Kuidas leida funktsiooni tuletist kraadides. Logaritmilise funktsiooni tuletis

Eksponentsiaali (e astmel x) ja eksponentsiaalfunktsiooni (a x astmel) tuletise valemite tõestamine ja tuletamine. Näited e^2x, e^3x ja e^nx tuletiste arvutamiseks. Kõrgema järgu tuletisinstrumentide valemid.

Eksponendi tuletis on võrdne eksponendi endaga (e tuletis x astmega võrdub e astmega x):
(1) (e x )′ = e x.

A-astmega eksponentsiaalfunktsiooni tuletis võrdub funktsiooni endaga, korrutatuna a naturaallogaritmiga:
(2) .

Eksponendi tuletise valemi tuletamine e astmele x

Eksponent on eksponentsiaalne funktsioon, mille eksponendi alus on võrdne arvuga e, mis on järgmine piir:
.
Siin võib see olla kas loomulik või reaalarv. Järgmisena tuletame astendaja tuletise valemi (1).

Eksponendi tuletise valemi tuletamine

Vaatleme astendajat e x astmega:
y = e x.
See funktsioon on määratletud kõigi jaoks. Leiame selle tuletise x suhtes. Definitsiooni järgi on tuletis järgmine piir:
(3) .

Teisendame selle avaldise, et taandada see teadaolevateks matemaatilisteks omadusteks ja reegliteks. Selleks vajame järgmisi fakte:
AGA) Eksponent omadus:
(4) ;
B) Logaritmi omadus:
(5) ;
AT) Pideva funktsiooni logaritmi pidevus ja piirväärtuste omadus:
(6) .
Siin on mõned funktsioonid, millel on piirang ja see piir on positiivne.
G) Teise imelise piiri tähendus:
(7) .

Rakendame neid fakte oma piirini (3). Kasutame kinnisvara (4):
;
.

Teeme asendus. Siis ; .
Eksponenti järjepidevuse tõttu
.
Seetõttu kell , . Selle tulemusena saame:
.

Teeme asendus. Siis . Kell , . Ja meil on:
.

Rakendame logaritmi omadust (5):
. Siis
.

Rakendame omadust (6). Kuna on positiivne piir ja logaritm on pidev, siis:
.
Siin kasutasime ka teist tähelepanuväärset piiri (7). Siis
.

Seega oleme saanud astendaja tuletise valemi (1).

Eksponentfunktsiooni tuletise valemi tuletamine

Nüüd tuletame astme a baasiga eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemi (2). Usume, et ja. Siis eksponentsiaalfunktsioon
(8)
Määratletud kõigile.

Teisendame valemi (8). Selleks kasutame eksponentsiaalfunktsiooni omadused ja logaritm.
;
.
Niisiis, oleme teisendanud valemi (8) järgmisele kujule:
.

e kõrgemat järku tuletised x astmeni

Nüüd leiame kõrgema järgu tuletised. Vaatame kõigepealt eksponenti:
(14) .
(1) .

Näeme, et funktsiooni (14) tuletis on võrdne funktsiooniga (14) endaga. Diferentseerides (1), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
;
.

See näitab, et n-ndat järku tuletis on samuti võrdne algfunktsiooniga:
.

Eksponentfunktsiooni kõrgemat järku tuletised

Nüüd kaaluge eksponentsiaalfunktsiooni astme a baasiga:
.
Leidsime selle esimest järku tuletise:
(15) .

Diferentseerides (15), saame teist ja kolmandat järku tuletised:
;
.

Näeme, et iga diferentseerimine viib algfunktsiooni korrutamiseni . Seetõttu on n-ndal tuletisel järgmine vorm:
.

Eksponentfunktsiooni definitsioon. Selle tuletise arvutamise valemi tuletamine. Üksikasjalikult analüüsitakse eksponentsiaalfunktsioonide tuletiste arvutamise näiteid.

eksponentsiaalne funktsioon on funktsioon, millel on võimsusfunktsiooni kuju
y = u v ,
mille alus u ja astendaja v on mõned muutuja x funktsioonid:
u = u (x); v=v (x).
Seda funktsiooni nimetatakse ka eksponentsiaalne võimsus või .

