Spetsiaalse parema küljega võrrandid. Lineaarsed ebahomogeensed konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandid

Lineaarsete ebahomogeensete teist järku diferentsiaalvõrrandite (LNDE-2) lahendamise alused konstantsed koefitsiendid(PC)

Teist järku CLDE konstantsete koefitsientidega $p$ ja $q$ on kujul $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kus $f\left( x \right)$ on pidev funktsioon.

Järgmised kaks väidet on tõesed 2. LNDE kohta PC-ga.

Oletame, et mõni funktsioon $U$ on ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi suvaline konkreetne lahend. Oletame ka, et mõni funktsioon $Y$ on vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (LODE) üldlahend (OR) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Siis on VÕI LNDE-2 on võrdne näidatud privaat- ja üldlahenduste summaga, st $y=U+Y$.

Kui 2. järku LIDE parem pool on funktsioonide summa, st $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, siis leiad kõigepealt igale vastavale PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ funktsioonidest $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ja kirjutage pärast seda LNDE-2 PD kui $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

2. järku LNDE lahendus arvutiga

Ilmselt sõltub antud LNDE-2 ühe või teise PD $U$ vorm selle parema külje $f\left(x\right)$ konkreetsest vormist. LNDE-2 PD otsimise lihtsaimad juhtumid on sõnastatud järgmise nelja reeglina.

Reegel number 1.

LNDE-2 parem pool on kujul $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kus $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, see tähendab, et seda nimetatakse $n$ astme polünoom. Seejärel otsitakse selle PR $U$ kujul $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kus $Q_(n) \left(x\right)$ on teine sama astme polünoom kui $P_(n) \left(x\right)$ ja $r$ on juurte arv iseloomulik võrrand mis vastab LODA-2-le, võrdub nulliga. Polünoomi $Q_(n) \left(x\right)$ koefitsiendid leitakse määramatute kordajate (NC) meetodil.

Reegel number 2.

LNDE-2 parem pool on kujul $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kus $P_(n) \left(x\right)$ on polünoom astmega $n$. Seejärel otsitakse selle PD $U$ kujul $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kus $Q_(n ) \ left(x\right)$ on teine ​​polünoom, mis on sama astmega kui $P_(n) \left(x\right)$ ja $r$ on vastava LODE-2 tunnusvõrrandi juurte arv võrdne $\alpha $. Polünoomi $Q_(n) \left(x\right)$ koefitsiendid leitakse NK meetodil.

Reegel number 3.

LNDE-2 parempoolne osa on kujul $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kus on $a$, $b$ ja $\beta $ teadaolevad numbrid. Seejärel otsitakse selle PD $U$ kujul $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, kus $A$ ja $B$ on tundmatud koefitsiendid ja $r$ on vastava LODE-2 tunnusvõrrandi juurte arv, mis on võrdne $i\cdot \beta $. Koefitsiendid $A$ ja $B$ leitakse NDT meetodil.

Reegel number 4.

LNDE-2 parem pool on kujul $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kus $P_(n) \left(x\right)$ on polünoom astmega $ n$ ja $P_(m) \left(x\right)$ on polünoom astmega $m$. Seejärel otsitakse selle PD $U$ kujul $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kus $Q_(s) \left(x\right) $ ja $ R_(s) \left(x\right)$ on polünoomid astmega $s$, arv $s$ on maksimaalne kahest arvust $n$ ja $m$ ning $r$ on astmete arv $s$ vastava LODE-2 tunnusvõrrandi juured, mis on võrdne $\alpha +i\cdot \beta $. Polünoomide $Q_(s) \left(x\right)$ ja $R_(s) \left(x\right)$ koefitsiendid leitakse NK meetodil.

NK-meetod seisneb järgmise reegli rakendamises. Polünoomi tundmatute koefitsientide leidmiseks, mis on osa ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi LNDE-2 konkreetsest lahendist, on vaja:

• asendada PD $U$, mis on kirjutatud üldkujul, LNDE-2 vasakpoolsesse ossa;
• LNDE-2 vasakus servas sooritage lihtsustusi ja rühmitustermineid samade võimsustega $x$;
• võrdsusta saadud identiteedis liikmete koefitsiendid vasaku ja parema külje samade astmetega $x$;
• lahendage saadud süsteem lineaarvõrrandid tundmatute koefitsientide suhtes.

Näide 1

Ülesanne: leidke OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Leidke ka PR , mis vastab algtingimustele $y=6$ väärtusele $x=0$ ja $y"=1$ väärtusele $x=0$.

Kirjutage vastav LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Iseloomulik võrrand: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Karakteristiku võrrandi juured: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Need juured on tõelised ja eristatavad. Seega on vastava LODE-2 OR kujul: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Selle LNDE-2 parempoolne osa on kujul $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Arvestada tuleb astendaja $\alpha =3$ astendaja koefitsiendiga. See koefitsient ei lange kokku ühegi iseloomuliku võrrandi juurtega. Seetõttu on selle LNDE-2 PR kujul $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Otsime koefitsiente $A$, $B$ NK meetodil.

Leiame CR esimese tuletise:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Leiame CR teise tuletise:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Asendame funktsioonid $U""$, $U"$ ja $U$ $y""$, $y"$ ja $y$ asemel antud LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Samal ajal, kuna astendaja $e^(3\cdot x) $ on kaasatud tegurina kõigis komponentides, siis võib selle ära jätta.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Teostame saadud võrdsuse vasakul küljel toiminguid:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Kasutame NC meetodit. Saame kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi:

-18 $\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Selle süsteemi lahendus on: $A=-2$, $B=-1$.

Meie probleemi CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ näeb välja selline: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Meie probleemi VÕI $y=Y+U$ näeb välja selline: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ vasak(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Antud algtingimustele vastava PD otsimiseks leiame tuletise $y"$ VÕI:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Asendage $y$ ja $y"$ esialgsed tingimused$y=6$ $x=0$ ja $y"=1$ $x=0$ puhul:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Saime võrrandisüsteemi:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Me lahendame selle. Leiame $C_(1) $ kasutades Crameri valemit ja $C_(2) $ määratakse esimesest võrrandist:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(massiivi)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(massiivi)\right|)(\left|\ algus(massiiv)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(massiiv)\parem|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4 = 3,$

Seega on selle diferentsiaalvõrrandi PD: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Heterogeenne diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega teist järku

Üldlahenduse struktuur Lineaarne mittehomogeenne võrrand seda tüüpi tundub, et: kus lk, q − konstantsed arvud(mis võib olla reaalne või keeruline). Iga sellise võrrandi jaoks võib kirjutada vastava homogeenne võrrand: Teoreem: Ühine otsus ebahomogeenne võrrand on üldlahenduse summa y 0 (x) vastavast homogeensest võrrandist ja konkreetsest lahendist y 1 (x) ebahomogeensest võrrandist: Allpool käsitleme kahte meetodit mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Pideva variatsiooni meetod Kui a ühine otsus y 0 seotud homogeensest võrrandist on teada, siis saab ebahomogeense võrrandi üldlahenduse leida kasutades konstantse variatsiooni meetod. Olgu teist järku homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend järgmine: Püsiva asemel C 1 ja C 2 vaatleme abifunktsioone C 1 (x) ja C 2 (x). Otsime neid funktsioone nii, et lahendus rahuldab parema küljega ebahomogeenset võrrandit f(x). Tundmatud funktsioonid C 1 (x) ja C 2 (x) määratakse kahe võrrandi süsteemist: Määratlemata koefitsientide meetod Parem osa f(x) ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi puhul on sageli polünoom, eksponentsiaal- või trigonomeetriline funktsioon või nende funktsioonide kombinatsioon. Sel juhul on mugavam lahendust leida kasutades määramatute koefitsientide meetod. Me rõhutame seda seda meetodit töötab ainult piiratud funktsioonide klassi paremal küljel, näiteks Mõlemal juhul peab konkreetse lahenduse valik vastama mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi parema poole struktuurile. Juhul 1, kui number α kui eksponentsiaalfunktsioon langeb kokku karakteristiku võrrandi juurega, siis sisaldab konkreetne lahendus lisategurit x s, kus s− juure paljusus α tunnusvõrrandis. Juhul 2, kui number α + βi langeb kokku iseloomuliku võrrandi juurega, siis sisaldab konkreetse lahenduse avaldis lisategurit x. Tundmatuid koefitsiente saab määrata, asendades konkreetse lahenduse leitud avaldise esialgse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandiga. Superpositsiooni põhimõte Kui ebahomogeense võrrandi parem pool on summa mitu vormi funktsiooni siis on diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahend ka konkreetsete lahendite summa, mis on konstrueeritud iga paremal pool oleva liikme jaoks eraldi.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand y"" + y= sin(2 x). Otsus. Esmalt lahendame vastava homogeense võrrandi y"" + y= 0. In sel juhul iseloomuliku võrrandi juured on puhtalt kujuteldavad: Seetõttu on homogeense võrrandi üldlahend antud Pöördume uuesti mittehomogeense võrrandi juurde. Otsime selle lahendust vormis kasutades konstantide muutmise meetodit. Funktsioonid C 1 (x) ja C 2 (x) leiate aadressilt järgmine süsteem võrrandid: Väljendame tuletist C 1 " (x) esimesest võrrandist: Asendades teise võrrandi, leiame tuletise C 2 " (x): Sellest järeldub Avaldiste integreerimine tuletistele C 1 " (x) ja C 2 " (x), saame: kus A 1 , A 2 − integreerimiskonstandid. Nüüd asendame leitud funktsioonid C 1 (x) ja C 2 (x) valemisse y 1 (x) ja kirjutage mittehomogeense võrrandi üldlahend:

