Sündmuse 2 tegevus. Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid: põhiülesanded

ärakiri

1 vastust = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = a) 126; b) P(4, 5, 6) = a) P 4 = 24; b) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, Ebapiisav, 9, Toimingud sündmustele Sündmust nimetatakse juhuslikuks või võimalikuks, kui testi tulemus viib selle sündmuse toimumiseni või mittetoimumiseni . Näiteks vapi kadumine mündi viskamisel; 3-ga võrdne punktide arvuga näo kukkumine täringuheites. Sündmust nimetatakse kindlaks, kui see katsetingimustes kindlasti toimub. Näiteks valge palli väljavõtmine urnist, mis sisaldab ainult valgeid palle; täringu viskamisel mitte rohkem kui 6 punkti langemine. Sündmust peetakse võimatuks, kui testi tingimustes on teada, et seda ei juhtu. Näiteks seitsme punkti kaotus ühe täringu viskamisel; tavalisest kaardipakist rohkem kui nelja ässa tõmbamine. Juhuslikke sündmusi tähistatakse tähestiku A, B, C jne ladina tähtedega. Sündmused on ühised ja kokkusobimatud. Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui katsetingimustes välistab ühe neist esinemine teiste toimumise. Näiteks vapi ja saba kaotamine ühe mündiviskega; tabanud ja tabanud ühe löögiga. Sündmusi nimetatakse ühisteks, kui katsetingimustes ei välista ühe neist esinemine teiste esinemist. Näiteks kahe vintpüssi üheaegsel tulistamisel märklaua tabamine ja kadumine; kahe mündi viskamisel kahe vapi kaotus. Sündmusi nimetatakse võrdselt tõenäolisteks, kui antud testi tingimustes on kõigi nende sündmuste toimumise tõenäosus sama. Näited võrdselt tõenäolistest sündmustest: vapi ja sabade kaotamine ühe mündiviskega; 13

2 punktide arvu langetamine 1-lt 6-le ühe täringu viskamisel. Sündmust C, mis seisneb vähemalt ühe sündmuse A või B toimumises, nimetatakse sündmuste summaks (ühenduseks) ja tähistatakse C = A + B (C = A B). Sündmust C, mis seisneb sündmuste A ja B ühises toimumises, nimetatakse nende sündmuste korrutiseks (ristumiskohaks) ja tähistatakse C = A B (C = A B). Sündmust C, mis seisneb selles, et sündmust a ei toimu, nimetatakse vastupidiseks sündmuseks ja seda tähistatakse tähega A. Vastandsündmuste summaks on kindel sündmus Ω ehk A + A = Ω. Vastandlike sündmuste korrutis on võimatu sündmus (V), st A A = V. Võimalike sündmuste hulk moodustab täieliku rühma, kui testimise tulemusena ilmneb vähemalt üks neist sündmustest: n A i = Ω. i=1 Näiteks täringu viskamisel moodustavad väljalangemised ühest kuni kuue punktini täieliku sündmuste rühma. Sündmus A neljast testitud lambipirnist, mis kõik on defektsed; sündmus B kõik pirnid on korralikud. Mida tähendavad sündmused: 1) A + B; 2) A B; 3) A; 4) B? Lahendus. 1) Sündmus A on see, et kõik lambipirnid on defektsed ja sündmus B, et kõik lambipirnid on head. Sündmuste summa A + B tähendab, et kõik pirnid peavad olema kas defektsed või korralikud. 2) Sündmuse A B pirnid peavad olema nii defektsed kui ka korralikud, seega on sündmus A B võimatu. 3) A kõik pirnid on defektsed, seega A vähemalt üks pirn on hea. 4) B kõik pirnid on head, seega B vähemalt üks pirn on defektne. neliteist

3 2.2. Juhuslike arvude tabelist võetakse juhuslikult üks arv. Sündmus A valitud arv jagub 2-ga, sündmus B jagub valitud arv 3-ga. Mida sündmused tähendavad: 1) A+B; 2) A B; 3) A B? Lahendus. 1) Sündmuste summa a + B on sündmus, mis seisneb vähemalt ühe sündmuse A või B toimumises, see tähendab, et juhuslikult valitud arv peab jaguma kas 2, 3 või 6-ga. 2) sündmuste A B korrutis tähendab, et sündmused A ja B toimuvad samal ajal. Seetõttu peab valitud arv jaguma 6-ga. 3) A B valitud arv ei jagu arvuga Kaks laskurit lasevad ühe lasu samasse märklauda. Sündmus A tabab esimene laskur sihtmärki; sündmus B tabab teine ​​laskur sihtmärki. Mida tähendavad sündmused: a) A + B; b) A B; c) A + B; d) A B? Lahendus. a) Sündmus A+B tähendab: vähemalt üks laskuritest tabab märklauda; b) sündmus A B tähendab: mõlemad nooled tabavad sihtmärki; c) sündmus A+B tähendab: vähemalt üks möödalaskmine; d) sündmused A B tähendab: mõlemad eksivad Kaks maletajat mängivad ühe partii. Ürituse A võidab esimene mängija, sündmuse B teine ​​mängija. Milline sündmus tuleks määratud komplekti lisada, et saada täielik sündmusterühm? Lahendus. Sündmuse C joonistamine Antud kaks topeltplokki 1 ja a 2. Kirjutage üles sündmus, et süsteem suletakse. Lahendus. Tutvustame järgmist tähistust: 1 sündmus, mis seisneb selles, et plokk a 1 on teenindatav; a1 a A 2 2 sündmus, mis blokeerib a 2 on terve; S on sündmus, et süsteem on suletud. Plokid on üleliigsed, seega süsteem suletakse, kui vähemalt üks plokkidest töötab, st S = A 1 + A Antud on kolmest plokist koosnev süsteem a 1, a 2, b. Kirjutage sündmused üles - 15

4 lipsu, mis seisneb selles, et süsteem on suletud. Lahendus. Tutvustame tähistust: A 1 a a 1 2 b järgmine sündmus, mis seisneb selles, et plokk a 1 on kasutatav; 2 sündmus, mis blokeerib 2, on terve; B sündmus, mis seisneb selles, et plokk b on terve; S on sündmus, et süsteem on suletud. Jagame süsteemi kaheks osaks. Duplikaatplokkidest koosneva süsteemi sulgemise, nagu näeme, saab kirjutada sündmusena A 1 + A 2. Kogu süsteemi sulgemiseks on alati vajalik ploki B töövõime, seega S = (A 1 + A 2) B. Iseseisva lahenduse ülesanded 2.7 . Juhuslike arvude tabelist võetakse juhuslikult üks arv. Sündmus A valitud arv jagub 5-ga, sündmus B lõpeb nulliga. Mida tähendavad sündmused: 1) A+B; 2) A B; 3) A B; 4) A B? 2.8. Kolm laskurit tulistavad märklauda. Sündmused: 1 tabamus märklauale esimese laskuri poolt; 2 tabas teine ​​laskur; Kolmanda laskuri tabamus 3. Koostage sündmustest täielik rühm Karbis on mitu ühesuurust, kuid erinevat värvi palli: valge, punane, sinine. Sündmus K i juhuslikult võetud punane pall; sündmus B i on valge; sündmus C i on sinine. Kaks palli võetakse välja järjest (i = 1, 2 on väljavõetud pallide seerianumber). Kirjutage üles järgmised sündmused: a) sündmus A, juhuslikult võetud teine ​​pall osutus siniseks; b) sündmus A; c) sündmus B kas mõlemad pallid on punased? Moodusta täielik ürituste grupp. Sihtmärki tehakse kolm lasku. Arvestades sündmusi A i (i = 1, 2, 3), tabab sihtmärki i-nda laskmise ajal. Väljendage A i ja A i kaudu järgmisi sündmusi: 1) mitte ühtegi tabamust 16-s

5 väravat; 2) üks tabamus märklauale; 3) kaks tabamust märklauale; 4) kolm tabamust märklauale; 5) vähemalt üks tabamus märklauale; 6) vähemalt üks möödalaskmine Kas kokkusobimatud on järgmised sündmused: a) mündiviskamise kogemus; sündmused: A vapi välimus, B numbrite ilmumine; b) kogeda kahte lasku märklauda; sündmused: Ja vähemalt üks tabamus, vähemalt üks möödalask Kas on võrdselt võimalikud järgmised sündmused: a) mündiviskamise kogemus; sündmused: A vapi välimus, B numbrite ilmumine; b) painutatud mündi viskamise kogemus; sündmused: A vapi välimus, B numbrite ilmumine; c) kogemus: lask sihtmärki; sündmused: tabamus, B möödalaskmine Kas järgmised sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma: a) mündiviske kogemus; sündmused: A vapp, B-kuju; b) kahe mündi viskamise kogemus; sündmused: A kaks vappi, B kaks numbrit Viska täringut. Nimetagem sündmused: A kaotus 6 punkti, B kaotus 3 punkti, C kaotus paarisarv punktid; D langeb arv punkte, mis on kolmekordne. Millised on nende sündmuste seosed? Olgu A, B, C suvalised sündmused. Mida tähendavad järgmised sündmused: ABC; ABC; A+BC; ABC+ABC+ +ABC; ABC + ABC + ABC + ABC? Leidke suvaliste sündmuste A, B, C kaudu avaldised järgmistele sündmustele: a) toimus ainult sündmus A; b) A ja B juhtusid, C ei juhtunud; c) kõik kolm sündmust on aset leidnud; d) vähemalt üks neist sündmustest on aset leidnud; e) on toimunud vähemalt kaks sündmust; e) on toimunud üks ja ainult üks sündmus; g) on ​​toimunud kaks ja ainult kaks sündmust; 17

TÕENÄOSUSTEOORIA ELEMENDID. Tõenäosusteooria on matemaatika haru, mis uurib juhuslikes katsetes tekkivaid mustreid. Testi tulemus on testi suhtes juhuslik, kui selle käigus

1 Kombinatoorika põhimõisted 1 Rakendus Definitsioon Kõigi naturaalarvude korrutist 1-st n-ni (kaasa arvatud) nimetatakse n-teguriks ja see kirjutatakse Näide Arvuta 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Usaldusväärne üritus. Sündmust nimetatakse kindlaks, kui see tingimata toimub teatud tingimustel. Sümbol: Ω (tõene). Võimatu sündmus. Sündmus, mis

TEEMA 1. TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTED. KLASSIKALISED JA GEOMEETRILISED TÕENÄOSUSED Tõenäosusteooria õppeaine. Juhusliku sündmuse mõiste. Elementaarsete sündmuste ruum. klassikaline ja geomeetriline

1.1. Tõenäosuse klassikaline definitsioon Tõenäosusteooria põhimõiste on juhusliku sündmuse mõiste. Juhuslik sündmus on sündmus, mis teatud tingimustel võib

Tõenäosusteooria põhisätted Sündmust nimetatakse juhuslikuks teatud tingimuste suhtes, mis nende tingimuste rakendamisel võivad toimuda või mitte toimuda. Tõenäosusteoorial on

( σ-algebra - juhuslike sündmuste väli - Kolmogorovi aksioomide esimene rühm - Kolmogorovi aksioomide teine ​​rühm - tõenäosusteooria põhivalemid - tõenäosuse liitmise teoreem - tingimuslik tõenäosus

Tõenäosusteooria teema Erinevates teaduse ja tehnika harudes tuleb sageli ette olukordi, kus iga paljude tehtud katsete tulemust ei ole võimalik ette ennustada, kuid seda on võimalik uurida.

SISUKORD TEEMA III. SISSEJUHATUS TÕENÄOSUSTEOORIASSE... 2 1. TEADUSMATERJALID... 2 1.1. PÕHIMÕISTED JA MÕISTED... 2 1.2. TEGEVUSED JUHUSLIKUTE SÜNDMUSTE KORRAL... 4 1.3. KLASSIKALINE MÄÄRATLUS

3. TUND SISSEJUHATUS TÕENÄOSUSTEOORIA METOODIKA SOOVITUSED MISIS 2013 KINNITUD: D.E. Kaputkin Haridus- ja metoodikakomisjoni esimees mägede haridusosakonnaga sõlmitud lepingu rakendamise eest.

1.6. Sõltumatud testid. Bernoulli valem Tõenäosuslike ülesannete lahendamisel tuleb sageli kokku puutuda olukordadega, kus sama testi korratakse mitu korda ja iga testi tulemus

Tõenäosus. Mis see on? Tõenäosusteooria, nagu nimigi ütleb, tegeleb tõenäosustega. Meid ümbritsevad paljud asjad ja nähtused, mille kohta, olgu teadus kuitahes kõrgetasemeline, on võimatu täpseid ennustusi teha.

