Kuidas leida patu võrrandi suurim negatiivne juur. Trigonomeetrilised võrrandid

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmete all mõeldakse andmeid, mille abil saab tuvastada konkreetse isiku või temaga ühendust võtta.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited selle kohta, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile meie teenuste kohta soovitusi.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel – vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Üsna sageli ülesannetes suurenenud keerukus kohtuda moodulit sisaldavad trigonomeetrilised võrrandid. Enamik neist nõuab lahendusele heuristlikku lähenemist, mis pole enamikule õpilastele sugugi tuttav.

Alltoodud ülesanded on mõeldud tutvustama teile kõige tüüpilisemaid moodulit sisaldavate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid.

Ülesanne 1. Leia väikseima positiivse ja suurima erinevus (kraadides). negatiivsed juured võrrandid 1 + 2sin x · |cos x| = 0.

Lahendus.

Laiendame moodulit:

1) Kui cos x ≥ 0, siis on algne võrrand kujul 1 + 2sin x cos x = 0.

Kasutame siinuse valemit kahekordne nurk, saame:

1 + sin2x = 0; sin2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Kuna cos x ≥ 0, siis x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Kui cos x< 0, то antud võrrand on kujul 1 - 2sin x cos x = 0. Topeltnurga siinuse valemi järgi on meil:

1 – sin2x = 0; sin2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Kuna cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Suurim negatiivne juur võrrandid: -π/4; vähemalt positiivne juur võrrandid: 5π/4.

Soovitud erinevus: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Vastus: 270°.

Ülesanne 2. Leidke (kraadides) võrrandi |tg x| väikseim positiivne juur + 1/cos x = tg x.

Lahendus.

Laiendame moodulit:

1) Kui tg x ≥ 0, siis

tg x + 1/cos x = tg x;

Saadud võrrandis pole juuri.

2) Kui tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x - 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 ja cos x ≠ 0.

Kasutades joonist 1 ja tingimust tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) võrrandi 5π/6 väikseim positiivne juur. Teisenda see väärtus kraadideks:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Vastus: 150°.

Ülesanne 3. Leia kogus mitmesugused juured sin |2x| = cos 2x intervallil [-π/2; π/2].

Lahendus.

Kirjutame võrrandiks sin|2x| – cos 2x = 0 ja vaatleme funktsiooni y = sin |2x| - 2x. Kuna funktsioon on paaris, leiame selle nullid x ≥ 0 korral.

sin 2x – cos 2x = 0; jagame võrrandi mõlemad pooled cos 2x ≠ 0-ga, saame:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n ∈ Z;

x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.

Kasutades funktsiooni paarsust, saame, et algvõrrandi juurteks on vormi arvud

± (π/8 + πn/2), kus n ∈ Z.

Intervall [-π/2; π/2] numbrid kuuluvad: -π/8; π/8.

Seega kuuluvad võrrandi kaks juurt antud intervalli.

Vastus: 2.

Seda võrrandit saab lahendada ka mooduli laiendamisega.

Ülesanne 4. Leia võrrandi sin x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x juurte arv intervallil [-π; 2π].

Lahendus.

1) Vaatleme juhtumit, kui 2cos x – 1 > 0, s.o. cos x > 1/2, siis on võrrand:

sin x - sin 2 x \u003d sin 2 x;

sin x - 2sin 2 x \u003d 0;

sinx(1 - 2sinx) = 0;

sinx = 0 või 1 - 2sinx = 0;

sin x = 0 või sin x = 1/2.

Kasutades joonist 2 ja tingimust cos x > 1/2, leiame võrrandi juured:

x = π/6 + 2πn või x = 2πn, n € Z.

2) Mõelge juhtumile, kui 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n ∈ Z.

Kasutades joonist 2 ja tingimust cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Kombineerides need kaks juhtumit, saame:

x = π/6 + 2πn või x = πn.

3) intervall [-π; 2π] kuuluvad juurte hulka: π/6; -π; 0; π; 2π.

Seega kuulub antud intervalli viis võrrandi juurt.

Vastus: 5.

Ülesanne 5. Leia võrrandi (x - 0,7) juurte arv 2 |sin x| + sin x = 0 intervallil [-π; 2π].

Lahendus.

1) Kui sin x ≥ 0, siis algvõrrand on kujul (x - 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Pärast ühisteguri sin x sulgudest väljavõtmist saame:

sin x((x - 0,7) 2 + 1) = 0; kuna (x - 0,7) 2 + 1 > 0 kõigi reaalsete x-ide korral, siis sinx = 0, s.o. x = πn, n ∈ Z.

2) Kui sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x - 0,7) 2 - 1) = 0;

sinx \u003d 0 või (x - 0,7) 2 + 1 \u003d 0. Kuna sinx< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Ruutjuur vasakult ja õiged osad viimase võrrandi saame:

x - 0,7 \u003d 1 või x - 0,7 \u003d -1, mis tähendab x = 1,7 või x \u003d -0,3.

Võttes arvesse tingimust sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 tähendab, et ainult arv -0,3 on algvõrrandi juur.

3) intervall [-π; 2π] kuuluvad arvude hulka: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Seega on võrrandil antud intervallil viis juurt.

Vastus: 5.

Õppetundideks või eksamiteks saab valmistuda erinevate abiga haridusressursse mis on veebis. Praegu igaüks inimene peab lihtsalt uut kasutama Infotehnoloogia, aitab ju nende õige ja mis kõige tähtsam – asjakohane rakendamine tõsta motivatsiooni aine õppimisel, tõstab huvi ja aitab vajalikku materjali paremini omastada. Kuid ärge unustage, et arvuti ei õpeta mõtlema, saadud infot tuleb töödelda, mõista ja meelde jätta. Seetõttu võite pöörduda meie poole veebipõhised juhendajad, mis aitab teil tegeleda teid huvitavate probleemide lahendamisega.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Trigonomeetrilised võrrandid. Matemaatika eksami esimese osa raames on võrrandi lahendamisega seotud ülesanne - see on lihtsad võrrandid mis lahendatakse minutitega, saab suuliselt lahendada mitut tüüpi. Sisaldab: lineaar-, ruut-, ratsionaal-, irratsionaal-, eksponentsiaal-, logaritmilisi ja trigonomeetrilisi võrrandeid.

Selles artiklis vaatleme trigonomeetrilisi võrrandeid. Nende lahendus erineb nii arvutusmahu kui ka keerukuse poolest selle osa ülejäänud ülesannetest. Ärge kartke, sõna "raskused" viitab nende suhtelisele raskusele võrreldes teiste ülesannetega.

Lisaks võrrandi juurte endi leidmisele on vaja määrata suurim negatiivne või väikseim positiivne juur. Tõenäosus, et saad eksamil trigonomeetrilise võrrandi, on muidugi väike.

Neid on selles eksami osas alla 7%. Kuid see ei tähenda, et neid tuleks ignoreerida. C osas on vaja lahendada ka trigonomeetriline võrrand, seega on lihtsalt vaja lahendusmeetodit hästi mõista ja teooriast aru saada.

Matemaatika jaotise "Trigonomeetria" mõistmine määrab suuresti teie edu paljude ülesannete lahendamisel. Tuletan teile meelde, et vastuseks on täisarv või lõplik arv koma. Pärast võrrandi juurte leidmist kontrollige ALATI. See ei võta palju aega ja säästate end vigade eest.

Tulevikus vaatame ka teisi võrrandeid, ärge jätke seda mööda! Tuletage meelde trigonomeetriliste võrrandite juurte valemeid, peate neid teadma:

Nende väärtuste tundmine on vajalik, see on "tähestik", ilma milleta on paljude ülesannetega võimatu toime tulla. Suurepärane, kui mälu on hea, õppisid ja jätsid need väärtused kergesti meelde. Mida teha, kui see ei õnnestu, peas on segadus, kuid eksite eksami ajal lihtsalt eksite. Kahju on punkti kaotada, kuna kirjutate arvutustesse vale väärtuse.

See väärtus on lihtne, see on antud ka teoorias, mille saite teises kirjas pärast uudiskirjaga liitumist. Kui sa pole veel registreerunud, siis tee seda! Tulevikus kaalume ka seda, kuidas neid väärtusi määrata trigonomeetriline ring. Pole asjata, et seda nimetatakse "trigonomeetria kuldseks südameks".

Segaduse vältimiseks selgitan kohe, et allpool vaadeldavates võrrandites on arkosiini, arkosiini ja arktangensi definitsioonid antud nurga abil. X jaoks vastavad võrrandid: cosx=a, sinx=a, tgx=a, kus X võib olla ka väljend. Allolevates näidetes on meil avaldisega määratud argument.

Seega kaaluge järgmisi ülesandeid:

Leidke võrrandi juur: