Funktsioonide tüübid ja nende omadused. Funktsioonide põhimõisted ja omadused

Definitsioon: numbriline funktsioon on vastavus, mis kaardistab iga arvu x mõnest antud hulgast ainsus y.

Määramine:

kus x on sõltumatu muutuja (argument), y on sõltuv muutuja (funktsioon). Väärtuste komplekti x nimetatakse funktsiooni domeeniks (tähistatud D(f)). Väärtuste kogumit y nimetatakse funktsiooni vahemikuks (tähistatakse E(f)-ga). Funktsiooni graafik on punktide kogum tasapinnal koordinaatidega (x, f(x))

Funktsiooni seadistamise viisid.

analüüsimeetod (kasutades matemaatilist valemit);
tabelimeetod (tabeli kasutamine);
kirjeldav meetod (kasutades sõnalist kirjeldust);
graafiline meetod (graafi kasutamine).

Põhiomadused funktsioonid.

1. Paaris ja paaritu

Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui
– funktsiooni määratluspiirkond on nulli suhtes sümmeetriline
f(-x) = f(x)

Paarisfunktsiooni graafik on telje suhtes sümmeetriline 0a

Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui
– funktsiooni määratluspiirkond on nulli suhtes sümmeetriline
– mis tahes x jaoks definitsioonipiirkonnast f(-x) = -f(x)

Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

2. Perioodilisus

Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks koos perioodiga, kui mis tahes x jaoks definitsioonipiirkonnast f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Ajakava perioodiline funktsioon koosneb lõputult korduvatest identsetest fragmentidest.

3. Monotoonsus (suurenemine, vähenemine)

Funktsioon f(x) suureneb hulgal P, kui iga selle hulga x 1 ja x 2 korral, nii et x 1

Funktsioon f(x) väheneb hulgal P, kui iga selle hulga x 1 ja x 2 korral, nii et x 1 f(x 2) .

4. Äärmused

Punkti X max nimetatakse funktsiooni f (x) maksimumpunktiks, kui kõigi x mingist naabruskonnast X max , on ebavõrdsus f (x) f (X max) täidetud.

Väärtust Y max =f(X max) nimetatakse selle funktsiooni maksimumiks.

X max – maksimumpunkt
Maxil on maksimum

Punkti X min nimetatakse funktsiooni f (x) miinimumpunktiks, kui kõigi x mingist naabruskonnast X min on ebavõrdsus f (x) f (X min) täidetud.

Y min =f(X min) väärtust nimetatakse selle funktsiooni miinimumiks.

X min – miinimumpunkt
Y min - minimaalne

X min , X max - äärmuspunktid
Y min , Y max - äärmused.

5. Funktsiooni nullid

Funktsiooni y = f(x) null on argumendi x väärtus, mille juures funktsioon kaob: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 on funktsiooni y = f(x) nullid.

Ülesanded ja testid teemal "Funktsiooni põhiomadused"

Funktsiooni omadused - Numbrilised funktsioonid 9. klass
Tunnid: 2 Ülesanded: 11 Kontrolltööd: 1
Logaritmide omadused - Demonstratiivne ja logaritmiline funktsioon 11. klass
Tunnid: 2 Ülesanded: 14 Kontrolltööd: 1
Ruutjuurfunktsioon, selle omadused ja graafik - Funktsioon ruutjuur. Ruutjuure omadused 8. klass
Tunnid: 1 Ülesanded: 9 Kontrolltööd: 1
Võimsusfunktsioonid, nende omadused ja graafikud - kraadid ja juured. Toitefunktsioonid 11. klass
Tunnid: 4 Ülesanded: 14 Kontrolltööd: 1
Funktsioonid - Olulised teemad jaoks eksami kordamine matemaatika
Ülesanded: 24

Olles seda teemat uurinud, peaksite suutma leida erinevate funktsioonide määratluspiirkonda, määrata graafikute abil funktsiooni monotoonsuse intervalle ning uurida paaris- ja paarituid funktsioone. Mõelge selliste probleemide lahendamisele järgmiste näidete põhjal.

