Kindla integraali keskmise väärtuse valem. Määratud integraal ja selle arvutamise meetodid

Varem pidasime kindlat integraali integrandi antiderivaadi väärtuste erinevuseks. Eeldati, et integrandil on integreerimisintervalli antiderivatiiv.

Juhul kui antiderivaat ekspresseeritakse läbi elementaarsed funktsioonid, võime selle olemasolus kindlad olla. Aga kui sellist avaldist pole, siis jääb lahtiseks küsimus antiderivaadi olemasolust ja me ei tea, kas vastav kindel integraal on olemas.

Geomeetrilised kaalutlused viitavad sellele, et kuigi näiteks funktsiooni y=e^(-x^2) puhul on võimatu väljendada antiderivatiivi elementaarfunktsioonide kaudu, on integraal \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx) on olemas ja võrdne pindalaga x-teljega piiratud joonis, funktsiooni y=e^(-x^2) graafik ja sirged x=a,~ x=b (joonis 6). Kuid rangema analüüsiga selgub, et pindala mõiste vajab põhjendamist ja seetõttu ei saa sellele tugineda antiderivatiivi ja antiderivatiivi olemasolu küsimuste lahendamisel. kindel integraal.

Tõestame seda mis tahes funktsioonil, mis on segmendis pidev, on sellel segmendil antiderivatiiv, ja seetõttu on selle segmendi kohal kindel integraal. Selleks vajame kindla integraali mõistele teistsugust lähenemist, mis ei põhine antiderivaadi olemasolu eeldusel.

Installime mõned kindla integraali omadused, mida mõistetakse kui erinevust antiderivaadi väärtuste vahel.

Kindlate integraalide hinnangud

1. teoreem. Olgu funktsioon y=f(x) piiratud lõiguga , ja m=\min_(x\in)f(x) ja M=\max_(x\in)f(x), vastavalt kõige vähem ja suurim väärtus funktsioon y=f(x) sisse , ja sellel intervallil on funktsioonil y=f(x) antiderivatiiv. Siis

m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).

Tõestus. Olgu F(x) üks funktsiooni y=f(x) antituletistest lõigul . Siis

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).

Lagrange'i teoreemi järgi F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), kus a \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).

Tingimuse järgi, lõigu kõigi x väärtuste korral ebavõrdsus m\leqslant f(x)\leqslant M, Sellepärast m\leqslant f(c)\leqslant M ja seega

m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), st m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),

Q.E.D.

Topeltvõrratus (1) annab teatud integraali väärtusele ainult väga ligikaudse hinnangu. Näiteks segmendil on funktsiooni y=x^2 väärtused vahemikus 1 kuni 25 ja seetõttu tekivad ebavõrdsused

4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.

Täpsema hinnangu saamiseks jagage segment punktidega mitmeks osaks a=x_0 ja igale osale rakendatakse ebavõrdsust (1). Kui ebavõrdsus on intervalliga täidetud, siis

m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,

kus \Delta x_k tähistab erinevust (x_(k+1)-x_k) , st lõigu pikkust . Kirjutades need võrratused kõigi k väärtuste jaoks vahemikus 0 kuni n-1 ja liites need kokku, saame:

\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),

Kuid kindla integraali aditiivse omaduse järgi on lõigu kõikide osade integraalide summa võrdne selle lõigu integraaliga, s.t.

\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.

Tähendab,

\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x) )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)

Näiteks kui jagate lõigu 10 võrdseks osaks, millest igaühe pikkus on 0,4, siis osalise lõigu puhul ebavõrdsus

(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2

Seetõttu on meil:

0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\summa_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.

Arvutades saame: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. See hinnang on palju täpsem kui eelmine. 4\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.

Integraali veelgi täpsema hinnangu saamiseks on vaja segment jagada mitte 10, vaid näiteks 100 või 1000 osaks ja arvutada vastavad summad. Muidugi on seda integraali lihtsam arvutada antiderivaadi abil:

\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3) (125-1) = \frac(124) (3)\,.

Kui aga antiderivaadi avaldis on meile tundmatu, siis võrratused (2) võimaldavad hinnata integraali väärtust alt ja ülevalt.

Eraldusarvuna kindel integraal

Ebavõrdsuses (2) sisalduvaid arve m_k ja M_k saab valida suvaliselt, kui ebavõrdsus m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Lõigu antud jaotuse integraali kõige täpsem hinnang saadakse, kui võtta M_k kõigist võimalikest väärtustest väikseim ja m_k suurim. See tähendab, et kui m_k, peate võtma segmendi funktsiooni y=f(x) väärtuste täpse alumise piiri ja kui M_k - nende väärtuste täpse ülemise piiri samal lõigul:

m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).

Kui y=f(x) on piiratud funktsioon lõigul , siis on see samuti piiratud iga lõiguga ja seetõttu on arvud m_k ja M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. Selle arvude m_k ja M_k valikuga summad \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k) ja \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k) nimetatakse vastavalt funktsiooni y=-f(x) alumise ja ülemise integraali Darboux summadeks antud partitsiooni P jaoks:

a=x_0

segment . Tähistame need summad vastavalt s_(fP) ja S_(fP) ja kui funktsioon y=f(x) on fikseeritud, siis lihtsalt s_P ja S_P .

Ebavõrdsus (2) tähendab seda kui segmendiga piiratud funktsioonil y=f(x) on sellel lõigul antituletis, siis eraldab kindel integraal arvulised hulgad \(s_p\) ja \(S_P\) , mis koosnevad vastavalt kõigist alumisest ja ülemisest Darboux'st lõigu kõigi võimalike sektsioonide P summad. Üldiselt võib juhtuda, et neid kahte hulka eraldav arv ei ole kordumatu. Kuid allpool näeme, et kõige olulisemate funktsiooniklasside jaoks (eriti pidevate funktsioonide puhul) on see ainulaadne.

See võimaldab meil kasutusele võtta uue määratluse \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), mis ei tugine antiderivaadi kontseptsioonile, vaid kasutab ainult Darboux’ summasid.

Definitsioon. Intervalliga piiratud funktsiooni y=f(x) nimetatakse selles intervallis integreeritavaks, kui eksisteerib üks arv \ell, mis eraldab intervalli kõigi võimalike osade jaoks moodustatud alumiste ja ülemiste Darboux' summade hulki. Kui funktsioon y=f(x) on lõigul integreeritav, siis ainsat arvu, mis neid hulki eraldab, nimetatakse selle funktsiooni kindlaks integraaliks üle segmendi ja tähendab .

Oleme defineerinud integraali \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) juhuks, kui a b , siis paneme

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.

See määratlus on loomulik, sest kui integreerimisintervalli suund muutub, on kõik erinevused \Delta x_k=x_(k+1)-x_k muudavad oma märki ja seejärel muudavad nad märke ja Darboux' summasid ja seega ka neid eraldavat arvu, st. lahutamatu.

Kuna a=b korral kaovad kõik \Delta x_k, paneme

\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.

Oleme saanud kaks kindla integraali mõiste definitsiooni: antiderivaadi väärtuste erinevusena ja Darboux' summade eraldusarvuna. Need määratlused annavad kõige olulisematel juhtudel sama tulemuse:

2. teoreem. Kui funktsioon y=f(x) on segmendiga piiratud ja sellel on antituletis y=F(x) ning alumist ja ülemist Darboux' summat eraldab üks arv, siis on see arv võrdne F(b) )-F(a) .

Tõestus. Eespool tõestasime, et arv F(a)-F(b) eraldab hulgad \(s_P\) ja \(S_P\) . Kuna eraldusarv on üheselt määratud tingimusega, langeb see kokku F(b)-F(a) .

Edaspidi kasutame tähistust \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) ainult ühe arvu jaoks, mis eraldab hulki \(s_P\) ja \(S_P\) . Tõestatud teoreemist järeldub, et antud juhul ei ole vastuolu selle tähise arusaamaga, mida me eespool kasutasime.
Alumise ja ülemise Darboux' summade omadused
Et integraali varem antud definitsioon oleks mõttekas, peame tõestama, et ülemiste Darboux' summade hulk asub tõepoolest alumiste Darboux' summade hulgast paremal.

Lemma 1. Iga partitsiooni P jaoks on vastav alumine Darboux' summa maksimaalselt ülemine Darboux' summa, s_P\leqslant S_P .

Tõestus. Mõelge segmendi mõnele partitsioonile P:

a=x_0 "
Ilmselgelt kehtib iga k ja mis tahes valitud partitsiooni P korral ebavõrdsus s_P\leqslant S_P. Seega m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, ja sellepärast

s_P= \summa_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Q.E.D.
Ebavõrdsus (4) kehtib ainult fikseeritud partitsiooni P korral. Seetõttu ei ole veel võimalik väita, et ühe partitsiooni alumine Darboux' summa ei saa ületada teise partitsiooni ülemist Darboux' summat. Selle väite tõestamiseks vajame järgmist lemmat:

Lemma 2. Uue jagamispunkti lisamisel ei saa alumine Darboux' summa väheneda ja ülemine summa suureneda.

Tõestus. Valime segmendi mingi partitsiooni P ja lisame sellele uue jagamispunkti (x^(\ast)) . Tähistage uut partitsiooni P^(\ast) . Partitsioon P^(\ast) on partitsiooni P täpsustus, st. iga P jaotuspunkt on samal ajal P^(\ast) .

Las punkt (x^(\ast)) langeb lõigule \koolon\, x_k . Vaatleme kahte moodustatud segmenti ja ja tähistage funktsiooni väärtuste vastavad täpsed alumised piirid m_(k)^(\ast) ja m_(k)^(\ast\ast) ning täpsed ülemised piirid M_(k)^(\ast ) ja M_(k )^(\ast\ast) .

tähtaeg m_k(x_(k+1)-m_(k)) Algne madalam Darboux summa uues madalamas Darboux summas vastab kahele terminile:

m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).

Kus m_k\leqslant m_(k)^(\ast) ja m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), kuna m_k on funktsiooni f(x) väärtuste täpne alumine piir kogu intervallil ja m_(k)^(\ast) ja m_(k)^(\ast\ast) ainult sellel. osad ja vastavalt.

Hindame saadud terminite summat allpool:

\begin(joonatud) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1) )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(joondatud)

Kuna ülejäänud terminid nii vanas kui ka uues madalamas Darbouxi summas jäid muutumatuks, ei vähenenud ka madalam Darboux' summa pärast uue jagamispunkti s_P\leqslant S_P lisamist.

Tõestatud väide jääb kehtima ka siis, kui lisada partitsioonile P suvaline lõplik arv punkte.

Väide ülemise Darboux' summa kohta tõestatakse sarnaselt: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).

Jätkame kahe partitsiooni Darbouxi summade võrdlemisega.

Lemma 3. Ükski alumine Darbouxi summa ei ületa ühtegi ülemist Darbouxi summat (mis vastab vähemalt segmendi muule partitsioonile).

Tõestus. Vaatleme segmendi kahte suvalist partitsiooni P_1 ja P_2 ning moodustame kolmanda partitsiooni P_3, mis koosneb kõigist partitsioonide P_1 ja P_2 punktidest. Seega on partitsioon P_3 nii partitsiooni P_1 kui ka partitsiooni P_2 täpsustus (joonis 7).

Tähistagem nende partitsioonide jaoks vastavalt alumist ja ülemist Darboux' summat s_1,~S_1.~s_2,~S_2 ja tõestage, et s_1\leqslant S_2 .

Kuna P_3 on P_1 partitsiooni täpsustus, siis s_1\leqslant s_3 . Järgmiseks s_3\leqslant S_3 , kuna s_3 ja S_3 summad vastavad samale partitsioonile. Lõpuks S_3\leqslant S_2 , kuna P_3 on P_2 partitsiooni täpsustus.

Seega s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, st. s_1\leqslant S_2 , mida tuli tõestada.

Lemma 3 viitab sellele alumiste Darboux' summade arvuline hulk X=\(s_P\) asub ülemiste Darboux' summade arvulisest hulgast Y=\(S_P\) vasakul.

Kahe arvuhulga1 eraldusarvu olemasolu teoreemi alusel on vähemalt üks arv /, mis eraldab hulki X ja Y , s.o. nii, et segmendi mis tahes jaotuse korral kehtib topelt ebavõrdsus:

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

Kui see number on kordumatu, siis \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).