Näide 2

Leidke võrrandile üldine lahendus y"" + y" −6y = 36x. Otsus. Kasutame määramatute koefitsientide meetodit. Parem osa taga antud võrrand esindab lineaarne funktsioon f(x)= kirves + b. Seetõttu otsime vormilt konkreetset lahendust Tuletised on: Asendades selle diferentsiaalvõrrandiga, saame: Viimane võrrand on identiteet, see tähendab, et see kehtib kõigi jaoks x, seega võrdsustame samade astmetega liikmete koefitsiendid x vasakul ja paremal küljel: Saadud süsteemist leiame: A = −6, B= −1. Selle tulemusena kirjutatakse konkreetne lahendus vormile Nüüd leiame homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse. Arvutame abikarakteristiku võrrandi juured: Seetõttu on vastava homogeense võrrandi üldlahendus järgmine: Niisiis, algse mittehomogeense võrrandi üldlahend väljendatakse valemiga

DE üldine integraal.

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Naljakas on aga see, et vastus on juba teada: täpsemalt tuleb lisada ka konstant: Üldintegraal on diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Suvaliste konstantide muutmise meetod. Lahendusnäited

Mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit. See tund on mõeldud neile õpilastele, kes on teemaga juba enam-vähem kursis. Kui oled alles alustamas kaugjuhtimispuldiga tutvumist, s.t. Kui oled teekann, siis soovitan alustada esimesest õppetükist: Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Lahendusnäited. Ja kui olete juba lõpetamas, siis loobuge võimalikust eelarvamusest, et meetod on keeruline. Sest ta on lihtne.

Millistel juhtudel kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit?

1) Lahendamiseks saab kasutada suvalise konstandi muutmise meetodit lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE. Kuna võrrand on esimest järku, siis on ka konstant (konstant) üks.

2) Mõne lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit teist järku lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Siin varieeruvad kaks konstanti (konstanti).

On loogiline eeldada, et õppetund koosneb kahest lõigust .... Kirjutasin selle ettepaneku ja umbes 10 minutit mõtlesin valusalt, mida muud tarka jama lisada, et praktilistele näidetele sujuv üleminek oleks. Kuid millegipärast pole pärast pühi mõtteid, kuigi tundub, et ma ei kuritarvitanud midagi. Nii et hüppame kohe esimesse lõiku.

Suvalise konstantse variatsiooni meetod lineaarse ebahomogeense esimest järku võrrandi jaoks

Enne suvalise konstandi muutmise meetodi kaalumist on soovitav artikliga tutvuda Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Selles tunnis me harjutasime esimene viis lahendada ebahomogeenne 1. järku DE. Tuletan teile meelde, et seda esimest lahendust nimetatakse asendusmeetod või Bernoulli meetod(mitte segi ajada Bernoulli võrrand!!!)

Nüüd kaalume teine ​​viis lahendada– suvalise konstandi muutmise meetod. Toon ainult kolm näidet ja võtan need ülaltoodud õppetunnist. Miks nii vähe? Sest tegelikult on teisel viisil lahendus väga sarnane esimesel viisil. Lisaks kasutatakse minu tähelepanekute kohaselt suvaliste konstantide muutmise meetodit harvemini kui asendusmeetodit.

