 - jagub 3 ja 18-ga.

Seega LCM(24, 3, 18) = 72.

Otsimine järjestikuse leidmise LCM abil

Kolmas viis on LCM-i järjestikuse leidmise teel leida vähim ühiskordne.

Kahe antud arvu LCM võrdub nende arvude korrutisega, mis on jagatud nende suurima ühisjagajaga.

Näide 1. Leidke kahe antud arvu LCM: 12 ja 8. Määrake nende suurim ühisjagaja: GCD (12, 8) = 4. Korrutage need arvud:

Jagame toote nende GCD-ks:

Seega LCM(12, 8) = 24.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmiseks kasutatakse järgmist protseduuri.

Esiteks leitakse mis tahes kahe antud numbri LCM.
Seejärel leitud vähima ühiskordaja ja kolmanda LCM antud number.
Seejärel saadud vähima ühiskordse ja neljanda arvu LCM jne.
Seega LCM-i otsing jätkub seni, kuni on numbreid.

Näide 2. Leidke LCM kolm andmeid numbrid: 12, 8 ja 9. Arvude 12 ja 8 LCM, mille leidsime juba eelmises näites (see on number 24). Jääb üle leida arvu 24 vähim ühiskordne ja kolmas antud arv - 9. Määrake nende suurim ühisjagaja: gcd (24, 9) = 3. Korrutage LCM arvuga 9:

Jagame toote nende GCD-ks:

Seega LCM(12, 8, 9) = 72.

GCD on suurim ühine jagaja.

Mitme arvu suurima ühisjagaja leidmiseks toimige järgmiselt.

määrata mõlemale arvule ühised tegurid;
leida ühiste tegurite korrutis.

Näide GCD leidmisest:

Leidke arvude 315 ja 245 GCD.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Kirjutage üles mõlema arvu ühised tegurid:

3. Leidke tavategurite korrutis:

gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Vastus: GCD(315; 245) = 35.

NOC leidmine

LCM on vähim ühiskordne.

Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks toimige järgmiselt.

lagundada arvud algteguriteks;
kirjutage välja tegurid, mis sisalduvad ühe arvu laiendamisel;
lisage neile teise numbri laiendamisest puuduvad tegurid;
leida saadud tegurite korrutis.

Näide NOC leidmisest:

Leidke numbrite 236 ja 328 LCM:

1. Jagame arvud algteguriteks:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Kirjutage üles ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid ja lisage neile teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Leidke saadud tegurite korrutis:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Vastus: LCM(236; 328) = 19352.

Kahe arvu GCD (suurima ühise jagaja) leidmiseks vajate:

2. Leia (jooni alla) saadud laiendustes kõik levinud algtegurid.

3. Leidke ühiste algtegurite korrutis.

Kahe numbri LCM-i (kõige vähem levinud kordne) leidmiseks vajate:

1. Jagage need arvud algteguriteks.

2. Täiendage ühe neist laiendust nende teise arvu laienemise teguritega, mis ei ole esimese laienduses.

3. Arvutage saadud tegurite korrutis.