Toome näite, mis näitab, et selline arv I ei ole üldiselt üheselt määratud. Tuletame meelde, et Dirichleti funktsioon on funktsioon y=D(x) võrdustega määratletud intervallil:

D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(on irratsionaalne arv);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is ratsionaalne arv).\end(juhtumid)

Ükskõik millise segmendi me võtame, sellel on nii ratsionaalsed kui ka irratsionaalsed punktid, s.t. ja punktid, kus D(x)=0, ja punktid, kus D(x)=1 . Seetõttu on segmendi mis tahes partitsiooni puhul kõik m_k väärtused võrdsed nulliga ja kõik M_k väärtused on võrdsed ühega. Aga siis kõik madalamad Darboux’ summad \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) on võrdsed nulliga ja kõik ülemised Darboux' summad \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)) on võrdsed ühega,

Teoreem. Kui funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b], kus a< b , ja kõigi jaoks x ∈ ebavõrdsus
Kasutades teoreemist saadud võrratusi, saab hinnata kindlat integraali, s.o. märkige piirid, mille vahele selle tähendus on suletud. Need ebavõrdsused väljendavad hinnangut kindla integraali kohta.
Teoreem [keskmise väärtuse teoreem]. Kui funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b] ja kõigile x ∈ ebavõrdsused m ≤ f(x) ≤ M, siis
kus m ≤ μ ≤ M.
kommenteerida. Juhul, kui funktsioon f(x) pidev lõigul [ a, b], saab teoreemi võrdus kuju
kus c ∈. Number μ=f(c) Selle valemiga määratletud nimetatakse keskmine funktsioonid f(x) segmendil [ a, b]. Sellel võrdsusel on järgmine geomeetriline tähendus: pideva joonega piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala y=f(x) (f(x) ≤ 0) on võrdne ristküliku pindalaga, millel on sama alus ja mille kõrgus on võrdne selle sirge mõne punkti ordinaadiga.
Antiderivaadi olemasolu pideva funktsiooni jaoks

Esiteks tutvustame muutuva ülempiiriga integraali mõistet.
Laske funktsioonil f(x) integreeritav intervalliga [ a, b]. Siis mis iganes number x alates [ a, b], funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b]. Seetõttu segmendil [ a, b] funktsioon määratletud
mida nimetatakse muutuva ülempiiriga integraaliks.
Teoreem. Kui integrand on pidev intervallil [ a, b], siis on muutuva ülempiiriga kindla integraali tuletis olemas ja võrdub selle piiri integrandi väärtusega, s.o.
Tagajärg. Muutuva ülempiiriga kindel integraal on pideva integrandi üks antiderivaate. Teisisõnu, iga intervalli pideva funktsiooni jaoks on olemas antiderivaat.
Märkus 1. Pange tähele, et kui funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b], siis muutuva ülempiiriga integraal on selle lõigu ülemise piiri pidev funktsioon. Tõepoolest, alates St. 2 ja keskmise väärtuse teoreem on meil
Märkus 2. Muutuva integratsiooni ülemise piiriga integraali kasutatakse paljude uute funktsioonide defineerimisel, näiteks . Need funktsioonid ei ole elementaarsed; nagu juba märgitud, ei saa näidatud integrandide antituletisi väljendada elementaarfunktsioonide kaudu.
Integratsiooni põhireeglid

Newtoni-Leibnizi valem

Kuna mis tahes kaks antiderivatiivset funktsiooni f(x) erinevad konstandi võrra, siis võib eelmise teoreemi kohaselt väita, et mis tahes antiderivaat Φ(x) pidev lõigul [ a, b] funktsioonid f(x) on vorm
kus C on mingi konstantne.
Selle valemi lisamine x=a ja x=b, kasutades St.1 kindlaid integraale, leiame
Nendest võrdsustest tuleneb seos
mida nimetatakse Newtoni-Leibnizi valem.
Seega oleme tõestanud järgmise teoreemi:
Teoreem. Pideva funktsiooni kindel integraal on võrdne selle mis tahes antiderivaadi väärtuste erinevusega ülemise ja alumise integreerimispiiri jaoks.
Newtoni-Leibnizi valemi saab ümber kirjutada järgmiselt
Muutuja muutumine kindlas integraalis