Näide 1

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend (Diffur tunni näitest nr 2 Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)

Otsus: See võrrand on lineaarselt ebahomogeenne ja sellel on tuttav kuju:

Esimeses etapis on vaja lahendada lihtsam võrrand: see tähendab, et seame rumalalt parema külje nulliks - selle asemel kirjutame nulli. Võrrand, mida ma nimetan abivõrrand.

Selles näites peate lahendama järgmise abivõrrandi:

Enne meid eraldatav võrrand, mille lahendamine (ma loodan) pole teile enam keeruline:

Seega: on abivõrrandi üldlahend .

Teisel sammul asendada mõne konstant veel tundmatu funktsioon, mis sõltub "x"-st:

Siit ka meetodi nimi – muudame konstanti . Teise võimalusena võib konstant olla mõni funktsioon, mille peame nüüd leidma.

AT originaal mittehomogeenne võrrand, asendame:

Asendage võrrandis:

kontrollmoment - kaks vasakpoolset terminit tühistavad. Kui seda ei juhtu, peaksite otsima ülaltoodud viga.

Asendamise tulemusena saadakse eraldatavate muutujatega võrrand. Eraldage muutujad ja integreerige.

Milline õnnistus, ka eksponendid vähenevad:

Lisame leitud funktsioonile "tavalise" konstandi:

Viimases etapis tuletame meelde oma asendust:

Funktsioon just leitud!

Seega on üldine lahendus:

Vastus:ühine otsus:

Kui printida kaks lahendust välja, märkad kergesti, et mõlemal juhul leidsime samad integraalid. Ainus erinevus on lahendusalgoritmis.

Nüüd midagi keerulisemat, kommenteerin ka teist näidet:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend (Diffur tunni näitest nr 8 Lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE)

Otsus: Toome võrrandi vormile:

Seadke parem külg nulliks ja lahendage abivõrrand:

Eralda muutujad ja integreeri: Abivõrrandi üldlahendus:

Mittehomogeenses võrrandis teeme asendused:

Vastavalt toodete eristamise reeglile:

Asendage algsesse mittehomogeensesse võrrandisse:

Vasakpoolsed kaks terminit tühistavad, mis tähendab, et oleme õigel teel:

Integreerime osade kaupa. Lahendusse on juba kaasatud maitsev täht osade kaupa integreerimise valemist, seega kasutame näiteks tähti "a" ja "olla":

Lõpuks:

Vaatame nüüd asendust:

Vastus:ühine otsus:

Suvaliste konstantide muutmise meetod lineaarse ebahomogeense teist järku võrrandi jaoks konstantsete koefitsientidega

Tihti on kuulda arvamust, et suvaliste konstantide muutmise meetod teist järku võrrandi jaoks pole lihtne asi. Kuid ma arvan järgmist: tõenäoliselt tundub meetod paljudele keeruline, kuna see pole nii levinud. Kuid tegelikkuses pole erilisi raskusi - otsuse käik on selge, läbipaistev ja arusaadav. Ja ilus.

Meetodi valdamiseks on soovitav osata lahendada teist järku ebahomogeenseid võrrandeid, valides konkreetse lahenduse parema külje kuju järgi. See meetod artiklis üksikasjalikult arutatud. 2. järgu ebahomogeenne DE. Tuletame meelde, et konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarne ebahomogeenne võrrand on kujul:

Ülaltoodud õppetükis käsitletud valikumeetod töötab ainult piiratud arvul juhtudel, kui polünoomid, astendajad, siinused, koosinused on paremal pool. Aga mida teha, kui paremal on näiteks murd, logaritm, puutuja? Sellises olukorras tuleb appi konstantide varieerimise meetod.

Näide 4

Leia teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Otsus: Selle võrrandi paremal küljel on murdosa, seega võime kohe öelda, et konkreetse lahenduse valimise meetod ei tööta. Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Miski ei tähenda äikesetormi, lahenduse algus on üsna tavaline:

Otsime üles ühine otsus vastav homogeenne võrrandid:

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi: – saadakse konjugeeritud kompleksjuured, seega on üldine lahendus:

Pöörake tähelepanu üldlahenduse kirjele - kui sulgudes on, siis avage need.

Nüüd teeme peaaegu sama triki nagu esimest järku võrrandi puhul: muudame konstante , asendades need tundmatute funktsioonidega . St mittehomogeense üldlahendus Otsime võrrandeid kujul:

Kus - veel tundmatuid funktsioone.

See näeb välja nagu prügimägi, aga nüüd sorteerime kõik ära.

Funktsioonide tuletised toimivad tundmatutena. Meie eesmärk on leida tuletised ja leitud tuletised peavad vastama nii süsteemi esimesele kui ka teisele võrrandile.

Kust "mängud" tulevad? Kurg toob need. Vaatame eelnevalt saadud üldlahendust ja kirjutame:

Leiame tuletised:

Tegeles vasaku poolega. Mis on paremal?

on algse võrrandi parem pool, antud juhul:

Loengus käsitletakse LNDE - lineaarseid mittehomogeenseid diferentsiaalvõrrandeid. Vaadeldakse üldlahenduse struktuuri, LNDE lahendust suvaliste konstantide muutmise meetodil, LNDE lahendust konstantsete koefitsientidega ja paremat poolt eriline liik. Käsitletavaid küsimusi kasutatakse sundvõnkumiste uurimisel füüsikas, elektrotehnikas ja elektroonikas ning automaatjuhtimise teoorias.

1. 2. järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuur.

Mõelge esmalt suvalise järjestusega lineaarsele mittehomogeensele võrrandile:

Tähistust arvestades võime kirjutada:

Sel juhul eeldame, et selle võrrandi koefitsiendid ja parem pool on pidevad teatud intervallil.

Teoreem. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend mõnes valdkonnas on selle mis tahes lahendi ja vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Tõestus. Olgu Y mingi mittehomogeense võrrandi lahend.

Seejärel, asendades selle lahenduse algse võrrandiga, saame identiteedi:

Las olla
- põhisüsteem lineaarse homogeense võrrandi lahendid
. Siis saab homogeense võrrandi üldlahenduse kirjutada järgmiselt:

Täpsemalt, teist järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi korral on üldlahenduse struktuur järgmine:

kus
on vastava homogeense võrrandi põhilahenduste süsteem ja
- mittehomogeense võrrandi mis tahes konkreetne lahend.

Seega on lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks vaja leida vastava homogeense võrrandi üldlahend ja kuidagi leida ebahomogeense võrrandi üks konkreetne lahend. Tavaliselt leitakse see valiku teel. Konkreetse lahenduse valimise meetodeid käsitletakse järgmistes küsimustes.

2. Variatsioonimeetod

Praktikas on mugav rakendada suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Selleks leidke esmalt vastava homogeense võrrandi üldlahend kujul:

Seejärel määrake koefitsiendid C i funktsioonid alates X, otsitakse mittehomogeense võrrandi lahendust:

Seda saab näidata funktsioonide leidmiseks C i (x) peate lahendama võrrandisüsteemi:

Näide. lahendage võrrand

Lahendame lineaarse homogeense võrrandi

Mittehomogeense võrrandi lahendus näeb välja järgmine:

Koostame võrrandisüsteemi:

Lahendame selle süsteemi:

Seosest leiame funktsiooni Oh).

Nüüd leiame B(x).

Asendame saadud väärtused mittehomogeense võrrandi üldlahenduse valemis:

Lõplik vastus:

Üldiselt sobib suvaliste konstantide muutmise meetod lahenduste leidmiseks mis tahes lineaarsele mittehomogeensele võrrandile. Aga kuna vastava homogeense võrrandi lahendite fundamentaalse süsteemi leidmine võib olla üsna keeruline ülesanne, seda meetodit kasutatakse peamiselt konstantsete koefitsientidega mittehomogeensete võrrandite puhul.

3. Võrrandid parem pool eriline liik

Näib, et on võimalik esitada konkreetse lahenduse kuju sõltuvalt ebahomogeense võrrandi parema külje kujust.

On järgmised juhtumid:

I. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi parem pool on kujul:

kus on astme polünoom m.

Seejärel otsitakse konkreetset lahendust kujul:

Siin K(x) on sama astmega polünoom P(x) , kuid määratlemata koefitsientidega ja r- arv, mis näitab, mitu korda on arv  vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi tunnusvõrrandi juur.

