Matemaatikas on arvude aritmeetiline keskmine (või lihtsalt keskmine) antud hulga kõigi arvude summa jagatud nende arvuga. See on keskmise väärtuse kõige üldistatum ja levinum mõiste. Nagu juba aru saite, peate leidmiseks kokku võtma kõik teile antud numbrid ja jagama tulemuse terminite arvuga.

Mis on aritmeetiline keskmine?

Vaatame näidet.

Näide 1. Arvud on antud: 6, 7, 11. Peate leidma nende keskmise väärtuse.

Otsus.

Esiteks leiame kõigi antud arvude summa.

Nüüd jagame saadud summa liikmete arvuga. Kuna meil on vastavalt kolm terminit, jagame kolmega.

Seetõttu on 6, 7 ja 11 keskmine 8. Miks 8? Jah, sest 6, 7 ja 11 summa on sama, mis kolm kaheksat. See on joonisel selgelt näha.

Keskmine väärtus meenutab mõnevõrra numbrite jada "joondamist". Nagu näha, on pliiatsihunnikutest saanud üks tasapind.

Mõelge saadud teadmiste kinnistamiseks veel ühele näitele.

Näide 2 Arvud on antud: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Peate leidma nende aritmeetilise keskmise.

Otsus.

Leiame summa.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Jagage terminite arvuga (antud juhul 15).

Seetõttu on selle arvude jada keskmine väärtus 22.

Nüüd kaaluge negatiivseid numbreid. Tuletagem meelde, kuidas neid kokku võtta. Näiteks on teil kaks numbrit 1 ja -4. Leiame nende summa.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Seda teades kaaluge teist näidet.

Näide 3 Leidke arvude jada keskmine väärtus: 3, -7, 5, 13, -2.

Otsus.

Arvude summa leidmine.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Kuna liikmeid on 5, jagame saadud summa 5-ga.

Seetõttu on arvude 3, -7, 5, 13, -2 aritmeetiline keskmine 2,4.

Meie tehnoloogia arengu ajal on keskmise väärtuse leidmiseks palju mugavam kasutada arvutiprogramme. Microsoft Office Excel on üks neist. Keskmise leidmine Excelis on kiire ja lihtne. Lisaks on see programm Microsoft Office'i tarkvarapaketis. Vaatleme lühikest juhist, väärtustage seda programmi kasutades.

Arvurea keskmise väärtuse arvutamiseks peate kasutama funktsiooni AVERAGE. Selle funktsiooni süntaks on:
=Keskmine(argument1, argument2, ... argument255)
kus argument1, argument2, ... argument255 on kas numbrid või lahtriviited (lahtrid tähendavad vahemikke ja massiive).

Et asi selgem oleks, paneme saadud teadmised proovile.

1. Sisestage numbrid 11, 12, 13, 14, 15, 16 lahtritesse C1 - C6.
2. Valige lahter C7, klõpsates sellel. Selles lahtris kuvame keskmise väärtuse.
3. Klõpsake vahekaarti "Valemid".
4. Avamiseks valige Rohkem funktsioone > Statistiline
5. Valige KESKMINE. Pärast seda peaks avanema dialoogiboks.
6. Dialoogiboksis vahemiku määramiseks valige ja lohistage lahtrid C1-C6 sinna.
7. Kinnitage oma toimingud nupuga "OK".
8. Kui tegite kõik õigesti, peaks lahtris C7 olema vastus - 13.7. Kui klõpsate lahtril C7, kuvatakse valemiribal funktsioon (=Keskmine(C1:C6)).

Seda funktsiooni on väga kasulik kasutada raamatupidamises, arvete esitamisel või siis, kui on vaja lihtsalt leida väga pika numbrivahemiku keskmine. Seetõttu kasutatakse seda sageli kontorites ja suurtes ettevõtetes. See võimaldab hoida arvestust korras ja võimaldab kiiresti midagi välja arvutada (näiteks kuu keskmine sissetulek). Funktsiooni keskmise väärtuse leidmiseks saate kasutada ka Excelit.