Teoreem. Kui a
funktsiooni f(x) pidev lõigul [ a, b];
joonelõik [ a, b] on funktsiooni väärtuste kogum φ(t) määratletud intervallil α ≤ t ≤ β ja millel on sellel pidev tuletis;
φ(α)=a, φ(β)=b

siis valem kehtib
Integreerimine osade valemiga

Teoreem. Kui funktsioonid u=u(x), v=v(x) omama pidevaid tuletisi intervallil [ a, b], seejärel valem

Rakendatud väärtus keskmise väärtuse teoreemid seisneb võimaluses saada kvalitatiivne hinnang teatud integraali väärtusele ilma seda arvutamata. Me sõnastame : kui funktsioon on pidev intervallil , siis selle intervalli sees on selline punkt, et .

See valem sobib üsna hästi keeruka või tülika funktsiooni integraali ligikaudseks hindamiseks. Ainus hetk, mis teeb valemi ligikaudne , on vajadus enesevalik punktid . Kui valime kõige lihtsama tee – integreerimisintervalli keskpaiga (nagu mitmetes õpikutes soovitatud), siis võib viga olla üsna märkimisväärne. Täpsemate tulemuste saamiseks soovitada tehke arvutused järgmises järjestuses:

Koostage intervallile funktsioonigraafik ;

Joonistage ristküliku ülemine piir nii, et funktsiooni graafiku äralõigatud osad oleksid pindalalt ligikaudu võrdne (täpselt nii on see ülaltoodud joonisel näidatud - kaks kõverjoonelist kolmnurka on peaaegu samad);

Määrake jooniselt ;

Kasutage keskmise väärtuse teoreemi.

Näiteks arvutame lihtsa integraali:

Täpne väärtus ;

Intervalli keskpaigaks saame ka ligikaudse väärtuse , st. selgelt ebatäpne tulemus;

Olles koostanud graafiku ristküliku ülemise külje joonistamisega vastavalt soovitustele, saame , kust ja ligikaudse väärtuse . Üsna rahuldav tulemus, viga on 0,75%.

Trapetsikujuline valem

Keskväärtuste teoreemi kasutavate arvutuste täpsus sõltub põhiliselt, nagu näidatud, sellest visuaalne eesmärk punkti diagramm. Tõepoolest, valides samas näites punktid või , saate integraali muud väärtused ja viga võib suureneda. Subjektiivsed tegurid, graafiku mõõtkava ja joonise kvaliteet mõjutavad tulemust suuresti. See on vastuvõetamatult kriitilistes arvutustes, seega kehtib keskmise väärtuse teoreem ainult kiirele kvaliteet integraalsed hinnangud.

Selles jaotises käsitleme üht kõige populaarsemat ligikaudse integreerimise meetodit - trapetsikujuline valem . Selle valemi koostamise põhiidee tuleneb asjaolust, et kõvera saab ligikaudu asendada katkendjoonega, nagu on näidatud joonisel.

Oletame kindluse mõttes (ja vastavalt joonisele), et integreerimisintervall on jagatud võrdne (see on valikuline, kuid väga mugav) osad. Kõigi nende osade pikkus arvutatakse valemiga ja seda nimetatakse samm . Jaotuspunktide abstsissid, kui need on täpsustatud, määratakse valemiga , kus . Teadaolevatest abstsissidest on lihtne ordinaate arvutada. Seega

See on juhtumi trapetsikujuline valem. Pange tähele, et esimene liige sulgudes on alg- ja lõppordinaatide poolsumma, millele liidetakse kõik vahepealsed ordinaadid. Integreerimisintervalli suvalise arvu partitsioonide jaoks trapetsi üldvalem tundub, et: kvadratuurivalemid: ristkülikud, simpson, gauss jne. Need põhinevad samal ideel kujutada kõverjoonelist trapetsi erineva kujuga elementaarsete aladega, seetõttu pole pärast trapetsi valemi valdamist raske mõista sarnaseid valemeid. Paljud valemid ei ole nii lihtsad kui trapetsivalem, kuid need võimaldavad väikese arvu partitsioonidega saada suure täpsusega tulemuse.