Pange tähele, et eksponentsiaalfunktsiooni saab esitada eksponentsiaalsel kujul:
.
Seetõttu nimetatakse seda ka kompleksne eksponentsiaalfunktsioon.

Arvutamine logaritmilise tuletise abil

Leidke eksponentsiaalfunktsiooni tuletis
(2) ,
kus ja on muutuja funktsioonid .
Selleks võtame võrrandi (2) logaritmi, kasutades logaritmi omadust:
.
Eristage x suhtes:
(3) .
Rakenda reeglid keeruka funktsiooni eristamiseks ja töötab:
;
.

Asenda punktis 3:
.
Siit
.

Niisiis, leidsime eksponentsiaalfunktsiooni tuletise:
(1) .
Kui astendaja on konstantne, siis . Siis on tuletis võrdne liitvõimsusfunktsiooni tuletisega:
.
Kui astme alus on konstantne, siis . Siis on tuletis võrdne liiteksponentfunktsiooni tuletisega:
.
Kui ja on x funktsioonid, siis on eksponentsiaalfunktsiooni tuletis võrdne liitastme ja eksponentsiaalfunktsioonide tuletiste summaga.

Tuletise arvutamine taandamise teel kompleksseks eksponentsiaalfunktsiooniks

Nüüd leiame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise
(2) ,
kujutades seda keerulise eksponentsiaalse funktsioonina:
(4) .

Teeme toote vahet:
.
Keerulise funktsiooni tuletise leidmiseks rakendame reeglit:

.
Ja jälle saime valemi (1).

Näide 1

Leidke järgmise funktsiooni tuletis:
.

Lahendus

Arvutame logaritmilise tuletise abil. Võtame algfunktsiooni logaritmi:
(P1.1) .

Tuletisinstrumentide tabelist leiame:
;
.
Toote tuletise valemi järgi on meil:
.
Me eristame (A1.1):
.
Kuna
,
siis
.

Vastus

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis
.

Lahendus

Võtame algfunktsiooni logaritmi:
(P2.1) .

Tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse diferentseerimiseks.

Lihtsamate (ja mitte väga lihtsate) funktsioonide tuletiste leidmise probleemide lahendamise tulemusena, defineerides tuletise juurdekasvu ja argumendi vahekorra piiriks, ilmus tuletisi tabel ja täpselt määratletud diferentseerimisreeglid. . Isaac Newton (1643-1727) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olid esimesed, kes töötasid tuletiste leidmise alal.

Seetõttu ei ole meie ajal vaja mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks arvutada ülalmainitud funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, vaid tuleb kasutada ainult tabelit. tuletistest ja diferentseerimisreeglitest. Tuletise leidmiseks sobib järgmine algoritm.

Tuletise leidmiseks, vajate löögimärgi alla väljendit lagundama lihtsaid funktsioone ja määrake, millised toimingud (produkt, summa, jagatis) need funktsioonid on omavahel seotud. Edasi leiame elementaarfunktsioonide tuletised tuletiste tabelist ning korrutise, summa ja jagatise tuletiste valemid - diferentseerimisreeglitest. Tuletiste ja diferentseerimisreeglite tabel on toodud pärast kahte esimest näidet.

Näide 1 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerimisreeglitest saame teada, et funktsioonide summa tuletis on funktsioonide tuletiste summa, s.o.

Tuletiste tabelist saame teada, et "X" tuletis on võrdne ühega ja siinuse tuletis on koosinus. Asendame need väärtused tuletiste summas ja leiame tuletise, mida nõuab ülesande tingimus:

Näide 2 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Diferentseerige kui summa tuletis, milles teise liikme konstantse teguriga saab selle tuletise märgist välja võtta:

Kui ikka tekib küsimusi, kust miski pärineb, selguvad need reeglina pärast tuletiste tabeli ja lihtsamate eristamisreeglite lugemist. Me läheme kohe nende juurde.

Lihtfunktsioonide tuletiste tabel

1. Konstandi (arvu) tuletis. Mis tahes arv (1, 2, 5, 200...), mis on funktsiooni avaldises. Alati null. Seda on väga oluline meeles pidada, kuna seda nõutakse väga sageli
2. Sõltumatu muutuja tuletis. Kõige sagedamini "x". Alati võrdne ühega. Seda on samuti oluline meeles pidada
3. Kraadi tuletis. Ülesannete lahendamisel tuleb mitteruutjuured teisendada astmeks.
4. Muutuja tuletis astmega -1
5. Ruutjuure tuletis
6. Siinustuletis
7. Koosinustuletis
8. Puutuja tuletis
9. Kootangensi tuletis
10. Arsiinuse tuletis
11. Kaarkoosinuse tuletis
12. Kaartangensi tuletis
13. Pöördtangensi tuletis
14. Naturaallogaritmi tuletis
15. Logaritmifunktsiooni tuletis
16. Eksponent tuletis
17. Eksponentfunktsiooni tuletis

Eristamise reeglid

1. Summa või vahe tuletis
2. Toote tuletis
2a. Avaldise tuletis, mis on korrutatud konstantse teguriga
3. Jagatise tuletis
4. Kompleksfunktsiooni tuletis

1. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel diferentseeruvad , siis samas punktis funktsioonid

ja

need. funktsioonide algebralise summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga.

Tagajärg. Kui kaks diferentseeruvat funktsiooni erinevad konstandi poolest, siis on nende tuletised, st.

2. reegelKui funktsioonid

on mingil hetkel eristatavad, siis on ka nende toode samas punktis eristatav

ja

need. kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summaga.

Tagajärg 1. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta:

Tagajärg 2. Mitme diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis on võrdne iga teguri ja kõigi teiste tuletise korrutiste summaga.

Näiteks kolme kordaja jaoks:

3. reegelKui funktsioonid

mingil hetkel eristuvad ja , siis siinkohal on ka nende jagatis diferentseeritav.u/v ja

need. kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugeja on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on eelmise lugeja ruut .

Kust teistelt lehtedelt vaadata

Korrutise tuletise ja jagatise leidmisel reaalsetes ülesannetes on alati vaja korraga rakendada mitut diferentseerimisreeglit, seega on nende tuletiste kohta rohkem näiteid artiklis."Korrutise ja jagatise tuletis".

kommenteerida. Konstanti (ehk arvu) ei tohiks segi ajada summas oleva liikmena ja konstantse tegurina! Termini puhul on selle tuletis võrdne nulliga ja konstantse teguri korral võetakse see tuletisi märgist välja. See on tüüpiline viga, mis tekib tuletiste uurimise algfaasis, kuid kuna keskmine õpilane lahendab mitu ühe-kahekomponendilist näidet, siis seda viga enam ei tehta.

Ja kui teil on toote või jagatise eristamisel termin u"v, kus u- arv, näiteks 2 või 5, see tähendab konstant, siis on selle arvu tuletis võrdne nulliga ja seetõttu on kogu liige võrdne nulliga (sellist juhtumit analüüsitakse näites 10) .

Teine levinud viga on kompleksfunktsiooni tuletise mehaaniline lahendamine lihtfunktsiooni tuletis. Sellepärast kompleksfunktsiooni tuletis pühendatud eraldi artiklile. Kuid kõigepealt õpime leidma lihtsate funktsioonide tuletisi.

Teel ei saa te ilma väljendite teisendusteta. Selleks peate võib-olla avama uutes Windowsi juhendites Võimude ja juurtega teod ja Tegevused murdarvudega .

Kui otsite lahendusi võimsuste ja juurtega tuletistele, st millal funktsioon välja näeb , seejärel järgige õppetundi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis".

Kui teil on ülesanne nagu , siis olete õppetunnis "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised".

Samm-sammult näited – kuidas tuletist leida

Näide 3 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Määrame funktsiooni avaldise osad: kogu avaldis esindab korrutist ja selle tegurid on summad, millest teises üks terminitest sisaldab konstantset tegurit. Rakendame korrutise eristamise reeglit: kahe funktsiooni korrutise tuletis on võrdne mõlema funktsiooni korrutiste summaga ja teise funktsiooni tuletisega:

Järgmisena rakendame summa diferentseerimise reeglit: funktsioonide algebralise summa tuletis võrdub nende funktsioonide tuletiste algebralise summaga. Meie puhul igas summas teine ​​liige miinusmärgiga. Igas summas näeme nii sõltumatut muutujat, mille tuletis on võrdne ühega, kui ka konstanti (arvu), mille tuletis on võrdne nulliga. Niisiis, "x" muutub üheks ja miinus 5 - nulliks. Teises avaldises korrutatakse "x" 2-ga, seega korrutame kaks sama ühikuga kui "x" tuletis. Saame järgmised tuletisinstrumentide väärtused:

Asendame leitud tuletised korrutiste summaga ja saame kogu ülesande tingimuse poolt nõutava funktsiooni tuletise:

Näide 4 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Peame leidma jagatise tuletise. Jagatise eristamiseks rakendame valemit: kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille lugejaks on nimetaja ja lugeja tuletise ning lugeja ja nimetaja tuletise korrutised ning nimetaja on endise lugeja ruut. Saame:

Näites 2 leidsime juba lugejas olevate tegurite tuletise. Ärgem unustagem ka seda, et korrutis, mis käesolevas näites on lugejas teine ​​tegur, võetakse miinusmärgiga:

Kui otsite lahendusi sellistele probleemidele, mille puhul peate leidma funktsiooni tuletise, kus on pidev hunnik juuri ja astmeid, nagu näiteks, siis tere tulemast klassi "Tõppude ja juurtega murdude summa tuletis" .

Kui teil on vaja rohkem teada saada siinuste, koosinuste, puutujate ja muude trigonomeetriliste funktsioonide tuletisi, st kui funktsioon näeb välja selline , siis on teil õppetund "Lihtsate trigonomeetriliste funktsioonide tuletised" .

Näide 5 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme korrutist, mille üheks teguriks on sõltumatu muutuja ruutjuur, mille tuletisega tutvusime tuletiste tabelis. Korrutise eristamise reegli ja ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Näide 6 Leia funktsiooni tuletis

Lahendus. Selles funktsioonis näeme jagatist, mille dividendiks on sõltumatu muutuja ruutjuur. Vastavalt jagatise diferentseerimise reeglile, mida kordasime ja rakendasime näites 4, ning ruutjuure tuletise tabeliväärtuse järgi saame:

Lugejas olevast murdosast vabanemiseks korrutage lugeja ja nimetaja arvuga.

Millel analüüsisime lihtsamaid tuletisi ning tutvusime ka diferentseerimise reeglitega ja mõningate tuletiste leidmise tehnikatega. Seega, kui te ei tunne funktsioonide tuletisi väga hästi või pole selle artikli mõned punktid täiesti selged, lugege esmalt ülaltoodud õppetund. Häälestage end tõsisele meeleolule - materjal pole lihtne, kuid proovin selle siiski lihtsalt ja selgelt esitada.

Praktikas tuleb keerulise funktsiooni tuletisega tegeleda väga sageli, ma isegi ütleks, et peaaegu alati, kui antakse ülesandeid tuletisi leidmiseks.

Vaatame tabelist reeglit (nr 5) keeruka funktsiooni eristamiseks:

Me mõistame. Kõigepealt vaatame tähistust. Siin on meil kaks funktsiooni - ja ning funktsioon piltlikult öeldes on pesastatud funktsioonis . Sellist funktsiooni (kui üks funktsioon on pesastatud teise sisse) nimetatakse kompleksfunktsiooniks.