Praktika 1. Tõenäosuse määramine Juhuslike sündmuste omadused 1. [Wentzel E.S., 1.1.] Kas järgmised sündmuste rühmad moodustavad tervikliku rühma: a) Mündi viskamise kogemus; sündmused: b) Viskekogemus

TEEMA. TÕENÄOSUSTE LIIDEMIS- JA KORRUMISTEOREEMID Tehted juhuslike sündmustega. Sündmuste algebra. Sündmuste ühilduvuse mõiste. Täielik ürituste rühm. Juhuslike sündmuste sõltuvus ja sõltumatus. Tingimuslik

2. loeng. Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid Sündmuse summa ja korrutis

Matemaatika (BkPl-100) M.P. Kharlamov 2011/2012 õppeaasta, 1. semester Loeng 5. Teema: Kombinatoorika, sissejuhatus tõenäosusteooriasse 1 Teema: Kombinatoorika Kombinatoorika on matemaatika haru, mida uuritakse

Tunni teema: "Kõige lihtsamad tõenäosusülesanded." 11. klass Matemaatikaõpetaja Pereverzeva N.S. MOU Lütseum 6 Märkimisväärne on, et hasartmängudest alguse saanud teadus tõotab kujuneda kõige olulisemaks.

Tõenäosusteooria elemendid. Plaan. 1. Sündmused, sündmuste liigid. 2. Sündmuse tõenäosus a) Sündmuse klassikaline tõenäosus. b) Sündmuse statistiline tõenäosus. 3. Sündmuste algebra a) Sündmuste summa. Tõenäosus

Teema 33 "Sündmuste tõenäosus" Me kõik ütleme sageli, et "see on uskumatu", "tõenäolisem", "see on ebatõenäoline" jne, kui püüame sündmuse toimumist ennustada. Kus

Föderaalne Haridusagentuur Tomski Riiklik Juhtimissüsteemide ja raadioelektroonika ülikool NE Lugina TÕENÄOSUSTEOORIA TÖÖTUBA Õpik Tomsk 2006 Arvustajad: Cand.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Loeng 1 Juhuslikud sündmused Toimingud sündmustele Õppejõud: I. Gusseva TÕENÄOSUSTEOORIA Sissejuhatus Tõenäosusteooria käsitleb

JUHUSLIKU SÜNDMUSE TÕENÄOSUS Kolmogorovi aksioomid 1933. aastal esitas AN Kolmogorov oma raamatus "Tõenäosusteooria põhimõisted" tõenäosusteooria aksiomaatilise põhjenduse. "See tähendab, et pärast

Kodutöö 1 "Tõenäosusteooria" Ülesanne 1. 1.1. Seal on viis piletit ühe rubla väärtuses, kolm piletit kolme rubla eest ja kaks piletit viie rubla eest. Juhuslikult loositakse välja kolm piletit. Määrake tõenäosus

Rakendusmatemaatika eksam Majanduskõrgkooli korrespondentõppe 2. kursuse üliõpilastele, ettevalmistuse suund 08.03.01 ehitus Variant 1 1) Naturaalarv, mis ei ületa

Praktiline töö 3 Sündmuste algebra. Tõenäosuste liitmine ja korrutamine Töö eesmärk: valdada ühissündmuste tõenäosuste arvutamist, tõenäosuse defineerimist summa- ja korrutisvalemite abil. Varustus

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUSMINISTEERIUM VOLGOGRADI RIIKLIK TEHNIKAÜLIKOOL VOLGA POLÜTEHNIKA INSTITUUT MATEMAATIKA OSAKOND Tõenäosusteooria (sissejuhatus) 1. osa Metoodika

Matemaatika ja informaatika osakond Matemaatika Õppe- ja metoodiline kompleks kaugtehnoloogiat kasutavatele keskeriõppe õpilastele Moodul 6 Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemendid

TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTED. 3.1. Juhuslikud sündmused. Iga teadus tegutseb materiaalse maailma nähtusi uurides teatud mõistetega, mille hulgas on tingimata fundamentaalseid;

Praktiline töö 2 Teema 2 Kogutõenäosuse valem ja Bayesi valem Katsete kordamine (Bernoulli skeem). Ütleme, et sündmused H 1, H 2, H n moodustavad tervikliku rühma, kui katse tulemusena:

13 Tõenäosuste liitmine ja korrutamine Sündmust A nimetatakse sündmuse B erijuhtumiks, kui A toimumisel toimub B ja B registreeritakse: Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks, kui igaüks neist on erijuhtum.

KOMBINAATORILINE TÕENÄOSUS 5. teema Loengu sisu 1 Sissejuhatus 2 3 4 Järgmine lõik 1 Sissejuhatus 2 3 4 Ülesanne... Ülesanne... Ülesanne... ... ja lahendus: Tüdruk

Loengu teema: SÜNDMUSTE ALGEBRA TÕENÄOSUSE PÕHITEOREED Sündmuste algebra Sündmuste summat nimetatakse sündmuseks S = +, mis seisneb vähemalt ühe neist toimumises Sündmuste korrutis ja nn.

9. loeng

KONTROLLÜLESANDED Ekspertiis 1 Variant 1 1. Kauplusesse saabunud 0 keraamikatoote hulgas on 4 defektset toodet. Kvaliteedi kontrollimiseks valib kaupleja juhuslikult kaks toodet. Leidke tõenäosus

(definitsioonid - juhuslik sündmus - tehted sündmuste tõenäosusega elementaartulemuste diskreetses ruumis klassikaline tõenäosuse määratlus näide hüpergeomeetrilise jaotuse näide

PRCTICUM Kombinatoorika põhivalemid Sündmuste liigid Toimingud sündmustele Klassikaline tõenäosus Geomeetriline tõenäosus Kombinatoorika põhivalemid Kombinatoorika uurib kombinatsioonide arvu,

LOENG 1 TÕENÄOSUSTEOORIA Tõenäosusteooria on teadus, mis uurib juhuslike nähtuste seaduspärasusi. Juhuslik nähtus on selline nähtus, mis korduval reprodutseerimisel sama

1 Tõenäosus Eksperimentaalseid andmeid töödeldakse erinevate meetoditega. Tavaliselt on teadlane saanud katseandmeid ühe või mitme katsealuste rühma kohta ja nende põhjal otsustanud

Tõenäosusteooria alused Loeng 2 Sisukord 1. Tingimuslik tõenäosus 2. Sündmuste korrutise tõenäosus 3. Sündmuste summa tõenäosus 4. Kogutõenäosuse valem Sõltuvad ja sõltumatud sündmused Definitsioon

Teema: Tõenäosusteooria Distsipliin: Matemaatika Autorid: Nefedova G.A. Kuupäev: 9.0.0. Juhusliku sündmuse tõenäosus võib olla võrdne. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne.

Tõenäosusteooria loenguplaan P Tõenäosusest kui teadusest P Tõenäosuse põhimõisted P Juhusliku sündmuse sagedus Tõenäosuse määratlus P 4 Kombinatoorika rakendamine loendamisel

Chiv kuni S sündmuse, mis seisneb selles, et süsteem pole suletud, saab kirjutada: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Sarnaselt ülesannete 2.5, 2.6 lahendusega saame S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Teema 8 Diskreetsed juhuslikud suurused. Sageli on juhusliku katse tulemuseks arv. Näiteks võite täringut visata ja saada ühe järgmistest numbritest:,3,4,5,6. Sõita saab tanklasse

Tingimuslik tõenäosus. Tõenäosuse korrutamise teoreem Arv:..B Ülesanne: Sõltumatute sündmuste A ja B ühise toimumise tõenäosus määratakse valemiga Vastused:. P(A)PA(B)). P(A) + P(B)).

Loeng 10 TEEMA Tõenäosusteooria alused (2. osa). Autor: Maksim Igorevitš Pisarevsky, Riikliku Tuumauuringute Tuumaülikooli MEPhI ülikoolieelse koolituse keskuse lektor. Moskva, 2017 Mõisted ja omadused Teooria põhidefinitsioonid

Ülesanne Tõenäosusteooria ülesannete lahendamine Teema: "Juhusliku sündmuse tõenäosus." Ülesanne. Münti visatakse kolm korda järjest. Katse tulemuse all peame silmas jada X X X. kus iga

Test 01 1. Juhuslikud sündmused ja nende klassifikatsioon. 2. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus. 3. Karbis on 15 punast, 9 sinist ja 6 rohelist palli. Juhuslikult loositakse 6 palli. Mis on tõenäosus

1. TUND JUHUSLIKUD SÜNDMUSED Loodusteaduse põhimõisteks on eksperimendi kontseptsioon, olenemata sellest, loodusest või uurijast selle katse läbiviijaks

Ülesannete lahendamine Tšudesenko tõenäosusteooria ülesannete kogust -0. Variant 6 Ülesanne. Visatakse kaks täringut. Määrake tõenäosus, et: a) punktide summa ei ületa N; b) töö

TOMSK RIIKÜLIKÜLIK Majandusteaduskond MAJANDUSTEooria Tõenäosusteooria ja MATEMAATILISE STATISTIKA TÖÖTUBA OSA Tomsk 06 KINNITUD matemaatiliste meetodite ja teabe osakonna poolt

1 I OSA. TÕENÄOSUSTEOORIA PEATÜKK 1. 1. Kombinatoorika elemendid Definitsioon 1. Näited: Definitsioon. -factorial on arv, mida tähistab !, while! = 1** * kõigi naturaalarvude 1, ; Enamgi veel,

Lõik: Üldmõisted Tõenäosusteooria Juhuslikud sündmused Definitsioon: Tõenäosusteooria on matemaatikateadus, mis uurib juhuslike nähtuste kvantitatiivseid mustreid Tõenäosusteooria ei ole

Hindamisvahendid jooksva edusammude jälgimiseks, distsipliini valdamise tulemustel põhinev vahetunnistus ning õpilaste iseseisva töö hariduslik ja metoodiline tugi 1 Kontrolltöö variandid

Vorobjov V.V. "Lütseum", Kalatšinsk, Omski piirkond Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika probleemide lahendamise töötuba

A.V. Klubita tõenäosusteooria õpik Nižni Novgorod 06 Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kutsekõrgharidusasutus

Ülesannete raamat Tšudesenko, tõenäosusteooria, variant Visatakse kaks täringut. Määrata tõenäosus, et: a punktide arvu summa ei ületa N ; b punktide arvu korrutis ei ületa N; sisse

Koostanud: meditsiinilise ja bioloogilise füüsika osakonna dotsent Romanova N.Yu. Tõenäosusteooria 1 loeng Sissejuhatus. Tõenäosusteooria on matemaatikateadus, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid.

MVDubatovskaja tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika loeng 3 Tõenäosuste määramise meetodid 0 Tõenäosuste klassikaline määratlus Me nimetame kõiki võimalikke katse tulemusi elementaarseks

1. Rong koosneb 12 vagunist. Iga 7 reisijast valib juhuslikult mis tahes auto. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosused: A = (kõik reisijad astusid kolme esimese auto peale); B = (kõik reisijad sattusid erinevasse

Tõenäosusteooria elemendid Juhuslikud sündmused Deterministlikud protsessid Teaduses ja tehnikas vaadeldakse protsesse, mille tulemust saab kindlalt ennustada: Kui juhi otstele rakendada erinevust

Liit

1 Klassikaline tõenäosuse definitsioon 1 Kolmest kaardist koosnev pakk segatakse hoolikalt Leia tõenäosus, et kõik neli ässa on üksteise järel pakis ilma teisi kaarte vahele segamata Lahendus number

3. loeng TINGIMUSLIK TÕENÄOSUS JA SÜNDMUSTE SÕLTUMATUS KOGU TÕENÄOSUSE VALEM JA BAYESI TEOREEM LOENGU EESMÄRK: defineerida sündmuste tingimusliku tõenäosuse ja sõltumatuse mõisted; korrutamisreegli konstrueerimine

KONTROLLÜLESANDED Ülesanne. On vaja lahendada teie valiku numbrile vastav probleem. Karbis on nelja värvi mähised: valge 5 punane roheline sinine 0. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult

1. Korvis on 14 õuna, neist 4 on punased. Juhuslikult (ilma tagastamata) said nad 4 õuna. Leia tõenäosus, et tabatakse täpselt 3 punast. 2. Juhuslikult koostatakse nimekiri 20 ärikõnest.

1. Arvud 1,..., n on juhuslikus järjekorras. Leia tõenäosus, et arvud 1, 2 ja 3 on etteantud järjekorras kõrvuti. 2. Kümnest meeskonnast pääseb finaali neli. Eeldusel, et iga

LIITRIIGI EELARVELINE KÕRGHARIDUSASUTUS "Tšeljabinski Riiklik Kultuuri- ja Kunstiakadeemia" Informaatika osakond TÕENÄOSUSTEOORIA

TEEMA 1 Kombinatoorika Tõenäosuste arvutamine Ülesanne 1B Jalgpalli karikavõistlustel osaleb 17 võistkonda Mitu võimalust on kuld-, hõbe- ja pronksmedaleid jagada? Kuna

Tutvustame kontseptsiooni juhuslik arenguid. Kuna edaspidi käsitleme ainult juhuslikke sündmusi, siis alates sellest hetkest nimetame neid reeglina lihtsalt sündmusteks.

Igasugune komplekt elementaarsed tulemused ehk teisisõnu suvaline alamhulk elementaarsete tulemuste ruumid, kutsus sündmus .

Nimetatakse elementaarseid tulemusi, mis on vaadeldava alamhulga (sündmuste) elemendid elementaarsed tulemused, soodne antud sündmus , või genereerivad see on sündmus .

Sündmused tähistatakse suurte ladina tähtedega, lisades neile vajadusel indeksid, näiteks: AGA, AT 1 ,FROM 3 jne.

Nad ütlevad, et sündmus AGA juhtus (või juhtus), kui mõni elementaarne tulemus ilmnes katse tulemusena.

Märkus 1. Materjali esitamise hõlbustamiseks identifitseeritakse mõiste "sündmus" kui elementaarsündmuste ruumi Ω alamhulk mõistega "sündmus, mis leidis aset kogemuse tulemusena" või "sündmus seisneb mõne elementaarse ilmnemises". tulemused”.

Nii et näites 2, kus
, sündmus AGA on alamhulk
. Aga me ütleme ka, et sündmus AGA on mis tahes elementaarse tulemuse esinemine

Näide 1.5. Näites 2 näidati, et ühe täringuviskega

,

kus - elementaarne tulemus, mis seisneb kaotuses i punktid. Mõelge järgmistele sündmustele: AGA- paarisarvu punktide kaotamine; AT- paaritu arvu punktide kaotamine; FROM- punktide arvu kaotus, mis on kolmekordne. See on ilmne

,
,

Sündmus, mis koosneb kõigist elementaarsetest tulemustest, st. sündmust, mis antud kogemuses tingimata aset leiab, nimetatakse teatud sündmuseks.

Teatud sündmust tähistatakse tähega Ω .

Sündmus , mis on vastupidine teatud sündmusele Ω, nimetatakse võimatu. Ilmselgelt võimatu sündmus ei saa ilmneda kogemuse tulemusena. Näiteks täringuheites üle kuue punkti langemine. Võimatut sündmust tähistatakse tähisega Ø.

Võimatu sündmus ei sisalda elementaarset sündmust. See vastab nn "tühjale hulgale", mis ei sisalda ühtegi punkti.

Geomeetriliselt on juhuslikud sündmused esindatud punktide kogumitega domeenis Ω, st. Ω sees asuvad piirkonnad (joonis 1.1). Usaldusväärne sündmus vastab kogu piirkonnale Ω.

Tõenäosusteoorias tehakse sündmustega erinevaid operatsioone, mille kogusumma moodustab nn sündmuste algebra, mis on tihedalt seotud loogika algebraga, mida kasutatakse laialdaselt kaasaegsetes arvutites.

Riis. 1.1 Joon. 1.2

Sündmuste algebra probleemide käsitlemiseks tutvustame peamisi definitsioone.

Neid kahte sündmust nimetatakse ekvivalent (ekvivalent) kui need koosnevad samadest elementaarsündmustest. Sündmuste samaväärsust näitab võrdusmärk:

AGA=AT.

Sündmust B nimetatakse sündmuse tagajärjeks AGA:

AGAAT,

Kui välimuselt AGA järgneb välimus AT. Ilmselgelt kui AGAAT ja ATAGA, siis AGA=AT, kui AGAAT ja ATFROM, siis AGAFROM(joonis 1.2).

summa või assotsiatsioon kaks üritust AGA ja AT sellist üritust nimetatakse FROM, mis seisneb või sündmuse teostuses AGA või sündmused AT või sündmused AGA ja AT koos. Tinglikult kirjutatud nii:

FROM=AGA+AT või FROM=AGA
AT.

Mis tahes arvu summa sündmused AGA 1 ,AGA 2 , … , AGA n nimetatakse sündmuseks FROM, mis seisneb vähemalt ühe neist sündmustest ja on kirjutatud kui

või

tööd või kattumine (ristmik) kaks üritust AGA ja AT nimetatakse sündmuseks FROM, mis seisneb ka ürituse elluviimises AGA ja sündmused AT. Tinglikult kirjutatud nii:

FROM=AB või FROM=AGAAT.

Suvalise arvu sündmuste korrutis määratletakse sarnaselt. Sündmus FROM, samaväärne tootega n sündmused AGA 1 ,AGA 2 , … , AGA n kirjutatakse kui

või
.

Sündmuste summal ja korrutisel on järgmised omadused.

AGA+AT=AT+AGA.

(AGA+AT)+FROM=AGA+(AT+FROM)=AGA+AT+FROM.

AB=VA.

(AB)FROM=AGA(päike)=ABC.

AGA(AT+FROM)=AB+AC.

Enamikku neist on lihtne ise kontrollida. Selleks soovitame kasutada geomeetrilist mudelit.

Esitame 5. kinnistu tõendi.

Sündmus AGA(AT+FROM) koosneb elementaarsündmustest, mis kuuluvad ja AGA ja AT+FROM, st. sündmus AGA ja vähemalt üks sündmus AT,FROM. Teisisõnu, AGA(AT+FROM) on elementaarsündmuste kogum, mis kuuluvad sündmuse juurde AB või sündmus AC, st. sündmus AB+AC. Geomeetriline sündmus AGA(AT+FROM) on piirkondade ühine osa AGA ja AT+FROM(joonis 1.3.a) ja sündmus AB+AC- alade ühendamine AB ja AC(joon. 1.3.b), s.o. sama piirkond AGA(AT+FROM).

Riis. 1.3.a Joon. 1.3.b

Sündmus FROM, mis tähendab, et sündmus AGA juhtub ja sündmus AT ei juhtu, kutsutakse erinevus sündmused AGA ja AT. Tinglikult kirjutatud nii:

FROM=AGA-AT.

Arengud AGA ja AT helistas liigend kui nad saavad osaleda samal kohtuprotsessil. See tähendab, et on selliseid elementaarseid sündmusi, mis on osa ja AGA ja AT samal ajal (joon. 1.4).

Arengud AGA ja AT helistas Sobimatu , kui ühe välimus välistab teise välimuse, s.t. kui AB= Ø. Teisisõnu, pole ühtegi elementaarset sündmust, mis oleks osa ja AGA ja AT samal ajal (joon. 1.5). Eelkõige vastupidised sündmused ja alati kokkusobimatu.

Riis. 1.4 Joon. 1.5

Arengud
helistas paarisühildumatu kui mõni neist on kokkusobimatud.

Arengud
vormi täisgrupp , kui need on paaris kokkusobimatud ja koos annavad usaldusväärse sündmuse, s.t. kui mõne jaoks i, k

Ø;
.

Ilmselgelt peab iga elementaarne sündmus kuuluma ühte ja ainult ühte täisgrupi sündmusesse
. Geomeetriliselt tähendab see, et kogu piirkonna piirkond Ω
poolt jagama n osad, millel pole omavahel ühiseid punkte (joon. 1.6).

Vastandlikud sündmused ja esindavad kogu rühma lihtsaimat juhtumit.

Teiste sündmuste vastuvõtmise ajal saate sündmustega teha erinevaid toiminguid. Määratleme need toimingud.

Definitsioon 2.13.

Kui iga katse puhul, milles sündmus aset leiab AGA, toimub ja sündmus AT, siis sündmus AGA helistas erijuhtum sündmused B.

Nad ütlevad ka, et a toob kaasa B ja kirjuta: ( AGA investeerinud AT) või (joonis 2.1).

Näiteks lase üritusel AGA seisneb kahe punkti ilmumises täringu viskamisel ja sündmus AT seisneb paarisarvu punktide ilmnemises täringuheites B = (2; 4; 6). Siis üritus AGA on sündmuse erijuhtum AT sest kaks on paarisarv. Võime kirja panna.

Riis. 2.1 . Sündmus AGA- sündmuse erijuhtum AT

Definitsioon 2.14.

Kui a AGA toob kaasa AT, a AT toob kaasa AGA, siis need sündmused on samaväärsed , kuna nad ründavad koos või ei ründa koos.

Millest ja (järgneb) A = B.

Näiteks, AGA- sündmus, mis seisnes selles, et täringul kukkus välja paarisarv alla kolme. See sündmus on samaväärne sündmusega AT, mis seisnes selles, et number 2 kukkus täringu peale.

Definitsioon 2.15.

Sündmus, mis seisneb mõlema sündmuse ühises toimumises ja AGA, ja AT, kutsutakse ristmik need sündmused A∩B, või tööd need sündmused AB(joonis 2.2).

Riis. 2.2. Sündmuste ristumiskoht

Näiteks lase üritusel AGA seisneb paarisarvu punktide kaotamises täringuvisemisel, siis selle pealetungi soosivad elementaarsed sündmused, mis seisnevad 2, 4 ja 6 punkti kaotuses. AGA -(2; 4; 6). Sündmus AT seisneb täringu viskamisel punktide arvu kaotamises üle kolme, siis selle algust soosivad elementaarsed sündmused, mis seisnevad 4, 5 ja 6 punkti kaotamises. AT= (4; 5; 6). Siis sündmuste ristumiskoha või korrutise järgi AGA ja AT toimub sündmus, kus kaotatakse paarisarv punkte, mis on suuremad kui kolm (sündmus AGA, ja sündmus AT):

A∩B =AB={4; 6}.

Sündmuste ristumiskoht, millest üks AGA- daami kaotus kaardipakist ja veel üks AT- klubide kaotus, tuleb klubide kuninganna.

Märge. Kui kaks sündmust AGA ja AT on kokkusobimatud, siis on nende ühine pealetung võimatu AB = 0.

Definitsioon 2.16.

Sündmus, mis koosneb sündmusest või sündmusest AGA või sündmused AT(vähemalt üks sündmus, vähemalt üks neist sündmustest), nimetatakse nende liiduks AGA ja AT või sündmuste summa AGA ja AT ja seda tähistatakse A + B-ga (joonis 2.3).

Riis. 2.3. Sündmuste ühendamine

Näiteks üritus AGA seisneb paarisarvu punktide kaotamises täringuvisemisel, siis selle toimumist soosivad elementaarsündmused, mis seisnevad 2, 4 ja 6 punkti kaotamises või AGA -(2; 4; 6). sündmus AT seisneb täringu viskamisel punktide arvu kaotamises rohkem kui kolm, siis selle algust soosivad elementaarsed sündmused, mis seisnevad 4, 5 ja 6 punkti kaotamises ehk B \u003d (4; 5; 6). Siis liit ehk sündmuste summa AGA ja AT toimub sündmus, milles kaotatakse vähemalt üks neist – kas paarisarv punkte või punktide arv, mis on suurem kui kolm (sooritatud või sündmus AGA, või sündmus AT):

A ∩ B = A + B ={2; 4; 5; 6}.

Definitsioon 2.17.

Sündmus, mis seisneb selles, et sündmus AGA ei toimu, nimetatakse sündmuse vastandiks AGA ja seda tähistatakse Ā (joonis 2.4).

Riis. 2.4. Vastandlikud sündmused

Näiteks lase üritusel AGA seisneb paarisarvu punktide kaotamises täringuvisemisel, siis selle toimumist soosivad elementaarsündmused, mis seisnevad 2, -4 ja 6 punkti kaotuses või A =(2; 4; 6). Siis üritus Ā seisneb paaritu arvu punktide kaotamises ja selle toimumist soosivad elementaarsündmused, mis seisnevad 1., 3. ja 5. punkti kaotamises. Ā ={1;3;5}.

Definitsioon 2.18.

Sündmus (A ja B), mis seisneb selles, et AGA juhtub, aga ei juhtu, nimetatakse sündmuste erinevuseks AGA ja AT ja seda tähistatakse A-B. Sellest tähistusest võib aga loobuda, kuna definitsioonist tuleneb, et A - B -(joonis 2.5).

Riis. 2.5. Sündmuste erinevus AGA ja AT

Näiteks lase üritusel AGA seisneb paarisarvu punktide kaotamises täringuheites, siis A =(2; 4; 6). Sündmus AT seisneb punktide arvu kaotamises üle kolme. AT= {4; 5; 6}.

Siis - sündmus, mis seisneb punktide arvu kaotamises mitte rohkem kui kolm ja selle toimumist soodustavad elementaarsed sündmused, mis seisnevad 1., 2. ja 3. punkti kaotamises. = {1; 2; 3}.

sündmuste erinevus AGA ja AT toimub sündmus, mis seisneb selles, et sündmus viiakse läbi AGA ja sündmust ei teostata AT. Selle pealetungi soosib elementaarne sündmus, mis seisneb 2 punkti kaotuses:

A-B = A∩= {2}.

Definitsioonid summad ja tooted sündmused kehtivad rohkemate sündmuste kohta:

A + B + ... + N =(AGA või AT, või või N) (2.1)

toimumises seisneb sündmus vähemalt üks sündmustest A, B, ... N;

AB ... N =(AGA ja AT ja... ja N), (2.2)

on sündmus, mis ühine pealetung kõik sündmused A, B, ... N.

Lõpmatu arvu sündmuste summa ja korrutis on defineeritud sarnaselt A 1, A 2, ... A p, ...

Pange tähele, et sellegipoolest on sündmustega seotud toimingute jaoks säilinud mõned algebra reeglid. Näiteks on olemas kommutatiivne seadus (kommunikatiivsus):

A + B \u003d B + A, AB \u003d BA,(2.3)

jaotusseadus (distributiivsus) kehtib:

(A + B) C \u003d AC + BC,(2.4)

kuna vasak ja parem pool tähistavad sündmust C ja vähemalt ühte sündmust AGA ja AT.Ühinguseadus (assotsiatiivsus) kehtib ka:

A + (B + C) \u003d (A + B) + C = A + B + C;

A(BC) = (AB)C = ABC.(2.5)

Lisaks on veel selliseid võrdusi, mis tavalises algebras tunduksid absurdsed. Näiteks mis tahes A, B, C:

AA=A(2.6)

A+A= AGA(2.7)

A+AB= AGA(2.8)

AB + C \u003d (A + C) (B + C)(2.9)

Vastandlikud sündmused on seotud:

Topelteituse seadus:

= A;(2.10)

välistatud keskpaiga seadus

AGA + = Ω. (nende summa on teatud sündmus); (2.11)

Vastuolu seadus:

A =Ø (nende võimatu sündmuse korrutis). (2.12)

Võrdused (2.6)-(2.12) tõestatakse lausete jaoks diskreetse matemaatika käigus. Kutsume lugejat seda ise kontrollima, kasutades sündmuste summa ja korrutise definitsioone.

Kui a B \u003d A 1 + A 2 + ... + A p ja sündmused AGA on paariti kokkusobimatud, s.t. igaüks neist ei ühildu teistega: A j A k= Ø at i≠köelda, et sündmus B jaguneb erijuhtumiteks A 1, A 2 , ..., A p. Näiteks üritus AT, mis seisneb paaritu arvu punktide kaotamises, jaguneb erijuhtudeks E 1, E 3, E 5, mis koosnevad vastavalt 1, 3 ja 5 punkti kaotusest.

Sündmustega seotud toimingute määratluse põhjal saame selgemalt määratleda tervikliku sündmuste rühma.

Definitsioon 2.19.

Kui a A 1 + A 2 + ... + A p = Ω , st. kui vähemalt üks sündmustest A 1 + A 2 + ... + A p peab kindlasti teoks saama ja kui samal ajal A j paarisühildumatu (st teatud sündmus Ω jagatud erijuhtudeks A 1 + A 2 + ... + A p), siis ütleme, et sündmused A 1 + A 2 + ... + A p moodustavad tervikliku sündmuste rühma. Seega, kui A 1 + A 2 + ... + A p- täielik sündmuste rühm, siis igal testil toimub tingimata üks ja ainult üks sündmustest A 1 + A 2 + ... + A p.

Näiteks täringu viskamisel hõlmab kogu sündmuste grupp ka sündmusi E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 ja E 6, mis koosnevad vastavalt 1, 2, 3,4, 5 ja 6 punkti kaotusest.

Ülesande üldine avaldus: osade sündmuste tõenäosused on teada, kuid teiste sündmuste tõenäosused, mida nende sündmustega seostatakse, on vaja arvutada. Nende ülesannete puhul on vaja selliseid tõenäosuste tehteid nagu tõenäosuste liitmine ja korrutamine.

Näiteks jahil käies lasti kaks lasku. Sündmus A- pardi löömine esimesest lasust, sündmus B- tabas teisest löögist. Siis sündmuste summa A ja B- tabamus esimesest või teisest lasust või kahest lasust.

Teist tüüpi ülesanded. Antakse mitmeid sündmusi, näiteks visatakse kolm korda münti. Tuleb leida tõenäosus, et vapp kukub välja kõik kolm korda või kukub vapp vähemalt korra välja. See on korrutamise probleem.

Ühildumatute sündmuste tõenäosuste liitmine

Tõenäosuse liitmist kasutatakse juhul, kui on vaja arvutada juhuslike sündmuste kombinatsiooni või loogilise summa tõenäosus.

Sündmuste summa A ja B määrama A + B või A ∪ B. Kahe sündmuse summa on sündmus, mis toimub siis ja ainult siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest. See tähendab et A + B- sündmus, mis toimub siis ja ainult siis, kui sündmus toimub vaatluse ajal A või sündmus B, või samal ajal A ja B.

Kui sündmused A ja B on omavahel vastuolus ja on antud nende tõenäosused, siis tõenäosus, et üks neist sündmustest ühe katse tulemusena toimub, arvutatakse tõenäosuste liitmise teel.

Tõenäosuste liitmise teoreem. Tõenäosus, et toimub üks kahest vastastikku kokkusobimatust sündmusest, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga:

Näiteks jahil käies lasti kaks lasku. Sündmus AGA– pardi löömine esimesest lasust, sündmus AT– tabamus teisest löögist, sündmus ( AGA+ AT) - tabamus esimesest või teisest lasust või kahest lasust. Nii et kui kaks sündmust AGA ja AT on siis kokkusobimatud sündmused AGA+ AT– vähemalt ühe neist sündmustest või kahest sündmusest.

Näide 1 Karbis on 30 ühesuurust palli: 10 punast, 5 sinist ja 15 valget. Arvutage tõenäosus, et värviline (mitte valge) pall võetakse vaatamata.

Lahendus. Oletame, et sündmus AGA– "punane pall on võetud" ja sündmus AT- "Sinine pall on võetud." Seejärel toimub sündmus "võetakse värviline (mitte valge) pall". Leidke sündmuse tõenäosus AGA:

ja sündmused AT:

Arengud AGA ja AT- vastastikku kokkusobimatu, kuna kui võtta üks pall, ei saa erinevat värvi palle võtta. Seetõttu kasutame tõenäosuste liitmist:

Mitme kokkusobimatu sündmuse tõenäosuste liitmise teoreem. Kui sündmused moodustavad sündmuste täieliku komplekti, on nende tõenäosuste summa võrdne 1-ga:

Vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on samuti võrdne 1-ga:

Vastandlikud sündmused moodustavad sündmuste täieliku komplekti ja sündmuste täieliku kogumi tõenäosus on 1.

Vastupidiste sündmuste tõenäosused on tavaliselt tähistatud väikeste tähtedega. lk ja q. Eriti,

millest tulenevad järgmised vastupidiste sündmuste tõenäosuse valemid:

Näide 2 Kriipsu sihtmärk on jagatud 3 tsooni. Tõenäosus, et teatud laskur esimeses tsoonis sihtmärki tulistab, on 0,15, teises tsoonis - 0,23, kolmandas - 0,17. Leia tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki ja tõenäosus, et laskur jääb märklauast mööda.

Lahendus: leidke tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki:

Leidke tõenäosus, et laskur eksib sihtmärgist:

Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb rakendada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist - lehel "Erinevad ülesanded tõenäosuste liitmiseks ja korrutamiseks" .

Vastastikuste ühiste sündmuste tõenäosuste liitmine

Kahte juhuslikku sündmust nimetatakse ühiseks, kui ühe sündmuse toimumine ei välista teise sündmuse toimumist samas vaatluses. Näiteks täringu viskamisel sündmus AGA loetakse arvu 4 esinemiseks ja sündmuseks AT- paarisarvu kukutamine. Kuna number 4 on paarisarv, on need kaks sündmust ühilduvad. Praktikas on ülesanded ühe vastastikku ühise sündmuse toimumise tõenäosuse arvutamiseks.

Ühissündmuste tõenäosuste liitmise teoreem. Tõenäosus, et üks ühissündmustest aset leiab, on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest lahutatakse mõlema sündmuse ühise toimumise tõenäosus ehk tõenäosuste korrutis. Ühiste sündmuste tõenäosuse valem on järgmine:

Sest sündmused AGA ja ATühilduv, sündmus AGA+ AT tekib siis, kui toimub üks kolmest võimalikust sündmusest: või AB. Kokkusobimatute sündmuste liitmise teoreemi kohaselt arvutame järgmiselt:

Sündmus AGA tekib siis, kui toimub üks kahest kokkusobimatust sündmusest: või AB. Ühe sündmuse toimumise tõenäosus mitmest kokkusobimatust sündmusest on aga võrdne kõigi nende sündmuste tõenäosuste summaga:

Sarnaselt:

Asendades avaldised (6) ja (7) avaldisega (5), saame ühissündmuste tõenäosuse valemi:

Valemi (8) kasutamisel tuleb arvestada, et sündmused AGA ja AT võib olla:

• vastastikku sõltumatud;
• vastastikku sõltuvad.

Tõenäosuse valem vastastikku sõltumatute sündmuste jaoks:

Tõenäosuse valem vastastikku sõltuvate sündmuste jaoks:

Kui sündmused AGA ja AT on vastuolulised, siis on nende kokkulangevus võimatu juhtum ja seega P(AB) = 0. Kokkusobimatute sündmuste neljas tõenäosusvalem on järgmine:

Näide 3 Autorallis esimese autoga sõites võidu tõenäosus, teise autoga sõites. Otsi:

• tõenäosus, et mõlemad autod võidavad;
• tõenäosus, et vähemalt üks auto võidab;

1) Tõenäosus, et esimene auto võidab, ei sõltu teise auto tulemusest, seega sündmused AGA(esimene auto võidab) ja AT(võidab teine ​​auto) - iseseisvad üritused. Leidke tõenäosus, et mõlemad autod võidavad:

2) Leidke tõenäosus, et üks kahest autost võidab:

Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb rakendada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist - lehel "Erinevad ülesanded tõenäosuste liitmiseks ja korrutamiseks" .

Lahendage tõenäosuse liitmise probleem ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 4 Visatakse kaks münti. Sündmus A- vapi kadumine esimesel mündil. Sündmus B- teisel mündil vapi kadu. Leidke sündmuse tõenäosus C = A + B .

Tõenäosuse korrutis

Tõenäosuste korrutamist kasutatakse sündmuste loogilise korrutise tõenäosuse arvutamisel.

Sel juhul peavad juhuslikud sündmused olema sõltumatud. Kaht sündmust nimetatakse teineteisest sõltumatuks, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuse korrutamise teoreem. Kahe sõltumatu sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus AGA ja AT on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega ja arvutatakse järgmise valemiga:

Näide 5 Münti visatakse kolm korda järjest. Leidke tõenäosus, et vapp kukub välja kõik kolm korda.

Lahendus. Tõenäosus, et vapp langeb mündi esimesel viskel, teisel ja kolmandal korral. Leidke tõenäosus, et vapp kukub välja kõik kolm korda:

Lahendage tõenäosuste korrutamise ülesanded ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 6 Seal on kast üheksa uue tennisepalliga. Mängu jaoks võetakse kolm palli, pärast mängu pannakse need tagasi. Palle valides ei tee nad vahet mängitud ja mängimata pallidel. Kui suur on tõenäosus, et kolme mängu järel pole kastis ühtegi mängimata palli?

Näide 7 Lõigatud tähestikukaartidele on kirjutatud 32 vene tähestiku tähte. Viis kaarti tõmmatakse juhuslikult üksteise järel ja pannakse lauale nende ilmumise järjekorras. Leidke tõenäosus, et tähed moodustavad sõna "lõpp".

Näide 8 Täis kaardipakist (52 lehte) võetakse korraga välja neli kaarti. Leidke tõenäosus, et kõik need neli kaarti on sama värviga.

Näide 9 Sama probleem nagu näites 8, kuid iga kaart pärast loosimist tagastatakse kaardipakki.

Keerulisemad ülesanded, mille puhul tuleb rakendada nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist, samuti arvutada mitme sündmuse korrutis, on lehel "Erinevad ülesanded tõenäosuste liitmiseks ja korrutamiseks" .

Tõenäosust, et vähemalt üks vastastikku sõltumatutest sündmustest leiab aset, saab arvutada, lahutades 1-st vastandlike sündmuste tõenäosuste korrutise ehk valemiga.