Näited.

1. Leidke funktsiooni domeen.

Otsus: funktsiooni ulatus leitakse tingimusest

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel – vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Funktsiooni ulatus ja ulatus. Elementaarmatemaatikas uuritakse funktsioone ainult hulgal reaalarvud R.See tähendab, et funktsiooni argument saab võtta ainult need reaalväärtused, mille jaoks funktsioon on defineeritud, st. see aktsepteerib ka ainult tõelisi väärtusi. Trobikond X argumendi kõik kehtivad kehtivad väärtused x, mille jaoks funktsioon y= f(x) on määratletud, kutsutud funktsiooni ulatus. Trobikond Y kõik tõelised väärtused y et funktsioon aktsepteerib, kutsutakse funktsioonide vahemik. Nüüd saate rohkem anda täpne määratlus Funktsioonid: reegel(seadus) hulkade X ja Y vahelise vastavuse kohta, mille võrra iga komplekti elemendi kohtaX suudab hulgast Y leida ühe ja ainult ühe elemendi, seda nimetatakse funktsiooniks.

Sellest definitsioonist järeldub, et funktsioon loetakse antud, kui:

Funktsiooni ulatus on määratud X ;

Funktsiooni ulatus on määratud Y ;

Kirjavahetuse reegel (seadus) on teada ja selline, et iga

Argumendi väärtuse jaoks võib leida ainult ühe funktsiooni väärtuse.

Funktsiooni kordumatuse nõue on kohustuslik.

monotoonne funktsioon. Kui argumendi mis tahes kahe väärtuse puhul x 1 ja x 2 tingimusest x 2 > x 1 järgneb f(x 2) > f(x 1), siis funktsioon f(x) kutsutakse suureneb; kui mõne jaoks x 1 ja x 2 tingimusest x 2 > x 1 järgneb f(x 2) < f(x 1), siis funktsioon f(x) kutsutakse kahanev. Kutsutakse funktsiooni, mis ainult suureneb või ainult väheneb üksluine.

Piiratud ja piiramatud funktsioonid. Funktsiooni kutsutakse piiratud kui selline on olemas positiivne arv M mida | f(x) | M kõigi väärtuste jaoks x . Kui sellist numbrit pole, siis funktsioon on piiramatu.

NÄITED.

Joonisel 3 kujutatud funktsioon on piiratud, kuid mitte monotoonne. Funktsioon joonisel 4 on täpselt vastupidine, monotoonne, kuid piiramatu. (Selgitage seda palun!)

Pidevad ja katkendlikud funktsioonid. Funktsioon y = f (x) kutsutakse pidev punktisx = a, kui:

1) funktsioon on defineeritud x = a, st. f (a) olemas;

2) on olemas lõplik piir lim f (x) ;

x→a

(Vt "Funktsioonide piirangud")

3) f (a) = piir f (x) .

x→a

Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, kutsutakse funktsioon välja katkendlik punktis x = a.

Kui funktsioon on pidev kõik määratlusvaldkonna punktid, siis nimetatakse seda pidev funktsioon.

Paaris- ja paaritu funktsioonid. Kui selleks ükskõik milline x f(- x) = f (x), kutsutakse funktsioon välja isegi; kui see nii on: f(- x) = - f (x), kutsutakse funktsioon välja kummaline. Ajakava ühtlane funktsioonsümmeetriline Y-telje suhtes(Joon.5), graafik paaritu funktsioon Simpäritolu kohta(joonis 6).

Perioodiline funktsioon. Funktsioon f (x) - perioodiline kui selline on olemas nullist erinev number T milleks ükskõik milline x funktsiooni määratluse ulatusest toimub: f (x + T) = f (x). Sellised vähemalt numbrile helistatakse funktsiooni periood. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised.

NÄIDE 1. Tõesta see patt x on periood 2.