Kuidas arvutada Excelis arvude keskmist

Arvude aritmeetilise keskmise leiate Excelis funktsiooni abil.

Süntaks AVERAGE

=KESKMINE(arv1,[arv2],…) - venekeelne versioon

Argumendid KESKMINE

• number1- esimene arv või arvude vahemik aritmeetilise keskmise arvutamiseks;
• number2(Valikuline) – teine ​​arv või arvuvahemik aritmeetilise keskmise arvutamiseks. Funktsiooni argumentide maksimaalne arv on 255.

Arvutamiseks toimige järgmiselt.

• Valige mis tahes lahter;
• Kirjutage sinna valem =KESKMINE(
• Valige lahtrite vahemik, mille kohta soovite arvutust teha;
• Vajutage klaviatuuril klahvi "Enter".

Funktsioon arvutab keskmise väärtuse määratud vahemikus nende lahtrite hulgas, mis sisaldavad numbreid.

Kuidas leida antud teksti keskmist väärtust

Kui andmevahemikus on tühje ridu või teksti, käsitleb funktsioon neid nullina. Kui andmete hulgas on loogilisi avaldisi FALSE või TRUE, siis tajub funktsioon FALSE kui “null” ja TRUE kui “1”.

Kuidas leida tingimuse järgi aritmeetilist keskmist

Funktsiooni kasutatakse keskmise arvutamiseks tingimuse või kriteeriumi alusel. Oletame näiteks, et meil on toote müügiandmed:

Meie ülesanne on arvutada pliiatsite keskmine müük. Selleks teeme järgmised sammud:

• Lahtris A13 kirjutage toote nimi "Pliiatsid";
• Lahtris B13 sisestame valemi:

=KESKMINE KUI(A2:A10,A13,B2:B10)

Lahtrivahemik " A2:A10” osutab toodete loendile, millest otsime sõna “Pliiatsid”. Argument A13 see on link tekstiga lahtrile, mida otsime kogu tooteloendi hulgast. Lahtrivahemik " B2:B10” on toote müügiandmetega vahemik, mille hulgast leiab funktsioon “Pliiatsid” ja arvutab keskmise väärtuse.

Keskmine väärtus on üldistav näitaja, mis iseloomustab nähtuse tüüpilist taset. See väljendab atribuudi väärtust, mis on seotud üldkogumi ühikuga.

Keskmine väärtus on:

1) tunnuse kõige tüüpilisem väärtus üldkogumile;

2) rahvastiku märgi maht, jaotatuna võrdselt rahvastiku üksuste vahel.

Karakteristikut, mille jaoks keskmine väärtus arvutatakse, nimetatakse statistikas "keskmistatuks".

Keskmine üldistab alati tunnuse kvantitatiivset varieerumist, s.t. keskmistes väärtustes tühistatakse juhuslikest asjaoludest tulenevad individuaalsed erinevused populatsiooni ühikutes. Erinevalt keskmisest ei võimalda populatsiooni üksiku üksuse tunnuse taset iseloomustav absoluutväärtus võrrelda tunnuse väärtusi erinevatesse populatsioonidesse kuuluvate üksuste puhul. Seega, kui on vaja võrrelda kahe ettevõtte töötajate töötasusid, siis ei saa selle alusel võrrelda kahte erineva ettevõtte töötajat. Võrdluseks valitud töötajate palgad ei pruugi olla neile ettevõtetele tüüpilised. Kui võrrelda vaadeldavate ettevõtete palgafondide suurust, siis töötajate arvu arvesse ei võeta ja seetõttu ei saa kindlaks teha, kus on kõrgem palgatase. Lõppkokkuvõttes saab võrrelda ainult keskmisi, s.t. Kui palju üks töötaja igas ettevõttes keskmiselt teenib? Seega on vajadus arvutada välja keskmine väärtus kui üldkogumit üldistav tunnus.

Oluline on märkida, et keskmistamise käigus peab atribuudi tasemete koondväärtus või selle lõppväärtus (aegrea keskmiste tasemete arvutamisel) jääma muutumatuks. Ehk siis keskmise väärtuse arvutamisel ei tohiks uuritava tunnuse maht olla moonutatud ning keskmise arvutamisel tehtavad väljendid peavad tingimata olema mõistlikud.

Keskmise arvutamine on üks levinud üldistustehnika; keskmine näitaja eitab üldist, mis on tüüpiline (tüüpiline) uuritava üldkogumi kõikidele üksustele, samas eirab üksikute üksuste erinevusi. Igas nähtuses ja selle arengus on kombinatsioon juhusest ja vajadusest. Keskmiste arvutamisel tühistab juhuslikkus suurte arvude seaduse toimimise tõttu üksteist, tasakaalustab, nii et saate igal konkreetsel juhul abstraheerida nähtuse ebaolulistest tunnustest, atribuudi kvantitatiivsetest väärtustest. Individuaalsete väärtuste juhuslikkusest, kõikumistest abstraheerumise võimes peitub keskmiste kui agregaatide üldistavate tunnuste teaduslik väärtus.

Selleks, et keskmine oleks tõeliselt tüüpiline, tuleb see arvutada teatud põhimõtteid arvestades.

Peatugem mõnel üldpõhimõttel keskmiste rakendamisel.

1. Kvalitatiivselt homogeensetest üksustest koosnevate populatsioonide keskmine tuleks määrata.

2. Keskmine tuleks arvutada üldkogumi kohta, mis koosneb piisavalt suurest arvust ühikutest.

3. Keskmine tuleks arvutada elanikkonna kohta, mille ühikud on normaalses, loomulikus olekus.

4. Keskmine tuleks arvutada, võttes arvesse uuritava näitaja majanduslikku sisu.

5.2. Keskmiste tüübid ja nende arvutamise meetodid

Vaatleme nüüd keskmiste tüüpe, nende arvutamise omadusi ja rakendusvaldkondi. Keskmised väärtused jagunevad kahte suurde klassi: võimsuse keskmised, struktuursed keskmised.

Võimuseaduse keskmised hõlmavad kõige tuntumaid ja sagedamini kasutatavaid tüüpe, nagu geomeetriline keskmine, aritmeetiline keskmine ja keskmine ruut.

Režiimi ja mediaani peetakse struktuurseteks keskmisteks.

Peatugem võimsuse keskmistel. Võimsuse keskmised võivad olenevalt algandmete esitusest olla lihtsad ja kaalutud. lihtne keskmine arvutatakse rühmitamata andmete põhjal ja sellel on järgmine üldkuju:

,

kus X i on keskmistatud tunnuse variant (väärtus);

n on valikute arv.

Kaalutud keskmine arvutatakse rühmitatud andmete alusel ja sellel on üldine vorm

,

kus X i on keskmistatud tunnuse variant (väärtus) või vahemiku keskmine väärtus, milles varianti mõõdetakse;

m on keskmise eksponent;

f i - sagedus, mis näitab, mitu korda esineb keskmistatud tunnuse i-e väärtus.

Kui arvutame samade algandmete jaoks igat tüüpi keskmised, ei ole nende väärtused samad. Siin kehtib keskmiste ülekaalu reegel: eksponendi m suurenemisega suureneb ka vastav keskmine väärtus:

Statistilises praktikas kasutatakse teistest kaalutud keskmistest sagedamini aritmeetilisi ja harmoonilisi kaalutud keskmisi.

Jõuallikate tüübid

Võimsuse tüüp keskel	Näitaja kraadid (m)	Arvutusvalem
		Lihtne	kaalutud
harmooniline
Geomeetriline
Aritmeetika
ruutkeskne
kuupmeetrit

Harmoonilise keskmise ülesehitus on keerulisem kui aritmeetilisel keskmisel. Harmooniliste keskmist kasutatakse arvutustes, kui kaalud ei ole populatsiooni ühikud - tunnuse kandjad, vaid nende ühikute ja tunnuse väärtuste korrutised (st m = Xf). Keskmist harmoonilist seisakuaega tuleks kasutada näiteks kahe (kolme, nelja jne) ettevõtte, seadmete valmistamisega tegelevate töötajate keskmiste tööjõu-, aja-, materjalide kulu toodanguühiku, osa kohta. sama tüüpi toode, sama osa, toode.

Keskmise väärtuse arvutamise valemi põhinõue on, et arvutamise kõigil etappidel oleks reaalne sisukas põhjendus; Saadud keskmine väärtus peaks asendama iga objekti atribuudi individuaalsed väärtused, katkestamata seost üksikute ja kokkuvõtlike näitajate vahel. Teisisõnu, keskmine väärtus tuleks arvutada nii, et kui keskmistatud näitaja iga üksiku väärtuse asendamine selle keskmise väärtusega, jääb mõni lõplik koondnäitaja, mis on ühel või teisel viisil seotud keskmistatud näitajaga, muutumatuks. Seda tulemust nimetatakse määrav kuna selle seose olemus üksikute väärtustega määrab keskmise väärtuse arvutamise konkreetse valemi. Näitame seda reeglit geomeetrilise keskmise näitel.

Geomeetrilise keskmise valem

kasutatakse kõige sagedamini dünaamika üksikute suhteliste väärtuste keskmise väärtuse arvutamisel.

Geomeetrilist keskmist kasutatakse juhul, kui on antud dünaamika ahela suhteliste väärtuste jada, mis näitab näiteks toodangu kasvu võrreldes eelmise aasta tasemega: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Ilmselt määrab viimase aasta toodangu mahu selle algtase (q 0) ja sellele järgnev kasv aastate lõikes:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×… × i n .

Võttes defineerivaks indikaatoriks q n ja asendades dünaamikanäitajate üksikud väärtused keskmiste väärtustega, jõuame seoseni

Siit

Keskmiste väärtuste eritüüpi - struktuurseid keskmisi - kasutatakse atribuutide väärtuste jaotuse seeria sisemise struktuuri uurimiseks, samuti keskmise väärtuse (võimsuse tüübi) hindamiseks, kui olemasolevate statistiliste andmete kohaselt selle arvutust ei saa teha (näiteks kui vaadeldavas näites andmed puuduvad).ja toodangu mahu kohta ning kulude suuruse kohta ettevõtete gruppide kaupa).

Kõige sagedamini kasutatakse näitajaid struktuursete keskmistena. mood - kõige sagedamini korduv tunnusväärtus - ja mediaan - tunnuse väärtus, mis jagab selle väärtuste järjestatud jada kaheks võrdseks osaks. Selle tulemusena ei ületa atribuudi väärtus ühes pooles populatsiooniüksustest mediaantaset ja teises pooles ei ole see sellest väiksem.

Kui uuritaval tunnusel on diskreetsed väärtused, siis režiimi ja mediaani arvutamisel erilisi raskusi pole. Kui andmed atribuudi X väärtuste kohta esitatakse selle muutumise järjestatud intervallidena (intervallide seeriad), muutub režiimi ja mediaani arvutamine mõnevõrra keerulisemaks. Kuna mediaanväärtus jagab kogu populatsiooni kaheks võrdseks osaks, siis jõuab see ühte tunnuse X intervallidesse. Interpolatsiooni kasutades leitakse mediaanväärtus sellest mediaanintervallist:

,

kus X Me on mediaanintervalli alumine piir;

h Mina on selle väärtus;

(Summa m) / 2 - pool vaatluste koguarvust või pool näitaja mahust, mida kasutatakse keskmise väärtuse arvutamise valemites (absoluut- või suhtelises väärtuses);

S Me-1 on enne mediaanintervalli algust kogunenud vaatluste summa (või kaalumistunnuse maht);

m Me on vaatluste arv või kaalumistunnuse maht mediaanintervallis (ka absoluutses või suhtelises väärtuses).

Tunnuse modaalväärtuse arvutamisel intervallide jada andmete järgi tuleb pöörata tähelepanu sellele, et intervallid oleksid samad, kuna sellest sõltub tunnuse väärtuste sageduse indikaator X. võrdsete intervallidega intervallide jada, režiimi väärtus määratakse kui

,

kus X Mo on modaalintervalli madalam väärtus;

m Mo on vaatluste arv või kaalumistunnuse maht modaalvahemikus (absoluut- või suhtelises väärtuses);

m Mo-1 - sama modaalile eelneva intervalli puhul;

m Mo+1 - sama modaalile järgneva intervalli puhul;

h on tunnuse muutumise intervalli väärtus rühmades.

ÜLESANNE 1

Tööstusettevõtete grupi kohta on aruandeaasta kohta olemas järgmised andmed

№ ettevõtetele	Tootmismaht, miljon rubla		Keskmine töötajate arv, tk.	Kasum, tuhat rubla
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Toodete vahetamiseks tuleb koostada ettevõtete rühmitamine järgmiste intervallidega:

kuni 200 miljonit rubla


200 kuni 400 miljonit rubla


1. 400 kuni 600 miljonit rubla
   

   Määrake iga rühma ja kõigi jaoks kokku ettevõtete arv, toodangu maht, keskmine töötajate arv, keskmine toodang töötaja kohta. Rühmitamise tulemused tuleks esitada statistilise tabeli kujul. Sõnastage järeldus.
   

   OTSUS
   

   Grupeerime ettevõtted toodete vahetuse järgi, arvutame lihtsa keskmise valemi järgi ettevõtete arvu, toodangu mahu, keskmise töötajate arvu. Rühmitamise ja arvutuste tulemused on kokku võetud tabelis.
   

   Rühmad tootmismahu järgi	№ ettevõtetele	Tootmismaht, miljon rubla	Põhivara aasta keskmine maksumus, miljonit rubla	keskmine uni mahlane töötajate arv, in.	Kasum, tuhat rubla	Keskmine toodang töötaja kohta
   1 rühm kuni 200 miljonit rubla	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Keskmine tase		198,3			24,9
   2 rühma 200 kuni 400 miljonit rubla	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Keskmine tase		282,3	37,6	1530	64,0
   3 grupp alates 400 kuni 600 miljonit	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Keskmine tase		512,9	34,4	1421	120,9
   Kokku kokku		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Koondkeskmine		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Järeldus. Seega langes vaadeldavas koondkokkuvõttes toodangu poolest kõige rohkem ettevõtteid kolmandasse rühma - seitse ehk pooled ettevõtted. Selles grupis on ka põhivara aasta keskmise väärtuse väärtus, samuti keskmise töötajate arvu suur väärtus - 9974 inimest, kõige vähem kasumlikud on esimese grupi ettevõtted.
   

   ÜLESANNE 2
   

   Ettevõtte ettevõtete kohta on meil järgmised andmed
   

   Ettevõttele kuuluva ettevõtte number	I veerand		II veerand
   	Väljund, tuhat rubla		Töötas inimpäevade kaupa	Keskmine toodang töötaja kohta päevas, hõõruda.
   	59390,13

Teema 5. Keskmised kui statistilised näitajad

Keskmise mõiste. Statistilise uuringu keskmiste väärtuste ulatus

Keskmisi väärtusi kasutatakse saadud esmaste statistiliste andmete töötlemise ja summeerimise etapis. Keskmiste väärtuste määramise vajadus tuleneb asjaolust, et uuritud populatsioonide erinevate üksuste puhul ei ole sama tunnuse individuaalsed väärtused reeglina samad.

Keskmine väärtus nimetada näitajat, mis iseloomustab tunnuse või tunnuste rühma üldistatud väärtust uuritavas populatsioonis.

Kui uuritakse kvalitatiivselt homogeensete tunnustega populatsiooni, siis siin kuvatakse keskmine väärtus kui tüüpiline keskmine. Näiteks määratakse kindla sissetulekutasemega teatud tööstusharu töötajate gruppidele tüüpiline keskmine kulutus esmatarbekaupadele, s.o. tüüpiline keskmine üldistab atribuudi kvalitatiivselt homogeenseid väärtusi antud populatsioonis, mis on selle rühma töötajate kulutuste osatähtsus hädavajalikele kaupadele.

Kvalitatiivselt heterogeensete tunnustega populatsiooni uurimisel võivad esiplaanile tulla ebatüüpilised keskmised näitajad. Sellised on näiteks toodetud rahvatulu keskmised näitajad elaniku kohta (erinevad vanuserühmad), teraviljakultuuride keskmised saagid kogu Venemaal (erinevate kliimavööndite ja erinevate teraviljakultuuride alad), rahvastiku keskmised sündimusnäitajad aastal. kõik riigi piirkonnad, teatud perioodi keskmine temperatuur jne. Siin üldistavad keskmised väärtused tunnuste või süsteemsete ruumiliste agregaatide (rahvusvaheline kogukond, kontinent, osariik, piirkond, piirkond jne) kvalitatiivselt heterogeenseid väärtusi või ajaliselt (sajand, kümnend, aasta, aastaaeg jne) dünaamilisi agregaate. ) . Neid keskmisi nimetatakse süsteemi keskmised.

Seega seisneb keskmiste väärtuste tähendus nende üldistavas funktsioonis. Keskmine väärtus asendab suure hulga tunnuse individuaalseid väärtusi, paljastades kõigile populatsiooni üksustele omased ühised omadused. See omakorda võimaldab vältida juhuslikke põhjuseid ja tuvastada ühistest põhjustest tulenevaid ühiseid mustreid.

Keskmiste väärtuste tüübid ja nende arvutamise meetodid

Statistilise töötlemise etapis saab püstitada mitmesuguseid uurimisülesandeid, mille lahendamiseks on vaja valida sobiv keskmine. Sel juhul tuleb juhinduda järgmisest reeglist: väärtused, mis tähistavad keskmise lugejat ja nimetajat, peavad olema üksteisega loogiliselt seotud.

võimsuse keskmised;

struktuursed keskmised.

Tutvustame järgmist tähistust:

Väärtused, mille jaoks keskmine arvutatakse;

Keskmine, kus ülaltoodud rida näitab, et üksikute väärtuste keskmistamine toimub;

Sagedus (individuaalsete tunnuste väärtuste korratavus).

Üldise võimsuse keskmise valemist on tuletatud erinevad vahendid:

(5.1)

kui k = 1 - aritmeetiline keskmine; k = -1 - harmooniline keskmine; k = 0 - geomeetriline keskmine; k = -2 - ruutkeskmine.

Keskmised on kas lihtsad või kaalutud. kaalutud keskmised nimetatakse suurusteks, mis võtavad arvesse, et atribuudi väärtuste mõnel variandil võivad olla erinevad numbrid ja seetõttu tuleb iga variant selle arvuga korrutada. Teisisõnu, "kaalud" on rahvastikuüksuste arvud erinevates rühmades, s.o. iga valik on "kaalustatud" selle sagedusega. Sagedust f nimetatakse statistiline kaal või keskmine kaal.

Aritmeetiline keskmine- levinuim kandja tüüp. Seda kasutatakse siis, kui arvutatakse rühmitamata statistiliste andmete põhjal, kus soovitakse saada keskmist liitmist. Aritmeetiline keskmine on tunnuse selline keskmine väärtus, mille saamisel jääb tunnuse kogumaht üldkogumis muutumatuks.

Aritmeetilise keskmise valemil (lihtne) on vorm

kus n on populatsiooni suurus.

Näiteks arvutatakse ettevõtte töötajate keskmine palk aritmeetilise keskmisena:

Siin on määravad näitajad iga töötaja töötasu ja ettevõtte töötajate arv. Keskmise arvutamisel jäi töötasu kogusumma samaks, kuid jagunes justkui võrdselt kõigi töötajate vahel. Näiteks on vaja arvutada väikeettevõtte töötajate keskmine palk, kus töötab 8 inimest:

Keskmiste arvutamisel saab keskmistatud atribuudi üksikuid väärtusi korrata, seega arvutatakse keskmine rühmitatud andmete põhjal. Sel juhul räägime kasutamisest aritmeetiline keskmine kaalutud, mis näeb välja nagu

(5.3)

Seega tuleb välja arvutada aktsiaseltsi aktsia keskmine hind börsil. Teatavasti tehti tehinguid 5 päeva jooksul (5 tehingut), müügikursiga müüdud aktsiate arv jagunes järgmiselt:

1–800 ak. - 1010 rubla

2 - 650 ac. - 990 hõõruda.

3 - 700 ak. - 1015 rubla.

4 - 550 ak. - 900 rubla.

5 - 850 ak. - 1150 rubla.

Aktsia keskmise hinna määramise esialgne suhe on tehingute kogusumma (TCA) ja müüdud aktsiate arvu (KPA) suhe:

OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700 + 900 550 + 1150 850 = 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

Sel juhul oli aktsia keskmine hind võrdne

On vaja teada aritmeetilise keskmise omadusi, mis on väga oluline nii selle kasutamisel kui ka arvutamisel. On kolm peamist omadust, mis kõige enam tõid kaasa aritmeetilise keskmise laialdase kasutamise statistilistes ja majanduslikes arvutustes.

Omadus üks (null): tunnuse üksikute väärtuste positiivsete kõrvalekallete summa selle keskmisest väärtusest võrdub negatiivsete kõrvalekallete summaga. See on väga oluline omadus, kuna see näitab, et kõik juhuslikest põhjustest tingitud kõrvalekalded (nii + kui ka -) tühistatakse vastastikku.

Tõestus:

Teine omadus (miinimum): atribuudi üksikute väärtuste aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete ruudu summa on väiksem kui mis tahes muust arvust (a), s.o. on minimaalne arv.

Tõestus.

Koostage muutuja a kõrvalekallete ruudu summa:

(5.4)

Selle funktsiooni ekstreemumi leidmiseks on vaja võrdsustada selle tuletis a suhtes nulliga:

Siit saame:

(5.5)

Seetõttu saavutatakse ruudu hälvete summa ekstreemum . See ekstreemum on miinimum, kuna funktsioonil ei saa olla maksimumi.

Kolmas omadus: konstandi aritmeetiline keskmine on võrdne selle konstandiga: at a = const.

Lisaks nendele kolmele kõige olulisemale aritmeetilise keskmise omadusele on nn disainiomadused, mis on elektrooniliste arvutite kasutamise tõttu järk-järgult kaotamas oma tähtsust:

kui iga ühiku märgi individuaalne väärtus korrutada või jagada konstantse arvuga, siis aritmeetiline keskmine suureneb või väheneb sama palju;

aritmeetiline keskmine ei muutu, kui iga tunnuse väärtuse kaal (sagedus) jagatakse konstantse arvuga;

kui iga ühiku atribuudi individuaalseid väärtusi vähendatakse või suurendatakse sama palju, siis aritmeetiline keskmine väheneb või suureneb sama palju.

Keskmine harmooniline. Seda keskmist nimetatakse vastastikuseks aritmeetiliseks keskmiseks, kuna seda väärtust kasutatakse juhul, kui k = -1.

Lihtne harmooniline keskmine kasutatakse siis, kui iseloomulike väärtuste kaalud on samad. Selle valemi saab tuletada põhivalemist, asendades k = -1:

Näiteks peame arvutama kahe sama tee, kuid erineva kiirusega läbinud auto keskmise kiiruse: esimene 100 km/h, teine ​​90 km/h. Harmoonilise keskmise meetodi abil arvutame keskmise kiiruse:

Statistilises praktikas kasutatakse sagedamini harmoonilist kaalu, mille valemil on vorm

Seda valemit kasutatakse juhtudel, kui iga atribuudi kaalud (või nähtuste mahud) ei ole võrdsed. Algses suhtarvus arvutab lugeja teadaolevalt keskmist, kuid nimetaja on teadmata.

Lihtne aritmeetiline keskmine on keskmine liige, mille määramisel on antud atribuudi kogumaht agregaadid andmed jaotatakse võrdselt kõigi selles komplektis sisalduvate üksuste vahel. Seega on keskmine aastane toodang töötaja kohta selline toodangumahu väärtus, mis langeks igale töötajale, kui kogu toodangumaht oleks võrdselt jaotatud kõigi organisatsiooni töötajate vahel. Aritmeetiline keskmine lihtväärtus arvutatakse järgmise valemi abil:

lihtne aritmeetiline keskmine- võrdub atribuudi individuaalsete väärtuste summa ja atribuutide arvu suhtega koondväärtuses

Näide 1. 6-liikmeline meeskond saab 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tuhat rubla kuus.

Leidke keskmine palk Lahendus: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tuhat rubla.

Aritmeetiline kaalutud keskmine

Kui andmestiku maht on suur ja esindab jaotusrida, arvutatakse kaalutud aritmeetiline keskmine. Nii määratakse toodanguühiku kaalutud keskmine hind: tootmise kogumaksumus (selle koguse toodete summa ja toodanguühiku hind) jagatakse toodangu kogukogusega.

Esitame seda järgmise valemi kujul:

Kaalutud aritmeetiline keskmine- on võrdne (atribuudi väärtuse ja selle atribuudi kordussageduse korrutiste summa) suhtega (kõikide atribuutide sageduste summa). Seda kasutatakse juhul, kui uuritava üldkogumi variandid esinevad ebavõrdne arv kordi.

Näide 2. Leia poetöötajate keskmine palk kuus

ühe töötaja palk tuhat rubla; X	Töötajate arv F

Keskmise palga saab, jagades kogupalga töötajate koguarvuga:

Vastus: 3,35 tuhat rubla.

Intervallide jada aritmeetiline keskmine

Intervalli variatsioonirea aritmeetilise keskmise arvutamisel määrake esmalt iga intervalli keskmine ülemise ja alumise piiri poolsummana ning seejärel kogu seeria keskmine. Avatud intervallide puhul määrab alumise või ülemise intervalli väärtuse nendega külgnevate intervallide väärtus.

Intervalli seeriatest arvutatud keskmised on ligikaudsed.

Näide 3. Määrake õhtuse osakonna õpilaste keskmine vanus.

Vanus aastates!!x??	Õpilaste arv	Intervalli keskmine	Intervalli keskkoha (vanuse) ja õpilaste arvu korrutis
		(18 + 20) / 2 =19 18 antud juhul alumise intervalli piir. Arvutatud 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 või rohkem		(30 + 34) / 2 = 32

Intervalli seeriatest arvutatud keskmised on ligikaudsed. Nende lähendamise määr sõltub sellest, mil määral läheneb populatsiooniüksuste tegelik jaotus intervalli sees ühtlaseks.

Keskmiste arvutamisel saab kaaludena kasutada mitte ainult absoluutseid, vaid ka suhtelisi väärtusi (sagedust).