Kutsun funktsiooni välja väline funktsioon ja funktsioon – sisemine (või pesastatud) funktsioon.

! Need määratlused ei ole teoreetilised ega tohiks esineda ülesannete lõplikus vormis. Kasutan mitteametlikke väljendeid "väline funktsioon", "sisemine" funktsioon ainult selleks, et teil oleks materjalist lihtsam aru saada.

Olukorra selgitamiseks kaaluge:

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis

Siinuse all pole mitte ainult täht "x", vaid kogu avaldis, nii et tuletise kohene leidmine tabelist ei toimi. Samuti märkame, et siin on võimatu rakendada nelja esimest reeglit, näib olevat erinevus, kuid tõsiasi on see, et siinust pole võimalik "lahti rebida":

Selles näites on juba minu selgitustest intuitiivselt selge, et funktsioon on kompleksfunktsioon ja polünoom on sisemine funktsioon (kinnitamine) ja väline funktsioon.

Esimene samm, mida tuleb sooritada kompleksfunktsiooni tuletise leidmisel mõista, milline funktsioon on sisemine ja milline väline.

Lihtsate näidete puhul näib olevat selge, et siinuse all on pesastatud polünoom. Aga mis siis, kui see pole ilmne? Kuidas täpselt kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine? Selleks teen ettepaneku kasutada järgmist tehnikat, mida saab läbi viia vaimselt või mustandi alusel.

Kujutagem ette, et avaldise väärtuse tuleb arvutada kalkulaatoriga (ühe asemel võib olla suvaline arv).

Mida me kõigepealt arvutame? Esiteks peate tegema järgmise toimingu: , seega on polünoom sisemine funktsioon:

Teiseks peate leidma, nii et siinus - on väline funktsioon:

Pärast meie MÕISTA sisemiste ja välimiste funktsioonide puhul on aeg rakendada liitfunktsioonide eristamise reeglit .

Hakkame otsustama. Õppetunnist Kuidas tuletist leida? mäletame, et mis tahes tuletise lahenduse kujundamine algab alati nii - lisame avaldise sulgudesse ja tõmbame paremasse ülaossa kriipsu:

Esiteks leiame välisfunktsiooni tuletise (siinuse), vaatame elementaarfunktsioonide tuletisi tabelit ja paneme tähele, et . Kõik tabelivalemid on rakendatavad isegi siis, kui "x" on asendatud kompleksavaldisega, sel juhul:

Pange tähele, et sisemine funktsioon ei ole muutunud, me ei puuduta seda.

Noh, see on üsna ilmne

Valemi rakendamise tulemus puhas näeb välja selline:

Konstanttegur asetatakse tavaliselt avaldise algusesse:

Kui tekib arusaamatus, kirjutage otsus paberile ja lugege uuesti selgitusi.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Näide 3

Leia funktsiooni tuletis

Nagu alati, kirjutame:

Selgitame välja, kus meil on väline funktsioon ja kus sisemine. Selleks proovime (vaimselt või mustandi järgi) arvutada avaldise väärtuse . Mida tuleb kõigepealt teha? Kõigepealt peate arvutama, millega alus on võrdne:, mis tähendab, et polünoom on sisemine funktsioon:

Ja alles siis tehakse eksponentsiatsioon, seetõttu on võimsusfunktsioon väline funktsioon:

Vastavalt valemile , tuleb esmalt leida välisfunktsiooni tuletis, antud juhul aste. Otsime tabelist soovitud valemit:. Kordame uuesti: mis tahes tabelivalem ei kehti mitte ainult "x", vaid ka kompleksavaldise jaoks. Seega kompleksfunktsiooni diferentseerimisreegli rakendamise tulemus järgmine:

Rõhutan veel kord, et kui võtame välisfunktsiooni tuletise, siis sisemine funktsioon ei muutu:

Nüüd jääb üle leida sisemise funktsiooni väga lihtne tuletis ja tulemust veidi “kammida”:

Näide 4

Leia funktsiooni tuletis

See on näide enese lahendamiseks (vastus tunni lõpus).

Keerulise funktsiooni tuletise mõistmise kinnistamiseks toon ilma kommentaarideta näite, proovige ise aru saada, põhjendage, kus on väline ja kus on sisemine funktsioon, miks ülesandeid nii lahendatakse?

Näide 5

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni tuletis

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis

Siin on meil juur ja juure eristamiseks tuleb see esitada astmena. Seega viime funktsiooni esmalt eristamiseks õigesse vormi:

Funktsiooni analüüsides jõuame järeldusele, et kolme liikme summa on sisefunktsioon ja astendamine on välisfunktsioon. Rakendame kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit :

Astet esitatakse jällegi radikaalina (juur) ja sisefunktsiooni tuletise puhul rakendame summa eristamiseks lihtsat reeglit:

Valmis. Avaldise saab tuua ka sulgudes ühisele nimetajale ja kirjutada kõik ühe murduna. See on muidugi ilus, kuid kui saadakse tülikad pikad tuletised, on parem seda mitte teha (lihtne on segadusse sattuda, tarbetu viga teha ja õpetajal on seda ebamugav kontrollida).

Näide 7

Leia funktsiooni tuletis

See on näide enese lahendamiseks (vastus tunni lõpus).

Huvitav on märkida, et mõnikord võib keeruka funktsiooni eristamise reegli asemel kasutada jagatise eristamise reeglit , kuid selline lahendus näeb ebatavaline perverssus välja. Siin on tüüpiline näide:

Näide 8

Leia funktsiooni tuletis

Siin saab kasutada jagatise diferentseerimise reeglit , kuid palju tulusam on tuletist leida keeruka funktsiooni diferentseerimisreegli abil:

Valmistame funktsiooni diferentseerimiseks ette - võtame tuletisest välja miinusmärgi ja tõstame koosinuse lugejani:

Koosinus on sisemine funktsioon, astendamine on väline funktsioon.
Kasutame oma reeglit :

Leiame sisemise funktsiooni tuletise, lähtestame koosinuse allapoole:

Valmis. Vaadeldavas näites on oluline mitte märkides segadusse sattuda. Muide, proovige seda reegliga lahendada , peavad vastused ühtima.

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis

See on näide enese lahendamiseks (vastus tunni lõpus).

Seni oleme käsitlenud juhtumeid, kus keerulises funktsioonis oli ainult üks pesa. Praktilistes ülesannetes võib tihtipeale leida tuletisi, kus nagu pesitsusnukkudel üks teise sisse pesatakse korraga 3 või isegi 4-5 funktsiooni.

Näide 10

Leia funktsiooni tuletis

Mõistame selle funktsiooni manuseid. Proovime avaldist hinnata eksperimentaalse väärtuse abil. Kuidas me arvestaksime kalkulaatoriga?

Kõigepealt peate leidma, mis tähendab, et arcsiinus on sügavaim pesa:

See ühtsuse arcsiini tuleks seejärel ruudus teha:

Ja lõpuks tõstame seitse võimu:

See tähendab, et selles näites on meil kolm erinevat funktsiooni ja kaks pesastust, samas kui sisemine funktsioon on arcsinus ja välimine funktsioon on eksponentsiaalne funktsioon.

Hakkame otsustama

Reegli järgi esmalt tuleb võtta välisfunktsiooni tuletis. Vaatame tuletiste tabelit ja leiame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise: Ainus erinevus on see, et "x" asemel on meil kompleksavaldis, mis ei muuda selle valemi kehtivust. Niisiis, kompleksfunktsiooni diferentseerimisreegli rakendamise tulemus järgmiseks.

Astumusfunktsiooni tuletise valemi tuletamine (x astmeni a). Arvesse võetakse juurte tuletisi x-st. Kõrgemat järku võimsusfunktsiooni tuletise valem. Näiteid tuletisinstrumentide arvutamisest.

x tuletis a astmega on x korda miinus ühe astmega:
(1) .

x-i n-nda juure tuletis m-ndast astmest on:
(2) .

Astumusfunktsiooni tuletise valemi tuletamine

Juhtum x > 0

Vaatleme muutuja x astmefunktsiooni eksponendiga a:
(3) .
Siin a on suvaline reaalarv. Vaatleme esmalt juhtumit.

Funktsiooni (3) tuletise leidmiseks kasutame astmefunktsiooni omadusi ja teisendame selle järgmisele kujule:
.

Nüüd leiame tuletise, rakendades:
;
.
siin .

Valem (1) on tõestatud.

Valemi tuletamine x astme n juure astmeni m

Nüüd kaaluge funktsiooni, mis on järgmise vormi juur:
(4) .

Tuletise leidmiseks teisendame juure võimsusfunktsiooniks:
.
Võrreldes valemiga (3), näeme seda
.
Siis
.

Valemi (1) abil leiame tuletise:
(1) ;
;
(2) .

Praktikas ei ole vaja valemit (2) pähe õppida. Palju mugavam on esmalt teisendada juured astmefunktsioonideks ja seejärel leida nende tuletised valemi (1) abil (vt näiteid lehe lõpus).

Juhtum x = 0

Kui , siis on eksponentsiaalfunktsioon defineeritud ka muutuja x = väärtusele 0 . Leiame funktsiooni (3) tuletise x = korral 0 . Selleks kasutame tuletise määratlust:
.

Asendage x = 0 :
.
Sel juhul peame tuletise all silmas parempoolset limiiti, mille puhul .

Niisiis leidsime:
.
Sellest on näha, et kell , .
Kell , .
Kell , .
See tulemus saadakse ka valemiga (1):
(1) .
Seetõttu kehtib valem (1) ka x = korral 0 .

juhtum x< 0

Mõelge uuesti funktsioonile (3):
(3) .
Mõne konstandi a väärtuse puhul on see defineeritud ka muutuja x negatiivsete väärtuste jaoks. Nimelt olgu a ratsionaalne arv. Siis saab seda esitada taandamatu murdena:
,
kus m ja n on täisarvud, millel puudub ühine jagaja.

Kui n on paaritu, siis on eksponentsiaalfunktsioon defineeritud ka muutuja x negatiivsete väärtuste jaoks. Näiteks kui n = 3 ja m = 1 meil on x-i kuupjuur:
.
See on määratletud ka x negatiivsete väärtuste jaoks.

Leiame võimsusfunktsiooni (3) tuletise konstandi a ratsionaalsetele väärtustele, mille jaoks see on defineeritud. Selleks esindame x-i järgmisel kujul:
.
Siis ,
.
Leiame tuletise, võttes konstandi tuletise märgist välja ja rakendades kompleksfunktsiooni diferentseerimise reeglit:

.
siin . Aga
.
Sest siis
.
Siis
.
See tähendab, et valem (1) kehtib ka:
(1) .

Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid

Nüüd leiame astmefunktsiooni kõrgemat järku tuletised
(3) .
Oleme juba leidnud esimest järku tuletise:
.

Võttes tuletise märgist välja konstandi a, leiame teist järku tuletise:
.
Samamoodi leiame kolmanda ja neljanda järgu tuletised:
;

.

Siit on selge, et suvalise n-nda järku tuletis sellel on järgmine vorm:
.

Märka seda kui a on naturaalarv, , siis n-s tuletis on konstantne:
.
Siis on kõik järgnevad tuletised võrdsed nulliga:
,
aadressil .

Tuletisnäited

Näide

Leia funktsiooni tuletis:
.

Lahendus

Teisendame juured astmeteks:
;
.
Seejärel võtab algfunktsioon järgmise kuju:
.

Leiame kraadide tuletised:
;
.
Konstandi tuletis on null:
.