Näide. lahendage võrrand
.

Lahendame vastava homogeense võrrandi:

Nüüd leiame esialgse mittehomogeense võrrandi konkreetse lahenduse.

Võrrelgem võrrandi paremat poolt ülalpool käsitletud parema külje kujuga.

Otsime konkreetset lahendust kujul:
, kus

Need.

Nüüd defineerime tundmatud koefitsiendid AGA ja AT.

Asendagem konkreetne lahendus üldkujul algse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandiga.

Niisiis, privaatne lahendus:

Siis lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus:

II. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi parem pool on kujul:

Siin R 1 (X) ja R 2 (X) on astme polünoomid m 1 ja m 2 vastavalt.

Siis on ebahomogeense võrrandi konkreetne lahendus järgmine:

kus number r näitab, mitu korda on arv
on vastava homogeense võrrandi tunnusvõrrandi juur ja K 1 (x) ja K 2 (x) – maksimaalselt astmepolünoomid m, kus m- kraadidest suurim m 1 ja m 2 .

Konkreetsete lahenduste tüüpide koondtabel

erinevat tüüpi õigete osade jaoks

	Diferentsiaalvõrrandi parem pool	iseloomulik võrrand	Privaatsuse tüübid
		1. Arv ei ole tunnusvõrrandi juur
		2. Arv on iseloomuliku kordsusvõrrandi juur
		1. Number ei ole iseloomuliku võrrandi juur
		2. Number on iseloomuliku kordsusvõrrandi juur
		1. Numbrid
		2. Numbrid on iseloomuliku kordsusvõrrandi juured
		1. Numbrid ei ole iseloomuliku kordsusvõrrandi juured
		2. Numbrid on iseloomuliku kordsusvõrrandi juured

Pange tähele, et kui võrrandi parem pool on ülalpool vaadeldud kujuga avaldiste kombinatsioon, siis lahendus leitakse abivõrrandite lahenduste kombinatsioonina, millest igaühel on kombinatsioonis sisalduvale avaldisele vastav parem pool.

Need. kui võrrand näeb välja selline:
, siis on selle võrrandi konkreetne lahendus
kus juures 1 ja juures 2 on abivõrrandite konkreetsed lahendused

ja

Illustreerimiseks lahendame ülaltoodud näite teistmoodi.

Näide. lahendage võrrand

Esitame diferentsiaalvõrrandi paremat poolt kahe funktsiooni summana f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- patt x).

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi:

Saame: st.

Kokku:

Need. soovitud konkreetne lahendus on kujul:

Mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus:

Vaatleme näiteid kirjeldatud meetodite rakendamisest.

Näide 1.. lahendage võrrand

Koostame vastavale lineaarsele homogeensele diferentsiaalvõrrandile iseloomuliku võrrandi:

Nüüd leiame ebahomogeense võrrandi konkreetse lahenduse kujul:

Kasutame määramatute koefitsientide meetodit.

Asendades algse võrrandi, saame:

Konkreetne lahendus näeb välja selline:

Lineaarse mittehomogeense võrrandi üldlahendus:

Näide. lahendage võrrand

Iseloomulik võrrand:

Homogeense võrrandi üldlahend:

Mittehomogeense võrrandi konkreetne lahendus:
.

Leiame tuletised ja asendame need algsesse mittehomogeensesse võrrandisse:

Saame mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse:

See artikkel paljastab konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamise küsimuse. Käsitletakse teooriat koos näidetega antud probleemidest. Arusaamatute terminite lahtimõtestamiseks on vaja viidata diferentsiaalvõrrandite teooria põhidefinitsioonide ja mõistete teemale.

Vaatleme teist järku lineaarset diferentsiaalvõrrandit (LDE) konstantsete koefitsientidega kujul y "" + p y " + q y \u003d f (x) , kus p ja q on suvalised arvud ja olemasolev funktsioon f (x) on pidev integreerimisintervallil x .

Liigume üle LIDE üldlahendusteoreemi sõnastamise juurde.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üldine lahendusteoreem LDNU jaoks

1. teoreem

Üldlahend, mis asub intervallil x, ebahomogeensele diferentsiaalvõrrandile kujul y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) pidevate integreerimiskoefitsientidega x intervallil f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ja pidev funktsioon f (x) on võrdne üldlahenduse y 0 summaga, mis vastab LODE-le ja mõnele konkreetsele lahendile y ~ , kus algne mittehomogeenne võrrand on y = y 0 + y ~ .

See näitab, et sellise teist järku võrrandi lahend on kujul y = y 0 + y ~ . Algoritmi y 0 leidmiseks käsitletakse artiklis, mis käsitleb teist järku lineaarseid homogeenseid konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandeid. Pärast seda tuleks jätkata y ~ definitsiooniga.

LIDE konkreetse lahenduse valik sõltub võrrandi paremal küljel asuva saadaoleva funktsiooni f (x) tüübist. Selleks on vaja eraldi vaadelda konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarsete mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendeid.

Kui f (x) peetakse n-nda astme polünoomiks f (x) = P n (x), siis järeldub, et LIDE konkreetne lahendus leitakse valemiga kujul y ~ = Q n (x) ) x γ , kus Q n ( x) on n-astme polünoom, r on karakteristiku võrrandi nulljuurte arv. Y ~ väärtus on konkreetne lahendus y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , siis saadaolevad koefitsiendid, mis on määratletud polünoomiga
Q n (x) , leiame määramatute kordajate meetodil võrrandist y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 1

Arvutage Cauchy teoreemi abil y "" - 2 y " = x 2 + 1, y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Otsus

Teisisõnu on vaja üle minna teist järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi konkreetsele lahendile konstantsete koefitsientidega y "" - 2 y " = x 2 + 1 , mis vastab antud tingimustele y (0) = 2, y" (0) = 1 4 .

Lineaarse ebahomogeense võrrandi üldlahend on üldlahendi summa, mis vastab võrrandile y 0 või ebahomogeense võrrandi y ~ konkreetsele lahendile, st y = y 0 + y ~ .

Esiteks leiame LNDE jaoks üldise lahenduse ja seejärel konkreetse lahenduse.

Liigume edasi y 0 leidmise juurde. Iseloomuliku võrrandi kirjutamine aitab leida juuri. Me saame sellest aru

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) = 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Leidsime, et juured on erinevad ja tõelised. Seetõttu kirjutame

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Leiame y ~ . Näha on, et antud võrrandi parem pool on teise astme polünoom, siis on üks juurtest võrdne nulliga. Siit saame teada, et y ~ jaoks on konkreetne lahendus

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, kus A, B, C väärtused võta määramata koefitsiendid.

Leiame need võrrandist kujul y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Siis saame selle:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Võrdsustades koefitsiendid samade astendajatega x , saame lineaaravaldiste süsteemi - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Mis tahes viisil lahendamisel leiame koefitsiendid ja kirjutame: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 ja y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Seda kirjet nimetatakse algse lineaarse ebahomogeense teist järku konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandi üldlahenduseks.

Konkreetse lahenduse leidmiseks, mis vastab tingimustele y (0) = 2, y " (0) = 1 4 , on vaja määrata väärtused C1 ja C2, mis põhineb võrdusel kujul y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Saame selle:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Töötame saadud võrrandisüsteemiga kujul C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , kus C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 .

Cauchy teoreemi rakendades on see meil olemas

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Vastus: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kui funktsioon f (x) on esitatud polünoomi astmega n ja astendaja f (x) = P n (x) e a x korrutis, siis siit saame, et teist järku LIDE konkreetne lahendus on võrrand kujul y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , kus Q n (x) on n-nda astme polünoom ja r on karakteristiku võrrandi juurte arv, mis on võrdne α .

Q n (x)-sse kuuluvad koefitsiendid leitakse võrrandiga y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 2

Leidke diferentsiaalvõrrandi üldlahend kujul y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Otsus

Võrrand üldine vaade y = y 0 + y ~ . Määratud võrrand vastab LOD y "" - 2 y " = 0. Eelnev näide näitab, et selle juured on võrdsed k1 = 0 ja k 2 = 2 ja y 0 = C 1 + C 2 e 2 x vastavalt tunnusvõrrandile.

On näha, et võrrandi parem pool on x 2 + 1 · e x . Siit leitakse LNDE läbi y ~ = e a x Q n (x) x γ , kus Q n (x) , mis on teise astme polünoom, kus α = 1 ja r = 0 , kuna karakteristiku võrrand ei mille juur on võrdne 1-ga. Seetõttu saame selle

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C.

A, B, C on tundmatud koefitsiendid, mida saab leida võrrandiga y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Sain aru

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Võrdsustame samade koefitsientide näitajad ja saame lineaarvõrrandisüsteemi. Siit leiame A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Vastus: on näha, et y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 on LIDE konkreetne lahendus ja y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Kui funktsioon on kirjutatud kujul f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ja A 1 ja IN 1 on arvud, siis võrrand kujul y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , kus A ja B loetakse määramatuteks koefitsientideks ja r on iseloomuliku võrrandiga seotud komplekssete konjugaatjuurte arv, mis on võrdne ± i β . Sel juhul toimub koefitsientide otsimine võrrandiga y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 3

Leia üldlahend diferentsiaalvõrrandile kujul y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Otsus

Enne tunnusvõrrandi kirjutamist leiame y 0 . Siis

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Meil on paar keerulisi konjugeeritud juuri. Muutame ja saame:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Karakteristrivõrrandist pärit juurteks loetakse konjugeeritud paar ± 2 i , siis f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . See näitab, et y ~ otsing tehakse y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x järgi. Tundmatud koefitsiente A ja B otsitakse võrdusest kujul y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Muutame:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Siis on näha, et

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Siinuse ja koosinuse koefitsiente on vaja võrdsustada. Saame vormi süsteemi:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Sellest järeldub, et y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Vastus: loetakse konstantsete koefitsientidega teist järku algse LIDE üldlahenduseks

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kui f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , siis y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Meil ​​on, et r on iseloomuliku võrrandiga seotud keeruliste konjugeeritud juurte paaride arv, mis on võrdne α ± i β , kus P n (x) , Q k (x) , L m ( x) ja N m (x) on polünoomid astmega n, k, m, kus m = m a x (n, k). Koefitsientide leidmine L m (x) ja N m (x) saadakse võrrandi y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) alusel.

Näide 4

Leidke üldlahend y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Otsus

Tingimusest on selge, et

α = 3, β = 5, Pn (x) = -38 x -45, Q k (x) = -8 x + 5, n = 1, k = 1

Siis m = m a x (n, k) = 1. Leiame y 0, kirjutades esmalt vormile iseloomuliku võrrandi:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Leidsime, et juured on tõelised ja eristatavad. Seega y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Järgmiseks tuleb otsida üldlahendus vormi mittehomogeensel võrrandil y ~

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

On teada, et A, B, C on koefitsiendid, r = 0, kuna puudub konjugeeritud juurte paar, mis on seotud karakteristiku võrrandiga α ± i β = 3 ± 5 · i. Need koefitsiendid leitakse saadud võrrandist:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Tuletise leidmine ja sarnased terminid annab

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Pärast koefitsientide võrdsustamist saame vormi süsteemi

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Kõigest sellest järeldub

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)patt(5x))

Vastus: nüüd on antud lineaarvõrrandi üldlahend saadud:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm LDNU lahendamiseks

Definitsioon 1

Mis tahes muud tüüpi funktsioon f (x) lahenduse jaoks näeb ette lahendusalgoritmi:

• vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahenduse leidmine, kus y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , kus y 1 ja y2 on lineaarselt sõltumatud LODE erilahendused, Alates 1 ja Alates 2 peetakse suvalisteks konstantideks;
• aktsepteerimine LIDE üldlahendusena y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• funktsiooni tuletiste defineerimine süsteemi kaudu kujul C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , ja funktsioonide leidmine C 1 (x) ja C2(x) integreerimise kaudu.

Näide 5

Leidke y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x üldlahendus.

Otsus

Jätkame iseloomuliku võrrandi kirjutamisega, olles eelnevalt kirjutanud y 0 , y "" + 36 y = 0 . Kirjutame ja lahendame:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Meil on, et antud võrrandi üldlahenduse kirje saab kujul y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Tuleb minna üle tuletisfunktsioonide definitsioonile C 1 (x) ja C2(x) võrranditega süsteemi järgi:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Selle kohta tuleb teha otsus C 1 "(x) ja C2" (x) kasutades mis tahes meetodit. Siis kirjutame:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Kõik võrrandid peavad olema integreeritud. Seejärel kirjutame saadud võrrandid:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Sellest järeldub, et üldlahendus on järgmisel kujul:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Vastus: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter