Suurte arvude ja piirteoreemide seadus. Suurte arvude seadus

Kui jätkusuutlikkuse fenomen keskmine toimub tegelikkuses, siis matemaatilises mudelis, millega me juhuslikke nähtusi uurime, peab olema seda fakti kajastav teoreem.
Selle teoreemi tingimustes kehtestame juhuslikele suurustele piirangud X 1 , X 2 , …, X n:

a) iga juhuslik suurus Х i on matemaatiline ootus

M(Х i) = a;

b) iga juhusliku suuruse dispersioon on lõplik või võib öelda, et dispersioon on ülalt piiratud sama arvuga, näiteks Koos, st.

D(Х i) < C, i = 1, 2, …, n;

c) juhuslikud suurused on paaride kaupa sõltumatud, st suvalised kaks X i ja Xj juures i¹ j sõltumatu.

Siis ilmselgelt

D(X 1 + X 2 + … + X n)=D(X 1) + D(X 2) + ... + D(X n).

Sõnastame suurte arvude seaduse Tšebõševi kujul.

Tšebõševi teoreem: arvu piiramatu kasvuga n sõltumatud testid" juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine läheneb tõenäosusega selle matemaatilisele ootusele ”, st iga positiivse jaoks ε

R(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)

Väljendi tähendus "aritmeetiline keskmine = koondub tõenäosusega a" kas see on tõenäosus, et erineb suvaliselt vähe a, läheneb arvuna 1-le määramatult n.

Tõestus. Lõpliku arvu jaoks n sõltumatute testide korral rakendame juhusliku suuruse jaoks Tšebõševi võrratust = :

R(|–M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Võttes arvesse piiranguid a - b, arvutame M( ) ja D( ):

M( ) = = = = = = a;

D( ) = = = = = = .

Asendamine M( ) ja D( ) ebavõrdsusse (4.1.2), saame

R(| –a| < ε )≥1 – .

Kui ebavõrdsuses (4.1.2) võtame suvaliselt väikese ε >0ja n® ¥, siis saame

= 1,

mis tõestab Tšebõševi teoreemi.

Vaadeldavast teoreemist järeldub oluline praktiline järeldus: meil on õigus asendada juhusliku suuruse matemaatilise ootuse tundmatu väärtus piisavalt suure arvu katsete tulemusel saadud aritmeetilise keskmise väärtusega. Sel juhul, mida rohkem katseid arvutada, seda tõenäolisem (usaldusväärsem) võib eeldada, et selle asendusega seotud viga ( - a) ei ületa antud väärtust ε .

Lisaks saab lahendada muid praktilisi probleeme. Näiteks tõenäosuse (usaldusväärsuse) väärtuste järgi R=R(| – a|< ε ) ja suurim lubatud viga ε määrata vajalik arv katseid n; peal R ja P määratleda ε; peal ε ja P määrata sündmuse tõenäosus | – a |< ε.

erijuhtum. Laske kl n täheldatud katseid n juhusliku suuruse väärtused x, matemaatilise ootusega M(X) ja dispersioon D(X). Saadud väärtusi võib pidada juhuslikeks muutujateks X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n,. Seda tuleks mõista järgmiselt: seeria P katseid tehakse korduvalt, nii et selle tulemusena i test, i= l, 2, 3, ..., P, igas testiseerias ilmub juhusliku suuruse üks või teine ​​väärtus X, pole ette teada. Seega i-e väärtus x i aastal saadud juhuslik muutuja i test, muutub juhuslikult, kui liigute ühelt testiseerialt teisele. Nii et iga väärtus x i võib pidada juhuslikuks X i .

Oletame, et testid vastavad järgmistele nõuetele:

1. Testid on sõltumatud. See tähendab, et tulemused X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., X n testid on sõltumatud juhuslikud muutujad.

2. Testid viiakse läbi samadel tingimustel – see tähendab tõenäosusteooria seisukohalt, et kõik juhuslikud suurused X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n on algväärtusega sama jaotusseadus X, Sellepärast M(X i) =M(X) ja D(X i) = D(X), i = 1, 2, .... P.

Arvestades ülaltoodud tingimusi, saame

R(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Näide 4.1.1. X on võrdne 4. Mitu sõltumatut katset on vaja selleks, et vähemalt 0,9 tõenäosusega võib eeldada, et selle juhusliku suuruse aritmeetiline keskmine erineks matemaatilisest ootusest vähem kui 0,5?

Otsus.Vastavalt probleemi seisukorrale ε = 0,5; R(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. Valemi (4.1.3) rakendamine juhuslikule suurusele X, saame

P(|–M(X)| < ε ) ≥ 1 – .

Suhtest

1 – = 0,9

määratleda

P= = = 160.

Vastus: on vaja teha 160 sõltumatut katset.

Eeldusel, et aritmeetiline keskmine tavaliselt jaotatud, saame:

R(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Kust, kasutades Laplace'i funktsiooni tabelit, saame ≥
≥ 1,645 või ≥ 6,58, st. n ≥49.

Näide 4.1.2. Juhusliku suuruse dispersioon X on võrdne D( X) = 5. Viidi läbi 100 sõltumatut katset, mille järgi . Matemaatilise ootuse tundmatu väärtuse asemel a vastu võetud . Määrake sel juhul lubatud maksimaalne vea suurus tõenäosusega vähemalt 0,8.

Otsus. Vastavalt ülesandele n= 100, R(| –a|< ε ) ≥0,8. Rakendame valemit (4.1.3)

R(| –a|< ε ) ≥1 – .

Suhtest

1 – = 0,8

määratleda ε :

ε 2 = = = 0,25.

Seega ε = 0,5.

Vastus: maksimaalne vea väärtus ε = 0,5.

4.2. Suurte arvude seadus Bernoulli kujul

Kuigi tõenäosuse mõiste on igasuguse statistilise järelduse aluseks, saame sündmuse tõenäosust otseselt määrata vaid üksikutel juhtudel. Mõnikord saab selle tõenäosuse kindlaks teha sümmeetria, võrdsete võimaluste jms kaalutlustest, kuid pole universaalset meetodit, mis võimaldaks näidata selle tõenäosust suvalise sündmuse korral. Bernoulli teoreem võimaldab ligikaudselt hinnata meid huvitava sündmuse tõenäosust AGA korduvad sõltumatud testid. Lase toota P sõltumatud testid, millest igaühes on mõne sündmuse toimumise tõenäosus AGA konstantne ja võrdne R.

Bernoulli teoreem. Sõltumatute katsete arvu piiramatu kasvuga P sündmuse toimumise suhteline sagedus AGA koondub tõenäosuselt tõenäosusele lk sündmuse toimumine AGA,t. e.

P(½ - lk½≤ ε) = 1, (4.2.1)

kus ε on suvaliselt väike positiivne arv.

Finaali jaoks n tingimusel, et , on juhusliku suuruse Tšebõševi ebavõrdsus järgmisel kujul:

P(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Tõestus. Rakendame Tšebõševi teoreemi. Las olla X i– sündmuse esinemiste arv AGA sisse i test, i= 1, 2, . . . , n. Iga kogus X i saab võtta ainult kahte väärtust:

X i= 1 (sündmus AGA juhtus) suure tõenäosusega lk,

X i= 0 (sündmus AGA ei toimunud) tõenäosusega q= 1–lk.

Las olla Y n= . Summa X 1 + X 2 + … + X n on võrdne arvuga m sündmuste esinemised AGA sisse n testid (0 m n), mis tähendab Y n= – sündmuse suhteline esinemissagedus AGA sisse n testid. Matemaatiline ootus ja dispersioon X i on vastavalt võrdsed:

M( ) = 1∙lk + 0∙q = lk,

Tõenäosusteooria uurib massijuhuslikele nähtustele omaseid seaduspärasusi. Nagu iga teine ​​teadus, on ka tõenäosusteooria loodud selleks, et ennustada võimalikult täpselt konkreetse nähtuse või katse tulemust. Kui nähtus on ühe iseloomuga, siis on tõenäosusteooria võimeline ennustama ainult tulemuse tõenäosust väga laias vahemikus. Regulaarsused ilmnevad ainult suure hulga juhuslike nähtuste korral, mis esinevad homogeensetes tingimustes.

Üldnimetuse alla on koondatud teoreemide rühm, mis tuvastab juhuslike suuruste ja juhuslike sündmuste teoreetiliste ja eksperimentaalsete karakteristikute vastavuse suure hulga katsetega, samuti piirjaotuse seadusi käsitlevad teoreemid. tõenäosusteooria piirteoreemid.

Piiriteoreeme on kahte tüüpi: suurte arvude seadus ja keskne piirteoreem.

Suurte arvude seadus Tõenäosusteoorias tähtsal kohal olev ühendus on tõenäosusteooria kui matemaatilise teaduse ja juhuslike nähtuste seaduste vahel nende massilisel vaatlusel.

Seadusel on väga oluline roll tõenäosusteooria praktilistes rakendustes masstootmisega seotud loodusnähtuste ja tehniliste protsesside puhul.

Piirjaotusseadused on teoreemide rühma subjektiks – suurte arvude seaduse kvantitatiivne vorm. Need. suurte arvude seadus on teoreemide jada, millest igaüks kehtestab tõsiasja, et suure hulga katsete keskmised karakteristikud on ligikaudsed teatud konstantidele, s.o. tuvastada mõne juhusliku muutuja tõenäosuse konvergentsi fakt konstantidele. Need on Bernoulli, Poissoni, Ljapunovi, Markovi, Tšebõševi teoreemid.

1. a) Bernoulli teoreem – suurte arvude seadus ( sõnastati ja tõestati varem § 6 lõikes 3, arvestades Moivre-Laplace'i piirintegraali teoreemi.)

Homogeensete sõltumatute katsete arvu piiramatu suurenemise korral erineb sündmuse sagedus meelevaldselt vähe sündmuse tõenäosusest eraldi katses. Vastasel juhul on tõenäosus, et sündmuse suhtelise sageduse kõrvalekalle AGA püsivast tõenäosusest R sündmused AGA väga vähe, kui kipub olema 1 kõigi jaoks: .

b) Tšebõševi teoreem.

Sõltumatute katsete arvu piiramatu suurenemise korral läheneb lõpliku dispersiooniga juhusliku muutuja vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine tõenäosuselt selle matemaatilisele ootusele; vastasel juhul, kui sõltumatud identselt jaotatud juhuslikud suurused, millel on matemaatiline ootus ja piiratud dispersioon , siis on see kõigi puhul tõsi: .

Tšebõševi teoreem (üldistatud). Kui jada juhuslikud muutujad on paaride kaupa sõltumatud ja nende dispersioonid vastavad tingimusele , siis iga positiivse ε > 0 korral on väide tõene:

või mis on sama .

c) Markovi teoreem. (suurte arvude seadus üldises sõnastuses)

Kui jada suvaliste juhuslike muutujate dispersioonid vastavad tingimusele: , siis iga positiivse ε > 0 korral kehtib Tšebõševi teoreemi väide: .

d) Poissoni teoreem.

Sõltumatute katsete arvu piiramatu suurenemisega muutuvates tingimustes, sündmuse sagedus AGA koondub tõenäosuselt nende testide korral oma tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele.

kommenteerida.Üheski suurte arvude seaduse vormis ei käsitleta juhuslike suuruste jaotuse seadusi. Küsimust, mis on seotud piirjaotusseaduse leidmisega summale, kui liikmete arv kasvab määramatult, käsitleb keskne piirteoreem. on võrdselt jaotunud, siis jõuame Moivre-Laplace'i integraaliteoreemi (§ 6 lg 3), mis on keskse piirteoreemi lihtsaim erijuhtum.

Kursuse alguses juba rääkisime, et tõenäosusteooria matemaatilised seadused saadakse massijuhuslikele nähtustele omaste reaalsete statistiliste seaduspärasuste abstraheerimise teel. Nende seaduspärasuste olemasolu on seotud just nähtuste massilisusega, st suure hulga homogeensete katsetega või suure hulga juhuslike mõjudega, mis genereerivad nende tervikuna juhusliku muutuja, mis allub täpselt määratletud seadusele. Massiliste juhuslike nähtuste stabiilsusomadused on inimkonnale teada olnud iidsetest aegadest. Ükskõik millises valdkonnas see ka ei ilmneks, taandub selle olemus järgmiselt: iga üksiku juhusliku nähtuse eripärad ei mõjuta masside ja selliste nähtuste keskmist tulemust peaaegu üldse; juhuslikud kõrvalekalded keskmisest, vältimatud igas üksikus nähtuses, massis on vastastikku tühistatud, tasandatud, tasandatud. Just see keskmiste stabiilsus on "suurte arvude seaduse" füüsikaline sisu, mida mõistetakse selle sõna laiemas tähenduses: väga suure hulga juhuslike nähtuste korral lakkab nende keskmine tulemus praktiliselt olema juhuslik ja seda on võimalik ennustada. suure kindlusega.

Selle sõna kitsas tähenduses mõistetakse tõenäosusteoorias "suurte arvude seadust" kui mitmeid matemaatilisi teoreeme, millest igaühes on teatud tingimustel suure hulga katsete keskmiste karakteristikute lähendamise fakt. teatud kindlatele konstantidele.

Punktis 2.3 oleme juba sõnastanud neist lihtsaima teoreemi, J. Bernoulli teoreemi. Ta väidab, et suure hulga katsete korral läheneb sündmuse sagedus (täpsemalt läheneb tõenäosusega) selle sündmuse tõenäosusele. Selles peatükis tutvustatakse suurte arvude seaduse teisi, üldisemaid vorme. Kõik need määravad kindlaks teatud juhuslike muutujate tõenäosuse konvergentsi fakti ja tingimused konstantseteks mittejuhuslikeks muutujateks.

Suurte arvude seadus mängib tõenäosusteooria praktilistes rakendustes olulist rolli. Juhuslike suuruste omadus teatud tingimustel käituda praktiliselt mittejuhuslikena võimaldab nende suurustega enesekindlalt opereerida, ennustada peaaegu täieliku kindlusega massiliste juhuslike nähtuste tulemusi.

Selliste prognooside võimalusi massiliste juhuslike nähtuste valdkonnas avardab veelgi teise piiriteoreemide rühma olemasolu, mis ei puuduta enam juhuslike suuruste piirväärtusi, vaid piirjaotuse seadusi. See on teoreemide rühm, mida tuntakse "keskpiiri teoreemina". Oleme juba öelnud, et piisavalt suure hulga juhuslike muutujate summeerimisel läheneb summa jaotusseadus teatud tingimuste täitmisel lõputult normaalsele. Need tingimused, mida saab matemaatiliselt mitmel viisil sõnastada - enam-vähem üldisel kujul - taanduvad sisuliselt nõudele, et mõju üksikute terminite summale oleks ühtlaselt väike, st et summa ei tohi sisaldada mõisteid, mis selgelt väljenduvad. prevaleerivad kogumi üle ülejäänud oma mõju tõttu koguse hajutamisele. Keskse piiriteoreemi erinevad vormid erinevad üksteisest tingimuste poolest, mille puhul see juhuslike suuruste summa piiromadus on kehtestatud.

Suurte arvude seaduse erinevad vormid koos tsentraalse piiriteoreemi erinevate vormidega moodustavad tõenäosusteooria niinimetatud piirteoreemide komplekti. Piiriteoreemid võimaldavad mitte ainult teha teaduslikke prognoose juhuslike nähtuste valdkonnas, vaid ka hinnata nende prognooside täpsust.

Selles peatükis käsitleme ainult mõningaid piirteoreemide lihtsamaid vorme. Esiteks käsitletakse "suurte arvude seaduse" rühmaga seotud teoreeme, seejärel - "keskpiiri teoreemi" rühmaga seotud teoreeme.

On üsna loomulik, et on vaja kvantifitseerida väide, et "suurtes" testide seerias on sündmuse esinemissagedus "lähedane" selle tõenäosusele. Selle ülesande teatud õrnust tuleb selgelt mõista. Tõenäosusteooria kõige tüüpilisematel juhtudel on olukord selline, et meelevaldselt pikkade katseseeriate korral jäävad mõlemad sageduse äärmuslikud väärtused teoreetiliselt võimalikuks

\frac(\mu)(n)=\frac(n)(n)=1 ja \frac(\mu)(n)=\frac(0)(n)=0

Seetõttu, olenemata katsete arvust n, on võimatu täiesti kindlalt väita, et näiteks ebavõrdsus

<\frac{1}{10}

Näiteks kui sündmus A seisneb täringu viskamisel kuue viskamises, siis pärast n viset tõenäosusega (\left(\frac(1)(6)\right)\^n>0 !} me saame alati ainult kuued, st tõenäosusega (\left(\frac(1)(6)\right)\^n !} saame kuue esinemissageduse võrdseks ühega ja tõenäosusega (\left(1-\frac(1)(6)\right)\^n>0 !} kuus ei kuku välja isegi üks kord, st kuue ilmumise sagedus on võrdne nulliga.

Kõigi selliste probleemide korral ei toimi sageduse ja tõenäosuse vahelise läheduse mittetriviaalne hinnang täieliku kindlusega, vaid ainult ühtsusest väiksema tõenäosusega. Tõestada saab näiteks seda, et sõltumatute katsete korral sündmuse toimumise konstantse tõenäosusega p ebavõrdsus

\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02

sageduse jaoks käivitatakse \frac(\mu)(n) tõenäosusega n=10\,000 (ja mis tahes p )

P>0,\!9999.

Siinkohal tahame kõigepealt rõhutada, et ülaltoodud sõnastuses on sageduse \frac(\mu)(n) läheduse kvantitatiivne hinnang tõenäosusele p seotud uue tõenäosuse P kasutuselevõtuga.

Hinnangu (8) tegelik tähendus on järgmine: kui teha N seeriat n katset ja lugeda M seeriat, milles ebavõrdsus (7) on täidetud, siis piisavalt suure N korral ligikaudu

\frac(M)(N)\umbes P>0,\!9999.

Aga kui tahame täpsustada seost (9) nii tõenäosuse P lähedusastme \frac(M)(N) kui ka usaldusväärsuse osas, millega saab väita, et selline lähedus aset leiab, siis peame pöörduma sarnaste kaalutluste juurde, mida oleme juba teinud \frac(\mu)(n) ja p läheduses. Soovi korral võib sellist arutluskäiku korrata piiramatu arv kordi, kuid on täiesti selge, et see ei võimalda meil täielikult vabaneda vajadusest pöörduda viimases etapis tõenäosuste poole selle mõiste primitiivses jämedas tähenduses.

Ei tohiks arvata, et sellised raskused on tõenäosusteooria mingid tunnused. Reaalsete nähtuste matemaatilisel uurimisel me neid alati skemaliseerime. Reaalsete nähtuste käigu kõrvalekalded teoreetilisest skeemist saab omakorda allutada matemaatilisele uurimisele. Kuid selleks tuleb need kõrvalekalded ise paigutada teatud skeemi ja seda viimast tuleks kasutada juba ilma sellest kõrvalekallete formaalse matemaatilise analüüsita.

Pange tähele, et hinnangu tegelikul rakendamisel

P\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}>0,\!9999.

ühe n-testist koosneva seeria puhul tugineme ka mõningatele sümmeetriakaalutlustele: ebavõrdsus (10) näitab, et väga suure arvu N seeriate korral on seos (7) täidetud vähemalt 99,99% juhtudest; on loomulik eeldada suure kindlusega, et eelkõige ebavõrdsus (7) realiseerub teatud n katsete seerias, mis meid huvitab, kui meil on põhjust arvata, et sellel seerial on mitmes valdkonnas tavaline, märgistamata positsioon. muud sarjad.

Erinevatel praktilistel seisukohtadel tavaliselt tähelepanuta jäetud tõenäosused on erinevad. Eespool on juba märgitud, et kestade tarbimise umbkaudsetes arvutustes, mis tagab ülesande täitmise, on nad rahul kestade tarbimise kiirusega, mille juures ülesanne on lahendatud tõenäosusega 0,95, s.t. jätke tähelepanuta tõenäosused, mis ei ületa 0,05. Seda seletatakse asjaoluga, et üleminek arvutustele, mis lähtuvad näiteks ainult 0,01-st väiksemate tõenäosuste tähelepanuta jätmisest, tooks kaasa mürskude kulumäärade suure tõusu, st peaaegu paljudel juhtudel jõuaks järeldusele, et see on võimatu täita seatud ülesannet selle lühikese aja jooksul, mis selleks on saadaval, või tegeliku kasutatavate kestade pakkumisega.

Mõnikord piirdutakse isegi teaduslikes uuringutes statistiliste meetoditega, mis on arvutatud tõenäosuste 0,05 tähelepanuta jätmise põhjal. Kuid seda tuleks teha ainult juhtudel, kui ulatuslikuma materjali kogumine on väga keeruline. Vaatleme selliste meetodite näitena järgmist probleemi. Oletame, et teatud tingimustel annab mingi haiguse raviks laialt kasutatav ravim positiivse tulemuse 50%, s.o tõenäosusega 0,5. Pakutakse välja uus ravim ja selle eeliste testimiseks vana ees on plaanis seda kasutada kümnel juhul, mis valitakse erapooletult nende patsientide hulgast, kes on samal positsioonil nende patsientidega, kelle puhul leiti, et vana ravim oli 50% efektiivne. Samas tehakse kindlaks, et uue ravimi eelis loetakse tõestatuks, kui see annab positiivse tulemuse vähemalt kaheksal juhul kümnest. On lihtne arvutada, et selline otsus on seotud eksliku järelduse (st järelduse, et uue ravimi kasulikkus on tõestatud, samas kui see on samaväärne või isegi halvem kui vana) saamise tõenäosuse tähelepanuta jätmisega. järjekord 0,05. Tõepoolest, kui igas kümnest katsest on positiivse tulemuse tõenäosus võrdne p-ga, on tõenäosus saada kümnes katses vastavalt 10,9 või 8 positiivset tulemust.

P_(10)=p^(10),\qquad P_9=10p^9(1-p),\qquad P_8=45p^8(1-p)^2.

Kokkuvõttes saame juhul p=\frac(1)(2). P=P_(10)+P_9+P_8=\frac(56)(1024)\umbes0,\!05.

Seega, eeldades, et uus ravim on tegelikult täpselt samaväärne vanaga, riskime eksliku järeldusega, et uus ravim on parem kui vana, tõenäosusega umbes 0,05. Selle tõenäosuse vähendamiseks ligikaudu 0,01-ni, ilma uuringute arvu n=10 suurendamata, tuleks kindlaks teha, et uue ravimi kasulikkus loetakse tõestatuks ainult siis, kui selle kasutamine annab positiivse tulemuse vähemalt üheksal juhul kümnest. . Kui see nõue tundub uue ravimi pooldajatele liiga karm, siis tuleb katsete arv n määrata oluliselt suuremaks kui 10. Kui näiteks n=100 juures selgub, et uuest ravimist on kasu. ravim loetakse tõestatuks, kui \mu>65 , siis on vea tõenäosus ainult P\aprox0,\!0015 .

Kui tõsiste teadusuuringute jaoks on norm 0,05 selgelt ebapiisav, siis 0,001 või 0,003 vea tõenäosus jäetakse enamasti tähelepanuta isegi sellistes akadeemilistes ja üksikasjalikes uuringutes nagu astronoomiliste vaatluste töötlemine. Kuid mõnikord on tõenäosusseaduste rakendamisel põhinevad teaduslikud järeldused ka palju suurema usaldusväärsusega (st need on üles ehitatud palju väiksemate tõenäosuste tähelepanuta jätmisele). Sellest räägitakse pikemalt hiljem.

Vaadeldavates näidetes oleme korduvalt kasutanud binoomvalemi (6) erijuhtumeid.

P_m=C_n^mp^m(1-p)^(n-m)

tõenäosusega P_m saada täpselt m positiivset tulemust n sõltumatus katses, millest igaühes on positiivse tulemuse tõenäosus p. Kasutagem seda valemit, et kaaluda selle osa alguses püstitatud küsimust tõenäosuse kohta

<\varepsilon\right\},

kus \mu on positiivsete tulemuste tegelik arv. Ilmselgelt saab selle tõenäosuse kirjutada nende P_m summana, mille puhul m rahuldab ebavõrdsust

\vline\,\frac(m)(n)-p\,\vline\,<\varepsilon,

see tähendab kujul

P=\summa_(m=m_1)^(m_2)P_m,

kus m_1 on vähim m väärtusest, mis rahuldab ebavõrdsust (12), ja m_2 on sellistest m väärtustest suurim.

Mis tahes suure n valemist (13) on otseste arvutuste jaoks vähe kasu. Seetõttu on Moivre'i poolt juhtumi p=\frac(1)(2) ja Laplace'i poolt mis tahes p korral asümptootilise valemi avastus, mis teeb tõenäosuste P_m käitumise leidmise ja uurimise väga lihtsaks suure n korral. , oli suur tähtsus. See valem näeb välja selline

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\exp\!\left[-\frac((m-np)^2)(2np(1-p)) \õige].

Kui p ei ole liiga lähedal nullile või ühele, siis on see piisavalt täpne juba n puhul suurusjärgus 100. Kui paneme

T=\frac(m-np)(\sqrt(np(1-p))),

Seejärel võtab valem (14) kuju

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\,e^(-t^2/2).

(13) ja (16) põhjal saame tuletada tõenäosuse (11) ligikaudse esituse.

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(-T)^(T)e^(-t^2/2)\,dt=F(T),

kus

T=\varepsilon\sqrt(\frac(n)(p(1-p)))

Erinevus (17) vasak- ja parempoolsete osade vahel konstantse ja nullist ja ühtsusest erinevalt kaldub nulliks n\to\infty ühtlaselt \varepsiloni suhtes. Funktsiooni F(T) jaoks on koostatud üksikasjalikud tabelid. Siin on lühike väljavõte neist

\begin(massiivi)(c|c|c|c|c)T&1&2&3&4\\\hline F&0,\!68269&0,\!95450&0,\!99730&0,\!99993\end(massiiv)

T\to\infty korral kaldub funktsiooni F(T) väärtus ühtsusele.

Tõenäosuse hindamiseks kasutame valemit (17).

P=\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}\approx F\!\left(\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}}\right) juures n=10\,000,~\varepsilon=0,\!02, nagu T=\frac(2)(\sqrt(p(1-p))).

Kuna funktsioon F(T) suureneb T suurenedes monotoonselt, siis P-st sõltumatuks altpoolt tulevaks hinnanguks tuleb võtta T väikseim võimalik (erineva p ) väärtus. See väikseim väärtus saadakse p=\frac(1)(2) ja see võrdub 4-ga. Seetõttu on ligikaudu

P\geqslant F(4)=0,\!99993.

Ebavõrdsus (19) ei võta valemi (17) ligikaudsest olemusest tulenevat viga arvesse. Hinnates selle asjaoluga seotud viga, saab igal juhul kindlaks teha, et P>0,\!9999 .

Seoses vaadeldud valemi (17) rakendamise näitega tuleb märkida, et tõenäosusteooria teoreetilistes töödes antud valemi (17) ülejäänud liikme hinnangud jäid pikka aega väherahuldavaks. Seetõttu põhines valemi (17) ja sarnaste rakendamine mitte väga suure n või 0-le või 1-le väga lähedal olevate tõenäosuste p (ja sellised tõenäosused on paljudel juhtudel eriti olulised) arvutamisel sageli ainult selliste tulemuste kontrollimine piiratud arvu näidete jaoks, mitte võimaliku vea väljakujunenud hinnangute põhjal. Veelgi enam, üksikasjalikum uuring näitas, et paljudel praktiliselt olulistel juhtudel vajavad ülaltoodud asümptootilised valemid mitte ainult jäägiliikme hinnangut, vaid ka täpsustamist (sest ilma sellise täpsustuseta on jääk liiga suur). Mõlemas suunas on kõige täielikumad tulemused tänu S. N. Bernshteinile.

Seosed (11), (17) ja (18) saab ümber kirjutada kui

\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,

Piisavalt suure t korral on valemi (20) parem pool, mis ei sisalda n-i, suvaliselt lähedal ühtsusele, st tõenäosusväärtusele, mis vastab täielikule kindlusele. Seetõttu näeme seda reeglina on sageduse \frac(\mu)(n) kõrvalekalded tõenäosusest p suurusjärgus \frac(1)(\sqrt(n)). Selline tõenäosuslike seaduspärasuste toime täpsuse proportsionaalsus vaatluste arvu ruutjuurega on tüüpiline ka paljudele teistele küsimustele. Mõnikord räägitakse isegi mõnevõrra lihtsustatud populariseerimise järjekorras "n-i ruutjuure seadusest" kui tõenäosusteooria põhiseadusest. See idee sai täieliku selguse tänu suure vene matemaatiku P. L. Tšebõševi poolt mitmesuguste tõenäosusülesannete taandamise meetodi süstemaatilisele kasutamisele "matemaatiliste ootuste" ja "variansside" arvutamiseks "juhuslike muutujate" summade ja aritmeetiliste keskmiste jaoks.

Juhuslik muutuja on suurus, mis antud tingimustes võib teatud tõenäosusega omandada erinevaid väärtusi. Piisab, kui vaatleme juhuslikke muutujaid, mis võivad võtta ainult piiratud arvu erinevaid väärtusi. Et näidata, kuidas nad ütlevad tõenäosusjaotus sellise juhusliku muutuja \xi puhul piisab, kui näidata selle võimalikke väärtusi x_1,x_2,\ldots,x_r ja tõenäosused

P_r=\mathbf(P)\(\xi=x_r\).

Kokkuvõttes on need tõenäosused kõigi erinevate võimalike väärtuste \xi puhul alati võrdsed ühega:

\summa_(r=1)^(s)P_r=1.

Juhusliku muutuja näide on ülalpool n katses uuritud positiivsete tulemuste arv \mu.

matemaatiline ootus väärtust \xi nimetatakse avaldisteks

M(\xi)=\summa_(r=1)^(s)P_rx_r,

a dispersioon suurused \xi tähistavad ruudu hälbe \xi-M(\xi) keskmist, st avaldist

D(\xi)=\summa_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2.

Dispersiooni ruutjuur

\sigma_(\xi)=\sqrt(D(\xi))=\sqrt(\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2)

helistas standardhälve(väärtused selle matemaatilisest ootusest M(\xi) ).

Kõige lihtsamad dispersioonide ja standardhälbete rakendused põhinevad kuulsal Tšebõševi ebavõrdsus

\mathbf(P)\(|\xi-M(\xi)|\leqslant t_(\sigma_(\xi))\)\geqslant1-\frac(1)(t^2),

See näitab, et juhusliku suuruse \xi kõrvalekalded tema matemaatilisest ootusest M(\xi) , mis oluliselt ületavad standardhälvet \sigma_(\xi) , on haruldased.

Juhuslike suuruste summade moodustamisel \xi=\xi^((1))+ \xi^((2))+\cdots+\xi^((n)) nende matemaatiliste ootuste jaoks kehtib võrdsus alati

M(\xi)=M(\xi^((1)))+M(\xi^((2)))+\cdots+M(\xi^((n))).

Sarnane dispersioonide võrdsus

D(\xi)=D(\xi^((1)))+D(\xi^((2)))+\cdots+D(\xi^((n))).

tõsi ainult teatud piirangute korral. Võrdsuse (23) kehtimiseks piisab näiteks sellest, et erinevate numbritega suurused \xi^((i)) ja \xi^((j)) ei ole, nagu öeldakse, "korrelatsioonis" üksteist, st et kell i\ne j

M\Bigl\((\xi^(i))-M(\xi^((i))))(\xi^((j))-M(\xi^((j))))\ Bigl\)=0

Korrelatsioonikordaja juhuslike muutujate \xi^((i)) ja \xi^((j)) vahel on avaldis

R=\frac(M\Bigl\(\Bigl(\xi^((i))-M(\xi^((i)))\Bigl)\Bigl(\xi^((j))-M( \xi^((j)))\Bigl)\Bigl\))(\sigma_(\xi^((i)))\,\sigma_(\xi^((j)))).

Kui a \sigma_(\xi^((i)))>0 sisse \sigma_(\xi^((j)))>0, siis tingimus (24) on samaväärne R=0 .

Korrelatsioonikordaja R iseloomustab juhuslike suuruste vahelise sõltuvuse astet. Alati |R|\leqslant1 ja R=\pm1 ainult lineaarse ühenduse korral

\eta=a\xi+b\quad(a\ne0).

Sõltumatute väärtuste jaoks R=0.

Eelkõige on võrdsus (24) täidetud, kui suurused \xi^((i)) ja \xi^((j)) on üksteisest sõltumatud. Seega kehtib võrdsus (23) alati vastastikku sõltumatute terminite puhul. Aritmeetiliste keskmiste jaoks

\zeta=\frac(1)(n)\Bigl(\xi^((1))+\xi^((2))+\cdots+\xi^((n))\Bigl)(23) järgneb

D(\zeta_=\frac(1)(n^2)\Bigl(D(\xi^((1)))+ D(\xi^((2)))+\cdots+ D(\xi^( (n)))\Bigl).

Oletame nüüd, et kõigi liikmete dispersioonid ei ületa mõnda konstanti

D(\xi^((i)))\leqslant C^2. Seejärel (25) D(\zeta)\leqslant\frac(C^2)(n),

ja Tšebõševi ebavõrdsuse tõttu mis tahes t

\mathbf(P)\!\left\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant\frac(tC)(\sqrt(n))\right\)\geqslant1-\frac(1)(t^ 2)

Ebavõrdsus (26) sisaldab nn suurte arvude seadust Tšebõševi kehtestatud kujul: kui suurused \xi^((i)) on teineteisest sõltumatud ja neil on piiratud dispersioon, siis n kasvades on nende aritmeetilised keskmised \zeta , üha vähem märgatavalt kalduvad kõrvale oma matemaatilistest ootustest M(\zeta) .

Täpsemalt öeldakse nii juhuslike muutujate jada

\xi^((1)),\,\xi^((2)),\,\ldots\,\xi^((n)),\,\ldots

järgib suurte arvude seadust, kui vastavate aritmeetiliste keskmiste korral \zeta ja mis tahes konstandi korral \varepsilon>0

\mathbf(P)\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant \varepsilon\)\to1\quad (n\to\infty).

Piirsuhte (27) saamiseks ebavõrdsusest (26) piisab, kui seada

T=\varepsilon\cdot\frac(\sqrt(n))(C).

Suur hulk uuringuid A.A. Markova, S.N. Bernstein, A. Ya. Khinchin jt on pühendatud küsimusele piirsuhte (27) kohaldamistingimuste ehk suurte arvude seaduse kohaldatavuse tingimuste võimalikust avardumisest. Need uuringud on põhimõttelise tähtsusega. Veelgi olulisem on aga hälbe tõenäosusjaotuse \zeta-M(\zeta) täpne uurimine.

Vene klassikalise koolkonna suur teene tõenäosusteoorias seisneb tõsiasja kindlakstegemises, et väga laiades tingimustes on võrdsus.

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sigma_(\zeta)<\zeta-M(\zeta)

Tšebõšev esitas selle valemi peaaegu täieliku tõestuse sõltumatute ja piiratud terminite puhul. Markov täitis Tšebõševi arutluses puuduva lüli ja laiendas valemi (28) rakendatavuse tingimusi. Veelgi üldisemad tingimused andis Ljapunov. Valemi (28) laiendamise küsimust sõltuvate terminite summadele uuris erilise täielikkusega S. N. Bernshtein.

Valem (28) hõlmas nii suure hulga konkreetseid probleeme, et pikka aega nimetati seda tõenäosusteooria keskseks piirteoreemiks. Kuigi tõenäosusteooria uusima arenguga osutus see sisalduvaks mitmetes üldisemates seadustes, ei saa selle tähtsust ka tänapäeval ülehinnata.

Aeg.

Kui terminid on sõltumatud ja nende dispersioonid on samad ja võrdsed: D(\xi^((i)))=\sigma^2, siis on valemi (28) jaoks mugav anda vorm, võttes arvesse seost (25).

\mathbf(P)\!\left\(\frac(t_1\sigma)(\sqrt(n))<\zeta-M(\zeta)<\frac{t_2\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-t^2/2}\,dt\,.

Näitame, et seos (29) sisaldab lahendust sageduse \frac(\mu)(n) kõrvalekallete probleemile tõenäosusest p , mida käsitlesime varem. Selleks tutvustame juhuslikke muutujaid \xi^((i)), mis määratlevad need järgmise tingimusega:

\xi^((i))=0, kui i-ndal katsel oli negatiivne tulemus,

\xi^((i))=1, kui i-ndal katsel oli positiivne tulemus.

Siis on seda lihtne kontrollida

ja valem (29) annab

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sqrt(\frac(p(1-p))(n))<\frac{\mu}{n}-p
mis t_1=-t, ~t_2=t korral viib jällegi valemisse (20).
Vaata ka tõenäosusteooriast Piiriteoreemid Javascript on teie brauseris keelatud.
Arvutuste tegemiseks peavad ActiveX-juhtelemendid olema lubatud!

Lemma Tšebõšev. Kui juhuslik suurus X, mille jaoks on olemas matemaatiline ootus M[x], võib võtta ainult mittenegatiivseid väärtusi, siis iga positiivse arvu a korral on meil ebavõrdsus

Tšebõševi ebavõrdsus. Kui a X on matemaatilise ootusega juhuslik muutuja M[x] ja dispersioon D[x], siis on meil iga positiivse e korral ebavõrdsus

. (2)

Tšebõševi teoreem.(suurte arvude seadus). Las olla X 1 , X 2 , …, x n,… - sõltumatute juhuslike muutujate jada, millel on sama matemaatiline ootus m ja sama konstandiga piiratud dispersioonid koos

. (3)

Teoreemi tõestus põhineb ebavõrdsusel

, (4)

tuleneb Tšebõševi ebavõrdsusest. Tšebõševi teoreemist võib järeldusena saada

Bernoulli teoreem. Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaühes on tõenäosus R võib juhtuda mõni sündmus AGA, lase sel minna v n on juhuslik suurus, mis võrdub sündmuse esinemiste arvuga AGA nendes n katsed. Siis mis tahes e > 0 korral on meil piirvõrdsus

. (5)

Pange tähele, et ebavõrdsus (4) Bernoulli teoreemi tingimustele rakendatuna annab:

. (6)

Tšebõševi teoreemi saab sõnastada mõnevõrra üldisemal kujul:

Tšebõševi üldistatud teoreem. Las olla x 1, x 2, …, x n,… - sõltumatute juhuslike muutujate jada koos matemaatiliste ootustega M[x 1 ] = m 1, M[x2] = m 2,… ja sama konstandiga piiratud dispersioone koos. Siis on meil mis tahes positiivse arvu e jaoks piirvõrdsus

. (7)

Olgu x 6 punkti esinemiste arv 3600 täringuheites. Siis M[ x] = 3600 = 600. Kasutame nüüd ebavõrdsust (1) a = 900 jaoks: .

Kasutame ebavõrdsust (6) n = 10000, p = , q = . Siis

Näide.

Sündmuse A esinemise tõenäosus igas 1000 sõltumatus katses on 0,8. Leidke tõenäosus, et sündmuse A esinemiste arv nendes 1000 katses erineb selle matemaatilisest ootusest absoluutväärtuses vähem kui 50 võrra.

Olgu x sündmuse A esinemiste arv määratud 1000 katses. Siis M[ x] = 1000 × 0,8 = 800 ja D[ x] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Nüüd annab võrratus (2):

Näide.

Iga 1000 sõltumatu juhusliku muutuja x k (k = 1, 2,..., 1000) dispersioon on 4. Hinnake tõenäosust, et nende muutujate aritmeetilise keskmise hälve nende matemaatiliste ootuste aritmeetilisest keskmisest absoluutväärtuses ei ületa 0,1.

Ebavõrdsuse (4) kohaselt on meil c = 4 ja e = 0,1