LAHENDUS Me teame, et patt ( x+ 2n) = patt x, kus n= 0, ± 1, ± 2, …

Seetõttu lisades 2 n siinuse argumendile

Muudab selle väärtust. Kas selle juures on veel mõni number

Sama vara?

Teeskleme seda P- selline arv, st. võrdsus:

Patt ( x+ P) = patt x,

Kehtib mis tahes väärtuse jaoks x. Aga siis on

Asukoht ja x= / 2, st.

sin(/2 + P) = sin / 2 = 1.

Kuid redutseerimisvalemi järgi patt ( / 2 + P) = cos P. Siis

Kahest viimasest võrdsusest tuleneb, et cos P= 1, aga meie

Teame, et see kehtib ainult siis, kui P = 2n. Alates kõige väiksemast

Nullist erinev arv 2-st n on 2, siis see arv

Ja käes on patuperiood x. Samamoodi on tõestatud, et 2 alates n on , seega on see punkt sin 2 x.

Funktsiooni nullid. Kutsutakse välja argumendi väärtus, mille puhul funktsioon võrdub 0-ga null (juur) funktsioonid. Funktsioonil võib olla mitu nulli, näiteks funktsioon y = x (x + 1) (x-3) on kolm nulli: x= 0, x= -1, x= 3. Geomeetriliselt funktsioon null - on funktsiooni graafiku ja telje lõikepunkti abstsiss X .

Joonis 7 näitab funktsiooni graafikut nullidega: x= a, x = b ja x= c.

Asümptoot. Kui funktsiooni graafik läheneb alguspunktist eemaldudes teatud sirgele lõputult, siis seda sirget nimetatakse asümptoot.

Funktsiooni nullid
Funktsiooni null on väärtus X, mille juures funktsioon muutub 0-ks, st f(x)=0.

Nullid on funktsiooni graafiku ja telje lõikepunktid Oh.

Funktsiooni paarsus
Funktsiooni kutsutakse isegi siis, kui mis tahes jaoks X definitsioonipiirkonnast võrdus f(-x) = f(x)

Paarisfunktsioon on telje suhtes sümmeetriline OU

Veider funktsioon
Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui see on ükskõik milline X definitsioonipiirkonnast on võrdus f(-x) = -f(x) täidetud.

Paaritu funktsioon on lähtekoha suhtes sümmeetriline.
Funktsiooni, mis pole paaris ega paaritu, nimetatakse üldfunktsiooniks.

Funktsiooni juurdekasv
Funktsiooni f(x) nimetatakse kasvavaks, kui suurem väärtus argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele, st.

Vähenev funktsioon
Funktsiooni f(x) nimetatakse kahanevaks, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele, s.t.

Kutsutakse välja intervallid, mille jooksul funktsioon kas ainult väheneb või ainult suureneb monotoonsuse intervallid. Funktsioonil f(x) on 3 monotoonsuse intervalli:

Leia monotoonsuse intervallid, kasutades teenust Kasvavate ja kahanevate funktsioonide intervallid

Kohalik maksimum
Punkt x 0 nimetatakse punktiks kohalik maksimum, kui üldse X punkti naabrusest x 0 kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 0) > f(x)

Kohalik miinimum
Punkt x 0 nimetatakse punktiks kohalik miinimum, kui üldse X punkti naabrusest x 0 kehtib järgmine ebavõrdsus: f(x 0)< f(x).

Kohalikke maksimumpunkte ja kohalikke miinimumpunkte nimetatakse kohalikeks ekstreemumipunktideks.

kohalikud äärmuspunktid.

Funktsiooni perioodilisus
Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, perioodiga T, kui üldse X f(x+T) = f(x) .

Püsivuse intervallid
Intervalle, mille puhul funktsioon on kas ainult positiivne või ainult negatiivne, nimetatakse konstantse märgi intervallideks.

Funktsioonide järjepidevus
Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis x 0, kui funktsiooni piirväärtus on x → x 0 võrdub väärtusega funktsioonid sel hetkel, st. .