Trapetsi valemi (või sarnaste) abil on võimalik praktikas vajaliku täpsusega arvutada nii "mittevõtvaid" integraale kui ka keerukate või tülikate funktsioonide integraale.

Trapetsikujuline meetod

Põhiartikkel:Trapetsikujuline meetod

Kui iga osalõigu funktsioon on lähendatud lõppväärtusi läbiva sirgjoonega, saame trapetsimeetodi.

Trapetsi pindala igal segmendil:

Ligikaudne viga igas segmendis:

kus

Trapetsi täisvalem juhul, kui kogu integreerimisintervall jagatakse sama pikkusega segmentideks:

kus

Trapetsikujulise valemi viga:

kus

Simpsoni meetod.

Integrand f(x) asendatakse teise astme interpolatsioonipolünoomiga P(x)– parabool, mis läbib näiteks kolme sõlme, nagu on näidatud joonisel ((1) on funktsioon, (2) on polünoom).

Mõelge integreerimise kahele etapile ( h= const = x i+1 – x i), see tähendab kolm sõlme x0, x1, x2, mille kaudu joonistame Newtoni võrrandi abil parabooli:

Las olla z = x - x0,
siis

Nüüd, kasutades saadud seost, arvutame selle intervalli integraali:

.
Sest ühtlane võrk ja paarisarv astmeid n Simpsoni valem on järgmine:

Siin , a eeldusel, et integrandi neljas tuletis on pidev.

[redigeeri] Täpsuse suurendamine

Funktsiooni lähendamine ühe polünoomi võrra kogu integreerimisintervalli ulatuses toob reeglina kaasa suure vea integraali väärtuse hindamisel.

Vea vähendamiseks jagatakse integreerimissegment osadeks ja igaühel neist integraali hindamiseks kasutatakse numbrilist meetodit.

Kuna partitsioonide arv kipub olema lõpmatuseni, kaldub integraali hinnang iga numbrilise meetodi analüütiliste funktsioonide jaoks selle tegelikule väärtusele.

Ülaltoodud meetodid võimaldavad lihtsat sammu poole võrra vähendada, samas kui igas etapis tuleb funktsiooni väärtused arvutada ainult äsja lisatud sõlmedes. Arvutusvea hindamiseks kasutatakse Runge reeglit.

Runge reegli rakendamine

redigeerida] Kindla integraali arvutamise täpsuse hindamine

Integraal arvutatakse valitud valemi (ristkülikud, trapetsid, Simpsoni paraboolid) abil sammude arvuga n ja seejärel sammude arvuga 2n. 2n sammude arvuga integraali väärtuse arvutamise viga määratakse Runge'i valemiga:
, ristkülikute ja trapetside valemite ning Simpsoni valemi jaoks.
Seega arvutatakse integraal sammude arvu järjestikuste väärtuste jaoks, kus n 0 on sammude esialgne arv. Arvutusprotsess lõpeb, kui järgmine väärtus N vastab tingimusele, kus ε on määratud täpsus.

Vea käitumise tunnused.

Näib, et milleks analüüsida erinevaid integratsioonimeetodeid, kui me saavutame suure täpsuse lihtsalt integratsioonietapi väärtust vähendades. Mõelge siiski a posteriori vea käitumise graafikule R numbrilise arvutuse tulemused sõltuvalt ja numbrist n intervallpartitsioonid (st etapis . Jaotises (1) väheneb viga astme h vähenemise tõttu. Jaotises (2) hakkab aga domineerima arvutusviga, mis kuhjub arvukate aritmeetiliste toimingute tulemusena. Seega , iga meetodi jaoks on oma Rmin, mis sõltub paljudest teguritest, kuid eelkõige meetodi vea aprioorsest väärtusest R.

Rombergi täpsustusvalem.

Rombergi meetod seisneb integraali väärtuse järjestikuses täpsustamises koos partitsioonide arvu mitmekordse suurendamisega. Aluseks võib võtta ühtlase astmega trapetside valemi h.
Tähistage integraali partitsioonide arvuga n= 1 as .
Vähendades sammu poole võrra, saame .
Kui vähendame sammu järjestikku 2 n korda, saame arvutamiseks rekursiivse seose.

Keskmise teoreem. Kui f(x) on lõigul pidev, siis on olemas selline punkt, et . Doc. Funktsioon, mis on lõigul pidev, võtab sellel lõigul väikseimad m ja suurimad M väärtused. Siis . Number on intervalli funktsiooni minimaalse ja maksimaalse väärtuse vahel. Intervallil pideva funktsiooni üks omadusi on see, et see funktsioon omandab mis tahes väärtuse m ja M vahel. Seega on olemas punkt, . Sellel omadusel on lihtne geomeetriline tõlgendus: kui see on lõigul pidev, siis on punkt, kus kõverjoonelise trapetsi ABCD pindala on võrdne ristküliku pindalaga aluse ja kõrgusega f(c) ( joonisel esile tõstetud).
7. Muutuva ülempiiriga integraal. Selle järjepidevus ja eristatavus.
Vaatleme funktsiooni f (x), mis on Riemanni järgi integreeritav intervalliga . Kuna see on integreeritav, siis on see integreeritav ka ∀x ∈ korral. Siis on iga x ∈ puhul avaldis mõttekas ja iga x puhul on see võrdne mingi arvuga.
Seega on iga x ∈ seotud mingi arvuga ,
need. funktsioon on antud:
(3.1)
Definitsioon:
Nimetatakse punktis (3.1) antud funktsiooni F (x) ja ka avaldist ennast
muutuva ülempiiriga integraal. See on määratletud kogu segmendis
funktsiooni f (x) integreeritavus.
Tingimus: f (t) on pidev sees ja funktsioon F (x) on antud valemiga (3.1).
Väide: Funktsioon F(x) on diferentseeruv ja F (x) = f (x).
(Punktis a on see parempoolne diferentseeritav ja punktis b vasakpoolne diferentseeritav.)
Tõestus:
Kuna ühe muutuja F (x) funktsiooni puhul on diferentseeruvus samaväärne tuletise olemasoluga kõigis punktides (paremal punktis a ja vasakul punktis b), siis leiame tuletise F (x) . Kaaluge erinevust
Seega
pealegi asub punkt ξ lõigul (või kui ∆x< 0).
Tuletage nüüd meelde, et funktsiooni F(x) tuletis antud punktis x ∈ on võrdne erinevuse seose piiriga: . Võrdsusest on meil:
,
Lases nüüd ∆x → 0, saame selle võrrandi vasakul küljel F’(x) ja paremal
Tuletage meelde funktsiooni f (t) pidevuse määratlust punktis x:
Olgu x1 selles definitsioonis võrdne ξ-ga. Kuna ξ ∈ (ξ ∈ ) ja
∆x → 0, siis |x − ξ| → 0 ja pidevuse definitsiooni järgi f (ξ) → f (x). Seega on meil:
F'(x) = f(x).
Tagajärg:
Tingimus: f (x) on pidev sees .
Väide: funktsiooni f (x) mis tahes antituletisel on vorm
kus C ∈ R on mingi konstant.
Tõestus. Teoreemi 3.1 järgi funktsioon on prototüüp f(x). Oletame, et G(x) on teine antiderivaat f (x). Siis G'(x) = f(x) ja funktsiooni F(x) − G(x) jaoks on meil: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Seega funktsiooni F (x)−G tuletis (x)
võrdub nulliga, seega on see funktsioon konstant: F(x) − G(x) = const.
8. Newtoni-Leibnizi valem kindla integraali jaoks.
Teoreem:
Seisukord: f(t) on pidev ja F(x) on selle mis tahes antiderivaat.
Avaldus:
Tõestus: Vaatleme funktsiooni f (x) antiderivatiivi F (x). Teoreemi "Muutuja ülempiiriga integraali diferentseeritavuse kohta" järelduvuse järgi (vt eelmist küsimust) on sellel vorm . Siit
=> c= F(a) , ja
Liigume F(a) viimases võrduses vasakule, määrame integratsioonimuutuja uuesti x-ks ja saame Newtoni-Leibnizi valemi: